Análise da Plataforma de Stewart Acionada Por Cabos Para ...

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  • MINISTRIO DA DEFESA

    EXRCITO BRASILEIRO

    DEPARTAMENTO DE CINCIA E TECNOLOGIA

    INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

    CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECNICA

    1 Ten CCERO DOS SANTOS MENDES LIMA RIBEIRO

    ANLISE DA PLATAFORMA DE STEWART ACIONADA POR

    CABOS PARA GRANDES ESPAOS DE TRABALHO

    Rio de Janeiro

    2010

  • INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

    1 Ten CCERO DOS SANTOS MENDES LIMA RIBEIRO

    ANLISE DA PLATAFORMA DE STEWART ACIONADA POR CABOS

    PARA GRANDES ESPAOS DE TRABALHO

    Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de

    Mestrado em Engenharia Mecnica do Instituto Militar de

    Engenharia, como requisito parcial para a obteno do

    ttulo de Mestre em Cincias em Engenharia Mecnica

    Orientador: Maj Jorge Audrin Morgado de Gois Dr. Ing

    Rio de Janeiro

    2010

  • C2010

    INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

    Praa General Tibrcio, 80 Praia Vermelha

    Rio de Janeiro, RJ CEP 22290-270

    Este exemplar de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poder inclui-lo em

    sua base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de

    arquivamento.

    permitida a meno, reproduo parcial ou integral e a transmisso entre bibliotecas

    deste trabalho, sem modificao de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser

    fixado, para pesquisa acadmica, comentrios e citaes, desde que sem finalidade comercial

    e que seja feita a referncia bibliogrfica completa.

    Os conceitos expressos neste trabalho so de responsabilidade dos autores e de seus

    orientadores.

    620.1123Ribeiro,CcerodosSantosMendesLimaR484 AnlisedaplataformadeStewartacionadaporcabosparagrandesespaosde

    trabalho/ CcerodosSantosMendesLimaRibeiro.RiodeJaneiro:InstitutoMilitardeEngenharia,2010.

    190f.:il.,graf.,tab

    Dissertao(mestrado)InstitutoMilitardeEngenharia,2010.

    1. Engenharia Mecnica Tese, Dissertao 2. Plataforma de Stewart. 3.CabosemCatenria.I.Ttulo.II.InstitutoMilitardeEngenharia.

    CDD620.1123

    2

  • INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

    1 Ten CCERO DOS SANTOS MENDES LIMA RIBEIRO

    ANLISE DA PLATAFORMA DE STEWART ACIONADA POR CABOS

    PARA GRANDES ESPAOS DE TRABALHO

    Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Mecnica do

    Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obteno do ttulo de Mestre em

    Cincias em Engenharia Mecnica.

    Orientador: Maj Jorge Audrin Morgado de Gois Dr. Ing

    Aprovada em 08 de fevereiro de 2010 pela seguinte Banca Examinadora:

    __________________________________________________________________

    Maj Jorge Audrin Morgado de Gois Dr. Ing. do IME Presidente

    __________________________________________________________________

    Prof. Max Suell Dutra Dr. -Ing. da UFRJ

    __________________________________________________________________

    Prof. Luciano Luporini Menegaldo - D.C. do IME

    __________________________________________________________________

    Prof. Fernando Ribeiro da Silva - D.C. do IME

    Rio de Janeiro

    2010

    3

  • Quero dedicar este trabalho a minha famlia como

    forma de compensao pela minha falta durante estes dois

    anos, por ter perdido momentos preciosos que no voltam

    mais e por no t-las levado para passear quando me

    pediam.

    4

  • AGRADECIMENTOS

    Em primeiro lugar a DEUS, que me concede o simples dom de respirar, acordar e ter

    metas todos os dias. Logo em seguida, quero agradecer a minha esposa e minha filha por

    terem se mantido firmes durante estes dois anos, por todo o tempo em que fui muito chato.

    Agradeo aos meus pais que sempre me incentivaram a estudar e se desdobraram em alguns

    momentos para manterem o alto padro educacional que tive.

    Agradeo ao Exrcito Brasileiro que financiou minha graduao e mestrado, ambos em

    tempo integral, que me deu a oportunidade de conhecer trs regies do Brasil e por mais

    incrvel que parea por ter me tirado do Rio de Janeiro, pois como todo bom carioca (carioca

    de criao, sou nascido em Niteri) nunca sairia do Rio por vontade prpria.

    Ao Maj Estarch, ao Ten Cel Mendona e ao Maj Ribeiro e todos seus Sargentos

    auxiliares, todos l de Campo Grande, que me ajudaram naquela tarde de quinta para no

    perder o prazo de envio do requerimento de mestrado. A Cap Jonara pela simpatia com que

    atendia meus telefonemas quase que semanalmente.

    Ao Instituto Militar de Engenharia pela excelente escola que e por seus integrantes,

    quase que na sua totalidade muito prestativos e aptos a ensinar seja o que for. Em especial ao

    Maj Audrin, Orientador, que ao longo destes dois anos, na medida em que lhe era possvel

    nunca me negou auxlio e se mostra paciente com minhas limitaes. Aos professores

    Luciano, Fernando, Cel Arnaldo e Prof. Max Suell da UFRJ pela pacincia, interesse e

    entusiasmo com que compe a banca examinadora.

    Ao pessoal do LPM: Back, Fernando, Mineiro, Rodrigo, Chico, Ten Cel Servilha, Cmt

    Diogo, Ten Cel Zola (da Angola), Marcos e Vivian (A galera da dura); a galera do mestrado de

    outros cursos como: Humberto, Amorim, Alaluna, Ingrid e por ai vai, ao Pereira que nos

    deixou em busca de novos mundos; ao Teixeira desde a graduao; ao pessoal da mole:

    Renan, Oberdan, Bruno, Maj Eduardo, Leandro, Rmulo, Luciana e Fabrcio que no

    concluiram conosco; e outros que no lembro o nome agora.

    Ao pessoal do Corpo de Alunos, em especial a Cris e ao Lyra, que sempre estiveram

    dispostos a me ajudar a resolver meus problemas

    E por ltimo, mas no menos importante ao pessoal de Braslia por ter me ajudado na

    classificao aps o curso.

    5

  • Vai s, age e s forte

    (2 Cronicas 25:8)

    6

  • SUMRIO

    LISTA DE ILUSTRAES.....................................................................................................10

    LISTA DE TABELAS...............................................................................................................18

    LISTA DE ABREVIATURAS E SMBOLOS..........................................................................19

    LISTA DE SIGLAS...................................................................................................................22

    1 INTRODUO.........................................................................................................25

    1.1 Reviso bibliogrfica..................................................................................................27

    1.2 Objetivo ...................................................................................................................28

    1.3 Desenvolvimento do trabalho.....................................................................................29

    2 FUNDAMENTAO TERICA...........................................................................31

    2.1 Definies...................................................................................................................34

    2.2 Classificao de TBPM...............................................................................................37

    2.2.1 Quanto ao grau de redundncia...................................................................................37

    2.2.2 Quanto aos graus de liberdade....................................................................................41

    3 MODELO MATEMTICO.....................................................................................43

    3.1 Equilbrio de foras e consideraes adicionais.........................................................45

    3.2 Cinemtica inversa......................................................................................................47

    3.3 Dinmica inversa........................................................................................................50

    4 ANLISE DO ESPAO DE TRABALHO............................................................53

    4.1 Singularidades.............................................................................................................56

    4.2 Rigidez do sistema......................................................................................................58

    4.3 Mtodo de determinao do espao de trabalho controlvel para manipuladores com

    cabos de massa nula....................................................................................................60

    4.4 Determinao de foras pelo mtodo do baricentro...................................................64

    5 ESTUDO DE CASO DE MANIPULADORES DE CABOS COM MASSA

    NULA .....................................................................................................................66

    5.1 Soluo homognea....................................................................................................66

    7

  • 5.2 Soluo no-homognea.............................................................................................70

    5.3 Espao de trabalho com respeito s tenses...............................................................73

    5.3.1 Espao de trabalho com respeito s tenses com soluo homognea.......................75

    5.3.2 Espao de trabalho com respeito s tenses com soluo no-homognea................80

    6 MODELO DO MANIPULADOR COM CABOS DE MASSA NO-NULA......86

    6.1 Caso 1: Plataforma pontual 3m2T0R..........................................................................87

    6.2 Caso 2: Plataforma pontual 4m3T0R..........................................................................93

    6.3 Caso 3: Plataforma em barra 4m2T1R........................................................................95

    6.4 Caso 4: Plataforma em placa plana 8m3T3R..............................................................97

    6.5 mtodo alternativo da soluo baseada em componentes de foras horizontais para

    casos em que existem cabos na vertical....................................................................101

    6.6 etapas do mtodo de soluo do problema no-linear..............................................104

    6.7 resultados esperados..................................................................................................105

    7 DADOS DE PROJETO E ESPECIFICAO DO CABO DE AO.................107

    7.1 Definio da regio de ancoragem............................................................................107

    7.2 Definio da plataforma e especificao do cabo de ao.........................................109

    7.3 Dados de entrada do problema..................................................................................112

    7.4 Validao do espao de trabalho...............................................................................114

    7.4.1 Consideraes sobre o espao de trabalho obtido.....................................................116

    7.5 Trajetrias.................................................................................................................124

    7.5.1 Trajetria elptica com altura varivel......................................................................124

    7.5.2 Trajetria ascendente helicoidal de raio varivel......................................................125

    7.5.3 Trajetria parablica.................................................................................................126

    8 SIMULAES E RESULTADOS OBTIDOS.....................................................129

    8.1 Resultados obtidos a partir das trajetrias................................................................129

    8.2 Problemas encontrados durante a obteno do modelo dinmico e anlise do espao

    de trabalho.................................................................................................................139

    9 TRABALHOS FUTUROS.....................................................................................140

    9.1 Soluo de sistemas altamente redundantes.............................................................140

    8

  • 9.2 Vibrao no sistema..................................................................................................140

    9.3 Sensao e percepo................................................................................................141

    9.4 Considerao dos pontos de ancoragem como polias...............................................141

    9.5 Implementao de um sistema de posicionamento na plataforma............................142

    9.6 Analise da rigidez do sistema quanto a massa dos cabos.........................................142

    10 CONCLUSES.......................................................................................................143

    11 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS..................................................................146

    12 APNDICE..............................................................................................................151

    12.1 Apndice 1: Definies sobre fios e cabos em catenria .........................................152

    12.1.1 Equaes gerais dos fios e cabos..............................................................................153

    12.1.2 Estudo particular da catenria...................................................................................155

    12.1.3 Fundamentao terica para cabos elsticos.............................................................158

    12.1.4 Equaes fundamentais para grandes espaos de trabalho.................................160

    12.2 Apndice 2: Demonstrao da obteno da matriz de rotao Rp(x)........................162

    12.3 Apndice 3: Demonstrao da derivada da matriz de rotao Rp'(x)......................164

    12.4 Apndice 4: Demonstrao de =Hb-1 . .................................................................165

    12.5 Apndice 5: Aplicao da serie de taylor para obteno da configurao cinemtica

    da plataforma............................................................................................................167

    12.6 Apndice 6: Espaos de trabalho para manipuladores com cabos de massa nula....172

    12.7 Apndice 7: Trajetrias propostas e espao de trabalho a esperado.........................175

    13 ANEXO....................................................................................................................180

    13.1 Anexo 1: Caracteristicas bsicas de cabos de ao....................................................181

    13.2 Anexo 2: Especificao de cabo por aplicao.........................................................186

    13.3 Anexo 3: Tabela de especificao do cabo CIMAF 6x25F+AACI..........................187

    13.4 Anexo 4: Ficha tcnica do EC-120 COLIBRI da Helibrs.......................................188

    13.5 anexo 5: Definies das matrizes de massa e generalizada de coriolis apresentada por

    (FANG, 2005)...........................................................................................................189

    9

  • LISTA DE ILUSTRAES

    FIG. 1.1 Prottipo do SEGESTA (BRUCKMAN et al, 2008).............................................26

    FIG. 1.2 Esquema plano de um manipulador serial acionado por cabos(OU, 1994)...........27

    FIG. 2.1 Aplicaes de manipuladores paralelos baseados em tendes para grandes

    dimenses...............................................................................................................31

    FIG. 2.2 Rob FALCON (KAWAMURA et al, 1995)..........................................................32

    FIG. 2.3 Definio dos elementos do manipulador..............................................................36

    FIG. 2.4 Posicionamento da plataforma exteriormente ao polgono de ancoragem.............39

    FIG. 2.5 Manipuladores CPRM segundo a classificao por Nr de graus de liberdade

    (VERHOEVEN, 2004)...........................................................................................42

    FIG. 3.1 Modelo geral de uma plataforma acionada por cabos (VERHOEVEN, 1998)......44

    FIG. 3.2 Tcnicas para se evitar colises entre cabos (VERHOEVEN, 2004)....................45

    FIG. 3.3 Foras aplicadas sobre a plataforma.......................................................................46

    FIG. 4.1 Espao de trabalho definido por (FANG, 2005) para o SEGESTA

    (BRUCKMANN et al, 2008).................................................................................56

    FIG. 4.2 Singularidade do Tipo I ou Sub-mobilidade (VERHOEVEN, 2004)....................57

    10

  • FIG. 4.3 Singularidade do Tipo II ou Sobre-Mobilidade (VERHOEVEN, 2004)...............57

    FIG. 4.4 Rigidez para manipuladores 2T0R (HILLER et al ,2005).....................................60

    FIG. 4.5 Manipulador 3m1T0R (VERHOEVEN, 2004)......................................................63

    FIG. 4.6 Regio Vivel e e Transformao Linear = N(AT) . .

    (BRUCKMAN et al, 2008)....................................................................................63

    FIG. 5.1 Manipulador 3m2T0R............................................................................................66

    FIG. 5.2 Curvas de tenso do manipulador 3m2T0R em funo da Regio Vivel.............68

    FIG. 5.3 Manipulador 4m2T0R............................................................................................68

    FIG. 5.4 Regio vivel do caso 4m2T0R.............................................................................69

    FIG. 5.5 Tenso no cabo 1 do Manipulador RRPM 4m2T0R, obtida em funo do domnio

    da Regio Vivel....................................................................................................70

    FIG. 5.6 Evoluo da regio vivel do caso 4m2T0R no-homogneo em funo da massa

    da plataforma..........................................................................................................72

    FIG. 5.7 Espao de Trabalho com respeito as tenses fmin=1,0N e fmax=5,0N para o

    manipulador RRPM 4m2T0R................................................................................73

    FIG. 5.8 Espao de Trabalho com Respeito s Tenses, de uma manipulador CRPM

    homogneo, para vrios valores de kmax..................................................................75

    11

  • FIG. 5.9 Mtodo bsico de determinao do espao de trabalho.........................................76

    FIG. 5.10 Espao de trabalho com respeito s tenses para o manipulador

    CRPM 3m2T0R.....................................................................................................77

    FIG. 5.11 Espao de trabalho com respeito s tenses para o manipulador

    RRPM 4m2T0R.....................................................................................................78

    FIG. 5.12 Espao de trabalho com respeito s tenses para o manipulador

    RRPM 6m2T0R.....................................................................................................79

    FIG. 5.13 Espaos de trabalho para manipuladores 3m2T0R com diferentes massas...........81

    FIG. 5.14 Espao de trabalho para 3m2T0R com fmin=1,0N e fmax=2,5N...............................82

    FIG. 5.15 Espao de trabalho para 3m2T0R com fmin=2,0N e fmax=5,0N...............................82

    FIG. 5.16 Espao de trabalho para 4m2T0R com fmin=1,0N e fmax=5,0N...............................83

    FIG. 5.17 Espao de trabalho para 4m2T0R com fmin=1,0N e fmax=2,5N...............................83

    FIG. 5.18 Espao de trabalho para 4m2T0R com fmin=2,0N e fmax=5,0N...............................84

    FIG. 6.1 Modelo do manipulador 3m2T0R, com cabos em catenria..................................88

    FIG. 6.2 Posies possveis de cabos nos pontos de fixao...............................................90

    12

  • FIG. 6.3 Modelo do manipulador 4m3T0R, com cabos em catenria..................................93

    FIG. 6.4 Modelo do manipulador 4m2T1R, com cabos em catenria..................................95

    FIG. 6.5 Modelo do manipulador 8m3T3R, com cabos em catenria..................................98

    FIG. 6.6 Vetor v1 no plano vertical que contem a catenria.................................................99

    FIG. 6.7 Esquema de determinao do Espao de Trabalho Controlvel no-linear........104

    FIG. 6.8 Representao dos vetores unitrios em um manipulador CRPM 2T0R.............105

    FIG. 7.1 Duplo hangar de Orly de Eugne Freyssine, 1923 (PORTO, 2009)....................107

    FIG. 7.2 Foto do Ptio Mal Mascarenhas de Moraes (Arquivo pessoal)...........................108

    FIG. 7.3 Slidos de ancoragem (Esquemtico)..................................................................108

    FIG. 7.4 Vistas de frente, lateral e de topo do helicptero EC-120 COLIBRI

    (http://www.helibras.com.br/produtos_det.php?id=1).........................................109

    FIG. 7.5 Esquema de sustentao da plataforma por um nico cabo.................................110

    FIG 7.6 Espaos de Trabalho com os pontos de ancoragem e eixos coordenados............112

    FIG. 7.7 Vistas do Espao B...............................................................................................115

    13

  • FIG. 7.8 Vistas do Espao B (No-linear)..........................................................................115

    FIG. 7.9 Foras de trao nos cabos...................................................................................116

    FIG. 7.10 Vistas laterais dos espaos de trabalho para cabos de massa no-nula................118

    FIG. 7.11 Vistas frontais dos espaos de trabalho para cabos de massa no-nula................118

    FIG. 7.12 Vistas superiores dos espaos de trabalho para cabos de massa no-nula...........119

    FIG. 7.13 Comparao entre os espaos de trabalho para o cabo C3, com CS 10 e 12.......120

    FIG. 7.14 Tcnica de visualizao do espao de trabalho por cotas....................................121

    FIG. 7.15 Espao de trabalho por cotas para a regio B com o cabo C3 e CS 12................122

    FIG. 7.16 Trajetria elptica de altitude varivel..................................................................125

    FIG. 7.17 Trajetria ascendente helicoidal de raio varivel.................................................126

    FIG. 7.18 Trajetria da plataforma em vo parablico........................................................128

    FIG. 8.1 Curva de foras nos cabos na trajetria elptica...................................................130

    FIG. 8.2 Curvas de comprimento de cabo na trajetria elptica.........................................131

    FIG. 8.3 Curvas de deformao elstica nos cabos na trajetria elptica...........................131

    14

  • FIG. 8.4 Catenrias e tenses na posio inicial da trajetria elptica r=[200 0 50] .........133

    FIG. 8.5 Catenrias e tenses na posio r=[72 14 40] da trajetria elptica.....................133

    FIG. 8.6 Curvas de foras nos cabos para trajetria helicoidal ascendente........................134

    FIG. 8.7 Curvas de deformao elstica nos cabos para trajetria helicoidal ascendente..135

    FIG. 8.8 Curvas de foras nos cabos para trajetria parablica.........................................135

    FIG. 8.9 Curvas de deformao elstica nos cabos para trajetria parablica...................136

    FIG. 8.10 Catenrias e tenses na posio inicial da trajetria helicoidal r=[150 0 20]......137

    FIG. 8.11 Catenrias e tenses na posio em r=[93 12 67]................................................137

    FIG. 8.12 Catenrias e tenses na posio inicial da trajetria parablica r=[105 0 20].....138

    FIG. 8.13 Catenrias e tenses em r=[128 0 77]..................................................................138

    FIG. 12.1 Modelo simples de cabo em catenria..................................................................152

    FIG. 12.2 Catenria sujeita ao prprio peso.........................................................................153

    FIG. 12.3 Representao das foras aplicadas sobre um elemento infinitesimal de cabo....153

    FIG. 12.4 Modelo de catenria fixa em dois pontos.............................................................155

    15

  • FIG. 12.5 Determinao das distancias horizontal e vertical entre pontos de fixao e de

    ancoragem da catenria........................................................................................156

    FIG. 12.6 Modelo de cabo em catenria para determinao do espao de trabalho.............160

    FIG. 12.7 Representao de rotaes tri-dimensionais na seqncia ZYX..........................162

    FIG. 12.8 Representao do referencial local.......................................................................165

    FIG. 12.9 Espao de trabalho linear para o Cabo C1, com CS=12 .....................................172

    FIG. 12.10 Espao de trabalho linear para o Cabo C2, com CS=12......................................173

    FIG. 12.11 Espao de trabalho linear para o Cabo C3, com CS=12......................................173

    FIG. 12.12 Espao de trabalho linear para o Cabo C4, com CS=12......................................174

    FIG. 12.13 Vistas do Espao de Trabalho A esperado............................................................175

    FIG. 12.14 Trajetria da plataforma vo pairado................................................................177

    FIG. 12.15 Trajetria da plataforma Decolagem parablica...............................................178

    FIG. 12.16 Trajetria da plataforma Trajetria senoidal no plano 0xz................................179

    FIG. 13.1 Esquema de cabo de ao e seus elementos (VERRET ,1997).............................181

    16

  • FIG. 13.2 Seo transversal de cabos de ao (VERRET ,1997)...........................................182

    FIG. 13.3 Tipos de toro (VERRET ,1997)........................................................................183

    FIG. 13.4 Recomendaes de enrolamento no tambor segundo dimetro da polia e sentido

    de toro do cabo (VERRET, 1997).....................................................................184

    FIG. 13.5 Comparao entre pernas convencional e compactada (VERRET, 1997)...........184

    17

  • LISTA DE TABELAS

    TAB 2.1 Classificao do manipulador quanto ao numero de graus de liberdade...............41

    TAB. 5.1 Valores de vivel e f(vivel) para as massas 0g, 50g e 250g no caso 3m2T0R..........71

    TAB. 5.2 Valores de vivel e f(vivel ) para as massas 0g, 50g e 250g no caso 4m2T0R.........71

    TAB. 6.1 Tabela de frmulas para o Caso 3T3R.................................................................100

    TAB. 7.1 Dados tcnicos do EC-120 Colibri.......................................................................110

    TAB. 7.2 Cargas de ruptura para especificao de cabo em funo do ngulo de inclinao

    com a horizontal, para cabos CIMAF 6x25F+AACI...........................................111

    TAB. 7.3 Propriedades Mecnicas dos cabos CIMAF 6X25F+AACI para os dimetros 16,0,

    19,0, 22,0 e 29,0mm.............................................................................................117

    TAB. 7.4 Dados de projeto e especificao do cabo de ao................................................123

    TAB. 7.5 Comparao entre as caractersticas do cabo C1 (CS 12) e C3 (CS 10)..............123

    TAB. 12.1 Equaes Fundamentais com Respeito a Cabos Flexveis para Grandes Espaos de

    Trabalho................................................................................................................161

    TAB. 13.1 Coeficientes de segurana aplicados a cabos de ao............................................185

    18

  • LISTA DE ABREVIATURAS E SMBOLOS

    ABREVIATURAS

    a - Razo h / de um cabo em catenria

    A(s) - rea da seo transversal do cabo, no comprimento s em relao ao vrtice da catenria

    A+T - Psedo-inversa de Moore-Penrose da Matriz de Estrutura AT

    AT - Matriz de estrutura

    b - Matriz dos pontos de ancoragem

    C(m,p) - Combinao de m elementos p a p

    CS - Coeficiente de segurana

    dC - Distncia vertical entre os pontos de fixao e ancoragem de um cabo em catenria

    E - Mdulo de elasticidade do cabo

    f - Vetor de foras nos cabos

    f (viavel) - Vetordetensesnoscabos,obtidospelaaplicaodevivelf s - Vetorsoluodeforasobtidaapartirdomtododobaricentro

    F(H) - Sistema de equaes no-lineares

    fmax - Limite superior de trao no cabo

    fmin - Limite inferior de trao no cabo

    fp - Vetor de foras aplicadas sobre a plataforma

    frup - Trao de ruptura do cabo

    gC - Componente das foras de Coriolis

    gE - Vetor de foras externas aplicadas sobre a plataforma

    h - Vetor de fora horizontal em um cabo em catenria

    Hb-1 - Matriz de transformao linear que leva as derivadas dos ngulos de Cardan para o vetor de velocidades angulares no R3

    IG - Tensor de inrcia definido em RG em funo dos ngulos de rotao;

    Jx - Matriz jacobiana de x(x)

    K - Matriz de rigidez do sistema

    l - Vetor de comprimento de cabo

    19

  • lC - Distncia horizontal entre os pontos de fixao e ancoragem de um cabo em catenria

    Mp - Matriz de massa

    mp - Massa da plataforma;

    N(AT) - Ncleo da matriz de estrutura

    pL - Vetor dos pontos de fixao dos cabos na plataforma, no ref. local. RL

    q - Vetor comprimento de cabo

    r - Rosio do referencial local da plataforma RL em relao a RG

    RC - Referencial de determinao dos parmetros da catenria no plano vertical que a contem

    RG - Referencial Global

    RL - Referencial Local da plataforma

    Rp(x) - Matriz de rotao da plataforma em relao ao ref. global RG

    T(s) - Trao no cabo em um comprimento s em relao ao vrtice da catenria

    U - Matriz Direcional

    Umax - Limite superior de torque nos atuadores

    Umin - Limite inferior de torque nos atuadores

    vi - Vetor unitrio de comprimento de cabo

    w(r,) - Vetor de esforos externos aplicados sobre a plataforma na posio e orientao indicadas por r e , respectivamente.

    x - Posio da plataforma

    x - Velocidade da plataforma

    x - Acelerao da plataforma

    x1 - Posio do ponto de fixao de um cabo em catenria no ref. RC

    x2 - Posio do ponto de ancoragem de um cabo em catenria no ref. RC

    L - Deformao elstica do cabo

    S - Comprimento de cabo entre os pontos x1 e x2

    20

  • SMBOLOS

    Peso por unidade de comprimento de um cabo em catenria

    - Menor ngulo que o plano vertical que contem a catenria faz com a direo longitudinal do slido de ancoragem.

    1 - ngulo que a catenria faz com a horizontal no ponto de fixao

    2 - ngulo que a catenria faz com a horizontal no ponto de ancoragem

    f ih j

    - Derivada parcial de fi segundo hj para o clculo da matriz Jacobiana de soluo do sistema no-linear

    - ngulo de rotao da plataforma em torno do eixo Z

    - ngulo de rotao da plataforma em torno do eixo Y - ngulo de rotao da plataforma em torno do eixo X

    - Vetor velocidade angular

    x(x) - Funo vetorial comprimento de cabo

    d - Deformaoaxialespecificadeumcaboemcatenria

    C - Hipercubo m-dimensional dos limites de fora nos cabos

    S - Hiperplano r-dimensional das distribuies de fora

    - Regio Vivel delimitada pelos (s) no Rr

    - Ponto soluo da regio vivel em Rr

    s - obtidopelomtododobaricentro,referenteasoluosegura

    vivel - limitesdaregiovivel

    - Imagem da regio vivel no hipercubo de foras

    - Orientao da plataforma, representada pelo referencial RL, em relao a RG

    p - Vetor de torques aplicados sobre a plataforma

    21

  • LISTA DE SIGLAS

    1T Movimento com 1 grau de liberdade translacional

    2T Movimento com 2 graus de liberdade translacionais

    2T1R Movimento com 2 graus de liberdade translacionais e 1 rotacional

    3T Movimento com 3 graus de liberdade translacionais

    3T2R Movimento com 3 graus de liberdade translacionais e 2 rotacionais

    3T3R Movimento com 3 graus de liberdade translacionais e 3 rotacionais

    8M3T3R Manipulador comm 8 cabos, cuja plataforma se move como 3T3R.

    CKRM Completely Kinematic Restrained Manipulators (Manipulador com restries cinemticas completas)

    CRPM Completely Restrict Positioning Mechanism (Mecanismo de posicionamento completamente restrito)

    IKRM Incompletely Kinematic Restrained Manipulators (Manipulador com restries cinemticas incompletas)

    IME Instituto Militar de Engenharia

    IRPM Incompletely Restrict Positioning Mechanism (Mecanismo de posicionamento incompletamente restrito)

    LPM Labortorio de Projetos Mecnicos

    R.A. Razo de Aspceto

    RAMP Redundantly Actuated Manipulators (Manipulador com restries cinemticas redundantes)

    RRPM Redundantely Restrict Positioning Mechanism (Mecanismo de posicionamento redundantemente restrito)

    SE-4 Seo de Ensino 4 / Departamento de Engenharia Mecnica e de Materiais

    SEGESTA SEilGEtribene Systeme in Theorie und Anwendung (Sistemas atuados por cabos em teoria e aplicao)

    TBPM Tendon-base paralell manipulator (Manipulador paralelo acionado por cabos)

    22

  • RESUMO

    Manipuladores paralelos atuados por cabos de massa desprezvel, constituem-se em amplo material de pesquisa. No entanto, para que um cabo de massa no desprezvel seja utilizado em um grande espao de trabalho, devem ser feitas as consideraes necessrias formao de catenrias nestes cabos.

    Conhecendo-se a soluo para manipuladores acionados por cabos de massa nula, busca-se a soluo do problema gerado pela aplicao de massa nos cabos pelo mtodo de Newton, e obtm-se a soluo de foras para dada configurao cinemtica e dinmica aplicada sobre a plataforma, por meio de um sistema de equaes em funo de suas foras horizontais. Caso o sistema possua soluo na posio e esforos analisados, diz-se que este ponto pertence ao espao de trabalho do manipulador e so apresentados todos os parmetros que determinam as catenrias do sistema, bem como sua configurao cinemtica.

    Analisando-se o problema em diversos casos, pode-se verificar que o espao de trabalho mais reduzido e se deforma na direo de aplicao das foras, em relao ao espao de trabalho para cabos de massa nula. Como trabalhos futuros propem-se o estudo da rigidez e da vibrao do sistema e a aplicao de sistema de controle para motores de corrente alternada, por serem mais robustos e de menor custo.

    23

  • ABSTRACT

    Tendon based parallel manipulators with massless wires are widely studied. However, for real wires used in a extense workspace, some considerations should be made.

