analisi incertezza - miro.ing.unitn.it del... · annullati) e l’incertezza tipo associata sarà...

M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I

F

K C

M

A

B

Analisi incertezza

L'operazione di misura è concettualmente simile all'estrarre un campione statistico di n valori casuali (quelli che otteniamo dal nostro strumento ripetendo n volte la misura) dall'universo rappresentato da tutti i valori che la misura può assumere


F

K C

M

A

B

A rigor di logica ad ogni misura con distribuzione gaussiana dovrebbe essere assegnato un intervallo che va da -∞ ad ∞ per comprendere tutti i possibili valori che la misura può assumere, questo perché la distribuzione gaussiana assegna valori di probabilità non nulla a scostamenti che vanno da -∞ ad ∞ rispetto al valore medio.

Di fatto il modello di distribuzione gaussiana va bene attorno ai valori centrali, ma molto meno bene per valori lontani da quello centrale

Esempio di una misura dimensionale: non si possono avere valori negativi Questo problema viene trattato nella normativa UNI-CEI-ENV-13500, normalmente chiamata GUIDA ISO.


F

K C

M

A

B

La misura è una variabile aleatoria, cioè non si può definire in maniera assoluta, ma unicamente stimare un intervallo con relativo livello di confidenza

Per descrivere le variabili aleatorie si usano le distribuzioni di probabilità e la distribuzione a cui la UNI-CEI-ENV-13500 fa riferimento è la distribuzione di Gauss, per la quale, noti σ e µ, sono note le proprietà statistiche.

In particolare è possibile calcolare la probabilità che una misura cada all’interno di un intervallo [x1 x2] (= F(x2)-F(x1)) oppure l’inverso:

• definita una certa probabilità (o grado di rischio che la misura non cada nell’intervallo aspettato attorno al valor medio) è possibile determinare l’intervallo centrato sul valor medio


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K C

M

A

B

Valori notevoli

( ) p zi < = F(z)-F(-z) z

p x p x p x

( ) . ( ) . ( ) .

- < =- < = - < =

µ σ µ σ µ σ

0 680 2 0 950 3 0 997

-5

0.1

0.2

0.3

0.4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z

z

p(zi<z) = F(z)

ma F(-z) = 1-F(z) per antisimmetria Per cui F(z) = (p+1)/2 da cui si ricava z e quindi x come valore estremo dell’intervallo definito con il livello di confidenza desiderato

21+p

zz−

1-F(z)


F

K C

M

A

B

… da tale intervallo ha origine la definizione di incertezza.

Nel caso in cui si vuole avere una probabilità che l’intervallo comprenda il valore vero pari a:

confidenza 68% … si moltiplica σ per 1

confidenza 95% … si moltiplica σ per 2

confidenza 99.7% … si moltiplica σ per 3 NOTA: a questa scelta è legato il “costo” di un’eventuale errore (ad esempio, consideriamo la misura di una tensione di snervamento: il rischio d’errore dev’essere minimo se si usa il dato per la progettazione di un componente che mette in pericolo l’incolumità di persone).


F

K C

M

A

B

Il RISULTATO dell’operazione di misura è espresso:

1. stima del parametro

2. incertezza (mai più di 2 cifre significative)

3. livello di confidenza

4. unità di misura

5. definizione o specificazione del misurando e delle condizioni ambientali

ESEMPIO: se la lunghezza di una barra di acciaio di lunghezza nominale un metro deve essere determinata con l’accuratezza di un micrometro, la sua specificazione dovrebbe comprendere la temperatura e la pressione a cui è definita la misura stessa.

Se invece l’accuratezza è di un millimetro ciò non è necessario


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K C

M

A

B

PROCEDURA per la STIMA DELL’INCERTEZZA

1. Correzione effetti sistematici conosciuti

2. Determinazione dell’incertezza tipo per ogni grandezza coinvolta nel modello dello strumento di misura (mediante categoria A o categoria B)

3. Determinazione della incertezza tipo combinata

4. Determinazione della incertezza tipo estesa

5. Presentazione della misura


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K C

M

A

B

1. Correzione effetti sistematici conoscibili In generale una misurazione presenta interferenze che danno luogo ad un errore nel risultato della misurazione. Tradizionalmente, un errore è considerato avere due componenti: una casuale (o aleatoria), ed una sistematica.

