INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

MATERIA:

ALGEBRA LINEAL

GRUPO:

3EM

INVESTIGACIÓN FINAL:

ESPACIOS VECTORIALESTRANSFORMACIONES LINEALES

ALUMNO:

HERNANDEZ CASTRO JUAN DANIEL

PROFESOR:

M.C. ROGER A. GAMBOA SALAZAR

FECHA: 4 DE MAYO DE 2015

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UNIDAD 4

ESPACIOS VECTORIALES

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3.

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 :

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.

• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)

• Conmutativa: v+u=u+v. K K• Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0+ v = v para cualquier

vector v.K • Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0

.

Propiedades del producto de un vector por un escalar. • Asociativa: β (α v) = ( β α ) v

• Distributivas:

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Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier

vector v.

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4.1Definición: espacio vectorial.

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

• Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo: K K

Si αv = 0 (α escalar, v vector) entonces o bien es α=0 o bien es v = 0 .

Ejemplos de espacios vectoriales. 1) El espacio ℜn , formado por los vectores

de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0).

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜn ).

2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ }

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Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y

obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de

P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

• Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2.

• Producto por un escalar real: λ∈ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2.

KSe puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar

complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos

de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos

los polinomios p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2 , y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0K es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.

No es un espacio vectorial complejo.

En algunos espacios vectoriales reales, distintos de ℜn , puede hacerse un “paralelismo” o “identificación” con ℜn , para un n adecuado.

Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real C de los números complejos puede identificarse con ℜ2 , correspondiendo el número complejo a+bi al vector (a,b)

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Veamos cómo el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 } puede identificarse

con ℜ3 : cada polinomio ax2+bx+c correspondería al vector (a,b,c) de ℜ3.

En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar paralelamente del espacio considerado a ℜn.

Esto hace posible efectuar las operaciones en ℜn en lugar de otros espacios.

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4.2 SUBESPACIOS VECTORIALES

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Definición:

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector 0 , y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto

por escalar.) Es decir:

• 0 ∈ S .

• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.

• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V).

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

Ejemplos

1) La recta x=y es un subespacio de ℜ2. Está formado por los vectores de la forma (a,a).

Contiene al vector (0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta.

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• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(a,a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.

2) El plano XY es un subespacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x,y,0).

Contiene al vector (0,0,0).

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

• Suma: (x,y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento del plano.

• Producto por un escalar: λ∈ℜ , λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.

Podemos decir que este plano “es como ℜ2” pero incluido en ℜ .3

3) ¿Es un subespacio de ℜ2 el conjunto de los vectores de la forma (a,1)?

No, puesto que no contiene al (0,0).

O también: porque no se puede sumar dentro de este conjunto, por ejemplo

(a,1)+(b,1)=(a+b,2) que no pertenece al conjunto.

Descripción de los subespacios de Rn.

Los subespacios de ℜ n pueden describirse de dos formas: implícita y paramétrica.

• Forma implícita: Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.

• Forma paramétrica: Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.

Para pasar de una a otra forma:

• De la forma implícita a la paramétrica: Basta considerar las ecuaciones implícitas como un sistema, y resolverlo. La solución general del sistema (que podrá depender de parámetros) es la expresión paramétrica.

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• De la forma paramétrica a la implícita: Podemos decir, aunque no es un método riguroso, que se trata de “describir” mediante ecuaciones cómo es el vector genérico del subespacio. Ayudará el conocer qué número de ecuaciones es necesario (lo que se verá más adelante).

Ejemplos

1) En ℜ 2 , la recta bisectriz del primer cuadrante puede describirse en

implícitas como { y=x }, y en paramétricas como { (λ,λ) : λ∈ℜ}

2) En ℜ 3, dado el subespacio en paramétricas { (α, β, α–β) : α,β ∈ℜ }, su

forma implícita es la ecuación { z=x–y } .

Relación entre la forma implícita y paramétrica.

Si S es un subespacio de ℜn, la forma implícita y paramétrica de S satisfacen en general la siguiente relación:

Nº de ecuaciones implícitas + Nº de parámetros = n. (n es el nº de incógnitas).

Comprobar esta relación en los ejemplos anteriores.

Sin embargo para que esto sea cierto debe cumplirse que las ecuaciones implícitas sean independientes entre sí, es decir, que ninguna sea combinación lineal de otras. Esto significa que, considerando las ecuaciones como un sistema, no “sobre” ninguna ecuación: es decir, que la matriz de coeficientes tenga rango igual al número de ecuaciones.

