6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE VALORES INICIALES DE PRIMER ORDEN

Ejemplos motivacionales

1. ¿Cuál es la curva en el plano cartesiano que satisface? : La pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto (x, y) con 0 ≤ x ≤ 1 es igual al cuadrado de la distancia del punto al origen y pasa por el punto (0, 1).

Modelo correspondiente:

2. El movimiento pendular se puede modelar por el problema de valor inicial:

E.D.O.:

C.I.: ,y,

Donde L es la longitud del péndulo, g es la constante de gravitación en la tierra, es el ángulo que el péndulo forma con la posición de equilibrio. Para valores pequeños de se puede tomar = sen y el problema se resuelve por técnicas analíticas, pero para valores mayores de , la simplificación = sen , no es procedente.

Los dos problemas propuestos y la gran mayoría de los problemas que resultan en el estudio de fenómenos de la realidad (procesos de ingeniería) están modelados por ecuaciones diferenciales (en este caso solo nos

interesan aquellos donde se relaciona una única variable independiente), y para determinar su solución, generalmente no admiten la aplicación de métodos analíticos. Se debe aplicar métodos numéricos.

6.1 PROBLEMAS DE VALORES INCIALES DE PRIMER ORDEN (PVI1)

Se trata de encontrar la curva y(x) que pasa por el punto y cuya pendiente de la recta tangente en

cualquier punto de la curva está dada por .

Teorema de existencia y unicidad de las soluciones

Dado:

Sí f(x, y) y son continuas en una región R del plano que contiene al punto , entonces existe

una única función definida en que satisface al PVI dado.

Clasificación de métodos para PVI

Métodos de paso simple y paso múltiple

Los métodos de paso simple calculan la solución yi+1 en el punto xi+1 a partir del valor de la función yi en el punto xi. Por ejemplo, el método de Euler:

1 ( , )i i i iy y f t y h

Por su parte los métodos de paso múltiple (de m pasos) calculan la solución yi+1 en ti+1 a partir del valor de la función y en los instantes ti, ti–1, ..., ti–m+1 . Por ejemplo, el método de Heun:

1 1 1( , ) ( , ( , )2 )2i i i i i i i ihy y f t y f t y f t y h

Métodos explícitos e implícitos

Los métodos explícitos permiten hallar yi+1 directamente, sin tener que resolver un sistema de ecuaciones no lineales. Por ejemplo, Runge-Kutta de orden dos:

1 1 1 2 2 1 2 1 11 1 ( , ) ( , )i i i i i i iy y a k a k h k f t y f k f t p h y q k h

Los métodos implícitos necesitan resolver un sistema no lineal, pues yi+1 aparece a ambos lados de la ecuación, por ejemplo la regla trapezoidal:

1 1 11 ( , ) ( , )2i i i i i iy y f t y f t y h

Estrategia de los Métodos de paso simple o autoiniciadores

Se discretiza el intervalo [x0, xf], es decir se subdivide en n subintervalos, resultando n+1 puntos igualmente espaciados y a partir del dato y(x0) = y0 se calculan los valores de la incógnita “y” en cada uno de los puntos x1, x2, x3, …, xn = xf determinados en la discretización, según las ecuaciones que definen al método que se esté aplicando.

Estrategia de los Métodos Multipasos

Un método multipaso de orden m o de m pasos, calcula los valores de la incógnita “y” en los puntos xm, xm+1, xm+2, …, xn= xf . Para ello es necesario aplicar un método autoiniciador que entregue los valores de la incógnita “y” en los puntos previos x1, x2, x3,..., xm-1.

Observe:

Los métodos numéricos no obtienen una función analítica y(x) que satisface al PVI dado, sino un conjunto de valores discretos yk que se corresponden con valores discretos tk de la variable independiente x.

Si se desean resultados para otros valores de x se pueden utilizar los métodos de interpolación vistos previamente.

6.2 ALGUNOS MÉTODOS AUTOINICIADORES

6.2.1 Método de Euler

Es una técnica para resolver PVI de la forma:

, (1)

Como se escriben EDO1 en la forma de arriba?

Ejemplo 1:

Dada , Se escribe: entonces: .

Ejemplo2: Dada se escribe

En este caso

Deducción

Como conocemos la pendiente de respecto a ,esto es, , entonces en , la pendiente es . Tanto como son conocidos puesto que son la condición inicial .