NOTA: il valore vero e quindi l’errore sono astrazioni mai riscontrabili nella realtà in quanto non conoscibili, dunque non parlare MAI di errore!

Valore vero

Valore medio


F

K C

M

A

B

ESEMPIO: misura dimensionale tramite metro in materiale plastico di bassa accuratezza.

Si avranno le due componenti presumibilmente dovute a:

effetto sistematico dovuto a dilatazione termica o deformazione del metro

effetto casuale dovuto a imprecisione di lettura (nella misura sempre della stessa dimensione), od anche alla accuratezza di stampa della scala nel caso di misure di diverse dimensioni


F

K C

M

A

B

effetto sistematico è spesso originato da variazioni prevedibili delle grandezze di influenza

… dunque proprio perché prevedibili, sebbene non sia possibile correggerli totalmente, è possibile ridurli prendendo in considerazione nel modello dello strumento l’effetto delle grandezze di influenza o calcolandone il fattore di correzione


F

K C

M

A

B

Esempio: misura di una resistenza mediante generatore di corrente e voltmetro

I0 R RV

IR IV Teoricamente V = R·I0

Più verosimilmente V = R·IR

V

VR

RVI

VII

VIVR

−=

−==

00

00 IV

VIRRVR

V

V ≠−⋅

⋅=

Misura affetta da errore sistematico

correzione mediante modello della misura

0IVR =


F

K C

M

A

B

… a seguito della correzione del valore sistematico, il valore atteso dell’errore risulterà circa pari a zero, dunque, ridotti gli effetti sistematici conoscibili, rimangono teoricamente solamente gli effetti aleatori a media nulla

Valore vero

Valore medio


F

K C

M

A

B

effetti casuali sono presumibilmente originati da variazioni non prevedibili delle grandezze di influenza

Non è possibile correggerli, ma è possibile ridurli aumentando il numero di osservazioni e calcolando il valor medio del misurando

NMσ

σ =Si ricordi dai concetti di statistica elementare che:


F

K C

M

A

B

… rimanendo solamente gli effetti aleatori a media nulla è possibile stimare incertezza tipo per ogni grandezza coinvolta nel modello dello strumento di misura (mediante categoria A o categoria B)

2. Stima Incertezza tipo (dev standard)

stimare l’incertezza tipo mediante categoria A vuol dire effettuare una procedura sperimentale di tipo statistico sull’uscita del sistema di misura

mentre stimare l’incertezza tipo mediante categoria B vuol dire sfruttare conoscenze a priori sul sistema di misura


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K C

M

A

B

Incertezza tipo di categoria A (esempio)

Si ripete n volte una misura xi e si calcola la media:

∑=

=n

iixn

m1

1

Si esegue una stima dello scarto tipo:

( )

11

2

−

−

=∑=

n

mxs

n

ii

La misura sarà data dalla media (si ricordi ancora una volta che gli effetti sistematici sono stati teoricamente annullati) e l’incertezza tipo associata sarà lo scarto tipo della media:

€

x = m ±sn


F

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M

A

B

L’incertezza di tipo B non segue un’analisi statistica, ma determina lo scarto tipo in qualsiasi modo diverso, basandosi su conoscenze a priori.

Tali possono essere:

• dati di misurazioni precedenti

• esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti di interesse

• specifiche tecniche fornite dal costruttore

• dati forniti in certificati di taratura od altro

• incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali

Incertezza tipo di categoria B


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K C

M

A

B

ESEMPIO: consideriamo un termometro digitale che ci da’ una lettura discretizzata con passo di 1° centigrado. Se leggiamo una temperatura di 11°C non vuol dire che il valore di temperatura esatto sia 11.000°C, bensì che sarà compreso tra 10.5°C e 11.4°C:

10 11 12 ...

Tutti i valori compresi tra questi due avranno uguale probabilità di essere il valore “corretto”. Infatti la distribuzione di probabilità è una distribuzione rettangolare che prevede probabilità costante all’interno e nulla fuori.

