aliran bendalir unggul - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf ·...
TRANSCRIPT
Bab 2
ALIRAN BENDALIR UNGGUL
2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir
Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan:
1. Kaedah Lagrangian
(a) Kajian pola aliran SATU zarah individu
(b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti
(c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu
2. Kaedah Eulerian
(a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan
(b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa
dikaji dengan teliti
(c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persim-
pangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika.
Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis
matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting.
2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir
2.2.1 Garis Arus
Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya
pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan
satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yangmempunyai komponen
dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponen-
komponen vektor halaju Vs sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang
23
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 24
sV
sV
sV
Rajah 2.1: Garisarus.
diambil oleh zarah untuk bergerak sepanjang jarak ds di atas garisarus dengan halaju Vs
ialah
t =ds
Vs
yang sama dengan
t =dx
u=
dy
v=
dz
w
Dengan itu persamaan kebezaan untuk garisarus boleh ditulis sebagai
dx
u=
dy
v=
dz
w(2.1)
Sesuatu unsur bendalir yang dikelilingi oleh sejumlah garis arus yangmembendung alir-
an dinamai tiub arus. Oleh kerana tiada gerakan bendalir yang memintas sesuatu garis
arus, maka tiada bendalir yang dapat memasuki atau meninggalkan tiub arus, kecuali
menerusi dua penghujungnya, A dan B di dalam Rajah 2.2. Jelas bahawa sesuatu tiub
arus itu berkelakuan seperti sesuatu tiub pepejal.
2.2.2 Garis laluan
Garis laluan ialah lokus satu zarah bendalir yang bergerak, iaitu satu lengkung yang di-
jejaki oleh satu zarah semasa gerakannya. Rajah 2.3 menunjukkan satu garisarus pada
t1 yang menunjukkan vektor halaju untuk zarah A dan B. Pada ketika t2 dan t3, zarah
A ditunjukkan berada di kedudukan seterusnya. Garisan yang menyambungkan semua
kedudukan ini mewakili garis laluan zarah A.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 25
B
A
Rajah 2.2: Tiub arus.
2.2.3 Garis upaya atau Garis Sama-upaya
Kehilangan turus (tenaga) zarah-zarah bendalir terjadi apabila zarah- zarah ini mele-
wati garis-garis arus. Jika kita lukiskan garisan yang menyambungkan titik-titik yang
mempunyai keupayaan yang sama di atas garis-garis arus yang bersebelahan, kita akan
mendapat garis upaya atau garis sama-upaya, Rajah 2.4. Garisan AA’, BB’, CC’ dan DD’
ialah garisarus dan PP’, QQ’, RR’ dan SS’ pula ialah garis sama- upaya.
A
A'
BC
D B'C'
D'
P
Q R
S
Q' R'
P' S'
Rajah 2.4: Garis upaya atau sama-upaya.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 26
B
A
AA
1t
2 1t t t= + ∆
3 2t t t= + ∆
Garis laluan untukzarah bendalir A
Garisarus seketikapada t1
Rajah 2.3: Garis laluan.
2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir
2.3.1 Aliran Laminar & Aliran Gelora
Setiap zarah di dalam aliran laminar mempunyai satu laluan yang tetap dan laluan-lauan
zarah-zarah ini tidak saling memintas atau merentasi. Ia dikenali juga sebagai aliran garis
arus. Setiap zarah bendalir di dalam aliran gelora pula tidak mempunyai laluan yang
tetap dan laluan-laluan zarah-zarah ini saling memintas atau merentasi satu sama lain.
Rajah 2.5: Aliran laminar dan aliran gelora.
2.3.2 Aliran Berputar & Aliran Nirputaran
Zarah-zarah di dalam aliran berputar turut berputar di atas paksi masing-masing apabila
mengalir, Rajah 2.6(a). Zarah-zarah di dalam aliran nirputaran tidak berputar di atas
paksi masing-masing dan kekal dengan orientasi asal apabila mengalir, Rajah 2.6(b).
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 27
Rajah 2.6: Aliran berputar, dan aliran nirputaran.
2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat
x
y
( )vv dy
y
ρρ ∂+∂
( )uu dx
x
ρρ ∂+∂uρ
vρ
dy
dx
Rajah 2.7: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir.
Pertimbangkan suatu unsur segiempat bendalir yang mempunyai tepian dx dan dy serta
tebal b seperti di dalam Rajah 2.7. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v. Untuk
arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh dida-
pati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk:
ρub dy−[
ρu +∂(ρu)
∂xdx
]
b dy = −∂(ρu)
∂xb dx dy
Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y,
−∂(ρv)
∂yb dx dy
Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertam-
bah sebanyak ∂(ρb dx dy)/∂t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 28
rolehi:
−∂(ρu)
∂xb dx dy− ∂(ρv)
∂yb dx dy =
∂(ρb dx dy)
∂t
atau
∂ρ
∂t+
∂(ρu)
∂x+
∂(ρv)
∂y= 0 (2.2)
Persamaan (2.2) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk aliran
boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ∂ρ/∂t, adalah sifar.
