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Capítulo 1 La recta y el espacio

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Page 1: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Capítulo 1La recta y el espacio

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1.1. Los números reales y su estructura

1.1.1. Los números naturales

Al conjunto de los números naturales lo denotaremos por N , y sus elementos serán 1,2,3,...

1.1.1.1. Axiomas de Peano. Principio de Inducción

Peano estableció la primera axiomática acerca del conjunto de los números naturales, definiéndolos como un conjunto que tiene un primer elemento y en el que cada elemento tiene su siguiente.

Principio de Inducción.- Si un subconjunto A de los números naturales cumple las condiciones

i) A tiene un primer elemento, a,ii) si para cada elemento de A, su siguiente también pertenece a A,

entonces A= {a, a+1, a+2,...}.

1.1.1.2. Operaciones con números naturales

Observemos que en el conjunto de los números naturales no se pueden realizar más operaciones algebraicas que la suma y la multiplicación, pero los elementos no tienen opuesto ni inverso.

1.1.1.3. Orden de los números naturales

Sin embargo, existe entre los números naturales un orden, denotado ≤ , con las siguiente propiedades:

i) cualquier conjunto de números naturales tiene un primer elemento o mínimo ii) dados dos números naturales, siempre podemos decidir cuál es menor o igual que el

otro.

1.1.2. Los números enteros

El conjunto de los números enteros lo denotaremos por Z y tendrá como elementos los números naturales, sus opuestos y el cero,

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

1.1.2.1. Operaciones con números enteros. Estructura de anillo

En Z podemos establecer una operación suma, para la cual tiene estructura de grupo conmutativo, y una operación producto que, junto con la suma, da a Z la estructura de anillo conmutativo.

Esto nos permite resolver en el sistema de los números enteros las ecuaciones de tipo x a b+ = , en todos los casos, pero no siempre las del tipo ax b= .

Page 3: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

1.1.2.2. Orden de los números enteros

El orden de los números enteros conserva la segunda de las propiedades del orden de los números naturales, pero ya no se cumple, en general, que cualquier subconjunto tenga mínimo.

1.1.3. Los números racionales

El conjunto de los números racionales lo denotaremos por Q y tendrá como elementos los cocientes de números enteros, con la excepción del 0, que no podrá utilizarse como divisor,

Q = { ab

: a,b∈ Z , b ≠ 0}.

Como podemos observar, los números racionales, así descritos, no tienen una expresión única, sino que a/b=a´/b´ cuando ab´=a´b.

1.1.3.1. Operaciones con números racionales. Estructura de cuerpo

Las operaciones de suma y producto, extendidas a los números racionales, le dotan de estructura de cuerpo conmutativo, ya que, en este caso, además de las propiedades que se cumplían en los enteros, cada número distinto de 0 tiene un inverso.

Esto nos permite resolver en el sistema de los números racionales todas las ecuaciones de tipo ax b c+ = , siempre que 0a ≠ (pero seguimos sin poder resolver, por ejemplo, 2 2x = ).

1.1.3.2. Orden de los números racionales

El orden en los números racionales es compatible con la estructura de cuerpo, por lo que se dice que Q es un cuerpo ordenado. Además, tiene la propiedad de que, a diferencia de lo que ocurre en Z , entre dos números racionales siempre se encuentra otro número racional.

1.1.4. Los números reales

Los números reales se introducen de manera axiomática, es decir, se supone la existencia de un conjunto no vacío, que denotaremos por R , cuyos elementos satisfacen una serie de axiomas que establecen su estructura de cuerpo ordenado y completo, clasificados en tres grupos: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y axioma de completitud (ver Análisis Matemático, de T. M. Apóstol, capítulo 1).

1.1.4.1. Operaciones con números reales

EnR existen dos operaciones, suma y producto, que le dotan de una estructura de cuerpo conmutativo, en base a los siguientes axiomas, denominados axiomas de cuerpo:

Axioma 1 (Propiedad conmutativa de la suma)x y y x+ = +

Axioma 2 (Propiedad asociativa de la suma)( ) ( )x y z x y z+ + = + +

Axioma 3 (Propiedad conmutativa del producto)xy yx=

Axioma 4 (Propiedad asociativa del producto)( ) ( )x yz xy z=

Page 4: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Axioma 5 (Propiedad distributiva)( )x y z xy xz+ = +

Axioma 6 (Existencia de elemento neutro para la suma)Existe un número real, denotado por 0, tal que 0x x+ = para cualquier x ∈ R .Axioma 7 (Existencia de elemento opuesto)Para cada número real x existe otro número real, denotado por –x, tal que ( ) 0x x+ − = .Axioma 8 (Existencia de elemento neutro para el producto)Existe un número real, denotado por 1, tal que 1x x= para cualquier x ∈ R .Axioma 9 (Existencia de elemento inverso)Para cada número real x, distinto del 0, existe otro número real, denotado por 1/x, tal que x(1/x)=1.

1.1.4.2. Orden de los números reales

EnR existe una relación de orden, denotada ≤ (denotaremos x<y cuando x ≤ y y x ≠ y), que le dota de una estructura de cuerpo ordenado, en base a los siguientes axiomas, denominados axiomas de orden:

Axioma 10 (Totalidad del orden)Para cada dos números reales, x, y, se verifica una y sólo una de las relaciones x<y, x=y, x>y.Axioma 11 (Compatibilidad del orden con la suma)Si x<y, entonces x+z<y+z, para cualquier z.Axioma 12 (Compatibilidad del orden con el producto)Si x>0 e y>0, entonces xy>0.Axioma 13Si x>y e y>z, entonces x>z.

1.1.4.3. Axioma del supremo

Éste es el axioma que caracteriza al sistema de los números reales, le proporciona una estructura más rica desde el punto de vista del Análisis que la de Q , y permite resolver en él las ecuaciones del tipo 2x a= , siempre que 0a > .

Se dice que un conjunto A de números reales está acotado superiormente si existe un número real, M , al que llamaremos una cota superior de A, verificando a M≤ , para cada a A∈ .

Se dice que A está acotado inferiormente si existe un número real, m , al que llamaremos una cota inferior de A, verificando m a≤ , para cada a A∈ .

Se dice que A está acotado si está acotado superior e inferiormente.

Dado un conjunto acotado superiormente, A, se dice que un número real s es el supremo de A si s es una cota superior de A y ningún número menor que s es cota superior de A.

Dado un conjunto acotado inferiormente, A, se dice que un número real i es el ínfimo de A si i es una cota inferior de A y ningún número mayor que i es cota inferior de A.

Axioma 14 (Axioma del supremo o de completitud)Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene supremo (equivalentemente, todo conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente tiene ínfimo).1.1.4.4. Existencia de números irracionales

Page 5: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

El conjunto de los números reales contiene todos los números racionales, pero también muchos otros números que no lo son. Los números reales que no son racionales se llaman irracionales. Son irracionales, por ejemplo, los números 2 , 6 , e , π .

1.1.4.5. Expresiones decimales de los números reales

Todo número real admite una expresión decimal (no necesariamente única). Esta expresión nos permite, por ejemplo, distinguir los números racionales, cuyo desarrollo decimal tiene una cantidad finita de cifras o una cantidad infinita que se repite de forma periódica, de los irracionales, cuyo desarrollo decimal tiene una cantidad infinita de cifras sin periodicidad, lo cual no permite nunca expresarlo de forma completa.

1.1.4.6. La recta real

Los números reales pueden ser representados geométricamente como puntos de una recta, denominada recta real o eje real, de tal manera que a cada punto de la recta le corresponde un número real y sólo uno y, recíprocamente, cada número real está representado por un único punto de la recta.

1.1.4.6.1. Valor absoluto

Dado un número real x, se define el valor absoluto o módulo de x comox x= , si 0x ≥ , y x x= − , si 0x ≤ .

De esta manera, se tiene que x a≤ si y sólo si a x a− ≤ ≤ .

El valor absoluto satisface las tres propiedades siguientes:i) 0,x ≥ y 0x = si y sólo si x=0,

ii) ax a x= ,

iii) x y x y+ ≤ + (desigualdad triangular).

1.1.4.6.2. Intervalos

Dados dos números reales, a y b, con a<b, se llama intervalo acotado de extremos a y b al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, pudiéndose distinguir los siguientes tipos:

Intervalo abierto acotado ( ) { }, :a b x a x b= ∈ < <¡ .

Intervalo cerrado acotado [ ] { }, :a b x a x b= ∈ ≤ ≤¡ .

Intervalos semiabiertos acotados ] { }( , :a b x a x b= ∈ < ≤¡ , ) { }, :a b x a x b= ∈ ≤ < ¡ .

Por otra parte, los intervalos no acotados pueden ser de los siguientes tipos:Intervalos abiertos no acotados ( ) { }, :a x a x+ ∞ = ∈ <¡ , ( ) { }, :b x x b− ∞ = ∈ <¡ .

Intervalos cerrados acotados ) { }, :a x a x+ ∞ = ∈ ≤ ¡ , ( ] { }, :b x x b− ∞ = ∈ ≤¡ .

Page 6: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

1.1. Ejercicios

E.1.1.1. Demostrar por inducción las siguientes igualdades y desigualdades para

números naturales:

a) ( )n n 11 2 ... n

2+

+ + + = d) 1 (1 )nkn k+ < + , k>0, n>1

b)n 1

2 n r 11 r r ... rr 1

+ −+ + + + =−

e) 2 33n n+ <

c) ( ) ( )2 2 2 n n+1 2n+11 +2 +...+n =

6f) 2 1 4nn + < , 2 4nn < .

E.1.1.2. Hallar los números racionales cuyas expansiones decimales son:

a) 0.33444444444... c) 0.9999999999999....b) 1.345345345345... d) 4.1414141414141....

E.1.1.3. Resolver las siguientes igualdades y desigualdades con números reales:a) 4 2 4 2x x 6 x 4 x 6− − = − − −

b) x x 2 1 x+ − = +c) 2x 8x 16 0− + >

d) 2 2x 7x 12 x 7x 12− + > − + .

E.1.1.4. Describir gráficamente los siguientes subconjuntos de¡ . Determinar su

supremo y su ínfimo, en el caso de que existan, indicando si son máximos o mínimos.

a)1 1

n mn mA + ∈ =

,: ¥

b)1 1

n mn m

B − ∈ =

: , ¥

c) ( ) ( ){ }n m1 1 1 n mC + − + − ∈= : , ¥

d) { }p q r2 3 5 p q rD − − −+ + ∈= : , , ¥

e) { } { } { }n 1 1 nn 4 n 3 4

n nE + −

∈ ∪ − ∈ ∪= : : ,¥ ¥

f) { }23x 10x 3 0 xF − − < ∈= : ¡

g) { }x 1 x 1x

x 1 x 1G − −

∈ >+ +

= :¡

h) ( ) ( ) ( ) ( ){ }x x 1 x 2 x 3 x 4 0H ∈ − − − − <= :¡

i) { }x x 3 x 1 4I ∈ − + − <= :¡ .

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1.2. El espacio euclídeo n-dimensional

1.2.1. Sistemas de coordenadas

Se llama espacio euclídeo n-dimensional al producto cartesiano del conjunto de los números reales por sí mismo n veces, es decir,

( ){ }1 1,..., : ,...,nn nx x x x x= = ∈¡ ¡ .

El elemento ( )1,..., nx x x= se llama un punto o vector de n¡ , y los números 1,..., nx xson sus coordenadas.

1.2.2. Estructura de espacio vectorial normado

1.2.2.1. Estructura algebraica de espacio vectorial

El conjunto n¡ está dotado de una operación suma,( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ,..., ,...,n n n nx x y y x y x y+ = + + ,

y una operación producto por escalares,( ) ( )1 1,..., ,...,n nx x x xλ λ λ= ,

que le proporcionan una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo ¡ de los números reales.

El espacio vectorial n¡ tiene dimensión n, siendo una base (que se suele llamar canónica) el conjunto B={(1,0,...,0),...,(0,...,0,1)}.

1.2.2.2. Producto escalar

Se define el producto escalar de dos vectores ( )1,..., nx x x= e ( )1,..., ny y y= de n¡ como el número

1 1 ... n nx y x y x y× = + + .El producto escalar satisface las siguientes condiciones:

i) x y y x× = ×ii) ( )x y z x y x z× + = × + ×

iii) ( ) ( ) ( )x y x y x yλ λ λ× = × = × .

1.2.2.3. Norma y distancia euclídeas

Se llama norma euclídea de un elemento ( )1,..., nx x x= de n¡ al número2 2

1 ... nx x x= + + .La norma satisface las tres propiedades siguientes:

i) 0x ≥ ; 0 0x x= ⇔ =

ii) x xλ λ=

iii) x y x y+ ≤ + .

Page 8: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Se llama distancia euclídea entre dos puntos, ( )1,..., nx x x= e ( )1,..., ny y y= de n¡ al número

( ) ( ) ( )2 21 1, ... n nd x y x y x y= − + + − .

La distancia satisface las tres propiedades siguientes:i) ( ), 0d x y ≥ ; ( ), 0d x y x y= ⇔ =

ii) ( ) ( ), ,d x y d y x=

iii) ( ) ( ) ( ), , ,d x y d x z d z y≤ + .

La norma y la distancia euclídeas tienen entre sí las siguientes relaciones:( ),d x y x y= −

( ),0x d x= .

Además, la norma se relaciona con el producto escalar por2x x x× = .

1.2.2.4. Desigualdad de Cauchy-Scharwz y desigualdad triangular

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que, dados dos puntos ( )1,..., nx x x= e

( )1,..., ny y y= de n¡ ,

x y x y× ≤ .

De ella se deduce la desigualdad triangular,x y x y+ ≤ + .

1.2.3. El plano euclídeo

Se llama plano euclídeo al espacio euclídeo de dimensión 2.

1.2.3.1. Coordenadas cartesianas y polares

Las coordenadas cartesianas de un punto del plano se suelen denotar por x e y, y representan los segmentos obtenidos al proyectar el punto sobre los dos ejes coordenados (teniendo en cuenta el signo).

Las coordenadas polares de un punto del plano distinto del origen se suelen denotar por ρ y θ , y representan respectivamente la distancia al origen y el ángulo que forma el segmento que une el punto y el origen con el semieje positivo de abscisas.

Las relaciones entre ellas son:cosx ρ θ= , y senρ θ=

2 2x yρ = + , yarctgx

θ = (¡!)

1.2.3.2. Traslaciones, giros y homotecias

Page 9: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Se llama traslación según el vector ( ),v a b= a la aplicación 2 2:vτ →¡ ¡ definida por

( ) ( ), ,v x y x a y bτ = + + .

Se llama giro de ángulo θ a la aplicación 2 2:θσ →¡ ¡ definida por

( ) ( ), cos sin , sin cosx y x y x yθσ θ θ θ θ= − + .

Se llama homotecia de razón λ a la aplicación 2 2:hλ →¡ ¡ definida por

( ) ( ), ,h x y x yλ λ λ= .

1.2.3.3. Rectas

Una recta en el plano viene determinada por un punto, ( )0 0,x y , y un vector director, ( ),v a b= , siendo el conjunto de los puntos de la forma ( ) ( ) ( )0 0, , ,x y x y a bλ= + , donde λ

recorre todos los números reales. A partir de ahí, se pueden obtener las ecuaciones paramétricas, 0x x aλ= + , 0y y bλ= + , y la ecuación general, 0Ax By C+ + = .(Se supone bien conocido el manejo de las rectas en el plano, sus distintos tipos de

ecuaciones, las incidencias, etc. En caso contrario, consultar, por ejemplo, el libro Cálculo de una variable, de G. L. Bradley y K. J. Smith, o Cálculo, de S. Lang.)

1.2.3.4. Cónicas

Las cónicas son conjuntos de puntos del plano cuyas coordenadas están ligadas mediante una ecuación polinómica de segundo grado (no cualquiera). En su forma más simplificada, la clasificación básica es la siguiente:

• Par de rectas: 2 2 0x y− = .• Circunferencia : 2 2 1x y =+ .• Elipse : 2 2 2 2 1/ /x ya b =+ .• Parábola : 2y x= .• Hipérbola: 2 2 1x y− = .

(Se supone bien conocido el manejo de las cónicas en el plano, sus distintos tipos de ecuaciones, etc. En caso contrario, consultar, por ejemplo, el libro Cálculo, de S. Lang.)

1.2.4. El espacio euclídeo tridimensional

1.2.4.1. Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Las coordenadas cartesianas de un punto del espacio se suelen denotar por x, y y z, y representan los segmentos obtenidos al proyectar el punto sobre los tres ejes coordenados (teniendo en cuenta el signo).

Las coordenadas cilíndricas de un punto del espacio que no esté sobre el eje OZ se suelen denotar por ρ , θ y z, donde ρ y θ representan las coordenadas polares del punto ( ),x y que se obtiene proyectando el punto del espacio sobre el plano XY. (Se puede elegir

Page 10: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

análogamente cualquier otra de las coordenadas en lugar de la z, obteniéndose coordenadas cilíndricas referidas al eje OX o al ejeOY).

Las relaciones entre ellas son:cosx ρ θ= , y senρ θ= , z z=

2 2x yρ = + , yarctgx

θ = (¡!) z z=

Las coordenadas esféricas de un punto del espacio se suelen denotar por r, θ y ϕ , y representan respectivamente la distancia al origen, la misma coordenada Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las esféricas son:

de cilíndricas y el ángulo que forma el segmento que une el punto y el origen con el semieje positivo OZ.

Las relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las esféricas son:sinrρ ϕ= , θ =θ , cosz r ϕ=

2 2r zρ= + , θ =θ , arctgzρϕ = .

Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las esféricas son:sin cosx r ϕ θ= , sin siny r ϕ θ= , cosz r ϕ=

2 2 2r x y z= + + , yarctgx

θ = , 2 2 2arccos z

x y zϕ =

+ +

1.2.4.2. Cuádricas

(Ver página siguiente).

1.2.4.3. Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores, ( , , )u x y z= y ( ,́ ,́ )́v x y z= de 3¡ , se define mediante el falso determinante

det ´ ´ ´x y z

u v x y zi j k

÷× = ÷ ÷

,

donde i, j, k representan los vectores de la base canónica.

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1.2. Ejercicios

E.1.2.1. Hallar las distintas formas de la ecuación de la recta correspondiente a los siguientes casos:

a) pasa por los puntos (1,3) y (-2,5),b) pasa por el origen y por el punto (7,-3),c) pasa por el punto (1,1) y tiene por pendiente 4,d) pasa por el punto (-4,0) y es paralela a la recta y=3x+5,e) pasa por el punto (2,-2) y forma con el semieje positivo de abscisas un

ángulo de 3/2.

E.1.2.2. Hallar la ecuación de la circunferencia en cada uno de los siguientes casos:a) tiene centro en el punto (1,1) y radio r=5,b) tiene centro en el punto (1,3) y pasa por el punto (2,4),c) tiene como puntos diametralmente opuestos el (-2,0) y el (2,4),d) tiene radio r=4 y es concéntrica a x2 - 6x + y2 = 16.

E.1.2.3. Hallar la ecuación de la elipse en cada uno de los siguientes casos:a) tiene centro en el origen y radios 3 y 7,b) tiene centro en el punto (3,1) y radios 3 y 7.

E.1.2.4. Hallar la ecuación de la parábola en cada uno de los siguientes casos:a) tiene el vértice en el punto (0, -4) y pasa por los puntos (2,0) y (-2,0),b) tiene el vértice en el punto (1,1) y pasa por los puntos (0,0) y (2,0),c) pasa por los puntos (0,1), (1,0) y (1,2).

E.1.2.5. Hallar la ecuación de la hipérbola en cada uno de los siguientes casos:a) la gráfica está en los cuadrantes primero y tercero y pasa por el punto (1,2),b) sus asíntotas son los ejes coordenados y pasa por el punto (-1, -1),c) sus asíntotas son las bisectrices y pasa por el punto (3,0).

E.1.2.6. Clasificar y representar gráficamente las siguientes cónicas:a) x2 + y2 – 2x – 4y = 4 d) x2 – y2 + 5x + 5y = 0b) 3 x2 + 20 y2 = 12 e) xy = 4c) 4 x2 – 25 y2 = 0

E.1.2.7. Describir gráficamente los siguientes subconjuntos de 2¡ : a) { }A x y x 1 y 0, : | | ≥ , >= ( )

b) { }2 2B (x y) x 2x y 3= , : − + ≤

c) { }2 2C (x y) x y 0= , : − ≥

d) ( ){ }2 2 2 2D x, y : (4x x y )(x y 2x) 0= − − + − ≤

E.1.2.8. Describir gráficamente los siguientes subconjuntos de 2¡ :

a) { }A ( cos sen ) 1ρ θ ρ θ ρ= , : ≤

b) { }4B ( cos sen ) πρ θ ρ θ θ= , : =

c) { }C ( cos sen ) senρ θ ρ θ ρ θ= , : =

d) { }D ( cos sen ) 1 2ρ θ ρ θ ρ= , : < <

e) }{ }4 2E ( cos sen ) π πρ θ ρ θ θ= , : ≤ ≤

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E.1.2.9. Determinar las ecuaciones de la recta de 3¡ que pasa por dos puntos dados P y Q. Aplicarlo a P=(1, -1 , 2) y Q = (1 , 2 , 2).

E.1.2.10. Determinar la ecuación del plano que pasa por tres puntos dados P, Q y R. Aplicarlo para P=(1, -1 , 2) , Q = (1 , 2 , 2) y R = (-1 , 0 , 2).

E.1.2.11. Si denotamos por i, j, k los vectores de la base canónica de 3¡ , i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), determinar:

i) Los productos escalares i.i, i.j, i.k, j.i, j.j, j.k, k.i, k.j , k.k.ii) Los productos vectoriales ixi, ixj, ixk , jxi, jxj, jxk, kxi , kxj, kxk.

E.1.2.12. Probar las siguientes propiedades del producto vectorial en 3¡ :i) ( )a b b a× = − × ii) ( ) ( ) ( )a b c a c b cα β α β+ × = × + × .

E.1.2.13. Se define el triple producto de a,b,c ∈ 3¡ como ( )a b c⋅ × .

i) Probar que 1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )a a a

a b c b b bc c c

⋅ × = .

ii) Probar que si a b cβ γ= + , con β γ ∈ ¡ , entonces ( ) 0a b c⋅ × = . iii) Deducir que b c× es un vector de 3¡ ortogonal al plano generado por b y c

(si b y c no son colineales).

E.1.2.14. Describir gráficamente los siguientes conjuntos de 3¡ :

a) { }2 2 2A (x y z) x y z 1= , , : + + = b) { }2 2B (x y z) x z 1= , , : + ≤

c) { }2 2 2C (x y z) x y z 0= , , : + − = d) { }D (x y z) x 1 y 1 z 1= , , : | | ≤ , | | ≤ , | | ≤

e) {{ }2E (x y z) y x= , , : > f) { }F ( cos sen z) 1ρ θ ρ θ ρ= , , : ≤

g) {{ }4G ( cos sen z) πρ θ ρ θ θ= , , : = h) { }H ( cos sen z) z 1ρ θ ρ θ= , , : =

i) ( ){ }2 2I cos sen z z 3ρ θ ρ θ ρ= , , : + ≤

j) { }J ( cos sen z) sen 0 z 4ρ θ ρ θ ρ θ= , , : = , ≤ ≤

k) ( ){ }K cos sen , sen sen , cos : 1ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ϕ ρ= ≤

l) ( ){ }4cos , , cos : 1 ,L sen sen sen πρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ρ θ≤ ==m)

( ){ }2 2 2M cos , , cos : 1, , 0sen sen sen π π πρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ= ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤

n) ( ){ }32 2N cos , , cos : 2,sen sen sen π πρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= ≤ ≤ ≤

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1.3. Conceptos básicos de Topología

1.3.1. Punto interior, punto adherente, punto de acumulación y punto frontera

Dado un punto x ∈ ¡ , llamaremos entorno de x a un intervalo abierto de la forma ( ),x xρ ρ− + , donde ρ es cualquier número real positivo.

Análogamente, si nx ∈ ¡ , llamaremos entorno de x a un conjunto, denotado ( ),B x ρ ,

formado por todos los puntos que distan de x menos que ρ , donde ρ es cualquier número real positivo.

Fijemos un conjunto A contenido en n¡ y un punto na ∈ ¡ . Diremos que a es un punto interior de A si existe un entorno de a totalmente contenido en A.Diremos que a es un punto adherente a A si cada entorno de a contiene algún punto de A. Diremos que a es un punto de acumulación de A si cada entorno de a contiene algún punto de A distinto del propio a.Diremos que a es un punto frontera de A si cada entorno de a contiene algún punto de A y algún punto del complementario de A.

1.3.2. Interior, adherencia, derivado y frontera de un conjunto

Llamaremos interior de A al conjunto de todos los puntos interiores de A, y lo denotaremos Ai.Llamaremos adherencia (o clausura) de A al conjunto de todos los puntos adherentes a A, y lo denotaremos A .Llamaremos derivado de A al conjunto de todos los puntos de acumulación de A, y lo denotaremos A´.Llamaremos frontera de A al conjunto de todos los puntos frontera de A, y lo denotaremos Fr A.

1.3.3. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

Es sencillo observar que, en general, se cumple iA A A⊂ ⊂ , pero no todos los conjuntos coinciden con su interior o con su adherencia.Diremos que A es un conjunto abierto si coincide con su interior.Diremos que A es un conjunto cerrado si coincide con su adherencia.

