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ANALYTISCHE GEOMETRIE

OTTO MUTZBAUER

Date: 22. Januar 2008.

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ANALYTISCHE GEOMETRIE 133

9. Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie bzw. die a�ne Geometrie eines Vektorrau-mes ist eine Anwendung der Linearen Algebra, ein algebraisches Modellder Geometrie.

9.1. A�ne Räume.

Sei V ein K-Vektorraum mit Unterraum U . Eine Teilmenge A =a + U � V heiÿt Nebenklasse, und ein beliebiger Vektor aus A, alsoz.B. a heiÿt Repräsentant , vgl. die De�nition des Faktorraumes. Hierin der Analytischen Geometrie sagt man stattdessen a�ner Raum bzw.a�ner Unterraum A von V mit Stützvektor a. Falls A = U , also einVektorraum, bzw. äquivalent a 2 U oder a = 0, dann heiÿt A ein homo-gener Raum. Allgemein heiÿt U der zu A = a+U gehörende homogeneUnterraum. Ist A = a + Ka0 eine Gerade, dann heiÿt a0 Richtungs-vektor der Geraden. Wenn A0 = a0 + U 0 � A = a + U für zwei a�neUnterräume von V gilt, dann heiÿt A0 a�ner Unterraum von A, hierkurz Unterraum. Die Inklusion bezeichnet in diesem Kapitel in derRegel a�ne Unterräume und schlieÿt die Gleichheit ein. Die Elementea�ner Räume heiÿen Punkte. Der Punkt 0 2 Kn heiÿt Nullpunkt oderUrsprung . Man vereinbart für A = a + U 6= ; als Dimension dimA =dimU . Die leere Menge wird vereinbart als a�ner Raum der Dimen-sion dim; = �1. A�ne Räume der Dimensionen 0; 1; 2 heiÿen Punkt,Gerade bzw. Ebene. Ein Unterraum A0 � A mit dimA0 = dimA � 1heiÿt Hyperebene von A. Jeder Vektor b = a + u 2 A = a + U , u 2 U ,eines a�nen Raumes A ist o�ensichtlich ein Stützvektor von A. Derzugehörige homogene Unterraum U ist durch A eindeutig bestimmt als

U = fb� c j b; c 2 Ag = fb� a j b 2 Ag:Die a�nen Unterräume A = a + U und A0 = a0 + U 0 heiÿen parallel ,wenn entweder U � U 0 oder U 0 � U , Gleichheit eingeschlossen.

Der Durchschnitt von a�nen Unterräumen ist wieder ein a�ner Raum,und es gibt eindeutig bestimmte sog. Verbindungsräume.

Proposition 9.1.1. (Durchschnitt und Verbindungsraum)

(1) Seien ai+Ui für i 2 I a�ne Unterräume. Falls ihr Durchschnittnicht leer ist, gilt mit a 2 Ti2I(ai + Ui)

\i2I

(ai + Ui) = a+\i2I

Ui:

134 ANALYTISCHE GEOMETRIE

(2) Der eindeutig bestimmte kleinste a�ne Unterraum, der die a�-nen Unterräume a1+U1 und a2+U2 enthält, heiÿt Verbindungs-raum:

(a1 + U1) _ (a2 + U2) = a1 +�K(a2 � a1) + U1 + U2

�:

Beweis. (1) Ein Punkt a 2 Ti2I(ai + Ui) 6= ; ist ein gemeinsamer

Stützvektor aller Unterräume, also ist\i2I

(ai + Ui) =\i2I

(a+ Ui) = fa+ u j u 2 Ui für alle i 2 Ig = a +\i2I

Ui

nach Satz 2.1.2 wieder ein a�ner Raum.

(2) SeiB der a�ne Raum auf der rechten Seite. Er enthält o�ensichtlichbeide Räume. Sei umgekehrt X = a1 +W ein a�ner Unterraum, derbeide Räume enthält, dann gilt a2 � a1 2 W und sowieso U1; U2 � W .Also B � X, und B ist eindeutig bestimmt.

Proposition 9.1.1 hat einige o�ensichtliche Konsequenzen.

Korollar 9.1.2.

(1) Der Verbindungsraum

a1 _ a2 = a1 +K(a2 � a1)

zweier Punkte a1; a2 heiÿt Verbindungsgerade.(2) Für A = a+ U und b =2 A hat der Verbindungsraum

A _ b = a +�U +K(b� a)

�die Dimension dim(A _ b) = dimA+ 1.

(3) Für Unterräume A1; A2 des a�nen Raumes X ist A1 _A2 � X.(4) Sind die a�nen Räume A1; A2 parallel und nicht disjunkt, dann

ist entweder A1 � A2 oder A2 � A1.

Satz 9.1.3. Eine Gerade und eine Hyperebene, die nicht parallel sind,schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis. Seien G = g+G0 und H = h+H0 Gerade und Hyperebene ima�nen Raum A = a+U . Da G;H nicht parallel sind, ist U = G0�H0.Da g; h 2 A ist g � h 2 U , also g � h = x + y mit x 2 G0 und y 2 H0.Somit ist g � x = h + y 2 G \ H ein Schnittpunkt. Weil G und Hnicht parallel sind enthält G \ H keinen weiteren Punkt von G nachKorollar 9.1.2 (4).


Beispiel. Sei im arithmetischenK-VektorraumK3 die Basis (e1; e2; e3)der Einheitsvektoren und die a�ne Gerade G = e1 +Ke2 gegeben.

(1)Für die a�ne Ebene, auch Hyperebene, H = 2e1 + Ke2 + Ke3 istG\H = ;, als Lösung der Gleichung e1+ ae2 = 2e1+ be2+ ce3, d.h. Gund H sind parallel.

(2) Für die a�ne Ebene, auch Hyperebene, H 0 = e2 + Ke1 + Ke3 istG \ H 0 = e1 + e2 ein Punkt, als Lösung der Gleichung e1 + ae2 =e2 + be1 + ce3.

Der Dimensionssatz für a�ne Räume sieht anders aus als der Dimen-sionssatz für Unterräume, weil z.B. auch die leere Menge ein a�nerRaum ist.

Satz 9.1.4. (Dimensionssatz) Seien A;B a�ne Unterräume endlicherDimension.

(1) Für A = ; oder B = ; oder A \ B 6= ; ist

dimA+ dimB = dim(A _B) + dim(A \ B):

(2) Für A = a+ A0 6= ; und B = b +B0 6= ; und A \ B = ; ist

dimA + dimB = dim(A _ B) + dim(A \B) + dim(A0 \B0):

Beweis. (1) A und B können nicht beide leer sein. Sei also A 6= ;.Für B = ;, ist dim(A \ B) = �1, und es gilt die Formel. Sei alsoA \ B 6= ;. Nach Proposition 9.1.1 gilt dann A _ B = a + A0 + B0

und A \ B = a + A0 \ B0 mit einem gemeinsamen Stützvektor. MitSatz 2.3.2 folgt nun die Formel.

(2) Nach Proposition 9.1.1 ist dim(A _ B) = dim(A0 + B0) + 1. Alsofolgt die Formel mit dim(A \B) = �1 und Satz 2.3.2.