Untuk aliran tak boleh mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi:
∂u
∂x+
∂v
∂y= 0 (2.3)
Persamaan (2.3) digunakan untuk aliran mantap dan tak boleh mampat.
2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat
x
y
pp dy
y
∂+∂
pp dx
x
∂+∂p
p
dy
dx
Rajah 2.8: Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir
Pertimbangkan daya yang bertindak ke atas suatu unsur kecil bendalir, Rajah 2.8. Oleh
kerana bendalir ini adalah bendalir unggul, tiada daya likat yang bertindak. Jadi, mene-
rusi hukum gerakan kedua Newton, jumlahan daya-daya yang bertindak ke atas unsur
ini di dalam sebarang arah mestilah mengimbangi daya inersia di dalam arah yang sa-
ma. Tekanan yang bertindak ke atas unsur kecil bendalir, dx dy ditunjukkan di dalam
Rajah 2.8. Di samping itu, dengan mengambilkira daya jasad dan menganggap bahawa
jumlahan kedua-dua daya ini (iaitu daya tekanan dan daya jasad) sama dengan daya
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 29
inersia, persamaan gerakan untuk kes ini boleh diperolehi seperti berikut:
ρ(∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
︸ ︷︷ ︸
daya inersia
= ρX − ∂p
∂x(2.4a)
ρ( ∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)
︸ ︷︷ ︸
daya inersia
= ρY − ∂p
∂y(2.4b)
Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-
lah dikeluarkan—dalam bentuk ini ia lebih dikenali sebagai persamaan gerakan Euler un-
tuk dua dimensi. Bagi aliran mantap, jika daya jasad diabaikan, maka untuk seunit jisim
bendalir:
ρ(
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
= −∂p
∂x(2.5a)
ρ(
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)
= −∂p
∂y(2.5b)
dengan
ax =(
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y
)
= pecutan dalam arah-x
dan
ay =(
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y
)
= pecutan dalam arah-y
Di dalam aliran bendalir dua dimensi, tiga kuantiti perlu diketahui, iaitu u, v dan p,
sebagai fungsi x, y dan t:
u = u(x, y, t)
v = v(x, y, t)
p = p(x, y, t)
Jika halaju-halaju u dan v diketahui, tekanan, p, boleh dikira menerusi persamaan (2.4)
atau (2.5).
Bagaimanapun, oleh kerana sebutan pecutan (iaitu sebutan inersia) tidak linear, penye-
lesaian analitikal menjadi sukar dan hanya terhad kepada beberapa kes mudah saha-
ja. Biasanya, bagi aliran unggul persamaan keterusan (2.3) dan persamaan gerakan Eu-
ler (2.4) atau (2.5) diselesaikan bagi keadaan-keadaan awal dan keadaan-keadaan sem-
padan yang tertentu.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 30
PeralihanPeralihan PutaranPutaran
Herotan Sudut,tanpa putaran
Herotan Sudut,tanpa putaran Herotan IsipaduHerotan Isipadu
Rajah 2.9: Gerakan-gerakan unsur bendalir.
2.6 Vortisiti
Aliran unggulmembezakan di antara aliran berputar dan aliran tak berputar (atau nirpu-
taran). Umumnya terdapat dua jenis gerakan: peralihan (translation) dan putaran (rota-
tion). Kedua-duanya boleh wujud tersendiri atau serentak (gerakan peralihan bertindih-
an dengan dengan gerakan putaran atau sebaliknya). Sekiranya sesuatu unsur pepejal
dapat diwakili oleh satu segi empat tepat maka peralihan tulen atau putaran tulen boleh
diwakili oleh Rajah 2.9. Sekiranya kita mengambil segi empat tepat tadi sebagai mewaki-
li bendalir, di samping dua gerakan tadi, ia juga boleh berubah bentuk: linear atau sudut,
Rajah 2.9.