También los parámetros deben ser independientes entre sí: por ejemplo en la

expresión paramétrica (α+β, α+β, 0), que en ℜ 3 corresponde a la forma implícita {x=y , z=0}, no se cumple la relación anterior: 2+2 ≠ 3. Esto ocurre porque los dos dos parámetros no son independientes. En realidad puede sustituirse α+β por un solo parámetro λ y así tendríamos (λ, λ, 0) y ya se cumple 2+1=3.

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(Esto será más fácil de comprobar más adelante, en el punto “Bases y dimensión”, pues el número de parámetros independientes es igual a la dimensión del subespacio).

Inclusión de subespacios.

Dados dos subespacios A y B, puede ocurrir que uno esté incluido en otro (una recta dentro de un plano, por ejemplo).

Se dice que A está contenido o incluido en B (y se denota A ⊂ B) si todos los elementos de A están también en B. En cualquier espacio vectorial V, el subespacio {0 } está contenido en todos los demás subespacios; mientras que todos ellos están contenidos en el total V.

Veamos cómo reconocer si un subespacio está incluido en otro:

- En forma implícita: Si las ecuaciones de B están incluidas en las de A,

entonces A ⊂ B. (Cuantas más ecuaciones implícitas, más pequeño es el

subespacio).

- En forma paramétrica: Para ver si A ⊂ B, tendremos que ver si todo

vector genérico de A, está en B.

Ejemplo

- En ℜ 3, sean los siguientes subespacios dados en paramétricas:

A= { (λ,0,0) : λ ∈ℜ} b= { (α,0,β) : α, β ∈ℜ}

Tenemos que A ⊂ B , pues todo vector de la forma (λ,0,0) también es de la forma (α,0,β), tomando β=0.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS

A partir de dos subespacios podemos construir otro efectuando las operaciones de suma o intersección de subespacios.

Intersección de subespacios.

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La intersección, indicada por el símbolo ∩ , puede aplicarse a conjuntos cualesquiera, no sólo a espacios vectoriales. Consiste en encontrar los elementos comunes a dos conjuntos.

Por ejemplo, la intersección de dos planos en ℜ 3 podrá ser una recta.

Notar que dados dos subespacios cualesquiera, siempre hay vectores comunes a ambos.

Teorema

La intersección de subespacios es un subespacio.

En efecto, es posible sumar vectores dentro de S∩T , pues por ser S y T

subespacios, la suma debe permanecer dentro de S y dentro de T, y por tanto

dentro de S∩T. Lo mismo para el producto por escalares.

Cálculo de la intersección.

La forma más sencilla (aunque no la única) de calcular S∩T es utilizar la

expresión implícita de S y de T.

sistema con todas ellas).

Este sistema, si es “sencillo”, puede considerarse ya como la forma implícita de S∩T.

En todo caso, resolviendo este sistema obtenemos la forma paramétrica de S∩T.

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S

T

T∩S

Suma de subespacios.

Dados dos subespacios S, T se define el subespacio suma como: S+T = {

u + v : u ∈ S , v ∈ T } es decir, aquellos vectores que podamos construir

sumando un vector de S y uno de T.

Teorema

La suma de subespacios es un subespacio.

Cálculo del subespacio suma.

Al contrario que la intersección, la suma S+T se calcula más fácilmente usando la forma paramétrica de S y de T. Esto nos permite tomar un vector genérico de cada uno de los subespacios y sumarlos, obteniéndose una expresión paramétrica de S+T.

No obstante la forma paramétrica así obtenida puede tener parámetros no independientes. Más adelante, en el punto “Sistemas generadores” se dará otro método para calcular el subespacio suma.

4.3

Dependencia e independencia lineal

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23

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Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es

decir donde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

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INDEPENDENCIA LINEALEn el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores  , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los

vectores  ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2;

rescribiendo esto se obtiene  .

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son

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linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que lois vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1,

c2, …, cn no todos ceros tales que  .

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lienal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintivamente.

Teorema:dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Demostración: primero suponga que v2=cv1 para elgun escalar c≠0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces

dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea, 

Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto, v2=0=0v1.

4.4pág. 16

Base y dimensión

Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.β

Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño

posible).

