der kern einer matrix - tu dresdenganter/inf2004/matrixslides.pdf · zeilenäquivalenz die...

Der Kern einer Matrix

Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektorens1, . . . , sm von rechts mit einem Spaltenvektorv := (λ1, . . . , λm)T , dann ist das Ergebnis gerade dieLinearkombination

λ1s1 + λ2s2 + . . . + λmsm

der Matrixspalten.

Sollte dies der Nullvektor sein, dann liegt der Vektor v imKern der Matrix:

kerA := {vT | AvT = 0}.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 1

Die elementaren Zeilenoperationen

Elementare Zeilenoperationen

1. Ersetze eine Zeile durch die Summe dieser Zeilemit einem Vielfachen einer anderen Zeile.

2. Vertausche zwei Zeilen.

3. Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar, der un-gleich Null ist.

Hilfssatz 1 Elementare Zeilenoperationen ändern denKern einer Matrix nicht.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 2

Zeilenäquivalenz

Die elementaren Zeilenoperationen sind umkehrbar. Kannman eine Matrix A durch das Ausführen solcherOperationen in die Matrix B verwandeln, dann geht dasauch umgekehrt.

Zwei Matrizen, die durch elementare Zeilenoperationenineinander überführt werden können, nennt manzeilenäquivalent.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 3

Zeilenführer

Man kann die elementaren Zeilenoperationen gezieltanwenden, um eine gegebene Matrix in eine Normalformzu bringen.

Eine Nullzeile ist eine Zeile, in der nur Nullen stehen, dieanderen Zeilen sind Nichtnullzeilen.

Das erste von Null verschiedene Element einerNichtnullzeile nennen wir den Zeilenführer dieser Zeile.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 4

Zeilenstufenform

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, falls gilt:

1. Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzei-len.

2. Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechtsvom Führer der Zeile darüber.

3. Alle Einträge unterhalb Zeilenführers sind gleichNull.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 5

reduzierte Zeilenstufenform

Eine Matrix in Zeilenstufenform ist in reduzierter Zei-lenstufenform, wenn sie zusätzlich die folgenden Be-dingungen erfüllt:

4. Jeder Zeilenführer hat den Wert 1.

5. Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seinerSpalte, der nicht gleich Null ist.

Satz 1 Jede Matrix ist zu genau einer Matrix in reduzierterZeilenstufenform zeilenäquivalent.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 6

Reduzierte Zeilenstufenform

Eine Matrix ist in reduzierter Zeilenstufenform, fallsgilt:

1. Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzei-len.

2. Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechtsvom Führer der Zeile darüber.

3. Alle Einträge unterhalb Zeilenführers sind gleichNull.

4. Jeder Zeilenführer hat den Wert 1.

5. Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seinerSpalte, der nicht gleich Null ist.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 7

Der Rang einer Matrix

Die Spalten einer Matrix A, aufgefasst als Vektoren,erzeugen einen Vektorraum, den man den Spaltenraumdieser Matrix nennt.

Entsprechend ist der Zeilenraum der von den Zeilen derMatrix erzeugte Raum.

Die Dimension des Spaltenraumes heißt der Rang derMatrix, im Zeichen rang(A).

Man kann beweisen, dass der Zeilenraum die gleicheDimension hat („Zeilenrang gleich Spaltenrang“).

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 8

Rang und Zeilenoperationen

Satz 2 Elementare Zeilenoperationen ändern den Rangeiner Matrix nicht.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 9

Rang und Zeilenstufenform

Weil man den Rang einer Matrix in Zeilenstufenform ganzeinfach ablesen kann, haben wir nun ein Mittel gefunden,den Rang von Matrizen zu bestimmen.

Hilfssatz 2 Der Rang einer Matrix in Zeilenstufenform istdie Anzahl ihrer Nichtnullzeilen.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 10

Bestimmung des Rangs

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, tut manfolgendes:

1. Bringe die Matrix in Zeilenstufenform.

2. Der Rang ist die Anzahl der Nichtnullzeilen.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 11

Dimension des Kerns

Hilfssatz 3 Der Kern einer z × s–Matrix A ist einVektorraum der Dimension

s − rang(A).

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 12

Eine Basis des Kerns (1)

Wir nehmen an, dass die Matrix in reduzierterZeilenstufenform ist.

Wir bezeichnen die Spaltenvektoren, in denen dieseZeilenführer stehen, mit

sj1 , . . . , sjr.

Die Zahl r ist der Rang der Matrix.

Diese Spalten sind linear unabhängig, sie bilden eine Basisdes Spaltenraumes.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 13

Eine Basis des Kerns (2)

Jede andere Spalte ai ist davon linear abhängig, und esgibt eindeutig bestimmte Skalare

αijk

, k = 1, . . . , r,

mitsi + αi

j1sj1 + αij2sj2 + . . . + αi

jrsjr

= 0.

Das Tupel (c1, . . . , cs)T mit den Einträgen

ci := 1, cj1 := αj1 , . . . , cjr:= αjr

und cl := 0 für alle l /∈ {i, j1, . . . , jr} gehört deshalb zumKern der Matrix.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 14

Eine Basis des Kerns (3)

Man erhält ein solches Tupel für jedes

i /∈ {j1, . . . , jr}.

Es zeigt sich, dass diese Vektoren linear unabhängig sindund eine Basis des erns bilden.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 15

Lineare Gleichungssysteme

Ein besonders wichtiges Anwendungsgebiet der LinearenAlgebra ist das Lösen linearer Gleichungssysteme.