Así la pendiente en x=x0 como se muestra en la figura 1 es:

Pendiente De aquí:

Llamando = , tenemos . (2)

Ahora podemos usar el valor de (una aproximación de en ) para calcular , y así predecir el valor de y en ,

Figure 1. Interpretación gráfica del primer paso del método de Euler

Generalizando: Teniendo el valor de en , entonces Para i=0, 1, 2,…, n Esta fórmula es conocida como el método de Euler y se ilustra en la figura 2.

Figure 2. Interpretación gráfica general del método de Euler

Example 3:

Una bola experimenta una temperatura de 1200K y se somete a un ambiente de temperatura 300K. Si solo hay pérdida de calor debido a radiación, la ecuación diferencial para la temperatura en la bola, está dada por:

Φ

Tamaño de pasos h

x

y

x0,y0

Valor verdadero

y1, Valor estimado

Φ

Tamaño de pasoh

Valor verdadero

yi+1, Valor estimado

yi

x

y

xi xi+1

;

Determinar la temperatura a los segundos usando el método de Euler. Tomar un tamaño de paso segundos.

Solución

;

Aplicando la fórmula de Euler se tiene: para i = 0, 1.

For , ,

es la temperatura aproximada en .

Para , ,

es la temperatura aproximada en . .

La figura 3 compara la solución exacta con la solución numérica por el método de Euler con h=240.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500

Time, t(sec)

Tem

pera

ture

,

h=240

Exact Solution

θ(K)

Figure 3. Comparación de solución exacta con numérica por Euler

También se resolvió el problema usando otros tamaños de paso. Los resultados se presentan en la siguiente tabla.h=240

4802401206030

-987.81110.32546.77614.97632.77

1635.4537.26100.8032.60714.806

252.5482.96415.5665.03522.2864

Tabla 1. Temperatura en 480 segundos como una función del tamaño del paso h

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 100 200 300 400 500

Time, t (sec)

Tem

pera

ture

,

Exact solution

h=120h=240

h=480

θ(K

)

Figure 4. Comparación del método de Euler con la solución exacta para distintos h

La solución exacta está dada por:

. Así

Se ha debido notar que el método de Euler involucra grandes errores en los cálculos. Esto se ilustra usando la serie de Taylor, como sigue:

(5)

(6)

Si solo tomamos los dos primeros términos, se tiene: ,que precisamente corresponde a la

ecuación que define al método de Euler.

El error verdadero en la aproximación está dado por:

El error verdadero es proporcional a h2, esto quiere decir que si el tamaño de paso h se divide por la mitad el error aproximadamente debería reducirse a la cuarta parte. Sin embargo de la tabla 1 vimos que cuando el

tamaño de paso se reduce a la mitad el error solo se reduce aproximadamente a la mitad. Esto es debido a que el error mostrado en la tabla es proporcional al cuadrado del tamaño del paso y es llamado error local de truncamiento, esto es, se trata del error en los cálculos cuando se pasa de un punto al siguiente. El error global de truncamiento, que se refiere a la acumulación de los errores hasta el cálculo en el punto correspondiente, es proporcional solamente al tamaño del paso h.

6.2.2 Métodos de Runge-Kutta

Son métodos muy populares por su precisión y facilidad de uso.

Forma general

El avance se realiza mediante la expresión:

1

1 1 2 2 ...i i

n n

y y ha k a k a k

Donde los "a" son coeficientes numéricos y los "k" distintas aproximaciones de la derivada por medio de la función f(t,y) evaluada en distintos puntos.

Los valores de "k" se hallan mediante las fórmulas:

1

2 1 11 1

3 2 21 1 22 2

1,1 1 1,2 2 1, 1 1

( , )( , )( , )

...( , ... )

i i

i i

i i

n i n i n n n n n

k f t yk f t p h y q k hk f t p h y q k h q k h

k f t p h y q k h q k h q k h

Donde los "p" y "q" son coeficientes numéricos.

Obsérvese que cada valor de k depende de los "k" ya calculados, por lo que la evaluación de estas fórmulas es sencilla si se conocen los coeficientes.

Los coeficientes de las fórmulas de Runge-Kutta se hallan imponiendo la condición de que el error sea del mismo orden que en el método de Taylor.