2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base

estándar) de ℜ n: e1 = (1,0,. . . ,0) e2 = (0,1,.

. . ,0)

........ en = (0,0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

Teorema y definición: Dimensión

. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes

que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el

máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.pág. 17

Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.

Ejemplos de dimensión.

1. ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).

2. P2= {polinomios de grado≤2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:

1+0x+0x2 , 0+x+0x2, 0+0x+x2 (es decir, los polinomios 1, x, x2).

Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3–x–5x2.

Propiedades de la dimensión.

1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.

2. La dimensión de un subespacio en ℜn, coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)

3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T.

Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.

4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del

subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto

subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r.

(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)

Ejemplo.

En ℜ 3, sea S el subespacio generado por: (1,0,2), (0,–1,–2), (3,3,3), (2,2,0).

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Observamos que el rango de este conjunto (= rango de la matriz que forman, por filas o por columnas) es 3. Así por la propiedad 4 , tenemos que dim S = 3. Pero como estamos en ℜ 3, por la propiedad 3 ha de ser S=ℜ 3.

Teorema:.

Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces,

• Si tenemos m vectores linealmente indep. en S, también serán sistema generador de S.

• Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente independientes.

Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas.

Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.

Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión.

Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m,

• un conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente independiente.

• un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.

Así pues, por ejemplo, 3 vectores en ℜ 2 podrán ser o no sistema generador de ℜ 2, pero nunca podrán ser linealmente independientes.

Del mismo modo, 2 vectores en ℜ 3 podrán ser linealmente independientes o no, pero nunca serán sistema generador de ℜ 3 (aunque sí podrán serlo de un subespacio más pequeño).

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo

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único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.

Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3

En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.

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Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2

En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal

El conjunto de vectores  es un conjunto ortonormal en V si

y

Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

 Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv

esta dada por (6)

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Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn.

TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormales

 

Sea vϵV. entonces

Complemento ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)

 TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN: sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.

Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor

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propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.6 Base Orto normal

Orto normalización de Gram-Schmidt

La base es el subconjunto de algún espacio vectorial, tal que este es linealmente independiente y se extiende sobre todos los elementos de ese espacio vectorial. La base ortonormal es un tipo especial de base, la cual es un subconjunto de un tipo especial de espacio vectorial el cual es el producto

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escalar del espacio vectorial. Antes de ahondar en el tema, primero aclararemos nuestro concepto sobre un conjunto ortonormal.Sea un V producto escalar de un espacio vectorial, si cada vector par discreto dentro de ese espacio vectorial es ortogonal, entonces podemos definir el espacio vectorial como un conjunto ortogonal. Además, ampliando esta definición, en un conjunto ortogonal si tenemos cada vector con una norma igual a uno, entonces este es definido como conjunto ortonormal. Sea V producto escalar de un espacio vectorial, y tenemos a S como base de ese espacio vectorial dado, entonces, si S es un conjunto ortogonal, entonces lo llamamos una base ortogonal y si S es un conjunto ortonormal entonces lo denominamos una base ortonormal.

Formalmente hablando, una base S del producto escalar de un espacio vectorial V que contiene vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ se define como una base ortonormal si satisface la condición <v¬i¬ . v¬j¬> = 0 donde i no debe ser igual a j. Aquí ‘.’ es el producto escalar del espacio vectorial dado.Sin embargo no es indispensable que una base ya determinada esté en forma ortogonal. Podemos, si es necesario, transformar la base a la forma ortonormal. El procedimiento para hacerlo se llama proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. La entrada del procedimiento es generalmente una base finita y la salida es una base ortonormal definida en algún período arbitrario. El teorema establece “ Para un conjunto k de elementos, el cual es lineal e independiente, es posible construir un conjunto ortonormal, y el conjunto resultante es la agrupación lineal del conjunto de entrada y se extiende sobre el mismo espacio vectorial”.Es esencial que la base esté ordenada para que sea una base ortonormal. Sea V un producto escalar de un espacio vectorial, y si tenemos a S como la base del espacio vectorial dado que contiene los elementos de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ . Ahora, que tenemos otra base S’, que contiene los elementos de la forma w¬1¬, w¬2¬, w¬3¬ … w¬n¬. Aquí v¬1¬ = w¬¬1¬, entonces,

También podemos afirmar lo definido de una manera inversa diciendo que si S es un subconjunto ortonormal de V que consiste en vectores no cero, entonces podemos decir que S es linealmente independiente.Si tenemos S como base ortonormal para cualquier producto escalar de un espacio vectorial, entonces por cada elemento en el espacio vectorial dado tenemos,

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Aquí x es un vector en el espacio vectorial dado y los coeficientes [x, v¬i¬] son llamados coeficientes de Fourier. Un punto digno de mención es que todos los productos de los espacios vectoriales que tienen tamaño finito, tienen esencialmente una base ortonormal.

