aliran bendalir unggul - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf ·...

27
Bab 2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL 2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan: 1. Kaedah Lagrangian (a) Kajian pola aliran SATU zarah individu (b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti (c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu 2. Kaedah Eulerian (a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan (b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa dikaji dengan teliti (c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persim- pangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika. Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting. 2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir 2.2.1 Garis Arus Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yang mempunyai komponen dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponen- komponen vektor halaju V s sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang 23

Upload: others

Post on 05-Sep-2019

24 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

Bab 2

ALIRAN BENDALIR UNGGUL

2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir

Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan:

1. Kaedah Lagrangian

(a) Kajian pola aliran SATU zarah individu

(b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti

(c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu

2. Kaedah Eulerian

(a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan

(b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa

dikaji dengan teliti

(c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persim-

pangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika.

Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis

matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting.

2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir

2.2.1 Garis Arus

Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya

pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan

satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yangmempunyai komponen

dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponen-

komponen vektor halaju Vs sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang

23

Page 2: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 24

sV

sV

sV

Rajah 2.1: Garisarus.

diambil oleh zarah untuk bergerak sepanjang jarak ds di atas garisarus dengan halaju Vs

ialah

t =ds

Vs

yang sama dengan

t =dx

u=

dy

v=

dz

w

Dengan itu persamaan kebezaan untuk garisarus boleh ditulis sebagai

dx

u=

dy

v=

dz

w(2.1)

Sesuatu unsur bendalir yang dikelilingi oleh sejumlah garis arus yangmembendung alir-

an dinamai tiub arus. Oleh kerana tiada gerakan bendalir yang memintas sesuatu garis

arus, maka tiada bendalir yang dapat memasuki atau meninggalkan tiub arus, kecuali

menerusi dua penghujungnya, A dan B di dalam Rajah 2.2. Jelas bahawa sesuatu tiub

arus itu berkelakuan seperti sesuatu tiub pepejal.

2.2.2 Garis laluan

Garis laluan ialah lokus satu zarah bendalir yang bergerak, iaitu satu lengkung yang di-

jejaki oleh satu zarah semasa gerakannya. Rajah 2.3 menunjukkan satu garisarus pada

t1 yang menunjukkan vektor halaju untuk zarah A dan B. Pada ketika t2 dan t3, zarah

A ditunjukkan berada di kedudukan seterusnya. Garisan yang menyambungkan semua

kedudukan ini mewakili garis laluan zarah A.

Page 3: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 25

B

A

Rajah 2.2: Tiub arus.

2.2.3 Garis upaya atau Garis Sama-upaya

Kehilangan turus (tenaga) zarah-zarah bendalir terjadi apabila zarah- zarah ini mele-

wati garis-garis arus. Jika kita lukiskan garisan yang menyambungkan titik-titik yang

mempunyai keupayaan yang sama di atas garis-garis arus yang bersebelahan, kita akan

mendapat garis upaya atau garis sama-upaya, Rajah 2.4. Garisan AA’, BB’, CC’ dan DD’

ialah garisarus dan PP’, QQ’, RR’ dan SS’ pula ialah garis sama- upaya.

A

A'

BC

D B'C'

D'

P

Q R

S

Q' R'

P' S'

Rajah 2.4: Garis upaya atau sama-upaya.

Page 4: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 26

B

A

AA

1t

2 1t t t= + ∆

3 2t t t= + ∆

Garis laluan untukzarah bendalir A

Garisarus seketikapada t1

Rajah 2.3: Garis laluan.

2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir

2.3.1 Aliran Laminar & Aliran Gelora

Setiap zarah di dalam aliran laminar mempunyai satu laluan yang tetap dan laluan-lauan

zarah-zarah ini tidak saling memintas atau merentasi. Ia dikenali juga sebagai aliran garis

arus. Setiap zarah bendalir di dalam aliran gelora pula tidak mempunyai laluan yang

tetap dan laluan-laluan zarah-zarah ini saling memintas atau merentasi satu sama lain.

Rajah 2.5: Aliran laminar dan aliran gelora.

2.3.2 Aliran Berputar & Aliran Nirputaran

Zarah-zarah di dalam aliran berputar turut berputar di atas paksi masing-masing apabila

mengalir, Rajah 2.6(a). Zarah-zarah di dalam aliran nirputaran tidak berputar di atas

paksi masing-masing dan kekal dengan orientasi asal apabila mengalir, Rajah 2.6(b).

Page 5: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 27

Rajah 2.6: Aliran berputar, dan aliran nirputaran.

2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat

x

y

( )vv dy

y

ρρ ∂+∂

( )uu dx

x

ρρ ∂+∂uρ

dy

dx

Rajah 2.7: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir.

