Sanja Singer (izv. prof., FSB):

Algoritmi za matrice sa strukturom (60 sati)

Sažetak

Kolegij je zamišljen kao napredni kolegij iz numeričke linearne algebre.Cilj kolegija je omogućiti uvid u novija istraživanja iz područja algoritmaza matrice sa strukturom, od linearnih sustava, do svojstvenih vrijednosti.Poznato je da je u numeričkom računanju poželjno upotrebljavati sredstvakojima se čuva struktura polaznog problema.

Sadržaj

Uvod u nestandardne skalarne produkte (tzv. J-produkte). Osnovna svoj-stva J-unitarnih prostora i razlike obzirom na obične unitarne prostore. J-unitarne matrice i njihova struktura.

Generalizacije faktorizacije Choleskog: Hermitska indefinitna faktoriza-cija i strategije pivotiranja, perturbacijska analiza, ocjena grešaka zaokruži-vanja; antihermitska faktorizacija, pivotiranje, pogreške.

J-unitarne matrice rotacijskog (Givensovog) tipa za jednostavne tipovematrica J . J-unitarne matrice reflektorskog (Householderovog) tipa za jed-nostavne J . G-reflektori i primjene. Blok reflektori.

Generalizacije QR faktorizacija: hiperbolička QR faktorizacija, simplek-tička QR faktorizacija, SR faktorizacija, perturbacijske analize, ocjene greša-ka zaokruživanja. Algoritmi rotacijskog i reflektorskog tipa za svojstvenevrijednosti bazirani na QR-nalik faktorizacijama (HR, SR). SVD i hiperbo-lički SVD. CS dekompozicija i njezine generalizacije.

Primjena generaliziranih faktorizacija Choleskog, QR i CS dekompozi-cije na računanje svojstvenih vrijednosti: ponovljene faktorizacije (flip-flapalgoritmi); algoritmi Jacobijevog tipa, blok Jacobi.

Drugi tipovi matrica sa strukturom: semiseparabilne i njima slične ma-trice: semiseparabilne + dijagonalne, kvaziseparabilne. Rješavanje linearnihsustava i svojstveni problem za separabilne i njima slične matrice.

Matrice regularne po predznaku (engl. sign regular) i algoritmi za singu-larne i svojstvene vrijednosti takvih matrica. Posebno, algoritmi za totalnopozitivne matrice, Nevilleova eliminacija i točno računanje svojstvenih vri-jednosti za totalno pozitivne matrice.

1

Literatura

Obzirom na to da je riječ o vrlo modernim rezultatima i istraživanjima,ne postoji jedinstveni udžbenik koji bi pokrivao sva navedena područja, većse literatura svodi na znanstvene radove iz tog područja (koji će biti dostupnislušačima).1. H. Fassbender, Symplectic Methods for the Symplectic Eigenproblem, Klu-

wer Academic/Plenum Publishers, New York, 2000.2. I. Gohberg, P. Lancaster, and L. Rodman, Indefinite Linear Algebra and

Applications , Birkhäuser, Basel, 2005.3. D. Kressner, Numerical Methods for General and Structured Eigenvalue

Problems , Springer–Verlag, Heidelberg, Berlin, 2005.4. G. W. Stewart, J.-g. Sun, Matrix Perturbation Theory , Academic Press,

Boston, 1990.5. R. Vandebril, M. van Barel, and N. Mastronardi, Matrix Computations

and Semiseparable Matrices, vol. 1: Linear Systems , Johns Hopkins Uni-versity Press, Baltimore, 2008.

6. R. Vandebril, M. van Barel, and N. Mastronardi, Matrix Computationsand Semiseparable Matrices, vol. 2: Eigenvalue and Singular Value Met-hods , Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2008.

7. D. S. Watkins, The Matrix Eigenvalue Problem, GR and Krylov SubspaceMethods , SIAM, Philadelphia, 2007.

Predznanje i polaganje ispita

Od slušača se očekuje predznanje iz numeričke linearne algebre, kao ivještina programiranja. Ispit će se polagati

• rješavanjem kompliciranijih programskih zadatka i seminarom, ili• rješavanjem kompliciranijih programskih zadatka i usmenim ispitom.

Poželjno je znanje programskog jezika F77/F90, odnosno C, tako da se možekoristiti biblioteka Intel/MKL koja sadrži BLAS i LAPACK. Posebno, os-novno iskustvo u paralelnom programiranju može rezultirati i originalnimznanstvenim radovima.

2