La densità di probabilità è:

dove a è la lunghezza dell’intervallo (a=1°C), e lo scarto tipo è:

( )a

xf 1=

32a

=σ


F

K C

M

A

B

3. Determinazione dell’incertezza tipo combinata

Spesso una misura è derivata dalla misurazione di altri parametri che si legano ad essa attraverso una generica funzione f:

( )pxxfy ,,1 …=

vogliamo stimare l’incertezza su y, conoscendo le incertezze εi sulle singole xi.

Calcolando lo sviluppo in serie di Taylor otteniamo:

€

y = f x 1,…,x p( ) +∂f∂xii=1

p

∑ εi + Os

Dove Os, rappresentando i termini di ordine superiore al primo, viene nel seguito trascurato


F

K C

M

A

B

In ipotesi di funzione densità di probabilità di tipo gaussiano, l’accuratezza si stima attraverso la varianza definita come:

{ }xExn

n

ii == ∑

=1

1µ

Si definisce E{x} valore atteso di x (Expected value)

Per una distribuzione di tipo gaussiano come risulta plausibile per la grande maggioranza dei fenomeni aleatori, il valore atteso della variabile è proprio la media in quanto in corrispondenza di essa la funzione densità di probabilità assume il valore massimo

( ) ( ){ }2 22

1

11

n

iix E x

nσ µ µ

=

= − ≡ −− ∑

Valore medio Valore massimo densità di probabilità = valore atteso


F

K C

M

A

B

Calcoliamo prima il valore atteso della funzione composta:

{ } ( )

( ){ } ( ) { }

( )

11

1 11 1

1

, ,

, , , ,

, ,

p

p ii i

p p

p i p ii ii i

p

fE y E f x xx

f fE f x x E f x x Ex x

f x x

µ ε

ε ε

=

= =

⎧ ⎫∂= = +⎨ ⎬

∂⎩ ⎭

⎧ ⎫∂ ∂+ = +⎨ ⎬

∂ ∂⎩ ⎭

=

∑

∑ ∑

…

… …

…

Questo vale in quanto:

• l’operatore valore atteso è lineare

• gli effetti sistematici sui parametri xi si suppongono compensati e quindi gli εi sono a valor medio nullo

• le incertezze dei parametri si suppongono piccole ovvero verificata l’ipotesi di linearità

= funzione calcolata nei valori attesi dei parametri


F

K C

M

A

B

Applichiamo la definizione di valore atteso alla varianza della funzione composta:

( ){ } ( )

{ } { }( )

222

11

2 22

1 1

, ,p

y p ii i

p p

i i i ji ii i

fE y E f x xx

f fE E M Ex x

σ µ ε µ

ε ε ε ε

=

= =

⎧ ⎫⎛ ⎞∂⎪ ⎪= − = + − =⎨ ⎬⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎪= ⋅ + ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑ ∑

…

Il termine M indica un valore proporzionale ai termini composti

Nel caso in cui non vi sia correlazione tra i vari parametri il valore atteso del loro prodotto è nullo e quindi si ottiene la legge di propagazione delle incertezze standard: 2

2 2

1

p

y ii i

fx

σ σ=

⎛ ⎞∂= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑

La quantità ∂f/∂xi è detta indice di sensibilità ed è spesso utilizzata nella scelta degli strumenti perché, nel caso in cui assuma un valore molto elevato, anche se le variazioni del parametro xi sono molto piccole, l’effetto sull’incertezza combinata è elevato


F

K C

M

A

B

Cosa vuol dire che due parametri sono scorrelati?

Vediamo un paio di esempi sviluppati con il codice Matlab™

% Esempio di E(ei * ej) NON CORRELATE: ei = normrnd(0, 1, Niter, 1); ej = normrnd(0, 1, Niter, 1);

figure, subplot(1,3,1), hist(ei, 100), grid on title('Istogramma ei') subplot(1,3,2), hist(ej, 100), grid on title('Istogramma ej') subplot(1,3,3), hist(ei.*ej, 100), grid on title('Istogramma ei * ej NON CORRELATE')

In questo caso la chiamata della funzione normrnd che genera un set di Niter numeri casuali con distribuzione gaussiana è stata effettuata due volte per cui non c’è relazione tra il vettore aleatorio ei ed ej

Correlazione / non correlazione tra i parametri


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K C

M

A

B

Valutiamo gli istogrammi risultanti:

-5 0 50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500Istogramma ei

-5 0 50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000Istogramma ej

-10 0 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Istogramma ei * ej NON CORRELATE