So ein Gleichungssystem hat die folgende Gestalt

a1,1x1 + a1,2x2 + . . . + a1,sxs = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + . . . + a2,sxs = b2

... . . . ......

az,1x1 + az,2x2 + . . . + az,sxs = bz,

dabei sind die ai,j und die bk vorgegebene Skalare und diexl Variablen.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 16

Elegante Schreibweise

Mit

A :=

a1,1 a1,2 . . . a1,s−1 a1,s

a2,1 a2,2 . . . a2,s−1 a2,s

...... . . . ...

...az,1 az,2 . . . az,s−1 az,s

, x :=

x1

x2

...xs

und b :=

b1

b2

...bz

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 17

schreibt man das obige Gleichungssystem in der Kurzform

Ax = b.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 18

Homogene Gleichungssysteme

Wir behandeln zunächst den Spezialfall b := 0; also

Ax = 0.

Man spricht dann von einem homogenenGleichungssystem.

Die Aufgabe lautet in diesem Fall offenbar, den Kern derMatrix A zu bestimmen.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 19

Inhomogene Gleichungssysteme

Nun betrachten wir den inhomogenen Fall, bei dem b = 0nicht vorausgesetzt wird.Die folgende einfache Überlegung ist hilfreich: Sind u, v undw Spaltenvektoren mit Au = Av = b und Aw = 0, dann gilt

A(v + w) = Av + Aw = b + 0 = b und A(u − v) = 0.

In Worte gefasst besagt dies:

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 20

Hilfssatz 4 Die Summe einer Lösung des inhomogenenGleichungssystems mit einer Lösung des homogenenGleichungssystems ist wieder eine Lösung desinhomogenen Gleichungssystems.

Je zwei Lösungen des inhomogenen Gleichungssystemsunterscheiden sich um eine Lösung des homogenenGleichungssystems.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 21

Affine Teilräume

Ist U ein Untervektorraum eines Vektorraumes V und v ∈ Vein beliebiger Vektor, dann ist

v + U := {v + u | u ∈ U}.

Vorsicht: v + U muss kein Untervektorraum mehr sein!

Solche Teilmengen, die durch das „Verschieben“ vonUntervektorräumen entstehen, nennt man die affinenTeilräume von V . Außerdem wird auch die leere Menge alsaffiner Teilraum von V verstanden.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 22

Die Struktur von v + U

Die Anzahl der Vektoren in U und in v + U ist die gleiche.

Ein nichtleerer affiner Teilraum hat also ebensovieleElemente wie ein Untervektorraum.

Ein affiner Teilraum hat deshalb entweder 0 Elemente,genau 1 Element oder mindestens soviele Elemente, wiees Skalare gibt.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 23

Satz 3 Ist v eine Lösung des linearen GleichungssystemsAx = b, dann ist die Menge aller Lösungen dieses linearenGleichungssystems

v + ker A.

Ist v eine Lösung und ist c1, . . . , cs−r eine Basis von kerA,dann ist die Lösungsmenge gleich

{v + λ1c1 + λ2c2 + . . . + λz−scz−s | λ1, . . . , λz−s ∈ K}.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 24

Den vorigen Satz formulieren wir noch einmal:Satz 4 Ist v eine Lösung des linearen GleichungssystemsAx = B, bei dem A eine z × s-Matrix vom Rang r ist, und istC eine Matrix, deren Spalten eine Basis von kerA bilden,dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystemsgegeben durch

{v + Cw | w ∈ Ks−r}.

Man benötigt also eine Lösung, um alle zu bestimmen.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 25

Hilfssatz 5 Das lineare Gleichungssystem Ax = b hatgenau dann eine Lösung, wenn der Vektor b eineLinearkombination der Spalten von A ist.

Das ist klar, aber wie finden wir heraus, ob das der Fall ist?

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 26

Wir vergleichen den Spaltenraum von A, also denVektorraum, der von den Spalten der Matrix A erzeugt wird,mit dem Raum, der von b und den Spalten von Aaufgespannt wird, also dem Spaltenraum der erweitertenMatrix

(A | b),

die entsteht, wenn man die Matrix A um eine Spalte,nämlich um b erweitert. Wenn b im Spaltenraum von A liegt,dann ändert sich nichts, die Spaltenräume der beidenMatrizen sind gleich. Insbesondere haben sie die gleicheDimension und die beiden Matrizen den gleichen Rang.Wenn aber b nicht im Spaltenraum von A liegt, dann hat derSpaltenraum von (A | b) eine größere Dimension als dervon A.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 27

Satz 5 Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genaudann lösbar, wenn

rang A = rang (A | b) .

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 28

Der Gaußsche Algorithmus zum Lösen eines linearen Glei-chungssystems

Ax = b.

1. Bringe die erweiterte Matrix (A | b) in Zeilenstufen-form.

2. Wenn die letzte Spalte einen Zeilenführer enthält, istdas Gleichungssystem unlösbar. Dann stopp. Ande-renfalls kann man eine Lösung v anhand der Zeilen-stufenform ausrechnen.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 29

3. Es sei {j1, . . . , js−r} die Menge der Indizes von Spal-ten von A, die keinen Zeilenführer enthalten. Dannkann zu jedem k ∈ {1, . . . , s − r} ein Spaltenvektorck := (ck

1, . . . , ck

s)t ∈ K

s bestimmt werden mit

ckjl

= 0 für l 6= k und ckjl

= 1 für l = k,

der im Kern von A liegt (also Ack = 0 erfüllt). Dies ge-schieht leichter mit Hilfe der reduzierten Zeilenstufen-form der Matrix A. Diese Vektoren bilden eine Basisdes Kerns von A.

4. Die Lösungsmenge ist dann

{v + λ1c1 + . . . λs−rc

s−r | λ1, . . . , λs−r ∈ K}.

Die elementaren Zeilenoperationen – p. 30