    From the solution for massless cable manipulators, the problem generated by the application of the cable mass is solved by Newton's method. The tensions are obtained for a kinematic and dynamic configuration applied to the platform from the component of horizontal force. If the system has solution for this position and efforts, this point will belong to the workspace and the catenary parameters are determined.

    Analyzing the problem in several cases, one can verify that the workspace is smaller than workspace for massless wires and deformed in the direction of application of forces. As future work are proposed to study the stiffness and vibration of the system, as well the application of a control system based AC motors.

    24

  • 1 INTRODUO

    Por definio um manipulador paralelo consiste de uma plataforma ou ferramenta

    ligada a base por cadeias cinemticas abertas e independentes. De maneira geral,

    comparando-os com manipuladores antropomrficos em srie, ambos com atuadores rgidos,

    um manipulador paralelo possuir as seguintes caractersticas:

    a) boa capacidade de posicionamento;

    b) elevada capacidade de carga, pela sustentao cooperativa de todos os atuadores;

    c) grande rigidez estrutural, dada a caracterstica acima;

    d) baixa inrcia, devido a distribuio de massas; e,

    e) reduzido espao de trabalho, devido ao comprimento comercial dos atuadores, e

    a estes terem de se mover em conjunto em torno da posio desejada.

    (STEWART, 1965) props uma estrutura paralela com 6 graus de liberdade e atuadores

    lineares rgidos a partir de uma estrutura conhecida como plataforma de Gough desde 1947 e

    esta nova estrutura ficou conhecida como Plataforma de Stewart1. No entanto a Plataforma de

    Stewart tradicional apresentava a desvantagem de no poder se mover alm do comprimento

    permitido por seus atuadores.

    Visando eliminar o problema do curto espao de trabalho, limitado pelas juntas

    cinemticas do mecanismo, foi proposta uma plataforma mvel sustentada por cabos. Esta

    concepo ficou conhecida como manipulador paralelo baseado em tendes ou atuado por

    cabos.

    A FIG. 1.1 apresenta o SEGESTA2, um manipulador paralelo atuado por sete cabos e que

    se move nos seis graus de liberdade.

    1 A Plataforma de Stewart constitui-se no manipulador paralelo mais conhecido no meio no cientifico

    2 SEGESTA - Seilgetriebene Stewart-Plattformen in Theorie und Anwendung. Em portugus: Plataforma de Stewart atuada por cabos para teoria e aplicao

    25

  • FIG. 1.1- Prottipo do SEGESTA (BRUCKMAN et al, 2008)

    Ao contrrio do SEGESTA, caso um manipulador paralelo acionado por cabos possua

    cabos longos, seu espao de trabalho controlvel pode ser ampliado o quanto se deseje, desde

    que quesitos como sustentabilidade e controlabilidade da plataforma sejam atendidos.

    O interesse em manipuladores para grandes espaos reside na possibilidade de aplicao

    em simuladores de vo de aeronaves, em especial de aeronaves de asas rotativas. Em amplos

    espaos, a movimentao da plataforma representando uma aeronave tripulada poder levar o

    piloto a experimentar a sensao de voar e realizar manobras e no somente a ter essa

    percepo a partir de equipamentos de realidade virtual.

    Desta forma, o Exrcito Brasileiro deseja desenvolver o estudo em torno deste tipo de

    manipulador pelo fato de que parte da formao prtica e da instruo de um piloto poder ser

    substituda por horas de aula em simuladores gerando economia de combustvel e evitando o

    desgaste da aeronave.

    26

  • 1.1 REVISO BIBLIOGRFICA

    Verifica-se que o trabalho neste tipo de manipulador comeou nos anos 80 com a idia de

    melhoramentos em guindastes. Logo evoluiu para construo naval com trabalhos de

    (DAGALAKIS, 1989; ALBUS e BOSTELMANN, 1993; e ,BOSTELMANN et al, 1994),

    pois verificou-se que a possibilidade de movimentao e posicionamento preciso de grandes

    peas poderia viabilizar a construo modular de navios, acelerando o processo de fabricao.

    (OU, 1994) desenvolveu um trabalho sobre manipuladores seriais acionados por cabos

    por meio de rotulas que atuassem como polias. Porem foi verificado que o comprimento dos

    cabos varivel em funo da posio angular de cada junta do manipulador. Em (OU, 2004)

    pode-se verificar o prosseguimento do trabalho que havia comeado .A FIG. 1.2 apresenta o

    caso.

    FIG. 1.2 Esquema plano de um manipulador serial acionado por cabos(OU, 1994)

    Novamente, voltados para a aplicao submarina tem-se (UNGER, J., AND

    DAGALAKIS, N. G., 1998) com o trabalho Optimum Stiffness Study for a Parallel Link

    Robot Crane Under Horizontal Force3. 3 Estudo da rigidez tima de um manipulador paralelo tipo guindaste sob a ao de uma fora horizontal.

    27

  • Como aplicao deste tipo de manipulador na industria espacial (BOSTELMAN et al,

    1994) analisam o sistema de abertura de trem de pouso de um equipamento lunar.

    (TADOKORO et al, 1999 ) desenvolveu um trabalho sobre a fixao da uma plataforma

    acionada por cabos em reas atingidas por terremotos para os servios de resgate, evitando o

    contato da equipe e da vtima com o solo.

    (KAWAMURA et al, 2000) desenvolveu um manipulador paralelo acionado por cabos

    capaz de trabalhar em altas velocidades chamado FALCON-7. (WILLIAMS, 2005) prope

    um sistema de plataforma mvel acionada por cabos para a limpeza e manuteno de

    aeronaves. (LAFOURCADE et al, 2002; e ZHENG, 2006) desenvolveram e analisaram

    manipuladores para sustentao de modelos em tuneis de vento. H ainda uma aplicao em

    sistemas de transmisso automotiva, desenvolvido por (TSAI, 1996) para o departamento do

    governo norte americano.

    Nas bases de patentes nacional (INPI)4, americana (USPTO)5 e europeia (EPO)6 existem

    patentes sobre plataformas atuadas por cabos, sistemas de ancoragem de cabos,

    posicionamento de plataformas subaquticas e sistemas de abertura de mecanismos por cabos.

    1.2 OBJETIVO

    O objetivo deste trabalho a obteno do modelo dinmico da Plataforma de Stewart

    acionada por cabos, com 6 graus de liberdade, para aplicaes em grandes espaos de

    trabalho, de forma que possa realizar deslocamentos amplos o bastante, capazes de simular o

    vo de aeronaves de asa rotativa.

    Como deseja-se que a plataforma atue ao longo de grandes distncias, os cabos sero

    considerados elsticos e de massa no-nula, cujas especificaes tcnicas so obtidas de cabos

    comerciais, considerando a simplificao de que os cabos adotem a configurao de catenria

    4 www.inpi.gov.br Instituto Nacional de Propriedade Intelectual

    5 www.ustpo.gov United States Patent and Trademark Office

    6 www.epo.org European Patent Office

    28

    http://www.inpi.gov.br/http://www.epo.org/http://www.ustpo.gov/

  • esttica durante todo o percurso realizado.

    Os modelos apresentados por (VERHOEVEN, 2004; FANG, 2005; OH E AGRAWAL,

    2005; MIKELSONS et al, 2008) se baseiam quase que unicamente em manipuladores

    completamente restritos. Segundo a prpria classificao de (VERHOEVEN, 2004) quanto ao

    nmero de redundncias, este tipo de manipulador se caracteriza pelo numero de cabos ser

    igual ao numero de graus de liberdade mais um, e considera cabos de massa desprezvel.

    Verifica-se que a utilizao de mais cabos que o previsto, para manipuladores

    completamente restritos, pode ser tanto desejvel como necessria para a manipulao da

    plataforma mvel de acordo com as necessidades de projeto. A presena de cabos adicionais

    atribui ao manipulador restries redundantes, conforme ser apresentado no segundo

    captulo.

    A necessidade de incluir cabos redundantes poder surgir caso o espao de trabalho

    desejado seja amplo o suficiente para impedir que as foras dinmicas e aceleraes que esta

    dissertao espera obter sejam alcanadas ao longo das trajetrias desejadas.

    A possibilidade de incluso de cabos adicionais ao sistema pode ser justificada tambm

    caso em que a estrutura de ancoragem no suporte a concentrao de esforos e estes devam

    ser redistribudos.

    Assim torna-se necessrio buscar um mtodo de soluo que independa do nmero de

    cabos do manipulador, e oferea a capacidade de se variar o grau de redundncia cinemtica

    do modelo final.

    1.3 DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

    Este trabalho desenvolvido utilizando os softwares livres:

    Scilab-4.1.2;

    Openoffice 3.1; e,

    Linux sob a distribuio Ubuntu 8.04.

    29

  • O Captulo 2 apresenta a fundamentao terica, as definies de manipuladores

    acionados por cabos, sua classificao e consideraes quanto aos graus de redundncia e

    liberdade do manipulador.

    O Captulo 3 refere-se ao modelo matemtico da plataforma acionada por cabos e

    descreve: a cinemtica inversa para o caso de manipuladores acionados por cabos de massas

    consideradas nulas; e, o modelo dinmico da plataforma para o caso geral de m cabos e seis

    graus de liberdade.

    O Captulo 4 apresenta definies e ferramentas de anlise do espao de trabalho e o

    mtodo de determinao da soluo segura pelo baricentro da regio vivel.

    No Captulo 5 apresentado o mtodo de determinao do espao de trabalho onde

    consideram-se cabos de massa nula. Caso no existam esforos externos aplicados sobre a

    plataforma, tem-se a soluo homognea, caso contrrio, tem-se a soluo no-homognea.

    Tambm so analisados os espaos de trabalho com respeito aos limites de tenso para ambas

    as solues.

    O Captulo 6 introduz o problema de determinao do espao de trabalho quando os

    cabos possuem massa no-nula, apresenta as equaes de modelo para quatro casos distintos

    quanto ao grau de liberdade e faz consideraes quanto aos resultados esperados na obteno

    do espao de trabalho controlvel.

    O Captulo 7 apresenta a especificao dos cabos de ao utilizados nas simulaes, as

    dimenses da plataforma e as regies de ancoragem utilizados nas simulaes, que so

    geradas no Captulo 8.

    O Captulo 9 apresenta as concluses sobre o trabalho e os resultados obtidos.

    O Captulo 10 sugere trabalhos futuros para a continuidade desta dissertao.

    O Captulo 11 apresenta as referncias bibliogrficas utilizadas neste trabalho e nos

    Captulos 12 e 13 so apresentados, respectivamente, os Apndices e Anexos.

    30

  • 2 FUNDAMENTAO TERICA

    Manipuladores paralelos atuados por cabos so capazes de gerar velocidades e

    aceleraes mais elevadas quando comparados com manipuladores que utilizem atuadores

    rgidos seriais. Tal caracterstica ocorre devido a massa das partes moveis, neste caso os cabos

    que sustentam o atuador final, ser consideravelmente menor. A principal vantagens deste tipo

    de manipulador est no fato de ser relativamente mais leve e apresentar boa flexibilidade e

    manobrabilidade, por consequncia menor inercia e rigidez.

    Dentre as suas principais aplicaes industriais e comerciais, pode-se citar o

    posicionamento de telescpios sobre refletores de sinais fixos e sistemas de cmeras

    suspensas em estdios, onde braos robticos com atuadores rgidos no so apropriados

    devido ao curto alcance til em relao as dimenses a serem observadas.

    Na FIG. 2.1 so apresentadas estas aplicaes.

    a) Telescpio suspenso por balo posicionado por 6 cabos sobre a superfcie refletora

    (National Research Council of Canada )

    b) Skycam sustentada por 3 cabos

    (Skycam CF InFlight)

    FIG. 2.1 Aplicaes de manipuladores paralelos baseados em tendes para grandes dimenses

    Outra aplicao industrial em menor escala apresentada por (KAWAMURA et al, 1995)

    e (KAWAMURA et al, 2000) de maneira detalhada com o Rob FALCON-7 para a montagem

    em alta velocidade de componentes eletrnicos de pequeno peso baseados em

    semicondutores.

    31

  • A FIG. 2.2 ilustra de maneira esquemtica o rob FALCON-7 e seu possvel espao de

    trabalho para a montagem de componentes. Observando a figura verifica-se que o

    posicionamento dos cabos com pequenos ngulos de inclinao em relao a direo

    longitudinal possibilita que os esforos e aceleraes sejam transmitidos de maneira mais

    eficiente ao manipulador.

    a) FALCON-7

    b) Alcance Translacional

    FIG. 2.2 Rob FALCON (KAWAMURA et al, 1995)

    Aplicado a este trabalho, pode-se dizer que, de modo geral um manipulador paralelo

    baseado em tendes pode ser utilizado para percorrer grandes espaos livres, limitados por

    pontos fixos bem definidos e nos quais seja possvel fix-lo, e ainda no haja a atuao de

    foras externas capazes de posicion-lo fora do polgono ou slido determinado pelos pontos

    de ancoragem dos cabos1, no entanto existem excees a esta definio.

    Como cabos so elementos de maquinas que somente geram trao sobre os componentes

    em que esto fixos, a atuao redundante se torna necessria para que o posicionamento do

    mecanismo seja completamente restringido (Completely Restrained Positioning Mechanism -

    CRPM).

    Desta forma os cabos devem ser utilizados de forma coordenada para movimentarem a

    plataforma em um espao tridimensional a ser definido para cada configurao dinmica e

    estrutural do manipulador. Este volume do espao, no qual a plataforma admite o equilbrio

    dinmico de foras, denomina-se espao de trabalho da plataforma.

    A distribuio de tenses deve ser considerada durante todo o movimento do sistema

    1 Define-se por ponto de ancoragem, o local ou ponto considerado fixo, em relao a um referencial

    32

  • atravs da trajetria desejada. Para que o posicionamento da plataforma seja realizado,

    necessrio que condies previamente determinadas de pr-carga nos cabos e limites de

    vibrao do sistema sejam obedecidas.

    Para minimizar o consumo de energia do sistema, uma distribuio tima de tenses

    requerida de acordo com as condies cinemticas e dinmicas existentes. Esta distribuio

    apresentada por (BRUCKMANN et al, 2006) e (MIKELSONS et al, 2008)

    Em (FANG et al, 2004), Motion Control of a Tendon-Based Parallel Manipulator Using

    Optimal Tension Distribution, trata-se do problema da distribuio tima de tenses nos cabos

    como forma de reduzir os esforos envolvidos e aumentar a eficincia energtica do sistema.

    (VERHOEVEN, 2004) em Analysis of the Workspace of Tendon-based Stewart Platforms

    apresenta diversas configuraes de plataformas sustentadas por cabos, compara

    manipuladores paralelos a manipuladores seriais em diversas aplicaes e apresenta uma

    relao entre a configuraes de cabos com os graus de liberdade da plataforma. Neste

    trabalho tambm so analisadas as regies de singularidade do espao de trabalho.

    (FANG, 2005) fornece uma referncia completa em seu trabalho intitulado Design,

    Modeling and Motion of Tendon-Based Parallel Manipulators, voltada para manipuladores

    completamente restritos. Este trabalho apresenta os modelos cinemtico e dinmico de uma

    plataforma com sete cabos e seis graus de liberdade, com ambos os modelos baseados em

    ngulos de cardan. Considera-se que a plataforma rgida e que os cabos so elsticos

    (deformam-se longitudinalmente) e sem massa.

    O desenvolvimento deste trabalho se dar basicamente em trs fases:

    modelo com cabos inelsticos2 e sem massa.

    modelo com cabos elsticos3 e sem massa.

    modelo com cabos elsticos e com massa no-nula.

    Por fim a contribuio deste trabalho ser a obteno de um modelo dinmico com seis

    graus de liberdade para manipuladores paralelos acionados por cabos classificados como

    completamente restritos e redundantemente restritos, este ltimo independendo do nmero de

    2 A simplificao de cabo inelstico (e sem massa) indica que o cabo se mantem permanentemente retilneo, ligando os pontos de ancoragem e fixao da plataforma, e que se comprimento no varia pela ao de esforos.

    3 Uma das simplificaes adotadas neste trabalho a ausncia de vibrao do cabo. A elasticidade considerada em um cabo atuando sobre a plataforma indica somente que este se deforma longitudinalmente variando seu comprimento e consequentemente a posio da plataforma.

    33

  • cabos, e em ambos os casos adota-se a configurao de catenria esttica para cada cabo

    empregado.

    feita ainda a considerao de que as classificaes acima so obedecidas, ou seja, de

    que o manipulador em nenhum momento apresente configurao incompletamente restrita

    devido a ao de foras externas.

    2.1 DEFINIES

    Primeiramente, em todos os casos analisados utilizam-se m para nmero de cabos e n

    para nmero de graus de liberdade da plataforma.

    So definidos como pontos de fixao os pontos da plataforma onde os cabos so

    fixados. Estes pontos so representados por vetores constantes no referencial local.

    conveniente definir que o referencial local padro utilizado em todas as equaes centroidal

    com os eixos 0x e 0y, respectivamente, paralelo e transversal a maior dimenso da plataforma,

    e que caso isso no ocorra, tal fato ser mencionado.

    Pontos de ancoragem so os pontos de ligao dos cabos com a estrutura de

    sustentao do manipulador. Neste trabalho, todos os pontos de ancoragem so considerados

    fixos (constantes) e pontuais devido a ordem de grandeza da variao da localizao destes

    pontos em relao ao volume do espao de trabalho ser desprezvel. Por se tratar de grandes

    espaos de trabalho, a variabilidade da posio do ponto de ancoragem no uma condio de

    existncia para este tipo de manipulador.

    (BRUCKMANN et al, 2008) apresentam o equacionamento para cabos ligados base por

    polias acopladas a peas mveis nas regies de ancoragem. Desta forma, as polias por onde os

    cabos passam esto sempre voltadas na direo de seu respectivo ponto de fixao, no

    entanto, de acordo com a posio da plataforma e variando o ngulo do cabo com a horizontal

    na regio de ancoragem, a posio do ponto de ancoragem alterada.

    A modelagem de pontos de ancoragem com polias no ser adotada neste trabalho,

    devido a dimenso da polia ser consideravelmente menor que o espao de trabalho gerado.

    34

  • Desta forma, pode-se aproximar a posio do ponto de ancoragem para um ponto fixo.

    Um exemplo de manipuladores acionados por cabos com pontos de ancoragem moveis

    ocorreria no caso de atuadores sobre trilhos, contudo a utilizao deste tipo de atuador, dadas

    as caractersticas de projeto, poderia gerar custos proibitivos.

    Definem-se como superiores os cabos que, em determinada posio e orientao da

    plataforma possuam o ponto de ancoragem superior ao de fixao e como cabos inferiores

    os que se encontrem em situao oposta. A denominao de cabos superiores e inferiores pode

    ser definida ainda em relao a mdia dos pontos de ancoragem.

    Da mesma forma, polgono ou slido de ancoragem a figura formada por todos os

    pontos de ancoragem do manipulador. Verifica-se que para a plataforma ser plenamente

    utilizada, com todos seus graus de liberdade controlveis, desejvel que sua posio esteja

    sempre no interior do polgono ou slido de ancoragem, conforme o caso.

    A utilizao do manipulador de maneira eficiente, relaciona-se a sua controlabilidade nos

    graus de liberdade de interesse. Para que isso ocorra, necessrio identificar as regies do

    espao de trabalho nas quais a plataforma possa exercer esforos e movimentar-se de maneira

    controlvel. A determinao e conhecimento destas regies est relacionada a geometria do

    slido de ancoragem.

    Desta forma, chama-se Espao de Trabalho ao conjunto destas posies. Em

    (VERHOEVEN et al, 1998; VERHOEVEN, 2004; e FANG, 2005) so verificadas quatro

    definies distintas para espao de trabalho, s quais sero apresentadas no captulo quatro, no

    entanto esta dissertao referir-se-a sempre ao Espao de Trabalho Controlvel do

    manipulador.

    (VERHOEVEN, 2004) define genericamente manipuladores como sistemas mecnicos

    capazes de transformar m variveis l1, . . ,lm, neste caso os comprimentos dos m cabos, e

    traes f1, . . ,fm com respeito aos atuadores em n variveis de posio x1, . . ,xn e de esforos

    aplicados sobre o atuador final w1, . . ,wn , desde que n no seja maior do que seis,

    representando o numero de graus de liberdade controlveis do sistema. Utilizando a mesma

    definio dada acima, as m variveis de comprimento e trao nos cabos so definidas como

    Variveis de Junta e as n variveis de posio e esforos sobre a plataforma como

    Variveis do Atuador.

    (OU, 1994) caracteriza variveis de junta e atuador final (ou plataforma) como espaos

    vetoriais distintos, respectivamente contidos em Rm e Rn, onde as variveis de junta so

    35

  • fornecidas ao sistema para a obteno de n variveis do atuador, segundo a cinemtica e

    dinmica direta do manipulador.

    Dadas as definies de (VERHOEVEN, 2004; e, OU, 1994) possvel definir a Matriz

    de Estrutura4 do problema como o transformador linear que relaciona as foras no atuadores

    com respeito s juntas, contidas no espao vetorial Rn, com os esforos aplicados sobre a

    plataforma ou atuador final, contidos no espao vetorial Rm.

    A FIG. 2.3 apresenta esquematicamente um manipulador com m=8 cabos e pontos de

    ancoragem, quatro pontos de fixao e n=6 graus de liberdade controlveis.

    FIG. 2.3 Definio dos elementos do manipulador

    As variveis de juntas so os comprimentos e foras nos cabos e as variveis do atuador a

    posio e esforos sobre a plataforma, ou que esta exera. O slido de ancoragem dado por

    um prisma reto de seo trapezoidal.

    Os Captulos 4 e 6 apresentam os mtodos matemticos para a soluo do problema de

    determinao do espao de trabalho. O Captulo 4 demonstra que a determinao do espao

    de trabalho para manipuladores com cabos de massa nula se d pela soluo de sistemas

    lineares baseados nas Equaes Bsicas de Soluo do Sistema. Por este motivo, este trabalho

    refere-se frequentemente a este caso como caso ou sistema linear.

    4 A Matriz de Estrutura AT o ente matemtico que relaciona as traes nos cabos com as foras generalizadas aplicadas sobre a plataforma atravs da EQ 3.6: AT f + w = 0, que uma das Equaes Bsicas de Soluo do Sistema. A teoria e equacionamento a respeito da Matriz de Estrutura so apresentados no captulo 3.

    36

  • Dando continuidade, o Captulo 6 apresenta e demonstra o mtodo de obteno das foras

    nos cabos e de determinao do espao de trabalho de manipuladores com cabos de massa

    no-nula, o que ocorre por meio da soluo de um sistema de equaes no-linear. Por

    analogia, a obteno do espao de trabalho para este caso dita no-linear ou como problema

    no linear.

    2.2 CLASSIFICAO DE TBPM

    Existem duas classificaes bsicas e independentes entre si, para manipuladores

    paralelos acionados por cabos, que so utilizadas neste trabalho:

    1. Quanto ao grau de redundncia do manipulador;

    2. Quanto aos graus de liberdade da plataforma.

    2.2.1 QUANTO AO GRAU DE REDUNDNCIA

    (MING E HIGUCHI, 1994a) classificam os manipuladores paralelos acionados por cabos

    de acordo com a relao entre m e n como:

    a) mn - IRPM (Incompletely Restrained Positioning Mechanisms): A posio da

    plataforma no pode ser definida somente por equaes de restries cinemticas

    unilaterais, e pelo menos uma equao dinmica necessria para definir sua

    posio. Neste caso, existiro coordenadas generalizadas dependentes da posio e

    movimentao da plataforma; e,

    b) mn+1 - CPRM (Completely Restrained Positioning Mechanisms): A posio

    da plataforma completamente definida por equaes de restrio cinemtica

    unilaterais, e todos os graus de liberdade do sistema so controlados de maneira

    independente. o caso mais amplamente estudado.

    37

  • (VERHOEVEN, 2004) utiliza a definio de (MING E HIGUCHI, 1994) para

    manipuladores IRPM, contudo divide a definio de CRPM segundo as peculiaridades de seu

    trabalho em CRPM e RRPM. A classificao dada por (VERHOEVEN, 2004) descrita

    abaixo. Esta classificao ser utilizada ao longo deste trabalho.

    a) mn - IRPM (Incompletely Restrained Positioning Mechanisms): de (MING E

    HIGUCHI, 1994);

    b) m=n+1 - CPRM (Completely Restrained Positioning Mechanisms): restringindo a

    definio de CRPM anterior para o nmero de cabos igual ao nmero de graus de

    liberdade mais um. Neste caso a posio da plataforma totalmente definida por meio

    da cinemtica inversa, obtendo-se a soluo de foras por meio de um sistema de

    eques de simples soluo computacional; e,

    c) m>n+1 - RRPM (Redundantly Restrained Positioning Mechanisms): Neste caso

    existem mais equaes de restrio do que o necessrio para a definio do problema e

    deve-se encontrar uma soluo comum a todas. Quanto ao sistema fsico, este possui

    mais cabos do que o necessrio para garantir a independncia de seus movimentos,

    havendo a possibilidade de se desenvolverem casos de altas redundncias, elevando

    consideravelmente o custo computacional para soluo do problema.

    (FANG, 2005) ainda props outra classificao, de maneira similar e seguindo a definio

    dada por (MING E HIGUCHI, 1994a) e (VERHOEVEN, 2004):

    a) IKRM (Incompletely Kinematic Restrained Manipulators), para m

  • transformadas em IRPM de acordo com a posio da plataforma em relao aos pontos de

    ancoragem, quando foras externas so necessrias para equilibrar a plataforma e tornar as m

    tenses positivas.

    De acordo com (VERHOEVEN, 1998) isto se deve ao fato de que: Para qualquer

    referencial local da plataforma, a Matriz de Estrutura deve conter em cada linha pelo menos

    um elemento negativo e um positivo.

    A partir da definio acima. Pode-se dizer tambm que caso o produto dos elementos de

    cada linha seja positivo e haja soluo para o problema, o manipulador se comportar como

    IRPM, independente de sua classificao segundo (VERHOEVEN, 2004)

    A FIG. 2.4 apresenta o caso de um manipulador plano, com m cabos (m>3) ligados ao

    polgono de ancoragem (1)-(2)- . . . -(m), e dois graus de liberdade. Apesar desta configurao

    ser caracterizada como RRPM, possvel verificar que em qualquer posio externa ao

    polgono de ancoragem, a plataforma se comportar como pertencendo a um manipulador

    IRPM. Caso no haja pelo menos um esforo externo atuando sobre a plataforma, no ser

    possvel estabelecer o equilbrio esttico entre as tenses .

    FIG. 2.4 Posicionamento da plataforma exteriormente ao polgono de ancoragem

    Tem-se que as colunas da Matriz de Estrutura de sistemas puramente translacionais5 com

    cabos inelsicos so dadas por vetores unitrios na direo de aplicao das tenses sobre a

    5 Sistemas puramente translacionais so caracterizados por plataformas pontuais.

    39

  • plataforma6. Matematicamente, considerando os possveis referenciais locais da plataforma,

    no caso apresentado na FIG. 2.4, a Matriz de Estrutura ter dimenso [2 x m] representando as

    componentes vx e vy de cada vetor. Se o produto dos elementos de cada linha for negativo,

    significa que h pelo menos uma componente positiva e uma negativa nas direes locais 0x'

    e 0y'. Esta uma condio necessria, mas no suficiente, para que o equilbrio dinmico da

    plataforma seja obtido somente pela trao nos cabos.

    Em relao a manipuladores redundantes (VERHOEVEN, 2004) apresenta trs razes

    para a utilizao de sistemas RRPM que justificam seu custo computacional e principalmente

    o de fabricao:

    a) Inicialmente o espao de trabalho pode ser expandido consideravelmente e

    singularidades observadas no sistema original podem ser eliminadas, alm de

    aumentar a rigidez do sistema;

    b) Atuadores de menor potncia podem ser empregados, ocorrendo a redistribuio

    de cargas nos pontos de ancoragem e novas configuraes geomtricas, mais

    vantajosas, podem ser alcanadas

    c) Particularmente, em aplicaes onde a segurana seja primordial, como por

    exemplo resgates e montagem em reas de desmoronamentos, transporte de pessoal e

    cargas perigosas, o risco operacional reduzido e aumenta-se a capacidade de

    emprego do sistema.

    Conforme foi dito na introduo, o interesse em estudar manipuladores com cabos

    redundantes reside no fato de que sete cabos, segundo a classificao CRPM para seis graus

    de liberdade, podem no ser suficientes para atingir os objetivos de projeto. Um destes

    objetivos o espao de trabalho, que pode ser consideravelmente restringido devido a

    ausncia de pontos de ancoragem em posies chaves ou pela aplicao de esforos em

    direes onde os cabos existentes sejam pouco efetivos.

    6 Plataformas pontuais no exercem momento. Ver EQ 3.1 e 3.5.

    40

  • 2.2.2 QUANTO AOS GRAUS DE LIBERDADE

    (VERHOEVEN, 2004) prope a seguinte classificao:

    TAB 2.1 Classificao do manipulador quanto ao numero de graus de liberdade

    Graus de liberdade Qtd G.L. Tipo de movimento

    1T 1 Movimento linear do corpo

    2T 2 Movimento plano do ponto

    2T1R 3 Movimento plano do corpo

    3T 4 Movimento espacial do ponto

    3T2R 5 Movimento espacial da barra

    3T3R 6 Movimento espacial do corpo

    VERHOEVEN, 2004

    A FIG. 2.5 apresenta exemplos de manipuladores, segundo o nmero de graus de

    liberdade, para a configurao CPRM, onde o numero de cabos determinado por m=n+1,

    representando a quantidade mnima de cabos para que o sistema no dependa de um esforo

    externo para ser controlvel.

    Os graus de liberdade so apresentados de acordo com a TAB. 2.1 e as posies dos

    pontos de ancoragem representadas pelos atuadores so meramente ilustrativos.

    41

  • a) 1T ou 1T0R b) 2T ou 2T0r c) 2T1R

    d) 3T ou 3T0r e) 3T2R f) 3T3R

    FIG. 2.5 Manipuladores CPRM segundo a classificao por Nr de graus de liberdade(VERHOEVEN, 2004)

    Basicamente, este trabalho se inicia com o estudo de plataformas 2T (ou 2T0R) e 2T1R

    caracterizando o caso plano. Inicialmente so estudados casos onde a massa dos cabos e da

    plataforma so considerados nulos, tendo-se ento a soluo homognea. Analisado o caso

    homogneo parte-se para o estudo de manipuladores com soluo no-homognea em que

    somente a plataforma possui massa no-nula. Em seguida so estudados os casos 3T e 3T3R,

    tambm para sistemas de soluo homogneos e no-homogneos.