Valore medio nullo



F

K C

M

A

B

% Esempio di E(ei * ej) CORRELATE: ei = normrnd(0, 1, Niter, 1); ej = 0.2*ei;

figure, subplot(1,3,1), hist(ei, 100), grid on title('Istogramma ei') subplot(1,3,2), hist(ej, 100), grid on title('Istogramma ej') subplot(1,3,3), hist(ei.*ej, 100), grid on title('Istogramma ei * ej CORRELATE')

In questo caso la chiamata della funzione normrnd che genera un set di Niter numeri casuali con distribuzione gaussiana è stata effettuata una volta per definire ei quindi ej è stato definito in relazione ad ei.

In tale caso appare chiaro che c’è relazione, ovvero correlazione, tra il vettore aleatorio ei ed ej



F

K C

M

A

B

Valutiamo gli istogrammi risultanti:

-5 0 50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000Istogramma ei

-1 0 10

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000Istogramma ej

0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4Istogramma ei * ej CORRELATE

Valore medio non nullo


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K C

M

A

B

L’incertezza tipo permette di definire un intervallo di valori caratterizzato da un livello di confidenza qualsiasi (tipicamente 68.3%, 95% e 99.7%), attraverso dei coefficienti moltiplicativi detti fattore di copertura. (rispettivamente 1, 2, 3)

4. Determinazione dell’incertezza tipo estesa

Il fattore di copertura viene scelto in base al rischio di definire un intervallo (di incertezza) che non comprende il valore vero del misurando

Ex: nel caso di alcune misure biomedicali si desidera avere un rischio pressochè nullo, il fattore di copertura può quindi assumere valori anche maggiori di 3


F

K C

M

A

B

5. Presentazione della misura In assenza di ulteriore precisazione l’incertezza viene indicata come incertezza standard:

kgy 27.000.100 ±=

Kgy )27(00.100=

Si noti che il numero di cifre dopo la virgola utilizzate per quantificare l’incertezza è pari a 2 e la meno significativa coincide con quella utilizzata per la misura

Nel caso di indicazione di incertezza estesa si deve indicare anche il livello di confidenza, per poter essere in grado di ricavare lo scarto tipo


F

K C

M

A

B

Determinazione dell’incertezza combinata nel caso di operazioni algebriche

fondamentali


F

K C

M

A

B

2 22 2 2 2 2c a b a b

c a b

c ca b

ε ε ε ε ε

= +

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Propagazione incertezza relativa operazione +

Supponiamo di avere una misura combinata di due variabili mediante l’operazione somma e che per le due variabili si abbia:

0

0

a

b

a ab b

ε

ε

= ±

= ±

l’incertezza sulla misura combinata:

Nel caso in cui la densità di probabilità connessa con le variabili sia gaussiana e l’intervallo di confidenza sia stato definito al 68% si ha: ε = σ

Da cui si può valutare l’incertezza relativa:

2 2a bc

c a bε εε +

=+


F

K C

M

A

B

Valutiamo il caso semplice in cui sia a ≅ b ed εa ≅ εb :

2

2 12 2

c a a a

c a b a

c a a aε ε ε ε

= + ≅

= = ⋅ <

l’incertezza relativa del risultato è inferiore all’incertezza relativa delle variabili di origine!

Si noti che questo è il motivo per cui la deviazione standard della media di un campione statistico risulta essere inferiore alla deviazione standard della popolazione proprio di radice di N elementi del campione

Propagazione incertezza relativa operazione +


F

K C

M

A

B

2 22 2 2 2 2c a b a b

c a b

c ca b

ε ε ε ε ε

= −

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Propagazione incertezza relativa operazione -

Supponiamo di avere una misura combinata di due variabili mediante l’operazione differenza e che per le due variabili si abbia:

0

0

a

b

a ab b

ε

ε

= ±

= ±



2 2a bc

c a bε εε +

=−


F

K C

M

A

B


0

20

c a

c a b

cε ε

= − ≅

= →∞≅

l’incertezza relativa del risultato è enormemente superiore all’incertezza relativa dei singoli elementi!!!

Occorre valutare con grande attenzione tutte le operazioni di misura che coinvolgono una operazione di sottrazione!!!