x
y
dy
dxA
b
a
α
β
A'
a'
b'v dt
vdx dt
y
∂−∂
u dt
udy dt
y
∂∂
α β≠
Rajah 2.10: Putaran, peralihan dan herotan.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 31
Daripada Rajah 2.10, kadar purata putaran dalam masa dt ialah
ω =α + β
2× 1
dt=
1
2
α + β
dt(2.6)
tetapi, untuk nilai-nilai kecil, dan mengambil putaran melawan arah jam sebagai positif,
α =lengkok
jejari=
∂v
∂xdx dt
1
dx=
∂v
∂xdt
dan
β =lengkok
jejari= −∂u
∂ydy dt
1
dy= −∂u
∂ydt
Dengan menggantikan ungkapan untuk α dan β di atas ke dalam persamaan (2.6), maka
kadar putaran sekitar paksi-z ialah
ωz =1
2
(∂v
∂xdt− ∂u
∂ydt
)1
dt
=1
2
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)
︸ ︷︷ ︸
vortisiti, ζz
(2.7a)
Putaran unsur bendalir sekitar dua paksi yang lain boleh ditemui menerusi kaedah yang
sama. Untuk paksi-y
ωy =1
2
(∂u
∂z− ∂w
∂x
)
︸ ︷︷ ︸
vortisiti, ζy
(2.7b)
dan untuk paksi-x
ωx =1
2
(∂w
∂y− ∂v
∂z
)
︸ ︷︷ ︸
vortisiti, ζx
(2.7c)
Ungkapan di dalam kurungan,(
∂w
∂y− ∂v
∂z
)
= ζx(
∂u
∂z− ∂w
∂x
)
= ζy(
∂v
∂x− ∂u
∂y
)
= ζz
(2.8)
disebut vortisiti, ζ;
ζx = 2ωx
ζy = 2ωy
ζz = 2ωz
(2.9)
dengan ω adalah halaju sudut unsur-unsur bendalir sekitar pusat jisim di dalam sesuatu
satah (xy, xz atau yz).
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 32
2.7 Penentuan Aliran Berputar atau Sebaliknya
Ungkapan untuk vortisiti, persamaan (2.8), diperolehi dengan menganggap bahawa ge-
rakan putaran unsur bendalir wujud dan bertindihan di atas gerakan peralihan. Aliran
sedemikian disebut aliran berputar dan
ζ =∂v
∂x− ∂u
∂y, 0 (2.10)
Daripada sini, kita boleh menyimpulkan bahawa bagi aliran tanpa putaran, atau nirpu-
taran, persamaan (2.8), dan dengan itu vortisiti, mestilah bernilai sifar. Oleh itu, jika
gerakan zarah-zarah hanyalah semata-mata gerakan peralihan dan herotannya pula si-
metrikal, aliran ini disebut aliran nirputaran dan keadaan yang mesti dipatuhinya ialah;
ζ =∂v
∂x− ∂u
∂y= 0 (2.11)
2.8 Edaran
Pertimbangkan unsur bendalir ABCD dalam gerakan putaran, Rajah 2.11.
x
y
uu dy
y
∂+∂
vv dx
x
∂+∂
v
u
dx
dy
A
B C
D
Arahkamilan
Rajah 2.11: Edaran.
Oleh kerana unsur bendalir ini berputar, terjadi halaju pinggiran hasilan. Bagaimanapun,
pusat putaran ini tidak diketahui jadi lebih mudah jika kita mengaitkan putaran ini de-
ngan jumlahan hasil darab halaju dengan jarak sekeliling kontur unsur bendalir. Jum-
lahan hasil darab ini disebut edaran
Γ =∮
vs ds (2.12)
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 33
yang lazimnya dianggap positif dalam arah melawan jam. Dengan itu, untuk unsur
ABCD, bermula daripada sisi AD,
ΓABCD = u dx +
(
v +∂v
∂xdy
)
dy
−(
u +∂u
∂ydy
)
dx− v dy
=∂v
∂xdx dy− ∂u
∂ydy dx
=
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)
dx dy
tetapi untuk aliran 2-D dalam satah-xy,(
∂v
∂x− ∂u
∂y
)
= ζz
iaitu vortisiti unsur ABCD sekitar paksi-z, ζz. Hasil darab (dx dy) pula ialah luas unsur
dA. Dengan itu
ΓABCD =
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)
dx dy
= ζz dA
2.9 Keupayaan Halaju
Keupayaan halaju, φ, adalah suatu kuantiti skalar yang bergantung kepada ruang dan
masa;
−φ =∫
vs ds
dengan vs ialah halaju sepanjang suatu jarak ds. Daripada takrif di atas, kitamemperolehi
dφ = −vs ds
atau
vs = −dφ
ds
Tanda negatif muncul kerana kelaziman bahawa keupayaan halaju susut dalam arah alir-
an. Keupayaan halaju bukanlah suatu kuantiti fizikal yang boleh diukur dengan mudah;
oleh yang demikian kedudukan nilai sifarnya boleh dipilih secara rambang.
