aliran bendalir unggul - fkm.utm.my abuhasan/content/teaching/skmm2323/skmm2323-notes.ch02.pdfآ ...

Bab 2

ALIRAN BENDALIR UNGGUL

2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir

Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan:

1. Kaedah Lagrangian

(a) Kajian pola aliran SATU zarah individu

(b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti

(c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu

2. Kaedah Eulerian

(a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan

(b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa

dikaji dengan teliti

(c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persim-

pangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika.

Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis

matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting.

2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir

2.2.1 Garis Arus

Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya

pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan

satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yangmempunyai komponen

dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponen-

komponen vektor halaju Vs sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang

23

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 24

sV

sV

sV

Rajah 2.1: Garisarus.

diambil oleh zarah untuk bergerak sepanjang jarak ds di atas garisarus dengan halaju Vs ialah

t = ds

Vs

yang sama dengan

t = dx

u =

dy

v =

dz

w

Dengan itu persamaan kebezaan untuk garisarus boleh ditulis sebagai

dx

u =

dy

v =

dz

w (2.1)

Sesuatu unsur bendalir yang dikelilingi oleh sejumlah garis arus yangmembendung alir-

an dinamai tiub arus. Oleh kerana tiada gerakan bendalir yang memintas sesuatu garis

arus, maka tiada bendalir yang dapat memasuki atau meninggalkan tiub arus, kecuali

menerusi dua penghujungnya, A dan B di dalam Rajah 2.2. Jelas bahawa sesuatu tiub

arus itu berkelakuan seperti sesuatu tiub pepejal.

2.2.2 Garis laluan

Garis laluan ialah lokus satu zarah bendalir yang bergerak, iaitu satu lengkung yang di-

jejaki oleh satu zarah semasa gerakannya. Rajah 2.3 menunjukkan satu garisarus pada

t1 yang menunjukkan vektor halaju untuk zarah A dan B. Pada ketika t2 dan t3, zarah

A ditunjukkan berada di kedudukan seterusnya. Garisan yang menyambungkan semua

kedudukan ini mewakili garis laluan zarah A.

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 25

B

A

Rajah 2.2: Tiub arus.

2.2.3 Garis upaya atau Garis Sama-upaya

Kehilangan turus (tenaga) zarah-zarah bendalir terjadi apabila zarah- zarah ini mele-

wati garis-garis arus. Jika kita lukiskan garisan yang menyambungkan titik-titik yang

mempunyai keupayaan yang sama di atas garis-garis arus yang bersebelahan, kita akan

mendapat garis upaya atau garis sama-upaya, Rajah 2.4. Garisan AA’, BB’, CC’ dan DD’

ialah garisarus dan PP’, QQ’, RR’ dan SS’ pula ialah garis sama- upaya.

A

A'

B C

D B' C'

D'

P

Q R

S

Q' R'

P' S'

Rajah 2.4: Garis upaya atau sama-upaya.

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 26

B

A

A A

1t

2 1t t t= + ∆

3 2t t t= + ∆

Garis laluan untuk zarah bendalir A

Garisarus seketika pada t1

Rajah 2.3: Garis laluan.

2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir

2.3.1 Aliran Laminar & Aliran Gelora

Setiap zarah di dalam aliran laminar mempunyai satu laluan yang tetap dan laluan-lauan

zarah-zarah ini tidak saling memintas atau merentasi. Ia dikenali juga sebagai aliran garis

arus. Setiap zarah bendalir di dalam aliran gelora pula tidak mempunyai laluan yang

tetap dan laluan-laluan zarah-zarah ini saling memintas atau merentasi satu sama lain.

Rajah 2.5: Aliran laminar dan aliran gelora.

2.3.2 Aliran Berputar & Aliran Nirputaran

Zarah-zarah di dalam aliran berputar turut berputar di atas paksi masing-masing apabila

mengalir, Rajah 2.6(a). Zarah-zarah di dalam aliran nirputaran tidak berputar di atas

paksi masing-masing dan kekal dengan orientasi asal apabila mengalir, Rajah 2.6(b).

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 27

Rajah 2.6: Aliran berputar, dan aliran nirputaran.

2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat

x

y

( )v v dy

y

ρρ ∂+ ∂

( )u u dx

x

ρρ ∂+ ∂uρ

vρ

dy

dx

Rajah 2.7: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir.