Pertimbangkan suatu unsur segiempat bendalir yang mempunyai tepian dx dan dy serta

tebal b seperti di dalam Rajah 2.7. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v. Untuk

arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh dida-

pati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk:

ρub dy−[

ρu +∂(ρu)

∂xdx

]

b dy = −∂(ρu)

∂xb dx dy

Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y,

−∂(ρv)

∂yb dx dy

Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertam-

bah sebanyak ∂(ρb dx dy)/∂t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-

Page 6: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 28

rolehi:

−∂(ρu)

∂xb dx dy− ∂(ρv)

∂yb dx dy =

∂(ρb dx dy)

∂t

atau

∂ρ

∂t+

∂(ρu)

∂x+

∂(ρv)

∂y= 0 (2.2)

Persamaan (2.2) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk aliran

boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ∂ρ/∂t, adalah sifar.

Untuk aliran tak boleh mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (2.3)

Persamaan (2.3) digunakan untuk aliran mantap dan tak boleh mampat.

2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat

x

y

pp dy

y

∂+∂

pp dx

x

∂+∂p

p

dy

dx

Rajah 2.8: Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir

Pertimbangkan daya yang bertindak ke atas suatu unsur kecil bendalir, Rajah 2.8. Oleh

kerana bendalir ini adalah bendalir unggul, tiada daya likat yang bertindak. Jadi, mene-

rusi hukum gerakan kedua Newton, jumlahan daya-daya yang bertindak ke atas unsur

ini di dalam sebarang arah mestilah mengimbangi daya inersia di dalam arah yang sa-

ma. Tekanan yang bertindak ke atas unsur kecil bendalir, dx dy ditunjukkan di dalam

Rajah 2.8. Di samping itu, dengan mengambilkira daya jasad dan menganggap bahawa

jumlahan kedua-dua daya ini (iaitu daya tekanan dan daya jasad) sama dengan daya

Page 7: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 29

inersia, persamaan gerakan untuk kes ini boleh diperolehi seperti berikut:

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

︸ ︷︷ ︸

daya inersia

= ρX − ∂p

∂x(2.4a)

ρ( ∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

︸ ︷︷ ︸

daya inersia

= ρY − ∂p

∂y(2.4b)

Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

lah dikeluarkan—dalam bentuk ini ia lebih dikenali sebagai persamaan gerakan Euler un-

tuk dua dimensi. Bagi aliran mantap, jika daya jasad diabaikan, maka untuk seunit jisim

bendalir:

ρ(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= −∂p

∂x(2.5a)

ρ(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −∂p

∂y(2.5b)

dengan

ax =(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= pecutan dalam arah-x

dan

ay =(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= pecutan dalam arah-y

Di dalam aliran bendalir dua dimensi, tiga kuantiti perlu diketahui, iaitu u, v dan p,

sebagai fungsi x, y dan t:

u = u(x, y, t)

v = v(x, y, t)

p = p(x, y, t)

Jika halaju-halaju u dan v diketahui, tekanan, p, boleh dikira menerusi persamaan (2.4)

atau (2.5).

Bagaimanapun, oleh kerana sebutan pecutan (iaitu sebutan inersia) tidak linear, penye-

lesaian analitikal menjadi sukar dan hanya terhad kepada beberapa kes mudah saha-

ja. Biasanya, bagi aliran unggul persamaan keterusan (2.3) dan persamaan gerakan Eu-

ler (2.4) atau (2.5) diselesaikan bagi keadaan-keadaan awal dan keadaan-keadaan sem-

padan yang tertentu.

Page 8: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 30

PeralihanPeralihan PutaranPutaran

Herotan Sudut,tanpa putaran

Herotan Sudut,tanpa putaran Herotan IsipaduHerotan Isipadu

Rajah 2.9: Gerakan-gerakan unsur bendalir.

2.6 Vortisiti

Aliran unggulmembezakan di antara aliran berputar dan aliran tak berputar (atau nirpu-

taran). Umumnya terdapat dua jenis gerakan: peralihan (translation) dan putaran (rota-

tion). Kedua-duanya boleh wujud tersendiri atau serentak (gerakan peralihan bertindih-

an dengan dengan gerakan putaran atau sebaliknya). Sekiranya sesuatu unsur pepejal

dapat diwakili oleh satu segi empat tepat maka peralihan tulen atau putaran tulen boleh

diwakili oleh Rajah 2.9. Sekiranya kita mengambil segi empat tepat tadi sebagai mewaki-

li bendalir, di samping dua gerakan tadi, ia juga boleh berubah bentuk: linear atau sudut,

Rajah 2.9.

x

y

dy

dxA

b

a

α

β

A'

a'

b'v dt

vdx dt

y

∂−∂

u dt

udy dt

y

∂∂

α β≠

Rajah 2.10: Putaran, peralihan dan herotan.