De�nition. Zwei a�ne Räume A = a + A0 und B = b + b0 heiÿenwindschief , wenn A \ B = ; und A0 \ B0 = 0. Z.B. sind die beidenGeraden G1 = e1 + Ke2 und G2 = e2 + Ke3 windschief im K3. Ineiner Ebene gibt es nur Geraden, die sich entweder schneiden oder par-allel sind, also keine windschiefen Geraden. Im K4 gibt es eine Ebeneund eine Gerade, die windschief sind, im K5 gibt es zwei windschiefeEbenen, ihre jeweiligen Verbindungsräume sind der ganze Raum.

9.2. Darstellungen a�ner Räume.

Sei Ax = b ein lösbares lineares Gleichungssystem, d.h. es ist rangA =rang(A; b) für die Matrix A und den Vektor b. Die Gesamtlösung B =x0 + kerA ist ein a�ner Raum mit Stützvektor x0, d.h. Ax0 = b, undzugehörigem homogenen Raum kerA. Der a�ne Raum B ist genau


dann homogen, wenn b = 0. Das lineare Gleichungssystem Ax = bheiÿt Gleichungsdarstellung des Raumes B = x0 + kerA.

Sei B = x0+U ein a�ner Raum, und sei (u1; : : : ; uk) eine Basis von U ,dann heiÿt

B = x0 +Ku1 + � � �+Kuk = fx0 + c1u1 + � � �+ ckuk j c1; : : : ; ck 2 Kgeine Parameterdarstellung des Raumes B. Weder die Gleichungsdar-stellung noch die Parameterdarstellung eines a�nen Raumes sind ein-deutig bestimmt.

Umrechnungen der Darstellungen über R

Die verschiedenen Darstellungen a�ner Räume haben je nach Aufga-benstellung Vor- und Nachteile. Deshalb rechnet man die Darstellun-gen oft bedarfsgerecht um.

Selbstverständlich kann man die verschiedenen Darstellungen auch überbeliebigen Körpern ineinander umrechnen, allerdings nicht mit demspäter verwendeten Orthomormierungsverfahren von Gram-Schmidt,vgl. Satz 7.4.1. Das Orthonormierungsverfahren wurde nur für euklidi-sche und unitäre Vektorräume eingeführt, und es müsste für allgemei-nere Körper modi�ziert werden. Deshalb beschränken wir uns hier aufeuklidische Vektorräume.

(1) Für einen a�nen Raum B � Rn in Gleichungsdarstellung, Ax = b,

mit reeller m� n Matrix A und reellem Spaltenvektor b der Länge m,ist die Parameterdarstellung B = x0 + R u1 + � � �+ R uk gesucht.

Der Stützvektor x0 ist eine spezielle Lösung, also Ax0 = b. Eine Basisdes Kerns von A bilden die linear unabhängige Lösungen u1; : : : ; uk vonAx = 0. Nach dem Dimensionssatz für Abbildungen ist k = n�rangA.

(2) Für einen a�nen Raum B = x0 +R u1+ � � �+R uk = x0 +U � Rn

in Parameterdarstellung mit Stützvektor x0 der Länge n und einerBasis (u1; : : : ; uk) von Spaltenvektoren der Länge n von U ist eineGleichungsdarstellung, Ax = b, gesucht mit einer m� n Matrix A undeinem Spaltenvektor b der Länge m derart, dass kerA = U ist, also dieBasis (u1; : : : ; uk) besitzt und dass Ax0 = b ist.

Das orthogonale Komplement U? von U im euklidischen Vektorraum Rn

mit Standardskalarprodukt hat die Dimensionm = n�k und eine Basis(v1; : : : ; vm). Die Zeilenvektoren (v1; : : : ; vm), untereinander geschrie-ben, bilden eine m�n Matrix A, für die gilt Aui = 0 für alle 1 � i � k,d.h. U ist der Kern von A. Weiter setzt man b = Ax0 und erhält diegewünschte Gleichungsdarstellung Ax = b von B.


Es gibt zwei Möglichkeiten eine Basis (v1; : : : ; vm) von U?, also dieMatrix A, zu bestimmen. Sei M die n � k Matrix mit den Spalten-vektoren (u1; : : : ; uk). Dann ist (v1; : : : ; vm) eine Basis des Lösungs-raumes des homogenen linearen Gleichungssystems vM = 0, mit Zei-lenvektor v der Länge n. Alternativ kann man die Menge (u1; : : : ; uk)von Spaltenvektoren der Länge n beliebig zu einer Basis des eukli-dischen Vektorraumes R

n fortsetzen und das Gram-Schmidtsche Or-thonormierungsverfahren darauf anwenden. Man erhält die Orthonor-malbasis (w1; : : : ; wn) des R

n. Transponiert man die Spaltenvektoren(wk+1; : : : ; wn) so erhält man passende Zeilenvektoren (v1; : : : ; vm).

Beispiel. (1) Sei x1 + x2 + x3 = 1 die Gleichungsdarstellung, Ax = b,einer a�nen Ebene B im R

3, d.h. A = (1; 1; 1) und b = (1). Der Kernvon A hat die Dimension 2 und die Basis f(1;�1; 0)T ; (0;�1; 1)Tg.Eine spezielle Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist x0 =(1; 0; 0)T . Also ist

B = (1; 0; 0)T + R(1;�1; 0)T + R(0;�1; 1)Teine Parameterdarstellung von B.

Sei umgekehrt die Ebene B wie oben in Parameterdarstellung gegeben.Dann ist f(1;�1; 0)T ; (0;�1; 1)Tg eine Basis des Kerns der 1�3MatrixA = (1; 1; 1), da (1; 1; 1)T? kerA ist. Wegen A(1; 0; 0)T = 1, ergibt sichdie Gleichungsdarstellung x1 + x2 + x3 = 1 für B, wie oben.

(2) Seix1 � x2 = 1; x3 � x2 = 0

die Gleichungsdarstellung, Ax = b, einer a�nen Geraden G im R3,

d.h. A =

�1 �1 00 �1 1

�und b =

�10

�. Der Kern von A hat die Dimensi-

on 1 und den Basisvektor (1; 1; 1)T . Eine spezielle Lösung des linearenGleichungssystems Ax = b ist x0 = (1; 0; 0)T . Also ist

G = (1; 0; 0)T + R(1; 1; 1)T

eine Parameterdarstellung von G.

Sei umgekehrt die GeradeG wie oben in Parameterdarstellung gegeben.Dann ist (1; 1; 1)T ein Basisvektor des Kerns der 2 � 3 Matrix A =�1 �1 00 �1 1

�, da (1;�1; 0)T und (0;�1; 1)T senkrecht zu (1; 1; 1)T sind.

Wegen A(1; 0; 0)T = (1; 0)T , ergibt sich die obige Gleichungsdarstellungfür G.

(3) Seien die Ebene B und die Gerade G wie oben. Die Gleichungs-darstellung des Schnittraumes B\G erhält man ohne Rechnung sofort


aus den Gleichungsdarstellungen von B und G, nämlich

x1 + x2 + x3 = 1; x1 � x2 = 1; x3 � x2 = 0;

also berechnet man B \G = (1; 0; 0)T .