Propagazione incertezza relativa operazione -


F

K C

M

A

B

2 22 2 2 2 2 2 2c a b a b

c a b

c c b aa b

ε ε ε ε ε

= ⋅

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Propagazione incertezza relativa operazione *

Supponiamo di avere una misura combinata di due variabili mediante l’operazione prodotto e che per le due variabili si abbia:

0

0

a

b

a ab b

ε

ε

= ±

= ±



( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

a bR c a b a bc

R R Rc a b

b a b ac a b a b a b

ε εε ε ε ε εε

ε ε ε

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅≡ = = = + ⇒

⋅ ⋅

= + Ovvero le incertezze relative si combinano in maniera geometrica


F

K C

M

A

B


2

2 2

2 2 2c a a a

c a b a

c a a aε ε ε ε

= ⋅ ≅

= + = ⋅

Propagazione incertezza relativa operazione *

Che verifica la progressione geometrica

2 22 2 2 2 2c a b b

c a b

c c aa b

ε ε ε ε

= ⋅

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Valutiamo il caso in cui sia b ≅ 0:

L’incertezza combinata dipenderà essenzialmente dall’incertezza di b !


F

K C

M

A

B

2 2 2 22 2 2 2

2 4a

c a b b

acbc c aa b b b

εε ε ε ε

=

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Propagazione incertezza relativa operazione /

Supponiamo di avere una misura combinata di due variabili mediante l’operazione divisione e che per le due variabili si abbia:

0

0

a

b

a ab b

ε

ε

= ±

= ±



2 22

2 2 22 22 42

2 2 4 2 2

ab

R c a a bc b

ab b ab bc a a b b a b

εε

ε ε ε εε ε

⋅ + ⋅⎛ ⎞

≡ = = + ⋅ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Anche in questo caso la combinazione è geometrica


F

K C

M

A

B

Valutiamo il caso in cui sia b ≅ 0:

Poiché b compare a denominatore al quadrato ed alla quarta l’incertezza della variabile combinata mediante operazione di divisione può divenire enormemente grande!

Inoltre l’effetto preponderante sarà proprio quello della sua incertezza (al denominatore si trova l’esponente maggiore)

Propagazione incertezza operazione /

2 2 2 22 2 2 2

2 4a

c a b b

acbc c aa b b b

εε ε ε ε

=

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠


F

K C

M

A

B

Propagazione Densità/Distribuzioni di Probabilità - Monte Carlo

Guide to the expression of Uncertainty in Measurement – GUM, Supplement 1

Numerical Methods for the Propagation of Distributions

Supplement 1. 2004-03-16 : 2004


F

K C

M

A

B


Questo Supplemento alla GUM propone una procedura per determinare l’intervallo di confidenza del misurando partendo dalle densità di probabilità di ogni parametro di influenza

Mediante la densità si ricava la distribuzione di probabilità e quindi l’intervallo di confidenza

Tale metodo viene comunemente indicato come metodo di Monte Carlo MC ovvero come metodo di propagazione delle distribuzioni di probabilità


F

K C

M

A

B


Il presente metodo è particolarmente utile quando: • incertezze ampie (si viola l’ipotesi di linearità necessaria per la legge di propagazione precedentemente vista)

• il modello della misura è fortemente non lineare

• i vari contributi non sono comparabili (si viola il teorema del limite centrale)

• le densità di probabilità dei parametri di influenza non sono gaussiane e/o non simmetriche (in tale caso moltiplicare la deviazione standard per 2 e concludere che l’intervallo ±2σ così determinato abbia il 95% di confidenza sarebbe errato)

• non sono disponibili o calcolabili le derivate parziali del modello (quando il modello è numerico, ex. FEM, è una procedura, …)


F

K C

M

A

B

Propagazione Distribuzioni MC – 1. Formulazione del problema

IPOTESI: si conosce il modello (simbolico, numerico, procedurale, etc) che lega una serie di parametri alla misura. Per determinare l’intervallo di confidenza associato alla variabile di uscita del modello si procede come segue:

- si definisce il misurando come uscita (magari invertendo il modello) - si definiscono le variabili di influenza come variabili di ingresso. - si sviluppa il modello ingresso-uscita - sulla base delle conoscenze del processo si assegnano le densità di probabilità alle variabili di ingresso