Page 9: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 31

Daripada Rajah 2.10, kadar purata putaran dalam masa dt ialah

ω =α + β

2× 1

dt=

1

2

α + β

dt(2.6)

tetapi, untuk nilai-nilai kecil, dan mengambil putaran melawan arah jam sebagai positif,

α =lengkok

jejari=

∂v

∂xdx dt

1

dx=

∂v

∂xdt

dan

β =lengkok

jejari= −∂u

∂ydy dt

1

dy= −∂u

∂ydt

Dengan menggantikan ungkapan untuk α dan β di atas ke dalam persamaan (2.6), maka

kadar putaran sekitar paksi-z ialah

ωz =1

2

(∂v

∂xdt− ∂u

∂ydt

)1

dt

=1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

︸ ︷︷ ︸

vortisiti, ζz

(2.7a)

Putaran unsur bendalir sekitar dua paksi yang lain boleh ditemui menerusi kaedah yang

sama. Untuk paksi-y

ωy =1

2

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)

︸ ︷︷ ︸

vortisiti, ζy

(2.7b)

dan untuk paksi-x

ωx =1

2

(∂w

∂y− ∂v

∂z

)

︸ ︷︷ ︸

vortisiti, ζx

(2.7c)

Ungkapan di dalam kurungan,(

∂w

∂y− ∂v

∂z

)

= ζx(

∂u

∂z− ∂w

∂x

)

= ζy(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

= ζz

(2.8)

disebut vortisiti, ζ;

ζx = 2ωx

ζy = 2ωy

ζz = 2ωz

(2.9)

dengan ω adalah halaju sudut unsur-unsur bendalir sekitar pusat jisim di dalam sesuatu

satah (xy, xz atau yz).

Page 10: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 32

2.7 Penentuan Aliran Berputar atau Sebaliknya

Ungkapan untuk vortisiti, persamaan (2.8), diperolehi dengan menganggap bahawa ge-

rakan putaran unsur bendalir wujud dan bertindihan di atas gerakan peralihan. Aliran

sedemikian disebut aliran berputar dan

ζ =∂v

∂x− ∂u

∂y, 0 (2.10)

Daripada sini, kita boleh menyimpulkan bahawa bagi aliran tanpa putaran, atau nirpu-

taran, persamaan (2.8), dan dengan itu vortisiti, mestilah bernilai sifar. Oleh itu, jika

gerakan zarah-zarah hanyalah semata-mata gerakan peralihan dan herotannya pula si-

metrikal, aliran ini disebut aliran nirputaran dan keadaan yang mesti dipatuhinya ialah;

ζ =∂v

∂x− ∂u

∂y= 0 (2.11)

2.8 Edaran

Pertimbangkan unsur bendalir ABCD dalam gerakan putaran, Rajah 2.11.

x

y

uu dy

y

∂+∂

vv dx

x

∂+∂

v

u

dx

dy

A

B C

D

Arahkamilan

Rajah 2.11: Edaran.

Oleh kerana unsur bendalir ini berputar, terjadi halaju pinggiran hasilan. Bagaimanapun,

pusat putaran ini tidak diketahui jadi lebih mudah jika kita mengaitkan putaran ini de-

ngan jumlahan hasil darab halaju dengan jarak sekeliling kontur unsur bendalir. Jum-

lahan hasil darab ini disebut edaran

Γ =∮

vs ds (2.12)

Page 11: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 33

yang lazimnya dianggap positif dalam arah melawan jam. Dengan itu, untuk unsur

ABCD, bermula daripada sisi AD,

ΓABCD = u dx +

(

v +∂v

∂xdy

)

dy

−(

u +∂u

∂ydy

)

dx− v dy

=∂v

∂xdx dy− ∂u

∂ydy dx

=

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

dx dy

tetapi untuk aliran 2-D dalam satah-xy,(

∂v

∂x− ∂u

∂y

)

= ζz

iaitu vortisiti unsur ABCD sekitar paksi-z, ζz. Hasil darab (dx dy) pula ialah luas unsur

dA. Dengan itu

ΓABCD =

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

dx dy

= ζz dA

2.9 Keupayaan Halaju

Keupayaan halaju, φ, adalah suatu kuantiti skalar yang bergantung kepada ruang dan

masa;

−φ =∫

vs ds

dengan vs ialah halaju sepanjang suatu jarak ds. Daripada takrif di atas, kitamemperolehi

dφ = −vs ds

atau

vs = −dφ

ds

Tanda negatif muncul kerana kelaziman bahawa keupayaan halaju susut dalam arah alir-

an. Keupayaan halaju bukanlah suatu kuantiti fizikal yang boleh diukur dengan mudah;

oleh yang demikian kedudukan nilai sifarnya boleh dipilih secara rambang.