Sind B und G in Parameterdarstellung gegeben, dann bestimmt manc; c1; c2 2 R für den Schnittpunkt B \G = (x; y; z)T aus

(x; y; z)T = (1; 0; 0)T+c(1; 1; 1)T = (1; 0; 0)T+c1(1;�1; 0)T+c2(0;�1; 1)T ;also c = c1 = c2 = 0 und B \G = (1; 0; 0)T .

9.3. A�ne Abbildungen.

Für die a�nen Räume A = a+A0 und B = b+B0 über dem Körper Kheiÿt F : A �! B eine a�ne Abbildung , wenn es a 2 A, b 2 B undeine lineare Abbildung F0 : A0 �! B0 gibt mit

F (a+ v) = b+ F0(v);(9.1)

für alle v 2 A0. O�ensichtlich ist hierbei F (a) = b, und die lineareAbbildung F0 legt die a�ne Abbildung F völlig fest. Es gilt F (A) =b+ F0(A0). Insbesondere sind lineare Abbildungen a�n.

Umgekehrt legt auch die a�ne Abbildung F nach dem folgenden Lem-ma die lineare Abbildung F0 fest, und man sagt, dass F0 die zugehörigelineare Abbildung ist.

Lemma 9.3.1. Die a�ne Abbildung F legt die zugehörige lineare Ab-bildung F0 völlig fest.

Insbesondere ist eine a�ne Abbildung genau dann bijektiv, wenn die zu-gehörige lineare Abbildung bijektiv ist, und die Umkehrabbildung einerbijektiven a�nen Abbildung ist a�n, F0 und F

�10 sind die zugehörigen

linearen Abbildungen. Weiter sind Bilder und Urbilder a�ner Räumeunter a�nen Abbildungen wieder a�ne Räume.

Beweis. Seien a1 = a + u1; a2 = a + u2 2 A = a + U , also F (ai) =b+ F0(ui). Damit ist

F0(a1 � a2) = F0(u1)� F0(u2) = F (a1)� F (a2):(9.2)

Da a1�a2 alle Vektoren von U durchläuft, ist F0 durch F völlig festge-legt. Nach (9.2) sind beide Abbildungen gemeinsam entweder bijektivoder nicht. Für eine bijektive a�ne Abbildung F wie in (9.1) ist dieUmkehrabbildung o�ensichtlich gegeben durch F�1(b+v) = a+F�1

0 (v),also eine a�ne Abbildung.


Weiter sind laut De�nition (9.1) Bilder a�ner Räume unter a�nenAbbildungen wieder a�ne Räume, weil Bilder von Vektorräumen unterlinearen Abbildungen, nach Satz 3.2.2, wieder Vektorräume sind.

Sei F�(b + U) = a + M das volle Urbild des a�nen Raumes b + Uunter der a�nen Abbildung F mit zugehöriger linearer Abbildung F0und F (a) = b, also ist M = F�

0 (U) das volle Urbild des Vektorrau-mes U unter der linearen Abbildung F0, und nach Satz 3.2.2 wieder einVektorraum, d.h. a+M ist ein a�ner Raum.

Die Hintereinanderausführung a�ner Abbildungen ist wieder eine af-�ne Abbildung. Bijektive a�ne Abbildungen heiÿen a�ne Isomor-phismen oder A�nitäten. Die A�nitäten F : A �! A eines a�nenRaumes A bilden eine Gruppe. Isomorphe a�ne Räume haben glei-che Dimension und umgekehrt sind a�ne Räume gleicher Dimensionisomorph.

Drei Punkte eines a�nen Raumes heiÿen kollinear , wenn sie auf einerGeraden liegen.

Satz 9.3.2. Bilder und Urbilder paralleler a�ner Räume unter a�nenAbbildungen sind parallel. Bilder kollinearer Punkte sind kollinear.

Beweis. Sei F eine a�ne Abbildung mit zugehöriger linearer Abbil-dung F0. Seien A = a + A0 und B = b + B0 mit A0 � B0 parallelea�ne Unterräume, also F0(A0) � F0(B0) und F (A) = F (a) + F0(A0)und F (B) = F (b) + F0(B0) sind parallel, analog für Urbilder.

Für verschiedene kollineare Punkte a; b; c ist G = a _ b _ c = a +G0 eine Gerade, also dimG0 � 1, und F (G) = F (a) + F0(G0) mitdim

�F0(G0)

� � 1, d.h. F (a); F (b); F (c) sind wieder kollinear.

Ein geordnetes (n+1)-Tupel (a0; a1; : : : ; an) von Punkten eines a�nenRaumes A = a0+A0 heiÿt a�nes Koordinatensystem von A, wenn dieVektoren (a1 � a0; : : : ; an � a0) eine Basis von A0 bilden.

Lemma 9.3.3. Die Punkte (a0; a1; : : : ; an) bilden genau dann ein Ko-ordinatensystem des a�nen Raumes A, wenn A = a0 _ a1 _ � � � _ an,und kein Punkt darf weggelassen werden.

Beweis. Es gilt a0 _ a1 _ � � � _ an = a0 +�K(a1 � a0) + � � �+K(an �

a0)� � A mit Gleichheit genau dann, wenn (a1 � a0; : : : ; an � a0) ein

Erzeugendensystem von A0 ist. Dieses Erzeugendensystem ist genaudann minimal, d.h. kein Punkt darf weggelassen werden, wenn es eineBasis von A0 ist.


A�ne Abbildungen lassen sich mit wenigen Bildvorgaben festlegen.

Satz 9.3.4. Seien ; 6= A und B a�ne Räume. Sei S ein Koordina-tensystem von A. Ordnet man jedem a 2 S ein (beliebiges) ba 2 B zu,dann existiert genau eine a�ne Abbildung F : A �! B mit F (a) = bafür alle a 2 S.

Beweis. Sei (a0; a1; : : : ; an) ein Koordinatensystem von A = a0 + A0.Dann ist (a1 � a0; : : : ; an � a0) eine Basis von A0. Nach Satz 3.2.1gibt es für eine beliebige Vorgabe von Vektoren F0(ai � a0) genau einelineare Abbildung F0. Für ein beliebiges b 2 B gibt es zu dieser linea-ren Abbildung F0 genau eine a�ne Abbildung F mit F (a0) = b undF (ai) = b+ F (ai � a0) für alle i.

Wichtige lineare und a�ne Abbildungen sind die sog. Parallelprojek-tionen für Vektorräume bzw, a�ne Räume.

Sei V = U � W eine nicht-triviale direkte Zerlegung des Vektorrau-mes V . Jeder Vektor v 2 V hat eine eindeutige Darstellung v = uv+wv

mit uv 2 U und wv 2 W . Die durch

V �! U; v 7! uv

de�nierte surjektive lineare Abbildung heiÿt Parallelprojektion von Vauf U längs W .

Seien A = a + A0 und B = b + B0 a�ne Unterräume des Vektorrau-mes V . Sei V = B0�W . Dann hat jeder Vektor v 2 A0 eine eindeutigeDarstellung v = bv + wv mit bv 2 B0 und wv 2 W . Durch F0(v) = bvist die Parallelprojektion F0 : A0 �! B0 eindeutig festgelegt. DurchF (a) = b und F (a + v) = b + F0(v) ist genau eine a�ne AbbildungF : A �! B de�niert. Diese Abbildung heiÿt a�ne Parallelprojektionvon A auf B längs W . Sie ist induziert von der Parallelprojektion F0.