    Por fim analisam-se manipuladores onde a massa dos cabos e da plataforma so

    relevantes. Todo equacionamento apresentado ao final deste trabalho desenvolvido para o

    caso 3T3R, contudo generalista o suficiente para ser utilizado em qualquer configurao.

    42

  • 3 MODELO MATEMTICO

    Neste captulo apresentado o modelo modelo matemtico da plataforma, segundo

    (VERHOEVEN, 1998) e (OH E AGRAWAL, 2005), para manipuladores com cabos elsticos

    e sem massa.

    No entanto este trabalho voltado para o desenvolvimento do modelo dinmico de

    manipuladores paralelos acionados por cabos elsticos e de massa no-nula.

    Desta forma, a soluo do problema objetivo deste trabalho, obtida por meio de um

    sistema no-linear, em funo dos parmetros que definem o cabo em catenria, dentre eles o

    peso do cabo por unidade de comprimento, a trao aplicada, a distncia entre os pontos de

    fixao e ancoragem, e tendo como condio inicial a soluo de foras para TBPMs

    conforme descritas nos trabalhos citados. O mtodo de soluo para manipuladores com cabos

    de massa no-nula ser apresentado na Seo 6.6.

    Voltando a definio do problema, basicamente toda a anlise de plataformas atuadas por

    cabos recai em um problema de determinao do espao de trabalho segundo:

    a) Geometria da base e da plataforma;

    b) Limites de foras e elasticidade dos cabos; e,

    c) Foras generalizadas aplicadas plataforma.

    Considerando que para dada posio e orientao desejadas, o problema possua soluo,

    estes dados fornecero a distribuio de foras trativas nos cabos, e diz-se que esta posio

    pertence ao Espao de Trabalho Controlvel.

    Na FIG. 3.1 apresentado um caso geral de Plataforma de Stewart acionada por cabos

    com os principais elementos necessrios a obteno do modelo dinmico. Todos os entes

    geomtricos da plataforma esto representados nesta figura.

    43

  • FIG. 3.1 - Modelo geral de uma plataforma acionada por cabos (VERHOEVEN, 1998)

    Para os m cabos apresentados:

    RL e RG representam, respectivamente, o referencial local, fixo a plataforma, e

    global, fixo na estrutura de ancoragem;

    b1 a bm representam os vetores pontos de ancoragem dos cabos na estrutura em

    relao ao referencial RG;

    p1 a pm representam os vetores pontos de fixao dos cabos na plataforma;

    r e representam a posio e orientao de RL em relao a RG; e,

    l1 a lm representam os vetores comprimento de cabo, de cada ponto de fixao a

    seu respectivo ponto de ancoragem. Deve-se ter em mente que a representao

    geomtrica dos cabos por meio de vetores, considera-os como retilneos, inelsticos e

    de massa nula.

    Levando em conta a FIG. 3.1, o desenvolvimento da base terica para o modelo

    matemtico considera que:

    a) Todos os cabos esto conectados a plataforma por meio de juntas esfricas ideais;

    b) A plataforma e estrutura de ancoragem so corpos rgidos;

    c) No h coliso entre dois ou mais cabos quaisquer, em qualquer posio do espao

    de trabalho.

    Em relao a ltima considerao, (VERHOEVEN, 2004) prope que: Se dois cabos

    so conectados no mesmo ponto da base ou da plataforma, nunca iro colidir.

    44

  • As ilustraes abaixo apresentam exemplos de configurao de manipulador tais que no

    apresente auto-coliso de cabos.

    a) pontos de fixao e/ou ancoragem coincidentes b) cabos em planos paralelos

    FIG. 3.2 - Tcnicas para se evitar colises entre cabos (VERHOEVEN, 2004)

    Na FIG. 3.2 a) ilustrado o caso de coincidncia de pontos de fixao ou ancoragem e na

    FIG. 3.2 b) apresentada o caso onde os cabos esto localizados em planos paralelos e, em

    princpio, a plataforma no se mova transversalmente a estes planos.

    Ainda de acordo com a proposio de (VERHOEVEN, 2004), uma plataforma pontual

    nunca apresentar coliso de cabos, pois todos os cabos estaro ligados ao mesmo ponto de

    fixao.

    3.1 EQUILBRIO DE FORAS E CONSIDERAES ADICIONAIS

    Baseada na FIG. 3.1, a FIG. 3.3 apresenta o modelo geral da plataforma da Stewart

    acionada por cabos onde as foras aplicadas sobre a plataforma so indicadas por fp e os

    torques aplicados por p. Os vetores f1, . . . , fm indicam as foras trativas exercidas pelos m

    cabos sobre a plataforma nos pontos de fixao.

    Inicialmente considera-se os cabos como retilneos, inelsticos e de massa nula, e que a

    direo de aplicao das traes sobre a plataforma representada diretamente pela direo

    do cabo, dada pelos pontos de fixao e ancoragem.

    45

  • FIG. 3.3 - Foras aplicadas sobre a plataforma

    O vetor comprimento de cabo para o i-simo cabo li fornece a direo na qual o cabo

    exerce trao sobre a plataforma por meio do vetor unitrio de comprimento de cabo vi , onde:

    v i=l il i

    (3.1)

    De acordo com o modelo dinmico para manipuladores com cabos elsticos e de massa

    nula apresentado por (VERHOEVEN, 2004; FANG, 2005; BRUCKMAN et al, 2008 e

    MIKELSON et al, 2008) o problema de Equilbrio de Foras e Momentos dado por:

    i=1m

    f i f p=0 (3.2)e

    i=1m

    pi f i p=0 (3.3)Sabe-se que a fora de trao no i-simo cabo aplicada segundo a direo vi , logo:

    f i= f ivi (3.4)

    46

  • Onde fi o escalar que representa o modulo da fora aplicada sobre o i-simo cabo.

    Utilizando os ndices m e n, as EQ. 3.2 e 3.3 podem ser escritas na forma matricial por:

    [ v1 vmp1v1 pmvm][ f 1f m]+ [ f p p ]=0 (3.5)E este sistema frequentemente abreviado para:

    AT f + w = 0 (3.6)

    AT representa a Matriz de Estrutura do problema, e f vetor das m foras trativas sobre a

    plataforma nos pontos de fixao. (OU, 1994) e (VERHOEVEN, 2004) apresentam maiores

    esclarecimentos sobre o sistema AT f + w = 0 e a teoria em torno da Matriz de Estrutura.

    Como trata-se de um sistema acionado por cabos, deve-se verificar sempre que todas as

    tenses sejam positivas e delimitadas por traes mximas e mnimas, de acordo com as

    caractersticas de projeto, segundo as EQ. 3.7 e 3.8.

    fi > 0, para todo i=1, . . ,m. (3.7)

    Fmin || fi || fmax, para todo i=1, . . ,m e em qualquer ponto do cabo. (3.8)

    Em geral o sistema representado pelas EQ. 3.6 e 3.8 que so as Equaes Bsicas de

    Soluo do Sistema. A condio imposta pela EQ. 3.8 ocorre devido a trao variar ao longo

    do comprimento do cabo, quando este possui massa no nula.

    3.2 CINEMTICA INVERSA

    A cinemtica e a dinmica inversa de manipuladores paralelos acionados por cabos j so

    extensamente conhecidas e no o objetivo deste trabalho detalha-la aqui. Nesta seo e na

    47

  • prxima as equaes principais da cinemtica e da dinmica inversa da Plataforma de Stewart

    acionada por cabos sero apresentadas de maneira sucinta. Maiores detalhes podem ser

    encontrados em (FANG, 2005; BRUCKMAN et al, 2008; e TRAVI, 2009).

    A cinemtica inversa refere-se ao problema de calcular as variveis de junta, neste caso o

    comprimento de cabo, dadas a posio e orientao da plataforma. O mesmo se aplica a suas

    derivadas. Neste ponto poderia ser utilizada ainda a cinemtica direta, no entanto devido ao

    objetivo final do trabalho requerer cabos em catenria, este mtodo se torna ineficiente.

    A postura da plataforma dada pela posio r = [x y z] e orientao = [ ], segundo a seqncia de rotao tridimensional ZYX, de RL em RG nos seis graus de liberdade e

    representada pelo vetor x = [rT T]T, onde:

    o ngulo representa a rotao em torno do eixo z;

    o ngulo , a rotao em torno do eixo y; e,

    o ngulo , a rotao em torno do eixo x.

    A cinemtica inversa do manipulador paralelo acionado por cabos dada pelas m

    equaes de restrio:

    li = bi r Rp(x) pj,L , para i=1, . . ,m (3.9)

    para sistemas que considerem a massa dos cabos nula, em funo da posio e orientao da

    plataforma com respeito ao referencial RG. Deve-se atentar, na EQ. 3.9, que pj,L constante em

    RL para os j pontos de fixao da plataforma.

    Sendo li o vetor comprimento de cabo do i-simo cabo, pode-se definir o vetor q como

    sendo o vetor modulo de comprimento de cabo, onde:

    qi = ||li|| (3.10)

    Assim para uma trajetria x(t), qi(t) representa a curva de comprimento do i-simo cabo

    em relao ao tempo.

    48

  • A matriz de rotao Rp(x) obtida pela seqncia de rotao tridimensional ZYX dada

    por:

    Rpx=[ CC CS SSC CS CSSSC SS SCC SS CCSS C S C C ] (3.11)onde C e S so abreviaes para cosseno e seno, respectivamente. A demonstrao da matriz

    de rotao se encontra no APNDICE 2.

    As EQ. 3.9 e 3.10 descrevem o vetor modulo do comprimento de cabo como uma funo

    vetorial da posio. Desta forma, q pode ser representado pela funo vetorial x como:

    q = x(x) (3.12)

    Derivando a EQ. 3.12 obtm-se o vetor velocidade dos cabos dada pela EQ. 3.13. Como a

    EQ. 3.12 uma funo vetorial, sua derivada resulta no Jacobiano de x(x). A acelerao dos

    cabos dada pela EQ. 3.14:

    q=J xx , onde J x= x x

    (3.13)

    q=J xx J xx (3.14)

    De acordo com a EQ. 3.13, a velocidade dos cabos funo da derivada temporal dos

    ngulos de Cardan, porem como estes no so variveis integrveis nem representveis no R,

    devem ser transformados em velocidades angulares da plataformas em relao RG, conforme

    a EQ. 3.15:

    = [ x y z ]T (3.15)

    49

  • (FANG, 2005) define esta transformao linear por meio da matriz Hb-1 como:

    = Hb-1 (3.16)

    onde:

    H b1=[ 0 S C C 0 C S C 1 0 S ] e =[

    ] (3.17)

    Aplicando as EQ. 3.13, 3.16 e 3.17, e pelo princpio dos trabalho virtuais, obtm-se o

    vetor velocidade de cabos. Esta transformao tambm descrita em (FANG, 2005).

    q=A[ I 3 0303 H b1][ r P ] (3.18)onde A a transposta da Matriz de Estrutura AT.

    3.3 DINMICA INVERSA

    Analisando agora a FIG. 3.3 quanto ao equilbrio dinmico e utilizando as Leis de

    Newton-Euler para o caso geral 3T3R, tem-se:

    { mp r p=[ 00m p g] f pIG I = p

    (3.19)

    50

  • Onde:

    mp a massa da plataforma;

    rp o vetor posio da plataforma em RG;

    IG o tensor de inercia definido em RG em funo dos ngulos de rotao;

    o vetor de velocidades angulares em RG

    Aqui deve ser observado que IG representa o tensor de inrcia da plataforma em relao

    ao referencial global RG, contudo na equao do modelo dinmico ser descrito em funo do

    tensor de inrcia em relao ao referencial local RL, pois este constante independentemente

    da posio e orientao da plataforma.

    Sabe-se, da EQ. 3.6, que w = [ fpT pT]T. Aplicando as EQ. 3.16 e 3.17 e suas derivadas na

    EQ. 3.19, obtm-se a Equao do Movimento proposta por (FANG, 2005) para a dinmica da

    plataforma, expresso pela EQ. 3.20:

    [m p I 3 0303 H bT I L Hb1][ r p ]M p x

    [ 0H bT H b1 I L Hb1 ]gC

    [mp g0 ]gE

    =[ I 3 0303 HbT ]AT f (3.20)

    Onde, nesta equao:

    I3 indica a matriz identidade 3x3 e IL representa o tensor de inercia da plataforma em

    relao ao referencial local RL;

    Mp a matriz de massa;

    gC corresponde ao termo de coriolis; e,

    gE corresponde ao vetor de foras externas aplicadas sobre a plataforma, neste caso

    representada somente pela fora peso.

    As matrizes acima so apresentadas de forma explicita, segundo apresentado em (FANG,

    2005) no ANEXO 5.

    51

  • Reorganizando a EQ. 3.20, esta pode ser escrita na forma da Equao bsica do

    problema:

    AT f[ I 3 0303 H bT 1]M p xgCgE w

    =0(3.21)

    Assim possvel obter os esforos externos, partir da Equao de Movimento da

    Plataforma.

    Apresentadas as Equaes Bsicas de Sluo do Sistema e a Equao de Movimento,

    possvel demonstrar a possibilidade de comportamento IRPM por qualquer tipo de plataforma

    segundo proposio de (VERHOEVEN, 1998) citada no item 2.2.1:Para qualquer

    referencial local da plataforma, a Matriz de Estrutura deve conter, em cada linha, pelo menos

    um elemento negativo.

    Calculando-se os produtos escalares viei , onde ei so os vetores ortonormais de RL, para

    qualquer referencial local na plataforma, e no havendo pelo menos um produto viei < 0, tem-

    se que, nesta posio, no existem cabos em direes suficientes para estabilizar a plataforma

    e a aplicao de uma fora externa na direo conveniente se torna necessria.

    Outra demonstrao pode ser obtida da seguinte forma:

    Manipuladores CPRM e RRPM, por definio, no dependem da aplicao de foras

    externas para o equilbrio dinmico, logo se para w = 0 em determinada posio x

    pertencente ao espao de trabalho controlvel no exista nenhum viei < 0 para i = 1, . . ,m,

    ento necessariamente o manipulador classificado como IRPM.

    52

  • 4 ANLISE DO ESPAO DE TRABALHO

    A anlise do espao de trabalho uma das tarefas primordiais no estudo de plataformas

    acionadas por cabos. Para a definio do problema so necessrios:

    a) A geometria da plataforma e dos pontos de ancoragem;

    b) Os limites mnimo e mximo de foras nos cabos; e,

    c) As foras externas aplicadas na plataforma;

    A partir destes dados se torna possvel determinar a regio na qual a plataforma pode ser

    empregada e analisar aspectos do espao de trabalho como:

    a) foras nos cabos;

    b) presena de singularidade;

    c) rigidez do sistema; e,

    d) auto-colises de cabos.

    (BRUCKMANN et al, 2008) dividem este tpico em duas etapas complementares para o

    projeto. Define-se como Anlise do Espao de Trabalho (Analysis) a obteno do conjunto de

    posies e orientaes (posturas) nas quais as Equaes Bsicas de Soluo do Sistema,

    definidas pelas EQ. 3.6 e 3.8 possuam soluo para a distribuio de foras f, e define como

    Sntese (Robot Design) o problema inverso de determinao do manipulador timo capaz de

    atender determinado espao de trabalho pr-determinado.

    Basicamente existem quatro definies de Espao de Trabalho.

    a) (VERHOEVEN, 1998) define o Espao de Trabalho (WS) como sendo o conjunto

    de posturas da plataforma que satisfazem as EQs. 3.6 e 3.7, tal que para dado espao

    vetorial de esforos W(r,), esta possa exercer qualquer esforo w W(r,). Verifica-se que esta definio no atende as Equaes Bsicas de Soluo do Sistema, por no

    atender a EQ. 3.8.

    53

  • b) Ainda em (VERHOEVEN, 1998) definido o Espao de Trabalho com Respeito

    s Tenses (WST(kmax)) como sendo o conjunto de todas as posies do Espao de

    Trabalho que satisfazem as EQs. 3.6 e 3.8, tais que kmax = fmax / fmin, 0 < fmin < fmax, e w = 0.

    No caso em que WST(1) este espao chamado Espao de Trabalho Isotrpico.

    c) (VERHOEVEN, 2004) define o Espao de Trabalho Controlvel e (FANG, 2005)

    define o Espao de Trabalho Controlvel Aceitvel como sendo o conjunto de todas as

    posies que satisfazem as EQs. 3.6 e 3.8 e nas quais a plataforma seja capaz de exerer

    esforos e apresentar os graus de liberdade desejados. Logo o Espao de Trabalho

    Controlvel de (VERHOEVEN, 2004) funo da aplicao a que a plataforma estar

    sujeita.

    d) Por ltimo, (FANG, 2005) define o Espao de Trabalho Controlvel Usvel como

    sendo o conjunto de todas as posies pertencentes ao Espao de Trabalho Controlvel,

    onde para determinados limites de torque nos atuadores Umin e Umax possa-se atender as

    EQs. 3.6, 3.7 e 3.8, e a condio Umin < U < Umax

    Quanto as definies citadas acima podem ser feitas as seguintes consideraes:

    a) O Espao de Trabalho com Respeito s Tenses se aplica somente ao caso de

    carregamento homogneo sobre a plataforma;

    b) Nos Espaos de Trabalho definidos por (VERHOEVEN, 2004) e (FANG, 2005)

    deve-se atender as Equaes Bsicas do problema para dados x, w, fmin e fmax;

    c) O espao de trabalho definido pelos limites mnimos e mximos de torques

    propostos por (FANG, 2005), constitui-se no estudo mais completo da Plataforma de

    Stewart acionada por cabos dentre as quatro definies apresentadas; e,

    d) Esta Dissertao baseia seu estudo no Espao de Trabalho Controlvel de

    (VERHOEVEN, 2004) e ir referir-se a ele simplesmente como espao de trabalho.

    So requisitos do espao de trabalho que:

    a) A plataforma seja controlvel;

    b) As tenses sejam todas positivas e pertencentes ao intervalo definido;

    c) O atuador final seja livre de singularidades;

    d) A estrutura do sistema seja suficientemente rgida; e,

    e) No hajam auto-colises entre tendes.

    54

  • No entanto verifica-se que o atendimento a estes requisitos reduz consideravelmente o

    espao de trabalho, podendo ser inferior a de um manipulador serial. Logo as vantagens de

    utilizao deste tipo de sistema devem estar claras na fase inicial do projeto.

    Dentre os requisitos citados, os que mais contribuem para a reduo do espao de

    trabalho so:

    a) A controlabilidade da plataforma nos graus de liberdade necessrios a aplicao; e,

    b) Os limites de fora nos cabos, definidos pelo fabricante e por critrios de

    segurana.

    (FANG, 2005) em sua definio de Espao de Trabalho Controlvel Aceitvel

    demonstra que a controlabilidade da plataforma reduz-se a medida que esta se aproxima do

    limite do espao de trabalho e que a orientao da plataforma funo do espao de trabalho

    controlvel.

    Verifica-se tambm que ao se mover a plataforma para prximo do limite do espao de

    trabalho, as tenses nos cabos vo se aproximando de seus limites, o que reduz

    gradativamente sua capacidade de emprego.

    A partir do conceito de espao de trabalho possvel apresentar as caractersticas

    principais de manipuladores seriais e paralelos, e ratificar a afirmao de que manipuladores

    seriais so inadequados ao objetivo deste trabalho.

    Uma definio do comportamento de manipuladores seriais e paralelos e dada segundo

    (VERHOEVEN, 2004). Para ele, o comportamento tradicional de manipuladores seriais

    descrito em termos de mobilidade, devido ao objetivo principal de um manipulador serial ser

    a habilidade do atuador final se mover em determinada direo de interesse, em todo o

    Espao de Trabalho, sem que os limites de junta sejam exercidos. Em contrapartida, sistemas

    paralelos so tipicamente descritos em termos de controlabilidade, que a habilidade de

    exercer esforos em determinada direo de interesse.

    Supondo que o espao de trabalho desejado permita uso de manipuladores seriais, caso

    sua utilizao no preservaria os limites de junta em posturas prximas dos limites do espao

    de trabalho, principalmente quanto a esforos aplicados sobre o mecanismo. O mesmo

    problema seria verificado em manipuladores paralelos com atuadores rgidos.

    55

  • A FIG. 4.1 ilustra o Espao de Trabalho Controlvel Aceitvel para o SEGESTA,

    apresentado por (FANG, 2005).

    a) Modelo do manipulador b) Espao de trabalho controlvel

    FIG. 4.1 Espao de trabalho definido por (FANG, 2005) para o SEGESTA(BRUCKMANN et al, 2008)

    4.1 SINGULARIDADES

    Singularidades do sistema so funo da configurao do manipulador. (VERHOEVEN,

    1998) classifica a singularidade de manipuladores paralelos em dois tipos:

    a) Tipo I (Sub-mobilidade ou Redundncia de velocidade): situao em que h

    determinado deslocamento infinitesimal x do atuador que no pode ser afetado por uma

    variao infinitesimal l das juntas; e,

    b) Tipo II (Sobre-mobilidade ou Redundncia de Foras): situao em que h um

    deslocamento x que no altera nenhuma varivel de junta l.

    (VERHOEVEN, 1998) prope ainda que plataformas de Stewart acionadas por cabos

    nunca sero singulares do Tipo I, pois todo movimento de cabo implica em mvimento da

    plataforma, e que uma singularidade do Tipo II poder ir ocorrer se Posto (AT) < n.

    A seguir so apresentadas duas figuras que ilustram os casos de sub-mobilidade e sobre-

    mobilidade. Como no se verifica um caso de singularidade do Tipo I ou sub-mobilidade em

    manipuladores paralelos, esta apresenta em manipuladores seriais com atuadores rgidos e

    56

  • em seguida apresentado o caso de singularidade do Tipo II ou Sobre-Mobilidade em

    manipuladores paralelos atuados por cabos.

    a) Redundncia de velocidades b) Sub-mobilidade

    FIG. 4.2 Singularidade do Tipo I ou Sub-mobilidade (VERHOEVEN, 2004)

    Na FIG. 4.2 a) verifica-se que h uma posio no espao de juntas, nas quais a velocidade

    no afeta a posio do atuador final, caracterizando a redundncia de velocidades, e em b)

    verifica-se que no h soluo no espao de junta que exera o movimento rotacional

    desejado no atuador final.

    Ao contrrio do ilustrado na FIG. 4.2, em manipuladores paralelos acionados por cabos,

    caso a posio pertena ao Espao de Trabalho Controlvel, qualquer variao de

    comprimento de cabo afetar a posio da plataforma, no sendo possvel verificar

    singularidades do Tipo I nestes sistemas.

    Analisando agora a FIG. 4.3 tem-se:

    a) Redundncia de foras b) Sobre-mobilidade

    FIG. 4.3 Singularidade do Tipo II ou Sobre-Mobilidade (VERHOEVEN, 2004)

    A FIG. 4.3 a) representa uma situao em que a resultante das foras exercidas pelos

    atuadores no permitem a plataforma exercer esforos, caracterizando a redundncia de

    foras, e em b) no possvel que a plataforma realize o movimento de rotao ou exera

    57

  • torques para a posio e pontos de ancoragem dados. Logo verifica-se que determinados casos

    caracterizam singularidades do Tipo II em manipuladores paralelos.

    (VERHOEVEN, 2004) define o conceito de mobilidade como a relao entre o

    movimento dos atuadores e da plataforma, e (FANG, 2005) define o conceito de

    manipulabilidade (M) como a razo entre a menor e maior tenses nos cabos para

    determinada postura e orientao pertencentes ao Espao de Trabalho Controlvel.

    Analisando o conceito de manipulabilidade de (FANG, 2005) possvel verificar que a

    plataforma perde graus de liberdade a medida que M aumenta ou que esta se aproxime do

    limite do Espao de Trabalho Controlvel. Nesta situao as foras se aproximam dos limites

    mximos e mnimos, no sendo possvel controlar a plataforma. (FANG, 2005) define ainda

    uma regio de obteno das foras nos cabos, em espao vetorial distinto da soluo, chamada

    regio admissvel (ou regio vivel como ser vista adiante). Esta regio diminui

    gradativamente, at que em qualquer posio do limite do espao de trabalho se torna pontual

    e a manipulabilidade atinge seu valor mnimo, correspondente a razo entre fmin e fmax. Assim

    tem-se que fmin/fmax < M

  • Aplicando um esforo w sobre a plataforma, obtm-se um deslocamento x no espao

    operacional segundo a relao linear dada pela Lei de Hooke para o sistema:

    w=[K x ][nxn] x (4.1)

    Aplicando a Lei de Hooke para o espao de juntas, obtm-se a relao entre a deformao

    longitudinal do cabo e a trao resultante:

    f=[k 1 km] l (4.2)k i=

    Ar i . E iL0, i

    (4.3)

    onde tem-se para o i-simo cabo: ki a rigidez, Ar a rea nominal de referncia, dada pelo

    fabricante, E o modulo de elasticidade efetivo do cabo e L0 seu comprimento inicial quando

    da aplicao da fora.

    Sabe-se, da EQ. 3.6, que para um esforo aplicado sobre a plataforma, AT f = w, e

    pode-se deduzir da EQ. 3.18 que l = A x. Por meio das expresses acima, obtem-se a

    Matriz de Rigidez do Sistema, necessria EQ. 4.1.

    w=AT [k1 k m] A[K ]

    x(4.4)

    [ K ]=ATdiag (k i )A (4.5)

    A EQ. 4.5 representa a transformao linear que leva a rigidez do cabo em RL para a

    rigidez do sistema em RG, [K] representa a matriz de rigidez do sistema, define-se A em RG e

    os deslocamentos angulares e torques so expressos de forma infinitesimal.

    Os autovalores e autovetores da matriz [K] indicam a rigidez do sistema e suas

    respectivas direes principais no referencial global. Por este motivo a Matriz de Estrutura

    59

  • deve estar no mesmo referencial. Como dim(K) = [nxn], as direes principais nas quais a

    rigidez expressa so dadas para cada direo controlvel da plataforma na posio em que se

    encontra.

    A FIG. 4.4 ilustra o caso de dois manipuladores 2T0R.

    a) manipulador CPRM b) manipulador RRPM

    FIG. 4.4 - Rigidez para manipuladores 2T0R (HILLER et al ,2005)

    Na FIG. 4.4, possvel visualizar a soluo quanto a rigidez para cada posio analisada,

    representada pelo centro das elipses. O autor representou graficamente a rigidez da plataforma

    por meio do raio da elipse, indicando suas direes principais. Em um manipulador 3T0R a

    representao espacial se daria por elipsoides centrados nas posies desejadas da plataforma.

    4.3 MTODO DE DETERMINAO DO ESPAO DE TRABALHO CONTROLVEL

    PARA MANIPULADORES COM CABOS DE MASSA NULA

    Por definio, Espao de Trabalho Controlvel o conjunto de posies e orientaes,

    tais que para cada esforo externo w(r,) Rn aplicado sobre a plataforma, existe uma distribuio de foras f tal que

    AT f + w =0 , e f > 0 ,

    onde f R m+ dito uma soluo positivaEsta definio atende as EQ. 3.6 e 3.7, e o problema da rigidez obriga o sistema a atender

    a EQ. 3.8. Logo as Equaes Bsicas so atendidas, e de acordo com a definio, verifica-se

    60

  • que o Espao de Trabalho com Respeito as Tenses est contido no Espao de Trabalho

    Controlvel.

    Sendo assim, para a determinao do espao de trabalho, deve-se determinar a soluo da

    EQ. 3.6. O mtodo de soluo do problema para cabos de massa nula apresenta o clculo de

    uma distribuio de foras que atendam as Equaes Bsicas. Esta distribuio de foras,

    representada por um vetor em Rm chama-se de foras viveis.

    Sabe-se que a EQ. 3.6 representa um sistema indeterminado de equaes lineares. Sua

    soluo pertence ao espao r-dimensional onde r = m - n. No caso homogneo, em que

    w = 0 , a EQ. 3.6 fica AT f = 0. Desta forma, o vetor f representa o ncleo da Matriz de

    Estrutura por ser o transformador linear que a leva ao espao nulo.

    Assim para o caso homogneo tem-se a soluo

    f = N(AT) (4.6)

    onde:

    N(AT) o ncleo de AT e as colunas de N(AT) representam as bases do espao

    nulo de AT ; e,

    representa o vetor de coordenadas que percorre este espao.

    Considerando os limites mnimo e mximo de trao, a soluo da EQ. 4.6 restringe-se a:

    fmin N(AT) fmax (4.7)

    ou pelo sistema

    {N AT . f minN AT . f max (4.8)Para o caso no-homogneo, recorrendo-se a pseudo-inversa de Moore-Penrose da matriz

    AT, a distribuio de foras leva a EQ. 4.9:

    f = - A+T w + N(AT) (4.9)

    61

  • Analogamente ao sistema da EQ. 4.8, para o caso no-homogneo obtm-se a EQ. 4.10

    que o Sistema Geral de Inequaes do Problema Linear.

    {N AT . f minAT .wN AT . f maxAT .w (4.10)O Sistema de Inequaes da EQ. 4.10 possui 2m inequaes e m - n incgnitas. Assim,

    transformando as inequaes em equaes para fmin e fmax, todos os C(2m,m-n) subsistemas de

    equaes devem ser resolvidos em busca de solues vlidas para , que satisfaam a EQ. 3.8

    por meio da EQ. 4.9. As solues vlidas dos C(2m,m-n) subsistemas indicam os (s) limites,

    onde dim () = [ m n , 1 ], relativos aos limites de foras nos cabos.

    Assim, a tarefa de encontrar uma distribuio de foras vlidas nos cabos em um sistema

    indeterminado da lugar ao problema de encontrar Rr por meio de um sistema linear. De acordo com o que foi definido na Seo 2.1, isto caracteriza o problema ou caso linear.

    Matematicamente, pela definio de ncleo de uma matriz, pode-se dizer ainda que a

    combinao linear das colunas de N(AT) sempre apresentar uma distribuio de foras que

    atenda a EQ. 3.6, contudo no necessariamente atender a EQ. 3.8.