Hasil bezaan keupayaan halaju terhadap sesuatu arah memberikan halaju dalam arah

tersebut, iaitu untuk koordinat Cartesan (x, y, z);

u = −∂φ

∂x; v = −∂φ

∂y; w = −∂φ

∂z(2.13)

Page 12: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 34

Bagi sistem koordinat kutub (r, θ, z), komponen halaju diberikan oleh

vr = −∂φ

∂r; vθ = −1

r

∂φ

∂θ; vz = −∂φ

∂z(2.14)

Daripada persamaan (2.13)

∂u

∂y= − ∂2φ

∂y∂xdan

∂v

∂x= − ∂2φ

∂x∂y

yang menghasilkan:

∂v

∂x− ∂u

∂y= 0 (2.15)

Umumnya, hasil kebezaan keseluruhan bagi fungsi φ di dalam dua dimensi diperolehi

menerusi pembezaan separa

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy (2.16)

dan menerusi persamaan (2.13)

dφ = −u dx− v dy = − (u dx + v dy) (2.17)

Kesannya, apabila fungsi φ telah diperolehi, pembezaan φ dengan x dan y memberikan

halaju-halaju u dan v dan dengan itu pola aliran ditemui.

Suatu garisan yang sepanjang-panjangnya mempunyai nilai φ yang malar dinamai garis-

an sama upaya, dan di atas garisan ini arah halaju bendalir adalah berserenjang dengan-

nya.

Sementara itu, persamaan keterusan untuk aliran mantap tak boleh mampat dalam dua

dimensi yang diberikan oleh persamaan (2.3)

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

boleh ditulis dalam sebutan φ sebagai

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= 0 (2.18)

Persamaan (2.18) dikenali sebagai persamaan Laplace.

Perlu diingatkan bahawa pola aliran upaya ditentukan hanya oleh hubungan keterus-

an (iaitu persamaan (2.3) atau persamaan (2.18)); hubungan momentum (iaitu persama-

an (2.4) atau (2.5)) cuma digunakan untuk menentukan tekanan.

Page 13: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 35

2.10 Fungsi Arus dan Kadar Aliran

Fungsi arus, Rajah 2.12, adalah satu fungsi yang menghurai bentuk pola aliran. Ia juga

mewakili luahan atau kadar aliran seunit tebal. Secara matematik:

ψ = f (x, y) (2.19)

dengan

u = komponen halaju di titik P dalam arah-x

v = komponen halaju di titik P dalam arah-y

ψ = fungsi arus di titik P

Pertimbangkan satu lagi garis arus sejauh dy di dalam arah-y dan dx di dalam arah-x,

Rajah 2.12. Fungsi arus untuk garis arus ini ialah ψ + dψ.

x

y

ψ

dψ ψ+

dx

dy

v

uP

Rajah 2.12: Fungsi arus.

Kadar aliran (seunit tebal) merentasi dy diberikan oleh:

dψ = u dy ⇒ u =dψ

dy(2.20a)

sementara kadar aliran (seunit tebal) merentasi dx pula ialah:

dψ = −v dx ⇒ v = −dψ

dx(2.20b)

Apabila komponen-komponen halaju ditakrif dalam sebutan fungsi arus kita tahu baha-

wa pengabadian jisim telah dipatuhi. Walaupun kita masih belum mengetahui apakah

fungsi ψ(x, y) untuk sesuatu masalah, tetapi sekurang-kurangnya kita telah memudahk-

an analisis dengan hanya perlu menentukan satu fungsi anu, iaitu ψ(x, y), sebagai ganti

dua fungsi, u(x, y) dan v(x, y).

Page 14: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 36

Di samping itu garisan yang di sepanjangnya nilai ψ adalah malar dinamai garisarus

dan kecerunan di sebarang titik sepanjang sesuatu garisarus diberikan oleh persamaan

garisarus

dy

dx=

v

u⇒ u dy− v dx = 0 (2.21)

Gantikan u dan v ke dalam persamaan di atas

∂ψ

∂ydy +

∂ψ

∂xdx = 0 (2.22)

⇒ dψ = 0

Ini menunjukkan bahawa luahan di antara dua garis arus adalah malar dan diberikan

oleh perbezaan di antara kedua-dua fungsi arus tersebut, iaitu dψ.

Dalam koordinat silinder, komponen halaju, vr dan vθ , dihubungkan dengan fungsi arus,

ψ(x, y), menerusi persamaan

vr =1

r

∂ψ

∂θ; vθ = −∂ψ

∂r(2.23)

dengan vr positif mengarah keluar daripada asalan dan vθ positif dalam arah melawan

jam.