Beispiel. (1) Durch (x; y; z) 7! (x; y; 0) wird eine Parallelprojektionvon R

3 auf die reelle Ebene R 2 längs der z-Achse de�niert. Man sagtauch Grundriss. Der Kern dieser Parallelprojektion ist die z-Achse.

(2) SeiG = (1; 0; 1)+R(1; 1; 2) = (e1+e3)+R(e1+e2+2e3) eine Gerade.Die Parallelprojektion (x; y; z) 7! (x; y; 0), wie unter (1), induziert einea�ne Parallelprojektion. Die Gerade G wird auf die Gerade G0 =(1; 0; 0)+R(1; 1; 0) = e1+R(e1+e2) projiziert, wieder längs der z-Achse.Diese a�ne Parallelprojektion ist bijektiv, weil R(1; 1; 2)\R(0; 0; 1) = 0ist.


9.4. Normalvektor, Hessesche Normalform.

V = Rn sei der euklidische Vektorraummit Standardskalarprodukt x�y,

für x; y 2 V , wie üblich. Eine a�ne Hyperebene in V ist von der FormH = h +H0, mit dimH0 = m � 1. Der normierte Vektor n 2 V , d.h.jnj = p

n � n = 1, heiÿt Normalvektor der Hyperebene H, wenn n?H0.Insbesondere ist dann V = R n�H0. Wie man den Normalvektor einerHyperebene bestimmt, hängt von ihrer Darstellung ab.

Für die Hyperebene H � Rm in Gleichungsdarstellung c1x1 + � � � +

cmxm = d ist der Normalvektor n, wegen n?H0, gleich

n =

�qc21 + � � �+ c2m

��1(c1; : : : ; cm):

Sei die Hyperebene H = h + R v1 + � � �+ R vm�1 in Parameterdarstel-lung gegeben, mit einem Stützvektor h und einer Basis v1; : : : ; vm�1von H0. Der Normalvektor n von H ist also eine Basis des orthogo-nalen Komplement von H0 in V und muss berechnet werden. DieseAufgabe trat auch schon bei der Umrechnung der Parameterdarstel-lung in die Gleichungsdarstellung eines a�nen Raumes auf. Es gibtzwei Verfahren.

Man wählt irgendeinen Vektor vm 2 V n H0, z.B. einen geeignetenEinheitsvektor, oder den Stützvektor h, falls h =2 H0. Man wendetdas Gram-Schmidtsche Orthonormierungsverfahren, Satz 7.4.1, auf dieBasis (v1; : : : ; vm) an und erhält die Orthonormalbasis (e1; : : : ; em).Der Vektor n = em ist dann der gesuchte Normalvektor vonH, daH0 =hv1; : : : ; vm�1i = he1; : : : ; em�1i, also em?H0. Wenn (v1; : : : ; vm�1)bereits eine Orthonormalbasis von H0 ist, dann gilt für einen beliebigenVektor v 2 V nH0:

n =v �Pm�1

i=1 (v � vi)vi��v �Pm�1i=1 (v � vi)vi

�� :

Alternativ schreibt man die Koordinatenvektoren v1; : : : ; vm�1 als Zei-lentupel und ordnet sie zu einer (m�1)�m Matrix A. Diese Matrix Ahat den Rang m � 1 und ihr Kern, d.h. die Lösung des linearen Glei-chungssystems Ax = 0, hat deshalb die Dimension 1. Mit einer Lösungv 6= 0, also Av = 0 erhält man den Normalvektor n = jvj�1v von H0

als Spaltenvektor, weil mit dem Standardskalarprodukt v?H0 gilt.

Die Bestimmung des Normalvektors ist weitgehend äquivalent zur Be-stimmung des Abstandes a�ner Räume, weil eine kürzeste Verbin-dungsstrecke senkrecht auf beiden Räumen steht.


Im nächsten Beispiel wird der Abstand eines Punktes von einer Geradenim R

2 bestimmt.

Beispiel. Sei im R2 die Gerade G = g+R u und der Punkt p gegeben.

Sei H = p+ R v die Gerade senkrecht zu G durch den Punkt p. Dannist der Schnittpunkt q = G \ H der Fuÿpunkt des Lotes von p auf Gund der Abstand des Punktes q von G ist d(p; q) = d(p;G).

Sei jetzt konkret p = (0; 0) und G = (1; 0) + R(1; 1). Dann ist H =

R(1;�1) und q = G \H = (12;�1

2). Somit ist d(p;G) = d(p; q) =

p2

2.

Neben Gleichungs- und Parameterdarstellung gibt es noch die sog. Hes-sesche Normalform einer Hyperebene mittels des Normalvektors n,nämlich

n � (x� h) = 0; Hessesche Normalform

d.h. H = h +H0 = fx 2 V j n � (x � h) = 0g. Das ist nur eine andereSchreibweise für n?H0, da H0 = fx � h j x 2 Hg. Der Stützvektor hkann in der Hesseschen Normalform beliebig gewählt werden.

Die Umrechnung der Gleichungs- oder Parameterdarstellung einer Hy-perebene in die Hessesche Normalform n � (x�h) = 0 ist nichts anderesals die Berechnung des Normalvektors n und eines Stützvektors h derHyperebene, vgl. obiges Verfahren. Ist umgekehrt eine Hyperebenein Hessescher Normalform gegeben, d.h. der Normalvektor n und einStützvektor h sind gegeben, so erhält man sofort die Gleichungsdarstel-lung der Hyperebene in der Form n�x = n�h = d, also mit Koordinatengeschrieben

n1x1 + � � �+ nmxm = d;

wobei n = (n1; : : : ; nm) und h = (h1; : : : ; hm) die jeweiligen Koordi-natenvektoren des Normalvektors n und des Stützvektors h sind, undd = n � h = n1h1 + � � �+ nmhm.

Der Abstand oder euklidische Abstand der zwei Punkte p = (p1; : : : ; pm)und q = (q1; : : : ; qm) des Vektorraumes V = R

m ist

d(p; q) =p(p1 � q1)2 + � � �+ (pm � qm)2:

Allgemein ist der Abstand zweier a�ner Räume A;B gleich d(A;B) =minfd(a; b) j a 2 A; b 2 Bg das Minimum der Abstände von Punktenaus A und B. Der Abstand eines Punktes von einer Hyperebene ist dieLänge des Lotes vom Punkt auf die Hyperebene, vgl. Proposition 7.4.5.Besonders leicht erhält man diesen Abstand, wenn die Hyperebene inHessescher Normalform gegeben ist.


Proposition 9.4.1. Seien p ein Punkt und H eine Hyperebene in Vin Hessescher Normalform n � (x�h) = 0. Dann ist der Abstand von pund H gleich d(p;H) = jn � (p� h)j.

Beweis. Sei q der Fuÿpunkt des Lotes von p auf H, d.h. n � (q�h) = 0.Dann ist p� q = an mit d(p; q) = d(p;H) = jaj, wegen jnj = 1. Also

n � (p� h) = n � �p� q + (q � h)�= n � (an) + n � (q � h) = a:

Ist eine Hyperebene H = h + R v1 + � � � + R vm�1 in Parameterdar-stellung gegeben, dann kann man den Abstand eines Punktes p von Hauch direkt bestimmen. Wie oben berechnet man den Normalvektor nvon H. Die Gerade G = p + R n ist senkrecht zu H und der Schnitt-punkt q = G\H ist der Fuÿpunkt des Lotes von p auf H. Der Abstandd(p; q) = d(p;H) ist der gesuchte Abstand des Punktes p von H.