Propiedades de los conjuntos abiertos y de los conjuntos cerrados

1. Los conjuntos vacío y total son abiertos y cerrados (y, además, son los únicos conjuntos a la vez abiertos y cerrados).

2. Existen conjuntos que no son abiertos, conjuntos que no son cerrados y conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.

3. El complementario de un conjunto abierto es cerrado y el complementario de un conjunto cerrado es abierto.

4. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es otro conjunto abierto.5. La unión de una familia finita de conjuntos cerrados es otro conjunto cerrado. En

general, la unión de una familia arbitraria de cerrados puede ser cerrado o no.

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6. La intersección de una familia finita de conjuntos abiertos es otro conjunto abierto. En general, la intersección de una familia arbitraria de abiertos puede ser abierto o no.

7. La intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es otro conjunto cerrado.8. El interior de un conjunto es siempre abierto.9. La adherencia, el derivado y la frontera de un conjunto son siempre cerrados.

1.3.4. Conjuntos compactos

El conjunto A se llama acotado si existe un número real positivo, M, tal que A está contenido en un entorno B(0,M), es decir, si la norma de los puntos de A no puede sobrepasar el valor M, al que se llama una cota de A.

Diremos que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.

1.3.5. Conjuntos conexos

Diremos que el conjunto A es conexo cuando no admite una descomposición del tipo A B C= ∪ , donde B y C sean dos subconjuntos de A abiertos, no vacíos y disjuntos.

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1.3. Ejercicios

Para cada uno de los conjuntos que aparecen en las páginas de ejercicios anteriores, hallar el interior, la clausura y la frontera basándose en su descripción gráfica.

Determinar cuáles de ellos son abiertos, cerrados, acotados, compactos y conexos.

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Capítulo 2Funciones

Page 17: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

2.1. Conceptos generales sobre funciones entre espacios euclídeos

2.1.1. Dominio, imagen y gráfica

Formalmente, una función será para nosotros una terna (A,B,f), donde nA ⊂ ¡ , mB ⊂ ¡ ( , 1)n m ≥ , y f es un criterio que a cada elemento de A asocia un elemento de B. Abreviadamente, la denotaremos :f A B→ , o simplemente, f, si se sobreentienden A y B.

Si m>1, denotaremos 1( ,..., )mf f f= , donde 1 , ..., mf f son m funciones de la misma variable que f pero de valor real, que se llaman componentes de f. Algunas propiedades se transmiten de la función f a sus componentes y recíprocamente, como iremos viendo.

El dominio de f es el conjunto A. Habitualmente, entenderemos que A es el “máximo” conjunto en el que tiene sentido plantear f, a menos que las restricciones físicas del problema nos indiquen otra cosa.

La imagen de f es el subconjunto de B que se obtiene al aplicar f a los elementos de A, es decir,

{ }Im( ) ( ) : ( )f f a a A f A= ∈ = .

La gráfica (o grafo) de f es el conjunto{ }( ) ( , ( )) : n mGr f a f a a A A B += ∈ ⊂ × ⊂ ¡ .

Cuando 3n m+ ≤ , la gráfica de f se puede representar en un sistema de coordenadas.Cuando n=2 (resp., n=3) y m=1, a veces se utilizan las curvas (resp., superficies) de nivel

para dar una representación de la función f. Se llama curva (resp., superficie) de nivel c al conjunto { }: ( )cN a A f a c= ∈ = .

2.1.2. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

La función :f A B→ es inyectiva cuando, ´ ,a a A∈ ´ ( ) ( )́a a f a f a≠ ⇒ ≠ .

La función :f A B→ es suprayectiva cuando ( )f A B= .

La función :f A B→ es biyectiva cuando es inyectiva y suprayectiva.

2.1.3. Composición de funciones

Si :f A B→ y : ( )g f A B C⊂ → son dos funciones, la composición de f y g, denotada g fo , se define por

( )( ) ( ( ))g f a g f a=o .

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Si :f A B→ es biyectiva, entonces tiene una función inversa, que es única, se suele denotar por 1 :f B A− → y se caracteriza por 1

Bf f id− =o , 1Af f id− =o .

2.1.4. Funciones acotadas

Una función :f A B→ está acotada si el conjunto imagen, ( )f A , está acotado, es decir, existe una constante K tal que ( )f x K≤ , para todo x A∈ .

2.1.5. Funciones periódicas

Una función :f A ⊂ →¡ ¡ se llama periódica si existe un número T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x A∈ . En tal caso, al menor valor de T que satisface esa condición se le llama periodo de f.

2.1.6. Operaciones con funciones

Con las funciones se pueden realizar las operaciones algebraicas que nos permita su conjunto imagen. Así, por ejemplo, si , : n mf g A ⊂ →¡ ¡ y λ ∈ ¡ , se definen

: n mf g A+ ⊂ →¡ ¡ , ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

: nf g A ⊂ →g ¡ ¡ , ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x=g g

: n mf Aλ ⊂ →¡ ¡ , ( )( ) ( )f x f xλ λ= .

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1.

2.2. Funciones elementales de variable y valor real

2.2.1. Funciones polinómicas

2.2.2. Funciones exponenciales y logarítmicas

2.2.3. Funciones trigonométricas

Los tipos de funciones que aparecen en esta Sección suelen ser bastante conocidos, ya que forman parte de los programas de Matemáticas del Bachillerato. Para repaso y ampliación, se puede consultar, por ejemplo, el capítulo 5 del libro Cálculo de una variable, de G. L. Bradley y K. J. Smith, que aparece en la Bibliografía.

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2.1. (y 2.2.) Ejercicios

E.2.1.1. Determinar el dominio y la imagen de las siguientes funciones:

(1) ( ) 3f x 3x x= − (2) ( ) 2xf x arcsen

1 x=

+ ÷

(3) 2f (x y) ( x y ln(x 1) ln y), = − , + + (4) 2 2

1 1f (x y)

x y 1 x y, = ,

+ − + ÷

.

E.2.1.2. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones y las curvas de nivel cuando proceda:

(1) ( ) 2f x 1 x= − (2) ( )( ]( )

[ )

2

x

x, x ,1

f x x , x 1, 4

2 1, x 4 ,

∈ − ∞

= ∈

− ∈ ∞

(3) ( ) x 1 1f x

x 2− +

=+

(4) f (x y) x y 2, = − +

(5) 2 2f (x y) x 4y, = + (6) f (x y) xy, = −

(7) 2 2f (x y) 1 x y, = − − (8) 3f (x y) x x, = −

E.2.1.3. Esbozar las superficies de nivel de las siguientes funciones: (1) 2 2 2f (x y z) x y z, , = − − − (2) 2 2 2f (x y z) 4x y 9z, , = + +

(3) f (x y z) 2x y, , = − (4) 2 2f (x y z) x y, , = +

(5) 2 2 2f (x y z) x y z, , = + − .

E.2.1.4. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones:(1) f(x) = 2|x| (2) f(x) = ex + e-x (3) f(x) = log |x|

(4) f(x) = | log x | (5) f(x) = log x – ex (6) f(x) = log [(x + 3)/(2 – x)]

E.2.1.5. Hallar la inversa de las siguientes funciones:(1) f(x) = 1 – log (x/2) (2) f(x) = 100x – 1 (3) f(x) = e1 – x

E.2.1.6. Hallar las funciones compuestas, fog y gof, donde sea posible, para los siguientes casos:(1) f(x) = ex , g(x) = ln (x + 1),(2) f(x) = log 3x , g(x) = 2x/2.

E.2.1.7. Decir cuáles de las siguientes funciones están acotadas superior e inferiormente y cuáles tienen máximo y mínimo:

(1) f(x)=1/(1+x2) en [0,5] (2) f(x)=3/(x+2) en [-3,2].

E.2.1.8. Hallar el periodo de las siguientes funciones:(1) f(x) = sen 3x (2) f(x) = sen 2x cos (x/3) (3) f(x) = cos (5x + 1) .

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2.3. Límite de una función en un punto

2.3.1. Concepto de límite finito en un punto finito

Sea : n mf A B⊂ → ⊂¡ ¡ y ´a A∈ . Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende

hacia a es b ( )mb ∈ ¡ , y se denota lim ( )x a

f x b→

= , cuando para todo 0ε > existe 0δ > tal que si

( , )x B a Aδ∈ ∩ y x a≠ (es decir, 0 x a δ< − < ), entonces ( ) ( , )f x B b ε∈ (es decir, ( )f x b ε− < ) .

2.3.2. Propiedades de los límites

• Si m>1, 1( ,..., )mf f f= y 1( , ..., )mb b b= , entonces lim ( )x a

f x b→

= sii lim ( )i ix af x b

→= ,

para i=1,...,m.

• El límite de una función en un punto, si existe, es único.

• Si existe lim ( )x a

f x b→

= y λ ∈ ¡ , entonces existe

lim( )( ) .x a

f x bλ λ→

=

• Si , : n mf g A ⊂ →¡ ¡ y existen lim ( )x a

f x b→

= y lim ( )x a

x cg→

= , entonces existe

lim( )( ) .x a

f g x b c→

+ = +

• Si , : n mf g A ⊂ →¡ ¡ y existen lim ( )x a

f x b→

= y lim ( )x a

x cg→

= , entonces existe

lim( )( ) .x a

f g x b c→

=g g

• Si : n mf A ⊂ →¡ ¡ : ng A ⊂ →¡ ¡ y existen lim ( )x a

f x b→

= y lim ( )x a

xg α→

= , entonces existen

lim( )( )x a

gf x bα→

=

lim( / )( ) /x a

f g x b α→

= , si 0α ≠ .

• Si :f A B→ y : ( )g f A B C⊂ → , lim ( )x a

f x b→

= y lim ( )y b

g y c→

= , entonces

lim( )( )x a

g f x c→

=o .

• (Regla del emparedado) Si f , g y h son tres funciones de valores reales tales que ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ para todo x en un entorno de a y lim ( ) lim ( )

x a x af x h x λ

→ →= = ,

entonces existe x alim g(x) λ

→= .

• Si f es una función acotada en un entorno de a y lim ( ) 0x a

xg→

= , entonces existe

lim ( ) 0( )x a

xf x g→

= .

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2.3.3. Concepto de límite infinito en un punto finito y de límite cuando la variable tiende a infinito

Dada una función : n mf A B⊂ → ⊂¡ ¡ , y ´a A∈ , se dice que f(x) tiende hacia

infinito cuando x tiende hacia a , y se denota lim ( )x a

f x→

= ∞ , cuando para todo 0M > existe

0δ > tal que si ( , )x B a Aδ∈ ∩ y x a≠ (es decir, 0 x a δ< − < ), entonces ( ) (0, )f x B M∉

(es decir, ( )f x M> ).

Dada una función : n mf A B⊂ → ⊂¡ ¡ , con A no acotado, se dice que f(x) tiende

hacia b cuando x tiende hacia infinito ( )mb ∈ ¡ , y se denota lim ( )x

f x b→ ∞

= , cuando para todo

0ε > existe 0K > tal que si (0, )x B K∉ (es decir, x K> ), entonces ( ) ( , )f x B b ε∈ (es

decir, ( )f x b ε− < ).

Dada una función : n mf A B⊂ → ⊂¡ ¡ , con A y B no acotados, se dice que f(x) tiende

hacia infinito cuando x tiende hacia infinito, y se denota lim ( )x

f x→ ∞

= ∞ , cuando para todo

0M > existe 0K > tal que si (0, )x B K∉ (es decir, x K> ), entonces ( ) (0, )f x B M∉ (es

decir, ( )f x M> ).

Los límites infinitos mantienen las mismas propiedades de los límites finitos, siempre que los términos que aparezcan tengan sentido. En otros casos, dan lugar a indeterminaciones.

Incluir los infinitésimos e infinitos más habituales, y sus comparaciones.

2.3.4. Criterios para el cálculo de límites dobles

Supongamos que { } 2(0, ) 0A B r= − ⊂ ¡ y 2:f A B⊂ → ⊂¡ ¡ .

Criterio de los límites iteradosSi existen el límite doble ( , ) ( 0,0)

lim ( , )x y

f x y λ→

= y los límites unidimensionales 0

lim ( , )x

f x y→

, 0lim ( , )y

f x y→ , entonces han de existir y ser iguales los dos límites iterados,

0 0 0 0lim lim ( , ) lim lim ( , )x y y x

f x y f x y λ→ → → →

= = .El recíproco no es cierto.(Este criterio se suele utilizar en sentido negativo, de modo que si no existe alguno de los

límites iterados o no coinciden ambos, entonces no puede existir el límite doble.)

Criterio de los límites direccionalesSi existe el límite doble ( , ) ( 0,0)

lim ( , )x y

f x y λ→

= y :g →¡ ¡ es una función tal que

0lim ( ) 0x

g x→

= , entonces existe el límite direccional

( , ) ( 0,0)lim ( , ( ))

x yf x g x λ

→= .

El recíproco no es cierto.

Page 23: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

(Este criterio se suele utilizar también en sentido negativo, de modo que si se encuentra una dirección en la que el límite no existe o depende de parámetros, entonces no puede existir el límite doble.)

Criterio de las coordenadas polaresDefiniendo [ ): (0, ) 0, 2F r π× → ¡ por ( , ) ( cos , sin )F fρ θ ρ θ ρ θ= , las condiciones

siguientes son equivalentes:

(i) Existe el límite doble, ( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y λ

→= .

(ii) Existe el límite unidimensional 0lim ( , )F

ρρ θ λ

+→= uniformemente cuando [ )0, 2θ π∈ .

(iii) Existe una función : (0, )h r → ¡ tal que 0lim ( ) 0h

ρρ

+→= y ( , ) ( )F hρ θ λ ρ− ≤

para cada (0, )rρ ∈ y cada [ )0, 2θ π∈ .

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2.3. Ejercicios

E.2.3.1. Calcular los siguientes límites:

(1) xlim( x x x x )

→ ∞+ − − (2)

p

qx 1

x 1lim , p,q

x 1→

−∈

−¥

(3) p

x 1

x 1lim , p

x 1→

−∈

−¥ (4)

3 2

3x 1

x 2x x 2lim

x 7x 6→

− − +− +

.

E.2.3.2. Determinar el dominio y calcular el límite en el origen, si existe, de las siguientes funciones:

1) ( ) ( )f x x sen 1/ x= 2) ( ) 1 x 1 xf x

x+ − −

=

3) ( ) 1 x 1 xf x

x+ − −

= 4) ( ) xxf x x=

5) ( ) ( )21/ sen (x )2f x cos x= 6) ( )

x

x

a 1f x , a, b

b 1+−

= ∈−

¡

7) ( ) ( )f x log 1 x 1= + − 8) ( )x sen(x )e e

f xx sen(x)

−=

9) f (x y) ysen( /x)π, = 10) 1 1

f (x y) (x y) sen senx y

, = +

÷ ÷

11) 2 2yf (x y) sen (x y )

x, = + 12) 2 y 1

f (x y) y senx+

, = ÷

13) 2 2y sen (x x)

f (x y)y 1

+, =

+ 14) f(x,y) =

11 cos x−

+ 2

seny.senx

15) 2

2y xyf (x y) e

x− | | /| |

, = 16) ( )1 y sen , x 0

f x , y x0 , x 0

π+ ≠

==

÷

17) 2 2

xyf(x,y)=

x +y 18)

2

2 2

yf (x y)

x y, =

+

19) 2

2 2

yf (x y)

x y, =

+ 20)

( )( )

3

3

exp y / x 1f (x y)

arcsen y x

−, =

/

21) f(x,y,z) = (x2+y3) cos (x+z)

22) ( )2

2 2

xf x, y, z

y z=

+

E.2.3.3. Sea f una función real de variable real periódica tal que existe ( )xlim f x

→ ∞ y es finito. Probar que f es constante.

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2.4. Continuidad

2.4.1. Continuidad en un punto

2.4.1.1. Concepto

Sea : n mf A ⊂ →¡ ¡ y ´a A A∈ ∩ . Se dice que f es continua en a si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia a y coincide con f(a), es decir,

lim ( ) ( )x a

f x f a→

= .

En otros términos, cuando para todo 0ε > existe 0δ > tal que si x A∈ y x a δ− < (es decir, ( , )x B a Aδ∈ ∩ ), entonces ( ) ( )f x f a ε− < (es decir, ( ) ( ( ), )f x B f a ε∈ ) .

2.4.1.2. Propiedades

• La función 1( ,..., )mf f f= es continua en a sii cada una de sus componentes,

1, ..., mf f es continua en a .• La suma de funciones continuas en un punto es continua en ese punto.• El producto de funciones continuas en un punto es continua en ese punto.• Si una función continua en un punto no se anula en él, entonces tampoco se anula en

un cierto entorno de ese punto.• El cociente de dos funciones continuas en un punto (siendo el denominador una

función de valores reales) es continua, siempre que la función del denominador no se anule en él.

• La norma de una función continua en un punto es también continua en ese punto.• La composición de dos funciones continuas en puntos correspondientes es también

continua.

2.4.2. Continuidad en un conjunto

2.4.2.1. Concepto

Se dice que :f A B→ es continua en A cuando es continua en cada punto de A.

2.4.2.2. Caracterización topológica de las funciones continuas

• La imagen inversa de un abierto mediante una función continua es otro abierto. (No así, en general, la imagen directa).

• La imagen inversa de un cerrado mediante una función continua es otro cerrado. (No así, en general, la imagen directa).

• De hecho, una función es continua en un conjunto sii la imagen inversa de cualquier abierto es abierta, lo cual equivale a que la imagen inversa de cualquier cerrado sea cerrada.

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2.4.2.3. Funciones reales continuas sobre intervalos

Teorema de Bolzano.- Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(a)f(b)<0, entonces existe algún punto c en el intervalo (a,b) tal que f(c)=0.

Propiedad de Darboux.- Si f es continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Localización de raíces de una ecuación (método de bipartición).- Para localizar y aproximar raíces de la ecuación f(x)=0, podemos utilizar el siguiente procedimiento:

(1) Dando valores a la función, elegimos 1x y 2x de modo que 1 2( ) ( ) 0f x f x < . Según el Teorema de Bolzano, debe existir un punto c entre 1x y 2x tal que f(c)=0, con lo cual tenemos localizada una raíz en un intervalo 1I de extremos 1x y 2x , con un error de 1 21 x xε −= .

(2) Llamamos 3x al punto intermedio entre 1x y 2x . Si 3( ) 0f x = , ya tenemos una raíz exacta de la ecuación. En caso contrario, elegimos el subintervalo de 1I en cuyos extremos la función tome distinto signo, al que denotaremos 2I , y podemos garantizar que en 2I hay una raíz de la ecuación, aproximada con un error de

2 1

12

ε ε= .

(3) Si continuamos el proceso, dividiendo 2I en dos subintervalos iguales y reiterando la operación, o bien encontramos una raíz exacta de la ecuación, o bien vamos

aproximándola con un error de 11

12n nε ε−= en el paso n.

Transformación de intervalos mediante funciones continuas.- La imagen de un intervalo mediante una función continua es otro intervalo. El intervalo imagen no es necesariamente del mismo tipo que el original, salvo en el caso de intervalos compactos.

Propiedades de las funciones reales continuas y monótonas

(1) Supongamos que f es continua en un intervalo I. Entonces, f es inyectiva sii es estrictamente monótona en I.

(2) Supongamos que f es monótona en un intervalo I. Entonces, f es continua sii su imagen, f(I), es un intervalo.

(3) Si f es continua y estrictamente monótona en el intervalo I, entonces f es una biyección de I en otro intervalo ( )J f I= , y su inversa 1f − es continua y estrictamente monótona.

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2.4.2.4. Funciones continuas sobre conjuntos compactos

Las funciones continuas entre espacios euclídeos tienen propiedades adicionales cuando operan sobre conjuntos compactos:

• La imagen de un compacto por una función continua es otro conjunto compacto.• Toda función continua en un compacto está acotada.

• Teorema de Weierstrass.- Toda función real continua en un compacto alcanza su máximo y su mínimo.

• Propiedad de los valores intermedios.- Toda función real continua en un compacto alcanza cada uno de los valores comprendidos entre su mínimo y su máximo.

2.4.3. Continuidad uniforme

2.4.3.1. Concepto

Se dice que :f A B→ es uniformemente continua en A cuando para todo 0ε > existe 0δ > tal que si ,x y A∈ y x y δ− < , entonces ( ) ( )f x f y ε− < .

Como podemos observar, la continuidad uniforme implica continuidad en todos los puntos, con el requisito adicional de que la condición de continuidad no está referida a cada punto en particular.

2.4.3.2. Teorema de HeineToda función continua en un compacto es uniformemente continua.

2.4.3.3. Funciones lipschitzianas y contractivas

Como una clase destacada de funciones uniformemente continuas, tenemos las funciones lipschitzianas. Una función :f A B→ se llama lipschitziana en A cuando existe una constante K (llamada constante de Lipschitz para f) que verifica ( ) ( )f x f y K x y− ≤ − para cualesquiera ,x y A∈ .

Si f es una función lipschitziana para la cual se puede elegir una constante de Lipschitz menor que 1, se dice que f es contractiva.

Las funciones contractivas tienen curiosas propiedades. Entre ellas, cabe destacar la de que toda función contractiva de la bola cerrada unidad en sí misma tiene un único punto fijo.

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2.4.Ejercicios

E.2.4.1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1) ( ) xf x

x= 6) [ ]( )2f (x y) y x y x y, = + − +

2) ( ) [ ]f x x x= − 7) ( )f (x y) arc tg xy, =

3) ( ) ( )( )

2

2

ln x 3x 2f x

ln x 7x 12

− +=

− + 8) ( ) ( ) ( )f (x y, z) ln x ln y ln z, = − +

4) ( ) 1, si x es racionalf x

0,si x es irracional=

9) 2

2 2

xf (x y)

x y 1, =

+ −

5) ( )( )2

sen x , 0 x

f x x , 1 x 0

2x 1, x 1

= − < <

− − ≤ −

10) ( )2

2

x , y xf x, y

0 y x

==

E.2.4.2. Supongamos que f: →¡ ¡ es aditiva, es decir, f(x+y)=f(x)+f(y) para cualesquiera x,y∈ ¡ , y continua en 0. (i) Probar que f es continua en todo ¡ .(ii) Probar que existe una constante real, c, tal que f(x)=cx para todo x.

E.2.4.3. Un montañero inicia lentamente su excursión a las 4 a.m. hacia la cima de una montaña, llegando de vuelta a mediodía. Al día siguiente regresa a lo largo de la misma ruta, empezando a las 5 a.m. y está de vuelta a las 11 a.m. Probar que en algún punto a lo largo de su ruta el reloj mostraba la misma hora los dos días.

E.2.4.4. Probar que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en el intervalo correspondiente:

a) x4 – 2 x1/3 = 1, en [-1, 1]b) x1/3 = x2 + 2x – 1 , en [0,1]c) cos x – sen x = x , en [0, π/2] .

E.2.4.5. Aproximar las soluciones reales de las ecuaciones siguientes con un error menor de 1/16:

a) x3 – x2 – 1 = 0 b) x3 + 2 x2 + x – 5= 0.

E.2.4.6. (a) Sea f una función continua en ¡ tal que lim ( )x

f x→ + ∞

= + ∞ y

lim ( )x

f x→ − ∞

= − ∞ (o viceversa). Probar que f toma todos los valores reales.(b) Deducir que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

E.2.4.7. Estudiar la continuidad uniforme de las siguientes funciones:

a) f(x)=x2 b) f(x)=1/x c) f(x)=sin x .

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E.2.4.8. Probar que si f es una función continua en c y f(c)>0, entonces f(x)>0 en todo un intervalo abierto que contiene a c.

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Capítulo 3Cálculo Diferencial

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3.1. Conceptos básicos del Cálculo Diferencialpara funciones de variable y valor real

3.1.1. Derivada

Sea :f A ⊂ →¡ ¡ y ia A∈ . Se dice que f es derivable en a cuando existe y es finito el límite

( ) ( )limx a

f x f ax a→

−−

.

En tal caso, al número definido por ese límite es único, se le denota por f´(a), y se le llama derivada de f en a.

La derivada de f en a se expresa también mediante el límite del cociente incremental

0

( ) ( )limh

f x h f xh→

+ −.

Se dice que f es derivable en A si es derivable en todos los puntos de A. En este caso, se tiene una nueva función, :́f A ⊂ →¡ ¡ , llamada función derivada. Si, además, ´f es continua en A, se dice que f es de clase 1C en A, y se denota 1( )f C A∈ .

3.1.2. Diferencial

Sea :f A ⊂ →¡ ¡ y ia A∈ . Se dice que f es diferenciable en a cuando existe una aplicación lineal :L →¡ ¡ que verifica la siguiente condición de límite:

( ) ( ) ( )lim 0x a

f x f a L x ax a→

− − −=

−.

En tal caso, la aplicación lineal L es única y se llama diferencial de f en a.

Se dice que f es diferenciable en A si es diferenciable en todos los puntos de A.

3.1.3. Pendiente y recta tangente

Sea :f A ⊂ →¡ ¡ y ia A∈ . Se dice que f admite recta tangente en a cuando existe una recta del tipo ( )y r x mx n= = + (no vertical) que satisface la condición de tangencia:

lim( ) ( )

0x a

f x r xx a→

−=

−.

En tal caso, al coeficiente m de la recta tangente se le llama pendiente de f en a.