Konsep fungsi arus boleh digunakan untuk aliran simetri sepaksi (seperti aliran di dalam

paip atau aliran di sekeliling jasad yang berputar) dan aliran boleh mampat dua dimensi.

Konsep ini, bagaimanapun, TIDAK boleh digunakan untuk aliran tiga dimensi.

2.11 Hubungan di Antara Fungsi Arus dan Keupayaan Halaju

Oleh kerana setiap komponen halaju boleh diungkapkan dalam sebutan φ dan ψ, wujud

hubungan di antara φ dan ψ.

u = −∂φ

∂x=

∂ψ

∂yv = −∂φ

∂y= −∂ψ

∂x

Dengan itu

∂ψ

∂y= −∂φ

∂x

∂ψ

∂x=

∂φ

∂y(2.24)

Persamaan (2.24) dikenali sebagai keadaan-keadaan Cauchy-Riemann.

Hasil bezaan keseluruhan ψ(x, y) ialah

dψ =∂ψ

∂xdx +

∂ψ

∂ydy

= −v dx + u dy

Page 15: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 37

dan kita juga mengetahui bahawa untuk setiap garisarus dψ = 0; dengan itu

dy

dx=

v

u(2.25)

Hasil bezaan keseluruhan keupayaan halaju, φ(x, y), pula ialah

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy

= −u dx− v dy

Bagi setiap garisan sama-upaya φ adalah malar dan dengan itu dφ = 0. Jadi untuk

garisan sama-upaya

dy

dx= −u

v(2.26)

Daripada persamaan (2.25) dan (2.26) kita boleh melihat bahawa garisan sama-upaya (φ

yang malar) dan garisarus (ψ yang malar) memintas satu sama lain secara ortogon. Oleh

itu garis sama-upaya dan garisarus membentuk jaringan garisan-garisan yang saling ber-

serenjang yang dikenali sebagai jaringan aliran, Rajah 2.13.

Rajah 2.13: Jaringan aliran, Massey (1983).

2.12 Beberapa Pola Asas Aliran

2.12.1 Aliran garis lurus

Pola aliran termudah ialah aliran yang garisarusnya lurus, Rajah 2.14

Kelaziman yang digunakan untuk menomborkan garisarus ialah fungsi arus dianggap

bertambah ke kiri pemerhati yangmemandang ke arus hilir. Jika halaju aliranV condong

Page 16: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 38

pada sudut α ke paksi-x, maka komponen dalam arah-x dan y diberikan oleh

u = V cos α v = V sin α (2.27)

Fungsi aliran diperolehi dengan menggantikan u dan v di atas ke dalam persamaan

dψ =∂ψ

∂xdx +

∂ψ

∂ydy

= −v dx + u dy

= u dy− v dx

yang menjadi

ψ =∫

V cos α dy−∫

V sin α dx + pemalar (2.28)

x

y

α

V

Rajah 2.14: Aliran garis lurus.

Oleh kerana di dalam aliran seragamV = pemalar dan di dalam aliran garis lurus α juga

turut malar, ungkapan untuk fungsi arus menjadi

ψ = Vy cos α −Vx sin α + pemalar (2.29)

Pemalar kamilan boleh dijadikan sifar denganmemilih supaya garisarus rujukan, ψ0 = 0,

melalui asalan. Jadi, apabila x = 0 dan y = 0 fungsi arus ψ = ψ0 = 0. Dengan itu

ψ = V(y cos α − x sin α) (2.30)

Oleh kerana u dan v malar maka ∂u/∂y dan ∂v/∂x adalah sifar, oleh yang demikian

aliran adalah aliran nirputaran.

Page 17: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 39

Keupayaan halaju diperolehi menerusi persamaan (2.16) dan (2.17)

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy = −(u dx + v dy)

Dengan itu, menerusi gantian dan kamilan,

φ = −(∫

V cos α dx +∫

V sin α dy

)

+ pemalar

tetapi jika φ = φ0 = 0 di x = 0 dan y = 0, maka

φ = −V (x cos α + y sin α) (2.31)

2.12.2 Aliran daripada sumber atau punca

Sumber ialah suatu titik yang darinya terpancar bendalir keluar secara sekata dalam se-

mua arah, Rajah 2.15.

Rajah 2.15: Aliran sumber.

Bagi aliran dua dimensi, kekuatan sesuatu sumber,m, adalah ukuran jumlah kadar aliran

isipadu bendalir seunit tebal yang berpunca daripada sumber tersebut.