Im nächsten Beispiel wird der Abstand eines Punktes von einer Geradenim R

3 bestimmt.

Beispiel. Sei im R3 die Gerade G = g+R u und der Punkt p gegeben.

Sei H die Ebene senkrecht zu G durch den Punkt p in HessescherNormalform, also juj�1u(x � p) = 0. Dann ist der Schnittpunkt q =G \ H der Fuÿpunkt des Lotes von p auf G und der Abstand desPunktes q von G ist d(p; q) = d(p;G). Genauer ist q = g+au mit einerLösung a 2 R der Gleichung u � (g + au� p) = 0.

Sei jetzt konkret p = (0; 0; 1) und G = (1; 1; 0) + R(1; 1; 1). Dannlöst a = �1

3die Gleichung (1; 1; 1) � (a + 1; a + 1; a � 1) = 0, und

q = (23; 23;�1

3). Somit ist d(p; q) = d(p;G) = 2

3

p6.

9.5. Vektorprodukt, Volumen.

Zusätzlich zum Produkt von Vektoren und Skalaren und dem Skalar-produkt de�nieren wir in einem euklidischen 3-dimensionalen Raum,also im R

3, ein Vektorprodukt zweier Vektoren. Sei (e1; e2; e3) eineOrthonormalbasis in R

3, d.h. ei � ej = Æij, z.B. die Basis aus Einheits-vektoren mit dem Standardskalarprodukt. Für u = a1e1 + a2e2 + a3e3und v = b1e1 + b2e2 + b3e3 heiÿt, in symbolischer Schreibweise, derVektor

u� v = det

0@e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

1A

= det

�a2 a3b2 b3

�e1 � det

�a1 a3b1 b3

�e2 + det

�a1 a2b1 b2

�e3

= (a2b3 � a3b2)e1 � (a1b3 � a3b1)e2 + (a1b2 � a2b1)e3


das Vektorprodukt oder äuÿeres Produkt von u und v, in dieser Rei-henfolge. Im nächsten Satz werden einige Eigenschaften des Vektor-produktes angegeben. Es ist ein Vektor, der senkrecht auf der von uund v aufgespannten Ebene steht. Die Richtung von u � v wird vonder Fingerregel oder der rechten Hand Regel festgelegt. Der Betrag vonu � v, bzw. die Länge, ist die Fläche des Parallelogramms, das von uund v aufgespannt wird.

Satz 9.5.1. Seien u; v; w Vektoren des euklidischen Vektorraumes R 3.

(1) u� v = �(v � u).(2) (au+ bv)� w = a(u� w) + b(v � w) für a; b 2 R .(3) u� v = 0 genau dann, wenn u und v linear abhängig sind.(4) u � (v � w) = det(u; v; w) und u � (u� v) = v � (u� v) = 0.(5) u� (v � w) = (u � w)v � (u � v)w.(6) ju� vj = jujjvj sin(u; v).

Beweis. (1) Die Vertauschung der Reihenfolge von u und v entsprichteiner Transposition von Zeilen in der de�nierenden Determinante undverändert das Vorzeichen.

(2) gilt, weil Determinanten Multilinearformen sind.

(3) u � v = 0 genau dann, wenn die Matrix

�a1 a2 a3b1 b2 b3

�den Spal-

tenrang 1, also auch Zeilenrang 1, hat, d.h. genau dann, wenn u und vlinear abhängig sind.

(4) Mit zusätzlich w = c1e1 + c2e2 + c3e3 ist

u � (v�w) =�a1e1 + a2e2 + a3e3

�� det

0@e1 e2 e3b1 b2 b3c1 c2 c3

1A = det

0@a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

1A :

(5) O�ensichtlich liegt der Vektor u� (v � w) in der Ebene, die von vund w aufgespannt wird. Man rechnet nach:

u� (v � w) = (a1e1 + a2e2 + a3e3)��(b2c3 � b3c2)e1 � (b1c3 � b3c1)e2 + (b1c2 � b2c1)e3

�= (a1c1 + a2c2 + a3c3)(b1e1 + b2e2 + b3e3)

�(a1b1 + a2b2 + a3b3)(c1e1 + c2e2 + c3e3)

= (u � w)v � (u � v)w:


(6) Man rechnet nach:�jujjvj sin(u; v)�2 = juj2jvj2�1� cos2(u; v)�= juj2jvj2 � (u � v)2

= (a21 + a22 + a23)(b2

1 + b22 + b23)� (a1b1 + a2b2 + a3b3)2

= (a2b3 � a3b2)2 + (a1b3 � a3b1)

2 + (a1b2 � a2b1)2

= ju� vj2:

Das Vektorprodukt erleichtert die Bestimmung des Abstandes wind-schiefer Geraden.

Beispiel. Seien die Geraden G = g+R u und H = h+R v windschief,d.h. die Richtungsvektoren u; v sind linear unabhängig. Dann enthältdie Ebene E mit Normalvektor n = ju�vj�1(u�v) durch den Punkt gdie Gerade G und ist parallel zu H. Die Hessesche Normalform von Eist n � (x � g) = 0 und der Abstand des Punktes h der Geraden Hist gleich dem Abstand der beiden windschiefen Geraden, also gleichd(G;H) = d(h;E) = jn � (h� g)j.Seien jetzt konkret G = (1; 0; 0) + R(1; 1; 0) und H = (0; 1; 0) +R(0; 1; 1), also windschief. Das Vektorprodukt von (1; 1; 0) und (0; 1; 1)ist (1;�1; 1) und die Ebene E durch den Punkt (1; 0; 0) hat die Hesse-sche Normalform

(p3)�1(1;�1; 1) � (x� 1; y; z) = 0:

Also haben E und (0; 1; 0), bzw. G und H, den Abstand

d(G;H) = j(p3)�1(1;�1; 1) � (�1; 1; 0)j = 2p

3:

Für die Vektoren v1; : : : ; vn 2 Rn heiÿt die Menge

P (v1; : : : ; vn) = fa1v1 + � � �+ anvn 2 Rn j 0 � ai � 1; für alle 1 � i � ng

das Parallelotop aufgespannt von (v1; : : : ; vn). Als Volumen, bzw. ge-nauer n-dimensionales Volumen, des Parallelotops wird de�niert

VolP = Voln P (v1; : : : ; vn) = j det(v1; : : : ; vn)j:Insbesondere ist das Volumen genau dann gleich 0, wenn die Vekto-ren v1; : : : ; vn linear abhängig sind. Weiter ergibt sich das Volumendes n-dimensionalen Einheitswürfels Voln P (e1; : : : ; en) = 1. Ein 2-dimensionales Parallelotop ist ein Parallelogramm. Wie üblich heiÿtein 2-dimensionales Volumen Fläche. Ein 3-dimensionales Parallelotopheiÿt Spat . Ein Spat mit rechten Winkeln heiÿt Quader . Für eine Ma-trix A mit detA = �1, also insbesondere für eine orthogonale Matrix,ist det(Av1; : : : ; Avn) = (detA) det(v1; : : : ; vn) = � det(v1; : : : ; vn)


mit Spaltenvektoren v1; : : : ; vn, also ist das Volumen eines Parallelo-tops invariant bzgl. Drehungen und Spiegelungen. Im Folgenden wirdam Beispiel eines Parallelogramms gezeigt, dass die obige De�nitiondes Volumens, wie gewünscht, die Fläche eines Parallelogramms ist.