    Define-se como Regio Vivel a regio delimitada pelos (s) no Rr e de acordo com a

    soluo do sistema obtido a partir da EQ. 4.10, tem-se que qualquer corresponde a uma soluo vlida.

    Os limites de fora nos m cabos, no necessariamente idnticos, podem ser representados

    por um hipercubo m-dimensional C Rm, e todas as distribuies de fora segundo EQ. 4.10

    podem ser representadas por um hiperplano r-dimensional S Rm gerado por N(AT). Desta

    forma a interseo = C S representa a imagem da Regio Vivel no hipercubo de foras

    segundo = N(AT ).

    Caso a interseco do hipercubo C com o subespao S seja no-nula, esta representa a

    Soluo aceitvel ou Conjunto de solues aceitveis de foras no espao Rm e existem

    solues para f. Matematicamente, tem-se = C S 0. O mtodo de soluo detalhado

    em (OH & AGRAWAL, 2005; e MIKELSONS et al, 2008).

    62

  • A FIG. 4.5 apresenta como exemplo um manipulador RRPM 3m1T0R linear.

    FIG. 4.5 Manipulador 3m1T0R (VERHOEVEN, 2004)

    A regio vivel e a transformao linear = N(AT) para este caso so apresentadas

    conforme a FIG. 4.6. Inicialmente verifica-se que m = 3, n = 1 e r = m-n = 2. O hipercubo

    C R3 representa os limites de foras nos 3 cabos e o hiperplano S indica o espao vetorial gerado pela soluo da EQ. 4.9 para todo . O espao vetorial de R2 o espao de

    redundncias e a regio de S indica os valores de fque atendem simultaneamente as EQ. 3.8

    e 4.9, e consequentemente 4.10.

    FIG. 4.6 Regio Vivel e e Transformao Linear = N(AT) . .(BRUCKMAN et al, 2008)

    Pode-se verificar tambm que a soluo no espao r-dimensional permite calcular vrias

    distribuies de fora com caractersticas diferentes. Segundo (KAWAMURA et al, 2000; e

    FANG, 2005) para movimentos rpidos, recomenda-se uma soluo com as menores traes

    possveis. Em aplicaes que requerem alta rigidez, elevados so mais vantajosos. Embora o

    valor de f possa variar, a resultante de foras dos cabos sobre a plataforma no alterada,

    satisfazendo assim a EQ. 3.6.

    A soluo do caso geral obtida por meio das EQs. 4.9 e 4.10. Dados x, b, w, fmin e fmax,

    obtm-se AT, N(AT) e A+T. Em seguida obtido o conjunto de solues do Sistema Geral de

    Inequaes dado pela EQ. 4.10 em [rx1]. Havendo soluo para EQ. 4.10, so fornecidos os

    63

  • (s) limites da Regio Vivel . Por fim, para obteno dos valores de trao nos cabos

    f [fmin , fmax] seleciona-se adequadamente e aplica-se na EQ. 4.9.Em (VERHOEVEN, 2004; FANG, 2005; OH e AGRAWAL, 2005; BRUCKMANN et al,

    2008; e MIKELSONS et al, 2008) so apresentadas tcnicas de otimizao para obteno de

    [rx1].

    4.4 DETERMINAO DE FORAS PELO MTODO DO BARICENTRO

    (MIKELSONS et al, 2007) apresentam um algoritmo no-iterativo para obteno de uma

    distribuio de foras contnuas, segundo o centro de gravidade (CoG ou baricentro) da regio

    vivel .

    Tem-se que o ncleo da Matriz de Estrutura define uma funo :Rr Rm, para todo

    , onde convexo, e a regio representa a imagem da Regio Vivel sob a transformao -A+T w + N(AT) no espao de foras.

    Para determinao do centro de gravidade da regio vivel, dividido em volumes

    r-dimensionais. Aplicando este mtodo no exemplo apresentado pelas FIG. 4.5 e 4.6, onde

    r = 2, apenas dividido em tringulos.

    A Triangulao fornece uma lista de ns polgonos Pk cada um tendo r+1 vrtices vk,j onde

    k=1, . . ,ns e j=1, . . ,r+1. Determina-se o baricentro da cada n-polgono, em funo de seus

    vrtices, separadamente pela EQ. 4.11

    sk ,i=1

    r1 =1r1

    vk ,i , 1ir , 1kns (4.11)Em seguida, o centro de gravidade s da regio vivel obtido pela EQ. 4.12. Os volumes

    Vk do podem ser determinados por integrao.

    64

  • si=k=1

    ns

    s k ,iV k

    k=1

    ns

    V k

    (4.11)

    As traes nos cabos obtidas por este mtodo chamam-se Soluo Segura fs so

    calculadas por meio da transformao linear citada, apresentada na EQ. 4.12.

    fs = -A+T w + N(AT)s (4.12)

    Esta soluo se caracteriza por fs estar o centro de gravidade da superfcie .

    Desta forma, (MIKELSONS et al, 2008) fornecem o detalhamento do equacionamento

    completo, sua demonstrao e um exemplo claro de obteno de foras pelo mtodo do

    baricentro em comparao com o mtodo de otimizao por foras mnimas.

    65

  • 5 ESTUDO DE CASO DE MANIPULADORES DE CABOS COM MASSA NULA

    Neste captulo so apresentados exemplos de manipuladores CRPM e RRPM, ambos com

    soluo homognea e no homognea, para diferentes massas da plataforma e limites de

    foras nos cabos. Embora a soluo homognea tenha sido demonstrada por meio das EQ. 4.6

    e 4.8, todos os casos apresentados sero resolvidos pelas EQ. 4.9 e 4.10 por se tratar do caso

    mais geral.

    5.1 SOLUO HOMOGNEA

    Define-se como homogneo o caso em que o manipulador no sofra carregamentos

    externos, ou do prprio peso. Matematicamente tem-se w = 0. Para a anlise da soluo

    homognea, so apresentados os casos planos CPRM 3m2T0R e RRPM 4m2T0R. Por

    conveno, todos os ndices utilizados so orientados no sentido anti-horrio, iniciando na

    direo (1,0), o que facilita a compreenso do problema.

    Dada a geometria da base b, os limites de fora como fmin=1,0N e fmax=5,0N, e a posio

    da plataforma x=[6,6] obtm-se AT em RG e N(AT). Para o caso 3m2T0R tem-se:

    FIG. 5.1 Manipulador 3m2T0R

    b=[ 10,0 0,0 5,08,660254 8,660254 0,0] AT=[0,8326659 0,141738 0,16439900,5537757 0,4053224 0,9863939 ] N AT =[0,65541520,49428150,5710663]

    66

  • Neste caso verifica-se que m=3 e n=2, consequentemente r=1. Logo existem C(6,1)

    possveis de solues para segundo o Sistema Geral de Inequaes dado pela EQ. 4.10. As

    solues obtidas numericamente so apresentadas abaixo1.

    =[1,5257504 2,0231388 1,7511100 7,6287520 10,115694 8,7555502 ]T

    Neste caso r=1, e tem-se uma matriz [6x1] com 6 valores de [1x1] que necessariamente

    atendem a EQ. 3.6. Obtendo-se a soluo de foras por meio da EQ. 4.9 e verificando o

    atendimento a EQ. 3.8, obtm-se os limites da regio vivel como

    vivel=[2.0231388 7.6287520 ]T

    Segundo a EQ. 4.6, a a soluo da equao AT f = 0 dentro dos limites fmin=1,0N,

    fmax=5,0N dada por f = N(AT) onde: 2,023 vivel 7,269, devido a convexidade de . A

    trao dos cabos nos limites da regio vivel dada pelas colunas da matriz f(vivel)2:

    f vivel =[1,3259959 5,01,0 3,77075061,1553465 4,3565234 ]Para m=3, f(vivel) = [ f1,[3x1],f2,[3x1]][3x2],ondef1=N(AT) 2,023 ef2=N(AT)7,269.A

    distribuio de foras em funo de apresentada na FIG. 5.2.

    1 Em geral, a soluo vivel obtida numericamente apresentada na forma de uma matriz de solues, com as C(2m,r) solues , onde os pontos soluo de em Rm so as linhas desta matriz.

    2 De maneira semelhante como ocorre com vivel, as foras limites obtidas numericamente, em geral so apresentadas como colunas de uma matriz f(vivel)

    67

  • FIG. 5.2 Curvas de tenso do manipulador 3m2T0R em funo da Regio Vivel.

    Agora, analisando o caso 4m2T0R so dados:

    FIG. 5.3 Manipulador 4m2T0R

    b=[10,0 0,0 0,0 10,010,0 10,0 0,0 0,0 ]AT=[0,7071 0,8321 0,7071 0,55470,7071 0,5547 0,7071 0,8321]

    N AT =[ 0,0943274 0,71387730,6926914 0,04074440,1773685 0,69789610,6926914 0,0407444

    ]Como dim(N(AT)) = [4x2], o Sistema Geral de Inequaes possui 8 equaes e 2

    incgnitas. Verifica-se que dos C(8,2)=28 subsistemas possveis, 20 possuem soluo, dim()

    = [2x1], conforme a EQ. 4.10, e deste apenas 4 atendem a EQ. 3.8 por meio da EQ. 4.9.

    Abaixo so apresentados os valores de vivel e a FIG. 5.4 apresenta em R2.

    68

  • FIG. 5.4 - Regio vivel do caso 4m2T0R

    vivel=[1,0397 6,86661,3393 1,77326,8595 6,09767,0288 3,2192

    ]

    Abaixo so apresentadas, as foras limite nos cabos referentes aos (s)vivel

    f vivel =[ 5,0 1,3922 5,0 2,96111,0 1,0 5,0 5,04,06077 1,0 3,0388 1,01,0 1,0 5,0 5,0

    ]Conforme mencionado para o caso 3m2T0R, qualquer ponto interior a regio vivel

    fornece traes vlidas e que atendam as EQ. 3.6 e 3.8.

    Analogamente a FIG. 5.2, para o caso RRPM 4m2T0R as foras podem ser representadas

    em funo do valor de , no entanto, devido a dim()=[2x1] deve-se representar a tenso em

    cada cabo segundo uma superfcie plana.

    A FIG. 5.5 representa a trao no cabo 1 deste manipulador em funo da regio vivel,

    segundo a EQ. 4.9, para os dados do problema e a rea desta superfcie delimitada pela

    Regio Vivel.

    69

  • FIG. 5.5 Tenso no cabo 1 do Manipulador RRPM 4m2T0R, obtida em funo do domnio da Regio Vivel.

    5.2 SOLUO NO-HOMOGNEA

    Para o estudo da soluo no-homognea dos casos 3m2T0R e 4m2T0R considera-se que

    estes possuam plataformas pontuais com massas de 50g e 250g, e os resultados obtidos so

    comparados com o caso homogneo. Todos os parmetros do caso homogneo so mantidos.

    Com respeito ao caso 3m2T0R, a tabela abaixo apresenta os valores de vivel e f(vivel)

    para os valores de massa analisados:

    70

  • TAB. 5.1 Valores de vivel e f(vivel) para as massas 0g, 50g e 250g no caso 3m2T0R

    m=0 (caso homogneo)

    vivel=[2,02313887,6287520 ] f vivel =[1,3259 5,01,0 3,77071,1553 4,3565]m=50g vivel=[2,35006727,4011559] f vivel =[1,6894 5,01,3587 3,85561,0 3,8845]m=250g vivel=[4,74589596,4907714] f vivel =[3,8563 5,03,3327 4,19511,0 1,9964]

    Comparando as solues dos trs casos possvel observar que o intervalo vivel de

    reduzido a medida que a massa da plataforma aumenta. Pode-se deduzir que h um valor de

    massa limite mL 0 para cada posio e orientao x onde haja soluo homognea, e na qual

    a regio vivel se torne pontual. A partir deste valor da massa limite (mL) no h soluo em x.

    Analisando agora o caso 4m2T0R, obtm-se a seguinte soluo:

    TAB. 5.2 Valores de vivel e f(vivel ) para as massas 0g, 50g e 250g no caso 4m2T0R

    m=0g vivel=[1,0397 6,86661,3393 1,77306,8595 6,09767,0288 3,2192

    ] f vivel =[ 5,0 1,3922 5,0 2,96111,0 1, 5,0 5,04,6077 1,0 3,0388 1,01,0 1,0 5,0 5,0

    ]m=50g vivel=[1,3647 6,58521,6291 2,09086,6599 5,885

    6,8057 3,4064] f vivel =[ 5,0 3,5135 5,0 4,37532,8027 2,8027 5,0 5,02,4864 1,0 1,6246 1,0

    1,0 1,0 3,1972 3,1972]

    m=250g vivel=[2,6647 5,45962,7882 3,36105,8616 5,03715,9130 4,1553

    ] f vivel =[ 5,0 3,5135 5,0 4,37532,8027 2,8027 5,0 5,02,4864 1,0 1,6246 1,01,0 1, 3,1972 3,1972

    ]Comparando os casos verifica-se que do mesmo modo como ocorre com a soluo para o

    manipulador de trs cabos, a regio vivel reduzida a medida que a massa aumenta. A

    mesma considerao a respeito do valor de massa limite pode ser feita, alm do qual somente

    71

  • haver soluo caso o manipulador se torne IRPM.

    A FIG. 5.6 apresenta a evoluo da regio vivel em funo da variao de massa da

    plataforma.

    FIG. 5.6 Evoluo da regio vivel do caso 4m2T0R no-homogneo em funo da massa da plataforma

    O polgono externo apresenta a regio vivel para o caso 4m2T0R homogneo3. Em

    seguida tem-se a regio vivel para a plataforma de massa 50g e o polgono interno, menor,

    representa a regio vivel do sistema quando a massa plataforma aumentada para 250g.

    Com a progresso do aumento da massa da plataforma, ter-se-ia um tringulo e em

    seguida o caso limite onde a regio vivel representada por um ponto.

    3 Ver FIG. 5.4.

    72

  • 5.3 ESPAO DE TRABALHO COM RESPEITO S TENSES

    De modo geral, define-se como Espao de Trabalho a regio onde as Equaes Bsicas

    do Problema possuem soluo. Como este trabalho no pretende gerar um mtodo de

    programao em tempo real, ser utilizado o mtodo de varredura ponto a ponto de uma

    regio pr-determinada que englobe o polgono de ancoragem. (BRUCKMANN et al, 2008)

    apresenta mtodos de passo varivel que otimizam a busca pelo limite do espao de trabalho.

    Para descrever o mtodo utilizado, ser analisado o caso RRPM 4m2T0R com soluo

    homognea. Definidos os parmetros b, p, fmin e fmax, define-se o limite de varredura, que

    consiste da borda ou regio que ser analisada, e o passo de varredura. Em cada ponto desta

    regio verifica-se a existncia de soluo vlida para o Sistema de Equaes Bsicas pelos

    mtodos citados4. Havendo pelo menos uma soluo, tem-se que este ponto pertence ao

    espao de trabalho para as condies descritas.

    A FIG. 5.7 apresenta o espao de trabalho do manipulador RRPM 4m2T0R. A regio de

    varredura representada pelo polgono exterior, tracejado, e o polgono de ancoragem

    representado por linhas continuas.

    FIG. 5.7 Espao de Trabalho com respeito as tenses fmin=1,0N e fmax=5,0N para o manipulador RRPM 4m2T0R

    4 Ver Seo 4.3

    73

  • Cada ponto plotado na FIG. 5.7 indica uma posio na qual h pelo menos uma soluo

    vlida para a distribuio de foras do manipulador.

    (VERHOEVEN, 1998) define o Espao de Trabalho com Respeito as Tenses para a

    soluo homognea de manipuladores CRPM5 em funo da razo entre os limites mximo e

    mnimo dada pela EQ. 5.1 e o chama de WST(kmax).

    k max=f maxf min

    (5.1)

    visto que a soluo da EQ. 3.6 dada pela EQ. 4.6 somente para o caso homogneo, tem-

    se que cada fi ser dado por:

    fi = ai, onde ai = N(AT) (5.2)

    Assim para dado vlido, a relao kmax dada por:

    k max=f maxf min

    , desde que: amaxamin > 0 , (5.3)

    pois caso contrrio no haveria capaz de gerar tenses positivas.

    Agora deseja-se analisar o comportamento do espao de trabalho de um manipulador em

    funo de kmax. A FIG. 5.8 apresenta o espao de trabalho WST(kmax) , de um manipulador

    3m2T0R homogneo, para vrios valores de fmin e fmax. No caso especifico de manipuladores

    com carregamento nulo e kmax=1, a distribuio de foras chamada isotrpica e a plataforma

    estar restrita posio central dos pontos de ancoragem. Analisando o resultado obtido,

    pode-se verificar que o espao de trabalho funo de kmax e varia em magnitude com este

    parmetro.

    5 Ver incio do Captulo 4, onde so apresentadas as definies de espao de trabalho.

    74

  • a) kmax=2,5 b) kmax=2,0 c) kmax=1,25

    FIG. 5.8 Espao de Trabalho com Respeito s Tenses, de uma manipulador CRPM homogneo, para vrios valores de kmax

    Verifica-se ainda que a propriedade que relaciona kmax a extenso do espao de trabalho

    pode ser estendida qualitativamente para manipuladores CPRM e RRPM quaisquer. A seguir

    so apresentadas as anlises de WST para manipuladores com soluo homognea e os

    resultados so comparados com casos no-homogneos similares.

    5.3.1 ESPAO DE TRABALHO COM RESPEITO S TENSES COM SOLUO

    HOMOGNEA

    Em primeiro lugar sero analisados os espaos de trabalho com respeito as tenses para o

    caso homogneo. Como no existem esforos externos aplicados sobre a plataforma,

    manipuladores CRPM e RRPM no podero se comportar como IRPM, logo posturas

    externas ao polgono de ancoragem no sero analisadas.

    O mtodo de determinao do espao de trabalho com respeito as tenses representado

    pelo fluxograma da FIG. 5.9:

    75

  • FIG. 5.9 Mtodo bsico de determinao do espao de trabalho

    A verificao da posio da plataforma em relao ao polgono de ancoragem, no caso

    plano, realizada pela soma de todos os ngulos entre dois vetores comprimento de cabo

    consecutivos. Caso a soma dos ngulos seja menor que 2, o ponto considerado exterior ao

    polgono de ancoragem e no possvel obter o equilbrio esttico da plataforma.

    Matematicamente:

    Se i=1

    m

    i ,i1 2 Ento x exterior ao polgono; (5.4)

    onde i ,i1=acos vivi1 e vi o vetor unitrio de comprimento de cabo do i-simo cabo.No caso geral, pode-se utilizar o mtodo segundo os produtos escalares com os vetores

    ortonormais em RL.

    Foram analisados os espaos de trabalho com respeito as tenses para manipuladores:

    CRPM 3m2T0R;

    RRPM 4m2T0R; e,

    RRPM 6m2T0R,

    para vrios valores de kmax e mantendo-se fmax=5,0N constante. Como polgono de ancoragem

    76

  • so utilizados polgonos regulares de m lados. Tambm possvel verificar, que o espao de

    trabalho se retrai das bordas para o centro, de acordo com o decrescimento de kmax.

    Nos casos de soluo homognea, bastante interessante verificar que para

    manipuladores pontuais, isto , que no executam rotao, a Matriz de Estrutura

    adimensional. Isto significa que as dimenses mtricas do manipulador so indiferentes. Em

    todos os casos foram utilizados polgonos com lado de valor 10.

    A FIG. 5.10 apresenta o caso com 3 cabos.

    a) kmax=5,0 b) kmax=3.33 c kmax=2,5

    d) kmax=2,0 e) kmax=1,67 f) kmax=1,43

    g) kmax=1,25 h) kmax=1,11 i) kmax=1,0

    FIG. 5.10 Espao de trabalho com respeito s tenses para o manipuladorCRPM 3m2T0R

    No manipulador 3m2T0R no possvel verificar a soluo isotrpica de tenso nos

    cabos pois o centro do polgono no coincidiu com nenhum ponto da varredura. Neste caso,

    outros mtodos de anlise devem ser utilizados. (BRUCKMANN et al, 2008) apresentada

    outros mtodos de anlise do espao de trabalho.

    77

  • A FIG. 5.11 apresenta os espao de trabalho para o manipulador RRPM 4m2T0R, onde

    possvel verificar o comportamento do espao de trabalho em funo de diferentes valores de

    kmax, at a soluo isotrpica.

    a) kmax=5,0 b) kmax=3,33 c) kmax=2,5

    d) kmax=2,0 e) kmax=1,67 f) kmax=1,43

    g) kmax=1,25 h) kmax=1,11 i) kmax=1,0

    FIG. 5.11 Espao de trabalho com respeito s tenses para o manipulador RRPM 4m2T0R

    78

  • A FIG. 5.12 apresenta os espaos de trabalho para um manipulador RRPM 6m2T0R.

    Novamente possvel observar que o comportamento do espao de trabalho acompanha a

    variao de kmax.

    a) kmax=5,0 b) kmax=3,33 c) kmax=2,5

    d) kmax=2,0 e) kmax=1,67 f) kmax=1,43

    g) kmax=1,25 h) kmax=1,11 i) kmax=1,0

    FIG. 5.12 Espao de trabalho com respeito s tenses para o manipulador RRPM 6m2T0R

    79

  • Os resultados das FIG. 5.10, 5.11 e 5.12 apresentam qualitativamente o comportamento

    de manipuladores homogneos com respeito as tenses, segundo a variao do parmetro kmax.

    e mantido constante o limite de tenso superior.

    verificado que para valores altos de kmax o espao de trabalho tende a aproximar-

    se dos pontos de ancoragem, gerando uma figura cncava;

    Para valores baixos de kmax o espao de trabalho se concentra no centro do

    polgono de ancoragem, at o limite da soluo isotrpica;

    Independente da geometria do polgono de ancoragem, estas caractersticas

    podero ser observadas, inclusive para polgonos de ancoragem cncavos. Neste caso,

    o interesse em um cabo interior ao maior polgono convexo gerado deve estar claro,

    pois dependendo da posio da plataforma, um mesmo cabo poder assumir foras

    ascendentes ou descendentes.

    Este comportamento pode ser observado inclusive em manipuladores espaciais e

    que apresentem rotaes, pois a razo kmax, em qualquer caso, est relacionada

    diretamente com a capacidade de redistribuio de tenso entre os cabos em funo da

    postura ocupada pela plataforma.

    5.3.2 ESPAO DE TRABALHO COM RESPEITO S TENSES COM SOLUO NO-

    HOMOGNEA

    O mtodo de soluo para o caso de manipuladores com carregamento no-nulo sobre a

    plataforma utiliza o esquema apresentado na FIG. 5.9, conforme o caso anterior. Caso o

    comportamento IRPM seja admissvel, a verificao quanto a posio no interior do polgono

    de ancoragem no deve ser realizada.

    Para a verificao do espao de trabalho com soluo no-homognea, foram analisadas

    as distribuies de tenses em manipuladores com plataforma pontuais de diferentes massas.

    Tambm foi verificado o comportamento do sistema em relao aos limites de trao nos

    cabos.

    80

  • Na FIG. 5.13 so plotados os espaos de trabalho para o caso 3m2T0R com massas

    m=0g, m=50g e m=250g, e limites de trao fmin=1,0N e fmax=5,0N.

    a) m = 0g (caso homogneo) b) m = 50g c) m = 250g

    FIG. 5.13 Espaos de trabalho para manipuladores 3m2T0R com diferentes massas

    Pode-se verificar que o espao de trabalho para m = 50g se aproxima bastante do caso

    homogneo, e que a deformao do espao de trabalho mais acentuada para a massa m =

    250g. (FANG, 2005) prope uma modelagem, onde o peso equacionado como o

    (m+1)-simo cabo posicionado no infinito e de trao constante, assim caso o nico esforo

    presente no sistema seja a fora peso, o vetor w desaparece da EQ. 3.6 e o sistema recebe o

    mesmo tratamento que um sistema homogneo.

    Na FIG. 5.13 c) possvel verificar o comportamento IRPM nas bordas inferiores do

    espao de trabalho. Caso fossem buscadas solues para o espao de trabalho abaixo do

    polgono de ancoragem, seria verificada uma regio parabolica que extender-se-ia

    constantemente para baixo. Neste caso o manipulador de comportaria como mero guindaste,

    tendo a capacidade de posicionamento e rigidez comprometida em relao as caractersticas

    de projeto desejadas. Para grandes comprimento de cabo o manipulador poder pendular, se

    sujeito a esforos externos transversais.

    Em casos no homogneos, abrangendo a grande maioria de manipuladores reais, o

    comportamento IRPM frequentemente observado. Uma condio para que subconjuntos do

    espao de trabalho fora do polgono de ancoragem sejam eliminados a elevao de fmin at

    determinado valor que no permita a distribuio de traes em condies IRPM.

    Visando estabelecer uma relao entre a soluo no-homognea do espao de trabalho e

    o parmetro kmax, so apresentados dois casos com diferentes massas, para kmax=2,5.

    A FIG. 5.14 apresenta os limites de trao fmin=1,0N e fmax=2,5N e a FIG. 5.15, fmin=2,0N e

    fmax=5,0N.

    81

  • a) m=0g (caso homogneo) b) m = 50g c) m = 250g

    FIG. 5.14 Espao de trabalho para 3m2T0R com fmin=1,0N e fmax=2,5N

    a) m=0g (caso homogneo) b) m = 50g c) m = 250g

    FIG. 5.15 Espao de trabalho para 3m2T0R com fmin=2,0N e fmax=5,0N.

    Inicialmente verifica-se nas FIG. 5.14 a) e 5.15 a) que o espao de trabalho homogneo

    funo de kmax, independendo dos limites de fora. Nas FIG. 5.14 b) e c), e em seguida na

    FIG. 5.15 b) e c) verifica-se que conforme ocorre no caso homogneo, o espao de trabalho

    acompanha a variao de kmax, contudo comparando as FIG. 5.14 b) e 5.15 b) e as FIG. 5.14 c)

    e 5.15 c) verifica-se que o valor dos limites de fora so significativos para a soluo e devem

    ser analisados.

    Na FIG. 5.14, onde utilizam-se foras relativamente inferiores, verifica-se que a elevao

    do carregamento reduz gradativamente o espao de trabalho, no apresentando soluo nas

    posies onde os cabos superiores possuem ngulos menores com o vetor peso (ou maiores

    ngulos com a direo do carregamento), e o espao de trabalho fica restrito a regies onde a

    direo destes cabos se aproximem da direo de carregamento da plataforma. Este princpio

    pode ser utilizado para qualquer cabo oposto a determinado carregamento.

    Em contrapartida, na FIG. 5.15, onde os limites de fora so maiores, a evoluo do

    espao de trabalho se aproxima mais do esperado para o caso homogneo, visto haver maior

    disponibilidade do sistema em suportar esforos segundo as EQ. 3.5 e 3.8.

    Observa-se tambm que na FIG. 5.15 c) a plataforma no se comporta como IRPM,

    82

  • devido ao limite de fora inferior ser elevado.

    As FIG. 5.16, 5.17 e 5.18 apresentam espaos de trabalho para manipuladores RRPM

    4m2T0R, com valores de kmax=5,0 e kmax=2,5, para diferentes massas.

    Verifica-se que a FIG. 5.16 apresenta o intervalo entre os limites de tenso mais amplo

    em relao aos demais e que a plataforma possui liberdade para atuar em um espao de

    trabalho ampliado, ao longo de todo o polgono de ancoragem. Na FIG. 5.16 c) verifica-se o

    surgimento de uma regio IRPM devido a fora peso ser significativa em relao ao limite

    superior de trao nestas posies.

    a) m=0g (caso homogneo) b) m = 50g c) m = 250g

    FIG. 5.16 - Espao de trabalho para 4m2T0R com fmin=1,0N e fmax=5,0N.

    Nas FIG. 5.17 e 5.18 verificado que a compresso dos limites de trao na razo de

    kmax=5,0 para kmax=2,5 reduz consideravelmente.

    a) m=0g (caso homogneo) b) m = 50g c) m = 250g

    FIG. 5.17 - Espao de trabalho para 4m2T0R com fmin=1,0N e fmax=2,5N.

    Em 5.17 b) e c) verifica-se a reduo gradual do espao de trabalho na regio superior do

    polgono de ancoragem em relao a 5.17 a), e em 5.17 c) o comportamento IRPM na parte

    inferior do espao de trabalho devido ao aumento da fora peso.

    83

  • a) m=0g (caso homogneo) b) m = 50g c) m = 250g

    FIG. 5.18 - Espao de trabalho para 4m2T0R com fmin=2,0N e fmax=5,0N.

    Nas FIG. 5.17 e 5.18 so verificados os seguintes comportamentos:

    a) Para limites de fora relativamente menores, o espao de trabalho

    consideravelmente deformado na direo do carregamento, podendo apresentar

    regies IRPM;

    b) Comparando os resultados apresentados pelas FIG. 5.17 e 5.18 para os mesmos

    valores de massa da plataforma, o limite de trao mnima da FIG. 5.18, superior ao de

    5.17, permite que este se aproxime mais dos pontos de ancoragem.

    c) Concentrao do espao de trabalho, em relao ao centro do polgono de

    ancoragem, e deformao na direo do carregamento.

    d) O comportamento do espao de trabalho deste tipo de manipulador anlogo ao

    apresentado pelo manipulador 3m2T0R para kmax=2,5.

    e) Comparando os casos com 3 e 4 cabos para os mesmos valores de carregamento

    externo, limites de fora e kmax, verifica-se que a presena de um ponto de ancoragem

    privilegia o espao de trabalho em sua direo comprovando a afirmao de que um

    atuador pode ser considerado um aplicador de esforos.

    84

  • Analisando-se as FIG. 5.13 a 5.18 observa-se que, para valores de kmax mais elevados, o

    espao de trabalho se aproxima mais do polgono de ancoragem, mesmo que apresente

    regies de comportamento IRPM. Outra caracterstica observada em todas as figuras a

    deformao do espao de trabalho na direo de aplicao do esforo, neste caso a fora peso,

    acompanhando a diminuio do parmetro kmax.

    Baseados no resultados, algumas concluses a respeito do comportamento da plataforma

    e espao de trabalho podem ser obtidas.