Hasil bezaan keupayaan halaju terhadap sesuatu arah memberikan halaju dalam arah
tersebut, iaitu untuk koordinat Cartesan (x, y, z);
u = −∂φ
∂x; v = −∂φ
∂y; w = −∂φ
∂z(2.13)
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 34
Bagi sistem koordinat kutub (r, θ, z), komponen halaju diberikan oleh
vr = −∂φ
∂r; vθ = −1
r
∂φ
∂θ; vz = −∂φ
∂z(2.14)
Daripada persamaan (2.13)
∂u
∂y= − ∂2φ
∂y∂xdan
∂v
∂x= − ∂2φ
∂x∂y
yang menghasilkan:
∂v
∂x− ∂u
∂y= 0 (2.15)
Umumnya, hasil kebezaan keseluruhan bagi fungsi φ di dalam dua dimensi diperolehi
menerusi pembezaan separa
dφ =∂φ
∂xdx +
∂φ
∂ydy (2.16)
dan menerusi persamaan (2.13)
dφ = −u dx− v dy = − (u dx + v dy) (2.17)
Kesannya, apabila fungsi φ telah diperolehi, pembezaan φ dengan x dan y memberikan
halaju-halaju u dan v dan dengan itu pola aliran ditemui.
Suatu garisan yang sepanjang-panjangnya mempunyai nilai φ yang malar dinamai garis-
an sama upaya, dan di atas garisan ini arah halaju bendalir adalah berserenjang dengan-
nya.
Sementara itu, persamaan keterusan untuk aliran mantap tak boleh mampat dalam dua
dimensi yang diberikan oleh persamaan (2.3)
∂u
∂x+
∂v
∂y= 0
boleh ditulis dalam sebutan φ sebagai
∂2φ
∂x2+
∂2φ
∂y2= 0 (2.18)
Persamaan (2.18) dikenali sebagai persamaan Laplace.
Perlu diingatkan bahawa pola aliran upaya ditentukan hanya oleh hubungan keterus-
an (iaitu persamaan (2.3) atau persamaan (2.18)); hubungan momentum (iaitu persama-
an (2.4) atau (2.5)) cuma digunakan untuk menentukan tekanan.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 35
2.10 Fungsi Arus dan Kadar Aliran
Fungsi arus, Rajah 2.12, adalah satu fungsi yang menghurai bentuk pola aliran. Ia juga
mewakili luahan atau kadar aliran seunit tebal. Secara matematik:
ψ = f (x, y) (2.19)
dengan
u = komponen halaju di titik P dalam arah-x
v = komponen halaju di titik P dalam arah-y
ψ = fungsi arus di titik P
Pertimbangkan satu lagi garis arus sejauh dy di dalam arah-y dan dx di dalam arah-x,
Rajah 2.12. Fungsi arus untuk garis arus ini ialah ψ + dψ.
x
y
ψ
dψ ψ+
dx
dy
v
uP
Rajah 2.12: Fungsi arus.
Kadar aliran (seunit tebal) merentasi dy diberikan oleh:
dψ = u dy ⇒ u =dψ
dy(2.20a)
sementara kadar aliran (seunit tebal) merentasi dx pula ialah:
dψ = −v dx ⇒ v = −dψ
dx(2.20b)
Apabila komponen-komponen halaju ditakrif dalam sebutan fungsi arus kita tahu baha-
wa pengabadian jisim telah dipatuhi. Walaupun kita masih belum mengetahui apakah
fungsi ψ(x, y) untuk sesuatu masalah, tetapi sekurang-kurangnya kita telah memudahk-
an analisis dengan hanya perlu menentukan satu fungsi anu, iaitu ψ(x, y), sebagai ganti
dua fungsi, u(x, y) dan v(x, y).
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 36
Di samping itu garisan yang di sepanjangnya nilai ψ adalah malar dinamai garisarus
dan kecerunan di sebarang titik sepanjang sesuatu garisarus diberikan oleh persamaan
garisarus
dy
dx=
v
u⇒ u dy− v dx = 0 (2.21)
Gantikan u dan v ke dalam persamaan di atas
∂ψ
∂ydy +
∂ψ
∂xdx = 0 (2.22)
⇒ dψ = 0
Ini menunjukkan bahawa luahan di antara dua garis arus adalah malar dan diberikan
oleh perbezaan di antara kedua-dua fungsi arus tersebut, iaitu dψ.
Dalam koordinat silinder, komponen halaju, vr dan vθ , dihubungkan dengan fungsi arus,
ψ(x, y), menerusi persamaan
vr =1
r
∂ψ
∂θ; vθ = −∂ψ
∂r(2.23)
dengan vr positif mengarah keluar daripada asalan dan vθ positif dalam arah melawan
jam.
Konsep fungsi arus boleh digunakan untuk aliran simetri sepaksi (seperti aliran di dalam
paip atau aliran di sekeliling jasad yang berputar) dan aliran boleh mampat dua dimensi.