6.2.2.1 Fórmulas de Runge-Kutta de orden dos:

1 1 1 2 2

1

2 1 11 1

( , ) ( , )

i i

i i i

i i

y y a k a k hk f t y fk f t p h y q k h

El método de Taylor, reteniendo términos hasta orden dos, establece que:

2 2

1 ( , ) ( , )2! 2i i i i i i i i ti yi ih hy y f t y h f t y y f h f f f

Por otra parte, aplicando el desarrollo en serie a las fórmulas de Runge-Kutta:

1 1 1 2 2 1 2 1 11 1

1 2 1 11 1

( , ) ( , )

i i i i i i i

i i i ti yi i

y y a k a k h y a f t y a f t p h y q k h h

y a f h a f f p h f f q k h h

Comparando las dos expresiones de fi+1 e identificando coeficientes se llega a:

1 2 2 1 2 111 11 (tres ecuaciones con cuatro incógnitas)2 2

a a a p a q

Se puede dar valores a a2 y se obtienen distintas fórmulas de Runge-Kutta (todas ellas de orden 2, con error local de truncamiento O(h3)).

Figure 1. Método de Runge-Kutta de 2do orden (Método de Heun)

6.2.2.2 Método de Runge-Kutta de orden 4 (clásico, error local O(h5))

x

y

xi xi+1

yi+1,

yi

ii yxfPendiente , hkyhxfPendiente ii 1,

a2=1/2 ® p1=q11=1 (Método de Heun):

1 1 2

1

2 1

/ 2 ( , ) ( , )

i i

i i i

i i

y y k k hk f t y fk f t h y k h

a2=1 ® p1=q11=1/2 (Método del punto medio):

1 2

1

2 1

( , ) ( / 2, / 2)

i i

i i i

i i

y y k hk f t y fk f t h y k h

Interpretación geométrica

1 1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

2 26

( , )1 1 ( , )2 21 1 ( , )2 2

( , )

i i

i i

i i

i i

i i

hy y k k k k

k f t y

k f t h y k h

k f t h y k h

k f t h y k h

Ejemplo

Una bola experimenta una temperatura de 1200K y se somete a un ambiente de temperatura 300K. Si solo hay pérdida de calor debido a radiación, la ecuación diferencial para la temperatura en la bola, está dada por:

;

Determinar la temperatura a los segundos usando el método de Euler. Tomar un tamaño de paso segundos.

Solución:

Parte 1: Discretización del dominio (Intervalo [0, 480]):

n= número de puntos donde se va estimar las soluciones.

h= Paso

ti = t0 + ih, para i = 0,1,2,…,n

En nuestro caso h= 240 y n= 2.

Entonces: ti = t0 +ih, i = 0, 1,2

Es decir, se tiene: t0 = 0, t1 = 240, t2 = 480.

Segunda parte: Adecuación de ecuaciones

Como la ecuación está dada por: Entonces:

Y así las ecuaciones que se han de procesar son:

Tercera parte: Cálculos y organización de los resultados

For , ,

es la temperatura aproximada en ;

Para

es la temperatura aproximada en = ;

-400

0

400

800

1200

1600

0 200 400 600

Time,t(sec)

Tem

pera

ture

, h=120Exact

h=240

h=480

θ(K

)

Figure 1. Comparación del método de Runge-Kutta de 4to orden con la solución exacta para diferentes tamaños de paso.

Tabla 1. Valores de la temperatura en el tiempo, t = 480s para diferentes h (pasos)

Algoritmo en seudocódigo del método de Runge-Kutta de cuarto orden (Clásico)

Para aproximar la solución del PV1

En N+1 punto igualmente espaciados en el intervalo [x0, xf]:

ENTRADA extremos x0, xf; entero N; condición y0.

SALIDA aproximación ω a y en los (N+1) valores de x. (ωi ≈ y(xi))

Paso 1 Tome h=( xf - x0)/N; x=x0; ω = y0; SALIDA (x, ω).

Paso 2 para i= 1,2,3, … ,N haga pasos 3-5.

Paso 3 Tome K1= f(x, ω);

K2 = f(x+h/2, ω + (K1/2)h);

Tamaño del paso, 4802401206030

-90.278594.91646.16647.54647.57

737.8552.6601.4122

0.0336260.00086900

113.948.1319

0.218070.0051926

0.00013419

K3 = f(x+h/2, ω + (K2/2)h);

K4 = f(x+h, ω+K3h);

Paso 4 Tome ω = ω + (h/6)(K1 + 2K2 + 2K3 + K4); (calcula ωi) ;

X = x0 + ih. (Calcula xi);

Paso 5 SALIDA (x, ω).