F

K C

M

A

B

Propagazione Distribuzioni MC – 2. Calcolo

- si propagano le densità di probabilità degli ingressi sull’uscita mediante il modello a disposizione - avendo a disposizione la PDF del misurando si determinano valore atteso ed intervallo di confidenza a partire dal livello di confidenza necessario, tipicamente 95% (la deviazione standard od incertezza tipo di solito non si impiega in quanto abbiamo a disposizione l’intera funzione densità di probabilità)


F

K C

M

A

B

Propagazione Distribuzioni MC – Assegnazione densità


F

K C

M

A

B

Propagazione Distribuzioni MC – Propagazione distribuzioni

Several approaches can be used for the propagation of distributions: a) analytical methods; b) uncertainty propagation based on replacing the model by a first-order Taylor series approximation [GUM 5.1.2] — the law of propagation of uncertainty; c) as b), except that contributions derived from higher-order terms in the Taylor series approximation are included [Note to GUM 5.1.2]; d) numerical methods [GUM G.1.5] that implement the propagation of distributions, specifically Monte Carlo simulation.


F

K C

M

A

B

22 2

1

p

y ii i

fx

σ σ=

⎛ ⎞∂= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑

Propagazione Distribuzioni MC – Propagazione distribuzioni

Propagazione linearizzata Monte Carlo


F

K C

M

A

B

Propagazione Distribuzioni MC – Metodo di Monte Carlo

Monte Carlo simulation operates as follows: — Generate a sample of size N by independently sampling at random from the probability density function for each Xi, i = 1, . . . ,N. Repeat this procedure a large number M, of times to yield M independent samples of size N of the set of input quantities. For each such independent sample of size N, calculate the resulting model value of Y, yielding M values of Y

— Use these M values of Y to provide an approximation to the density and distribution function G() for the value of Y (integrando la PDF).


F

K C

M

A

B

— Produce any required statistical quantity from G(). Particularly relevant quantities are: a) the expectation of G() as the estimate y of the output quantity value, b) the standard deviation of G() as the associated standard uncertainty u(y) c) two quantiles of G() as the endpoints of a coverage interval Ip(Y ) for a stipulated coverage probability p.

Propagazione Distribuzioni MC – Metodo di Monte Carlo


F

K C

M

A

B

The effectiveness of Monte Carlo simulation depends on the use of an adequately large value of M. The number needed will depend on the “shape” of the probability density function for the output and on the coverage probability required. However, a value of M = 106 can often be expected to deliver a 95 % coverage interval for the output quantity value, such that this length has a degree of approximation of one or two significant decimal digits. Because there is no guarantee that this or any specific number will suffice, it is recommended to use a process that selects M adaptively, i.e., as the trials progress. Some guidance in this regard is available: P. Mac Berthouex and L. C. Brown. Statistics for Environmental Engineers. CRC Press, USA, 1994. M. G. Cox, M. P. Dainton, and P. M. Harris. Best Practice Guide No. 6. Uncertainty and statistical modelling. Technical report, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2001.

Propagazione Distribuzioni MC – Numero iterazioni nel metodo di Monte Carlo


F

K C

M

A

B

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z

z Propagazione Distribuzioni MC – intervallo minimo

Definito un livello di confidenza*, ovvero di probabilità p che si vuole esprimere con l’intervallo, esistono infiniti intervalli che posseggono il livello di confidenza stabilito La norma suggerisce di prendere l’intervallo minimo

(*): per livello di confidenza si intende la probabilità percentuale

α

β β’

α’

εββ

εαα

−=

−=

''

'' αβαβ −=−=p i due intervalli non sono uguali!


F

K C

M

A

B

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z

z Propagazione Distribuzioni MC – intervallo simmetrico

Altra possibilità è quella di prendere l’intervallo simmetrico sulle ordinate della distribuzione in modo che risulti

α

β

€

α = 0.5 − p2

β = 0.5+p2

Se la densità di probabilità è simmetrica l’intervallo risulta anche essere il minimo, in caso contrario no

= p

Tipici valori sono:

975.0025.0

=

=

β

α


F

K C

M

A

B

Veduta complessiva: • centralina di condizionamento • PC + sistema di acquisizione • kit per incollaggio estensimetri