Pertimbangkan suatu unsur segiempat bendalir yang mempunyai tepian dx dan dy serta

tebal b seperti di dalam Rajah 2.7. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v. Untuk

arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh dida-

pati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk:

ρub dy− [

ρu + ∂(ρu)

∂x dx

]

b dy = −∂(ρu) ∂x

b dx dy

Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y,

−∂(ρv) ∂y

b dx dy

Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertam-

bah sebanyak ∂(ρb dx dy)/∂t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 28

rolehi:

−∂(ρu) ∂x

b dx dy− ∂(ρv) ∂y

b dx dy = ∂(ρb dx dy)

∂t

atau

∂ρ

∂t +

∂(ρu)

∂x +

∂(ρv)

∂y = 0 (2.2)

Persamaan (2.2) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk aliran

boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ∂ρ/∂t, adalah sifar.

Untuk aliran tak boleh mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi:

∂u

∂x +

∂v

∂y = 0 (2.3)

Persamaan (2.3) digunakan untuk aliran mantap dan tak boleh mampat.

2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat

x

y

p p dy

y

∂+ ∂

p p dx

x

∂+ ∂p

p

dy

dx

Rajah 2.8: Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir

Pertimbangkan daya yang bertindak ke atas suatu unsur kecil bendalir, Rajah 2.8. Oleh

kerana bendalir ini adalah bendalir unggul, tiada daya likat yang bertindak. Jadi, mene-

rusi hukum gerakan kedua Newton, jumlahan daya-daya yang bertindak ke atas unsur

ini di dalam sebarang arah mestilah mengimbangi daya inersia di dalam arah yang sa-

ma. Tekanan yang bertindak ke atas unsur kecil bendalir, dx dy ditunjukkan di dalam

Rajah 2.8. Di samping itu, dengan mengambilkira daya jasad dan menganggap bahawa

jumlahan kedua-dua daya ini (iaitu daya tekanan dan daya jasad) sama dengan daya

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 29

inersia, persamaan gerakan untuk kes ini boleh diperolehi seperti berikut:

ρ (∂u

∂t + u

∂u

∂x + v

∂u

∂y

)

︸ ︷︷ ︸

daya inersia

= ρX − ∂p ∂x

(2.4a)

ρ ( ∂v

∂t + u

∂v

∂x + v

∂v

∂y

)

︸ ︷︷ ︸

daya inersia

= ρY − ∂p ∂y

(2.4b)

Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya te-

lah dikeluarkan—dalam bentuk ini ia lebih dikenali sebagai persamaan gerakan Euler un-

tuk dua dimensi. Bagi aliran mantap, jika daya jasad diabaikan, maka untuk seunit jisim

bendalir:

ρ (

u ∂u

∂x + v

∂u

∂y

)

= −∂p ∂x

(2.5a)

ρ (

u ∂v

∂x + v

∂v

∂y

)

= −∂p ∂y

(2.5b)

dengan

ax = (

u ∂u

∂x + v

∂u

∂y

)

= pecutan dalam arah-x

dan

ay = (

u ∂v

∂x + v

∂v

∂y

)

= pecutan dalam arah-y

Di dalam aliran bendalir dua dimensi, tiga kuantiti perlu diketahui, iaitu u, v dan p,

sebagai fungsi x, y dan t:

u = u(x, y, t)

v = v(x, y, t)

p = p(x, y, t)

Jika halaju-halaju u dan v diketahui, tekanan, p, boleh dikira menerusi persamaan (2.4)

atau (2.5).

Bagaimanapun, oleh kerana sebutan pecutan (iaitu sebutan inersia) tidak linear, penye-

lesaian analitikal menjadi sukar dan hanya terhad kepada beberapa kes mudah saha-

ja. Biasanya, bagi aliran unggul persamaan keterusan (2.3) dan persamaan gerakan Eu-

ler (2.4) atau (2.5) diselesaikan bagi keadaan-keadaan awal dan keadaan-keadaan sem-

padan yang tertentu.

BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 30

PeralihanPeralihan PutaranPutaran

Herotan Sudut, tanpa putaran

Herotan Sudut, tanpa putaran Herotan Isipadu

Herotan Isipadu

Rajah 2.9: Gerakan-gerakan unsur bendalir.

2.6 Vortisiti