Paso 6 PARAR

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Dados:

a.

b.

1.1) El teorema de existencia y unicidad tratado garantiza la solución única? 1.2) Para h = 0.25 y para h=0.1 aplicar los métodos de Euler, Heun, punto medio y R-K-4. 1.3) Comparar lo obtenido por cada método en cada ejercicio con la solución analítica correspondiente a través de una tabla y gráficamente. Plantee conclusiones.

2. Un circuito eléctrico consiste en un capacitor de capacidad constante C=1.1 faradios, que está en serie con un resistor de resistencia constante R0 =2.1 ohmios. Se aplica un voltaje ε(t)=110sen(t) en el tiempo t=0. Cuando el resistor se calienta, la resistencia se transforma en una función de la corriente i, dada por R(t)= R 0 +ki , donde k = 0.9 y la ecuación diferencial de i(t) se convierte en:

Calcule i(2), suponiendo que i(0) = 0. Aplique R-K-4. Presente la gráfica correspondiente.

3. Los resistores no siempre obedecen la ley de Ohm. Por ejemplo, la caída de voltaje puede ser no lineal y el circuito dinámico se describe por una relación tal como:

Donde i = corriente, L= inductancia, R=resistencia e es una corriente de referencia conocida igual a 1. Encuentre i en

función del tiempo, analíticamente y aplicando un método numérico.

7. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE CONTORNO SEGUNDO ORDEN (PB2)

7.1 Generalidades

Generalmente los problemas de contorno que se consideran son de la forma:

Aquí consideraremos PB2 de tipo lineal, es decir de la forma:

7.2 Teorema de existencia y unicidad de la solución para PB2 lineales

Si el PB2 lineal:

Satisface

(i) p(x), q(x) y f(x) son continuas en [a, b],

(ii) -q(x) > 0 en [a, b]

Entonces el PB2 tiene solución única.

Usualmente este tipo de problema se resuelve aplicando: El Método de diferencias finitas o el método del

disparo.

El método de Diferencias Finitas involucra aproximaciones de la ecuación diferencial en n+2 puntos x0 , x1 ,

x2 , … , xn+1 ; cada derivada se aproxima por un esquema de diferencia finita; generándose un sistema lineal de

n ecuaciones, con n incógnitas (valor aproximado de y ( x ) en los puntos intermedios definidos: x1 , x2 , … , xn ).

El Método del Disparo, aplica una estrategia que reduce el PB2 a dos PVI1. La solución se obtiene a través de

un procedimiento por ensayo y error mediante una interpolación de las dos soluciones para los PVI1

construidos.

El método que se describe aquí es el de Diferencias Finitas. A continuación los detalles.

7.2 Método por Diferencias Finitas.

Aproximación de y’ (x) y y’’ (x) por Diferencias Finitas.

Expandiendo y (x + h ) y y ( x – h ) en serie de Taylor se tiene:

y (x + h ) = y (x) + y’ ( x ) h + y’’ ( x ) + y’’’ ( x ) + … (7.1)

y (x - h ) = y (x) - y’ ( x ) h + y’’ ( x ) - y’’’ ( x ) + … (7.2)

Con h pequeña, los términos h4 , h5 , … se pueden despreciar. Si se considera solo términos hasta h, tomando

(7.1)-(7.2) y despejando y’ (x) se tiene:

y’ ( x ) y (x + h ) - y ( x – h ) (7.3)

Si se consideran términos hasta h2 , (7.1) + (7.2 ) y despejando y’’ (x) se obtiene:

y’’(x) y (x + h ) - 2 y ( x ) + y ( x – h ) (7.4)

(7.3) y (7.4) se llaman esquema de diferencia finita centrales para aproximar y’( x ) y y’’( x ) respectivamente.

Ecuación en Diferencia Finita.

Considérese el P.B:

Se elige una participación regular del intervalo a, b a través de la ecuación xi = a + i h , i = 0, 1, 2, … , n + 1

con h = .

Los puntos x1 = a + h hasta xn = a + nh, son puntos interiores en la malla que se forma y es en cada uno de

estos donde se desea encontrar la solución aproximada de y (x).