    Analisando-se determinados parmetros de forma isolada, a menos que o contrrio seja

    dito, pode-se observar que:

    H uma forte relao de kmax com a magnitude do espao de trabalho em relao

    ao polgono de ancoragem;

    Para plataformas de massa no-nula, que representam o caso real, no somente o

    valor de kmax deve ser analisado, mas tambm: os limites de fora em relao ao

    carregamento aplicado; e, a geometria de ancoragem do manipulador;

    Verifica-se que o espao de trabalho deformado na direo de aplicao de um

    carregamento, e que a presena do (m+1)-simo cabo no manipulador privilegia o

    espao de trabalho nesta direo. Desta forma, ratifica-se a funo do cabo como um

    aplicador de esforos sobre a plataforma e no somente como um atuador em seu

    sentido estrito de ferramenta ou manipulador

    85

  • 6 MODELO DO MANIPULADOR COM CABOS DE MASSA NO-NULA

    Este Captulo apresenta o modelo do manipulador paralelo acionado por cabos de massa

    no-nula e apresenta um mtodo de soluo para o sistema no-linear gerado pela EQ. 3.6

    aplicada a este caso. De acordo com o modelo linear, a determinao do espao de trabalho

    necessria soluo do problema. As Equaes Bsicas do Problema, EQ. 3.6 e 3.8, devem

    ser satisfeitas para a obteno das traes nos cabos que sustentam a plataforma.

    De acordo com a definio do modelo matemtico1, a Matriz de Estrutura do problema

    AT composta pelos vetores de fixao pj e pelos vetores unitrios de comprimento de cabo vi.

    Com a incluso de massa nos cabos, ocorre a formao de catenria e a direo de vi se

    altera, no sendo mais vlida sua aplicao direta. Contudo, como deseja-se que o modelo

    apresente um limite inferior de trao capaz de manter o sistema rgido e atender as

    necessidades de projeto, supe-se que os cabos estaro constantemente tracionados e que a

    soluo do problema linear constitui uma boa condio inicial para a determinao da

    soluo.

    Utilizando a teoria em torno de fios e cabos em catenria2, o sistema no linear

    resolvido pelo Mtodo de Newton em funo das componentes horizontais de foras do

    sistema, tomando-se como condio inicial os dados obtidos a partir da soluo do modelo

    linear. As componentes horizontais de fora h so utilizadas como incgnitas do sistema por

    serem um parmetro constante ao longo de toda uma catenria definida.

    Em relao a aplicao do mtodo descrito na FIG. 5.93 como condio inicial, a

    determinao do espao de trabalho para cabos de massa no-nula exclui todas as posturas

    que no possuem soluo para o sistema com cabos de massa nula.

    Em contrapartida, para cada postura linear vlida o Mtodo de Newton deve ser aplicado,

    aumentando o tempo de anlise do espao de trabalho. Conforme dito no incio desta

    1 Ver Captulo 3 Modelo Matemtico

    2 Ver APNDICE 1 Definies sobre fios e cabos em catenria, em especial as equaes da TAB. 13.1

    3 FIG. 5.9 Mtodo bsico de determinao do espao de trabalho

    86

  • dissertao, sua aplicao no voltada para a programao em tempo real. Ainda assim, caso

    se deseje utiliz-lo como tal recomendado que o espao de trabalho obtido a partir da

    soluo no-linear seja armazenado junto ao sistema de controle do manipulador.

    Para a soluo do problema com cabos de massa no-nula so feitas as seguinte

    consideraes:

    a) O cabo analisado no plano vertical que o contem, para cada postura da

    plataforma;

    b) Os cabos so considerados como catenrias estticas;

    c) Novamente, os pontos de ancoragem so considerados pontuais. A abordagem

    de (BRUCKMAN et al, 2008) para utilizao de polias no adotada neste modelo,

    embora esta questo seja discutida em Trabalhos Futuros; e,

    d) Todas as juntas nos pontos de fixao so consideradas esfricas e sem atrito.

    A soluo do problema obtida em quatro etapas. Inicialmente o problema de

    determinao das foras atuantes na plataforma para cabos flexveis e com massa no-nula

    resolvido para o caso plano com translaes (Caso 1. Plataforma 3m2T0R), em seguida para o

    caso de translaes espaciais (Caso 2. Plataforma 4m3T0R), sendo que este a mera extenso

    do primeiro.

    Resolvidos estes dois casos as rotaes so includas na soluo do problema de

    determinao do espao de trabalho para o caso plano 2T1R e em seguida para 3T3R (Caso 3.

    e Caso 4. , respectivamente), que o objetivo deste trabalho.

    6.1 CASO 1: PLATAFORMA PONTUAL 3m2T0R

    A FIG. 6.1 ilustra o Caso 1, em um plano vertical, cujo nico esforo externo o prprio

    peso da plataforma. As massas dos cabos esto inclusas no modelo. So utilizados trs pontos

    de ancoragem, sendo 2 superiores a fim de ampliar o espao de trabalho controlvel. Os

    ngulos i, i=1, . . ,m, so definidos como os ngulos de aplicao de fora na plataforma,

    87

  • contidos em um plano vertical, e em relao a horizontal. Como condio inicial vi e i so

    tomados para cabos lineares e sem massa.

    FIG. 6.1 Modelo do manipulador 3m2T0R, com cabos em catenria

    Aplicando a EQ. 3.6 em termos das componentes horizontais de foras nos cabos,

    obtm-se as Equaes de Equilbrio do sistema, f1(h) e f2(h), nas direes 0x e 0y,

    respectivamente, em funo do vetor de foras horizontais h=[h1, . . , hm]. Como h=[h1, h2, h3]

    funo da trao no cabo, tem-se que hi 0, para todo i=1, . . ,m.

    { f 1 h = 1h1 1h2 1h3 w x=0f 2 h = 1tg 1 h1 1tg 2 h2 1tg 3 h3 wy=0 (6.1)Neste ponto, surge o problema de que as funes trigonomtricas determinadas

    numericamente normalmente se referem aos menores ngulos entre dois vetores. A exemplo

    da EQ. 6.1, o termo tg(3).h3 negativo pois se trata de um cabo inferior, no entanto esta

    tangente obtida numericamente como positiva. Posteriormente ser citado que os valores das

    tangentes devem sempre estar em mdulo, de modo que apresentem somente valores

    positivos. Aliado a isto, tem-se a necessidade de definir valores que indiquem a orientao das

    componentes da fora h, nos respectivos pontos de fixao.

    Dai, define-se a Matriz Direcional [U]=uj,i, com j=x,y,z e i=1, . . ,m, onde as linhas

    indicam as direes de aplicao das foras, nas direes 0x, 0y e 0z, e as colunas, a que cabos

    estes valores se aplicam. As componentes uj,i so definidas em funo das componentes vj,i, do

    respectivo vetor unitrio de comprimento de cabo.

    Escrevendo os termos +1 e -1 da EQ. 6.1 como componentes uj,i, esta pode ser

    88

  • reescrita na forma matricial como:

    [ ux ,1 ux ,2 ux ,3uy ,1.tg 1 uy ,2 .tg 2 uy ,3.tg 3 ] [h1h2h3][w xw y ]=0AF hw=0

    (6.2)

    onde a matriz direcional dada por:

    [U ]=[ 1 1 11 1 1] (6.3)A EQ. 6.2 anloga a EQ. 3.6 e descrita como AF h+ w = 0, onde AF representa a Matriz

    de Estrutura em termos das componentes horizontais de fora e em relao ao sistema

    F(h)=0.

    A funo da Matriz Direcional vai alm de sua aplicao na EQ. 6.2, tambm sendo

    utilizada na obteno dos parmetros relacionados a catenria. Sabe-se da teoria de cabos em

    catenria que o referencial com respeito a catenria est localizado sob seu vrtice, e

    considera-se x1

  • Desta forma, uj,i no assume outros valores apesar da variao de i e vj,i durante a soluo do

    problema.

    Voltando as EQ. 6.1 e 6.2, o valor de tg(i) deve estar em mdulo, pois no caso especifico

    de um cabo superior apresentar inclinao negativa no ponto de fixao, a parcela da

    componente de fora vertical deste cabo em AF.h ser positiva, enquanto deveria ser negativa,

    como condio inicial em f2(h).

    A FIG. 6.2 apresenta trs posies de cabo possveis no ponto de fixao com os

    respectivos termos uj,i.

    a) Cabo superior com inclinao positiva

    b) Cabo superior com inclinao negativa

    c) Cabo inferior

    FIG. 6.2 Posies possveis de cabos nos pontos de fixao

    Em qualquer configurao que o cabo se apresente, o ngulo i obtido no referencial RC

    em relao horizontal. Assim x1 e x2 , no referencial da catenria, sero designados como x1,i

    e x2,i para o i-simo cabo. Logo os pontos de fixao e ancoragem so designados como x1,i e

    x2,i, respectivamente, para cabos superiores e inversamente para cabos inferiores. As FIG. 6.2

    a) e c) apresentam os pontos de fixao e ancoragem de cabos superiores e inferiores,

    respectivamente.

    A EQ. 6.1 fornece as funes f1(h1,h2,h3)=0 e f2(h1,h2,h3)=0 para a soluo do sistema no-

    linear pelo Mtodo de Newton conforme a EQ 6.5.

    F h1 , h2 , h3=[ f 1 h1 , h2 , h3 f 2 h1 , h2 , h3 ] (6.5)Aplicando o Mtodo de Newton ao sistema, o vetor soluo de foras horizontais h

    obtido atravs das iteraes:

    90

  • hk=hk-1-J-1(hk-1).F(hk-1) (6.6)

    Onde J-1(hk-1) a pseudo-inversa da matriz Jacobiana de F(hk-1) obtida numericamente

    pela rotina pinv( ) do Scilab-4.1.2. Recorrendo-se a EQ. 6.2 possvel obter as

    componentes de J(hk-1). Primeiramente para as componentes relativas a f1:

    f 1 h i

    =ux ,i , onde i=1, . . ,m (6.7)

    Para os componentes de J(hk-1) relativas a f2 tem-se:

    { f 2 h1

    = h1

    (uy ,itg ( 1 )h1) f 2 h2

    = h2

    (uy ,itg (2 )h2 ) f 2 h3

    = h3

    (uy ,itg (3 )h3)

    (6.8)

    Sabe-se que i=(hi). Logo a derivada dos termos da EQ. 6.8 em funo de hi: so:

    f 2h i=uy ,i (tg (i )+ hi 1cos2(i)

    ih i ) (6.9)

    Tem-se das expresses 1, 2 e 4 da TAB. 12.1, que i e hi se relacionam pela regra da

    cadeia. De acordo com estas equaes sabe-se que:

    i hi=i x1,i

    x1,i a i

    a i h i

    (6.10)

    Onde x1,i corresponde a x1 do i-simo cabo, indicando que esta a extremidade inferior de

    um cabo superior. Caso o cabo seja inferior, ser utilizado x2,i.

    Para a aplicao da EQ. 6.10 em 6.9, so necessrias suas derivadas parciais. Da

    91

  • expresso Nr 2 da TAB. 12.1, referente a 1 para cabos superiores, obtm-se:

    i x1, i

    =1

    a i cosh x1,ia i (6.11)

    Da expresso 4 da TAB. 12.1 obtm-se:

    x1, i ai

    =d

    senh x1,ilai x1,il senh x1,ia i x1,i (6.12)

    E da expresso 1, tambm da TAB. 12.1:

    a ih i=h i hi =1 (6.13)

    Para cabos inferiores, neste caso o cabo 3, a expresso Nr 2 da TAB. 12.1 deve se

    referir a extremidade superior da catenria. Assim, a EQ. 6.11 fica:

    3 x1,3

    =1

    a3cosh x1,3l 3a3 , pois x2,3=x1,3+ l 3 (6.14)

    Das EQ. 6.11 a 6.14, e da expresso Nr 2 da TAB. 12.1, as derivadas parciais i hi

    ,

    tanto para cabos superiores e como para inferiores, so dadas pela EQ. 6.15, onde i

    corresponde unicamente ao ngulo do cabo com a horizontal no ponto de fixao, em relao

    a RC.

    92

  • i hi=

    d i . cos i

    h isenh x1,iliai x1,ilisenh x1,iai x1,i (6.15)

    Assim o termo do Jacobiano de F(h) em relao a f2, tanto para cabos superiores como

    para inferiores, conforme as EQ. 6.9 e 6.15, dado pela EQ. 6.16.

    f 2h i=uy ,i (tg ( i)+ d icos( i)(senh( x1,i+ la i )(x1, i+ li)senh ( x1,ia i )(x1,i))) (6.16)

    6.2 CASO 2: PLATAFORMA PONTUAL 4m3T0R

    O Caso 2 apresenta uma plataforma pontual, fixa por trs cabos superiores, cujos pontos

    de ancoragem formam a face superior de um prisma triangular, e um cabo inferior a face

    oposta, conforme a FIG. 6.3. So apresentados tambm os eixos coordenados do referencial

    local.

    FIG. 6.3 - Modelo do manipulador 4m3T0R, com cabos em catenria

    93

  • Em relao ao sistema 4m3T0R, a Equao de Equilbrio do sistema linear AT f + w = 0

    pode ser escrita para determinada direo na forma:

    i=1

    m

    v j ,i f i+ w j=0 , onde j=x,y,z (6.17)

    Deseja-se escrever o sistema da EQ. 3.6 em termos de h, da forma AF h+ w = 0. Para isso

    devem ser determinadas as componentes de [U]. Neste caso, a matriz [U] contem um vetor

    horizontal uh,i=[ux,i, uy,i]T e um escalar uz,i=[-1,+1], para o i-simo cabo. O vetor uh,i determina

    a direo da fora hi no plano horizontal, isto , determina o plano vertical que contem o cabo

    em catenria, e uz,i indica o sentido de aplicao da componente de fora vertical

    correspondente a hi.

    O ngulo de inclinao i do plano vertical do i-simo cabo com o eixo 0x determinado

    em funo de vi por:

    i=arc tg vy , ivx , i (6.18)Assim uj,i, com j=x,y, em funo de i e vj,i , e uz,i so dados por:

    ux , i=v x ,iv x ,i

    cosi (6.19)

    uy ,i=v y ,iv y ,i

    sen( i) (6.20)

    uz , i=v z , ivz , i

    (6.21)

    94

  • Assim obtm-se F(h) para o caso de translaes tridimensionais, onde:

    { f 1 (h )=i=1m

    ux ,i hi+ w x=0

    f 2 (h )=i=1

    m

    uy , i hi+ w y=0

    f 3 (h )=i=1

    m

    uz , itg ( i )hi+ w z=0

    (6.22)

    Obtendo-se o Jacobiano da funo F(h), tem-se para as direes 0x e 0y:

    f j h i

    =u j , i , onde j=x,y e i=1, . . ,m (6.23)

    e com respeito a direo 0z, utiliza-se a EQ. 6.16 de maneira anloga ao caso anterior,

    bastando substituir uy,i por uz,i.

    6.3 CASO 3: PLATAFORMA EM BARRA 4m2T1R

    Este caso a extenso do Caso 1. Apresenta um manipulador contido plano 0xy, com

    uma rotao no eixo 0z. A plataforma apresentada na FIG. 6.4.

    FIG. 6.4 - Modelo do manipulador 4m2T1R, com cabos em catenria

    95

  • Este caso introduz a idia sobre os equacionamentos envolvendo a rotao da plataforma.

    Por se tratar de uma rotao plana, os eixos Z e Z' coincidem.

    Novamente neste exemplo utilizada uma plataforma CRPM, do tipo 4m2T1R com 1

    grau de rotao em torno do eixo Z' da plataforma. No apresentado 4, embora seja anlogo

    a 3 no ponto (B). Escrevendo a EQ. 3.6 por extenso, tem-se:

    [ vx ,1 vx ,2 v x ,3 vx ,4vy ,1 vy ,2 vy,3 vy ,4p1v1 p2v2 p2v3 p1v4][ f 1f 2f 3f 4][w xw y ]=0 (6.24)

    Reescrevendo a EQ. 6.24 em termos da componente h de fora horizontal, tem-se:

    { f 1 (h )=i=1m

    ux ,i hi+ w x=0

    f 2 (h )=i=1

    m

    uy , itg( i)h i+ wy=0

    f 3 (h )=i=1

    m

    ( p j[ux , i uy ,itg( i) 0]) hi+ =0

    (6.25)

    Escrevendo vi.fi e fi em termos de hi tem-se, vi=[ ux,icos(i) uy,i|sen(i)| 0 ] e

    f i=h i /cos i . Considera-se que cos(i) seja sempre positivo. Assim, utiliza-se modulo de

    sen(i) pelos mesmos motivos que em tg(i) para a soluo do problema no-linear. Resta

    determinar a matriz Jacobiana aplicada na EQ. 6.6.

    O termo f 1h1

    dado pela EQ. 6.7, e o termo f 2h2

    dado pela EQ. 6.16. Baseado

    nestas duas equaes obter a derivada parcial de f3(h), expressa pela EQ. 6.26.

    f 3 h i= p j[ux ,i , uy , i(tan( i)+ d icos( i)(senh ( x1, i+ lia i )(x1,i+ li)senh ( x1,iai )( x1,i))) , 0 ] (6.26)

    96

  • A EQ. 6.26 constitui-se em uma das bases para as equaes a serem determinadas no caso

    3T3R. O Caso 4 extenso do Caso 2 no espao tridimensional.

    6.4 CASO 4: PLATAFORMA EM PLACA PLANA 8m3T3R

    Este caso representa o caso geral pois modela o movimento nos seis graus de liberdade

    segundo a formao de catenria nos cabos. Desta forma constitui-se no principal caso

    analisado, utilizando o resultado obtido nos trs primeiros e se resume ao objetivo deste

    trabalho que a Anlise da Plataforma de Stewart com seis graus de liberdade para

    grandes espaos de trabalho.

    Analogamente ao que foi dito no caso anterior, as equaes referentes a translao foram

    desenvolvidas no Caso 2, e o mtodo para desenvolvimento das equaes referentes rotao

    da plataforma est descrito no Caso 3. Desta forma, resta apenas expandi-las para o caso

    3T3R.

    Embora a geometria da plataforma e dos pontos de ancoragem no modifiquem o mtodo

    de soluo, neste caso ser utilizada uma plataforma quadriltera, com oito cabos,

    representada pela FIG. 6.5.

    A escolha de uma plataforma quadriltera e no triangular se justifica no somente pela

    simetria, mas pelo aproveitamento do modelo para o estudo da redundncia nos cabos, e pela

    possibilidade de ocorrncia de singularidades no centro do espao de trabalho quanto a

    rotao em torno do eixo 0z.

    97

  • FIG. 6.5 - Modelo do manipulador 8m3T3R, com cabos em catenria

    Para se obter a soluo do sistema no-linear, as equaes F(h)=0 e suas derivadas

    devem ser determinadas. Do Caso 2, as equaes referentes a translao da plataforma so

    dadas pela EQ. 6.22 e suas derivadas por 6.16 e 6.23 em termos de h.

    Em seguida devem ser determinadas as equaes referentes a rotao. Neste trabalho

    utiliza-se a sequencia de rotao tridimensional ZYX. De acordo com a FIG. 6.5, para o

    sistema linear, tem-se:

    {i=1m

    vi f i f ext=0

    i=1

    m

    p jvi f i ext=0

    (6.27)

    (6.28)

    A equao vetorial de rotao do sistema pode ser escrita como:

    f 4h=i=1j=A ,,D

    m

    p jvi f i ext=0 [3x1 ] (6.29)Para obter-se a EQ. 6.29 em funo de hi, deve-se ter vi em termos de i. O ngulo i

    representa a inclinao do plano vertical que contem a catenria com a direo 0x e dado

    pela EQ. 6.18.

    98

  • A FIG. 6.6 apresenta graficamente os ngulos i e i.

    FIG. 6.6 Vetor v1 no plano vertical que contem a catenria

    Considerando as EQ. 6.18 a 6.21 e a definio de vi dada pela EQ. 3.1, v i ( i) dado por:

    v x , i(i)=ux , i . cos( i) (6.30)

    v y ,i( i)=u y ,i . cos ( i) (6.31)

    v z ,i( i)=sen( i) (6.32)

    Deve-se ter me mente que uj,i em v i=[ vx , i cos (i) v y , i cos ( i) sen ( i)]T funo de i .

    Escrevendo a EQ. 6.29 em termos de hi, tem-se:

    f 4 (h )=(i=1j=A , ,D

    m

    ( p j[ux , i ; uy ,i ; uz ,itg( i)] )h i)+ ext=0 [3x1 ] (6.33)Analogamente a determinao da derivada de f3(h) em 6.22, recorrendo-se a EQ. 6.16,

    obtem-se a derivada parcial de f4(h).

    f 4 hi= p j[ux ,i ; uy ,i ; uz ,itg( i)+ d icos ( i )(senh ( x1,i+ liai )(x1, i+ li)senh ( x1,ia i )(x1,i)) ] (6.34)

    Analisando como exemplo o cabo (1) pode-se verificar que, por definio, o vetor v1

    indica a direo de aplicao de fora deste cabo sobre a plataforma. Porm, como os cabos

    99

  • possuem massa, v1 no pode ser determinado como vetor unitrio de l1, por no possuir

    necessariamente a mesma direo da reta formada pelos ponto de fixao pA e de ancoragem

    b1. Logo a direo de v1 determinada por 1 em funo de h1.

    Na TAB. 6.1 so apresentadas as expresses referentes ao caso geral 3T3R, e que so

    utilizadas na anlise do espao de trabalho. Todas as equaes apresentadas na TAB. 12.1 so

    utilizadas nas dedues destas equaes.

    TAB. 6.1 - Tabela de frmulas para o Caso 3T3R

    Expresso EQ.

    1 { f 1 (h )=i=1m

    ux ,i hi+ w x=0

    f 2 (h )=i=1

    m

    uy , i hi+ w y=0

    f 3 (h )=i=1

    m

    uz , itg ( i )hi+ w z=0

    (6.22)

    2 f 4(H )=(i=1j=A,,D

    m

    ( p j[ux ,i ; uy , i ; uz ,itg( i)] )hi)+ ext=0[3x1 ] (6.33)AFhw=0 , onde:

    AF=[ vF ,1 vF ,mpAvF ,1 pDvF ,m ] , evF , i=[ux ,1 ; uy ,1 ; uz , itg( i)]

    3 F h={ f 1h=0f 2h=0f 3h=0f 4 h=0

    i=arc tg vy , ivx , i (6.18)ux , i=

    v x ,iv x ,i

    cosi (6.19)

    uy ,i=v y ,iv y ,i

    sen i (6.20)

    100

  • TAB. 6.1 - Tabela de frmulas para o Caso 3T3R

    Expresso EQ.

    uz , i=v z , ivz , i

    (6.21)

    4 f j h i=u j , i , onde j=1,2 e i=1,, m (6.23)

    5

    f 3 h i=uz ,itg( i)+

    d i

    cos (i)(senh ( x1,i+ lai )( x1,i+ l i)senh (x1,ia i)(x1,i)) (6.16)

    6

    f 4 hi= p j[ux ,i ; uy ,i ; uz ,itg ( i)+ d icos ( i )(senh ( x1, i+ liai )(x1, i+ li)senh ( x1, ia i )(x1, i)) ] (6.34)

    7

    i hi=

    d i . cos i

    h isenh x1,iliai x1,ilisenh x1,iai x1,i (6.15)Parmetros referentes a catenria como: Tenso em um ponto qualquer do

    cabo; Comprimento de cabo utilizado; e, Deformao longitudinal do cabo sob

    tenso, so apresentados na TAB. 12.1 do APNDICE 1 Definies sobre

    fios e cabos em catenria.

    Lembrando que fi, para i=1, . . ,3 so escalares e que f4 uma funo vetorial em R3, tem-

    se que F(h)=0 possui seis equaes de restrio quanto ao foramento.

    6.5 MTODO ALTERNATIVO DA SOLUO BASEADA EM COMPONENTES DE

    FORAS HORIZONTAIS PARA CASOS EM QUE EXISTEM CABOS NA VERTICAL

    Todo o mtodo de soluo desenvolvido baseia-se determinao das foras nos cabos a

    partir se suas componentes horizontais, devido a esta componente ser constante ao longo de

    toda a catenria.

    101

  • Contudo no raro o caso em que um ou mais cabos se encontrem totalmente na vertical,

    ou to prximos desta que inviabilizem a soluo numrica. Para contemplar estes casos foi

    desenvolvido um mtodo de soluo alternativo.

    Baseando-se nas expresses Nr 1 e Nr 2 da TAB. 6.1, a equao de equilbrio dinmico

    escrita como:

    F h={ux ,1 h2 ux ,2 h2 ux , m hm w x=0uy ,1 h2 uy ,2 h2 uy , m hm w y=0

    uz ,itg 1 h1 uz , itg 2 h2 uz ,itg m hm w z=0

    pAv1h1

    cos 1 pBv2

    h2cos 2

    pDvmhm

    cos m ext=0

    (6.35)

    Analogamente ao Caso 1, esta equao pode ser escrita matricialmente na forma

    AF h+ w = 0 onde AF , de modo semelhante a Matriz de Estrutur AT composta por:

    AF=[ vF ,1 vF , mkF ,1 kF , m] [ nxm ] (6.36)Observando as EQ. 6.35 e 6.36 fcil verificar que cada coluna de AF corresponde a um

    hi, exceto no caso em que determinado cabo se aproxime da vertical. Neste caso, o valor da

    componente de fora horizontal tender a zero e os coeficientes do sistema representados por

    esta i-sima coluna se tornaro ineficazes. Desta forma o mtodo de soluo alternativa

    considera estes cabos como retilneos e com massa definida. Desta forma consideraes como

    deformao elstica, peso do cabo e compensao nos atuadores continuam vlidas para o

    sistema.

    Suponha que o sistema da EQ. 6.35 nxm possui o i-simo cabo na vertical. Assim

    atribudo zero a toda i-sima coluna de AF e uma nova coluna (m+1)-sima acrescentada a

    esta matriz. A varivel referente ao modulo da fora neste cabo deixa de ser a componente

    horizontal hi. Em seu lugar acrescentada uma varivel de trao f(m+1) no vetor h conforme a

    EQ. 6.37.

    102

  • [AF A : ,iT ] [ hf m1][Fextext ]=0 (6.37)Este procedimento se repete para quantos cabos houverem na vertical simultaneamente,

    na posio da plataforma analisada. Um sistema [nxm] com q cabos na vertical se torna um

    sistema [n x m+q], onde q elementos de h so substitudos na soluo pelos fm+1 , . . , fm+q.

    Assim o sistema resolvido pelos mtodos conhecidos e ao i-simo cabo atribudo

    diretamente o valor fm+1.

    O comprimento do cabo vertical dado diretamente pelo vetor comprimento de cabo.

    Para determinar a deformao longitudinal do cabo vertical, recorre-se a EQ. 6.38 que

    descreve a curva de tenso em um ponto qualquer do cabo, partindo-se da plataforma (l=0 no

    ponto de fixao).

    T l = f ivz ,i PC l (6.38)

    Onde

    f i a trao do cabo no ponto de fixao na plataforma;

    PC o peso do unidade de comprimento de cabo; e,

    l o comprimento de cabo medido partir do ponto de fixao.

    Aplicando a expresso Nr 5 da Tab 12.1, do APNDICE 1, na EQ. 12.24, obtm-se a

    expresso da deformao longitudinal para um cabo vertical.

    L=0

    L f ivz ,i PC lAE

    dl =1

    AE f i Lvz , i PC L2

    2 (6.39)onde L o mdulo do vetor comprimento de cabo, visto que o cabo considerado retilneo5.

    5 L = ||li||

    103

  • 6.6 ETAPAS DO MTODO DE SOLUO DO PROBLEMA NO-LINEAR

    Foi demonstrado que a obteno do vetor de fora nos cabos se d pela soluo numrica

    de um sistema no-linear. Logo de acordo a Seo 2.1, define-se o caso como no-linear.

    Para a aplicao deste mtodo de soluo, inicialmente deve-se resolver o problema

    linear de acordo com a FIG. 5.7. O espao de trabalho obtido como soluo ser utilizado

    como condio inicial. As posturas excludas do espao de trabalho controlvel linear, no

    sero utilizadas como dados de entrada soluo do problema no-linear.

    A FIG. 6.7 apresenta as etapas da soluo do problema com cabos de massa no-nula.

    FIG. 6.7 Esquema de determinao do Espao de Trabalho Controlvel no-linear

    A condio inicial de foras horizontais, obtida a partir da soluo em f do problema

    linear pode ser obtida por:

    h i= f x , i2 f y ,i2= f i v x ,i2 f i v y ,i2= f iv x ,i2v y ,i2 (6.40)

    Conforme o mtodo aplicado no sistema linear, os passos apresentados na FIG. 6.7 so

    104

  • executados para cada postura da plataforma. Assim todos os pontos do espao de trabalho

    obtido anteriormente so verificados em busca de soluo. O quadro que indica Soluo do

    sistema no-linear inclui o Mtodo de Newton e aps a verificao quanto aos limites de

    tenso, pode-se ainda verificar se os limites de torque nos atuadores so atendidos, conforme

    citado em (FANG, 2005).

    Caso haja soluo para o sistema, a postura e todos os parmetros referentes a

    configurao da catenria so armazenados como pertencentes ao espao de trabalho no-

    linear.

    6.7 RESULTADOS ESPERADOS

    Devido a soluo do problema no-linear ser obtida a partir da soluo linear, alguns

    resultados podem ser previstos. Basicamente, em relao ao espao de trabalho com cabos de

    massa nula, so esperados os seguintes comportamentos:

    a) Reduo do espao de trabalho no modelo no-linear; e,

    b) Obteno de traes mais prximas dos limites permissveis.

    Os dois resultados citados esto relacionados a mudana de direo do vetor v devido a

    considerao de massa nos cabos. Ocorrendo a formao de catenria, em geral, a direo e

    intensidade da tenso nos pontos de fixao e ancoragem sero diferentes.

    A FIG. 6.8 apresenta a variao de v em um manipulador CRPM 2T0R.

    FIG. 6.8 Representao dos vetores unitrios em um manipulador CRPM 2T0R

    105

  • A EQ. 3.6 deve ser satisfeita para que uma mesma postura da plataforma pertena tanto

    ao espao de trabalho de sistemas com cabos de massa nula como em sistemas com cabos de

    massa no-nula.