Teniendo en cuenta que las aplicaciones lineales de ¡ en ¡ son todas de la forma ( )L x xλ= , para algún valor de λ ∈ ¡ , y haciendo unos sencillos cálculos con los límites,

obtenemos que las siguientes condiciones para la función f en el punto a son equivalentes:(i) f es derivable en a, con derivada f´(a)(ii) f es diferenciable en a, con diferencial L(x)=f´(a)x.(iii) f admite recta tangente en a, con ecuación r(x)=f´(a)x+[f(a)-f´(a)a].

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3.1.4. Propiedades algebraicas de la derivada

• La suma de funciones derivables en un punto es derivable en ese punto, siendo( ) (́ ) (́ ) (́ )f g a f a g a+ = + .

• El producto de funciones derivables en un punto es derivable en ese punto, siendo( ) (́ ) (́ ) ( ) ( ) (́ )f g a f a g a f a g a× = + .

• Toda función constante es derivable, con derivada nula en todos los puntos.• El cociente de dos funciones derivables en un punto es derivable, siempre que la

función del denominador no se anule en él, y( ) 2/ ( ) (́ ) ( ) ( ) (́ ) ( )( )´ /f g a f a g a f a g a g a−= .

3.1.5. Propiedades gráficas relacionadas con la derivada

Proposición 3.1.5.1.

Si f es derivable en el punto a, entonces es continua en a.

Proposición 3.1.5.2.

Si f es derivable en el punto a, entonces la función f* definida por ( ) ( )

* ( )f x f a

f xx a

−=

−se puede extender por continuidad al punto a mediante el valor * ( ) (́ )f a f a= .

Proposición 3.1.5.3.

Si f es derivable en el punto a y (́ ) 0f a > , entonces existe un entorno de a en el cual ( ) ( )f x f a> para x a> y ( ) ( )f x f a< para x a< .

Si f es derivable en el punto a y (́ ) 0f a < , entonces existe un entorno de a en el cual ( ) ( )f x f a< para x a> y ( ) ( )f x f a> para x a< .

Si f es derivable en el punto a y (́ ) 0f a = , no podemos deducir nada sobre el comportamiento de f en un entorno de a.

Proposición 3.1.5.4.

Si f es derivable en el punto a y tiene un mínimo o un máximo local en a, entonces(́ ) 0f a = .

Proposición 3.1.5.5. (Teorema de Rolle)

Si f es derivable en un intervalo abierto ( ),α β y continua en el compacto [ ],α β y verifica ( ) ( )f fα β= , entonces existe algún punto ( ),a α β∈ en el cual (́ ) 0f a = .

Proposición 3.1.5.6. (Teorema del valor medio)

Si f es derivable en un intervalo abierto ( ),α β y continua en el compacto [ ],α β , existe algún punto ( ),a α β∈ para el cual ( ) ( ) ( ) (́ )f f f aβ α β α− = − .

Page 33: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Proposición 3.1.5.7.

Sea f derivable en el intervalo abierto ( ),α β y continua en el compacto [ ],α β .

(i) Si (́ ) 0f x > para todo ( ),x α β∈ , entonces f es estrictamente creciente en [ ],α β .(ii) Si (́ ) 0f x < para todo ( ),x α β∈ , entonces f es estrictamente decreciente en [ ],α β .(iii) Si (́ ) 0f x = para todo ( ),x α β∈ ,

entonces f es constante en [ ],α β .

3.1.6. La Regla de L´Hôpital

(i) Sean , :f g A ⊂ →¡ ¡ dos funciones derivables en el abierto A y a A∈ . Si

lim ( ) lim ( ) 0x a x a

f x g x→ →

= = ó lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x→ →

= = ∞ y existe (́ )

lim(́ )x a

f xg x→

, entonces existe

( ) (́ )lim lim

( ) (́ )x ax a

f x f xg x g x→→

= .

(ii) Sean , :f g A ⊂ →¡ ¡ dos funciones derivables en un abierto no acotado A. Si

lim ( ) lim ( ) 0x x

f x g x→ ∞ → ∞

= = ó lim ( ) lim ( )x x

f x g x→ ∞ → ∞

= = ∞ y existe (́ )

lim(́ )x

f xg x→ ∞

, entonces existe

( ) (́ )lim lim

( ) (́ )xx

f x f xg x g x→ ∞→ ∞

= .

Page 34: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.1. Ejercicios

E.3.1.1. Hallar en la forma más simplificada posible las derivadas de las siguientes funciones:

a) xx tgxtg31)x(f 3 +−= b)

a xf (x) arctg

1 ax+

=−

c) senx cos xf (x) ln

senx cos x+

=−

d) senxx

x)x(f2

2

+= .

e) f(x) = (x2 + ln x)5x

E.3.1.2. Para 2

2

cos( 1)( )

1 ( / 3)t

g tt

−=

−, obtener

1g '2

÷

.

E.3.1.3. Si f(5)=1, f’(5)=6, g(5)=-3, y g’(5)=2, calcular )5()'gf( ⋅ y )5(gf

g′

.

E.3.1.4. Dada la elipse 36y9x4 22 =+ ,encontrar la ecuación de las rectas tangente

y normal en el punto ( )3 / 2, 2 / 2 .

E.3.1.5. Determinar las rectas tangente y normal en el punto x=1 para la figura dada por 2xyyx 22 =+ .

E.3.1.6. Determinar los parámetros a y b para los cuales será continua y derivable en x0 la función

( )2

0

0

x , x xf x

ax b , x x

≤=

+ >

E.3.1.7. Determinar los valores del parámetro a para los cuales es la función

( )ax sen(1/ x) , x 0

f x0 , x 0

≠=

=

a) continua en 0,b) derivable en 0,c) derivable con derivada continua en 0.

E.3.1.8. En un estudio medioambiental de cierta comunidad se deduce que, dentro de t años, el nivel medio del monóxido de carbono será de Q(t)=0,05t 2+0,1t+3,4 partes por millón. ¿Cuánto cambiará el nivel en los próximos seis meses?

E.3.1.9. Se arroja una piedra en un charco y origina una onda circular cuyo radio crece a una tasa constante de 0,5 m/s. Hallar la velocidad de crecimiento del área de la onda cuando el radio es de 2 m.

E.3.1.10. Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x. La velocidad y la posición están ligadas por la ecuación m(v2-v0

2)=k(x02-x2), donde k, v0 y x0 son

constantes positivas. Probar que la fuerza F que actúa sobre la partícula es igual a F=-kx.

Page 35: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

E.3.1.11. Probar que si 0a > , la ecuación 3 1 0x ax+ − = tiene exactamente una solución real.

E.3.1.12. Probar que si ( ): ,f a b → ¡ es una función derivable, con derivada acotada, entonces es uniformemente continua.

E.3.1.13. Probar que la ecuación 1x xe = + tiene exactamente una solución real.

E.3.1.14. Probar que un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales.

E.3.1.15. Localizar en intervalos disjuntos de longitud uno las raíces del polinomio 4 3 2( ) 4 20 31 4P x x x x= − + − .

E.3.1.16. A las cuatro de la tarde un coche pasa a una velocidad de 70 km/h por el punto kilométrico 400 de la autopista A-7. Diez minutos después pasa, circulando a una velocidad de 80 km/h, por el punto kilométrico 425 de la misma autopista. Le para la policía y le pone una multa por exceso de velocidad. ¿Tenía razón la policía?

E.3.1.17. Estudiar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( ) xf x xe= .

E.3.1.18. Demostrar las desigualdades

(i) sin x x≤ , si 0x ≥

(ii) ln(1 )x x+ ≤ , si 0x ≥ .

Page 36: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.2. Conceptos básicos del Cálculo Diferencial para funciones de variable vectorial

3.2.1. Derivadas parciales

Sea : n mf A ⊂ →¡ ¡ y ia A∈ . Se dice que f es derivable respecto de xi en el punto a (i=1,...,n) si existe y es finito el límite

1 1

0

( , ..., , ..., ) ( ,..., , ..., )lim mi n i n

h

f a a h a f a a ah→

+ −∈ ¡ .

En tal caso, dicho límite se llama derivada parcial de f respecto de xi en el punto a, y se

denota ( )i

fa

x∂∂

.

Se dice que f es derivable en el punto a cuando es derivable respecto de xi en el punto a para todo i=1,...,n.

Se dice que f es derivable en A cuando es derivable en el punto a para todo a A∈ . En

este caso, se generan n funciones, : n m

i

fA

x∂

⊂ →∂

¡ ¡ , i=1,...,n, llamadas las derivadas

parciales de f.

Se dice que f es derivable con continuidad o de clase C1 en A, y se denota 1 ( )f C A∈ ,

cuando es derivable en A y las n funciones : n m

i

fA

x∂

⊂ →∂

¡ ¡ , i=1,...,n, son continuas.

Observemos que, debido a la definición de derivada parcial como un límite (de una variable real y de valores reales o vectoriales), si m>1 y 1( ,..., )mf f f= , se tiene que f es derivable (respecto de cada una de sus variables) sii lo es cada una de sus componentes.

Por otra parte, las derivadas parciales son, en realidad, derivadas de funciones de una variable, por lo cual mantienen las reglas habituales de derivación de las funciones de una variable.

3.2.2. Gradiente y matriz jacobiana

Si : nf A ⊂ →¡ ¡ , ia A∈ y f es derivable en a, se llama gradiente de f en a al vector

1

( ) ( ),..., ( ) m

n

f ff a a a

x x∂ ∂

∇ = ∈∂ ∂

÷

¡ .

Si : n mf A ⊂ →¡ ¡ , 1( ,..., )mf f f= , ia A∈ y f es derivable en a, se llama matriz jacobiana, o simplemente jacobiano de f en a a la matriz

Page 37: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

1 1

1

1

( ) ( )

( )

( ) ( )

n

m m

n

f fa a

x x

Jf af f

a ax x

∂ ∂∂ ∂

=

∂ ∂∂ ∂

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

K

M O M

L

.

3.2.3. Diferencial

Sea : n mf A ⊂ →¡ ¡ y ia A∈ . Se dice que f es diferenciable en el punto a si existe una aplicación lineal, : n mL →¡ ¡ , verificando

0

( ) ( ) ( )lim 0h

f a h f a L hh→

+ − −= .

En tal caso, la aplicación lineal L es única, se denota L=Df(a) y se llama diferencial de f en a.

• Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a. (El recíproco no es cierto, es decir, que existen funciones continuas que no son diferenciables.)

• Si f es diferenciable en a, entonces es también derivable en a, y la matriz asociada a la aplicación lineal Df(a) es la matriz jacobiana de f en a, es decir,

( ) : n mDf a →¡ ¡ , ( )( ) ( )Df a x Jf a x= × .(El recíproco no es cierto, es decir, que existen funciones derivables que no son diferenciables, ni siquiera continuas.)

• Si 1 ( )f C A∈ , entonces es diferenciable en A.

3.2.4. Plano tangente

Si 2:f A ⊂ →¡ ¡ es diferenciable en el punto 0 0( , )a x y= , y consideramos una representación gráfica tridimensional de f en un entorno de a mediante la superficie ( , )z f x y=, el plano tangente a dicha superficie en 0 0 0( , , )P x y z= , con 0 0 0( , )z f x y= , tiene por ecuación

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )f f

z z x y x x x y y yx y

∂ ∂= + − + −

∂ ∂.

3.2.5. Derivadas direccionales

Sea : n mf A ⊂ →¡ ¡ , ia A∈ y nu ∈ ¡ , con 1u = . Se dice que f es derivable respecto de la dirección u en el punto a si existe y es finito el límite

0

( ) ( )lim m

h

f a hu f ah→

+ −∈ ¡ .

En tal caso, dicho límite se llama derivada direccional de f respecto de la dirección u en el

punto a, y se denota ( )f

au

∂∂

.

Page 38: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Si f es diferenciable en a, entonces tiene derivada direccional respecto de cualquier dirección en a, y se verifica

( ) ( )f

a Jf a uu

∂= ×

∂.

En este caso, la dirección en la que se alcanza el valor máximo de las derivadas direccionales es la del gradiente de f en a.

Page 39: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.1.1. Ejercicios

E.3.2.1. Estudiar la continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de la siguiente función en el origen:

2 2

1xysen si (x,y) (0,0)f x y x y

0 si (x,y) (0,0)( , )

≠ ÷= +

=

E.3.2.2. Estudiar la continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de la siguiente función en el origen:

2 2

2 2

x yy si (x,y) (0,0)

f x y x y0 si (x,y) (0,0)

( , )−

≠= +

=

E.3.2.3. Estudiar la continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de la siguiente función en el origen:

2 2

x ysi (x,y) (0,0)

x y x y

0 si (x,y) (0,0)

f ( , )≠

= +

=

E.3.2.4. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:a) 2f (x, y) x y cos x= + b) 2f (x, y,z) x z zcos y= −

c) 2 yf (x, y) x e−= d) 2f (x, y) x 3y= −

e) 2 2f (u,v,w) ln(u vw w )= + − .

E.3.2.5. Un potencial electrostático en un punto (x,y) del plano debido a una carga

puntual unitaria en el origen está dado por 2 2

1u(x, y)x y

=+

. Determinar la razón de

cambio de u en la dirección del eje OX y en la dirección del eje OY en el punto (3,4).

E.3.2.6. La presión ejercida por un gas ideal encerrado está dada por TP kV

= , donde k es

una constante, T es la temperatura y V el volumen.a) Determinar la razón de cambio de P con respecto a V.b) Determinar la razón de cambio de V con respecto a T.c) Determinar la razón de cambio de T con respecto de P.

E.3.2.7. Demostrar que la función 2 2x yu(x, y)

x y=

+ satisface

u ux (x, y) y (x, y) 3u(x, y)x y

∂ ∂+ =∂ ∂ .

E.3.2.8. Calcular la matriz jacobiana en un punto arbitrario para las funcionesa) 2 2f (x, y) (senx,xy,x y )= +b) 2f (x) (x ,2x,senx)= .

Page 40: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

E.3.2.9. Calcular la derivada direccional de 2 xf (x, y) x y e= + en (0,0) según la dirección del vector v (1,1)= .

E.3.2.10. Probar que si f es una función derivable y ( ) 0f x∇ ≠ , entonces ( )f x∇ apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido.

E.3.2.11. ¿En qué dirección desde (0,1) crece más rápido f(x,y) = x2 - y2 ?

E.3.2.12. Determinar la dirección respecto de la cual la derivada direccional de la función 2 2 2f (x, y,z) xy yz z x= + + en el punto (1, 2,-1) tiene un valor máximo.

E.3.2.13. Calcular el plano tangente a 2f x y x 2xy( , ) = + en el punto (1,1).

E.3.2.14. Dada la superficie 2xye xz −= , (i) hallar la ecuación de su plano tangente en el punto P(2,1,2)

(ii) usar el plano tangente para obtener una aproximación del valor de la función en el punto Q(1.9, 1.02).

Page 41: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.3. Regla de la Cadena

3.3.4. Caso de una variable

Si :f A ⊂ →¡ ¡ es derivable en a y : ( )g f A ⊂ →¡ ¡ es derivable en f(a), entonces g fo es derivable en a, y se verifica la fórmula de derivación

( )( )( )´ ´ (́ )g f g f af a=o .

3.3.5. Caso general

Si : n mf A ⊂ →¡ ¡ es diferenciable en a y : ( ) m pg f A ⊂ →¡ ¡ es diferenciable en f(a), entonces g fo es diferenciable en a, y se verifica

( ) ( ) ( )( ) ( )D g f a Dg f a Df a=o o

( ) ( ) ( )( ) ( )g f a Jg f a f aJ J= ×o .

Desarrollando la anterior igualdad matricial, obtenemos las fórmulas correspondientes a las derivadas parciales de la función compuesta: Si 1( , ..., )mf f f= , 1( ,..., )pg g g= y

1( ,..., )mh g f h h= =o ,

( )( )1

( ) ( )m

i i k

kj k j

h g fa f a a

x y x=

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂∑ , 1, ...,i p= , 1,..., .j n=

Page 42: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.2. Ejercicios

E.3.3.1. Probar que la función f(x,y) = x1/3 y1/3 es derivable en el origen, a pesar de que la función g(x)= f(x,x) no es derivable en x=0. Interpretar el resultado.

E.3.3.2. Hallar la matriz jacobiana de la función compuesta g fo en el punto (2,1), siendo 2g x y x xy( , ) = + y f (s, t) (s t,s·arctg(t))= + .

E.3.3.3. Dada y sen u( )= siendo 2u v= , v ln(sen(x))= hallar xy′ .

E.3.3.3. Comprobar la Regla de la Cadena para las funciones ( )2( ) , , sintf t t e t t−= , lnt x y= + .

E.3.3.4. Comprobar la Regla de la Cadena para las funciones ( ) 22, ,f u v w u v w= + − , ( ) 2,u x y x y= , ( ) 2,v x y y= , ( ), xyw x y e−= .

E.3.3.5. Sea { }2: 0f − →¡ ¡ una función derivable. Si hacemos un cambio a coordenadas polares, cosx ρ θ= , siny ρ θ= ,

dar las derivadas parciales fρ

∂∂

, fθ

∂∂

en función de fx

∂∂

, fy

∂∂

probar que 2

2 22 21f f f fx y ρ ρ θ

∂ ∂ ∂ ∂+

∂ ∂ ∂ ∂ + = ÷ ÷ ÷ ÷

.

E.3.3.6. Sean , :f g →¡ ¡ dos funciones derivables. Definimos 2:F →¡ ¡ por ( ) ( )( ),F x y f x g y= + . Hallar las derivadas parciales de F en función de las

derivadas de f y g.

E.3.3.7.Sean ( )sin /u z y x= , 23 2x r s= + , 24 2y r s= − , 2 22 3z r s= − . Hallar ur

∂∂

y us

∂∂

.

E.3.3.8. Al calentar un cilindro circular recto sólido, su radio, r, y su altura, h, aumentan. Sabemos que en el instante en el que r=10 cm y h=100 cm, r está creciendo a razón de 0,2 cm/h y h a razónb de 0,5 cm/h. ¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la superficie del cilindro en ese instante?

E.3.3.9. La parte de un árbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un sólido con forma aproximada de cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto árbol crece media pulgada al año y la altura aumenta 8 pulgadas al año, ¿con qué velocidad aumenta el volumen cuando el radio es de 20 pulgadas y la altura de 400 pulgadas?

Page 43: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.3. Derivadas de orden superior

3.3.1. Derivadas sucesivas

Sea : n mf A ⊂ →¡ ¡ una función derivable en A, con A abierto, y sean

: n m

i

fA

x∂

⊂ →∂

¡ ¡ , i=1,...,n, sus n derivadas parciales.

Se llama derivada parcial de orden 2 respecto de xi y xj de la función f en el punto a a la

derivada parcial respecto de xj de la función i

fx

∂∂

en el punto a, si existe. En tal caso, se denota

( )2

( )i j j i

f fa a

x x x x∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

÷

. Cuando i=j, denotamos ( )2

2 ( )i i i

f fa a

x x x∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂

÷

.

Se dice que f es dos veces derivable en a (resp., en A) cuando f es derivable en A y todas sus derivadas parciales son derivables en a (resp., en A), es decir, existen las n2 derivadas

parciales de orden 2 en a, 2

( )i j

fa

x x∂

∂ ∂, i,j=1,...,n.

Se dice que f es k+1 veces derivable en a (resp., en A) cuando f es k veces derivable en A

y todas las derivadas parciales de orden k, 1...

k

k

i i

fx x

∂∂ ∂

, son derivables en a (resp., en A), es decir,

existen las nk+1 derivadas parciales de orden k+1 en a, 1 1

1( )

...k

k

i i

fa

x x+

+∂∂ ∂

, i1,...,ik+1=1,...,n.

Se dice que f es de clase Ck en A, y se denota ( )kf C A∈ , para 1k ≥ , cuando f es k veces derivable en A y todas sus derivadas parciales hasta el orden k son continuas en A.

Se dice que f es de clase C ∞ en A, y se denota ( )f C A∞∈ , cuando ( )kf C A∈ para todo k ∈ ¥ , es decir, admite derivadas parciales de todos los órdenes y son continuas.

3.3.2. Las derivadas cruzadas

Si tenemos una función : n mf A ⊂ →¡ ¡ , ( )kf C A∈ , con k>1, se llaman derivadas

cruzadas a dos derivadas del tipo 1

( )...

k

k

i i

fa

x x∂

∂ ∂ y

1 ) )( (( )

...k

k

i i

fa

x xσ σ

∂∂ ∂ , donde σ es una

permutación de los índices i1,…,ik.

Page 44: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

En general, no podemos asegurar que dos derivadas cruzadas sean iguales (es decir, el orden de derivación puede alterar el resultado), salvo en determinadas condiciones.

Lema.- Sean A un abierto de 2¡ , a A∈ y 2:f A ⊂ →¡ ¡ . Supongamos que existen

fx

∂∂

, fy

∂∂

, 2 fx y

∂∂ ∂

en un entorno de a y que 2 fx y

∂∂ ∂

es continua en a. Entonces, existe 2

( )fy x

a∂∂ ∂

y

2 2

( ) ( )f fy x x y

a a∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= .

En particular, si 2 ( )f C A∈ , entonces 2 2f fy x x y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= en A.

Teorema de Schwarz de las derivadas cruzadasSean A un abierto de n¡ , a A∈ y : n mf A ⊂ →¡ ¡ , ( )kf C A∈ . Entonces,

1 1 ) )( (... ...k k

k k

i i i i

f fx xx xσ σ

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

=

para cualesquiera { }1, ..., 1,...,ki i n∈ y para cualquier permutación σ de los índices 1, ..., ki i .

3.3.3. Desarrollos de Taylor

Básicamente, los desarrollos de Taylor nos proporcionan aproximaciones locales de las funciones mediante polinomios obtenidos a partir de las derivadas, dándonos también una estimación del error cometido.

Notaciones de Landau

Una función ( )xϕ se dice que es una “o pequeña” de Landau de orden n cuando x

tiende hacia a, y se denota ( ) ( )nx o x aϕ = − ( )x a→ , si verifica ( )

lim 0( )nx a

xx aϕ

→=

−.

Una función ( )xϕ se dice que es una “O grande” de Landau de orden n cuando x

tiende hacia a, y se denota ( ) ( )nx O x aϕ = − ( )x a→ , si la expresión ( )

( )nx

x aϕ

− está acotada en

un entorno de a.

Operadores diferenciales

Si : nf A ⊂ →¡ ¡ es una función diferenciable en A, para cada a A∈ tenemos un operador lineal, ( ) : nDf a →¡ ¡ , definido, a partir de las derivadas parciales de f en a por

1

( )( ) ( )n

ii i

fDf a x a x

x=

∂=

∂∑ , ( )1, ..., nnx x x= ∈ ¡ .

En particular, para el caso 1n = , tenemos

Page 45: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

( )( ) (́ )Df a x f a x= , x ∈ ¡ .

Si : nf A ⊂ →¡ ¡ es una función dos veces diferenciable en A, para cada a A∈ tenemos un operador cuadrático, 2 ( ) : nD f a →¡ ¡ , definido, a partir de las derivadas parciales de orden dos de f en a por

22 (2)

, 1

( )( ) ( )n

i ji j i j

fD f a x a x x

x x=

∂=

∂ ∂∑ , ( )1, ..., nnx x x= ∈ ¡ .

En particular, para el caso 1n = , tenemos2 (2) 2( )( ) ´́ ( )D f a x f a x= , x ∈ ¡ .

En general, si : nf A ⊂ →¡ ¡ es una función k veces diferenciable en A, para cada a A∈ tenemos un operador, ( ) :k nD f a →¡ ¡ , definido, a partir de las derivadas parciales de orden k de f en a por

1

1 1

( )

,..., 1

( )( ) ( ) ...... k

k k

knk k

i ii i i i

fD f a x a x x

x x=

∂=

∂ ∂∑ , ( )1, ..., nnx x x= ∈ ¡ .

En particular, para el caso 1n = , tenemos( ) ( )( )( ) ( )k k k kD f a x f a x= , x ∈ ¡ .

Fórmula de Taylor en dimensión uno

Sean A un abierto de ¡ , a A∈ y :f A ⊂ →¡ ¡ , 1( )kf C A+∈ . Entonces, para cadax A∈ ,

2 ( )1 1 1

1! 2! !( ) ( ) (́ )( ) ´́ ( )( ) ... ( )( ) ( , )k k

kkf x f a f a x a f a x a f a x a R a x= + − + − + + − + .

La expresión 2 ( )1 1 1

1! 2! !, )( ) ( ) (́ )( ) ´́ ( )( ) ... ( )( )( k k

k kT f a x f a f a x a f a x a f a x a= + − + − + + −

se llama polinomio de Taylor de orden k de f en a .El término ( , )kR a x se llama resto de orden k del desarrollo de Taylor de f en a, se

puede expresar en la forma( 1)1

!( , ) ( )( )k k

k

x

a kR a x f t x t dt+= −∫ ,

o bien( 1) 11

( 1)!( , ) ( )( )k k

k kR a x f x aξ+ +

+= − ,

donde ξ es algún punto entre a y x, y siempre verifica( , ) ( )k

kR a x o x a= − .

Fórmula de Taylor en dimensión mayor que uno

Sean A un abierto de n¡ , a A∈ y : nf A ⊂ →¡ ¡ , 1( )kf C A+∈ . Entonces, para cadax A∈ ,

Page 46: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

2 21 1 1

1! 2! !( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ... ( )( ) ( , )k k

kkf x f a Df a x a D f a x a D f a x a R a x= + − + − + + − + .