Oleh kerana halaju secara keseluruhannya dalam arah jejari, maka untuk seunit tebal,

halaju v pada jejari r diberikan oleh

Kadar aliran isipadu

Luas yang berseranjang ke halaju=

m

2πr

Untuk aliran daripada suatu sumber di asalan, halaju tangen

vt =∂ψ

∂r= 0

Page 18: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 40

sementara halaju jejari yang menghala keluar

vr = −(

∂ψ

r∂θ

)

=m

2πr

Oleh itu

ψ = − m

2πθ (2.32)

dengan θ dalam ukuran radian dan diambil dalam julat 0 ≤ θ < 2π.

Juga

−∂φ

∂r= vr =

m

2πr

dan

− ∂φ

r∂θ= vt = 0

Dengan itu

φ = − m

2πln( r

C

)

(2.33)

Garis-garis arus adalah garis yang θ nya malar, iaitu garisan jejari. Untuk aliran nirpu-

taran, garisan φ adalah bulatan sepusat.

2.12.3 Aliran ke sinki

Lawan sumber ialah sinki yang merupakan suatu titik yangmenjadi pusat tumpuan alir-

an bendalir dan bendalir di titik ini sentiasa di keluarkan. Kekuatan sinki dianggap ne-

gatif dan ungkapan untuk halaju dan fungsi ψ serta φ adalah sama seperti aliran sumber.

2.12.4 Vorteks nirputaran atau bebas

Pola aliran yang garis-garis arusnya berbentuk bulatan sepusat dikenali sebagai vorteks

bulat satah. Zarah-zarah yang bergerak dalam bulatan sepusat ini mungkin berputar di

atas paksinya sendiri atau mungkin tidak. Jika zarah-zarah ini tidak berputar di atas

paksinya sendiri, vorteks ini dikenali sebagai vorteks bebas atau vorteks nirputaran.

Rajah 2.16 menunjukkan suatu unsur di dalam medan vorteks bebas yang dibendung

oleh dua garis arus dan dua jejari. Halaju v dan v + dv dianggap positif dalam arah

melawan jam. Halaju yang berserenjang terhadap adalah sifar.

Edaran Γ (positif dalam arah lawan jam) sekitar unsur ini ialah

Γ = (v + dv)(R + dR) dθ − vR dθ

= (R dv + v dR) dθ

Page 19: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 41

Rajah 2.16: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas.

dengan magnitud-magnitud kecil order tinggi diabaikan.

Vortisiti diberikan oleh

ζ =Edaran

Luas=

(Rdv + v dR)dθ

R dθ dR

=v

R+

dv

dR

=v

R+

∂v

∂R: apabila dR → 0 (2.34)

dengan R mewakili jejari kelengkungan garis arus, bukannya koordinat kutub.

Untuk aliran nirputaran

ζ =v

R+

∂v

∂R= 0 (2.35)

Halaju adalah malar sepanjang garis arus dan berubah hanya dengan R, jadi

dv

dR= − v

R

yang boleh dikamil untuk memberikan

vR = pemalar (2.36)

Edaran sekitar satu litar yang sepadan dengan suatu garis arus vorteks bebas diberikan

sebagai

Γ = v× 2πR

Oleh kerana vR = pemalar, edaran juga turut malar bagi keseluruhan vorteks. Aliran

vorteks bebas adalah nirputaran di semua bahagian kecuali pusatnya, yang mempunyai

teras berputar dan vortisi yang bukan sifar. Jadi di pusat vorteks bebas, persamaan (2.36)

tidak sah digunakan.

Page 20: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 42

Dalam vorteks bulat dua dimensi, halaju adalah keseluruhannya dalam arah tangen. Ba-

gi vorteks yang berpusat di asalan koordinat

ψ =∫

∂ψ

∂rdr +

∫∂ψ

∂θdθ

=∫

v dr + 0

=∫

Γ

2πrdr

2πln

(r

r0

)

(2.37)

dengan r0 mewakili jejari pada ψ = 0. Pemalar Γ dikenali sebagai kekuatan vorteks.

Pertimbangkan satu unsur kecil bendalir di antara dua garis arus, Rajah 2.17, di dalam

medan aliran mantap.

Rajah 2.17: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas.

Di jejari R daripada pusat kelengkungan tekanannya ialah p, sementara di jejari R + dR

pula ialah p + dp. Tujahan bersih (seunit ketebalan) ke atas unsur, menghala ke pusat

kelengkungan, ialah

(p + dp)(R + dR) dθ−

pR dθ − 2

(

p +dp

2

)

dR sindθ

2

Dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order tinggi, tujahan bersih ini dipermu-

dahkan menjadi R dp dθ.