Beispiel. Man legt eine Ecke des Parallelogramms in den Ursprung.Auf Grund der Invarianz des Volumens bzgl. Drehungen und Spiege-lungen kann man sogar eine Seite des Parallelogramms, hier v1, in diex-Achse zu legen. Die Fläche des Parallelogramms im R

2, aufgespanntvon den Vektoren v1 = (a; 0) und v2 = (c; b) mit 0 < a; b; c 2 R , ist

de�nitionsgemäÿ gleich

��det�a c0 b

�� = ab = jv1jjv2j sin(v1; v2), also diegeometrischen Fläche.

9.6. Kegelschnitte.

Sei im R3 der Doppelkegel D mit Kreisquerschnitt, Spitze im Ursprung

und 900 Ö�nungswinkel. Man sagt oft auch nur Kegel statt Doppelke-gel. Sei E eine Ebene und seien beide dargestellt durch

D = f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 � z2 = 0g;

E = f(x; y; z) 2 R3 j a0x + b0y + c0z + d0 = 0g; a0; b0; c0; d0 2 R :

Der Durchschnitt Q = D \ E heiÿt Kegelschnitt oder Kurve zweiterOrdnung . Man eliminiert, wenn möglich z, und erhält dann die allge-meine Darstellung

Q =n�

xy

�2 R

2

�� ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0o;

=n�x

y

�2 R

2

�� (x; y)A�xy

�+ 2(d; e)

�xy

�+ f = 0

o:

Man verwendet oft die Kurzschreibweisen

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0;

(x; y)A

�xy

�+ 2(d; e)

�xy

�+ f = 0

für Kegelschnitte. Dabei ist die Matrix A =

�a b

b c

�symmetrisch und

o�ensichtlich ist A 6= 0 und heiÿt eine zugehörige Matrix . Wenn sich znicht eliminieren lässt, dann eliminiert man x oder y und erhält ähnli-che Formen in anderen Koordinaten.

Wenn die Ebene E die Kegelspitze enthält, d.h. d0 = 0, dann sprichtman von einem ausgearteten Kegelschnitt , sonst von nicht ausgearte-ten Kegelschnitten. Ausgeartete Kegelschnitte sind, wie man leicht


anschaulich oder auch rechnerisch bestätigt, entweder ein Punkt, odereine Gerade oder ein Paar von Geraden, die sich schneiden.

Die formelmäÿige Beschreibung eines Kegelschnittes erö�net ausgear-tete Formen, die nicht als geometrischer Schnitt eines Kegels mit einerEbene realisiert werden können, z.B. die leere Menge und zwei paralleleGeraden. Wir bezeichnen auch letztere als ausgeartete Kegelschnitte.

Die Typen von Kegelschnitten sind die ausgearteten Kegelschnitte, wieoben, und die nicht ausgearteten Kegelschnitte, nämlich Kreise, oderEllipsen, oder Hyperbeln oder Parabeln, vgl. Satz 9.6.1. Ellipse und Hy-perbel haben jeweils ein Paar aufeinander senkrecht stehender Symme-trieachsen, die Parabel hat eine Symmetrieachse. Die Symmetrieach-sen der Kegelschnitte heiÿen Hauptachsen. Sind die Hauptachsen ei-nes Kegelschnittes gleich den Koordinatenachsen, dann sagt man, dassder Kegelschnitt in Normalform ist. Bei Kreis, Ellipse und Hyperbelspricht man auch von Mittelpunktsform, da diese Kurven in Normal-form zentralsymmetrisch bzgl. des Nullpunktes sind. Ohne Normalformist es i.A. nicht möglich den Typ eines Kegelschnittes zu erkennen.

Eine Translation ist eine a�ne Abbildung eines Vektorraums V de�-niert durch v 7! v + v0 mit festem Vektor v0. Das ist eine Parallelver-schiebung mit dem Vektor v0, bzw. eine Verschiebung des Ursprungs.Die Kombination einer Drehung und einer Translation, beides bijekti-ve a�ne Abbildungen, heiÿt Bewegung , und ist wiederum eine bijekti-ve a�ne Abbildung. Die Bewegungen eines Vektorraumes bilden eineGruppe.

Wir zeigen an einem Beispiel, wie Bewegungen den Typ eines Kegel-schnittes erkennbar machen.

Beispiel. Sei D der Doppelkegel wie anfangs, und sei die spezielleEbene E = f(x; y; z) 2 R

3 j x + y + z = 1g in Gleichungsdarstellunggegeben. Dann erhält man durch Elimination von z einen KegelschnittD\E in der Form 2xy�2x�2y+1 = 0, allerdings nicht in Normalform,deshalb erkennt man den Typ nicht ohne weiteres. Substituiert manx = x0 + 1 und y = y0 + 1, also eine Translation, so erhält man dieHyperbel y0 = 1

2x0�1 mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, und

den Winkelhalbierenden als Hauptachsen. Durch eine Drehung um 450

im Uhrzeigersinn erhält man die Normalform x2 � y2 � 1 = 0.

Als nächstes werden wir Kegelschnitte durch Bewegungen in Normal-form bringen. Diese Prozedur nennt man Hauptachsentransformation.

Satz 9.6.1. (Metrische Klassi�zierung der Kegelschnitte) Jeder nichtausgeartete Kegelschnitt ist durch Bewegungen in eine der folgendenNormalformen überführbar, mit Parametern 0 < a; b 2 R .


(1) ax2 + by2 � 1 = 0, eine Ellipse, und ein Kreis, falls a = b.(2) ax2 � by2 � 1 = 0, eine Hyperbel.(3) ax2 � y = 0, eine Parabel.

Ein nicht ausgearteter Kegelschnitt ist, eine Ellipse (Kreis), wenn diezugehörige Matrix A regulär und (positiv oder negativ) de�nit ist, eineHyperbel, wenn die zugehörige Matrix A regulär und inde�nit ist, undeine Parabel, wenn detA = 0 ist.

Beweis. Sei ein nicht ausgearteter Kegelschnitt mit zugehöriger sym-metrischer Matrix A gegeben. Nach dem Hauptachsensatz 7.7.1 ist A

mit einer Drehung U , d.h.�x

y

�= U

�x0

y0

�, diagonalisierbar. Also ist

UTAU =

�a1 00 a2

�mit den Eigenwerten a1; a2 2 R von A. Sind a1; a2

erst einmal ungleich 0, dann ist

0 = (x; y)A

�xy

�+ 2(d; e)

�xy

�+ f

= (x0; y0)UTAU

�x0

y0

�+ 2(d; e)U

�x0

y0

�+ f

= (x0; y0)

�a1 00 a2

��x0

y0

�+ 2(d0; e0)

�x0

y0

�+ f

= a1x02 + a2y

02 + 2(d0x0 + e0y0) + f

= a1�x0 + a�11 d0

�2+ a2

�y0 + a�12 e0

�2+ (f � a�11 d02 � a�12 e02)

mit (d0; e0) = (d; e)U und quadratischen Ergänzungen. Setzt man x00 =x0 + a�11 d0 und y00 = y0 + a�12 e0, also eine Translation, und r = f �a�11 d02� a�12 e02, dann erhält man die Darstellung a1x00

2+ a2y002+ r = 0

für den nicht ausgearteten Kegelschnitt, d.h. insbesondere r 6= 0, undes ergibt sich einer der beiden Fälle (1) oder (2). Der Kegelschnitt istausgeartet, falls hier r = 0 ist.