La expresión 2 21 1 1

1! 2! !, )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ... ( )( )( k k

k kT f a x f a Df a x a D f a x a D f a x a= + − + − + + −

se llama polinomio de Taylor de orden k de f en a .El término ( , )kR a x se llama resto de orden k del desarrollo de Taylor de f en a, se

puede expresar en la forma1 11

( 1)!( , ) ( )( )k k

k kR a x D f x aξ+ +

+= − ,

donde ξ es algún punto en el segmento lineal que une a y x, y siempre verifica( , ) ( )k

kR a x o x a= − .

Page 47: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.4. Ejercicios

E.3.4.1. Calcular las derivadas parciales segundas de la función 2f x y sen x y( , ) ( )= .

E.3.4.2. Dada z f sen u, cos v)(= siendo yu arcygx

= ÷ , 22 yxv += . Hallar xyz ′′ .

E.3.4.3. Dada la función3

2 2( , )xy

f x yx y

=+

, si ( , ) (0,0)x y ≠ , (0,0) 0f = ,

i) Estudiar si f es derivable en el origen.ii) Estudiar si f es de clase 1C en su dominio.iii) Hallar las derivadas parciales de orden dos de f en el origen.

iv) Estudiar si f es de clase 2C .

E.3.4.4. Dada la función ( ) 1f x x= + ,(i) dar el desarrollo de Taylor de orden cuatro de f en a=0(ii) calcular un valor aproximado de 1,02 utilizando un polinomio de segundo

grado y dar una estimación del error cometido.

E.3.4.5. Obtener el polinomio de Taylor de orden tres de la función 2 1

( )( 1)x

f xx x

+=

+ en

un entorno de a=1.

E.3.4.6. Obtener un desarrollo de Taylor en el origen para las siguientes funciones:i) ( ) xf x e= ii)

23( ) xf x e= iii) 23 5( ) x xf x e −=

iv) ( ) ln(1 )f x x= + v) ( ) cosf x x= vi) ( ) ln(cos )f x x=

E.3.4.7. Probar mediante desarrollos de Taylor que los infinitésimos x , sin x y ln(1 )x+ son equivalentes.

E.3.4.8. Calcular mediante desarrollos de Taylor los siguientes límites:

i) 0

3

4

sin 3!lim

/x

x x xx→

− − ii) 0

sin 1limx

xx ex→

− +

E.3.4.9. Desarrollar 2 2 3f x y x y 3xy 2y( , ) = + + en potencias de x 1( )+ , y 1( )+ .

E.3.4.10. Desarrollar xf x y e seny( , ) = en (0,0) mediante el polinomio de Taylor de segundo orden. Aplicarlo para hallar 0.1e sen(0.49 )π .

Page 48: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

3.5. Teoremas de la función inversa y de la función implícita

3.5.4. Teorema de la función inversa para funciones de variable y valor real

Sea :f A ⊂ →¡ ¡ una función de clase C1 en el abierto A y sea a A∈ tal que (́ ) 0f a ≠ .

Sabemos que si (́ ) 0f a > , entonces (́ ) 0f x > en un entorno de a y, por tanto, f es estrictamente creciente en dicho entorno. Análogamente, si (́ ) 0f a < , entonces (́ ) 0f x < en un entorno de a y, por tanto, f es estrictamente decreciente en dicho entorno. En cualquiera de los dos casos, f va a ser inyectiva en un entorno U de a, de modo que

: ( )f U A V f U⊂ ⊂ → = ⊂¡ ¡ tendrá una inversa, 1 :f V U− → .En estas condiciones, 1f − es derivable en el punto ( )b f a= y su derivada viene dada por

( )1 1( )´ ( )

(́ )f f a

f a− = .

3.5.5. Teorema de la función inversa en el caso general

Sea : n nf A ⊂ →¡ ¡ una función de clase kC en el abierto A y sea a A∈ tal que det ( ) 0Jf a ≠ . Entonces, f es localmente inversible en a , es decir, existen , nU V ⊂ ¡ , abiertos, con na U A∈ ⊂ ⊂ ¡ , ( ) nf a V∈ ⊂ ¡ , tales que :f U V→ es biyectiva, con inversa

1 :f V U− → , 1 ( )kf C V− ∈ . Además,

( ) ( ) 11 ( ) ( )Jf f x Jf x −− = ,para todo x U∈ .

La ecuación matricial 1 ( ) ( )Jf y Jf x I− × = , para ( )y f x V= ∈ , nos proporciona n sistemas lineales con n ecuaciones y n incógnitas cada uno, todos ellos con determinante

det ( ) 0Jf x∆ = ≠ , y por tanto con solución única. Dichas soluciones nos dan las derivadas

parciales de las componentes de la función 1f − respecto de sus variables en función de las

derivadas parciales de las componentes de f en un entorno de ( )f a .

3.5.6. Teorema de la función implícita

Sean p qA +⊂ ¡ , abierto, 1 1( , ) ( ,... ..., ), ,p qa b a a b b A= ∈ y : qF A → ¡ , ( )kF C A∈ tal

que ( , ) 0F a b = y 1

1

( ,..., )det ( , ) 0

( ,..., )q

q

F Fa b

y y

∂≠

∂. Entonces, existe una única función : qf U → ¡ ,

donde U es un entorno de a en p¡ , tal que(i) ( )kf C U∈(ii) ( )f a b=(iii) ( ), ( ) 0F x f x = para todo x U∈ .

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3.5. Ejercicios

E.3.5.1. Determinar en qué puntos es inversible la función 2 6 5y x x= − + . Hallar la inversa en el punto correspondiente a x = 1 y comprobar que es derivable.

E.3.5.2. Determinar si son o no globalmente inversibles, y, en su caso, en qué puntos son localmente inversibles las funciones

(a) 2( )f x x= b) 2( ) sinf x x= c) 3( )f x x x= − .

E.3.5.3. Determinar si la función ( ) 2 cos sinxf x e x x x= + es inversible en un entorno del origen. En caso afirmativo, aproximar su inversa mediante un desarrollo de Taylor de orden 2.

E.3.5.4. Sea la función ( ) ( )3, ,f x y x x y= + . ¿Puede definirse una inversa en un entorno del origen? ¿Contradice eso el Teorema de la Función Inversa?

E.3.5.5. Comprobar que la función 2 3 2 5( , ) ( ,3 1)f x y x xy y xy x y= + − − + es localmente inversible en un entorno de (1,0) y dar una aproximación polinómica de orden 2 de su inversa.

E.3.5.6. Sea ( ) ( )x y x yf x y e e e e, = + , − . a) Probar que f es inversible localmente. b) Probar que f es inversible globalmente.c) Calcular explícitamente las matrices jacobianas de f y de 1f − en puntos

correspondientes y comprobar que una es inversa de la otra.

E.3.5.7. Sea ( ) ( cos sin )f x y x y x y, = , .a) Probar que f es localmente inversible en todos los puntos de su dominio. b) Probar que f no es inversible globalmente.c) Calcular explícitamente las matrices jacobianas de f y de 1f − en puntos

correspondientes y comprobar que una es inversa de la otra.

E.3.5.8. Comprobar que la expresión 2 sen ( ) sen ( ) 0y y z x z+ + + + = define en un entorno del origen a z como función implícita diferenciable de x e y . Expresar z en un entorno del origen mediante la fórmula de Taylor de orden 2.

E.3.5.9. Consideremos el sistema 2 2 2

2 2

0

2 0

u v x y z

u v u xyz

+ + − + =

+ + − =

.

a) Probar que define a u y v como funciones implícitas diferenciables de x , y , z en un entorno del punto 1 1

0 0 0 0 0 2 2( ) (0 0 0 )u v x y z, , , , = , , , , .

b) Si ( ) ( ( ) ( ))f x y z u x y z v x y z, , = , , , , , , hallar 1 12 2(0 )Jf , , .

Page 50: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

E.3.5.10. Dado el sistema 3 2 3 1xz y u+ = , 3 2 0xy u z+ = ,a) Probar que define a x e y como funciones implícitas diferenciables de z y u

en un entorno del punto 0 0 0 0( ) (0 1 0 1)x y z u, , , = , , , . b) Probar que la función ( ) ( ( ) ( ))F z u x z u y z u, = , , , admite inversa diferenciable en

un entorno de (0 1), .

E.3.5.11. Determinar el parámetro α para que el tercer término del desarrollo de

Taylor de ( )y f x= en un entorno de 0 sea 31

2 3!x

− , siendo f la función definida

implícitamente por la ecuación 3 8y xyα− = .

E.3.5.12. Determinar directamente dónde podemos resolver la ecuación 2 3 1 0y y x+ + + = poniendo y en función de x . Visualizar la situación.

Verificar la respuesta anterior mediante el Teorema de la Función Implícita y calcular la derivada de y respecto de x.

E.3.5.13. Consideremos las funciones 2( ) ( )x zf x y z e y ae y, , = + , + y 2( ) lng u v v u, = + , donde a es un parámetro real.

a) Calcular el valor de a para que la derivada direccional máxima de g fF = o en el origen valga 1.

b) Determinar para qué valores de a la ecuación 2( )F x y z a, , = define a z como función implícita de x e y en un entorno del origen.

c) Si ( )z x yϕ= , es la función implícita anterior (en los casos en que exista), calcular las derivadas parciales de ϕ en el origen.

E.3.5.14. Sea 2 3 3( )h x y x y xy x yα, = + + + + , siendo α un parámetro real. a) Determinar los valores de α para los cuales la ecuación ( ) 0h x y, = define a y

como función implícita de x en un entorno del origen. b) Idem invirtiendo x e y . c) Sea ( )y f x= la función implícita del apartado a). Calcular el valor de α para

que el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el origen valga 1 para 1x = .

d) Sea 2( ) ( 1 ( ) cos )x yF x y e x f x y x+, = + − , + . Probar que F admite inversa diferenciable en un entorno del origen.

e) Probar que 1G F F F −= +o es diferenciable en el origen y calcular ( )0,0DG .

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3.6. Extremos

3.6.1. Extremos relativos y extremos absolutos

Dada una función : nf A ⊂ →¡ ¡ diremos que un punto a A∈ es un - Máximo relativo de f si existe un entorno U de a tal que ( ) ( )f x f a≤ para todo

x U A∈ ∩ . - Mínimo relativo de f si existe un entorno U de a tal que ( ) ( )f x f a≥ para todo

x U A∈ ∩ . - Extremo relativo de f si es un máximo o un mínimo relativo de f.- Máximo relativo estricto de f si existe un entorno U de a tal que ( ) ( )f x f a< para

todo x U A∈ ∩ distinto de a.- Mínimo relativo estricto de f si existe un entorno U de a tal que ( ) ( )f x f a> para

todo x U A∈ ∩ distinto de a.- Extremo relativo estricto de f si es un máximo o un mínimo relativo estricto de f.- Máximo absoluto de f en A si ( ) ( )f x f a≤ para todo x A∈ .- Mínimo absoluto de f en A si ( ) ( )f x f a≥ para todo x A∈ .- Extremo absoluto de f en A si es un máximo o un mínimo absoluto de f en A.

Cuestiones generales para la localización de extremos:

• Los extremos absolutos son también extremos relativos.

• Para determinar los extremos relativos de una función derivable en el interior de su dominio, disponemos de algunas reglas prácticas a partir del cálculo de las derivadas.

• Una función continua en un compacto tiene siempre máximo y mínimo absolutos.

• Los extremos de una función se pueden encontrar –además de entre los puntos que anulen sus derivadas–, entre los puntos frontera de su dominio y entre los puntos donde la función no es derivable.

Por ejemplo, si [ ],A α β ⊂= ¡ y f es continua en [ ],α β , sabemos que f tiene

extremos absolutos en [ ],α β , por ser continua en un compacto, y éstos se encuentran

entre los relativos. Si, además, f es derivable en ( ),α β , entonces pueden ser extremos

relativos de f los puntos α ó β o algún punto ( ),a α β∈ en el cual (́ ) 0f a = .

3.6.2. Extremos relativos de funciones de una variable real

Sea :f A ⊂ →¡ ¡ una función de variable y valor real.

• Si a es un punto interior de A, f es derivable en a, y a es un extremo relativo de f, entonces (́ ) 0f a = .

• Si ( )k Af C∈ y ia A∈ es tal que( 1) ( )( ) ( ) ... ( ) 0 ( )´ ´́ k kf a f a f a f a−= = = = ≠ ,

Page 52: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

- a es máximo relativo de f si k es par y ( ) ( ) 0kf a <

- a es mínimo relativo de f si k es par y ( ) ( ) 0kf a >- a no es máximo ni mínimo relativo (es punto de inflexión) de f si k es impar.

3.6.3. Extremos relativos de funciones de variable vectorial

Dada una función diferenciable, : nf A ⊂ →¡ ¡ , diremos que un punto a A∈ es un punto crítico o un punto estacionario de f cuando ( ) 0f a∇ = , es decir, todas las derivadas parciales de f en el punto a se anulan.

Se llama punto de silla a un punto estacionario que no es extremo relativo.

3.6.3.1. Condición necesaria de extremo relativo

Si : nf A ⊂ →¡ ¡ , A es abierto, 1 ( )f C A∈ y a es un extremo relativo de f, entonces a es un punto estacionario de f.

3.6.3.2. Condiciones suficientes de extremo relativo

Si : nf A ⊂ →¡ ¡ , A es abierto, 2 ( )f C A∈ y a es un punto estacionario de f, entonces

(i) en el caso de que la forma cuadrática 2 ( )D f a sea definida positiva (i.e., 2 ( )( ) 0D f a h > para todo 0h ≠ ), a es un mínimo relativo estricto de f

(ii) en el caso de que la forma cuadrática 2 ( )D f a sea definida negativa (i.e., 2 ( )( ) 0D f a h < para todo 0h ≠ ), a es un máximo relativo estricto de f.

3.6.3.3. Cálculo práctico de extremos relativos

Supongamos que : nf A ⊂ →¡ ¡ , A es abierto y2 ( )f C A∈ .

(1) Los posibles extremos relativos de f se encuentran entre sus puntos estacionarios.

(2) Si en un punto estacionario a, la forma cuadrática 2 ( )D f a no mantiene signo constante, entonces a es un punto de silla.

(3) Si a es un punto estacionario de f, 2

1 ,

( ) ( )i j i j n

fHf a a

x x≤ ≤

∂=

∂ ∂

÷

es la matriz hessiana

de f en a y denotamos 2

1 ,

det ( )i j

k

i j k

fa

x x≤ ≤

∂∆ =

∂ ∂

÷

para 1,...,k n= ,

- cuando 0k∆ > para 1,...,k n= , a es un mínimo relativo estricto de f

Page 53: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

- cuando ( 1) 0kk− ∆ > para 1,...,k n= , a es un máximo relativo estricto de f.

Para 2n = , poniendo ( )Hf aα ββ γ

= ÷

y 2det ( )Hf a α γ β∆ = = − , los criterios (2) y (3)

anteriores se traducen de la siguiente forma:- cuando 0∆ > y 0α > , a es un mínimo relativo estricto de f

- cuando 0∆ > y 0α < , a es un máximo relativo estricto de f- cuando 0∆ < , a es un punto de silla de f.

3.6.4. Extremos condicionados para funciones de variable vectorial

Sean nA ⊂ ¡ , abierto, a A∈ , :f A → ¡ y : pg A → ¡ , p n< 1( )g C A∈ , con ( ) 0g a = y ( )( )rg Jg a p= . Diremos que el punto a es un- mínimo relativo de f condicionado a g cuando existe 0r > tal que ( ) ( )f a f x≤ para

todo ( , )x B a r∈ tal que ( ) 0g x = .- máximo relativo de f condicionado a g cuando existe 0r > tal que ( ) ( )f a f x≥ para

todo ( , )x B a r∈ tal que ( ) 0g x = .- extremo relativo de f condicionado a g cuando es un mínimo o un máximo relativo

de f condicionado a g.

Las ecuaciones del sistema ( ) 0g x = se llaman condiciones de ligadura, y normalmente se utilizan para describir partes de la frontera del dominio A.

Teorema de los multiplicadores de Lagrange

Supongamos que 1 ( )f C A∈ . Si a es un extremo relativo de f condicionado a g, entonces

existen 1, ..., pλ λ ∈ ¡ tales que la función 1 1 ... p pF f g gλ λ= + + + tiene un punto estacionario en a.

Es decir, los extremos relativos de f condicionados a g hay que buscarlos entre las soluciones del sistema (S):

( ) 0ig a = , 1, ...,i p=

( ) 0j

Fa

x

∂=

∂, 1, ...,j n= ,

sistema de n p+ ecuaciones con n p+ incógnitas, 1 1, ..., , , ...,n pa a λ λ .

Condiciones suficientes de extremos relativos condicionados

Supongamos que 2, ( )f g C A∈ y a A∈ , 1, ..., pλ λ ∈ ¡ es una solución completa del sistema (S).

i) Si 2 2( )( ) 0D F a x > para todo nx ∈ ¡ tal que 0x ≠ y ( )( ) 0Dg a x = , entonces a es un mínimo relativo de f condicionado a g.

ii) Si 2 2( )( ) 0D F a x < para todo nx ∈ ¡ tal que 0x ≠ y ( )( ) 0Dg a x = , entonces a es un máximo relativo de f condicionado a g.

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3.6. Ejercicios

E.3.6.1. Determinar los extremos relativos de las siguientes funciones y decidir cuándo son absolutos:

a) 4 4( ) ( 1) ( )f x y x x y, = − + − b) 2 2 4( )f x y y x y x, = + + c) 2 2( )f x y x y x y xy, = + + + + d) 2 2 2( ) 2f x y x y x y, = + + e) 2( ) x yf x y xye +, = f) 2 3( )f x y y x, = − g) ( ) sen( ) cos( )f x y x y x y, = + + −

h) 2 2( ) (1 )f x y xy x y, = − −

i) 2 22 ( 1)( ) ( ) x y zf x y z x z e + +, , = +

j) 2 2 2( )f x y z x y z xy x y z, , = + + + − + +

E.3.6.2. Hallar el rectángulo de área máxima inscrito en una elipse.

E.3.6.3. Hallar el paralelepípedo de mayor volumen inscrito en un elipsoide.

E.3.6.4. Hallar las distancias máxima y mínima del origen a la elipse 2 25 5 6 8x y xy+ + = .

E.3.6.5. Calcular los máximos y mínimos absolutos de 2 2 2( )f x y z x y z, , = + + cuando las variables están ligadas por las condiciones 2 2 2/ 4 / 5 / 25 1x y z+ + = y x y z+ = .

E.3.6.6. Obtener los valores máximo y mínimo de la función ( )f x y z x y z, , = + + sobre el elipsoide 2 2 22 3 1x y z+ + = .

E.3.6.7. Calcular las distancias máxima y mínima del origen a la elipse obtenida como intersección del cilindro 2 2 1x y+ = y el plano 1x y z+ + = .

E.3.6.8. Determinar los extremos relativos y absolutos de la función 2 2( ) 2 3 2f x y x y x, = − − sobre el disco cerrado unidad.

E.3.6.9. Hallar los valores máximo y mínimo de la función 2 2 2( ) 2 5f x y z x y z, , = + + sobre la bola 2 2 2 30x y z+ + ≤ .

E.3.6.10. Calcular los máximos y mínimos absolutos de 2 2( )f x y x y, = + en el conjunto

de puntos { ( ) 2 2 2x, y :x y 1/ 4∈ + ≤¡ }.

E.3.6.11. Sea 2 2 4( )f x y x y x, = + − .a) Hallar los extremos relativos de f en el plano, indicando cuáles de ellos son

absolutos.

Page 55: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

b) Hallar los valores máximo y mínimo de f en el disco cerrado de centro 0 y radio 4.

E.3.6.12. Sea 2 2 4( ) 3f x y x y y, = − + .a) Hallar los extremos relativos de f en el plano, indicando cuáles de ellos son

absolutos.b) Hallar los valores máximo y mínimo de f en la región del semiplano superior

encerrada entre la elipse 2 24 4yx + = y el eje de abscisas.

E.3.6.13. La temperatura de un punto del espacio viene dada por la función ( , , ) 100T x y z xy xz yz= − − − .

a) Hallar la temperatura más baja en el plano 10x y z+ + = .b) ¿Y la temperatura más alta en ese mismo plano?c) Hallar las temperaturas máxima y mínima en la parte del plano contenida en el primer octante.

E.3.6.14. Hallar los extremos absolutos de la función ( , ) 2 3f x y z x y z, = + − en la parte de la bola de centro 0 y radio 2 que está por encima del plano 1x y z+ + = .

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Capítulo 4Sucesiones y series

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4.1. Sucesiones de números reales

4.1.1. Definición, rango y operaciones algebraicas

Formalmente, una sucesión de números reales es una aplicación :s →¥ ¡ , que a cada número natural k le asocia un número real que denotaremos kx ó ( )kx . Dicha sucesión se

denotará ( )k kx ∈ ¥ ó ( )( )kkx ∈ ¥ o simplemente ( )k kx .

El rango de la sucesión ( )k kx ∈ ¥ es la imagen de s como aplicación, es decir, el conjunto de los valores que toma. Pero hay que tener en cuenta que en una sucesión cada elemento va ligado al lugar que ocupa, de modo que hay muchas sucesiones con el mismo rango.

Las sucesiones se pueden sumar entre sí o multiplicarse por escalares, realizando las correspondientes operaciones término a término en sus valores, de la manera natural:

Suma ( ) ( ) ( )k k k kk k kx y x y+ = +

Producto por escalares ( ) ( )k kk kx xλ λ= , λ ∈ ¡ .Con estas operaciones de suma y producto por escalares, el conjunto de todas las

sucesiones de números reales, que denotaremos ¥¡ , adquiere la estructura de espacio vectorial real.

También se pueden multiplicar dos sucesiones término a término, o dividir –si los términos del denominador no se anulan–:

Producto ( ) ( ) ( )k k k kk k kx y x y=×Cociente ( ) ( ) ( )/ /k k k kk k kx y x y= (siempre que 0,ky k≠ ∀ ).

4.1.2. Sucesiones monótonas

La sucesión ( )k kx es creciente cuando 1k kx x +≤ para todo k ∈ ¥ .La sucesión ( )k kx es decreciente cuando 1k kx x +≥ para todo k ∈ ¥ .La sucesión ( )k kx es monótona cuando es creciente o decreciente.La sucesión ( )k kx es estrictamente creciente cuando 1k kx x +< para todo k ∈ ¥ .La sucesión ( )k kx es estrictamente decreciente cuando 1k kx x +> para todo k ∈ ¥ .La sucesión ( )k kx es estrictamente monótona cuando es estrictamente creciente o

estrictamente decreciente.

4.1.3. Sucesiones acotadas

La sucesión ( )k kx es acotada superiormente cuando existe algún número M tal que

kx M≤ para todo k ∈ ¥ . En este caso, se dice que M es una cota superior de ( )k kx .La sucesión ( )k kx es acotada inferiormente cuando existe algún número M tal que

kx M≥ para todo k ∈ ¥ . En este caso, se dice que M es una cota inferior de ( )k kx .

Page 58: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

La sucesión ( )k kx es acotada cuando es acotada superior e inferiormente, o,

equivalentemente, cuando existe algún número M tal que kx M≤ para todo k ∈ ¥ . En este

caso, se dice que M es una cota de ( )k kx .

4.1.4. Sucesiones convergentes

4.1.4.1. Concepto de límite

Se dice que la sucesión ( )k kx es convergente cuando existe un número real x tal que para cada 0ε > se puede encontrar un índice (en principio, dependiente de ε ) a partir del cual todos los términos se encuentran en el intervalo ( , )x xε ε− + . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,ε∀ > 0k∃ ∈ ¥ / ,kx x ε− < 0k k∀ ≥ .En este caso, x se llama límite de la sucesión ( )k kx , y se denota kx x→ ó

lim kkx x

→ ∞= .

4.1.4.2. Propiedades de las sucesiones convergentes

• El límite de una sucesión convergente es único.

• Toda sucesión convergente es acotada.

• Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.

• La suma de dos sucesiones convergentes es otra sucesión convergente, y ademáslim( ) lim limk k k kk k k

x y x y→ ∞ → ∞ → ∞

+ = + .

• El producto de dos sucesiones convergentes es otra sucesión convergente, y ademáslim( ) lim limk k k kk k k

x y x y→ ∞ → ∞ → ∞

= × .

• El producto de un escalar por una sucesión convergente es otra sucesión convergente, y además

lim( ) limk kk kx xλ λ

→ ∞ → ∞= .

• El cociente de dos sucesiones convergentes es otra sucesión convergente, siempre que esté bien definida (i.e., los términos del denominador no se anulen) y el límite de la sucesión del denominador sea distinto de 0. En este caso,

limlim

limkk k

kk kk

xxy y

→ ∞

→ ∞→ ∞

= ÷

.

• Si ( )k kx es una sucesión convergente y f es una función continua, entonces la sucesión ( ( ))k kf x también es convergente, y además,

lim ( ) (lim )k kk kf x f x

→ ∞ → ∞= .

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4.1.5. Sucesiones de Cauchy

4.1.5.1. Concepto de sucesión de Cauchy

Se dice que la sucesión ( )k kx es de Cauchy cuando para cada 0ε > existe un índice (en principio, dependiente de ε ) a partir del cual todos los términos se encuentran entre sí a distancia menor que ε . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,ε∀ > 0k∃ ∈ ¥ / ,p qx x ε− < 0,p q k∀ ≥ .