Dinamometro estensimetrico a mensola

Esempio: dinamometro - misura di forza


F

K C

M

A

B

H= altezza

B=larghezza

L=lunghezza F

Estensimetro

OffsetFHBEGFdVGV i +⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=Δ 20 2

3Definizione parametri:

• GF = 2 (gauge factor)

• Vi = 10 (alimentazione ponte wheatstone)

• d = 0.1 (distanza forza – estensimetro)

• G = 500 (guadagno amplificatore)

• E = 50000 (modulo Young)

Propagazione Distribuzioni MC – 1. Formulazione del problema €

F =2 ΔV0 −Offset( ) ⋅E ⋅B ⋅H 2

3 ⋅G ⋅Vi ⋅d ⋅GF


F

K C

M

A

B Definizione densità di probabilità

• GF: valore medio 2, deviazione standard 0.01

• Vi: valore medio 10, deviazione standard 0.01 [V]

• H: valore medio 0.001, deviazione standard 0.0001 [m]

• B: valore medio 0.02, deviazione standard 0.001 [m]

• d: valore medio 0.1, deviazione standard 0.003 [m]

• G: valore medio 500, deviazione standard 10

• E: 50000

• Offset: valore medio 0, deviazione standard 0.01 [V]



F

K C

M

A

B

Definizione densità di probabilità parametri:

1.9 20

1

2

3x 10

4 Istogramma GF

9.95 10 10.050

1

2

3x 10

4 Istogramma Vi

5 5 5

x 10 7

0

1

2

3x 10

5 Istogramma E

0.5 1 1.5

x 10-3

0

1

2

3x 10

4 Istogramma H

0.015 0.02 0.025 0.030

1

2

3x 10

4 Istogramma B

0.08 0.1 0.120

1

2

3x 10

4 Istogramma D

450 500 5500

1

2

3x 10

4 Istogramma G

-0.05 0 0.050

1

2

3x 10

4Istogramma Offset

5 5 5

x 107

0

1

2

3x 10

5 Istogramma ...



F

K C

M

A

B

Calcolo Densità di Probabilità risultante

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Istogramma Ingresso

[N]

Moda o valore atteso 0.0092 V (meno del valore nominale)

Valore medio 0.0103 V (maggiore del valore nominale)



F

K C

M

A

B

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Densità e Distribuzione di Probabilità

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.2

0.4

0.6

0.8

1[0.0068 0.0156]

0.975

0.025

L’intervallo di confidenza al 95% risulta [0.0068 0.0156]



F

K C

M

A

B

Calcolo intervallo di confidenza mediante formula di propagazione linearizzata

( )FGFdVGHBEOffsetVF

i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−Δ

=3

2 20

22 2

1

p

y ii i

fx

σ σ=

⎛ ⎞∂= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑

( ) ( ) 0021.0...3

43

2 22

0222

0 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−Δ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−Δ

= Hi

Ei

F FGFdVGHBEOffsetV

FGFdVGHBOffsetV

σσσ

Calcolato su tutti tranne ΔV0 che viene preso come input al modello di misura di cui viene considerato il suo valore nominale pari al risultato ottenibile sostituendo i valori nominali per tutti i parametri:

L’intervallo di confidenza al 95% risulta 0.01±0.0042 = [0.0058 0.0142]

][1523

002000

00000 VOffsetF

HBEGFdVGV i =+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=Δ


F

K C

M

A

B

Confronto con la formula di propagazione linearizzata

Le due stime forniscono come intervallo di confidenza al 95%

mediante Monte Carlo: [0.0068 0.0156]

mediante propagazione incertezza: [0.0058 0.0142]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000


[N]


F

K C

M

A

B

Le due stime forniscono come intervallo di confidenza al 99.7%

mediante Monte Carlo: [0.0050 0.021]

mediante propagazione incertezza: [0.0037 0.0163]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000


[N]

Confronto con la formula di propagazione linearizzata


F

K C

M

A

B

Si noti che il livello di confidenza del 99.7% per un modello gaussiano indicherebbe la certezza che la misura ricade nell’intervallo!!!

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000


[N]

Dunque porzione di intervallo completamente trascurato dalla formula di propagazione linearizzata!

analisi incertezza - miro.ing.unitn.it del... · annullati) e l’incertezza tipo associata sarà...

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