Da A 6= 0, sei jetzt alternativ a1 6= 0 und a2 = 0. Mit x00 wie obenund y00 = 2e0y0 + f � a�11 d02, für e0 6= 0, erhält man ähnlich wie obendie Darstellung a1x00

2+y00 = 0 für den nicht ausgearteten Kegelschnitt,also Fall (3). Der Kegelschnitt ist ausgeartet, falls hier e0 = 0 ist.

Sei ein nicht ausgearteter Kegelschnitt gegeben. Wenn die Eigenwertea1; a2 von A gleiches Vorzeichen haben, d.h. A ist de�nit, dann istder Kegelschnitt eine Ellipse oder ein Kreis. Wenn sie verschiedenesVorzeichen haben, d.h. A ist inde�nit, dann ist der Kegelschnitt eineHyperbel, andernfalls eine Parabel.


Bewegungen sind längen- und winkeltreue a�ne Abbildungen. Die obi-ge Klassi�zierung der Kegelschnitte heiÿt deshalbmetrische Klassi�zie-rung . Mit allgemeinen bijektiven a�nen Abbildungen deformiert manKegelschnitte, z.B. wird aus der Ellipse x2

a2+ y2

b2= 1 durch die a�ne

Abbildung x 7! ax; y 7! by der Einheitskreis x2 + y2 = 1, und manerhält die a�ne Klassi�zierung .

Satz 9.6.2. (A�ne Klassi�zierung der Kegelschnitte) Jeder nicht aus-geartete Kegelschnitt ist durch a�ne Abbildungen in eine der folgendenNormalformen überführbar.

(1) x2 + y2 � 1 = 0, Kreis.(2) x2 � y2 � 1 = 0, Hyperbel.(3) x2 � y = 0, Parabel.

Bemerkung. Man kann die komplexen Zahlen als reelle Ebene R2

betrachten mit Einheitsbasis 1; i 2 C , d.h. 1 = (1; 0); i = (0; 1) 2R2. Damit ergibt sich eine elegante Beschreibung ebener euklidischer

Geometrie, weil man die Rechenoperationen der komplexen Zahlen zurVerfügung hat. Eine komplexe Zahl z = a + ib ist dann ein Vektorund die Parameter in der Parameterdarstellung a�ner Räume sindreell, z.B. ist eine Gerade mit Stützvektor z1 und Richtungsvektor z2gegeben durch z1 + R z2, und für ein 0 < r 2 R ist fz j jz � z1j = rgder Kreis um z1 mit Radius r. Mit Polarkoordinaten z = jzjei' =jzj(cos'+ i sin') erhält man auch sofort Winkel zwischen Vektoren.

Beispiel. Es werden in der komplexen Ebene C die Tangenten voneinem Punkt p an einen Kreis K um m mit Radius r bestimmt. DiePunkte auf dem Kreis haben die Form z = m + rei'. Wegen ei' =cos'+i sin' ist die Tangente an K im Punkt z gleich t = z+R(sin'�i cos'). Der Punkt p liegt genau dann auf t, wenn es ein � 2 R gibtmit

p�m� r(cos'+ i sin') = �(sin'� i cos'):

Die Trennung von Real- und Imaginärteil führt zu den beiden Glei-chungen

Re(p�m)� r cos' = � sin';

Im(p�m)� r sin' = �� cos':man eliminiert � und erhält

Re(p�m) cos'+ Im(p�m) sin'� r = 0:(9.3)


Mit sin' =p1� cos2 ' und p 6= m und Re(p�m) 6= 0 folgt aus (9.3)

cos2 '� 2rRe(p�m)

jp�mj2 cos'+r2 � Im2(p�m)

jp�mj2 = 0;

und die beiden Lösungen

cos'1;2 =rRe(p�m)

jp�mj2 � Im(p�m)

jp�mj2pjp�mj2 � r2:

Man bestimmt dazu die passenden Werte sin'1;2 und z1;2 = m+rei'1;2 .

Für Re(p � m) = 0 ist Im(p � m) 6= 0, wegen p 6= m, und aus (9.3)folgen

sin'1;2 =r

Im(p�m)und cos'1;2 = �

q�Im(p�m)

�2 � r2

Im(p�m):

Es gibt keine reellen Lösungen, wenn sich der Punkt p im Innern desKreises be�ndet, d.h. wenn jp � mj < r ist, und es gibt genau eineLösung, wenn sich p auf dem Kreis be�ndet, d.h. wenn jp�mj = r ist.

Wir stellen noch ein konkretes Zahlenbeispiel vor. Seien p = 0, r = 1und m = 2 + 3i. Nach dem Satz von Pythagoras für die Dreiecke� 0mz1 und � 0mz2 gilt jz1j = jz2j =

p12. Also folgt aus

z = m+ rei' = (2 + cos') + i(3 + sin')

sofort12 = (2 + cos')2 + (3 + sin')2;

d.h. 2 cos'+3 sin'+1 = 0. Damit ergibt sich für cos' die quadratischeGleichung cos2 ' + 4

13cos' � 8

13= 0, mit den Lösungen cos'1;2 =

2

13(�1� 3

p3) und sin'1;2 = � 1

13

p57� 24

p3, also

z1;2 = m + rei'1;2 =�2 +

2

13(�1� 3

p3)�+ i�3� 1

13

q57� 24

p3�:

9.7. Quadriken im R3.

Für eine reelle symmetrische 3�3MatrixA = (aij) 6= 0 und a0; a1; a2; a3 2R ist durch

a1;1x21 + 2a1;2x1x2 + 2a1;3x1x3 + a2;2x

22 + 2a2;3x2x3

+a3;3x23 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a0 = 0;

bzw.

(x1; x2; x3)A

0@x1x2x3

1A+ 2(a1; a2; a3)

0@x1x2x3

1A+ a0 = 0:


eine Quadrik oder Fläche 2-ter Ordnung im R3 gegeben. Eine zugehö-

rige Matrix A kann immer symmetrisch gewählt werden.

Eine Quadrik Q heiÿt nicht ausgeartet , wenn es eine Ebene E gibt,so dass Q \ E ein nicht ausgearteter Kegelschnitt ist. Damit sind dieleere Menge, ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene, ein Ebenenpaar, etc.ausgeartete Quadriken.

Genauso wie im Beweis des Klassi�zierungssatzes 9.6.1 für Kegelschnit-te erhält man mit Hauptachentransformation und Translation Normal-formen nicht ausgearteter Quadriken im R

3.

Satz 9.7.1. (Metrische Klassi�zierung der Quadriken) Jede nicht aus-geartete Quadrik ist durch Bewegungen in eine der folgenden Normal-formen überführbar, mit Parametern 0 < a; b; c 2 R .