Si yi = y ( xi ) , pi = p ( xi ) , qi =q ( xi ) y fi = f ( xi ) y si y’, y ‘’ del PB se describe por las aproximaciones

descritas en (7.3) y (7.4) se tiene:

( ) + pi* ( ) + qi * yi = fi

Simplificando queda:

( 1 + pi ) yi + 1 + ( - 2 + h2 qi ) yi + ( 1 - pi ) yi – 1 = h2 fi (7.5)

La cual se aplica para i = 1, 2, 3, … , n

Téngase en cuenta que yo = y (xo ) = y ( a ) = y yn+1 = y ( xn+1 ) = y (b ) = son conocidos; así pues que se

forma un sistema de ecuaciones con n ecuaciones y n incógnitas: yi , i = 1, … , n.

La estructura del sistema formulado matricialmente es de la forma:

. = (7.6)

Un algoritmo que recoge el procedimiento descrito es como sigue:

Dada el P.B:

PASO 1: - Elegir h o n . (h = )

- Definir los puntos xi para i = 0, … , n + 1 por la ecuación xi = a + i h

PASO 2: Determinar pi = p (xi ) , qi = q (xi) fi = f (xi ) , y . Para especificar el sistema matricial (7.6).

Calcular en x1: a1 = -2 + h2 q1 , b1 = 1 + p1 , d1 = h2 f1 -

Para i = 2, 3, … , n - 1

ai = -2 + h2qi, bi = 1 + pi , ci = 1 - pi di = h2 fi

Calcular en xn : an = - 2 + h2 qn , cn = 1 - pn , dn = h2 fn - (1 + pn)

Construir el sistema:

. =

PASO 3: Resolver el sistema del PASO 2 por algún método apropiado.

PASO 4: Presentar los resultados en forma organizada.

Ejemplo

Resolver:

PASO 1:

Tómese h = 0.25 n + 1 = = 8 n = 7

Como xi = a + i h , i = 0, 1, 2, … , n + 1 y a=0, entonces xi = 0.25i, Para i = 0, 1, 2, …, 8

xo = 0 , x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1.0 x5 = 1.25, x6 = 1.50, x7 = 1.75, x8 = 2.0

PASO 2:

pi = - , qi = , fi = 1, = 1.25, = 0.0649

Los elementos del sistema matricial son:

a1 = - 2 + (0.25)2 = - 1.8824 , b1 = 1 + ( - = 0.9412

d1 = (0.25)2 (1) - (1 - (- ) ) = - 1.2610

a2 = - 2 + (0.25)2 ( ) = -1.3500 , b2 = 1 + (- ) = 0.90

c2 = 1 - ( - ) = 1.1 , d2 = (0.25)2 (1) = 0.6744

a3 = - 1.733 a4 = - 1.0938 a5 = -1.0537 a6 = -1.0321

b3 = 0.88 b4 = 0.875 b5 = 0..8780 b6 = 0.8846

c3 = 1.12 c4 = 1.125 c5 = 1.1220 c6 = 1.1154

d4 = 0.0625 d4 = 0.0625 d5 = 0.0625 d6 = 0.0625

a7 = -1.0198 c7 = 1.1077 d7 = 0.0046

Así se tiene:

. =

PASO 3: Resolviendo el sistema por eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás se obtiene:

y1 = 1.3237 y2 = 1.3076 y3 = 1.2121 y4 = 1.0513 y5 = 0.8410 y6

= 0.5966 y7 = 0.3333

PASO 4: La solución por diferencia finitas para el PB asignado:

i xi yi y (xi) y (xi ) *

0 0.0000 1.2500 1.25

1 0.2500 1.3237 1.3250

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

Solución aproximadaSolución exacta

2 0.5000 1.3076 1.3105

3 0.7500 1.2121 1.2166

4 1.0000 1.0513 1.0569

5 1.2500 0.8410 0.8468

6 1.5000 0.5966 0.6017

7 1.7500 0.3333 0.3364

8 2.0000 0.0649 0.0649

* La solución exacta es: y (x =1.25 + 0.486089652x- 2.25 x2+2xarctan (x)+ ( x2 –1)Ln (1+ x2 )

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Aplicar el método de diferencias finitas para aproximar la solución de los PB2, dados:

a. , Tome h = La solución exacta está dada

por: . Utilice gráficas para comparar.

b. . Gráfica correspondiente.