    Os vetores unitrios vi tracejados se referem a cabos de massa nula, sendo retilneos na

    direo do ponto de ancoragem, e os contnuos de referem a cabos de massa no-nula,

    tangentes a catenria no ponto de fixao.

    possvel verificar, em cabos superiores e inferiores, que a formao da catenria

    rotaciona o vetor v em torno do ponto de fixao, na direo da fora peso. Considerando que

    a curva formada por determinado cabo seja estritamente crescente, conforme apresentado pela

    FIG. 12.6, o ponto superior do cabo, seja ele de fixao ou ancoragem suportar a trao do

    ponto inferior acrescida dos efeitos da fora peso.

    De acordo com o equacionamento descrito no APNDICE 1, o cabo 3 possuir trao

    T 3,1=H /cos ( 1 ) no ponto de ancoragem e T 3,2=H /cos (2 ) no ponto de fixao6, onde 1> 2 . Logo, T 3,2> T 3,1 . Analogamente, os cabos superiores apresentam T 1,1< T 1,2 e

    T 2,1< T 2,2 . Considerando que T 3,2> T 3, Linear , os cabos 1 e 2 devem suportar esforos maiores

    nos pontos de fixao.

    Analisando a tenso ao longo dos cabos superiores, tem-se que T 1,2> T 1,1 e T 2,2> T 2,1 .

    Acrescido a isto tem-se que, para suportar T 3,2 devem possuir T 1,1 e T 2,1 maiores que

    T 1, Linear e T 2, Linear . Por este fato espera-se obter como resultado tenses mais elevadas.

    Supondo agora que determinado ponto do espao de trabalho j possua tenses prximas

    aos limites permissveis, sua diminuio ou elevao pode excluir tal ponto do espao de

    trabalho soluo.

    Como normalmente estes pontos esto prximos do limite do espao de trabalho, ocorrer

    sua reduo.

    6 Em T i , j , i refere-se ao i-simo cabo e j=1,2 refere-se a: 1-ponto inferior e 2-ponto superior da catenria.

    106

  • 7 DADOS DE PROJETO E ESPECIFICAO DO CABO DE AO

    Como regio de ancoragem foram buscados exemplos reais, com dimenses apropriadas

    ao manipulador. Para a simulao de resultados, foram pesquisados cabos de ao da empresa

    KRK Hidroserv, representante da Cabos de Ao CASAR no Brasil, e da CIMAF CABOS

    S.A. Foram feitos contatos com as duas empresas, que forneceram material tcnico para a

    anlise das caractersticas de projeto dos cabos de ao e de sua utilizao.

    7.1 DEFINIO DA REGIO DE ANCORAGEM

    Para a simulao do manipulador em grandes espaos de trabalho, so utilizados como

    slidos de ancoragem:

    a) Um hangar construdo na Frana em 1923 descrito em (PORTO, 2009) e

    apresentado na FIG. 7.1 , com 300 metros de comprimento; e,

    b) Um vale hipottico baseado no Patio Marechal Mascarenhas de Moraes, da

    Academia Militar das Agulhas Negras, com dimenses de 200m de largura, 250m de

    comprimento e 150m de altura conforme FIG. 7.2.

    FIG. 7.1 Duplo hangar de Orly de Eugne Freyssine, 1923 (PORTO, 2009)

    107

  • FIG. 7.2 Foto do Ptio Mal Mascarenhas de Moraes (Arquivo pessoal)

    (PORTO, 2009) indica que o hangar, destinado a abrigar dirigveis, foi construdo partir

    de arcos parablicos com vrtice 60m acima do cho, 75m de base, e 300m de comprimento.

    Assim possvel equacionar a parbola e obter a localizao dos pontos de ancoragem.

    Este trabalho no pretende questionar a resistncia da estrutura, mas apenas utilizar um

    exemplo real de espao de ancoragem para a simulao. A equao da parbola dada por:

    Y=0,0426667X260 (7.1)

    O vale aproximado para um prisma trapezoidal, onde a face inferior e superior so

    retngulos de dimenso 100m x 250m e 200m x 250m, respectivamente, e altura de 150m, e

    foi assim proposto devido a este tipo de relevo ser bastante comum na Regio Sudeste, onde

    se encontram os Centros de Pesquisa e o Comando da Aviao do Exrcito.

    A FIG. 7.3 apresenta os espaos de trabalho de maneira esquemtica.

    a) Esquema do hangar b) Esquema de um vale

    FIG. 7.3 Slidos de ancoragem (Esquemtico)

    108

  • Analisando os espaos de trabalho quanto as dimenses e razo de aspecto

    R.A.HANGAR=5,0 e vale R.A.VALE=1,6 , e baseado nas concluses de (KAWAMURA et al,

    1995), verifica-se que o espao de trabalho definido pelo hangar pode ser aplicado a

    movimentos com grandes aceleraes e velocidades longitudinais, e o espao definido pelo

    vale trapezoidal garante uma maior utilizao do espao de trabalho como um todo, podendo

    ser utilizado para manobras que envolvam curvas e inclinaes da plataforma.

    7.2 DEFINIO DA PLATAFORMA E ESPECIFICAO DO CABO DE AO

    Como uma possvel aplicao deste trabalho voltada para a simulao de aeronaves de

    asas rotativas, a plataforma ser modelada como a cabine de uma aeronave, sem cauda e

    motor baseado no helicptero EC-120 Colibri da Helibrs, escolhido por ser de fabricao

    nacional, visando facilitar a obteno de dados no caso de implementao de um projeto e

    por, dentre as aeronaves da Helibrs, ser a menor. A ficha tcnica da aeronave disponvel no

    stio de internet do fabricante se encontra no ANEXO 4. Abaixo so apresentadas as vistas do

    EC-120 Colibri da Helibrs.

    FIG. 7.4 Vistas de frente, lateral e de topo do helicptero EC-120 Colibri (http://www.helibras.com.br/produtos_det.php?id=1)

    De acordo com a Ficha Tcnica, a massa total da aeronave vazia de 965,0kg. Como a

    plataforma esta sendo modelada somente como a cabine deste helicptero, estima-se que seu

    peso sem cauda, rotor principal e motor seja de 400 kg.

    Baseado na FIG. 7.4 a plataforma ser modelada como um retngulo de dimenses

    4,8m x 1,5m visando manter as dimenses da cabine e apresentar centro de gravidade

    109

  • centroidal. A ficha da aeronave fornece alguns dados importantes para a simulao, que so

    apresentados na TAB. 7.1.

    TAB. 7.1 Dados tcnicos do EC-120 Colibri

    Velocidade mxima 278 km/h

    Velocidade de cruzeiro 223 km/h

    Razo de subida 5,84 m/shttp://www.helibras.com.br/produtos_det.php?id=1

    O cabo utilizado ser o CIMAF 6x25F+AACI escolhido por possuir aplicao

    recomendada pelo fabricante como cabo de trao e segurana em elevadores de obras e por

    possuir limites de ruptura elevados. Algumas noes bsicas sobre a aplicao, utilizao e

    caractersticas de cabos de ao so apresentadas no ANEXO 1. A recomendao de uso para

    elevadores de obras se encontra no ANEXO 2 e a ficha tcnica deste cabo no ANEXO 3. Para

    o cabo especificado, novo, e com alma de ao, so fornecidos pelo fabricante o Modulo de

    elasticidade E=2500 N/mm2.

    De acordo com a TAB. 12.1 o coeficiente de segurana (CS ou fator de segurana FS)

    para elevadores de obras 10 e para elevadores de comerciais e residenciais 12. Foram

    escolhidos cabos aplicados a elevadores de obras por serem mais robustos e estarem

    constantemente sujeitos a condies de uso mais severas. Complementando isto e

    considerando que a plataforma poder estar sujeita a grandes aceleraes e mudanas bruscas

    de direo aplicou-se o coeficiente de segurana 12, utilizado em elevadores comerciais.

    Define-se limite superior de trao como sendo a trao mnima necessria para que um

    nico cabo possa sustentar a plataforma no ponto mais elevado do espao de trabalho,

    supondo que nenhum outro exera foras verticais, conforme apresentado pela FIG. 7.5.

    a) Esquema espacial b) Esquema plano com 1 cabo

    FIG. 7.5 Esquema de sustentao da plataforma por um nico cabo

    110

  • Para determinar fmax, a TAB. 7.2 apresenta vrios ngulos de inclinao, conforme

    esquema da FIG. 7.5 b), e suas respectivas foras de trao e carga de ruptura em KN e tf para

    CS 12. A carga de ruptura fornece o dimetro e densidade linear do cabo de acordo com o

    ANEXO 3.

    TAB. 7.2 Cargas de ruptura para especificao de cabo em funo do ngulo de inclinao com a horizontal, para cabos CIMAF 6x25F+AACI.

    Fmax (KN)Frup (CS=12)

    (KN)Frup (tf)

    do cabo (mm)

    Massa Aprox.(Kg/m)

    5 45,0045 540,05 55,07 29,00 3,447

    10 22,5882 271,06 27,64 22,00 2,036

    15 15,1550 181,86 18,55 16,00 1,057

    20 11,4683 137,62 14,03 14,50 0,867ROCHA, 2009, VERRET, 1997, http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php,

    Por outro lado, define-se como limite inferior de trao a trao mnima para que o

    sistema mantenha-se tenso. Como proposta inicial, considera-se que 15 sejam uma inclinao

    razovel. Desta forma, os limites de trao so estimados em 1,0kN e 15,0kN.

    De acordo com a Apostila Tcnica CIMAF, a rea de referncia da seo transversal (A)

    de um cabo de ao dada pela EQ. 7.2.

    A=F .d 2 (7.2)

    Onde F um fator de multiplicao tabelado pelo fabricante e d o dimetro nominal do

    cabo, segundo a especificao desejada. Para cabos 6x25F tem-se o fator F=0,418, e para

    cabos de 6 pernas AACI deve-se acrescentar 15% a sua rea de referncia. A rea nominal da

    seo transversal do cabo dada pela EQ. 7.3.

    A = 1,15 . 0,418 . d2 (7.3)

    Ainda segundo a Apostila Tcnica, aps o cabo entrar em uso, devido a acomodao de

    pernas e arames, seu mdulo de elasticidade aumenta em 20%.

    Utilizando CS 12 e fmax 15kN, obtem-se frup=180kN que especifica um cabo de 16mm de

    111

  • dimetro (5/8) e massa especifica de 1,057 kg/m e rea de referncia Ar=123,06 mm2.

    Para que o cabo se comporte como uma mola linear elstica, as traes aplicadas no

    devem ultrapassar o limite elstico estimado, correspondente a 55% do valor de frup. Para a

    tenso de ruptura de 181,86 KN, tem-se o limite elstico Y em torno de 100 KN. Apesar do

    limite mximo de tenso permitido ser de 15 KN, o modelo dinmico da plataforma

    desconsidera, entre outros, os efeitos da vibrao e do arrasto, este devido a correntes de

    vento, sobre os cabos.

    7.3 DADOS DE ENTRADA DO PROBLEMA

    Inicialmente so definidos os dados de entrada dos Espao A e B:

    a) A posio dos referenciais RG e RL;

    b) A Matriz dos pontos de ancoragem; e,

    c) A Matriz dos pontos de fixao, indicando a geometria da plataforma.

    Em ambos os casos o referencial global se encontra no centro da aresta anterior, da face

    inferior, com a orientao em 0x paralela a sua direo longitudinal.

    Define-se como Espao A o Hangar e Espao B o vale trapezoidal. A FIG. 7.6 apresenta

    os slidos de ancoragem:

    a) Espao A b) Espao B

    FIG 7.6 Espaos de Trabalho com os pontos de ancoragem e eixos coordenados

    112

  • Para o Espao A, so definidos 12 pontos de ancoragem, dispostos em sees transversais

    do hangar em x=0, x=150 e x=300. O Espao B apresenta oito pontos de ancoragem

    dispostos nos vrtices do prisma. Em B, com n=6, a regio vivel bi-dimensional, sendo

    possvel ilustr-la se for o caso. Inicialmente desejava-se que os dois slidos possussem o

    mesmo nmero de ponto de ancoragem, contudo a razo de aspecto consideravelmente maior

    levou a incluso de mais 2 pontos superiores e 2 inferiores no centro do hangar. A incluso de

    dois pontos inferiores pretende evitar que a regio inferior central se torne no-controlvel.

    Os pontos de ancoragem so ordenados em relao ao ponto mdio de b, inicialmente na

    regio superior e em seguida na regio inferior, e nestas pelo sentido de rotao em 0z partir

    de 0x conforme apresentado na FIG. 7.6 b). No cdigo foi gerada uma rotina que verifica e

    ordena os pontos de ancoragem e fixao de acordo com esta conveno, logo no h

    necessidade de gerar a matriz B ordenada.

    A Matriz b para os espaos de trabalho A e B ser:

    BA=[ 300 150 0 0 150 300 300 150 0 0 150 30015 15 15 15 15 15 37,5 37,5 37,5 37,5 37,5 37,550,4 50,4 50,4 50,4 50,4 50,4 0 0 0 0 0 0 ] (7.4)BB=[ 250 0 0 250 250 0 0 250100 100 100 100 50 50 50 50150 150 150 150 0 0 0 0 ] (7.5)

    O referencial local centroidal. A plataforma possui 6 ou 4 pontos de fixao, conforme o

    caso. As matrizes P contendo os pontos de ancoragem pj no referencial local so dadas.

    P AL=[ 2,4 0 2,4 2,4 0 2,40,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,750 0 0 0 0 0 ] (7.6)

    PBL=[ 2,4 2,4 2,4 2,40,75 0,75 0,75 0,750 0 0 0 ] (7.7)

    113

  • Por conveno, as colunas de b so indicadas por bi onde i=1, . . ,m para os m cabos e as

    colunas de P por pj , onde j=A, . . ,F para o Espao A e j=A, . . ,D para o Espao B. A partir

    da as matrizes de estrutura geradas para cada caso so:

    AAT=[ v1 v2 v6 v7 v12pAv1 pBv2 pFv6 pAv7 pFv12 ] (7.8)

    ABT=[ v1 v8pAv1 pDv8] (7.9)

    7.4 VALIDAO DO ESPAO DE TRABALHO

    Nesta seo verifica-se a validade dos Espaos de Trabalho obtidos em funo dos dados

    de projeto definidos, quanto a sua funcionalidade e atendimento aos objetivos do trabalho.

    Para o Espao A tem-se um manipulador RRPM 12m3T3R, e para o Espao B um

    manipulador RRPM 8m3T3R.

    De acordo com o mtodo descrito, para cada posio e orientao devem ser resolvidos

    C(2m,r) sistemas lineares conforme apresentado pela FIG. 5.9, e um sistema no-linear em

    relao aos parmetros do cabo, de acordo com a FIG. 6.7. Logo, para o espao A devem ser

    resolvidos C(24,6)=134.596 sistemas lineares 6x6 e um sistema no-linear 7x6 e para o

    espao B, C(16,2)=120 sistemas lineares 2x2 e um sistema no-linear 7x6, por ponto.

    Esta diferena entre o custo computacional de cada caso tem consequncias diretas no

    mtodo numrico, impedindo a apresentao de resultados no Espao A. As trajetrias

    propostas e o espao de trabalho A esperado so apresentados no APNDICE 7.

    A FIG. 7.7 apresenta as posies pertencentes o espao de trabalho B, com cabos de

    massa nula, para a orientao =0[3x1]. Para a varredura utiliza-se passo de 25 metros.

    As posies referentes a cabos de massa no-nula se encontram envoltas como destaque.

    Comparando as posies ara cabos de massa nula e no-nula verifica-se que ocorre uma

    114

  • reduo significativa do espao de trabalho para cabos de massa no-nula.

    Para visualizar o espao de trabalho para cabos de massa no-nula a FIG. 7.8 apresentada

    as vistas frontal e lateral deste caso

    a) Vista isomtrica b) Vista frontal

    c) Vista lateral d) Vista superior

    FIG. 7.7 Vistas do Espao B

    a) Vista frontal no-linear a) Vista lateral no-linear

    FIG. 7.8 Vistas do Espao B (No-linear)

    Comparando as FIG. 7.7 e 7.8 verifica-se que a maior parte do espao de trabalho linear

    perdido quando da considerao de massa nos cabos ratificando os resultados esperados a

    115

  • cerca da determinao de espaos de trabalho para cabos de massa no-nula.

    7.4.1 CONSIDERAES SOBRE O ESPAO DE TRABALHO OBTIDO

    O espao de trabalho apresentado na FIG. 7.8 se mostra inadequado por no comportar as

    trajetrias propostas na seo seguinte. Por este motivo prope-se a modificao das

    caractersticas de projeto. Devido a este problema, so feitas algumas consideraes sobre o

    caso em busca uma soluo que apresente um espao de trabalho razovel.

    O mtodo de determinao do espao no-linear da FIG. 6.7 exige que as tenses nos

    cabos atendam limites tanto nos pontos de fixao como nos de ancoragem. Isto implica que

    determinada postura pode ser excluda do espao de trabalho por no atender os limites de

    tenso ao longo de todo o comprimento do cabo ou por no possuir soluo na Regio Vivel.

    Para ilustrar o fato, a FIG. 7.9 apresenta as traes nos cabos para o ponto x=[75 10 20]T

    do espao B, onde os crculos representam as foras obtidas pela soluo linear, os quadrados,

    as foras da soluo no-linear nos pontos de fixao e os losangos as foras da soluo no-

    linear nos pontos de ancoragem. possvel verificar que todas as traes nos cabos de massa

    no-nula so mais elevadas

    FIG. 7.9 Foras de trao nos cabos

    116

  • A trao nos cabos superiores , em mdia, menor que nos inferiores devido a posio

    analisada ser baixa em relao aos pontos de ancoragem, e os cabos possuirem ngulos

    menores com a vertical, se tornando mais eficientes. Ao contrrio, os cabos inferiores

    exercem foras quase que na horizontal e por isso devem manter traes mais altas para

    suportarem o prprio peso. Pode-se perceber que o limite superior de trao atingido por um

    cabo inferior. Confirmando o que foi dito na Seo 6.7, cabos superiores possuem traes

    mais elevadas nos pontos de ancoragem, enquanto que cabos inferiores apresentam traes

    maiores nos pontos de fixao.

    Analisando a questo do peso do cabo, estima-se que cerca de 1.300 metros de cabos

    areos sejam utilizados para que a plataforma percorra o espao B. Para as massas especficas

    da TAB. 7.3, a massa dos cabos ser de aproximadamente 1.300 kg a 3.500 kg, excedendo em

    muito a massa da plataforma, de 400 kg.

    Com o objetivo de ampliar o espao de trabalho buscou-se utilizar cabos de outros

    dimetros e verificar os custos e benefcios desta modificao. Foram verificados cabos

    CIMAF 6x25+AACI de dimetros 19,0, 22,0 e 26,0mm em comparao ao de 16,0mm. As

    propriedades destes cabos so apresentadas na TAB. 7.3.

    TAB. 7.3 Propriedades Mecnicas dos cabos CIMAF 6X25F+AACI para os dimetros 16,0, 19,0, 22,0 e 29,0mm

    Dimetro (mm)

    Modulo de Elasticidade

    (N/mm2)

    rea Nominal (mm2)

    Massa Especfica Linear (kg/m)

    Trao de Ruptura (kN)

    Trao Mxima (kN)

    16,0

    2500

    123,1 1,057 183,4 15,3

    19,0 173,5 1,496 261,8 21,8

    22,0 232,7 2,036 354,0 29,5

    26,0 325,0 2,746 460,0 38,3ROCHA, 2009, VERRET, 1997, http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php,

    Para analisar os espaos de trabalho utilizando os quatro cabos citados, os cabos de 16,0,

    19,0, 22,0 e 26,0mm sero chamados respectivamente de C1, C2, C3 e C4.

    A FIG. 7.10, 7.11 e 7.12 apresentam respectivamente as vistas laterais, frontais e

    superiores do espao de trabalho para cabos de massa no-nula referente a C1 para fins de

    comparao com os espaos de trabalho para os cabos C2, C3 e C4.

    117

  • a) Espao de trabalho para o cabo C1 b) Espao de trabalho para o cabo C2

    c) Espao de trabalho para o cabo C3 d) Espao de trabalho para o cabo C4

    FIG. 7.10 Vistas laterais dos espaos de trabalho para cabos de massa no-nula

    a) Espao de trabalho para o cabo C1 b) Espao de trabalho para o cabo C2

    c) Espao de trabalho para o cabo C3 d) Espao de trabalho para o cabo C4

    FIG. 7.11 Vistas frontais dos espaos de trabalho para cabos de massa no-nula

    118

  • a) Espao de trabalho para o cabo C2 b) Espao de trabalho para o cabo C2

    c) Espao de trabalho para o cabo C3 d) Espao de trabalho para o cabo C4

    FIG. 7.12 Vistas superiores dos espaos de trabalho para cabos de massa no-nula

    Analisando qualitativamente os espaos de trabalho acima, verifica-se que o espao de

    trabalho aumenta gradativamente de a) at c), favorecendo a escolha do cabo C3. A vista

    lateral de C4 dada pela FIG. 7.10 d) indica uma pequena reduo do espao de trabalho. Sabe-

    se ainda que a massa especfica dos cabos C4 excedem em 37% a de C3. Esta diferena entre

    as massas especificas de C3 e C4 certamente ser refletida em caractersticas de projeto como

    consumo de energia, inrcia do sistema e manutenabilidade.

    Desta forma pode-se concluir que o cabo C3 se apresenta como o mais adequado a

    utilizao no manipulador. O cabo C4, de 29,0mm, apesar de mais resistente, demonstra ser

    pesado demais para a aplicao desejada.

    Foi analisada tambm a aplicao de CS 12 ao sistema. Para que o sistema se torne mais

    conservativo, foi aplicado um coeficiente de segurana maior do que o recomendado para a

    aplicao do cabo. O aumento do CS de 10 para 12 acarretou uma diminuio na tenso

    mxima de aproximadamente 8.3%. Para verificar a possibilidade de reduo do CS, foram

    comparados casos com coeficiente de segurana 10 e 12 quanto as posies limites do espao

    de trabalho. Utilizando passo de 10m, obtm-se os seguintes espaos de trabalho:

    119

  • a) Vista lateral CS 10 b) Vista lateral CS 12

    c) Vista isomtrica CS 10 d) Vista isomtrica CS 12

    e) Vista frontal CS 10 f) Vista frontal CS 12

    g) Vista superior CS 10 h) Vista superior CS 12

    FIG. 7.13 Comparao entre os espaos de trabalho para o cabo C3, com CS 10 e 12

    Analisando a FIG. 7.13 verifica-se que a diminuio do coeficiente de segurana trouxe o

    alargamento do espao de trabalho, principalmente na base e no topo. Considerando a

    120

  • pequena variao das traes mximas em relao aos limites elstico e de ruptura, conclui-se

    que CS 10 pode ser utilizado.

    Para analisar o espao de trabalho como um todo, sobrepondo as solues para cabos de

    massa nula e no-nula, utilizam-se vistas superiores por cotas. Esta tcnica consiste em

    realizar cortes horizontais no espao de trabalho em cotas pr-determinadas e plot-las

    separadamente. Em cada figura so apresentados oito cortes nas cotas 0, 20, 40, 60 80, 100,

    120 e 140 metros. A FIG. 7.14 apresenta a tcnica utilizando a FIG. 7.13 c) como exemplo.

    FIG. 7.14 Tcnica de visualizao do espao de trabalho por cotas

    Na FIG. 7.15 so comparados os espaos de trabalho com cabos de massa nula e no-nula

    para CS 10 e 12. Para cada cota, os pontos cheios representam o espao de trabalho para

    cabos de massa nula e os pontos vazios, quando existirem, representam o espao de trabalho

    para cabos de massa no-nula.

    121

  • a) Vistas superiores por cotas para CS 12 a) Vistas superiores por cotas para CS 10FIG. 7.15 Espao de trabalho por cotas para a regio B com o cabo C3 e CS 12

    122

  • Comparando as vistas da FIG 7.14 possvel verificar a expanso do espao de trabalho

    em funo da diminuio do coeficiente de segurana, e consequentemente do aumento do

    limite de fora mxima aplicada aos cabos.

    Outra proposta para se ampliar o espao de trabalho controlvel modificar a posio dos

    pontos de ancoragem. Assim espera-se que um espao de trabalho menor seja aproveitado de

    maneira mais eficiente. Por outro lado, a hiptese de incluso de novos cabos sempre deve

    considerar o custo computacional envolvido.

    Desta forma, percebe-se que a aplicao do cabo C1 no adequada, e em seu lugar opta-

    se pela utilizao do cabo C3 com 22,0mm de dimetro. Os dados de projeto e a especificao

    do cabo utilizado so apresentadas na TAB. 7.4.

    TAB. 7.4 Dados de projeto e especificao do cabo de ao

    Matriz de pontos de ancoragem BAG e BB

    G

    Matriz de pontos de fixao em RL P AL e P B

    L

    Massa da plataforma 400 kg

    Cabo utilizado CIMAF 6x25F+AACI 22,0mm (CS 10)ROCHA, 2009, VERRET, 1997, http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php,

    http://www.helibras.com.br/produtos_det.php?id=1

    Os valores referentes ao cabo C1 so apresentados na TAB. 7.5 para fins de comparao.

    TAB. 7.5 Comparao entre as caractersticas do cabo C1 (CS 12) e C3 (CS 10)

    Cabo C1 16,0 mm Cabo C3 22,0 mm

    Dimetro do cabo 16,0 mm 22,0 mm

    Massa especifica do cabo 1,057 kg/m 2,036 kg/m

    Modulo de Elasticidade do cabo novo 2500 N/mm2

    Modulo de Elasticidade do cabo em uso, considerada a acomodao de pernas e arames

    3000 N/mm2elevao do mdulo em 20%

    Trao de ruptura do cabo 183,4 KN 354,0 KN

    Coeficiente de segurana CS 12 CS 10

    Limites de fora nos cabos fmin e fmax 1,0 KN e 15,0 KN 1,0 KN e 35,4 KNROCHA, 2009, VERRET, 1997, http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php

    123

  • 7.5 TRAJETRIAS

    Nesta seo so apresentadas as trajetrias utilizadas nas simulaes do Espao B com o

    objetivo de analisar o perfil de fora nos cabos. As trajetrias referentes ao espao de trabalho

    A so apresentadas no APNDICE 7. As FIG. 7.16 a 7.18 apresentam todas as dimenses em

    metros.

    7.5.1 TRAJETRIA ELPTICA COM ALTURA VARIVEL

    A plataforma percorre uma curva em forma de sela, obtida a partir de uma elipse

    horizontal centrada no ponto C0=[125 0 50], com altura varivel definida por uma funo seno

    e perodo de 10 minutos. As amplitudes do movimento ao longo das trs direes principais

    no referencial RG so dadas pelo vetor AD=[75 20 10] e a orientao da plataforma mantida

    constante em =0[3x1].

    As Equaes cinemticas da trajetria so apresentadas pelas EQ. 7.10, 7.11 e 7.12.

    r=[C0,1+ AD ,1 cos(A.t ) C0,2+ AD ,2 sen (A.t ) C0,3+ AD ,3 sen (2A.t )]T

    (7.10)

    , onde A=2 / t f e t f=600 seg

    r=[AD,i . Asen (A.t ) AD ,2 . Acos (A.t ) 2. AD ,3 . Acos (2A.t )]T

    (7.11)

    r=[AD ,1 . A2 cos(A.t ) AD ,2 . A2sin (A.t ) 4. AD ,3 . A2 cos(2A.t)]T

    (7.12)

    A FIG. 7.16 apresenta a trajetria elptica definida pelas equaes acima.

    124

  • FIG. 7.16 Trajetria elptica de altitude varivel

    7.5.2 TRAJETRIA ASCENDENTE HELICOIDAL DE RAIO VARIVEL

    A plataforma realiza trajetria ascendente segundo uma helicide elptica, com eixo

    vertical passando pelo ponto C0 da trajetria anterior. Como a plataforma precorre uma hlice

    de raio varivel as amplitudes nas direes principais 0x e 0y AD so dadas por:

    AD=[( Ax ,2Ax ,1r z ,1r z ,2 ) (r z ,1r z(t))+ Ax ,1 ; ( Ay ,2Ay ,1r z ,1r z ,2 )(r z ,1r z( t))+ Ay ,1]T

    (7.13)

    Onde as amplitudes so dadas em funo das distncias ao eixo de rotao inicial e final

    nas direes 0x e 0y, Ax=[25, 50], e Ay=[10, 20] respectivamente, nas altitudes rz=[20, 80],

    todos em metros, para a altitude rz(t).

    A razo de subida mantida constante em vz=1 m/s e a trajetria tem durao de 60

    segundos. O parmetro A definido como 6/ t f , onde tf=60 segundos. As equaes

    cinemticas que definem a trajetria em RG so:

    r=[C0,1+ AD ,1 cos(A.t ) C0,2+ AD ,2 sen (A.t ) C0,3+ vz . t ]T

    (7.14)

    125

  • r=[AD ,1. Asen(A.t ) AD ,2 . Acos(A.t ) vz ]T

    (7.15)

    r=[AD ,1 . A2 cos(A.t ) AD ,2 . A2sin(A.t ) 0 ]T

    (7.16)

    Na FIG. 7.17 apresentada a trajetria da plataforma durante a helicide

    a) Vista isomtrica

    b) Vista superior

    FIG. 7.17 Trajetria ascendente helicoidal de raio varivel

    7.5.3 TRAJETRIA PARABLICA

    A plataforma realiza uma parbola vertical com curvatura negativa, retornando a cota

    inicial e percorrendo toda altitude controlvel do vale. A orientao da plataforma

    126

  • modificada gradualmente representando a inclinao da aeronave durante os trechos

    ascendente e descendente. Aeronaves de asa fixa prprias para este tipo de vo, descrevem

    uma trajetoria deste tipo para simular um ambiente sem gravidade em seu interior. Em relao

    a este caso, embora este tipo de vo no seja realizado por helicpteros, deseja-se explorar a

    trajetria e aceleraes verticais ao longo do espao de trabalho.