4.1.5.2. Propiedades de las sucesiones de Cauchy

• Toda sucesión de Cauchy es acotada.

• Toda sucesión convergente es de Cauchy.

• La suma de dos sucesiones de Cauchy es otra sucesión de Cauchy.

• El producto de dos sucesiones de Cauchy es otra sucesión de Cauchy.

• El producto de un escalar por una sucesión de Cauchy es otra sucesión de Cauchy.

4.1.5.3. Completitud

• Toda sucesión de Cauchy de números reales es convergente.(Esta propiedad, equivalente a la propiedad del supremo, confiere a ¡ la condición de cuerpo completo.)

4.1.6. Sucesiones divergentes

4.1.6.1. Concepto de sucesión divergente

Se dice que la sucesión ( )k kx es divergente cuando para cada 0M > se puede encontrar un índice (en principio, dependiente de M ) a partir del cual todos los términos de la sucesión tienen valor absoluto mayor que M . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,M∀ > 0k∃ ∈ ¥ / kx M> 0k k∀ ≥ .

En este caso se denota kx → ∞ ó lim kkx

→ ∞= ∞ .

Se dice que la sucesión ( )k kx es divergente hacia + ∞ cuando para cada 0M > se puede encontrar un índice (en principio, dependiente de M ) a partir del cual todos los términos de la sucesión son mayores que M . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,M∀ > 0k∃ ∈ ¥ / kx M> 0k k∀ ≥ .

En este caso se denota kx → + ∞ ó lim kkx

→ ∞= + ∞ .

Page 60: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Se dice que la sucesión ( )k kx es divergente hacia − ∞ cuando para cada 0K < se puede encontrar un índice (en principio, dependiente de K ) a partir del cual todos los términos de la sucesión son menores que K . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,K∀ < 0k∃ ∈ ¥ / kx K< 0k k∀ ≥ .

En este caso se denota kx → − ∞ ó lim kkx

→ ∞= − ∞ .

4.1.6.2. Propiedades de las sucesiones divergentes

• Una sucesión ( )k kx es divergente cuando la sucesión ( )k kx de sus valores absolutos

es divergente hacia + ∞ , aunque ella misma no sea divergente hacia + ∞ ni divergente hacia − ∞ (por ejemplo, puede ser oscilante).

• La suma de dos sucesiones divergentes hacia + ∞ (resp. − ∞ ) también es divergente hacia + ∞ (resp. − ∞ ), pero la suma de dos sucesiones divergentes, en general, no es necesariamente otra sucesión divergente.

• El producto de dos sucesiones divergentes es otra sucesión divergente.

• Una sucesión divergente no puede ser acotada.

• Una sucesión creciente (resp. decreciente) y no acotada superiormente (resp. inferiormente) es divergente hacia + ∞ (resp. − ∞ ).

Page 61: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

LÍMITES DE SUCESIONES VERSUS LÍMITES DE FUNCIONES

Una sucesión ( )k kx puede ser considerada como el conjunto de valores que toma una función f en los números naturales, i.e., ( )kx f k= , k ∈ ¥ . Desde este punto de vista, si existe lim ( )y

f y x→ ∞

= , entonces existe lim kkx x

→ ∞= .

Por otra parte, si kx x→ , con x ∈ ¡ y kx x≠ , ó x = ± ∞ , y tenemos una función g tal que lim ( )y x

g y b→

= , con b ∈ ¡ ó b = ± ∞ , entonces lim ( )k kg x b

→ ∞= .

En particular, una función g es continua en un punto a de su dominio sii lim ( ) ( )k kg x g a

→ ∞=

para toda sucesión ( )k kx de puntos de su dominio tal que kx a→ .

INFINITÉSIMOS E INFINITOS

Se dice que una sucesión ( )k kx de números reales es un infinitésimo cuando lim 0kkx

→ ∞= .

Dados dos infinitésimos, ( )k kx e ( )k ky ,

- se dice que ( )k kx e ( )k ky son equivalentes, y se denota k kx y≈ , cuando

lim 1k

kk

xy→ ∞

=

- se dice que ( )k kx e ( )k ky son del mismo orden, y se denota k kx y: , cuando

lim k

kk

xy

λ→ ∞

= , con λ ∈ ¡ y 0λ ≠

- se dice que ( )k kx es de orden mayor que ( )k ky , y se denota k kx y= , cuando

lim 0k

kk

xy→ ∞

= .

Algunos de los infinitésimos equivalentes más usados son:- sin tg k k kx x x≈ ≈ , ( 0)kx →

- 2

1 cos2

kk

xx− ≈ , ( 0)kx →

- ln(1 )k kx x+ ≈ , ( 0)kx →

- arc sin arc tg k k kx x x≈ ≈ , ( 0)kx →

Se dice que una sucesión ( )k kx de números reales es un infinito cuando lim kk

x→ ∞

= ∞ (i.e., cuando es divergente).Dados dos infinitos, ( )k kx e ( )k ky ,

- se dice que ( )k kx e ( )k ky son equivalentes, y se denota k kx y≈ , cuando lim 1k

kk

xy→ ∞

=

Page 62: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

- se dice que ( )k kx e ( )k ky son del mismo orden, y se denota k kx y: , cuando

lim k

kk

xy

λ→ ∞

= , con λ ∈ ¡ y 0λ ≠

- se dice que ( )k kx es de orden mayor que ( )k ky , y se denota k kx y? , cuando

lim k

kk

xy→ ∞

= ∞ .

Algunas de las relaciones entre infinitos más usadas son:

- ln !k kk k k kα β= = == ( )k → ∞ , si 0α > y 1β >

- fórmula de Stirling: 2 !k ke k kk π− : ( )k → ∞

SUCESIONES RELACIONADAS CON EL NÚMERO e

La sucesión k1

1k

+ ÷

es monótona y acotada, luego convergente; al valor de su límite lo

denotaremos e.Por tanto, se tiene:

- 2 < e < 3

- e = k k p

k k

1 1lim 1 lim 1

k k

+

→ ∞ → ∞+ = +

÷ ÷ , para cualquier p ∈ ¡

- e-1 = k k p

k k

1 1lim 1 lim 1

k k

+

→ ∞ → ∞− = −

÷ ÷ , para cualquier p ∈ ¡ .

ALGUNOS CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Criterio de Stolz.- Sean ( )k kx e ( )k ky dos sucesiones de números reales, con ( )k ky monótona (creciente o decreciente), que cumplen una de las dos siguientes propiedades:(a) k kk k

lim x lim y 0→ ∞ → ∞

= =

(b) kklim y

→ ∞= ∞

Entonces, si existe el límite k 1 k

kk 1 k

x xlim

y y+

→ ∞+

−−

, también existe el límite k

kk

xlim

y→ ∞ y ambos límites

coinciden. Esto es válido incluso si el límite es + ∞ o − ∞ .

Criterio de la media aritmética.- Si ( )k kx es una sucesión convergente de números reales, la sucesión de sus medias también converge, y se cumple

( )1 kk

k k

x ... xlim lim x

k→ ∞ → ∞

+ +=

El recíproco no es cierto.

Page 63: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Criterio de la media geométrica.- Si ( )k kx es una sucesión convergente de números reales estrictamente positivos, la sucesión de sus medias geométricas también converge, y se cumple

k1 2 k kk k

lim x x ...x lim x→ ∞ → ∞

=

El recíproco no es cierto.

Criterio de la raíz.- Si ( )k kx es una sucesión de números reales estrictamente positivos tal que

el cociente k

k 1 k

xx −

÷

converge, entonces ( )kk k

x también converge, y se cumple

kkkk k

k 1

xlim x lim

x→ ∞ → ∞−

=

El recíproco no es cierto.

Regla del emparedado.- Si ( )k kx , ( )k ky , ( )k kz son sucesiones tales que k k kx y z≤ ≤ para todo

k ∈ ¥ , y lim limk kk kx z x

→ ∞ → ∞= = , entonces lim kk

y x→ ∞

= .

Como consecuencia, si ( )k kx e ( )k ky son dos sucesiones tales que ( )k kx está acotada y lim 0kk

y→ ∞

= , entonces lim 0kk k yx→ ∞

= . Es decir, el producto de una sucesión acotada por un infinitésimo es un infinitésimo.

Page 64: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.1. Ejercicios

E.4.1.1. Calcular los siguientes límites en los casos en que existan:

(1) ( )( )

n

2n

1 nlim

1 n→ ∞

+(2) ( )

( )[ ]n

3 / n nlim

Ln n / n 1→ ∞

+

(3) ( ) n

n

1lim e→ ∞

−(4)

( )3 2

n

n nlim( )

n n 1 n 2→ ∞−

+ +

(5)n

2n 1n 5lim

n→ ∞

++ ÷

(6) ( )( )

n2

n2n

n 1 nlim

n 1 n→ ∞

+ −

− −

(7) ( ) n

nn

1lim , r 0

r→ ∞

−> (8)

nlim( n 1 n )

→ ∞+ −

(9)n

7n 23n 5lim

2n→ ∞

+− ÷ (10)

( )

n

n n 12n 1 1

limn n 1→ ∞

+

−−

+ ÷

(11)n

sen(nx)lim , x

n→ ∞∈ ¡ (12)

n

n2 nlim

1 3n→ ∞

++

÷

(13) ( )n

1 2 3 ... nlim

ln n→ ∞

+ + + +(14) nn

n!lim

n→ ∞

(15)n

1lim cot g

n! 4n 2π

→ ∞ + ÷

(16)n

nlim ,

n!α

α→ ∞

∈ ¡

(17)n nn

nlim , , ,α β α β α β

→ ∞

++ ∈ <¡ (18)( )

n

ln nlim ,

nαα

→ ∞∈ ¡

(19)1/lim(ln ) n

nn

→ ∞(20)

n

nlim , 1, 0

n β

αα β

→ ∞> >

(21)2 100

3n

n n! nlim

n! nπ

→ ∞

+ ++

(22)2n

nlim 2 4 ... 2n

→ ∞× × ×

(23)n

1 2! ... n!lim

n!→ ∞

+ + +(24) 1n

1 2 3 ... nlim , 0

n

α α α

αα

+→ ∞

+ + + +>

(25)( ) ( )n

n

n 1 ... n nlim

n→ ∞

+ +

(27)k n k

n

nlim 1 , k , 0

k n nλ λ

λ−

→ ∞− ∈ >

÷ ÷ ÷

¥

(28)( ) ( ) ( )2

2n

sen 4sen / 2 ... n sen / nlim

nα α α

→ ∞

+ + +

(29)( ) ( ) ( )33 2

n / 2 3n

n Ln n sen 2 / n tg / 4n 2lim

2 e n

π→ ∞

+ +

+

Page 65: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

E.4.1.2. Utilizar una sucesión para calcular, sabiendo que existe, el límite

0limh

a h ah→

+ − .

E.4.1.3. Encontrar dos sucesiones que nos permitan asegurar que el límite 1/ 1/

1/ 1/0lim

x x

x xx

e ee e

−→

−+

no existe. Id. Para el límite 0

limx

senx

π→

.

E.4.1.4. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones numéricas definidas por recurrencia y calcular su límite, si procede:

n 1 n 0x 3x , x 1+ = =

xn+1 = λ xn , λR

xn+1 = 1 + (xn/2) , 0x 0= xn+1 = ( xn + xn-1 ) / 2 , 0x 1= , x1 = 2

n 1 n 0x a x , a 0 , x a+ = + > =

xn+1 = xn + (1/ xn) – 1 , x1 = 2.

E.4.1.5. Sea la sucesión definida por recurrencia 21

1

4n nx x+ = + , con 1 0x > dado.

a) Suponiendo que ( )n nx sea convergente, calcular su límite.b) Demostrar que ( )n nx es estrictamente monótona, salvo cuando 1 1/ 2x = .c) Determinar, en función del valor de 1x , cuándo ( )n nx es convergente.

E.4.1.6. Demostrar que el área de un polígono regular inscrito en un círculo tiende al área del círculo cuando el número de lados tiende a infinito.

E.4.1.7. Se dice que una sucesión ( )n nx de números reales es contractiva si existe una constante k ∈ ¡ , 0 1k< < , tal que 1 1n n n nx x k x x+ −− ≤ − para todo n ∈ ¥ .a) Demostrar que toda sucesión contractiva es convergente.b) Deducir que toda función contractiva de [ ]0,1 en [ ]0,1 tiene un único punto fijo.

E.4.1.8. Consideremos una pareja de conejos recién nacidos, macho y hembra, y pongámoslos en un prado para que se reproduzcan. Cada pareja tendrá nuevas crías a los dos meses de edad. Supongamos que nuestros conejos no mueren nunca y que cada hembra pare una nueva pareja (macho y hembra) de conejos cada mes.

¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año? ¿Y al cabo de k años?Abreviando, ¿cuál es la sucesión que determina el número de parejas en función de

los meses transcurridos? ¿Es convergente esta sucesión? ¿Qué tipo de comportamiento tiene?

Si consideramos ahora la sucesión dada por los cocientes entre dos términos consecutivos de la anterior, ¿es convergente esta nueva sucesión? En caso afirmativo, calcula su límite.

Consideremos ahora un rectángulo de lado mayor a y lado menor b tal que, si se elimina de él un cuadrado de lado b, el rectángulo restante mantiene la misma relación entre sus lados que el original. Calcula el valor de dicha relación entre sus lados.

¿Qué tiene que ver esto con los conejos?

Page 66: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.2. Sucesiones de valores vectoriales

4.2.1. Definición, rango y operaciones algebraicas

Formalmente, una sucesión de valores vectoriales en dimensión n es una aplicación : ns →¥ ¡ , que a cada número natural k le asocia un vector de n¡ que denotaremos ( )kx . Dicha

sucesión se denotará ( )( )kkx ∈ ¥ o simplemente ( )( )k

kx .

Observemos que cada término de la sucesión es ahora de la forma ( ) ( ) ( )1( ,..., )k k k

nx x x= , k ∈ ¥ , con lo cual una sucesión de valores en n¡ se corresponde con n sucesiones de valores reales.

El rango y las operaciones algebraicas de suma, producto escalar y producto por escalares de sucesiones con valores en n¡ se definen análogamente al caso de sucesiones de números reales.

4.2.2. Sucesiones acotadas

La sucesión ( )( )kkx es acotada cuando existe algún número M tal que ( )kx M≤ para

todo k ∈ ¥ (i.e., cuando la sucesión de sus normas es acotada). En este caso, se dice que M es una cota de ( )( )k

kx .

Una sucesión vectorial ( )( )kkx es acotada sii las n sucesiones de sus coordenadas, ( )( )k

i kx , son acotadas.(Por tanto, las propiedades de las sucesiones numéricas acotadas se transmiten a las sucesiones vectoriales acotadas.)

4.2.3. Sucesiones convergentes

Se dice que la sucesión ( )( )kkx es convergente cuando existe un vector nx ∈ ¡ tal que

para cada 0ε > se puede encontrar un índice (en principio, dependiente de ε ) a partir del cual todos los términos se encuentran en la bola de centro x y radio ε . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,ε∀ > 0k∃ ∈ ¥ / ( ) ,kx x ε− < 0k k∀ ≥ .

En este caso, x se llama límite de la sucesión ( )( )kkx , y se denota

( )limk

kx x→ ∞

= .

• La sucesión vectorial ( )( )kkx es convergente sii ( )( )k

i kx es convergente para cada

1,...,i n= . Además, ( )lim

k

kx x→ ∞

= sii ( )lim

k

ki ix x

→ ∞= para cada 1,...,i n= .

(Por tanto, las propiedades de las sucesiones numéricas convergentes se transmiten a las sucesiones vectoriales convergentes.)

Page 67: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.2.4. Sucesiones de Cauchy

Se dice que la sucesión ( )( )kkx es de Cauchy cuando para cada 0ε > existe un índice (en

principio, dependiente de ε ) a partir del cual todos los términos se encuentran entre sí a distancia menor que ε . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,ε∀ > 0k∃ ∈ ¥ / ( ) ( ) ,p qx x ε− < 0,p q k∀ ≥ .

• La sucesión vectorial ( )( )kkx es de Cauchy sii ( )( )k

i kx es de Cauchy para cada 1,...,i n= .

(Por tanto, las propiedades de las sucesiones vectoriales de Cauchy se heredan coordenada a coordenada de las correspondientes propiedades de las sucesiones de Cauchy de números reales.)

• Toda sucesión de Cauchy de elementos de n¡ es convergente.(Por esta razón se dice que el espacio euclídeo n-dimensional n¡ es completo.)

4.2.5. Sucesiones divergentes

Se dice que la sucesión ( )( )kkx es divergente cuando para cada 0M > se puede

encontrar un índice (en principio, dependiente de M ) a partir del cual todos los términos de la sucesión tienen norma mayor que M . Dicho de otra manera, cuando satisface la condición

0,M∀ > 0k∃ ∈ ¥ / ( )kx M> 0k k∀ ≥ .

En este caso se denota ( )kx → ∞ ó ( )lim

k

kx→ ∞

= ∞ .

A diferencia de lo que ocurre con las sucesiones divergentes de números reales, en el caso vectorial no podemos hablar de divergencia hacia + ∞ ó hacia − ∞ . La divergencia, en este caso, supone una tendencia de alejamiento de sus términos del origen, sin aludir a una dirección concreta. (Ver ejercicio E.4.2.2.)

Page 68: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.2. Ejercicios

E.4.2.1. Dada la sucesión ( )( )kkx en n¡ , con ( ) ( ) ( )

1( ,..., )k k knx x x= para cada k ∈ ¥ , probar

que(i) ( )( )k

kx es acotada sii ( )( )ki kx es acotada para cada 1,...,i n=

(ii) ( )( )kkx es convergente sii ( )( )k

i kx es convergente para cada 1,...,i n=

(iii) ( )( )kkx es de Cauchy sii ( )( )k

i kx es de Cauchy para cada 1,...,i n=

E.4.2.2. Sea ( )( )kkx una sucesión en n¡ , con ( ) ( ) ( )

1( ,..., )k k knx x x= para cada k ∈ ¥ .

(i) Probar que si ( )( )ki kx es divergente, para algún 1,...,i n= , entonces ( )( )k

kx es divergente.(ii) Poner un ejemplo en el que ( )( )k

kx sea divergente y ( )( )ki kx no lo sea para ningún

1,...,i n= .

E.4.2.3. Para cada una de las afirmaciones siguientes acerca de sucesiones de valores vectoriales, decidir si es verdadera o falsa. En caso de que sea verdadera, probarlo, y en caso de que sea falsa, poner un contraejemplo:

(i) La suma de dos sucesiones acotadas es otra sucesión acotada.(ii) El producto escalar de dos sucesiones acotadas es una sucesión numérica acotada.(iii) El producto de una sucesión acotada por un escalar es otra sucesión acotada.(iv) Toda sucesión convergente es acotada.(v) Toda sucesión acotada es convergente.(vi) Toda sucesión de Cauchy es acotada.(vii) La suma de dos sucesiones convergentes es convergente.(viii) La suma de dos sucesiones divergentes es divergente.(ix) El producto de una sucesión divergente por un escalar es otra sucesión divergente.(x) El producto escalar de dos sucesiones divergentes es una sucesión numérica

divergente.

E.4.2.4. Estudiar la convergencia de la sucesión de puntos del plano ( )( , )k k kx y definida

por recurrencia mediante las expresiones 0

1

4x = , 0

1

2y = , 1n n nx x y+ = , 1

1

2n n ny x y+ = + .

E.4.2.5. Estudiar la convergencia de la sucesión de puntos del plano ( )( , )k k kx y definida

por recurrencia mediante las expresiones 0 1x = , 0 1y = , 1n n nx x y+ = + , 1 1n ny x+ −= .

Page 69: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.3. Series numéricas

4.3.1. Generalidades

Una serie numérica es un par de sucesiones de números reales, ( )( ) , ( )n n n nx S , tales que

00 1...

n

n n kk

S x x x x=

= + + = ∑ , para cada n ∈ ¥ . La serie se suele denotar 0

kk

x∞

=∑ , o simplemente,

kx∑ .

Se llama término general de la serie 0

kk

x∞

=∑ al término general de la primera sucesión, es

decir, nx .

Se llama suma parcial n-ésima de la serie 0

kk

x∞

=∑ al término general de la segunda

sucesión, es decir, nS .

Se llama resto de orden n de la serie 0

kk

x∞

=∑ a la nueva serie

1k

k nn xR

= +

= ∑ .

Las series se pueden operar de la siguiente manera:

Suma 0

kk

x∞

=∑ +

0k

k

y∞

=∑ =

0

( )kk

kx y∞

=

+∑

Producto por escalares 0 0

k kk k

x xλλ∞ ∞

= =

=∑ ∑ , λ ∈ ¡

Producto de Cauchy 0 0 0 0

j

k k j k jk k k j

x x yy∞ ∞ ∞

−= = = =

= ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑

Se llama carácter de una serie a su condición de serie convergente, divergente u oscilante (entenderemos por oscilantes las series que no sean convergentes ni divergentes).

Es importante observar que el carácter de una serie no se altera si se le añaden o se le suprimen una cantidad finita de términos.

4.3.2. Series convergentes

Se dice que la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente cuando es convergente la sucesión ( )n nS de sus

sumas parciales. En este caso, se llama suma total de la serie al límite de dicha sucesión, y se

denota 0

limkk

nnxS S

=→ ∞

= =∑ .

Page 70: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Propiedades de las series convergentes

• Si la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente, entonces su término general tiende a 0.

• Si la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente, entonces las series de sus restos son todas

convergentes, y n nR S S= − , para cada n ∈ ¥ .• La suma de dos series convergentes es otra serie convergente, y

0k

k

x∞

=∑ +

0k

k

y∞

=∑ =

0

( )kk

kx y∞

=

+∑ .

• El producto de una serie convergente por un escalar es otra serie convergente, y

0 0k k

k k

x xλλ∞ ∞

= =

=∑ ∑ .

• El producto de Cauchy de dos series convergentes es otra serie convergente, y la suma total del producto es igual al producto de las sumas totales de los factores.

4.3.3. Series divergentes

Se dice que la serie 0

kk

x∞

=∑ es divergente cuando es divergente la sucesión ( )n nS de sus

sumas parciales, i.e., lim nnS

→ ∞= + ∞ ó lim nn

S→ ∞

= − ∞

Propiedades de las series divergentes

• Si una serie es divergente, entonces las series de sus restos son todas divergentes.

• La suma de dos series divergentes no es necesariamente otra serie divergente.

• La suma de una serie convergente y otra divergente es divergente.

• El producto de una serie convergente por un escalar no nulo es otra serie divergente.

• El producto de Cauchy de dos series divergentes no es necesariamente otra serie divergente.

• El producto de Cauchy de una serie divergente por una convergente (cuya suma no sea nula) es otra serie divergente.

4.3.4. Series de términos positivos

Se dice que la serie 0

kk

x∞

=∑ es de términos positivos cuando 0kx ≥ para todo k ∈ ¥ (o

para todos salvo una cantidad finita).

Una serie de términos positivos tiene la particularidad de que la sucesión de sus sumas parciales es monótona creciente, y, por tanto, convergente o divergente hacia + ∞ . En consecuencia, dicha serie sólo puede ser convergente o divergente, y será convergente sii la sucesión de sus sumas parciales está acotada.

Page 71: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

C.4.3.4.1. Criterio de comparación término a término.- Sean 0

kk

x∞

=∑ ,

0k

k

y∞

=∑ dos series de

términos positivos, tales que n nx y≤ para todo 0n n≥ .

(i) Si 0

kk

y∞

=∑ es convergente, entonces

0k

k

x∞

=∑ también es convergente.

(ii) Si 0

kk

x∞

=∑ es divergente, entonces

0k

k

y∞

=∑ también es divergente.

C.4.3.4.2. Criterio de comparación por paso al límite.- Sean 0

kk

x∞

=∑ ,

0k

k

y∞

=∑ dos series de

términos positivos, tales que 0ny > para todo 0n n≥ y existe lim k

kk

xy

λ→ ∞

= .

(i) Si λ ∈ ¡ y 0

kk

y∞

=∑ converge, entonces

0k

k

x∞

=∑ también converge.

(ii) Si λ +∈ ¡ ó λ = + ∞ y 0

kk

y∞

=∑ diverge, entonces

0k

k

x∞

=∑ también diverge.

C.4.3.4.3. Criterio logarítmico.- Sea 0

kk

x∞

=∑ una serie de términos positivos, no nulos, tal que

lim 0kkx

→ ∞= y existe

lnlim

lnk

k

xk

λ→ ∞

= ( λ ∈ ¡ ó λ = − ∞ )

(i) Si 1λ > , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente.

(ii) Si 1λ < , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es divergente.

C.4.3.4.4. Criterio del cociente.- Sea 0

kk

x∞

=∑ una serie de términos positivos, no nulos, tal que

existe 1lim k

kk

xx

λ+

→ ∞= ( λ ∈ ¡ ó λ = + ∞ )

(i) Si 1λ < , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente.

(ii) Si 1λ > , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es divergente.

Page 72: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

C.4.3.4.5. Criterio de la raíz.- Sea 0

kk

x∞

=∑ una serie de términos positivos tal que existe

limk

kkx λ

→ ∞= ( λ ∈ ¡ ó λ = + ∞ )

(i) Si 1λ < , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente.

(ii) Si 1λ > , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es divergente.