Komponen berat unsur yang bertindak sepanjang jejari dan menghala keluar ialah

R dθ dR ρgdz

dR= Rρgdθdz

dengan dz ialah unjuran tegak dR supaya lengkok cos(dz/dR) membentuk sudut di an-

tara jejari dan arah tegak. Oleh itu jumlah daya yang bertindak ke dalam ialah

R dp dθ + Rρg dθ dz = Jisim× Pecutan memusar

= ρR dθ dRv2

R

Page 21: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 43

Bahagikan dengan Rρg dθ

dp

ρg+ dz =

v2

R

dR

g(2.38)

Teorem Bernoulli untuk aliran mantap bendalir tanpa geseran memberikan

p

ρg+

v2

2g+ z = H

dengan H adalah turus yang malar sepanjang sesuatu garis arus (walaupun nilai ini ber-

ubah dari satu garis arus ke garis arus yang lain). Kebezakan persamaan di atas

dp

ρg+

2v dv

2g+ dz = dH (2.39)

Gabungkan persamaan (2.38) dan (2.39)

dH =vdv

g+

v2dR

Rg=

v

g

(dv

dR+

v

R

)

dR

Tetapi vdR = dψ, dan daripada persamaan (2.34),

dv

dR+

v

R= ζ

Oleh itu

dH = ζdψ

g(2.40)

2.12.5 Vorteks berputar atau paksa

Gerakan bendalir vorteks paksa diperolehi apabila bendalir di‘paksa’ berputar seperti

suatu jasad pejal sekitar suatu pusat. Oleh kerana daya kilas luar diperlukan bagi me-

mulakan gerakan, sebutan ‘vorteks paksa’ digunakan.

Halaju di jejari R dari pusat putaran diberikan oleh ωR, dengan ω mewakili halaju sudut

yang seragam. Gantian v = ωR ke dalam persamaan aliran mantap (2.38) memberikan

dp

ρg+ dz = ω2R

dR

g

Kamilkan persamaan di atas

p

ρg=

ω2R2

2g+ pemalar

iaitu

p∗ =ρω2R2

2+ pemalar (2.41)

Page 22: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 44

dengan p∗ = p + ρgz.

Persamaan (2.41) menunjukkan bahawa p∗ bertambah dengan jejari R. Bendalir boleh

dibekalkan di pusat sesuatu vorteks paksa dan kemudiannya diluah keluar di susur-

keliling pada tekanan yang lebih tinggi. Prinsip ini merupakan asas pam empar.

Jika suatu vorteks paksa dihasilkan di dalam bendalir yang mengisi bekas terbuka atau

terdedah kepada atmosfera, tekanan di permukaan bebas bendalir adalah atmosfera dan

dengan itu malar nilainya. Oleh yang demikian, permukaan bebas

z =ω2R2

2g+ pemalar

Jika z = z0 apabila R = 0, maka

z− z0 =ω2R2

2g

iaitu persamaan permukaan yang berbentuk paraboloid perkisaran, Rajah 2.18, dengan

R bersudut tepat ke paksi putaran z.

Rajah 2.18: Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi

bekas terbuka, Massey (1983).

2.13 Gabungan Beberapa Pola Asas Aliran

2.13.1 Aliran Garis Lurus Seragam dan Sumber

Ambil suatu sumber dengan kekuatan m di asalan koordinat dan gabungkan pola aliran

ini dengan aliran seragam dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Gabungan

pola garis arus ditunjukkan di dalam Rajah 2.19.

Page 23: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 45

Rajah 2.19: Gabungan aliran garis lurus dan sumber, Massey (1983).

Halaju daripada sumber, m/(2πr), yang menghala keluar susut dengan bertambahnya

jejari. Jadi di suatu titik di kiri O, halaju ini akan mencapai nilai yang sama, tetapi ber-

lawanan arah, dengan halaju arus seragam, U; menjadikan halaju gabungan di titik ini

sifar. Titik ini dinamai titik genangan. Di titik ini

m

2πr= U =⇒ r =

m

2πU

Bendalir yang keluar daripada sumber tidak berdaya bergerak melepasi S, dan seterus-

nya mencapah daripada paksi θ = π dan seterusnya dibawa arus ke kanan.

Denganmencampurkan fungsi arus untuk aliran seragam dan fungsi arus untuk sumber,

kita memperolehi aliran gabungan sebagai

ψ = −Uy +

(

−mθ

)

= −Ur sin θ − mθ

Di titik genangan, y = 0 dan θ = π; dengan itu nilai ψ di situ ialah −m/2 yang mesti

malar sepanjang garis arus yang sepadan dengan kontor jasad. Kontor ini ditakrif oleh

rumus

−Uy− mθ

2π= −m

2

dan mengunjur ke nilai tak terhingga ke kanan, dengan nilai asimptot y diberikan oleh

m/2U apabila θ → 0 atau −m/2U apabila θ → 2π.