    Para definio da parbola foram utilizados trs pontos: posio inicial, vrtice e posio

    final, dados por r0=[105 0 20], rv=[125_0_80] e rf=[145 0 20]. A equao do segundo grau

    z(x)=ax2+bx+c , onde z=rz(t) e x=rx(t). A componente rx(t) representa o movimento uniforme

    na direo 0x. na Assim a plataforma executa uma parbola limitada pelas cotas 20 e 80

    metros durante 45 segundos. A trajetoria dada pelas EQ. 7.17, 7.18 e 7.19.

    r=[ r x t 0 rz t 0 t 0 ]T

    (7.17)

    Onde:

    r x t = r0,1vx . t ;

    v x t = r f ,1r0,1/45 ; e,

    ( t)={02

    .(1cos (Aa. t)) , se t< t a

    0, se t a< t< tb ,e

    02

    .(1cos (Ab .(ttb))) , se t> t b

    ; e,

    0=18 ,

    Aa=2t a

    , Ab=2

    t f t b, t a=0,25t f e t b=0,75t f .

    r=[ vx 0 z t 0 0 ]T

    (7.18)

    r=[ 0 0 z t 0 t 0 ] (7.19)

    A FIG. 7.18 a presenta a trajetria parablica.

    127

  • a) Vista isomtrica

    b) Vista lateral

    FIG. 7.18 Trajetria da plataforma em vo parablico

    128

  • 8 SIMULAES E RESULTADOS OBTIDOS

    Neste captulo so apresentados os resultados das simulaes obtidas para a plataforma e

    slidos de ancoragem definidos no captulo anterior, referentes ao espao de trabalho B.

    8.1 RESULTADOS OBTIDOS A PARTIR DAS TRAJETRIAS

    Para as trajetrias dadas, so apresentadas as curvas de fora, de comprimento de cabo e

    de deformao elstica, para cabos de massa nula como referncia, e para sistemas com cabos

    de massa no-nula nos pontos de fixao e ancoragem. So utilizados os dados da TAB. 7.3.

    Para trajetria elptica, na FIG. 8.1 so apresentadas as curvas de trao nos cabos em

    Newtons, e nas FIG. 8.2 e 8.3 as curvas de comprimento e deformao elstica dos cabos em

    metros. Nos quatro grficos superiores da FIG. 8.1 pode-se verificar que a curva de trao

    para cabos de massa nula inferior as demais. Nos grficos referentes a cabos inferiores esta

    informao no clara devido a inercia da plataforma1.

    1 Em todas as figuras deste captulo, onde se deseje analisar um determinado parmetro referente aos oito cabos simultaneamente, os grficos sero plotados conforme a ordem dada pela FIG. 8.1, do primeiro ao oitavo cabo.

    129

  • FIG. 8.1 - Curva de foras nos cabos na trajetria elptica

    Em ambas as figuras apresentadas possvel verificar que os grficos no apresentam

    uma curva suave. Isto ocorre devido a escolha de vivel na Regio Vivel, quando da

    determinao da soluo linear. As simulaes deste trabalho, Utilizam mdio, a fim de reduzir

    o tempo de execuo do cdigo.

    (MIKELSONS et al, 2008) apresenta o mtodo do baricentro que consiste na

    determinao iterativa de seguro em Rr e da soluo segura para as foras lineares. Em seu

    trabalho, demonstram que a soluo segura apresenta uma distribuio continua e derivvel de

    foras nos cabos.

    A FIG. 8.2 apresenta as curvas de comprimento de cabo.

    130

  • FIG. 8.2 - Curvas de comprimento de cabo na trajetria elptica

    A FIG. 8.3 apresenta as curvas de deformao elstica dos cabos. possvel verificar que

    a deformao do cabo segue a tendncia do produto: trao por comprimento nos cabos.

    FIG. 8.3 - Curvas de deformao elstica nos cabos na trajetria elptica

    131

  • Aqui, utiliza-se e prope-se que a soluo baseada em no ponto mdio da Regio Vivel

    seja utilizada somente para uma anlise preliminar, para observar o comportamento esperado,

    resultante da soluo segura. Analisando qualitativamente os resultados apresentados nas FIG.

    8.1 e 8.3, esperado que a soluo segura de (MIKELSONS et al, 2008) apresente uma curva

    suave e de mesma tendncia, conforme o caso

    Verifica-se que o comprimento de cabos superiores varia entre 140 e 240 metros e de

    cabos inferiores entre 80 e 220 metros. Analisando agora os grficos de deformao elstica,

    tem-se que cabos superiores se deformam em um intervalo de 4,5 e 9,5 metros e cabos

    inferiores entre 2,0 e 7,0 metros. Junto a isto, ainda h o fato de que um cabo de ao apresenta

    acomodao de pernas e arames ao longo de seu uso, variando seu comprimento de 0,5% a

    0,75%. Considerando um comprimento mdio de 190 metros para cabos superiores e de 150

    metros para cabos inferiores, a deformao permanente por acomodao varia entre 0,95 e

    1,425 metros para cabos superiores e 0,75 e 1,125 metros para cabos inferiores. Sobre esta

    deformao permanente ainda haver a deformao elstica devido a trao do cabo. Esta

    variao deve ser considerada ao longo da vida do manipulador, pois pode inserir erros que

    no aparecero para um sistema de controle baseado nas rotaes dos atuadores.

    Os sistemas de controle apresentados em (VERHOEVEN, 2004; FANG, 2005 e

    MIKELSONS et al, 2008) so baseados em cabos ideais e inextensveis, logo podem no ser

    adequados para este caso da maneira como so apresentados. Para resolver este problema,

    sugere-se que a plataforma seja instrumentada de maneira adequada para que a posio seja

    obtida diretamente em relao ao referencial global.

    Para se ter uma viso pontual das foras nos cabos, so plota as posies de dois pontos

    distintos de cada trajetria e suas respectivas foras, segundo a configurao do manipulador

    e dos cabos. Nas FIG. 8.4 a 8.5 so apresentados estes dados para a trajetria elptica.

    esperado que as traes nos pontos de ancoragem mais prximos da plataforma e

    naqueles ligados a cabos mais prximos da direo vertical apresentem tenses mais elevadas.

    Os pontos que formam a catenria so calculados pelas equaes do APNDICE 1, em

    RC e levados para o referencial global, Na FIG. 8.4 so apresentados os valores de trao nos

    cabos, por pontos de fixao e ancoragem, e analogamente para cabos de massa nula, como

    base de comparao.

    132

  • a) Cabos em catenria b) Foras de trao nos cabos

    FIG. 8.4 - Catenrias e tenses na posio inicial da trajetria elptica r=(200, 0, 50)

    possvel verificar que as traes nos cabos superiores apresentam maior afastamento da

    soluo linear, pois sustentam todo o sistema, e que as traes nos cabos 1, 4, 5 e 8 esto mais

    prximas do limite superior de trao, pois estes cabos so mais curtos e abordam a

    plataforma sob ngulos mais prximos da vertical, devendo ser maiores em mdulo para

    compensar sua direo de aplicao. Na FIG. 8.5 so apresentadas as foras para a posio

    r=[72 14 40].

    a) Cabos em catenria b) Foras de trao nos cabos

    FIG. 8.5 - Catenrias e tenses na posio r=[72 14 40] da trajetria elptica

    Segundo (KAWAMURA et al, 1995), em sistemas onde se deseje maiores aceleraes e

    velocidades as tenses devem ser menores, buscando mtodos de otimizao voltadas para a

    133

  • norma mnima na regio vivel, e para sistemas mais rgidos, onde deseje-se evitar problemas

    de vibrao, deve-se buscar traes prximas a seu limite superior. Esta determinao de

    foras se d na escolha do da regio vivel.

    Contudo para manipuladores com cabos em catenria aparece o seguinte problema: Caso

    as tenses sejam buscadas para a plataforma, bastante provvel que as traes nos pontos de

    ancoragem inferiores estejam abaixo do limite inferior de trao. Por outro lado, caso sejam

    buscadas traes que tensionem o sistema como um todo, aumentando sua rigidez

    principalmente para posies prximas do limite inferior do espao de trabalho e quando a

    plataforma esteja sujeita a aceleraes ascendentes, a traes nos pontos de ancoragem

    superiores podero exceder seus limites mximos.

    Voltando a anlise das curvas de fora e comprimento de cabo, nas FIG. 8.6 e 8.7 so

    apresentadas as curvas de foras e deformao elstica para a trajetria helicoidal ascendente.

    FIG. 8.6 - Curvas de foras nos cabos para trajetria helicoidal ascendente

    134

  • FIG. 8.7 - Curvas de deformao elstica nos cabos para trajetria helicoidal ascendente

    E nas FIG. 8.8 e 8.9 as curvas de foras e deformao elstica para o vo parablico:

    FIG. 8.8 - Curvas de foras nos cabos para trajetria parablica

    135

  • FIG. 8.9 - Curvas de deformao elstica nos cabos para trajetria parablica

    As mesmas consideraes feitas para os grficos da primeira trajetria so aplicveis a

    estes casos. Nos grficos de fora da trajetria helicoidal, verifica-se que as traes em cabos

    superiores apresentam uma tendncia de crescimento. Deve-se ter em mente que quanto mais

    elevada a posio, maior o ngulo de inclinao do cabo em relao a vertical e mais o cabo

    deve tracionar a plataforma.

    A tendencia semelhana verificada nas curvas de foras da trajetria parablica devem-

    se a sua trajetria estar localizada no plano de simetria do espao de trabalho e do vale.

    Nas FIG. 8.10 e 8.11 so apresentadas a posio e as traes nos pontos r=[150 0 20] e

    r=[93 12 67] da trajetria helicoidal e na FIG. 8.12 e 8.13 r=[105 0 20] e r=[128 0 77] da

    trajetria parablica

    136

  • a) Cabos em catenria b) Foras de trao nos cabos

    FIG. 8.10 - Catenrias e tenses na posio inicial da trajetria helicoidal r=[150 0 20].

    a) Cabos em catenria b) Foras de trao nos cabos

    FIG. 8.11 - Catenrias e tenses na posio em r=[93, 12, 67]

    Com base no resultado apresentado pela FIG. 8.10, pode-se verificar que a posio da

    plataforma no plano de simetria do espao de trabalho tem como consequncia uma

    configurao de foras, tambm simtrica em cabos superiores e inferiores. Verifica-se ainda

    que, enquanto os cabos de massa nula 1 e 4 apresentam tenses maiores que os Nr 2 e 3,

    ocorre o oposto para cabos de massa no-nula. Este fato coincide com os cabos 2 e 3

    possurem maiores comprimentos que 1 e 4, e em virtude disso maior peso.

    O comportamento dos cabos inferiores com e sem massa so similares, e pode0se atribuir

    este comportamento ao fato de que a maior parte do peso do sistema no ser sustentada por

    estes. Neste caso, ocorre apenas o aumento da tenso devido a aplicao de massa.

    137

  • Para o caso parablico vertical tem-se:

    a) Cabos em catenria b) Foras de trao nos cabos

    FIG. 8.12 - Catenrias e tenses na posio inicial da trajetria parablica em r=[105 0 20]

    a) Cabos em catenria b) Foras de trao nos cabos

    FIG. 8.13 - Catenrias e tenses em r=[128 0 77]

    Na segunda posio apresentada, FIG. 8.13, possvel verificar que apesar das traes

    lineares nos cabos superiores estarem prximas do limite inferior de trao nos cabos, as

    traes da soluo no-linear esto bem prximas de seu limite superior. O baixo valor da

    soluo linear pode ser justificado pelo fato de que esta soluo determinada unicamente

    pelos esforos externos e pela posio da plataforma, no entanto, a soluo no-linear alm

    destas caractersticas apresenta ngulos de aplicao de fora menores em relao a

    horizontal, e sustentam todo o peso do sistema, inclusive dos cabos.

    Assim, caso utilize-se o critrio de verificao das tenses ao longo de todo o cabo, este

    138

  • ponto seria descartado do espao de trabalho controlvel para um pequeno acrscimo de

    acelerao ou inclinao da plataforma.

    8.2 PROBLEMAS ENCONTRADOS DURANTE A OBTENO DO MODELO

    DINMICO E ANLISE DO ESPAO DE TRABALHO

    Inicialmente, (FANG, 2005) prope em seu trabalho que a cinemtica direta seja um

    mtodo de verificao da posio e orientao da plataforma em funo das variveis de

    junta. Contudo este mtodo baseado no modulo do vetor comprimento dos cabos e devido a

    formao de catenria no pode ser implementado.

    Como segundo problema, sabe-se que o Espao de Trabalho com Respeito s Tenses,

    funo somente da razo dos limites de foras mxima e mnima aplicada ao cabo. Sistemas

    com cabos de massa no-nula apresentam modificaes considerveis em relao a

    manipuladores com plataformas pontuais e cabos de massa nula, inclusive com regies onde a

    plataforma, para qualquer que seja sua configurao, poder se comportar como IRPM.

    Devido a manipuladores pontuais com cabos lineares representarem uma pequena minoria dos

    casos, no foram estabelecidas relaes matemticas entre estes casos e o manipulador

    estudado.

    139

  • 9 TRABALHOS FUTUROS

    9.1 SOLUO DE SISTEMAS ALTAMENTE REDUNDANTES

    Neste trabalho no foi possvel obter a soluo do manipulador instalado sob o Hangar de

    Eugne Freyssine (PORTO, 2009) por este caracterizar um sistema altamente redundante. Os

    meios computacionais disponveis no foram capazes de apresentar soluo em tempo hbil,

    devido a grande quantidade de sistemas lineares a serem resolvidos. Desta forma prope-se

    que este caso seja retomado posteriormente, pela otimizao do mtodo de soluo numrica,

    buscando solues que no apresentam um alto custo computacional. (VERHOEVEN, 2004)

    dedica quase que um captulo a manipuladores deste tipo.

    9.2 VIBRAO NO SISTEMA

    O prximo passo neste trabalho seria a incluso da vibrao do cabo em sua direo

    longitudinal. Em seguida, deve-se considerar a vibrao transverso dos cabos, somente no

    plano vertical que o contem. Como consequncia, a plataforma poder ter sua postura

    perturbada em todos os graus de liberdade. Este passo ainda considerado bastante complexo,

    embora (DIAO ET MA, 2009) tenham publicado um artigo sobre vibrao em TBPM. Apesar

    das consideraes feitas neste trabalho esperado que grandes comprimentos de cabo

    apresentem vibraes

    O problema se torna ainda mais importante devido a vibrao dos cabos induzirem

    vibrao, mudana de posio e foramentos sobre a plataforma. Deve-se considerar tambm

    que a massa de grandes comprimentos cabos, pode exceder a massa da plataforma.

    Considerando a analise da trajetria elptica, cerca de 1.300 metros de cabo 22,0m so

    140

  • utilizados. Como a densidade linear deste cabo 2.036 kg/m , tem-se mais de 2.600 kg de

    cabo sendo utilizados, suportando 400 kg de plataforma.

    Desta forma, recomenda-se que a inercia dos cabos, os modos de vibrao e outros

    fenmenos relacionados sejam analisados.

    9.3 SENSAO E PERCEPO

    Considerando uma possvel aplicao deste trabalho em simuladores de vo, um ponto

    que a considerado so os limites de movimento no-perceptveis pelo usurio. Movimentos

    dessa magnitude podem ser necessrios para corrigir uma trajetria ou retornar a plataforma a

    sua posio inicial ou de referncia sem interromper a utilizao do equipamento.

    A compreenso destes limites mximos de velocidade e acerao no-perceptveis podem

    servir de base para a determinao de trajetrias timas de retorno a posio de referncia sem

    que o piloto ou instruendo perceba que a plataforma esteja se movendo.

    9.4 CONSIDERAO DOS PONTOS DE ANCORAGEM COMO POLIAS

    Os pontos de ancoragem reais so definidos pelo ponto de descolamento do cabo da

    polia. Um estudo para aplicao de polias no modelo pode verificar que em para grandes

    espaos de trabalho os pontos de ancoragem podem ser considerados pontuais devido as

    dimenses das polias serem insignificantes e a variao na curva de fora aplicada

    plataforma que causam ser desprezvel.

    Contudo o problema de flexo dos cabos e desgaste por atrito em polias no pode ser

    ignorado, conforme citado em (VERRET, 1997) e (BRUCKMANN et al, 2008)

    141

  • 9.5 IMPLEMENTAO DE UM SISTEMA DE POSICIONAMENTO NA PLATAFORMA

    Referencias amplamente conhecidas como (VERHOEVEN, 2004; FANG, 2005; e

    BRUCKMANN et al, 2008) prope que a plataforma tenha sua posio controlada somente

    pela cinemtica inversa, contudo estes trabalhos consideram cabos ideais. Em um problema

    para grandes espao de trabalho, devem ser considerados principalmente a deformao

    mecnica do cabo, e seus efeitos de acomodao e desgaste. Logo um sistema de

    determinao da posio independente da configurao dos cabos deve ser utilizado.

    Os sistemas de controle baseados no espao de juntas e no espao cartesiano proposto

    para o SEGESTA, podem no se aplicar a este caso por no considerarem os efeitos de

    deformao plstica e acomodao do material.

    9.6 ANALISE DA RIGIDEZ DO SISTEMA QUANTO A MASSA DOS CABOS

    De acordo com (VERHOEVEN, 2004) a rigidez do manipulador em um conjunto

    definido de posies do espao de trabalho deve ser analisada para que se possa determinar o

    comportamento do sistema.

    Dado que a formao de catenria eleva a tenso nos pontos de fixao, esperado que a

    rigidez do sistema seja aumentada, contudo o aumento do comprimento de cabo necessrio a

    curvatura da catenria pode tornar o sistema mais flexvel. A influncia destas duas

    caractersticas devem ser confrontadas.

    142

  • 10 CONCLUSES

    Baseado nos resultados apresentados podem ser tiradas algumas concluses sobre o

    comportamento geral de Plataformas de Stewart acionadas por cabos.

    Inicialmente, analisando os trabalhos de (KAWAMURA et al, 1995; VERHOEVEN,

    2004; OH E AGRAWAL, 2005; FANG 2005; e BRUCKMANN et al, 2008) quanto ao

    posicionamento dos pontos de ancoragem, e conforme foi verificado neste trabalho, sua

    geometria influencia diretamente a magnitude do espao de trabalho controlvel, as

    aceleraes permissveis ao sistema e a orientao da plataforma em diferentes posies.

    Considera-se que a razo de aspecto de qualquer espao de trabalho seja sempre

    R.A.>=1, onde R.A.=1 representa um espao de trabalho uniformemente distribudo. O

    aumento desta razo representa o ndice de esbeltez do slido de ancoragem. Desta forma, a

    razo de aspecto indica a efetividade da direo longitudinal do slido de ancoragem.

    Assim caso se deseje que a plataforma apresente grandes aceleraes em somente uma

    direo, um espao de trabalho alongado deve ser escolhido. Em contrapartida, caso seja

    necessrio priorizar a variao da orientao da plataforma, deve-se optar por um sistema

    eficiente de distribuio de cabos. conveniente mencionar que possvel conciliar estas

    duas caractersticas, contudo esta soluo pode levar a sistemas altamente redundantes, de

    difcil soluo numrica e talvez inviabilizando o controle em tempo real. Ainda assim,

    mesmo em slidos de ancoragem alongados, o posicionamento de cabos em direes

    preferenciais, podem favorecer a movimentao nestas direes.

    Quanto a relao entre a extenso do espao de trabalho, verifica-se que a geometria do

    manipulador determina direes preferenciais de movimento e que a geometria da plataforma

    e o posicionamento dos pontos de fixao em relao ao slido de ancoragem influem

    diretamente sobre a orientao da plataforma no espao de trabalho controlvel.

    Em sistemas puramente translacionais, este problema no to grave, pois a definio

    dos pontos de fixao dos cabos no funo das pretenses de orientao da plataforma.

    Contudo ainda h o problema de que alguma direes so pouco favorecidas quanto ao

    movimento da plataforma.

    143

  • Dos trabalhos de (OH E AGRAWAL, 2005; e MIKELSONS et al, 2007) possvel

    verificar que plataformas alongadas so mais suscetveis a variaes angulares que

    plataformas formadas por polgonos regulares, no entanto caso a plataforma pertena a um

    slido de ancoragem esbelto e ambos estejam dispostos segundo a mesma orientao, o

    sistema se torna ineficaz a rotao recai em um caso quase que puramente translacional.

    Conclui-se ainda que um slido de ancoragem excessivamente alongado pode no

    permitir soluo para o problema, pois a plataforma no poderia ser equilibrada por tal

    configurao de cabos em catenria.

    Outro problema verificado em espaos de trabalho muito alongados ocorre devido a

    plataforma se tornar no-controlvel em determinados sentidos. Caso no se deseje exercer

    estes movimentos, o manipulador aplicvel, contudo deve-se saber que as restries podem

    ser significativas.

    Sabe-se do caso com cabos de massa nula que o maior ngulo de inclinao que uma

    plataforma pode adotar, se aproxima da diagonal formada pelos pontos de ancoragem mais

    prximos da direo pretendida. Sabe-se tambm que devido a formao de catenrias, em

    sistemas com cabos de massa no-nula, esta orientao no pode ser atingida.

    Assim volta-se a questo de cabos extras. Contudo uma soluo de baixo custo em termos

    de limitaes ao movimento da plataforma a aplicao de cabos em pontos de fixao

    coincidentes ou suficientemente prximos como mencionado em (VERHOEVEN, 2004).

    (TRAVI, 2009) tambm apresenta diversas configuraes de plataformas para o caso IRPM,

    onde a mera modificao da geometria da plataforma e pontos de fixao privilegia o

    movimento em determinada direo.

    possvel ainda tecer algumas consideraes sobre as simulaes realizadas. Apesar

    deste comportamento ter sido verificado na trajetria parablica, podem ser feitas algumas

    consideraes a respeito do caso e generaliz-lo. possvel que se possuam posturas externas

    ao espao de trabalho, no entanto estas devem estar relacionadas a altas aceleraes voltadas

    para seu centro. Estas aceleraes asseguram a aplicao de traes acima dos limites

    inferiores. Buscando uma concluso mais geral a cerca do caso, para uma direo qualquer,

    no recomendvel, e talvez nem possvel, que a plataforma apresente aceleraes voltadas

    para o centro do espao de trabalho abaixo de determinado nvel, e nem orientadas para o

    exterior do espao de trabalho, em posies prximas ao seu limite, sob o risco de exceder os

    limites de trao e ter seu movimento interrompido.

    144

  • Conforme mencionado para a regio vivel, interessante que, definido o espao de

    trabalho para cabos de massa no-nula, seja definida uma margem interna a partir do limite

    deste, de modo que a plataforma possa apresentar aceleraes em direes de interesse, de

    acordo com o caso estudado.

    Esta margem obtida definindo-se o espao de trabalho controlvel para manipuladores em

    determinadas posies. Em seguida aplicam-se sucessivamente as aceleraes desejadas e

    armazenam-se os espaos de trabalho obtidos para cada caso. A interseo dos diversos

    espaos de trabalhos indicam a regio que realmente pode ser utilizada para a simulao de

    trajetrias com as aceleraes desejadas. E a regio excluda representa a margem de

    segurana para a simulao.

    Sabe-se que a aplicao de um esforo externo ou de efeitos de inercia sobre a plataforma

    deformam o espao de trabalho no sentido de sua aplicao. No entanto, a existncia de

    aceleraes em uma direo qualquer deforma deforma o espao de trabalho no sentido

    inverso. Logo, h um limite cinemtico, que impede a existncia de aceleraes acima de

    determinados valores para cada posio.

    Pode-se proceder da mesma forma em relao inclinao da plataforma, dada a

    inclinao mxima desejvel em que a plataforma ser posicionada, deve-se gerar o espao de

    trabalho nos dois sentidos de rotao, considerada em um nico eixo, independentemente da

    posio dos demais. A interseo dos espaos de trabalho correspondentes a esta rotao nos

    dois sentidos indica o espao de trabalho controlvel com a margem de segurana sugerida

    para a rotao.

    145

  • 11 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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    150

  • 12 APNDICE

    151

  • 12.1 APNDICE 1: DEFINIES SOBRE FIOS E CABOS EM CATENRIA

    Seja um fio ou cabo qualquer suspenso pelos pontos A e B conforme FIG. 12.1.

    Inicialmente consideram-se os eixos coordenados com origem no vrtice da curva formada

    por este cabo. Sem a ao de outros carregamentos, o cabo toma o aspecto de uma curva que

    ser a funicular de seu prprio peso.

    FIG. 12.1 Modelo simples de cabo em catenria

    As foras aplicadas em um elemento infinitesimal de cabo so:

    a) O prprio peso p= dsn, onde o peso especfico linear do cabo em N/m; e,

    b) As foras axiais em suas extremidades.

    Para a obteno das equaes de equilbrio so feitas as seguintes consideraes:

    a) No existem quaisquer outras foras externas atuando sobre o cabo, e

    b) O cabo adotar sempre a configurao de equilbrio esttico.

    Neste trabalho, os parmetros relativos aos cabos do manipulador, como trao ao longo

    de seu comprimento e direo de aplicao da fora nos pontos de fixao e ancoragem, so

    determinados em relao a sua posio de equilbrio esttico. Modos de vibrao e outros

    fenmenos relacionados no sero analisados.

    Dividindo-se o cabo esttico em segmentos infinitesimais ds, tem-se segmentos com peso

    ds, e cujo equilbrio do cabo quando dsn0 , tende para a prpria curva assumida pelo seu

    peso, chamada catenria.

    Na FIG. 12.2 so apresentados os ngulos de inclinao e as traes axiais nas

    extremidades do cabo T1 e T2.

    152

  • FIG. 12.2 Catenria sujeita ao prprio peso

    12.1.1 EQUAES GERAIS DOS FIOS E CABOS

    Seja o fio S no espao, sujeito a tenses T1 e T2 em suas extremidades e a uma fora f por

    unidade de comprimento de componentes fx, fy e fz. Seja tambm um elemento infinitesimal de

    S, AB=ds , onde l, m e n so os cossenos diretores de TA em A. Considera-se que essas

    grandezas variaro infinitesimalmente ao longo de AB , de acordo com a FIG. 12.3.

    FIG. 12.3 Representao das foras aplicadas sobre um elemento infinitesimal de cabo

    Para o equilbrio no caso tridimensional, pode-se escrever

    X : f x ds TdT ldl Tl=0 (12.1)

    desprezando-se o termo de 2 ordem e procedendo-se de maneira anloga para as direes

    0y e 0z, tem-se:

    153

  • f x ds=l dTT dl=d Tl (12.2)e

    { f x=dds

    Tl

    f y=dds

    Tm

    f z=dds

    Tn

    (12.3)

    No plano que contem a catenria, tem-se apenas as equaes referentes a 0xy.

    { f x= dds Tl f y= dds Tm (12.4)A Catenria caracterizada como sendo o caso particular em que o cabo esteja contido

    em um nico plano e sujeito somente ao prprio peso. Fixando o eixo 0y paralelo a direo da

    gravidade, de acordo com a FIG. 12.3, so obtidas as seguintes equaes de equilbrio:

    {d T cos =0d T sen =ds (12.5)Onde:

    T cos=c te=H (12.6)

    que a componente horizontal de trao no cabo, e:

    d sencos T cos=ds ou d y ' H =ds (12.7)A EQ. 12.8 descreve a Equao Geral de Curvatura da Catenria:

    154

  • y ' '=H

    dsdx=

    H 1 y '

    2(12.8)

    Assim para as consideraes feitas, a Equao geral de fios e cabos, recai sobre a Equao

    da catenria.

    12.1.2 ESTUDO PARTICULAR DA CATENRIA

    Considerando a razo a=H / constante e para as condies iniciais x=0 e y'=0, a EQ.

    12.8 apresenta como soluo a EQ. 12.9:

    y=a cosh xa (12.9)Desta forma, um cabo suspenso pelos pontos A e B, conforme FIG. 12.1, descrito

    matematicamente pela EQ. 12.9 e representado graficamente pela FIG. 12.4.

    FIG. 12.4 Modelo de catenria fixa em dois pontos

    Sendo conhecidos: o peso especfico do cabo, a fora horizontal aplicada ao longo da

    catenria e seus pontos de A e B, possvel determinar todos os outros parmetros envolvidos.

    Considerando um trecho de cabo, entre dois pontos quaisquer x1 e x2, de acordo com a

    FIG. 12.5 , so determinadas as distncias horizontal e vertical entre seus pontos de apoio,

    respectivamente l e d.

    155

  • FIG. 12.5 Determinao das distancias horizontal e vertical entre pontos de fixao e de ancoragem da catenria

    Estas distncias, em funo dos pontos inicial e final do cabo, so dadas:

    l=x2 x1 ; e, (12.10)

    d=y2 y1 , (12.11)

    Ao longo deste trabalho, considera-se sempre que, para a soluo do espao de trabalho

    com cabos flexveis de massa no-nula, tem-se x2>x1.

    Assim , l, d e H so dados do problema, pois:

    a) l e d so as distncias entre os pontos de fixao e de ancoragem do manipulador

    em determinada posio, para cada cabo, pois sendo conhecida a posio da

    plataforma e dos pontos de ancoragem, possvel obter x1 e x2 no referencial RC de

    cada cabo;

    b) peso por unidade de comprimento do cabo, sendo dado de projeto; e,

    c) H corresponde a fora horizontal do cabo, obtida da trao no cabo

    Dados , l, d e H, os pontos x1 e x2 so determinados. Para isso recorre-se as EQ. 12.9 e

    12.11, de onde obtm-se:

    cosh x1la cosh x1a da=0 (12.12)Resolvendo-se esta equao em x1, obtm-se o ponto inicial e conseqentemente o ponto

    final da catenria pela EQ. 12.10.

    Em relao ao ngulo de inclinao do cabo com a horizontal, sabe-se que a tangente do

    156

  • ngulo que o cabo faz com a horizontal em determinado ponto corresponde a derivada dydx

    .

    Derivando a EQ. 12.9 obtm-se a EQ. 12.13:

    y=acosh xa dydx=senh xa (12.13)

    Como dydx=tg :

    tg =senh xa (12.14)A trao em um ponto qualquer da catenria dada em funo da componente horizontal

    pela EQ. 12.15

    T x =H

    cos x (12.15)

    O comprimento de cabo entre dois pontos distintos x1 e x2, obtido pela aplicao da EQ.

    12.16 em 12.13 resultando em 12.17.