Konsep ini, bagaimanapun, TIDAK boleh digunakan untuk aliran tiga dimensi.
2.11 Hubungan di Antara Fungsi Arus dan Keupayaan Halaju
Oleh kerana setiap komponen halaju boleh diungkapkan dalam sebutan φ dan ψ, wujud
hubungan di antara φ dan ψ.
u = −∂φ
∂x=
∂ψ
∂yv = −∂φ
∂y= −∂ψ
∂x
Dengan itu
∂ψ
∂y= −∂φ
∂x
∂ψ
∂x=
∂φ
∂y(2.24)
Persamaan (2.24) dikenali sebagai keadaan-keadaan Cauchy-Riemann.
Hasil bezaan keseluruhan ψ(x, y) ialah
dψ =∂ψ
∂xdx +
∂ψ
∂ydy
= −v dx + u dy
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 37
dan kita juga mengetahui bahawa untuk setiap garisarus dψ = 0; dengan itu
dy
dx=
v
u(2.25)
Hasil bezaan keseluruhan keupayaan halaju, φ(x, y), pula ialah
dφ =∂φ
∂xdx +
∂φ
∂ydy
= −u dx− v dy
Bagi setiap garisan sama-upaya φ adalah malar dan dengan itu dφ = 0. Jadi untuk
garisan sama-upaya
dy
dx= −u
v(2.26)
Daripada persamaan (2.25) dan (2.26) kita boleh melihat bahawa garisan sama-upaya (φ
yang malar) dan garisarus (ψ yang malar) memintas satu sama lain secara ortogon. Oleh
itu garis sama-upaya dan garisarus membentuk jaringan garisan-garisan yang saling ber-
serenjang yang dikenali sebagai jaringan aliran, Rajah 2.13.
Rajah 2.13: Jaringan aliran, Massey (1983).
2.12 Beberapa Pola Asas Aliran
2.12.1 Aliran garis lurus
Pola aliran termudah ialah aliran yang garisarusnya lurus, Rajah 2.14
Kelaziman yang digunakan untuk menomborkan garisarus ialah fungsi arus dianggap
bertambah ke kiri pemerhati yangmemandang ke arus hilir. Jika halaju aliranV condong
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 38
pada sudut α ke paksi-x, maka komponen dalam arah-x dan y diberikan oleh
u = V cos α v = V sin α (2.27)
Fungsi aliran diperolehi dengan menggantikan u dan v di atas ke dalam persamaan
dψ =∂ψ
∂xdx +
∂ψ
∂ydy
= −v dx + u dy
= u dy− v dx
yang menjadi
ψ =∫
V cos α dy−∫
V sin α dx + pemalar (2.28)
x
y
α
0ψ
1ψ
2ψ
3ψ
4ψ
5ψ
6ψ
V
Rajah 2.14: Aliran garis lurus.
Oleh kerana di dalam aliran seragamV = pemalar dan di dalam aliran garis lurus α juga
turut malar, ungkapan untuk fungsi arus menjadi
ψ = Vy cos α −Vx sin α + pemalar (2.29)
Pemalar kamilan boleh dijadikan sifar denganmemilih supaya garisarus rujukan, ψ0 = 0,
melalui asalan. Jadi, apabila x = 0 dan y = 0 fungsi arus ψ = ψ0 = 0. Dengan itu
ψ = V(y cos α − x sin α) (2.30)
Oleh kerana u dan v malar maka ∂u/∂y dan ∂v/∂x adalah sifar, oleh yang demikian
aliran adalah aliran nirputaran.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 39
Keupayaan halaju diperolehi menerusi persamaan (2.16) dan (2.17)
dφ =∂φ
∂xdx +
∂φ
∂ydy = −(u dx + v dy)
Dengan itu, menerusi gantian dan kamilan,
φ = −(∫
V cos α dx +∫
V sin α dy
)
+ pemalar
tetapi jika φ = φ0 = 0 di x = 0 dan y = 0, maka
φ = −V (x cos α + y sin α) (2.31)
2.12.2 Aliran daripada sumber atau punca
Sumber ialah suatu titik yang darinya terpancar bendalir keluar secara sekata dalam se-
mua arah, Rajah 2.15.
Rajah 2.15: Aliran sumber.
Bagi aliran dua dimensi, kekuatan sesuatu sumber,m, adalah ukuran jumlah kadar aliran
isipadu bendalir seunit tebal yang berpunca daripada sumber tersebut.
