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株式会社チョイスタジオ〒606-8225 京都府京都市左京区田中門前町46 京美華ビル3階 TEL : 075-724-4400 Email : info＠choistudio.jp

アルゴリズムイントロダクション 23 章

最小全域木 minimum‐spanning‐tree Problem

2009/06/08 id:tksmd

自己紹介

•  染田貴志 (id:tksmd) – チョイスタジオ＠百万遍で、もそもそしています。 –  i戦士(isenshi.com) という開発チームの一員です。

–  Seasar FoundaCon で開発しています。 –  融点というバンドでオルガンを弾いてます。

•  Related Works – Choistudy (hHp://www.choistudy.jp/) –  Tuigwaa/escafeWeb (hHp://www.escafe.org/) –  Cubby (hHp://cubby.seasar.org/) –  融点 on MySpace (hHp://www.myspace.com/u10asia90)

一番最近のは。。。。

23章のお題

•  構成 – 導入 (最小全域木とは)

– 成長法による最小全域木の構成 – クラスカルとプリムのアルゴリズム

•  クラスカルのアルゴリズム

• プリムのアルゴリズム

最小全域木を求める問題 (Minimum Spanning Tree Problem)

を解くアルゴリズム

全域木

•  全域木 (Spanning Tree) – 無向連結グラフが与えられたとき、全ての点を結合する閉路を含まない辺の集合

最小全域木

•  最小全域木 (Minimum Spanning Tree) – 各辺に重みが与えられた時に、その重みの総和が最小であるような全域木

– 与えられたグラフによっては、複数存在しうる

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

€

w(T) = w(u,v) =(u,v )∈T∑ 37

最小全域木

•  これも同一グラフに対する最小全域木

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

€

w(T) = w(u,v) =(u,v )∈T∑ 37

最小全域木

•  辺の重みが全て異なる場合はこれだけ

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

3

8

9

1

12

7

6

2

13 14

10

4

€

w(T) = w(u,v) =(u,v )∈T∑ 37

5

余談

•  STP (Spanning Tree Protocol) – LANにおいてループ構成(=閉路)を回避するための通信プロトコル

– 冗長性の確保

– 各スイッチがルートブリッジに向けて最小のパスコストで到達出来るルートを選択する

最短経路木を求める問題

記号の定義

€

€

G = (V ,E) (u,v)∈ E

w(T) = w(u,v)(u,v )∈T∑ (T ⊂ E)