C.4.3.4.6. Criterio de Raabe.- Sea 0

kk

x∞

=∑ una serie de términos positivos, no nulos, tal que existe

1

lim 1k

kk

xx

k λ→ ∞

+

− = ÷

( λ ∈ ¡ ó λ = + ∞ )

(i) Si 1λ > , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente.

(ii) Si 1λ < , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es divergente.

C.4.3.4.7. Criterio de Pringsheim.- Sea 0

kk

x∞

=∑ una serie de términos positivos tal que existe

limk kk xα λ

→ ∞= ( λ ∈ ¡ ó λ = + ∞ ), para algún α ∈ ¡ .

(i) Si 1α > y λ ∈ ¡ , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es convergente.

(ii) Si 1α ≤ y 0λ > , entonces la serie 0

kk

x∞

=∑ es divergente.

C.4.3.4.8. Criterio de condensación de Cauchy.- Sea 0

kk

x∞

=∑ una serie de términos positivos tal

que la sucesión ( )k kx es monótona decreciente. Entonces 0

kk

x∞

=∑ es convergente sii

20

2 k

k

k x∞

=∑ es

convergente.

Page 73: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.3.5. Series alternadas

Se dice que la serie 0

kk

x∞

=∑ es alternada cuando 1( 1)k

k kx a+= − , con 0ka ≥ para todo

k ∈ ¥ (o para todos salvo una cantidad finita).

CRITERIO DE CONVERGENCIA PARA SERIES ALTERNADAS

C.4.3.5.1. La serie alternada 1

0

( 1)kk

k

a∞

+

=

−∑ es convergente sii la sucesión ( )k ka es

decreciente y converge a 0.

4.3.6. Series de términos arbitrarios

En general, para una serie que no sea de términos positivos ni negativos ni alternada, tenemos dos criterios de convergencia basados en la fórmula de sumación de Abel,

1 1 1 11 1

( ... ) ( ... )( )n n

k k n n k k kk k

x y x x y x x y y+ += =

= + + − + + −∑ ∑ .

CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS ARBITRARIOS

C.4.3.6.1. Criterio de Dirichlet.- Sea 1

k kk

x y∞

=∑ una serie tal que la sucesión de sumas

parciales de la serie 1

kk

x∞

=∑ es acotada y la sucesión ( )k ky es decreciente y convergente a 0.

Entonces, 1

k kk

x y∞

=∑ es convergente.

C.4.3.6.2. Criterio de Abel.- Si 1

kk

x∞

=∑ es una serie convergente e ( )k ky es una sucesión

monótona y acotada, entonces la serie 1

k kk

x y∞

=∑ es convergente.

Page 74: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.3.7. Convergencia absoluta y convergencia incondicional

Se dice que la serie 0

kk

x∞

=∑ es absolutamente convergente cuando la serie

0kkx

=∑ es

convergente.

Se dice que la serie 0

kk

x∞

=∑ es incondicionalmente convergente cuando cualquier

reordenación suya es convergente.

Propiedades de la convergencia absoluta e incondicional

• Toda serie absolutamente convergente es convergente.

• No toda serie convergente es absolutamente convergente.

• Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente.

• Toda serie incondicionalmente convergente es absolutamente convergente.

• No toda serie convergente es incondicionalmente convergente.

• Si una serie no es incondicionalmente convergente, admite reordenaciones divergentes

y convergentes hacia cualquier número real.

Page 75: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

ALGUNAS SERIES CONOCIDAS

La serie armónica: 1

1k kα

=∑ converge sii 1α > .

• Para 1α = , la serie no es convergente, pero 1

1lim ln

n

nk

nk

γ→ ∞

=

− = ÷

∑ , donde γ es una

constante, llamada constante de Euler, que verifica 0.5 0.6γ< < .

• Para 2α = , 2

21 6

1

k kπ∞

=

=∑ .

La serie armónica alternada: 1

1

( 1)k

k kα

+∞

=

−∑ converge sii 0α > .

• Para 1α > , 1

1

( 1)k

k kα

+∞

=

−∑ converge absolutamente.

• Para 1α = , 1

1

( 1) ln 2k

k k

+∞

=

− =∑ .

La serie geométrica: 0

k

kr

=∑ converge (y converge absolutamente) sii 1r < .

• Para 1 1r− < < , 0

11

k

k

rr

=

=−∑ y

1k

k p

prr

r

=

=−∑ .

• Para 1r ≥ , 0

k

kr

=∑ es una serie de términos positivos divergente.

La serie factorial: 0

1!k k

=∑ es convergente.

•0

1!k

ek

=

=∑

La serie aritmético-geométrica: 0

( ) k

kP k r

=∑ , donde ( )P k es un polinomio en k,

converge (y converge absolutamente) sii 1r < .

La serie telescópica: 11

( )k kk

a a∞

−=

−∑ converge sii la sucesión ( )k ka es convergente.

• 1 01

( ) limk k kkka a a a

− → ∞=

− = −∑ .

Page 76: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.3. Ejercicios

E.4.3.1. Estudiar el carácter de las siguientes series:

(1) 1

n

n

n∞

=

∑ (8) 1 !n

n

n

α∞

=

∑ (15) 1

1

ln )(n n nα β

=

(2) 1 !

n

n n

α∞

=

∑ (9) 2

2

1

(ln ) ln(ln )n n n n

=

(16) 1 2

n

n

=

÷

(3) 1

1n

n n

=

∑ (10) 3

1

1cos

n n

=

÷ ∑

(17) 1

ln

1

(1 2 / )nn nn

= +∑

(4) ( ) ( )1

1

1 2n

n

n n n

=

+ +∑ (11) 3

1

1sin

n n

=

÷ ∑

(18) 1

2 !n

n

n n

n

=

(5) ( )1

!

1 nn

n

n

= +∑ (12) ( )1

1.3.5...(2 1)

(2.4....2 ) 1n

n

n n

=

+∑

(19) 1

2

2nn

n∞

=

(6) 2

1

1

ln 2nn

sen n

n

=

+

+∑ (13)

( )1

cos

3nn

n nα∞

=

(20) ( )1

( 1)!

( 1)...n

n

nα α α

=

+

+ +∑

(7) ( )1

31

2

nn

nn

=

−∑ (14) ( )

1

sin

n

n

n

π∞

=

∑ (21) ln

1

n

n

α∞

=∑

E.4.3.2. Calcular la suma de las siguientes series en los casos en que sean convergentes :

(1) ( ) 21

2 3( 1 )n

nn n

=

++∑ (2)

2

1

2 32.3n

n

n∞

=

+∑ (3) 2

1

2 1!3n

n

n nn

=

− +∑

(4) 1

1!( 2)n

nn n

=

−+∑ (5)

2

22

4 2( 2)( 1)n

n nn n n

=

− ++ −∑ (6) 3

1

3 14n

nn n

=

+−∑

E.4.3.3. Estudiar el carácter de las siguientes series según el valor del parámetro x y sumarlas donde sea posible:

(1) 0

n

n

x∞

=∑ (2)

0

n

n

nx∞

=∑ (3)

0

2 n

n

n x∞

=∑ (4)

0

4 n

n

n x∞

=∑ (5)

0

2( 3 1) n

n

xn n∞

=

− +∑

Page 77: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

E.4.3.4. Dada la serie 1

1

( 1)n

n n

+∞

=

−∑ , demostrar que es convergente, pero no

incondicionalmente convergente, y buscar una reordenación que diverja.

Page 78: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.4. Sucesiones de funciones

4.4.1. Concepto de sucesión funcional

Sea nA ⊂ ¡ y supongamos que para cada k ∈ ¥ tenemos una función : nkf A ⊂ →¡ ¡ .

Así, para cada x A∈ , tenemos una sucesión de números reales ( )( )k kf x .

Por tanto, una sucesión de funciones es un conjunto de funciones definidas en el mismo dominio y ordenadas según los números naturales, al que denotaremos ( )k kf .

Las sucesiones de funciones heredan muchas de las propiedades de las sucesiones

numéricas, y, como aquéllas, se pueden sumar, multiplicar por escalares y multiplicar entre sí,

realizándose las operaciones índice a índice y punto a punto.

Diremos que la sucesión de funciones ( )k kf es monótona creciente (resp. decreciente) en

A si para cada x A∈ la sucesión numérica ( )( )k kf x es monótona creciente (resp. decreciente),

i.e., 1( ) ( )k kf x f x+≤ para todo k ∈ ¥ y para todo x A∈ .

Diremos que la sucesión de funciones ( )k kf es puntualmente acotada en A si para cada

x A∈ la sucesión numérica ( )( )k kf x es acotada, i.e., existe una cota ( )M x ∈ ¡ tal que

( ) ( )kf x M x≤ , para todo k ∈ ¥ .Diremos que la sucesión de funciones ( )k kf es uniformemente acotada en A si existe una

cota M ∈ ¡ tal que ( )kf x M≤ , para todo k ∈ ¥ y para todo x A∈ .Es claro que si ( )k kf es uniformemente acotada en A, entonces también es puntualmente

acotada en A.

4.4.2. Convergencia puntual de una sucesión de funciones

Diremos que la sucesión de funciones ( )k kf es puntualmente convergente en A si para

cada x A∈ la sucesión numérica ( )( )k kf x es convergente, i.e., existe lim ( )kk

f x→ ∞

∈ ¡ . Como el

valor de dicho límite dependerá de x, se nos define así una nueva función : nf A ⊂ →¡ ¡ , dada

por ( ) lim ( )kkf x f x

→ ∞= , a la que llamaremos límite puntual de la sucesión ( )k kf , y denotaremos

kf f→ (punt. en A), o sencillamente kf f→ . En este caso, se cumple la condición de convergencia

0 0, 0, ( , ) / ( ) ( ) ,kx A k x f x f x k kε ε ε∀ ∈ ∀ > ∃ − < ∀ ≥ .

Propiedades de las sucesiones puntualmente convergentes

• El límite de una sucesión de funciones puntualmente convergente es una única función.

• Toda sucesión de funciones puntualmente convergente es puntualmente acotada.

Page 79: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

• Toda sucesión de funciones monótona y puntualmente acotada es puntualmente convergente.

• La suma o el producto de dos sucesiones puntualmente convergentes son también sucesiones puntualmente convergentes.

4.4.3. Convergencia uniforme de una sucesión de funciones

Diremos que la sucesión de funciones ( )k kf es uniformemente convergente en A si es

puntualmente convergente en A y además la función límite, ( ) lim ( )kkf x f x

→ ∞= , cumple la

condición 0 00, ( ) / ( ) ( ) , ,kk f x f x k k x Aε ε ε∀ > ∃ − < ∀ ≥ ∀ ∈ .

En este caso, denotamos kf f→ (unif. en A).

Propiedades de las sucesiones uniformemente convergentes

• Toda sucesión de funciones uniformemente convergente es puntualmente convergente hacia el mismo límite.

• Toda sucesión uniformemente convergente de funciones acotadas es uniformemente acotada.

• La suma o el producto de dos sucesiones uniformemente convergentes son también sucesiones uniformemente convergentes.

Criterio σ de convergencia uniforme de una sucesión de funciones.-Sea ( )k kf una sucesión de funciones puntualmente convergente hacia una función f en A, y supongamos que

{ }sup ( ) ( ) :k kf x f x x Aσ = − ∈ ∈ ¡ , para cada k ∈ ¥ . Entonces kf f→ (unif. en A) sii

lim 0kkσ

→ ∞= .

Convergencia uniforme y acotación

Sea ( )k kf una sucesión de funciones uniformemente convergente hacia una función f en A. Si cada una de las kf es acotada en A, entonces f es acotada en A.

Convergencia uniforme y continuidad

Sea ( )k kf una sucesión de funciones uniformemente convergente hacia una función f en A,

y sea ´a A∈ . Si para cada una de las kf existe lim ( )kx af x

→, entonces existe lim ( )

x af x

→, y además,

( ) ( )lim lim ( ) lim lim ( )k kk x a x a kf x f x

→ ∞ → → → ∞= .

Page 80: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Sea ( )k kf una sucesión de funciones uniformemente convergente hacia una función f en A. Si cada una de las kf es continua en un punto a A∈ (resp, en A), entonces f es continua en a (resp, en A).

Convergencia uniforme e integración

Sea ( )k kf una sucesión de funciones uniformemente convergente hacia una función f en un intervalo compacto real [ ],a b ⊂ ¡ . Si cada una de las kf es integrable en [ ],a b , entonces f es integrable en [ ],a b , y además,

lim ( ) lim ( )b b

k ka ak kf x dx f x dx

→ ∞ → ∞=∫ ∫ .

Convergencia uniforme y derivación

Sea ( )k kf una sucesión de funciones definidas en un intervalo abierto real ( , )a b ⊂ ¡ . Si cada una de las kf es derivable en ( , )a b , existe algún punto 0 ( , )x a b∈ tal que la sucesión

numérica ( )0( )k kf x es convergente y la sucesión de sus derivadas, ( )́kkf , converge

uniformemente en ( , )a b , entonces ( )k kf converge uniformemente hacia una función f en ( , )a b , f es derivable en ( , )a b , y además,

( )lim lim(́ ) ( ) ´k k

f x f x→ ∞ → ∞

= .

Page 81: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.4. Ejercicios

E.4.4.1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones:

(1) ( )n

xf x

n=

(2) ( )nf x nx=

(3) 1

( )nf x xn

= +

(4) ( ) nnf x x=

(5) 2( ) (1 ) nnf x n x x= − , para [ ]0,1x ∈

(6) ( ) (1 )nnf x nx x= − , para [ ]0,1x ∈

(7) ( ) ( )nnf x senx= , para [ ]0, 2x π∈

(8) ( ) (cos )nnf x n x senx= , para [ ]0, / 2x π∈

(9) 2 2

3( ) 2n

n xf x x

n−

= + , para 0x +∈ ¡

(10) ( ) nxnf x xe −= , para 0x +∈ ¡

(11) 2

2 4

2( )

1n

nxf x

n x=

+, para 0x +∈ ¡

(12) ( ) nxnf x nxe−= , para 0x +∈ ¡

(13) 2( ) nxnf x n xe−= , para 0x +∈ ¡ .

Page 82: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.5. Series de funciones

4.5.1. Concepto de serie funcional

Sea nA ⊂ ¡ y supongamos que para cada k ∈ ¥ tenemos una función : nkf A ⊂ →¡ ¡ .

Así, para cada x A∈ , tenemos una serie de números reales 1

( )kk

f x∞

=∑ .

Por tanto, una serie de funciones consiste en un par de sucesiones de funciones definidas en el mismo dominio A, ( )( ) , ( )k k k kf S , tales que 1( ) ( ) ... ( )k kS x f x f x= + + , para cada x A∈ y

para cada k ∈ ¥ . La denotaremos 1

kk

f∞

=∑ .

Las series de funciones heredan muchas de las propiedades de las series numéricas, y,

como aquéllas, se pueden sumar, multiplicar por escalares y multiplicar entre sí, realizándose las

operaciones punto a punto.

4.5.2. Convergencia puntual de una serie de funciones

Diremos que la serie de funciones 1

kk

f∞

=∑ es puntualmente convergente en A si para cada

x A∈ la serie numérica 1

( )kk

f x∞

=∑ es convergente, i.e., la sucesión de funciones ( )p p

S , donde

1

( )( )p

kk

p f xS x=

= ∑ es la suma parcial p-ésima de la serie, es puntualmente convergente en A.

Como el valor de la suma total dependerá de x, se nos define así una nueva función

: nf A ⊂ →¡ ¡ , dada por 1

( )( ) kk

f xf x∞

=

= ∑ a la que llamaremos suma de la serie 1

( )kk

f x∞

=∑ , y

denotaremos 1

kk

ff∞

=

= ∑ (punt. en A), o sencillamente 1

kk

ff∞

=

= ∑ . En este caso, se cumple la

condición de convergencia

0 01

, 0, ( , ) / ( ) ( ) ,p

kk

x A k x f x f x p kε ε ε=

∀ ∈ ∀ > ∃ − < ∀ ≥∑ .

Propiedades de las series puntualmente convergentes

• La suma total de una serie de funciones puntualmente convergente es una única función.

• El producto de una serie puntualmente convergente por un escalar es también una serie puntualmente convergente.

• La suma y el producto de Cauchy de dos series puntualmente convergentes son también series puntualmente convergentes.

Page 83: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.5.3. Convergencia uniforme de una serie de funciones

Diremos que la serie de funciones 1

kk

f∞

=∑ es uniformemente convergente en A si es

puntualmente convergente en A y además la sucesión ( )p pS de sus sumas parciales es

uniformemente convergente en A. En este caso, denotamos 1

kk

ff∞

=

= ∑ (unif. en A), y se cumple

la condición

0 01

0, ( ) / ( ) ( ) , ,p

kk

k f x f x p k x Aε ε ε=

∀ > ∃ − < ∀ ≥ ∀ ∈∑ .

Propiedades de las series uniformemente convergentes

• Toda serie de funciones uniformemente convergente es puntualmente convergente hacia la misma suma.

• El producto de una serie uniformemente convergente por un escalar es también una serie uniformemente convergente.

• La suma o el producto de Cauchy de dos series uniformemente convergentes son también series uniformemente convergentes.

Criterio M de Weierstrass de convergencia uniforme de una serie de funciones.-Sea

1k

k

f∞

=∑ una serie de funciones puntualmente convergente hacia una función f en A, y pongamos

{ }sup ( ) :k kM f x x A= ∈ , para cada k ∈ ¥ ( 0 kM≤ ≤ + ∞ ). Si todos los kM son finitos y la

serie numérica de términos positivos 1

kk

M∞

=∑ es convergente, entonces

1k

k

f∞

=∑ converge absoluta

y uniformemente en A.

Convergencia uniforme y continuidad

Sea 1

kk

f∞

=∑ una serie de funciones uniformemente convergente hacia una función f en A, y

sea ´a A∈ . Si para cada una de las kf existe lim ( )kx af x

→, entonces existe lim ( )

x af x

→, y además,

( )1 1

lim ( ) lim ( )k kx a x ak kf x f x

→ →

∞ ∞

= =

= ÷ ∑ ∑ .

Page 84: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Sea 1

kk

f∞

=∑ una serie de funciones uniformemente convergente hacia una función f en A. Si

cada una de las kf es continua en un punto a A∈ (resp, en A), entonces f es continua en a (resp, en A).

Convergencia uniforme e integración

Sea 1

kk

f∞

=∑ una serie de funciones uniformemente convergente hacia una función f en un

intervalo compacto real [ ],a b ⊂ ¡ . Si cada una de las kf es integrable en [ ],a b , entonces f es integrable en [ ],a b , y además,

1 1

( ) ( )b b

ka a kk k

f x dx dxf x∞ ∞

= =

=∫ ∫∑ ∑ .

Convergencia uniforme y derivación

Sea 1

kk

f∞

=∑ una serie de funciones definidas en un intervalo abierto real ( , )a b ⊂ ¡ . Si cada

una de las kf es derivable en ( , )a b , existe algún punto 0 ( , )x a b∈ tal que la serie numérica

01

( )kk

f x∞

=∑ es convergente y la serie de sus derivadas,

1

´kk

f∞

=∑ , converge uniformemente en ( , )a b ,

entonces 1

kk

f∞

=∑ converge uniformemente hacia una función f en ( , )a b , f es derivable en ( , )a b ,

y además,

1 1

( ) (́ )´k k

f x f x∞ ∞

= =

= ÷

∑ ∑ .

Page 85: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.5.4. Series de potencias

Se llama serie de potencias a una serie de funciones del tipo 0

nn

n

a x∞

=∑ , donde ( )n na es una

sucesión cualquiera de números reales y x es una variable real.Como se puede observar, en este caso la función que constituye el término general de la

serie es de la forma ( ) nn nf x a x= y la suma parcial es un polinomio 0 1( ) ... n

n nS x a a x a x= + + + .

(La serie de potencias 0

nn

n

a x∞

=∑ está centrada en 0, pero puede también estar centrada en

cualquier punto 0x ∈ ¡ , en cuyo caso adquiere la expresión 0

0( )nn

n

a x x∞

=

−∑ . Para pasar de la una

a la otra, basta hacer el cambio de variable 0y x x= − .)

Teorema de Cauchy-Hadamard

Dada una serie de potencias, 0

nn

n

a x∞

=∑ , existe un 0ρ +∈ ¡ (i.e., 0 ρ≤ ≤ ∞ ), tal que

- la serie converge absolutamente en el intervalo ( , )ρ ρ−- la serie converge uniformemente en cada subintervalo compacto de ( , )ρ ρ−- la serie no converge en ningún punto de ( , ) ( , )ρ ρ− ∞ − ∪ + ∞ .(Cuando ρ +∈ ¡ , no se puede asegurar si la serie converge o no en los puntos x ρ= y

x ρ= − .)

El valor de ρ anterior evidentemente es único, y se llama radio de convergencia de la

serie de potencias 0

nn

n

a x∞

=∑ .

Cuando existe el límite lim nnn

a l→ ∞

= , el valor de ρ es 1/ lρ = , entendiendo que ρ = + ∞

si 0l = y que 0ρ = si l = + ∞ .

Continuidad de una serie de potencias

Si 0

nn

n

a x∞

=∑ es una serie de potencias con radio de convergencia ρ , entonces la función f

definida por 0

( ) nn

n

f x a x∞

=

= ∑ es continua en su dominio de convergencia.

Derivabilidad de una serie de potencias

Si 0

nn

n

a x∞

=∑ es una serie de potencias con radio de convergencia ρ , entonces

la función f definida por 0

( ) nn

n

f x a x∞

=

= ∑ es derivable en ( , )ρ ρ− ,

Page 86: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

la serie 1

1

nn

n

na x∞

=∑ también tiene radio de convergencia ρ y

1

1

(́ ) nn

n

f x na x∞

=

= ∑ .

Integrabilidad de una serie de potencias

Si 0

nn

n

a x∞

=∑ es una serie de potencias con radio de convergencia ρ , entonces

la función f definida por 0

( ) nn

n

f x a x∞

=

= ∑ es integrable en todo intervalo [ ], ( , )a b ρ ρ⊂ − ,

la serie 1

0 1n

n

n xna∞

+

= +∑ también tiene radio de convergencia ρ y

1

0

( )1

n

n

b na

f x dx xna∞

+

= += ∑∫ .

Page 87: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

4.5. Ejercicios

E.4.5.1. Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series de potencias:

(1) 1

1sin( ) n

n

xn n

=∑ (2)

1

2n n

n

xn

=∑

(3) 1

1 ( 1)

n

n

xn n

+∞

= +∑ (4) ( )1

13

n

nn

x∞

=

+∑

E.4.5.2. Para cada n ∈ ¥ sea [ ]: 0,1nf → ¡ la función dada por 2( ) (ln )nnf x x x= , y

(0) 0nf = . Estudiar si la serie nf∑ converge uniformemente en [0,1].

E.4.5.3. Sumar las siguientes series utilizando la técnica de derivación término a término justificadamente:

(1) 0

n

n

x∞

=∑ (2)

0

n

n

nx∞

=∑ (3)

0

2 n

n

n x∞

=∑

(4) 0

4 n

n

n x∞

=∑ (5)

0

2( 3 1) n

n

xn n∞

=

− +∑ (6) 2

1

2 32.3n

n

n∞

=

+∑

E.4.5.4. Obtener desarrollos en series de potencias en el origen para las funciones(1) xe (2) sin x (3) cos x

(4) ln(1 )x+ (5) 2xe (6) sin 3x

(7) sin xe (8) sin x

x(9) 3 2( 1) 4 ln(1 )x x+ + − ,

indicando en cada caso el dominio de convergencia.

E.4.5.5. (i) Probar que si P es un polinomio de grado n que tiene n ceros distintos,

1, ..., na a , y (0) 1P = , se puede expresar de la forma 1

( ) (1 )...(1 )n

x xP x

a a= − − .

(ii) Considerar la función sin

( )x

f xx

= . Extenderla por continuidad al origen, dar un

desarrollo en serie de potencias y probar que es de clase C ∞ en ¡(iii) Determinar los ceros de f y factorizarla de modo análogo a como se hizo en el apartado (i) para un polinomio.(iv) Igualando la expresión en serie de potencias de f con su expresión factorizada, deducir una fórmula para la suma de la serie armónica de orden 2.(v) Intentar obtener del mismo modo una fórmula para la suma de la serie armónica de orden 4.

Page 88: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Capítulo 5Cálculo integral

Page 89: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.1. La integral de Riemann para funciones de variable real

5.1.1. Concepto de integrabilidad Riemann para una función acotada en un intervalo compacto

Sea [ ],a b un intervalo compacto de ¡ .Llamaremos partición de [ ],a b a un conjunto finito y ordenado de puntos de [ ],a b que

contenga a sus extremos. Lo denotaremos { }0 1 ... nP a x x x b= = < < < = . La partición P divide el intervalo original [ ],I a b= en n subintervalos, 1 , ..., nI I , con

[ ]1,k k kI x x−= , de modo que 1 ... nI I I= ∪ ∪ , 1( ) ( ) ... ( )nl I l I l I= + + . Se dice que P es una partición regular cuando 1( ) ... ( ) ( ) /nl I l I b a n= = = − .

Si P y P’ son dos particiones de [ ],a b , se dice que P’ es más fina que P cuando 'P P⊂ .Denotaremos P ( [ ],a b ) la familia de todas las particiones del intervalo [ ],a b .