(1) ax21 + bx22 + cx23 � 1 = 0, Ellipsoid, Kugel, für a = b = c.(2) ax21 + bx22 � cx23 � 1 = 0, einschaliges Hyperboloid.(3) ax21 � bx22 � cx23 � 1 = 0, zweischaliges Hyperboloid.(4) ax21 + bx22 � x23 = 0, Doppelkegel.(5) ax21 + bx22 � x3 = 0, elliptisches Paraboloid.(6) ax21 � bx22 � x3 = 0, hyperbolisches Paraboloid.(7) ax21+ bx22� 1 = 0, elliptischer Zylinder, Kreiszylinder, für a = b.(8) ax21 � bx22 � 1 = 0, hyperbolischer Zylinder.(9) ax21 � x2 = 0, parabolischer Zylinder.

Bemerkung. Die Eigenwerte der zugehörigen Matrix A einer Qua-drik und ihre Vorzeichen bestimmen hauptsächlich den Typ einer nichtausgearteten Quadrik, wenn z.B. die Eigenwerte von A alle dasselbeVorzeichen haben, dann ist eine zugehörige, nicht ausgeartete Quadrikein Ellipsoid. Im konkreten Fall kommt man nicht umhin die Normal-form zu berechnen, allein schon, um zu entscheiden, ob es sich um eineausgeartete Quadrik handelt oder nicht. Wenn A gleiche Eigenwer-te hat, dann ist die Quadrik rotationssymmetrisch. Es genügt nicht,wenn die Eigenwerte gleichen Betrag haben, z.B. ist der hyperbolischeZylinder, gegeben durch x2 � y2 = 1, nicht rotationssymmetrisch.

Eine Quadrik im Rn ist mit einer symmetrischen n � n Matrix A =

(ai;j) und einem (n+1)-Tupel (a0; : : : ; an) gegeben durch die GleichungPn

i;j=1 ai;jxixj +Pn

i=1 aixi + a0 = 0. Auch diese höher-dimensionalenQuadriken lassen sich durch Bewegungen in Normalform bringen mitderselben Methode wie im Beweis des Klassi�zierungssatzes 9.6.1.


9.8. Büschel, Tangenten, Körper.

Mengen von Geraden in einem Vektorraum mit einem Parameter nenntman ein Geradenbüschel . Analog gibt es auch Ebenenbüschel . Wirgeben einige Beispiele.

G1 = fG� j � 2 RgmitG� = (1; 1+�; �)+R(1; 0; 0) ist das Büschel allerparallelen Geraden mit Richtungsvektor (1; 0; 0), deren Stützvektor aufder Geraden (1; 1; 0) + R(0; 1; 1) liegt.

G2 = fG� j 0 � � < 2�g mit G� = (1; 0; 1) + R(cos�; sin�; 0) istdas Büschel aller Geraden durch den Punkt (1; 0; 1), die in einer Ebeneparallel zur x-y-Ebene liegen.

E1 = fE� j � 2 Rg mit E� in Hessescher Normalform

n � (x1; x2; x3) = �

ist das Büschel aller parallelen Ebenen mit Normalvektor n.

E2 = fE� j 0 � � < 2�g mitE� = (1; 0; 0) + R(1; 1; 0) + R(cos�;� cos�; sin�)

ist das Büschel aller Ebenen, welche die Gerade (1; 0; 0) + R(1; 1; 0)enthalten.

Es sollen im R2 Tangenten an einen Kegelschnitt gelegt werden. Sei

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 ein Kegelschnitt Q und seiG = fG� j 0 � � < 2�g mit G� = (p1; p2)+R(cos�; sin�) das Büschelaller Geraden durch den Punkt (p1; p2). Dann erhält man Q \ G�

indem man x = p1 + � cos� und y = p2 + � sin� einsetzt. Es ergibtsich für �xiertes � eine quadratische Gleichung f�(�) = 0 für �, alsoist Q \ G� entweder leer, ein Punkt oder zwei Punkte, je nachdemwelche reellen Lösungen diese quadratische Gleichung hat. Tangentenan den Kegelschnitt Q, die den Punkt p = (p1; p2) enthalten, sind alsogenau die Geraden G�, für die f�(�) = 0 genau eine reelle Lösung �besitzt. Mit �; � hat man natürlich auch den Berührpunkt der Tangentebestimmt.

Index

äuÿeres Produkt, 144

Abstand, 142, 143, 145

a�ne Abbildung, 138

a�ne Geometrie, 133

a�ne Klassi�zierung, 149

a�ne Parallelprojektion, 140

a�ner Isomorphismus, 139

a�ner Raum, 133

a�nes Koordinatensystem, 139

A�nität, 139

analytische Geometrie, 133

Asymptote, 147

ausgeartete Quadrik, 151

ausgearteter Kegelschnitt, 146

Berührpunkt, 152

Bewegung, 147

Dimension, 133

Dimensionssatz für a�. Räume, 135

Doppelkegel, 146, 151

Ebene, 133

Ebenenbüschel, 152

Einheitswürfel, 145

einschaliges Hyperboloid, 151

Ellipse, 147

Ellipsoid, 151

elliptischer Zylinder, 151

elliptisches Paraboloid, 151

Erzeugendensystem, 139

euklidischer Abstand, 142

Fingerregel, 144

Fläche, 145

Fläche 2-ter Ordnung, 151

Geometrie, 133

Gerade, 133

Geradenbüschel, 152

Gleichungsdarstellung, 136, 141

Grundriss, 140

Hauptachsen, 147

Hauptachsentransformation, 147

Hessesche Normalform, 142

homogener Raum, 133

Hyperbel, 147

hyperbolischer Zylinder, 151

hyperbolisches Paraboloid, 151

Hyperboloid, 151

Hyperebene, 133

induziert, 140

Kegel, 146

Kegelschnitt, 146

Kegelschnitttypen, 147

Kegelspitze, 146

kollinear, 139

Kreis, 147

Kreiszylinder, 151

Kugel, 151

Kurve zweiter Ordnung, 146

Lot, 142

metrische Klassi�zierung, 149

Mittelpunktsform, 147

Nebenklasse, 133

nicht ausgearteter Kegelschnitt, 146

Normalform eines Kegelschnitts, 147

Normalvektor, 141

Nullpunkt, 133

Parabel, 147

parabolischer Zylinder, 151

Paraboloid, 151

parallele a�ne Räume, 133

Parallelogramm, 145

Parallelotop, 145

Parallelprojektion, 140

Parallelverschiebung, 147

Parameterdarstellung, 136, 141

Polarkoordinaten, 149

Projektion, 140

Punkt, 133

Quader, 145

Quadrik, 151

rechte Hand Regel, 144

Repräsentant, 133

Richtungsvektor, 133

Rotationssymmetrie, 151

153


Spat, 145

Stützvektor, 133

Symmetrieachsen, 147

Tangente, 152

Translation, 147

Ursprung, 133

Vektorprodukt, 144

Verbindungsgerade von Punkten, 134

Verbindungsraum, 133

Volumen, 145

windschief, 135

zugehörige lineare Abbildung, 138

zugehörige Matrix, 146

zugehöriger homogener Raum, 133

zweischaliges Hyperboloid, 151

Zylinder, 151

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