A ⊆ T

• 無向グラフ • 目的関数

• 部分集合

成長法による最小全域木の構成

•  基本的な考え方 – 全域木を構成していく、ある段階での辺の部分集合に着目する

– その部分集合にある辺を一つ加えて、全域木を成長させる

– その辺の選択で「貪欲」な戦略をとる


€

GENERIC - MST(G,w)1 A←∅

2 while A ≠MST3 do find safe edge (u,v) for A4 A← A∪{(u,v)}5 return A


a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

€

T = {(a,b),(b,c),(c,d),(c, f ),(c,i),(d,e),( f ,g),(g,h)}

€

A = {(c,i),( f ,g),(g,h)}

€

A = {(c,i),(c, f ),( f ,g),(g,h)}


•  維持する条件

ループ直前において A はある最小全域木の部分集合

ループ内では、それを加える事によって

上記を満たすような「安全な辺」を探し、これまでの部分集合に加える


•  「安全な辺」の求め方 – 定理 23.1 より

– A を侵害しない、G の任意のカット (S,V-S) を設定

–  (S,V-S) と交差する任意の軽い辺を (u,v) とすると、これが安全な辺

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4 €

A = {(c,i),( f ,g),(g,h)}

S↑

V-S↓


•  「安全な辺」の求め方 (続) – 系 23.2

– 森 GA = (V,A) の任意の連結成分を C = (VC,EC) – C と GA を連結する辺 (u,v) が軽い辺ならば、

(u,v) は A に対して安全

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4 €

A = {(c,i),( f ,g),(g,h)}


•  ポイント – 「安全な辺」を部分集合に加えるという選択を繰り返し最小全域木を得る

– 「安全な辺」は、その時点での部分集合に、それを侵害しない任意のカットに対する軽い辺を選べばよい

クラスカルとプリムのアルゴリズム

•  代表的なアルゴリズム – クラスカルのアルゴリズム

– プリムのアルゴリズム

•  各アルゴリズムの味噌 – 育て方の基本戦略

– 利用するデータ構造 – 計算量

クラスカルのアルゴリズム

•  基本戦略 – 最初に重みにより辺集合をソートする – 森を連結していき、最終的に木となる

€

MST −KRUSKAL(G,w)1 A←∅

2 for each v ∈ V[G] 3 do MAKE - SET(v)4 sort E with weight w ascending order5 for each (u,v)∈ E (with sorting order)6 do if FIND - SET(u) ≠ FIND - SET(v)7 then A← A∪{(u,v)}8 UNION(u,v)9 return A


a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

1. 最小の辺からスタート

2. 辺の重みの昇順に処理


a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

3. 閉路を構成する場合はたとえ重み最小でも処理しない

4. 最小全域木を構成したら終了

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

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1

7

7

2

8

2

6 14

10

4


•  雰囲気 – 重み最小の辺の周辺から、森の成長がはじまり、それがのそのそとくっついていく

•  データ構造 – 互いに疎な集合の森 (disjoint‐set forest) で、ノード集合を管理 •  m 回の MAKE‐SET と n 回の MAKE‐SET/UNION/FIND‐SET の計算量が O(mα(n))


•  計算量 – 初期化 O(V) – ソート O(E lg E) – ループ •  O((V+E)α(V))　(|E|>=|V|-1) •  = O(Eα(V)) (α(|V|)=O(lg V)=O(lg E)) •  = O(E lg E) (|E|<|V|2)

•  = O(E lg V)

プリムのアルゴリズム

•  基本戦略 – 指定されたノードから、最も重みの少ない頂点への辺を加え木を育てて行く

€

MST − PRIM(G,w,r) 1 for each u∈ V[G] 2 do key[u]←∞

3 π[u]← NIL 4 key[r] = 0 5 Q←V[G] 6 while Q ≠∅

7 do u← EXTRACT - MIN(Q) 8 for each v ∈ Adj[u] 9 do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v]10 then π[v]← u11 key[v]← w(u,v)

€

A = {(v,π (v)) : v ∈ V −{r}}


a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

1.  指定ノードからスタート

2. 最小の重みに進む


a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

8

9

1

7

7

2

8

2

6 14

10

4

3. 既に追加されているノードへは処理対象にはならない

4. 最小全域木を構成したら終了

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

4

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1

7

7

2

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2

6 14

10

4


•  雰囲気 – 指定ノードからぞわぞわ木が育っていく – 直感的に最小全域木が作られてるっぽい

•  データ構造 – 二分ヒープ •  BUILD‐MIN‐HEAP O(n) •  EXTRACT‐MIN O(lg n) •  DECREASE‐KEY O(lg n)


•  計算量 – 初期化 O(V) – 全 EXTRACT‐MIN 操作 O(V lg V) – 隣接点の処理 O(E lg V) – よって O(V lg V + E lg V)


•  フィボナッチヒープの場合 – 初期化 O(V) – 全 EXTRACT‐MIN 操作 O(V lg V) – 隣接点の処理 O(E) – よって O(V lg V + E)

疎な場合の前処理 (23-2)

a

b

h g

e

d

f

c

i 11

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1

7

7

2

8

2

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ab

fgh

cdei

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8

1.  各ノードの最小重みの辺をピックアップ

2. 縮約したグラフに MST‐PRIM

その他のアルゴリズム

•  ブルーフカ法 – 重みが全て異なるグラフを前提

– O(E lg V)

•  Reverse‐DeleCon 法 – クラスカル法の逆 – 最初に全ての辺を含むグラフからはじめ、重みの大きい辺から削除していく

– O(E lg E (lg lg E)3)

まとめ

•  最小全域木問題 – 貪欲戦略で最適解を得ることが出来る – クラスカル法 • 森を育てて最終的に MST を得る

•  O(E lg V) – プリム法 •  ノードを指定し、枝をのばし最終的に MST を得る

•  O(E lg V) • ただしフィボナッチヒープを用いて、ならし解析すると O(E+V lg V)

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