Oleh kerana halaju secara keseluruhannya dalam arah jejari, maka untuk seunit tebal,
halaju v pada jejari r diberikan oleh
Kadar aliran isipadu
Luas yang berseranjang ke halaju=
m
2πr
Untuk aliran daripada suatu sumber di asalan, halaju tangen
vt =∂ψ
∂r= 0
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 40
sementara halaju jejari yang menghala keluar
vr = −(
∂ψ
r∂θ
)
=m
2πr
Oleh itu
ψ = − m
2πθ (2.32)
dengan θ dalam ukuran radian dan diambil dalam julat 0 ≤ θ < 2π.
Juga
−∂φ
∂r= vr =
m
2πr
dan
− ∂φ
r∂θ= vt = 0
Dengan itu
φ = − m
2πln( r
C
)
(2.33)
Garis-garis arus adalah garis yang θ nya malar, iaitu garisan jejari. Untuk aliran nirpu-
taran, garisan φ adalah bulatan sepusat.
2.12.3 Aliran ke sinki
Lawan sumber ialah sinki yang merupakan suatu titik yangmenjadi pusat tumpuan alir-
an bendalir dan bendalir di titik ini sentiasa di keluarkan. Kekuatan sinki dianggap ne-
gatif dan ungkapan untuk halaju dan fungsi ψ serta φ adalah sama seperti aliran sumber.
2.12.4 Vorteks nirputaran atau bebas
Pola aliran yang garis-garis arusnya berbentuk bulatan sepusat dikenali sebagai vorteks
bulat satah. Zarah-zarah yang bergerak dalam bulatan sepusat ini mungkin berputar di
atas paksinya sendiri atau mungkin tidak. Jika zarah-zarah ini tidak berputar di atas
paksinya sendiri, vorteks ini dikenali sebagai vorteks bebas atau vorteks nirputaran.
Rajah 2.16 menunjukkan suatu unsur di dalam medan vorteks bebas yang dibendung
oleh dua garis arus dan dua jejari. Halaju v dan v + dv dianggap positif dalam arah
melawan jam. Halaju yang berserenjang terhadap adalah sifar.
Edaran Γ (positif dalam arah lawan jam) sekitar unsur ini ialah
Γ = (v + dv)(R + dR) dθ − vR dθ
= (R dv + v dR) dθ
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 41
Rajah 2.16: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas.
dengan magnitud-magnitud kecil order tinggi diabaikan.
Vortisiti diberikan oleh
ζ =Edaran
Luas=
(Rdv + v dR)dθ
R dθ dR
=v
R+
dv
dR
=v
R+
∂v
∂R: apabila dR → 0 (2.34)
dengan R mewakili jejari kelengkungan garis arus, bukannya koordinat kutub.
Untuk aliran nirputaran
ζ =v
R+
∂v
∂R= 0 (2.35)
Halaju adalah malar sepanjang garis arus dan berubah hanya dengan R, jadi
dv
dR= − v
R
yang boleh dikamil untuk memberikan
vR = pemalar (2.36)
Edaran sekitar satu litar yang sepadan dengan suatu garis arus vorteks bebas diberikan
sebagai
Γ = v× 2πR
Oleh kerana vR = pemalar, edaran juga turut malar bagi keseluruhan vorteks. Aliran
vorteks bebas adalah nirputaran di semua bahagian kecuali pusatnya, yang mempunyai
teras berputar dan vortisi yang bukan sifar. Jadi di pusat vorteks bebas, persamaan (2.36)
tidak sah digunakan.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 42
Dalam vorteks bulat dua dimensi, halaju adalah keseluruhannya dalam arah tangen. Ba-
gi vorteks yang berpusat di asalan koordinat
ψ =∫
∂ψ
∂rdr +
∫∂ψ
∂θdθ
=∫
v dr + 0
=∫
Γ
2πrdr
=Γ
2πln
(r
r0
)
(2.37)
dengan r0 mewakili jejari pada ψ = 0. Pemalar Γ dikenali sebagai kekuatan vorteks.
Pertimbangkan satu unsur kecil bendalir di antara dua garis arus, Rajah 2.17, di dalam
medan aliran mantap.
Rajah 2.17: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas.
Di jejari R daripada pusat kelengkungan tekanannya ialah p, sementara di jejari R + dR
pula ialah p + dp. Tujahan bersih (seunit ketebalan) ke atas unsur, menghala ke pusat
kelengkungan, ialah
(p + dp)(R + dR) dθ−
pR dθ − 2
(
p +dp
2
)
dR sindθ
2
Dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order tinggi, tujahan bersih ini dipermu-
dahkan menjadi R dp dθ.