Sea [ ]: ,f I a b= → ¡ una función acotada y sea P una partición de I en los subintervalos

1 , ..., nI I .Se llama suma superior de Darboux de f respecto de P al número

1

( , ) ( ) sup ( )k

n

kk x I

U f P l I f x= ∈

= ∑ .

Se llama suma inferior de Darboux de f respecto de P al número

1

( , ) ( ) inf ( )k

n

kk

x IL f P l I f x

=∈

= ∑ .

Las sumas superiores e inferiores verifican ( , ) ( , )L f P U f P≤ , y si P’ es una partición más fina que P,

( , ) ( , ') ( , ') ( , )L f P L f P U f P U f P≤ ≤ ≤ .

Dada la función acotada [ ]: ,f I a b= → ¡ , llamaremos integral superior de f en [ ],a b

al número [ ]( , )

( , )infb

a P a bU f Pf

∈=∫ P

e integral inferior de f en [ ],a b al número

[ ]( , )( , )sup

b

a P a bf Pf L

∈=∫

P. Las integrales superior e inferior verifican siempre

b

af ≤∫ b

af∫ .

Diremos que f es integrable Riemann en [ ],a b cuando b

af =∫ b

af∫ . En este caso, se

llama integral de Riemann de f en [ ],a b , y se denota b

af∫ ó

If∫ , al valor común de sus

integrales superior e inferior.

Page 90: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.1.2. Propiedades de la integral de Riemann

• Toda función constante es integrable en [ ],a b , y además ( )b

ak k b a= −∫ .

• Toda función monótona en [ ],a b es integrable en [ ],a b .

• Toda función continua en [ ],a b es integrable en [ ],a b .(De hecho, si f tiene una cantidad finita o numerable de discontinuidades también es integrable Riemann.)

• Linealidad.- Si f y g son integrables en [ ],a b y ,α β ∈ ¡ , entonces f gα β+ es integrable en [ ],a b , y además

( )b b b

a a af g f gα β α β+ = +∫ ∫ ∫ .

• Monotonía.- Si f y g son integrables en [ ],a b y ( ) ( )f x g x≤ para todo [ ],x a b∈ ,

entonces b b

a af g≤∫ ∫ .

• Si f es integrable en [ ],a b , entonces f también es integrable en [ ],a b , y además, b b

a af f≤∫ ∫ .

(En particular, si f está acotada por M, se tiene ( )b

af M b a≤ −∫ .)

• Si f y g son integrables en [ ],a b , entonces fg es integrable en [ ],a b , y además

( ) ( ) ( )22 2b b b

a a afg f g≤∫ ∫ ∫ .

• Si f y g son integrables en [ ],a b y existe una constante 0c > tal que ( )g x c≥ para todo [ ],x a b∈ , entonces /f g es integrable en [ ],a b .

• Aditividad respecto del intervalo.- Dado ( , )c a b∈ , f es integrable en [ ],a b sii es integrable en [ ],a c y en [ ],c b , y, en tal caso,

b c b

a a cf f f= +∫ ∫ ∫ .

Page 91: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.1.3. Primitivas e integral indefinidaTeoremas fundamentales del Cálculo

Sea I un intervalo de la recta real y :f I → ¡ una función continua. Se dice que :F I → ¡ es una primitiva de f cuando F es derivable y F’=f.

Podemos observar que si F es una primitiva de f y c es una constante real, entonces F+c es otra primitiva de f. Recíprocamente, si F y G son dos primitivas de f en el mismo intervalo, entonces existe una constante real c tal que G=F+c.

Si [ ]: ,f a b → ¡ es una función integrable en [ ],a b , definimos ( )x

aF x f= ∫ , para

[ ],x a b∈ . La función [ ]: ,F a b → ¡ así definida es continua y se llama integral indefinida de f.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Si [ ]: ,f a b → ¡ es continua, entonces su integral indefinida, F, es una primitiva de f, i.e.

( ) ( )'x

af f x=∫ .

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow)

Si [ ]: ,f a b → ¡ es continua y G es una primitiva de f, entonces

( ) ( )b

af G b G a= −∫ .

5.1.4. Evaluación de integrales

Integración por partes

Sean [ ], : ,f g a b → ¡ dos funciones de clase 1C . Entonces,

' ( ) ( ) ( ) ( ) 'b b

a af g f b g b f a g a fg= − −∫ ∫ .

Cambio de variable

Sea [ ]: ,a bϕ → ¡ una función de clase 1C y [ ]: ( , )f a bϕ → ¡ continua. Entonces, la función ( ) 'f ϕ ϕo es integrable en [ ],a b y

( )

( )( ) '

b b

a af f

ϕ

ϕϕ ϕ =∫ ∫o .

Page 92: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.1.5. Integrales impropias

5.1.5.1. Integrales de funciones acotadas en intervalos no acotados

Se llama integral impropia de primera especie a una integral de una función acotada:f I → ¡ en un intervalo real no acotado, que puede ser, a su vez, de tres tipos: [ ),I a= + ∞ ,

( ],I b= − ∞ ó ( ),I = − ∞ + ∞ .

(a) Si [ ),I a= + ∞ y :f I → ¡ es una función acotada e integrable Riemann en [ ],a b para

todo b>a, se define la integra impropia de f en I como limb

a abf f

+ ∞

→ + ∞=∫ ∫ , siempre que

este límite exista. La integral impropia se llama convergente cuando el límite es finito y divergente cuando el límite es infinito.

(b) Si ( ],I b= − ∞ y :f I → ¡ es una función acotada e integrable Riemann en [ ],a b para

todo a<b, se define la integra impropia de f en I como limb b

aaf f

− ∞ → − ∞=∫ ∫ , siempre que

este límite exista. La integral impropia se llama convergente cuando el límite es finito y divergente cuando el límite es infinito.

(c) Si ( ),I = − ∞ + ∞ y :f I → ¡ es una función acotada e integrable Riemann en [ ],a b para cualesquiera a y b con a<b, se define la integra impropia de f en I como

limb

aab

ff+ ∞

− ∞ → − ∞→ + ∞

= ∫∫ , siempre que este límite doble exista. La integral impropia se llama

convergente cuando el límite es finito y divergente cuando el límite es infinito.

Observamos que lim lim limb c b

a a ca a bb

f f ff+ ∞

− ∞ → − ∞ → − ∞ → + ∞→ + ∞

= = +∫ ∫ ∫∫ , para cualquier c ∈ ¡ , con lo que

una integral del apartado (c) se reduce a una del apartado (a) y otra del apartado (b). Por otra parte, las del apartado (b) se reducen a las del apartado (a) mediante el cambio de variable y=-x.

Se define el valor principal de Cauchy de la integral impropia f+ ∞

− ∞∫ como

lim. .( )b

bbfV P f

+ ∞

− ∞ → + ∞= ∫∫ , siempre que este límite exista. Es claro que si la integral impropia es

convergente, su valor principal coincide con el valor anteriormente definido, pero puede ocurrir que la integral impropia sea divergente y su valor principal sea finito.

5.1.5.2. Integrales de funciones no acotadas en intervalos acotados

Se llama integral impropia de segunda especie a una integral de una función no acotada :f I → ¡ en un intervalo real acotado.

(a) Si [ ),I a b= y :f I → ¡ es una función acotada e integrable Riemann en [ ],a b ε−

para todo 0ε > , pero lim ( )x b

f x−→

= ∞ , se define la integra impropia de f en I como

Page 93: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

0lim

b b

a af f

ε

ε +

→=∫ ∫ , siempre que este límite exista. La integral impropia se llama

convergente cuando el límite es finito y divergente cuando el límite es infinito.

(b) Si ( ],I a b= y :f I → ¡ es una función acotada e integrable Riemann en [ ],a bε+

para todo 0ε > , pero lim ( )x a

f x+→

= ∞ , se define la integra impropia de f en I como

0lim

b b

a af f

εε + +→=∫ ∫ , siempre que este límite exista. La integral impropia se llama

convergente cuando el límite es finito y divergente cuando el límite es infinito.

(c) Si I es un intervalo acotado y :f I → ¡ es una función que tiende a ∞ en una cantidad finita de puntos de I (interiores o extremos), se considera una partición 1 ... kI I I= ∪ ∪ de I en una cantidad finita de subintervalos de modo que en cada uno de ellos nos encontremos en alguna de las situaciones de los apartados anteriores. En estas

condiciones, se define la integral impropia de f en I como 1

...kII I

f ff = + +∫∫ ∫ ,

siempre que las k integrales impropias de la derecha existan y la suma no genere indeterminación. La integral impropia se llama convergente cuando todos los sumandos son finitos y divergente cuando alguno es infinito.

En el caso de que f sea continua en [ ] { },a b c− , con ( , )c a b∈ , y no esté acotada en

ningún entorno de c, se define también el valor principal de la integral impropia b

af∫

como 0

. . ) lim( ( )b c b

a a cV P f f f

ε

εε +

+→+=∫ ∫ ∫ , en caso de que este límite exista.

5.1.5.3. Integrales de funciones no acotadas en intervalos no acotados

Se llama integral impropia de tercera especie a una integral de una función no acotada :f I → ¡ en un intervalo real no acotado.

Si I es un intervalo no acotado y :f I → ¡ es una función que tiende a ∞ en una cantidad finita de puntos de I, se considera una partición 1 ... kI I I= ∪ ∪ de I en una cantidad finita de subintervalos de modo que en cada uno de ellos nos encontremos con una integral impropia de primera o segunda especie. En estas condiciones, se define la

integral impropia de f en I como 1

...kII I

f ff = + +∫∫ ∫ , siempre que las k integrales

impropias de la derecha existan y la suma no genere indeterminación. La integral impropia se llama convergente cuando todos los sumandos son finitos y divergente cuando alguno es infinito.

5.1.5.4. Convergencia absoluta de integrales impropias

Se dice que la integral impropia I

f∫ converge absolutamente cuando la integral

impropia I

f∫ es convergente.Una integral impropia absolutamente convergente es convergente, y además

If ≤∫ I

f∫ .

Page 94: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA INTEGRALES IMPROPIAS DE FUNCIONES POSITIVAS ACOTADASSOBRE INTERVALOS NO ACOTADOS

C.5.1.5.1.1. Criterio de comparación directa.- Sean a

f+ ∞

∫ y a

g+ ∞

∫ dos integrales impropias de

funciones f, g, tales que 0 ( ) ( )f x g x≤ ≤ para todo x a≥ .

(i) Si a

g+ ∞

∫ es convergente, entonces a

f+ ∞

∫ también es convergente.

(ii) Si a

f+ ∞

∫ es divergente, entonces a

g+ ∞

∫ también es divergente.

C.5.1.5.1.2. Criterio de comparación por paso al límite.- Sean a

f+ ∞

∫ y a

g+ ∞

∫ dos integrales

impropias tal que ( ) 0f x ≥ y ( ) 0g x > para todo x a≥ y existe ( )

lim( )x

f xg x

λ→ + ∞

= .

(i) Si λ +∈ ¡ , las integralesa

f+ ∞

∫ y a

g+ ∞

∫ convergen o divergen simultáneamente.

(ii) Si 0λ = y a

g+ ∞

∫ converge, entonces a

f+ ∞

∫ también converge.

(ii) Si λ = + ∞ y a

g+ ∞

∫ diverge, entonces a

f+ ∞

∫ también diverge.

C.5.1.5.1.3. Criterio de comparación con la integral 1

1dx

+ ∞

∫ .- La integral impropia

1

1dx

+ ∞

∫ converge sii 1α > .

Por tanto, dada una integral impropia a

f+ ∞

∫ tal que ( ) 0f x ≥ para todo x a≥ y existe

lim ( )x

x f xα λ→ + ∞

= ,

(i) si λ ∈ ¡ y 1α > , entonces a

f+ ∞

∫ converge.

(ii) si λ +∈ ¡ ó λ = + ∞ y 1α ≤ , entonces a

f+ ∞

∫ diverge.

Page 95: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA INTEGRALES IMPROPIAS DE FUNCIONES POSITIVAS NO ACOTADASSOBRE INTERVALOS ACOTADOS

C.5.1.5.2.1. Criterio de comparación directa.- Sean b

af∫ y

b

ag∫ dos integrales impropias de

funciones f, g, tales que 0 ( ) ( )f x g x≤ ≤ para todo [ , )x a b∈ .

(i) Si b

ag∫ es convergente, entonces

b

af∫ también es convergente.

(ii) Si b

af∫ es divergente, entonces

b

ag∫ también es divergente.

C.5.1.5.2.2. Criterio de comparación por paso al límite.- Sean b

af∫ y

b

ag∫ dos integrales

impropias tal que ( ) 0f x ≥ y ( ) 0g x > para todo [ , )x a b∈ y existe ( )

lim( )x b

f xg x

λ→

= .

(i) Si λ +∈ ¡ , las integralesb

af∫ y

b

ag∫ convergen o divergen simultáneamente.

(ii) Si 0λ = y b

ag∫ converge, entonces

b

af∫ también converge.

(ii) Si λ = + ∞ y b

ag∫ diverge, entonces

b

af∫ también diverge.

C.5.1.5.2.3. Criterio de comparación con la integral 1

0

1dx

xα∫ .- La integral impropia 1

0

1dx

xα∫

converge sii 1α < .

Por tanto, dada una integral impropia b

af∫ tal que ( ) 0f x ≥ para todo [ , )x a b∈ y existe

lim ( ) ( )x b

b x f xα λ−→

=− ,

(i) si λ ∈ ¡ y 1α < , entonces b

af∫ converge.

(ii) si λ +∈ ¡ ó λ = + ∞ y 1α ≥ , entonces b

af∫ diverge.

Page 96: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.1. Ejercicios

E.5.1.1. Hallar las integrales superior e inferior de las siguientes funciones:(a) ( ) 0f x = , si [0,1]x ∈ ∩ ¤ ; ( )f x x= , si [0,1]x ∈ − ¤(b) ( )f x x= , [0,1]x ∈

(c) ( ) ln(1 )f x x= + , [0,1]x ∈ .Deducir cuáles de ellas son integrables y cuáles no.

E.5.1.2..Calcular los siguientes límites mediante sumas de Riemann:

(a) sin( / ) sin(2 / ) ... sin( / )

limn

a n a n na nn→ ∞

+ + + ( )a ∈ ¡

(b) 1 1 1

lim ...1 2n n n n n→ ∞

+ + ++ + +

÷

(c) 1/(2 )!

lim!nn

nnn n→ ∞

÷

E.5.1.3. Sea : [0, 2]f → ¡ , definida por ( ) 1f x = si [0,1]x ∈ y ( ) 2f x = si (1, 2]x ∈ , y sea F una primitiva de f.

i) Dar una expresión analítica de F.ii) Estudiar la continuidad de F.iii) Estudiar la derivabilidad de F.

E.5.1.4. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:

(a) 3

2

1( )

1 sin

x

af x dt

t=

+∫ (b) 231

( ) (1 sin

)x

af x dt

t=

+∫

(c) 2

sin 1( )

1 sin

x

af x dt

t=

+∫ (d) 2

1( ) sin

1 sin( )

x

af x dt

t=

+∫

(e) 2

1

0

1( ) (

1)

xf x dt

t−=

−∫ (f)

0 0( ) sin sin sin( ( ) )

x yf x tdt dy= ∫ ∫

E.5.1.6. Calcular las siguientes primitivas:

1. 2 3

( 2)( 3)x

dxx x

++ −∫ 2. 3 2

26 11 6

xdx

x x x+

− + −∫

3. ( ) ( )

2

3 21 1

xdx

x x+ −∫ 4. 2 2

1( 9)( 1)

dxx x x+ + +∫

5. 5 4 3 2

4 2

2 3 5 2 43 2

x x x x xdx

x x x+ − − + +

− +∫ 6. ( )

2

41

xdx

x−∫

Page 97: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

7. 2 cos 3x xdx∫ 8. sinxe xdx∫ 9. n xx e dx∫ 10. 2ln( 2)x dx+∫

11. 24 1

dx

x x− +∫ 12.

3

2

1

4

xdx

x

+

−∫

13. 6

21

xdx

x+∫ 14.

2 2 1

dx

x x −∫

15. 5 45 1x x dx+∫ 16. 4 2 / 3(2 1)x

dxx+

17. 3

dxx x+∫ 18.

3

1 11 4

xdx

x+ ++ +∫

19. ln x

dxx∫ 20. sin 3 ·sin 4 ·sin 6x x x dx∫

E.5.1.7. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:

1. 2

1

1 2 1( )x

dxx x− − −

∫ 12. 1

/ 2arc tg xdx

xπ∞ −

2. 0

ln(1 )

xdx

x x

+∫ 13. 3

3 5 22

ln( 1)

( 2) ( 1)

x xdx

x x

∞ +

− +∫

3. 20 1 cos

sen xdx

x

π

−∫ 14. ( )2

01 2 2x x x dx

∞+ − + +∫

4.1

0ln ln( 1)x x dx+∫ 15.

0

1xedx

x x

−∞ −∫

5. 20

ln1

xdx

x

+∫ 16. 1

1 11

1 2x

x x dxx x

∞ −− + −

+

÷

6.1

0

ln1

xdx

x−∫ 17. 2

20ln ln 1

ax dx

x

∞+

÷ ∫

7. 4

1

0

11

dxx−∫ 18.

20

111 2

adx

xx

∞−

++

÷

8.1

0 1x

dxx

α −∞

+∫ 19. 3

1

ln(21

)( )a b

xdx

x x

+−∫

9.1

x xdx

e e−

− ∞ +∫ 20. 0

cos xdx

x

10. 20

1cos

dxx

π

∫ 21. 0

1xe sen dxx

−∞ ÷ ∫

11. ( )20

ln sen x dxπ

∫ 22. 2

1(ln )e

dxx x

Page 98: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.2. La integral de Riemann para funciones de varias variables

5.2.1. Concepto de integrabilidad Riemann para una función acotada en un intervalo compacto de n¡

Sea [ ] [ ]1 1, ... ,n na b a bI × ×= un intervalo compacto de n¡ .Definimos la medida de I como 1 1( ) ( )...( )n nI b a b aµ = − − .

Si { }( )( ) (0) (1) ... ikii i i i iP a x x x b= = < < < = es una partición de [ ],i ia b para cada 1,...,i n=

, entonces (1) ( )... nP P P= × × nos proporciona una partición de I en 1... nk k k= subintervalos (1) ( ), ..., kI I (que no se solapan, i.e., ( ) ( )( ) 0i jI Iµ ∩ = , y cuya unión es I). Se dice que P es una

partición regular cuando todos los subintervalos (1) ( ), ..., kI I tienen la misma medida.Si P y P’ son dos particiones de I, se dice que P’ es más fina que P cuando 'P P⊂ .Denotaremos P (I) la familia de todas las particiones del intervalo I.

Sea :f I → ¡ una función acotada y sea P una partición de I en los subintervalos (1) ( ), ..., kI I .

Se llama suma superior de Darboux de f respecto de P al número

( )1

( )( , ) ( ) sup ( )j

k

j

j

x IU f P I f xµ

= ∈= ∑ .

Se llama suma inferior de Darboux de f respecto de P al número

( )1

( )( , ) ( ) inf ( )j

n

j

j

x IL f P I f xµ

= ∈= ∑ .

Las sumas superiores e inferiores verifican ( , ) ( , )L f P U f P≤ , y si P’ es una partición más fina que P,

( , ) ( , ') ( , ') ( , )L f P L f P U f P U f P≤ ≤ ≤ .

Dada la función acotada :f I → ¡ , llamaremos integral superior de f en I al número

( )( , )inf

PI P IU f Pf

∈=∫ e integral inferior de f en I al número

( )( , )sup

PI P If Pf L

∈=∫ . Las

integrales superior e inferior verifican siempre I

f ≤∫ If∫ .

Diremos que f es integrable Riemann en I cuandoI

f =∫ If∫ . En este caso, se llama

integral de Riemann de f en I, y se denota I

f∫ , al valor común de sus integrales superior e inferior.

5.2.2. Propiedades de la integral de Riemann en dimensión n

Page 99: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

• Toda función constante es integrable en I, y además ( )I

k Ik µ=∫ .

• Toda función continua en I es integrable en I.(De hecho, f será integrable sii el conjunto de sus discontinuidades tiene medida nula. (Teorema de Lebesgue)).

• Linealidad.- Si f y g son integrables en I y ,α β ∈ ¡ , entonces f gα β+ es integrable

en I, y además ( )I I I

f g f gα β α β+ = +∫ ∫ ∫ .

• Monotonía.- Si f y g son integrables en I y ( ) ( )f x g x≤ para todo x I∈ , entonces

I If g≤∫ ∫ .

• Si f es integrable en I, entonces f también es integrable en I, y además, I I

f f≤∫ ∫ .

En particular, si f está acotada por M, se tiene ( )I

M If µ≤∫ .

• Si f y g son integrables en I, entonces fg es integrable en I, y además

( ) ( ) ( )22 2

I I Ifg f g≤∫ ∫ ∫ .

• Si f y g son integrables en I y existe una constante 0c > tal que ( )g x c≥ para todo x I∈ , entonces /f g es integrable en I.

• Aditividad respecto del intervalo.- Si I J K= ∪ , donde J y K son intervalos n-dimensionales que no se solapan, entonces f es integrable en I sii es integrable en J y en K, y, en tal caso,

I J Kf f f= +∫ ∫ ∫ .

5.2.3. Integrales iteradas en intervalos n-dimensionales

Si :f I → ¡ es una función acotada, se llaman integrales iteradas de f en I a las n!

integrales 1

11

1( ,..., )... ...i in

ni in

n

b b

i ia af x x dx dx∫ ∫ , donde 1 , ..., ni i recorren todas las permutaciones de

1,..., n

Teorema de Fubini.- Sea [ ] [ ]1 1: , ... ,n nf I a b a b= × × → ¡ una función acotada. Si f es integrable Riemann en I, entonces existen sus n! integrales iteradas, y todas ellas son iguales a

If∫ .

Page 100: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.2.4. La integral de Riemann de una función acotadasobre una región acotada de n¡

Sea nD ⊂ ¡ una región acotada y :f D → ¡ una función acotada en D. Sea I un intervalo n-dimensional tal que D I⊂ . Definimos % :f I → ¡ por % ( ) ( )f x f x= si x D∈ y % ( ) 0f x = si x I D∈ − . Se dice que f es integrable Riemann en D cuando °f es integrable

Riemann en I, y, en este caso, se llama integral de Riemann de f en D a %D I

f f=∫ ∫ .

• Obsérvese que ni la integrabilidad de f ni el valor de su integral van a depender del intervalo que hayamos elegido para cubrir D.

• Obsérvese también que las discontinuidades de la función °f estarán entre las discontinuidades de f o en la frontera de D, de modo que la integrabilidad de f va a depender de la medida de sus discontinuidades y de la medida de la frontera de su dominio.

• Además, con esta definición se mantienen las propiedades de linealidad, monotonía y aditividad de la integral de Riemann.

5.2.5. Cambio de variable

Sean D y E dos regiones acotadas de n¡ y sea :T D E→ una aplicación biyectiva tal que 1 1,T T C− ∈ . Si :f E → ¡ es integrable Riemann en E, entonces ( ) detg f T JT= o es integrable Riemann en D y se verifica

( ) detE D

f f T JT=∫ ∫ o .

Page 101: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo
Page 102: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.3. La integral de Riemann en dimensión 2

5.3.1. Generalidades

En el caso de dimensión 2, nuestros intervalos serán rectángulos de la forma [ , ] [ , ]I a b c d= × , y su medida, ( ) ( )( )I b a d cµ = − − , se corresponde al área de I.

Si :f I → ¡ es una función integrable Riemann en I, su integral se denotará I

f∫ ó

If∫ ∫ , y las integrales iteradas serán de la forma ( , )

b d

a cf x y dydx∫ ∫ y ( , )

d b

c af x y dxdy∫ ∫ .

5.3.2. Regiones elementales en dimensión 2

Se llama región elemental de tipo 1 en 2¡ a una región de la forma

{ }21 2( , ) : , ( ) ( )A x y a x b x y xϕ ϕ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤¡ ,

donde 1 2,ϕ ϕ son dos funciones continuas en el intervalo [ , ]a b tales que 1 2( ) ( )x xϕ ϕ≤ para todo [ , ]x a b∈ .

Se llama región elemental de tipo 2 en 2¡ a una región de la forma

{ }21 2( , ) : , ( ) ( )B x y c y d y x yϕ ϕ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤¡ ,

donde 1 2,ϕ ϕ son dos funciones continuas en el intervalo [ , ]c d tales que 1 2( ) ( )y yϕ ϕ≤ para todo [ , ]y c d∈ .

De acuerdo con el Teorema de Fubini, si A es una región elemental de tipo 1 como la descrita anteriormente y f es una función integrable en A, su integral se expresa como

2

1

( )

( )( , )

b x

A a xf f x y dydx

ϕ

ϕ=∫ ∫ ∫ ∫ ,

y si B es una región elemental de tipo 2 y f una función integrable en B,2

1

( )

( )( , )

d y

B c yf f x y dxdy

ϕ

ϕ=∫ ∫ ∫ ∫ .

