aljabar linear elementer · vektor besaran yang mempunyai arah notasi vektor ... (2,3,3) –...

19/09/2014 11:16 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen


VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG

Pokok Bahasan :

1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal

3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :

• Proses Grafika Komputer

• Kuantisasi pada proses kompresi

• Least Square pada Optimasi

• Dan lain-lain


Notasi dan Operasi

Vektor besaran yang mempunyai arah

Notasi vektor

321321

3

2

1

,,ˆˆˆ ccckcjcic

c

c

c

c

Notasi panjang vektor

3

2

1

c

c

c

c

adalah 2

3

2

2

2

1 cccc

Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu


Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

• Hasil kali silang (Cross Product)


Penjumlahan Vektor

u

v vu

u

u v

vu

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

maka


u

u2

u2

Perkalian vektor dengan skalar

u uk

u

u

u

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali

panjang vektor dengan arah

Jika k > 0 searah dengan

Jika k < 0 berlawanan arah dengan


Scaling

PP

P’P’


3211 ,aaaa 321 ,, bbbb

332211 ,,.1 babababa

332211 ,,.2 babababa

321 ,,.3 kakakaak

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas

dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama

dan

maka

Misalkan


Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)

• Hasil kali silang (cross product)

Hasil kali titik merupakan operasi

antara dua buah vektor pada ruang yang sama

yang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali silang merupakan operasi

antara dua buah vektor pada ruang R3

yang menghasilkan vektor

Hasil kali silang (Cross product)


Dot Product

Misalkan

adalah vektor pada ruang yang sama

maka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana

: panjang

: panjang

: sudut keduanya

cosbaba

,a b

a

b

a

b


Ilustrasi dot product vektor A dan B

cosBABA


Contoh 2 :

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor

dan

Jawab :

Karena tan = 1 , artinya = 450

= 4

ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2

cosbaba

2

182


Ingat aturan cosinus

Perhatikan

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos a c

b

a

b

a

b

ab

cos2222

babaab

b


Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

cosba

222

2

1 abba

cos1. baba

22

2

2

1

2

....2 naaaa

22

2

2

1

2

....3 nbbbb

22

22

2

11

2

....4 nn abababab

nnnn

nn

ababab

aaabbb

2...22

......

11

22

2

2

1

22

2

2

1

nnbabababa ...2211


Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada

contoh sebelumnya

= 2 (2) + 0 (2)

= 4

Beberapa sifat hasilkali titik :

1.

2.

3.

2211 bababa

nnbabababa ...2211

abba

cabacba

Rkbkabakbak dimana,


Proyeksi Ortogonal

Karena

aproycb

a

b

w

cwa bcwba

bcbw

bk

bbk

bkc

bahwaterlihat

2b

bak


Jadi,

rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 :

Tentukan proyeksi ortogonal

vektor

terhadap vektor

3

4

2

u

4

3

1

v

bb

baaoyb 2

Pr


Jawab :

4

3

1

4

3

1

26

26

4

3

1

26

)12()12(2

4

3

1

)4(31

4

3

1

3

4

2

Pr

222

2v

v

vwwoyv


Cross Product (hasilkali silang)

Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor

di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak

lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

321

321

ˆˆˆ

BBB

ABA

kji

BxAC

kBB

AAj

BB

AAi

BB

AA ˆˆˆ

21

21

31

31

32

32


Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)

BxAC


Contoh :

Tentukan ,

dimana

Jawab :

vuw

321

321

ˆˆˆ

vvv

uuu

kji

w

2,2,1 u )1,0,3(v

103

221

ˆˆˆ

kji

i)2(01.2 j1.1)2(3 k2.30.1

kji ˆ6ˆ7ˆ2


Beberapa sifat Cross Product :

a.

b.

c.

2222vuvuvu

0 vxuu

0 vxuv


Dari sifat ke-3 diperoleh

2222vuvuvu

222cos vuvu

22222cos vuvu

222cos1 vu

222sin vu

sin, vuvxuJadi


Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut

adalah

u

v

sinv

u

sinGenjangJajaran Luas vuvxu

vu 2

1segitigaLuas


Contoh :

Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :

A = (1, –1, –2)

B = (4, 1, 0)

C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas

segitiga ABC !

Jawab :

Tulis

= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)

= (3, 2, 2)

= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)

= (1, 4, 5)

AB

AC


Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

AB AC541

223

ˆˆˆ kji

kji ˆ10ˆ13ˆ2

10016942

1Luas

2732

1


Orientasi pada titik B

BA ba

BC bc

BCBA

322

223

ˆˆˆ

kji

jki ˆ10ˆ13ˆ2

BCxBA2

11001694

2

1

2732

1

= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :

=


Latihan Bab 4

1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh

pasangan vektor berikut :

a. dan

b. dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:

a. dan

b. dan

2

1u

8

6v

7

3

1

u

2

2

8

v

1

2a

2

3b

3

1

2

a

2

2

1

b


3. Tentukan dua buah vektor satuan

yang tegak lurus terhadap

4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik

sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

2

3u

1

3

7

u

4

0

2

v

aljabar linear elementer · vektor besaran yang mempunyai arah notasi vektor ... (2,3,3) –...

Documents