Komponen berat unsur yang bertindak sepanjang jejari dan menghala keluar ialah
R dθ dR ρgdz
dR= Rρgdθdz
dengan dz ialah unjuran tegak dR supaya lengkok cos(dz/dR) membentuk sudut di an-
tara jejari dan arah tegak. Oleh itu jumlah daya yang bertindak ke dalam ialah
R dp dθ + Rρg dθ dz = Jisim× Pecutan memusar
= ρR dθ dRv2
R
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 43
Bahagikan dengan Rρg dθ
dp
ρg+ dz =
v2
R
dR
g(2.38)
Teorem Bernoulli untuk aliran mantap bendalir tanpa geseran memberikan
p
ρg+
v2
2g+ z = H
dengan H adalah turus yang malar sepanjang sesuatu garis arus (walaupun nilai ini ber-
ubah dari satu garis arus ke garis arus yang lain). Kebezakan persamaan di atas
dp
ρg+
2v dv
2g+ dz = dH (2.39)
Gabungkan persamaan (2.38) dan (2.39)
dH =vdv
g+
v2dR
Rg=
v
g
(dv
dR+
v
R
)
dR
Tetapi vdR = dψ, dan daripada persamaan (2.34),
dv
dR+
v
R= ζ
Oleh itu
dH = ζdψ
g(2.40)
2.12.5 Vorteks berputar atau paksa
Gerakan bendalir vorteks paksa diperolehi apabila bendalir di‘paksa’ berputar seperti
suatu jasad pejal sekitar suatu pusat. Oleh kerana daya kilas luar diperlukan bagi me-
mulakan gerakan, sebutan ‘vorteks paksa’ digunakan.
Halaju di jejari R dari pusat putaran diberikan oleh ωR, dengan ω mewakili halaju sudut
yang seragam. Gantian v = ωR ke dalam persamaan aliran mantap (2.38) memberikan
dp
ρg+ dz = ω2R
dR
g
Kamilkan persamaan di atas
p
ρg=
ω2R2
2g+ pemalar
iaitu
p∗ =ρω2R2
2+ pemalar (2.41)
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 44
dengan p∗ = p + ρgz.
Persamaan (2.41) menunjukkan bahawa p∗ bertambah dengan jejari R. Bendalir boleh
dibekalkan di pusat sesuatu vorteks paksa dan kemudiannya diluah keluar di susur-
keliling pada tekanan yang lebih tinggi. Prinsip ini merupakan asas pam empar.
Jika suatu vorteks paksa dihasilkan di dalam bendalir yang mengisi bekas terbuka atau
terdedah kepada atmosfera, tekanan di permukaan bebas bendalir adalah atmosfera dan
dengan itu malar nilainya. Oleh yang demikian, permukaan bebas
z =ω2R2
2g+ pemalar
Jika z = z0 apabila R = 0, maka
z− z0 =ω2R2
2g
iaitu persamaan permukaan yang berbentuk paraboloid perkisaran, Rajah 2.18, dengan
R bersudut tepat ke paksi putaran z.
Rajah 2.18: Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi
bekas terbuka, Massey (1983).
2.13 Gabungan Beberapa Pola Asas Aliran
2.13.1 Aliran Garis Lurus Seragam dan Sumber
Ambil suatu sumber dengan kekuatan m di asalan koordinat dan gabungkan pola aliran
ini dengan aliran seragam dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Gabungan
pola garis arus ditunjukkan di dalam Rajah 2.19.
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 45
Rajah 2.19: Gabungan aliran garis lurus dan sumber, Massey (1983).
Halaju daripada sumber, m/(2πr), yang menghala keluar susut dengan bertambahnya
jejari. Jadi di suatu titik di kiri O, halaju ini akan mencapai nilai yang sama, tetapi ber-
lawanan arah, dengan halaju arus seragam, U; menjadikan halaju gabungan di titik ini
sifar. Titik ini dinamai titik genangan. Di titik ini
m
2πr= U =⇒ r =
m
2πU
Bendalir yang keluar daripada sumber tidak berdaya bergerak melepasi S, dan seterus-
nya mencapah daripada paksi θ = π dan seterusnya dibawa arus ke kanan.
Denganmencampurkan fungsi arus untuk aliran seragam dan fungsi arus untuk sumber,
kita memperolehi aliran gabungan sebagai
ψ = −Uy +
(
−mθ
2π
)
= −Ur sin θ − mθ
2π
Di titik genangan, y = 0 dan θ = π; dengan itu nilai ψ di situ ialah −m/2 yang mesti
malar sepanjang garis arus yang sepadan dengan kontor jasad. Kontor ini ditakrif oleh
rumus
−Uy− mθ
2π= −m
2
dan mengunjur ke nilai tak terhingga ke kanan, dengan nilai asimptot y diberikan oleh
m/2U apabila θ → 0 atau −m/2U apabila θ → 2π.