Komponen halaju di sebarang titik di dalam aliran diberikan oleh

vt =∂ψ

∂r= −U sin θ

vr = − ∂ψ

r∂θ= +U cos θ +

m

2πr

Page 24: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 46

Jasad yang kontornya terbentuk oleh gabungan aliran garislurus linear dengan suatu

sumber begini dikenali sebagai separuh jasad.

2.13.2 Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan

Rajah 2.20: Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey (1983).

Jika kekuatan sumber di A ialah m dan kekuatan sinki di B pula ialah −m, maka fungsi

arus aliran gabungan ialah

ψ = −mθ12π

+mθ22π

=m

2π(θ2 − θ1) (2.42)

Untuk sebarang titik P di dalam medan aliran,

|θ2 − θ1| = ∠APB

Garisan-garisan yang ψ nya malar (iaitu garis-garis arus) dengan itu melengkung sepan-

jang lengkung yang ∠APB malar, iaitu lengkok bulat dengan AB sebagai perentas asas.

Jika A berada di (−b, 0) dan B di (b, 0) maka

tan θ1 =y

x + bdan tan θ2 =

y

x− b

Oleh itu

tan(θ2 − θ1) =tan θ2 − tan θ11+ tan θ2 tan θ1

=y/(x− b) − y/(x + b)

1+ [y2/(x2 − b2)]

=2by

x2 − b2 + y2

Page 25: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 47

dan daripada persamaan (2.42),

ψ =m

2πarctan

2by

x2 − b2 + y2(2.43)

dengan

(

0 < arctan2by

x2 − b2 + y2≤ π

)

untuk y > 0

(

−π ≤ arctan2by

x2 − b2 + y2≤ 0

)

untuk y < 0

2.13.3 Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan alir-

an garis lurus

Rajah 2.21: Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis

lurus, Massey (1983).

Aliran seragammengalir dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Fungsi arus

gabungan yang terhasil ialah

ψ = −Uy +m

2π(θ2 − θ1)

= −Uy +m

2πarctan

2by

x2 − b2 + y2

Dengan sumber di kiri asalan, suatu titik genangan dijangkakan di hulu sumber, dan

titik genangan kedua di hilir sinki. Jika titik genangan berada di jarak s dariO sepanjang

paksi-x, halaju gabungan di situ ialah

U− m

2π(s− b)+

m

2π(s + b)= 0

dengan itu

s = ±b

1+m

πUb

Page 26: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 48

Di titik-titik genangan, y = 0 dan θ2 − θ1 = 0 jadi ψ = 0, iaitu kesemua titik ini ber-

ada di atas garisan ψ = 0 yang simetrikal sekitar kedua-dua paksi, rujuk Rajah 2.21.

Garisan ψ = 0 ini selalunya dikenali sebagai oval Rankine, mengambil sempena nama

W. J. M. Rankine (1820–1872) yang merupakan penyelidik pertama membangunkan tek-

nik menggabung pola-pola aliran.

2.13.4 Kembar

Jika sumber dan sinki di dalam Rajah 2.20 didekatkan tetapi hasil darab m× 2b dikekal-

kanmalar dan terhingga nilainya, pola yang terhasil dikenali sebagai kembar atau dwipola.

Sudut APB menjadi sifar dan garis-garis arus menjadi bulatan yang tangen ke paksi-x.

Dari persamaan (2.43), apabila 2b → 0,

ψ → m

( 2by

x2 − b2 + y2

)

→ Cy

x2 + y2

=Cr sin θ

r2=

C sin θ

r(2.44)

dengan r dan θ adalah koodinat kutub dan

C = pemalar =mb

π

2.13.5 Kembar dan Aliran Garis lurus Seragam

Rajah 2.22: Kembar dan aliran garis lurus seragam, Massey (1983).

Jika suatu kembar di asalan dengan paksi x negatifnya digabungkan dengan aliran ga-

rislurus seragam dalam arah x positif, fungsi arus paduan ialah

ψ = −Uy +C sin θ

r

= −Ur sin θ +C sin θ

r(2.45)

Page 27: ALIRAN BENDALIR UNGGUL - fkm.utm.myabuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdf · Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 49

Apabila sumber dan sinki bersatu untuk membentuk kembar, oval Rankine menjadi su-

atu bulatan. Persamaan (2.45) menunjukkan bahawa garisarus ψ = 0 ditemui apabila

θ = 0, θ = π atau C = Ur2.

Sepanjang paksi-x, ψ = 0 dan

r =

C

U= pemalar

Dengan

C

U= a2 (2.46)

persamaan (2.45) menjadi

ψ = −U(

r− a2

r

)

sin θ (2.47)

Halaju aliran gabungan ini diberikan oleh

vr = −1

r

∂ψ

∂θ= U

(

1− a2

r2

)

cos θ

vt =∂ψ

∂r= −U

(

1+a2

r2

)

sin θ