Si D es una región acotada de 2¡ que se puede expresar como unión finita de regiones

elementales que no se solapan, 1 ... nD D D= ∪ ∪ , la integral D

f∫ ∫ se calcula, aplicando la propiedad general de aditividad, mediante la expresión

1...

nD D Df f f= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Page 103: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.3.3. Algunas aplicaciones de las integrales dobles

Área de una región plana

El área de una región acotada 2D ⊂ ¡ viene dada por ( ) 1

D DA D dxdy= =∫ ∫ ∫ ∫

(siempre que la función 1 sea integrable en D).En particular, si D es una región elemental de tipo 1,

( )2

1

( )

1 2( )( ) ( ) ( )

b x b

a x adydxA D x x dx

ϕ

ϕϕ ϕ= = −∫ ∫ ∫ .

Volumen encerrado por una gráfica

Si 2D ⊂ ¡ es una región acotada y :f D → ¡ una función continua y acotada en D, con ( , ) 0f x y ≥ para todo ( , )x y D∈ , entonces el volumen encerrado entre la gráfica de f y el plano

XY viene dado por( , )

DV f x y dxdy= ∫ ∫ .

Masa de una lámina plana

Si tenemos una lámina plana extendida sobre una región acotada 2D ⊂ ¡ , de densidad variable, dada por una función continua : Dρ → ¡ , entonces la masa de la lámina viene dada por

( , )D

m x y dxdyρ= ∫ ∫ .

Momentos y centro de masa de una lámina plana

Si tenemos una lámina plana extendida sobre una región acotada 2D ⊂ ¡ , de densidad variable, dada por una función continua : Dρ → ¡ , entonces los momentos respecto de los ejes X e Y vienen dados respectivamente por

( , )DxM y x y dxdyρ= ∫ ∫ , ( , )

DyM x x y dxdyρ= ∫ ∫ .

Además, si m es la masa de la lámina, su centro de masa es ( , )x y , donde

yMx

m= , xM

ym

= .

Momentos de inercia

Si tenemos una lámina plana extendida sobre una región acotada 2D ⊂ ¡ , de densidad variable, dada por una función continua : Dρ → ¡ , entonces sus momentos de inercia respecto de los ejes X e Y vienen dados respectivamente por

2 ( , )Dx yI x y dxdyρ= ∫ ∫ , 2 ( , )

Dy xI x y dxdyρ= ∫ ∫ .

Page 104: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.3. Ejercicios

E.5.3.1. (a) Calcular el área de una lámina triangular plana con vértices situados en los puntos (0 0), , ( 2 0)π / , , ( 2 2)π π/ , / .(b) Calcular la masa de dicha lámina si su densidad viene dada por la función

3( ) cosf x y x y x, = + .

E.5.3.2. Hallar la integral de la función ( ) x yf x y e +, = en el cuadrilátero de vértices (0 0), , (2 0), , (1 1), , (0 1), .

E.5.3.3. Hallar la integral de la función ( , )f x y y= en la región limitada por y x= , 2y x= − e 0y = .

E.5.3.4. Hallar la masa de una lámina que ocupa la región limitada por la parábola 22y x= − y la recta 2y x= , sabiendo que su densidad viene dada por la función

2( , )x y x yρ = .

E.5.3.5. En los casos siguientes, dibujar el recinto de integración y calcular las integrales iteradas en los dos órdenes posibles:

(1) 4 4

0 0

xxydydx

∫ ∫ (2) 1 2

0

y xx

xe dydx−∫ ∫ (3)

2

2

2/ 3 16

0 / 6

y

ydxdy

∫ ∫

E.5.3.6. Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide 2 2z x y= + y el plano XY.

E.5.3.7. (a) Hallar el área del primer cuadrante del círculo 2 2 9x y+ ≤ en coordenadas cartesianas y en polares.

(b) Hallar la integral de la función 3

2 2( ) xx yf x y

+, = en la misma región.

E.5.3.8. Hallar la integral de la función ( )f x y xy, = en el recinto comprendido entre la circunferencia 2 2 1x y+ = y las rectas y x= , y x= − en el semiplano superior.

E.5.3.9. Hallar el área interior a la circunferencia 2 2 2x y y+ = y a la lemmiscata 2 2 2 2 2( ) 4( )x y x y+ = − .

E.5.3.10. Hallar el área de los distintos recintos determinados por la circunferencia aρ = y la cardioide (1 cos )aρ θ= + .

E.5.3.11. Hallar la integral de la función 22

( )( ) aa x xf x y −, = en el recinto limitado por

la curva 3 2 2 2( ) 0x xy a x y+ + − = y las rectas x a= − , / 2x a= − .

E.5.3.12. Invertir el orden de integración en las siguientes integrales y calcularlas en los dos órdenes:

Page 105: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

(1) 2

0 0

xedy dx∫ ∫ (2) 2

1 3 2

2 4

x

x xdy dx

+

− +∫ ∫ (3) 22 2

0sen( )

xy xy dy dx∫ ∫

Page 106: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.4. La integral de Riemann en dimensión 3

5.4.1. Generalidades

En el caso de dimensión 3, nuestros intervalos serán ortoedros de la forma 1 1 2 2 3 3[ , ] [ , ] [ , ]I a b a b a b= × × , y su medida, 1 1 2 2 3 3( ) ( )( )( )I b a b a b aµ = − − − , se corresponde al

volumen de I.Si :f I → ¡ es una función integrable Riemann en I, su integral se denotará

If∫ ó

If∫ ∫∫ , y se calculará mediante alguna de sus 6 integrales iteradas,

1 2 3

1 2 3

( , , )b b b

a a af x y z dzdydx∫ ∫ ∫ ,…

5.4.2. Regiones elementales en dimensión 3

Se llama región elemental de tipo 1 en 3¡ a una región de la forma

{ }21 2 1 2( , , ) : , ( ) ( ), ( , ) ( , )A x y z a x b x y x x y z x yϕ ϕ ψ ψ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤¡ ,

donde 1 2,ϕ ϕ son dos funciones continuas en el intervalo [ , ]a b tales que 1 2( ) ( )x xϕ ϕ≤ para todo [ , ]x a b∈ y 1 2,ψ ψ son dos funciones continuas en la región elemental de 2¡

{ }21 2( , ) : , ( ) ( )D x y a x b x y xϕ ϕ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤¡

tales que 1 2( , ) ( , )x y x yψ ψ≤ para todo ( , )x y D∈ .

Análogamente, se pueden considerar hasta 6 tipos de regiones elementales, según el orden en el que se elijan las variables x,y,z.

De acuerdo con el Teorema de Fubini, si A es una región elemental de tipo 1 como la descrita anteriormente y f es una función integrable en A, su integral se expresa como

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )( , , )

b x x y

A a x x yf f x y z dzdydx

ϕ ψ

ϕ ψ=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Si D es una región acotada de 3¡ que se puede expresar como unión finita de regiones

elementales que no se solapan, 1 ... nD D D= ∪ ∪ , la integral D

f∫ ∫ ∫ se calcula, aplicando la propiedad general de aditividad, mediante la expresión

1

...nD D D

f f f= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Page 107: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.4.3. Algunas aplicaciones de las integrales triples

Volumen de una región tridimensional

El volumen de una región tridimensional acotada 3D ⊂ ¡ viene dado por ( ) 1

D DV D dxdydz= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(siempre que la función 1 sea integrable en D).En particular, si D es una región elemental de tipo 1,

( )2 2 2

1 1 1

( ) ( , ) ( )

1 2( ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , )

b x x y b x

a x x y a xdzV D dydx x y x y dydx

ϕ ψ ϕ

ϕ ψ ϕψ ψ= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Masa de una figura tridimensional

Si tenemos una figura tridimensional D de densidad variable, dada por una función continua : Dρ → ¡ , entonces la masa de la figura viene dada por

( , , )D

m x y z dxdydzρ= ∫ ∫ ∫ .

Momentos y centro de masa de una figura tridimensional

Si tenemos una figura tridimensional de densidad variable, dada por una función continua : Dρ → ¡ , entonces los momentos respecto de los planos YZ, XZ y XY vienen dados

respectivamente por ( , , )yz D

M x x y z dxdydzρ= ∫ ∫ ∫ ,

( , , )xz DM y x y z dxdydzρ= ∫ ∫ ∫ ,

( , , )xy DM z x y z dxdydzρ= ∫ ∫ ∫ .

Además, si m es la masa de la lámina, su centro de masa es ( , ),x y z , donde

yzMx

m= , xzM

ym

= , xyMz

m= .

Momentos de inercia

Si tenemos una figura tridimensional de densidad variable, dada por una función continua : Dρ → ¡ , entonces sus momentos de inercia respecto de los ejes X, Y y Z vienen dados

respectivamente por 2 2( ) ( , , )x D

I y z x y z dxdydzρ= +∫ ∫ ∫ , 2 2( ) ( , , )y D

I x z x y z dxdydzρ= +∫ ∫ ∫ ,2 2( ) ( , , )z D

I x y x y z dxdydzρ= +∫ ∫ ∫ .

Page 108: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.4. Ejercicios

E.5.4.1. Calcular la integral de la función ( )f x y z x y z, , = + + en el tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano que pasa por los puntos (1 0 0), , , (0 1 0), , , (0 0 1), , .

E.5.4.2. Calcular el volumen de la esfera de radio a , integrando en coordenadas cartesianas y en esféricas.

E.5.4.3. Calcular el volumen del cilindro de radio a y altura h , integrando en coordenadas cartesianas y en cilíndricas.

E.5.4.4. Calcular la integral de la función ( )f x y z xyz, , = en el recinto limitado por las superficies 0z = y 2 2 1z x y+ + = en el primer octante.

E.5.4.5. Hallar la masa del cuerpo que ocupa el recinto interior al elipsoide 22 2

2 2 2 1yx za b c

+ + = en el primer octante, sabiendo que su densidad viene dada por la función

( )f x y z z, , = .

E.5.4.6. Calcular el volumen comprendido entre el plano 0z = , el paraboloide 22

2 2yx

p qz = + ( 0p > , 0q > ) y el cilindro elíptico 22

2 2 1yxa b

+ = .

E.5.4.7. Calcular la integral de la función ( , , )f x y z x= en la región del primer octante acotada por los planos 0x = , 0y = , 2z = y la superficie 2 2z x y= + .

E.5.4.8. Calcular la integral de la función ( , , )f x y z z= en la región del primer octante acotada por los planos 0y = , 0z = , 2x y+ = , 2 6x y+ = y el cilindro 2 2 4y z+ = .

E.5.4.9. Sea B un cuerpo que ocupa la región acotada por los planos 0x = , 0y = , 0z = , 1x y+ = , x y z+ = .

a) Calcular el volumen de B.b) Calcular los momentos de B respecto de los planos coordenados, supuesto que

tenga densidad constante.c) Calcular los momentos de inercia de B respecto de los ejes.

E.5.4.10. Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies 2 2 2x y y+ = , 2 2z x y= + y el plano XY en el primer octante.

E.5.4.11. Cambiar el orden de integración de todas las formas posibles en la integral 1

0 0 0( , , )

x yf x y z dzdydx∫ ∫ ∫ y esbozar la región de integración.

E.5.4.12. Demostrar, cambiando el orden de integración, que 2

0 0 0 0

1( ) ( ) ( )

2a v u a

f w dwdudv a t f t dt= −∫ ∫ ∫ ∫ .

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Page 110: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.5. Integrales dependientes de un parámetro

5.5.1. Concepto de integral dependiente de un parámetro

Consideremos una región { }( , ) : ,q ptR x t t D x A= ∈ ⊂ ∈ ⊂¡ ¡ , donde D es una región

elemental en q¡ y tA es una región elemental (dependiente de t) en p¡ , para cada t D∈ . Supongamos que : p qf R +⊂ →¡ ¡ es una función tal que, para cada valor de t D∈ fijo, la

función (., ) : ptf t A ⊂ →¡ ¡ es integrable Riemann en tA . Se llama integral dependiente del

parámetro t a la función ( ) ( , )tA

I t f x t dx= ∫ (integral de Riemann en p¡ ).

El caso más sencillo es el de un rectángulo { }[ , ] [ , ] ( , ) : ,R a b c d x t a x b c t d= × = ≤ ≤ ≤ ≤ , y una función 2:f R ⊂ →¡ ¡ tal que, para cada valor de [ , ]t c d∈ fijo, la función

(., ) : [ , ]f t a b → ¡ es integrable Riemann en [ , ]a b . Entonces, la integral dependiente del

parámetro t es de la forma ( ) ( , )b

aI t f x t dx= ∫ .

Si R es una región elemental en 2¡ del tipo { }( , ) : ( ) ( ),R x t a t x b t c t d= ≤ ≤ ≤ ≤ , la

integral dependiente del parámetro t es de la forma( )

( )( ) ( , )

b t

a tI t f x t dx= ∫ .

5.5.2. Continuidad de la integral dependiente de un parámetro

Teorema.- Si { }( , ) : ( ) ( ),R x t a t x b t c t d= ≤ ≤ ≤ ≤ y 2:f R ⊂ →¡ ¡ es continua,

entonces ( )

( )( ) ( , )

b t

a tI t f x t dx= ∫ es continua en [ , ]c d .

Corolario 1.-En particular, si las funciones a y b son constantes, ( ) ( , )b

aI t f x t dx= ∫ es

continua.

Corolario 2.- En las mismas condiciones, si 0 [ , ]t c d∈ , se puede pasar al límite bajo el signo integral,

0

( , )limb

at tf x t dx

→=∫

0

lim ( , )b

a t tf x t dx

→∫

5.5.3. Derivabilidad de la integral dependiente de un parámetro

Teorema de Leibniz.- Si [ , ] [ , ]R a b c d= × , 2:f R ⊂ →¡ ¡ es derivable respecto de t

y la derivada parcial ft

∂∂

es continua, entonces ( ) ( , )b

aI t f x t dx= ∫ es derivable en [ , ]c d y

además( , )

'( )b

a

f x tI t dx

t∂

=∂∫ .

Page 111: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Teorema de Leibniz generalizado.- Si { }( , ) : ( ) ( ),R x t a t x b t c t d= ≤ ≤ ≤ ≤ ,

2:f R ⊂ →¡ ¡ es derivable respecto de t con derivada parcial ft

∂∂

continua, y las funciones

a(t), b(t) también son derivables en [ , ]c d , entonces ( )

( )( ) ( , )

b t

a tI t f x t dx= ∫ es derivable en [ , ]c d

y además

( ) ( )( , )'( ) ( ), '( ) ( ), '( )

b

a

f x tI t dx f b t t b t f a t t a t

t∂

= + −∂∫ .

5.5.4. Integrabilidad de la integral dependiente de un parámetro

Teorema.- Si { }( , ) : ( ) ( ),R x t a t x b t c t d= ≤ ≤ ≤ ≤ y 2:f R ⊂ →¡ ¡ es continua,

entonces ( )

( )( ) ( , )

b t

a tI t f x t dx= ∫ es integrable en [ , ]c d y además

( )

( )( ) ( , )

d b t

c a t R

d

cI t dt f x t dx fdt= =∫ ∫ ∫∫ .

5.5.5. Integrales impropias dependientes de un parámetro

La continuidad, derivación e integración de las funciones definidas mediante integrales pueden extenderse al caso en que estas integrales sean impropias.

5.5.5.1. Integral impropia de primera especie dependiente de parámetro

Sea ( )t,xf definida en el rectángulo infinito ( ){ }dtc,xa:t,xR ≤≤∞<≤= y tal

que para cada [ ]d,ct ∈ la integral impropia ( )∫∞

adxt,xf es convergente. Entonces

( )∫∞

=a

dxt,xf)t(I , con [ ]d,ct ∈ es la función definida por una integral impropia de primera especie dependiente de un parámetro.

Observaciones:

• El intervalo [ ]d,c puede ser también infinito.

• La integral impropia converge para un punto [ ]d,ct ∈ , si existe y es finito el límite

( ), ( )limM

aMf x t dx I t

→ ∞=∫ .

• Se dice que la integral ( )I t converge absolutamente en [ , ]c d , si converge la integral

( ),a

f x t dx∞

∫ . Recuérdese que si ( )I t converge absolutamente, entonces converge.

• De manera análoga se trabaja con funciones definidas mediante integrales impropias

del tipo ( ),a

f x t dx− ∞∫ ó ( ),f x t dx

− ∞∫ .

Page 112: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

Convergencia uniforme de una integral impropia dependiente de un parámetro

La integral impropia ( )( ) ,a

I t f x t dx∞

= ∫ es uniformemente convergente en [ , ]c d si para

todo 0ε > existe ( )M M aε= ≥ tal que ( ),b

f x t dx ε∞

<∫ para todo b M> y todo [ ],t c d∈ .

Criterio de Weierstrass

Supongamos que ( ),f x t está definida en [ ) [ ], ,R a c d= ∞ × , que para cada [ ]d,ct ∈ , ( ),f x t es integrable respecto a x en cualquier intervalo [ ],a M , y que además

( ) ( ),f x t g x≤ para todo ( ),x t R∈ . Entonces, si la integral ( )a

g x dx∞

∫ es convergente, la

integral ( ),a

f x t dx∞

∫ es uniformemente convergente.

Propiedades de las integrales impropias uniformemente convergentes

Continuidad.- Si ( ),f x t es continua en R y la integral ( )( ) ,a

I t f x t dx∞

= ∫ converge

uniformemente en [ ],c d , entonces ( )I t es continua en [ ],c d .

Derivabilidad.- Si ( ),f x t y ( ),f x t

t∂

∂ son continuas en R, la integral

( )( ) ,a

I t f x t dx∞

= ∫ converge para todo t y además ( ),

a

f x tdx

t∞ ∂

∂∫ converge uniformemente en

[ ],c d , entonces ( ),

'( )a

f x tI t dx

t∞ ∂

=∂∫ .

Integrabilidad.- Si ( ),f x t es continua en R y la integral ( )( ) ,a

I t f x t dx∞

= ∫ converge

uniformemente en [ ],c d , entonces I(t) es integrable en [ ],c d y además

( )( ) ( )( )( ) , , .d d d

c c a a cI t dt f x t dx dt f x t dt dx

∞ ∞= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5.5.5.2. Integral impropia de segunda especie dependiente de un parámetro

Se denomina integral impropia de segunda especie dependiente del parámetro t a una

integral de la forma ( )( ) ,b

aI t f x t dx= ∫ donde para cada [ ],t c d∈ , (., )f t es continua en

[ , )a b y lim ( , )x b

f x t→

= ∞ .

Observaciones:

• La teoría correspondiente a las integrales impropias de segunda especie dependiente de un parámetro es análoga a la correspondiente a las de primera especie.

• El resto de los casos de integrales impropias dependientes de un parámetro, mediante el principio de aditividad, se pueden reducir a los anteriores.

Page 113: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.5. Ejercicios

E.5.5.1. Calcular 3

10lim (3 1) cost

x tx dx→

−∫ .

E.5.5.2. Calcular ( )I t′ , siendo 2

2 2( ) ( )t

tI t sen x t dx= +∫ .

E.5.5.3. Sea 20

ln(1 )( )

1

t txI t dx

x+

=+∫

(i) Estudiar su derivabilidad y calcular I’(t).(ii) Obtener una expresión de I(t) en la que no aparezcan integrales.

(iii) Calcular 2

1

0

ln(1 )1

txdx

x+

+∫ .

E.5.5.4. Calcular 2

5

0 (1 )k k

dxI

x=

+∫ , para k=1,2,3 (Para k=2,3, introducir una

integral dependiente de un parámetro).* Este problema está desarrollado en la página web de la asignatura con diversos grados de ayuda.

E.5.5.5. Calcular 1

0( ) (ln )a k

kI a x x dx= ∫ , para 1a ≥ , k=0,1,2,…

E.5.5.6. Calcular 20

( )( )

(1 )arctg tx

I t dxx x

+ ∞=

+∫ . (Indicación: derivar respecto de t.)

Page 114: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.6. Las funciones eulerianas

5.6.1. La función Γ

Se define la función gamma de Euler por1

0( ) t xt x e dx− −+ ∞

=Γ ∫ ,

integral impropia dependiente de un parámetro, que converge sólo para valores positivos del parámetro, es decir, : (0, )+ ∞ →Γ ¡ .

Como, además, la convergencia es uniforme en los subconjuntos compactos de (0, )+ ∞ ,

la función Γ es continua, derivable, con 1

0( ) ln' t xt x e xdx− −+ ∞

=Γ ∫ , e integrable Riemann en

cualquier subintervalo compacto de (0, )+ ∞ , con1 1

0 0( ) t x x tb b b

a a at dt x e dx e x dtdxdt− − − −+ ∞ + ∞

=Γ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Propiedades de la función Γ :

• ( ) 0t >Γ , para cada 0t > ; (1) 1=Γ• ( 1) ( )t t t+ =Γ Γ , para todo 0t >• ( ) ( 1)!n n= −Γ , para todo n ∈ ¥• (1/ 2) π=Γ

5.6.2. La función B

Se define la función beta de Euler por1 11

0( , ) (1 )p qp q x x dx− −Β = −∫ ,

integral impropia dependiente de dos parámetros, que converge sólo para valores positivos de los mismos, es decir, : (0, ) (0, )Β + ∞ × + ∞ → ¡ .

Como, además, la convergencia es uniforme en los subintervalos de la forma [ , ) [ , )a b+ ∞ × + ∞ , con , 0a b > , la función B es continua, derivable, con,

1 11

0( , ) (1 ) lnp qp q x x xdx

p− −∂ Β

= −∂ ∫ , 1 11

0( , ) (1 ) ln(1 )p qp q x x x dx

q− −∂ Β

= − −∂ ∫ , e integrable

Riemann, con1 11

0(1 )( , ) p q

a b a bx x dxp q dqdp dqdp− −+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞

= −Β∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Propiedades de la función B:

• ( , ) ( , )p q q p=Β Β , para todo , 0p q >• ( ,1) 1/p pΒ = , para todo 0p >

• 2 1 2 1/ 2

0( , ) 2 (sin ) (cos )p qp q t t dt

π − −=Β ∫ , para todo , 0p q > ; (1/ 2,1/ 2) 1=Β

•( ) ( )( , )( )p qp qp q

Γ ΓΒ =Γ + , para todo , 0p q >

Page 115: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.6. Ejercicios

E.5.6.1. Calcular las siguientes integrales:

(1) 2 8

0sen x dx

π /

∫ (6) 24

03 x dx−+ ∞

∫(2)

2 8

0cos x dx

π /

∫ (7) 1

0

1ln

dxx−∫

(3) 6 2

0

xx e dx−+ ∞

∫ (8) 22

0 2x

dxx−∫

(4) 2

0

xe dx−+ ∞

∫ (9) 2

0

axe dx−+ ∞

∫ (a>0)

(5)3

0

xxe dx−+ ∞

∫ (10) 4 2 2

0

ax a x dx−∫

E.5.6.2. Dar una fórmula general para las integrales:

(1) ( ) ( )/ 2

0sin cosn mx x dx

π

∫ , { }, 0n m ∪∈ ¥ .

(6) ( ) ( )/ 2

0sin cosx x dxα βπ

∫ , { }, 0α β +∈ ∪¡ .

(7) ( ) ( )0

sin cosn mx x dxπ

∫ , { }, 0n m ∪∈ ¥ (distinguir pares de impares).

(8) ( ) ( )2

0sin cosn mx x dx

π

∫ , { }, 0n m ∪∈ ¥ (distinguir pares de impares).

E.5.6.3. Probar:

(i) ( , 1) ( , )q

p q p qp q

Β + = Β+

, , 0p q >

(ii) ( 1, ) ( , )p

p q p qp q

Β + = Β+

, , 0p q >

(iii) ( 1)!( 1)!

( , )( 1)!

m nm n

m n− −

Β =+ −

, ,m n ∈ ¥ .

Page 116: Análisis Matemático. Univ. de Oviedo

5.-Cálculo Integral

5.1. La integral de Riemann para funciones de variable real

5.1.1. Particiones de un intervalo compacto.5.1.2. Sumas superiores e inferiores de una función acotada en un intervalo compacto.5.1.3. Integrales superior e inferior de Riemann.5.1.4. Concepto de integrabilidad para una función acotada en un intervalo compacto.

5.2. Primitivas

5.2.1. Concepto de primitiva.5.2.2. Algunos métodos elementales de cálculo de primitivas.5.2.3. Teoremas fundamentales del Cálculo Integral.5.2.4. Teorema del cambio de variable.

5.3. La integral de Riemann para funciones de variable vectorial

5.3.1. Particiones de un intervalo compacto en dimensión dos y tres.5.3.2. Sumas superiores e inferiores de una función acotada en un intervalo compacto.5.3.3. Integrales superior e inferior de Riemann.5.3.4. Concepto de integrabilidad para funciones acotadas en un intervalo compacto.5.3.5. Extensión de la integral a funciones acotadas en otros tipos de dominios.

5.4. Integrales iteradas

5.4.1. Concepto de integral iterada en dos y tres variables.5.4.2. Teorema de Fubini.5.4.3. Regiones elementales en dimensión dos.5.4.4. Regiones elementales en dimensión tres.

5.5. Integrales impropias

5.5.5. Extensión de la integral a funciones de una variable no acotadas o definidas en un intervalo no acotado.

5.5.6. Convergencia de la integral impropia. Criterios.

5.6. Integrales dependientes de un parámetro

5.6.1. Concepto de integral dependiente de un parámetro escalar o vectorial.5.6.2. Convergencia y convergencia uniforme de la integral dependiente de un parámetro.5.6.3. Continuidad de la integral dependiente de un parámetro.5.6.4. Derivabilidad de la integral dependiente de un parámetro.5.6.5. Integrabilidad de la integral dependiente de un parámetro.

5.7. Funciones eulerianas

5.7.1. Función Gamma.Función Beta.