Komponen halaju di sebarang titik di dalam aliran diberikan oleh
vt =∂ψ
∂r= −U sin θ
vr = − ∂ψ
r∂θ= +U cos θ +
m
2πr
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 46
Jasad yang kontornya terbentuk oleh gabungan aliran garislurus linear dengan suatu
sumber begini dikenali sebagai separuh jasad.
2.13.2 Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan
Rajah 2.20: Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey (1983).
Jika kekuatan sumber di A ialah m dan kekuatan sinki di B pula ialah −m, maka fungsi
arus aliran gabungan ialah
ψ = −mθ12π
+mθ22π
=m
2π(θ2 − θ1) (2.42)
Untuk sebarang titik P di dalam medan aliran,
|θ2 − θ1| = ∠APB
Garisan-garisan yang ψ nya malar (iaitu garis-garis arus) dengan itu melengkung sepan-
jang lengkung yang ∠APB malar, iaitu lengkok bulat dengan AB sebagai perentas asas.
Jika A berada di (−b, 0) dan B di (b, 0) maka
tan θ1 =y
x + bdan tan θ2 =
y
x− b
Oleh itu
tan(θ2 − θ1) =tan θ2 − tan θ11+ tan θ2 tan θ1
=y/(x− b) − y/(x + b)
1+ [y2/(x2 − b2)]
=2by
x2 − b2 + y2
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 47
dan daripada persamaan (2.42),
ψ =m
2πarctan
2by
x2 − b2 + y2(2.43)
dengan
(
0 < arctan2by
x2 − b2 + y2≤ π
)
untuk y > 0
(
−π ≤ arctan2by
x2 − b2 + y2≤ 0
)
untuk y < 0
2.13.3 Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan alir-
an garis lurus
Rajah 2.21: Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis
lurus, Massey (1983).
Aliran seragammengalir dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Fungsi arus
gabungan yang terhasil ialah
ψ = −Uy +m
2π(θ2 − θ1)
= −Uy +m
2πarctan
2by
x2 − b2 + y2
Dengan sumber di kiri asalan, suatu titik genangan dijangkakan di hulu sumber, dan
titik genangan kedua di hilir sinki. Jika titik genangan berada di jarak s dariO sepanjang
paksi-x, halaju gabungan di situ ialah
U− m
2π(s− b)+
m
2π(s + b)= 0
dengan itu
s = ±b
√
1+m
πUb
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 48
Di titik-titik genangan, y = 0 dan θ2 − θ1 = 0 jadi ψ = 0, iaitu kesemua titik ini ber-
ada di atas garisan ψ = 0 yang simetrikal sekitar kedua-dua paksi, rujuk Rajah 2.21.
Garisan ψ = 0 ini selalunya dikenali sebagai oval Rankine, mengambil sempena nama
W. J. M. Rankine (1820–1872) yang merupakan penyelidik pertama membangunkan tek-
nik menggabung pola-pola aliran.
2.13.4 Kembar
Jika sumber dan sinki di dalam Rajah 2.20 didekatkan tetapi hasil darab m× 2b dikekal-
kanmalar dan terhingga nilainya, pola yang terhasil dikenali sebagai kembar atau dwipola.
Sudut APB menjadi sifar dan garis-garis arus menjadi bulatan yang tangen ke paksi-x.
Dari persamaan (2.43), apabila 2b → 0,
ψ → m
2π
( 2by
x2 − b2 + y2
)
→ Cy
x2 + y2
=Cr sin θ
r2=
C sin θ
r(2.44)
dengan r dan θ adalah koodinat kutub dan
C = pemalar =mb
π
2.13.5 Kembar dan Aliran Garis lurus Seragam
Rajah 2.22: Kembar dan aliran garis lurus seragam, Massey (1983).
Jika suatu kembar di asalan dengan paksi x negatifnya digabungkan dengan aliran ga-
rislurus seragam dalam arah x positif, fungsi arus paduan ialah
ψ = −Uy +C sin θ
r
= −Ur sin θ +C sin θ
r(2.45)
BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 49
Apabila sumber dan sinki bersatu untuk membentuk kembar, oval Rankine menjadi su-
atu bulatan. Persamaan (2.45) menunjukkan bahawa garisarus ψ = 0 ditemui apabila
θ = 0, θ = π atau C = Ur2.
Sepanjang paksi-x, ψ = 0 dan
r =
√
C
U= pemalar
Dengan
C
U= a2 (2.46)
persamaan (2.45) menjadi
ψ = −U(
r− a2
r
)
sin θ (2.47)
Halaju aliran gabungan ini diberikan oleh
vr = −1
r
∂ψ
∂θ= U
(
1− a2
r2
)
cos θ
vt =∂ψ
∂r= −U
(
1+a2
r2
)
sin θ