    Analisando a FIG. 12.1 quanto ao elemento infinitesimal de cabo, tem-se que:

    ds=dx2dy21/2 dsdx=1 dydx

    21 /2

    (12.16)

    dsdx=1senh2 xa

    12 (12.17)

    Aplicando a relao fundamental da trigonometria hiperblica cosh2(x)-senh2(x)=1 na

    EQ. 12.17, tem-se:

    157

  • dsdx=cosh xa (12.18)

    Integrando a EQ. 12.18, entre os pontos x1 e x2 obtm-se a expresso do comprimento de

    cabo em catenria, em funo da trao no cabo e das posies inicial e final x1 e x2 que so

    definidos pelas distncias l e d.

    s=asenh x1la senh x1a (12.19)

    12.1.3 FUNDAMENTAO TERICA PARA CABOS ELSTICOS

    Considerando que o cabo se comporte como um material elstico linear, a deformao

    longitudinal ao longo de seu comprimento deve ser determinada para que possa ser

    compensada pelo atuador, e este manter a posio da plataforma.

    Para se determinar a tenso em qualquer ponto do cabo entre x1 e x2, recorre-se a EQ.

    12.14 e 12.15.

    Da trigonometria tem-se que: 1

    cos2=1tg2 , logo:

    T x =H cosh xa (12.20)A EQ. 12.20 fornece T(x), no entanto para o calculo da deformao do cabo, necessrio

    que se obtenha a expresso da trao no cabo em funo do comprimento de cabo, dado por

    T(s).

    O comprimento de cabo, do vrtice da catenria at um ponto x qualquer pode ser obtido

    por 12.21 como:

    158

  • S x=a.senh xa (12.21)Utilizando a Equao Fundamental da Trigonometria Hiperblica e a razo a=H / , as

    EQ. 12.20 e 12.21 podem ser reescritas como:

    T s =a2s2 (12.22)

    Que a expresso da trao em funo do comprimento de cabo partir do vrtice.

    De (HIBELLER, 1997), tem-se que a deformao axial elstica de um elemento material,

    respeitado o Princpio de Saint-Vernant, dada por:

    d =T s dsA sE

    (12.23)

    A rea da seo transversal do cabo considerada constante, devido a pequena variao

    que apresenta em relao a deformao axial do cabo. Integrando a equao acima em um

    trecho s1 s2 , obtm-se a deformao elstica do cabo sujeito a trao T(s):

    L=s1

    s2 T s AE

    ds (12.24)

    Recorrendo as EQ. 12.22 e 12.24 obtm-se:

    L= AEs1

    s2

    a2s2 ds (12.25)

    A deformao axial do cabo dada unicamente por esforos axiais, e por se tratar de um

    cabo em catenria, a expresso da trao deve estar em funo do comprimento de cabo.

    Assim os esforos e as deformaes no cabo, embora sujeito a um carregamento transversal,

    so caracterizados unicamente como axiais.

    Aplicando a razo a=H / e as EQ. 12.18 e 12.21. em EQ. 12.25 obtm-se a expresso

    159

  • de L em funo de x1 e x2:

    L=aAEx1

    x2

    cosh 2 xa dx (12.26)Por fim, integrando a EQ. 12.26 obtm-se a EQ 12.27 da deformao elstica linear do

    cabo, em funo de l e x1:

    L=H

    4 AE a[ senh 2 x1l a senh 2 x1a ]2 l (12.27)

    12.1.4 EQUAES FUNDAMENTAIS PARA GRANDES ESPAOS DE TRABALHO

    Assim so obtidas as Equaes Fundamentais com Respeito a Cabos Flexveis, para a

    soluo do problema de determinao de grandes espaos de trabalho. Embora a figura FIG.

    12.5 ilustre bem o comportamento geral de uma catenria, exceto em algumas posies da

    plataforma em manipuladores CPRM e RRPM, o cabo se apresentar segundo uma funo de

    posio monotnica e estritamente crescente, de acordo com a FIG. 12.6.

    FIG. 12.6 Modelo de cabo em catenria para determinao do espao de trabalho

    Reescrevendo as equaes desenvolvidas nas sees 12.1.2 e 12.1.3 na tabela de formulas

    abaixo, e sabendo que para as consideraes adotadas na seo 12.1.2 todos os parmetros so

    determinados em funo de , l, d e H tem-se:

    160

  • TAB. 12.1 Equaes Fundamentais com Respeito a Cabos Flexveis para Grandes Espaos de Trabalho

    Expresso EQ. Dados obtidos

    1 a= h ; obtm-se a

    2 tan =senh xa ; (12.14) obtm-se 1 e 2

    4 cosh x1l

    acosh

    x1a

    da=0 ; (12.12) obtm-se x1 e por (12.10), x2

    5 T (x )=h

    cos ( ) ; (12.15) obtm-se T1 e T2

    6 s=asinh x1la sinh x1a . (12.19) obtm-se S7 L= h

    4 AE (a[senh ( 2 (x1+ l )a )senh( 2 x1a )]+ 2 l) (12.27) Deformao elstica longitudinal do cabo

    161

  • 12.2 APNDICE 2: DEMONSTRAO DA OBTENO DA MATRIZ DE ROTAO

    Rp(x)

    Para o sistema de coordenadas XYZ, deseja-se realizar a rotao de em torno do eixo

    Z, em torno do eixo Y e em torno do eixo X. Assim representando-se cada rotao como

    bidimensional de r1 para r2, matematicamente dada por r2=Ri(x).r1 , tem-se:

    R zx=[cos sen 0sen cos 00 0 1]Ry x=[ cos 0 sen 0 1 0sen 0 cos]R x x=[1 0 00 cos sen 0 sen cos ]

    Considerando dois referenciais, um fixo XYZ e outro mvel xyz, inicialmente

    coincidentes, e que o vetor r1 constante em xyz, a rotao de em torno do eixo z para

    obteno de r2 no referencial fixo e obtida por r2=Rz(x).r1. Observar que a rotao se d no

    eixo z do referencial mvel.

    As rotaes em torno dos eixo y e x so obtidas rotacionando-se r1 nos eixos do

    referencial mvel, de acordo com a seqncia ZYX. As rotaes so ilustradas na FIG. 12.7:

    FIG. 12.7 Representao de rotaes tri-dimensionais na seqncia ZYX

    162

  • Para a sequncia de rotao ZYX, tem-se a matriz de rotao Rp(x)=Rz(x).Ry(x).Rx(x)

    dada por:

    Rp x=[ CC CS SSC C S CS SSC S S SCC S SCC SS C S C C ]

    163

  • 12.3 APNDICE 3: DEMONSTRAO DA DERIVADA DA MATRIZ DE ROTAO

    Rp'(x)

    Existem duas maneiras de se obter a derivada temporal de Rp(x):

    1. por derivao direta de Rp(x);

    2. pela derivada das matrizes de rotao Rx(x), Ry(x) e Rz(x).

    Pelo segundo caso obtem-se como resultado final a soluo direta do primeiro.

    Seja Rp(x)=A, Rz(x)=B, Ry(x)=C e Rx(x)=D; logo, A=B.C.D. Assim

    A=BC DB C DBC D . Em B , C e D aparecem os termos , e

    respectivamente e desta forma pode-se considerar A como sendo:

    A1 =B C D ;

    A2 =B C D ; e,

    A3 =B C D ,

    e a derivada A=A1 A2 A3

    (escrevendo a soluo por colunas)

    Rp'(x)= SC . CS .

    CC .SS . C .

    SS SCC. CC S . CS CSS. C S SSC. SC S . SS CCC. S S . C C .

    S S CC S. CCC . CS SSC. C S CSS. SCC . SS SCC. S C .C S .

    164

  • 12.4 APNDICE 4: DEMONSTRAO DE =Hb-1 .

    Determinao da velocidade angular da plataforma e da matriz de transformao Hb-1.

    Deseja obter a matriz Hb-1, para obteno de , por meio da equao:

    =Hb-1 .

    Por conveno a aspa aps o vetor indica que este se encontra no referencial local (ou

    mvel) na plataforma. Dados os referenciais global (XYZ) e local (xyz)', tem-se para um

    ponto P fixo na plataforma (ou seja, fixo no referencial mvel xyz'):

    FIG. 12.8 Representao do referencial local.

    Assim pode-se obter a posio de P no ref.

    global por:

    rP=r+sP, sendo sP=Rp(x).sP'

    sabe-se que Rp(x)=A e A=B.C.D.

    Tem-se as equaes:

    (I) rP=r+A.sP' , onde sP' um vetor constante fixo em xyz'.

    Derivando a equao (I):

    (II) r P= r+ AsP ' .

    tem-se que: sP' = A-1.sP .

    como a matriz A ortogonal (A-1=AT) e sP'=AT.sP.

    Aplicando (I) em (II):

    (III.a) r P= r+ A ATsP

    Valendo-se ainda que A ortogonal, AAT=I. Derivando esta relao, obtm-se

    A ATA AT=0 e A AT=A AT= A AT T . Este termo demonstra que A AT uma matriz

    165

  • anti-simtrica e pode ser representada por que a matriz anti-simtrica associada a um

    vetor .

    Reescreendo (III.a) na forma da matriz obtem-se:

    (III.b) r P= r+ sPSabe-se ainda que a multiplicao matricial sP corresponde ao produto vetorial

    x sP , na forma da matriz anti-simtrica associada , assim a equao (III) passa a ser

    escrita na forma:

    (IV) r P= r+ sP , que a equao geral do movimento de um corpo rgido, logo ,

    de fato, a velocidade angular da plataforma considerada como um corpo rgido.

    Analisando a equao geral do movimento e comparando as equaes (III.a) e (IV)

    verifica-se que:

    (V) A AT=

    e que como o termo s p de (III.b) e s p de (IV) representam a componente do

    movimento rotacional do sistema local em relao ao referencial fixo e obtido a partir

    das componentes da equao (V).

    Aplicado a plataforma, representa sua velocidade angular no referencial global.

    (VI) Recorrendo-se a notao A=B.C.D, somente os termos correspondentes ao vetor

    associado a matriz anti-simtrica so calculados

    =A AT=A1 AT A2 A

    T A3 AT

    [xyz ]=[32 1321]=[

    A1 AT32 A2 A

    T32 A3 A

    T32

    A1 AT13 A2 A

    T13 A3 A

    T13

    A1 AT21 A2 A

    T21 A3 A

    T21][]

    Desta forma obtm-se H b1 :

    H b1=[0 S C C 0 C S C 1 0 S ]

    e sua derivada:

    (H b1)=[0 C . S C . C S .0 S . C C . S S .0 0 C . ]Ou seja, a partir das velocidades angulares no referencial local, obtm-se os omegas no

    referencial global.

    166

  • 12.5 APNDICE 5: APLICAO DA SERIE DE TAYLOR PARA OBTENO DA

    CONFIGURAO CINEMTICA DA PLATAFORMA

    Teorema (Formula de Taylor com Resto): Seja f(x) e suas n+1 derivadas definidas e

    continuas no intervalo I definido xaR . Ento, para todo x na EQ. 12.27, tem-se:

    f x =k=0

    n f k x k !

    xa kRnx (12.27)

    onde,

    Rn x =1n !a

    x

    xt nf n1t dt (12.28)

    A Serie de Taylor em geral representada por uma serie finita de n termos gerada pelo

    somatrio da EQ. 12.27. Rn x o erro de truncamento associado a srie normalmente

    compensado pela utilizao de um mtodo numrico adequado.

    Sabe-se tambm que, obedecida a condio de existncia dada no Teorema, a Srie de

    Taylor capaz de obter o (i+1)-simo ponto f x a partir do i-simo ponto f a , desde que

    x esteja na vizinhana de a

    Assim so obtidas as Sries para:

    n=0;

    n=1; e,

    n=2.

    Para n=0:

    f x =f a0 !

    xa 0 10 !a

    x

    xt 0 f ' xdt

    167

  • f x = f aa

    x

    f ' x velocidade

    dt (x=f(v)) (12.29)

    Para n=1:

    f x =f a0 !

    xa 0 f ' a1 !

    xa 1 11!a

    x

    xt 1 f ' ' xdt

    f x = f a f ' a xa a

    x

    xt f ' ' x acelerao

    dt (x = f(a)) (12.30)

    Conforme indicado nas sries 12.29 e 12.30 para n=0 e n=1, supondo:

    a=t 0 e x=t1 , ou seja, os instantes inicial (i-simo) e final (i+1-simo)

    f t =s t , f ' t =v t e f ' ' t =a t

    Inicialmente desenvolvendo a srie para n=0:

    t 0

    t 1

    vt =s t 1s t 0

    1 ) Supondo v(t) =cte em t 0tt 1 , v t =vk

    t 0

    t 1

    vk dt=s t 1 s t 0 vk=s t1 s t 0

    t 1 t0

    Verifica-se aqui que v( t 0) vk v (t 1) , onde v t0 a condio inicial. Assim

    podem ser feitas duas consideraes simples a respeito de vk

    A ) vk=v t1

    v t1=s t1 s t 0

    t 1 t0(12.31)

    168

  • B ) vk=v t1v t 0

    2

    v t1v t 0

    2=

    s t1 s t 0t 1 t0

    v t1=2 s t1 s t 0

    t 1 t 0 v t0 (12.32)

    2 ) Supondo v t =atb , em t 0tt1

    t 0

    t 1

    atb dt=s t1 s t 0 onde t=t 0v t 0=a t0bt=t1 v t1=a t 1b

    a=v t1 v t 0

    t1 t 0 e b=

    v t0t1 v t 1t 0t 1 t 0

    Aplicando a e b na equao v(t)=a.t+b, obtm-se o mesmo resultado para a aproximao

    linear em torno de vk=cte.

    v t 1=2 s t1 s t 0

    t 1 t 0 v t 0 (12.33)

    No possvel obter uma aproximao de 2 grau para v(t) conhecendo-se somente t 0 e

    t 1 , pois no existem condies iniciais suficientes.

    Agora desenvolvendo a srie para n=1:

    s t 1 s t 0 v t 0t 1 t 0=a

    x

    a t t 1 t dt

    1 ) Supondo a(t) =cte em t 0tt 1 , v t =ak

    169

  • t 0

    t 1

    ak xt dt=akt 1. t t 2/2 t0t1

    =akt 1 t1 t 0 t12 t02 2 s t 1 s t 0 v t 0t 1 t 0=ak

    t 1 t 0 2

    2

    A ) ak=a t1

    a t 1=2

    t 1 t 0 2 s t 1 s t 0 v t 0t 1 t0 (12.34)

    B ) ak=a t1a t 0

    2

    a t 1=4

    t 1 t 0 2 s t 1 s t 0 v t 0t 1 t0 a t0 (12.35)

    2 ) Supondo a(t) = a.t + b, em t 0tt 1

    t 0

    t 1

    atb t 1 t dt=a t 33 a .t 1b t2

    2b .t 1t

    t0

    t1

    s t 1 s t 0 v t 0t 1 t 0=a3 t 1

    3 t 03

    a t1 b 2 t 1

    2 t 02 b t 1 t1 t 0

    De acordo como foi desenvolvido para a velocidade:

    t=t0 at0=a t 0bt=t1 at1=a t 1b

    , logo: a=a t 1 a t 0

    t 1 t 0 e b=

    a t 0t 1 a t 1t 0t 1 t 0

    Aplicando na equao acima e desenvolvendo o resultado analtico, obtem-se:

    170

  • a t 1=6

    t 1 t 0 2 s t 1 s t 0 v t 0t 1 t0 2a t 0 (12.36)

    As equaes (VII) e (X) (aproximaes lineares de v(t) e a(t) ) podem ser modificadas

    para obteno de v t 1 e s t 1 a partir de a t 1 e condies iniciais:

    v t1=a t1a t 0

    2 t 1 t0 v t0 (12.37)

    s t 1=s t 0v t 0t 1 t0a t12a t 0t 1 t0

    2

    6(12.38)

    171

  • 12.6 APNDICE 6: ESPAOS DE TRABALHO PARA MANIPULADORES COM CABOS

    DE MASSA NULA

    Neste Apndice so apresentados os espaos de trabalho gerados para os casos discutidos

    na Seo 7.4.1. Aqui so apresentados os Espaos de Trabalho Lineares para os cabos 1, 2, 3 e

    4, com CS=12, conforme citados na TAB. 7.3

    O passo entre os pontos de varredura de 25 metros.

    a) Vista isomtrica b) Vista Lateral

    c) Vista Frontal d) Vista Superior

    FIG. 12.9 Espao de trabalho linear para o Cabo C1, com CS=12

    172

  • a) Vista Isomtrica b) Vista Lateral

    c) vista Frontal d) Vista Superior

    FIG. 12.10 Espao de trabalho linear para o Cabo C2, com CS=12

    a) Vista Isomtrica b) Vista Lateral

    c) Vista Frontal d) Vista Superior

    FIG. 12.11 Espao de trabalho linear para o Cabo C3, com CS=12

    173

  • a) Vista isomtrica b) Vista Lateral

    c) Vista Frontal d) Vista Superior

    FIG. 12.12 Espao de trabalho linear para o Cabo C4, com CS=12

    174

  • 12.7 APNDICE 7: TRAJETRIAS PROPOSTAS E ESPAO DE TRABALHO A

    ESPERADO

    O espao de trabalho A apresentado de forma esquemtica, baseado no resultado

    esperado para o espao de trabalho linear e no-linear.

    Na FIG. 12.13 so apresentadas as vistas do espao A.

    a) Vista isomtrica do slido de ancoragem b) Vista frontal

    c) Vista lateral d) Vista superior

    FIG. 12.13 Vistas do Espao de Trabalho A esperado

    A FIG. 12.13 a) apresenta a vista isomtrica do slido de ancoragem. Na vista frontal do

    espao de trabalho, a regio tracejada representa o provvel espao de trabalho controlvel na

    seo transversal central ao hangar e as linhas continuas os limites do espao de trabalho com

    soluo homognea. Nas FIG. 12.13 c) a linha continua com pontos indica o espao de

    trabalho com soluo homognea e a linha interna o espao de trabalho controlvel. Em d) as

    linhas continuas com pontos e quadrados indicam os limites do espao de trabalho inferior e

    175

  • superior para soluo homognea e a elipse a vista superior do espao de trabalho controlvel.

    Para o Espao de Trabalho A, interior ao Hangar, so propostas as seguintes trajetrias:

    1) Vo pairado: O movimento se inicia e termina com velocidade nula, mantendo

    acelerao constante de 2,5m/s2 em intervalos de tempo no incio (ta=0 a 4s) e trmino (tb=16

    a 20s) da trajetria, segundo uma reta horizontal contida no plano 0xz, longitudinal ao hangar,

    com posio inicial em C0=[60 0 20]. Considera-se velocidade de cruzeiro da plataforma

    como vx=10m/s. Todo o percurso leva 20seg.

    As Equaes cinemticas da trajetria so apresentadas a seguir.

    r=[ x t 0 20 ]T

    Onde:

    x t ={vx / 2 t a. t2 , se tt a

    vx .ta /2vx . tt a , se ttbvx .ta /2vx . t b t avx .ttb vx /2 t a .tt b , se tt b

    r=[ vx / t a . t vx vxvx / t a .tt b]T

    r=[ vx / t a 0 vx / t a ]T

    176

  • a) Vista isomtrica

    b) Vista Superior

    FIG. 12.14 Trajetria da plataforma vo pairado

    2) Decolagem parablica: Partindo da posio inicial C0=[40 0 5], a plataforma se

    movimenta com velocidade horizontal constante vx=12m/s e descreve uma parbola

    ascendente segundo a equao z(x)=0,0002914x2+0,0099068x+4,9300699 no plano 0xz. O

    percurso dura 20 segundos. Visando reproduzir a decolagem de uma aeronave, a plataforma

    inicia seu movimento com um ngulo de rotao em 0y nulo, se inclina para frente at

    determinado ponto e diminui este ngulo a medida que percorre o hangar. As equaes

    cinemticas deste caso so:

    r=[C0,1vx . t 0 z t 0 t 0 ]T

    Onde:

    t ={6 . t / t a , se tt a 6

    18. t /t ft a

    6

    .t f18

    . t a/t f ta , se tt b

    177

  • r=[ vx 0 z t 0 t 0 ]T

    r=[ 0 0 z t 0 t 0 ]T

    a) Vista isomtrica

    b) Vista Lateral

    FIG. 12.15 Trajetria da plataforma Decolagem parablica

    3) Trajetria senoidal no plano vertical: Aqui a plataforma percorre um seno, novamente

    contido no plano 0xz, com nvel mdio constante em 15 metros de altura, e a inclinao da

    plataforma tende a seguir a superfcie da curva, variando ao longo da trajetria em torno do

    eixo 0y'. O percurso dura 10 segundos partindo da posio C0=[50 0 15]. A inclinao da

    plataforma segue a funo t =18

    . cos 4tt f. .

    As equaes cinemticas so:

    r=[C 0,1vx . t 0 C0,35 sen 4 tt f 0 t 0 ]T

    178

  • r=[vx 0 20/ t f . sen 4 tt f 0 t 0]T

    r=[0 0 80 / t f 2. sen 4tt f 0 t 0]T

    a) Vista isomtrica

    b) Vista lateral

    FIG. 12.16 Trajetria da plataforma Trajetria senoidal no plano 0xz

    Para o Espao de Trabalho B, dito em um vale com encostas regulares, so consideradas

    trajetrias que exploram o movimento vertical da plataforma, enquanto que no caso anterior o

    deslocamento longitudinal foi privilegiado. Estas caractersticas do Espao de Trabalho em

    funo de sua geometria devem ser levadas em considerao no projeto. Em todos os casos

    so apresentadas as posies da plataforma ao longo do percurso e as curvas de fora geradas

    nos cabos nos pontos de fixao e ancoragem, e comparadas com a soluo para cabos de

    massa nula.

    179

  • 13 ANEXO

    180

  • 13.1 ANEXO 1: CARACTERISTICAS BSICAS DE CABOS DE AO

    Nesta seo so apresentadas as informaes bsicas sobre fabricao e utilizao de

    cabos de ao.

    Como Construo definem-se:

    a) Nmero de pernas e arames do cabo;

    b) Tipo de Alma: em geral de fibra ou ao;

    c) Toro;

    d) Lubrificao;

    e) Pr-formao;

    f) Acabamento;

    g) Resistncia dos arames a trao; e,

    h) Carga de trabalho e fatores de segurana.

    Estes fatores especificam um cabo de ao, normalmente sendo exigidos em um pedido

    pelo fabricante. Cada caracterstica de construo citada acima ser descrita agora.

    Um cabo de ao (rope) composto por pernas (strands) e estas por arames (wires). O

    enrolamento dos arames compe uma perna e o enrolamento das pernas em torno da alma do

    cabo formam o cabo de ao. A alma do cabo pode ser de material plastico ou simplesmente

    por outra perna ou cabo de ao. A FIG. 13.1 apresenta um esquema de cabo de ao.

    a) 1. cabo; 2. arame; 3. perna; 4. almab) seo transversal do cabo 6x19S+AF 6 pernas; 19 arames por pernas e alma de fibra

    FIG. 13.1 Esquema de cabo de ao e seus elementos (VERRET ,1997)

    181

  • Cabos comuns apresentam as seguintes propriedades quanto a caracterstica de

    construo das pernas externas em relao a sua aplicao:

    a) 6x7 possuem baixa flexibilidade e alta resistncia a abraso, e devido a rigidez

    recomenda-se cautela na especificao do tambor;

    b) 6x19 e 6x25 so cabos de uso geral;

    c) 6x36 e 6x41 so cabos mais flexveis, contudo possuem baixa resistncia a

    abraso, sendo recomendados para sistemas com tambores e polias; e,

    d) 8x19 so especficos para elevadores de passageiros.

    A alma do cabo consiste do ncleo onde as pernas externas so enroladas. Basicamente

    so: de Fibra, sendo mais flexvel e menos resistente a esforos e calor, normalmente no

    podendo ultrapassar 80C; e de ao, que so um cabo de ao central envolto por pernas

    externas. A CASAR SPECIAL ROPES fornece cabos resistentes a rotao, problema comum

    em cabos de ao, onde o sentido de enrolamento da alma de ao oposto ao sentido de

    enrolamento do cabo (entende-se por enrolamento do cabo o sentido de enrolamento das

    pernas externas). A FIG. 13.2 c) apresenta a seo transversal de um cabo de ao especial

    resistente a rotao.

    a) alma de fibra b) alma de ao c) cabo resistente a rotao

    FIG. 13.2 Seo transversal de cabos de ao (VERRET ,1997)

    Toro a configurao dos cabos quanto ao enrolamento dos arames e pernas. Existem

    quatro configuraes de toro diferentes, podendo ser: regular ou lang; e a esquerda ou a

    direita. No Brasil tambm utilizam-se como indicativos SS, SZ, ZS e ZZ, de acordo como

    desenho formado per pernas e arames. Em ingls classificam-se como ordinary lay quando

    os arames externos so longitudinais e lang lay quando formam ngulo com o eixo do

    cabo. A FIG. 13.3 apresenta os tipos de toro.

    182

  • a) TRD b) TRE c) TLD d) TLE

    FIG. 13.3 - Tipos de toro (VERRET ,1997)

    Quanto a lubrificao, deve-se informar sob que condies o cabo ser utilizado: se em

    ambientes salinos, sujeitos a intempries ou condies climticas severas, poeira, e qual a

    temperatura de operao.

    A pr-formao ou pr-esticamento do cabo o processo de trao do cabo prximo ao

    limite de ruptura para acelerar a acomodao das pernas e arames em torno da alma,

    diminuindo sua deformao estrutural ao longo do perodo de vida til. Dependendo do uso,

    este fator se torna mais ou menos relevante. Aqui, como a posio da plataforma controlada

    pelo ngulo de enrolamento do tambor, o esticamento do cabo compromete o sistema de

    controle. De acordo com a Apostila Tcnica CIMAF, aps a acomodao por uso o cabo sofre

    aumento de seu comprimento de 0,50% a 0,75% e do mdulo de elasticidade em 20%. Devido

    a estas caractersticas recomenda-se que a plataforma seja instrumentada a fim de fornecer sua

    posio ao sistema de controle.

    O acabamento do cabo, embora esteja mais voltado para o ambiente de uso, tambm esta

    relacionado a resistncia superficial do cabo durante o enrolamento, onde ocorre atrito e

    acomodao do material. Dependendo do nmero de arames e geometria das polias e

    tambores estas caractersticas se tornam mais severas, causando desgaste precoce do material.

    (VERRET, 1997) apresenta um grfico que relaciona o nmero de ciclos com a razo entre o

    dimetro nominal do cabo e dimetro da polia, e ainda orienta sobre o sentido de enrolamento

    do cabo em tambores.

    183

  • a) Curva: cabo x polia a) Tambor direitaCabo esquerda

    b) Tambor esquerdaCabo direita

    FIG. 13.4 Recomendaes de enrolamento no tambor segundo dimetro da polia e sentido de toro do cabo (VERRET, 1997)

    Verifica-se pela FIG. 13.4 a) que h um ponto de timo na razo cabo x polia. Outra

    caracterstica quanto ao acabamento do cabo a conformao mecnica da superfcie externa.

    Segundo (VERRET, 1997) cabos com pernas compactadas apresentam menor atrito e

    consequentemente menor abraso entre as pernas, diminuio do rudo durante o enrolamento

    no tambor e apresentam caractersticas de pr-esticamento devido a conformao do material.

    A FIG. 13.5 compara as pernas convencional e compactada.

    FIG. 13.5 Comparao entre pernas convencional e compactada (VERRET, 1997)

    A resistncia mecnica dos arames, cargas de trabalho e fatores de segurana, so os

    parmetros que definem o cabo que ser utilizado. A CIMAF CABOS S.A. fabrica cabos com

    arames com resistncia a trao nominal de 160 a 220 Kgf/mm2 segundo a denominao de

    ao utilizado (I.P.S., E.I.P.S. e E.E.I.P.S.) e apresenta uma tabela com os coeficientes de

    segurana para as principais aplicaes industriais. A TAB. 13.1 apresenta os coeficientes de

    segurana por aplicao.

    184

  • TAB. 13.1 Coeficientes de segurana aplicados a cabos de ao

    Aplicao Coeficiente de SeguranaCabos e cordoalhas estticas 3 a 4

    Cabo para trao na horizontal 4 a 5

    Guinchos, guindastes e escavadeiras 5

    Pontes rolantes 6 a 8

    Talhas eltricas e outras 7

    Guindastes estacionrios 6 a 8

    Laos 5 a 6

    Elevadores de obras 8 a 10

    Elevadores de passageiros 12http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php

    185

  • 13.2 ANEXO 2: ESPECIFICAO DE CABO POR APLICAO

    (http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php)

    186

  • 13.3 ANEXO 3: TABELA DE ESPECIFICAO DO CABO CIMAF 6X25F+AACI

    (http://www.cimafbrasil.com.br/produtos_aplic.php)

    187

  • 13.4 ANEXO 4: FICHA TCNICA DO EC-120 COLIBRI DA HELIBRS

    (http://www.helibras.com.br/produtos_det.php?id=1)

    188

  • 13.5 ANEXO 5: DEFINIES DAS MATRIZES DE MASSA E GENERALIZADA DE

    CORIOLIS APRESENTADA POR (FANG, 2005)

    DEFINIO:

    1) Matriz de massa

    M p=[mp 0 0 0 0 00 m p 0 0 0 00 0 mp 0 0 0

    0 0 0 I x C2I y S

    2 I x I y CC S 00 0 0 I x I yCCS C2 I x S2I y C 2I z S2 I z S20 0 0 0 I z S

    2 I z]

    2) Vetor de foras e torques generalizados de coriolis e centrifugo

    gC=[0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 g44 g45 g460 0 0 g54 g55 g560 0 0 g64 g65 g66

    ]onde:

    g44=12 I x I y S 2

    g45= 12 I xI y 2I z CS 14 I x I yC [S 2S 2 ] 12 I z C 12 I x I y CC 2

    189

  • g46= 12 I y I x S 2 12 I z C 12 I x I y CC 2

    g54= 12 I y I x S S 2 14 [2I z I x I y I x I y C 2]S 2 12 I z C 12 I xI y CC2 12 I xI y C S2

    g56= 12 I zC 12 I xI y CC 2 12 I xI yCC 2

    g64= 12 I zC 12 I xI y S 2 12 I xI y CC 2

    g65= 12 I z C 12 I xI y CC 2 12 I xI y C2 S 2

    g66=0

    3) Vetor generalizado de foras aplicadas

    gE=[0 0 m p g 0 0 0 ]

    190

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