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UNIDAD 5TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matematicas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.

Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x

En R2 se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

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Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Seanp1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que

r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades

de manera similar  r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades

y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

en general se ve que pág. 27

o Ap= r.

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación  de matrices ordinaria. Como se verá , esta función es también una transformación lineal.

Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección 1.7 se escribió un sistema de ecuaciones como

Ax=b

Donde A es una matriz de m*n, x  R” y b  R”. Se pidió encontrar x cuando  A y b se conocían . No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Entonces la ecuación Ax=b “dice” : proporcione una x en R´´ y yo le daré una b en R´´´; es decir , A representa una función con dominio R´´ e imagen en R´´´.

La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A (      si  es un escalar y A(x + y) = Ax + Ay. Esta propiedad caracteriza las transformaciones lineales.

Definición 1  transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v  V un vector único Tv  W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar .

T(u + v) = Tu + Tv

            Y               

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T(av)=aTv

TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN

1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función  con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional ʄ(x), que se lee “ʄ de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Ejemplo 5 La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y definida I: V V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio que es I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

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Ejemplo 6    Transformación de reflexión

Sea T:R2 R2 definida por T(x;y)=(x;-y). Es fácil verificar que T es lineal. En términos geométricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 5.2)

Ejemplo 7   Transformaciones de Rn Rm dada por la multiplicación por una matriz de m*n.

Sea A una matriz de m*n y definida T:R´´ R´´´ por Tx = Ax. Como A(x + y) = Ax + Ay y A(  si x y y están en R´´, se observa que T es una transformación lineal. Entonces: toda matriz A de m*n se puede utilizar  para definir  una transformación lineal de R´´ en R´´´. 

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

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A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f−1({0}).

Observamos que si f : V → W es una transformación lineal, Nu(f) es un subespacio de V , puesto que es la pre-imagen por f del subespacio {0} ⊂ W.

Ejemplo. Sea f : R3 → R2 la transformación lineal definida por f(x1,x2,x3) = (x1,x2).

Entonces

Nu(f) ={(x1,x2,x3) ∈ R3 : f(x1,x2,x3) = 0}

= {(x1,x2,x3) ∈ R3 : x1 = x2 = 0} =< (0,0,1)

> .

La siguiente proposición nos da una manera de determinar si una transformación lineal es un monomorfismo considerando simplemente su núcleo.

Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces

f es monomorfismo⇐⇒ Nu(f) = {0}

Demostración.

(⇒) Si f es un monomorfismo, entonces es una función inyectiva. En particular, existe a lo sumo un elemento v ∈ V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego, Nu(f) = {0}.

(⇐) Sean v,v0 ∈ V . Supongamos que f(v) = f(v0). Entonces f(v − v0) = f(v) − f(v0) = 0, con lo que v−v0 ∈ Nu(f) y por lo tanto, la hipótesis Nu(f) = {0} implica que v−v0 = 0, es decir, v = v0. Luego f es inyectiva. ¤

Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Recordamos que si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W /∃v ∈

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V,f(v) = w}. De la Proposición 3.3 se desprende que la imagen de una transformación lineal f : V → W resulta ser un subespacio de W.

Ejemplo. Hallar la imagen de la transformación lineal f : R3 → R3 definida como f(x1,x2,x3) = (x1 − x2,−x1 + x2,2x1 − 2x2 + x3).

Por definición,

Im(f) ={y ∈ R3 / ∃x ∈ R3, f(x) = y}

={y ∈ R3 / ∃(x1,x2,x3) ∈ R3, (x1 − x2,x1 − x2,2x1 − 2x2 + x3) = y}.

Entonces, un elemento de y pertenece a Im(f) si y s´olo si es de la forma

y = (x1 − x2,−x1 + x2,2x1 − 2x2 + x3) = (x1,−x1,2x1) +

(−x2,x2,−2x2) + (0,0,x3) = x1.(1,−1,2) + x2.

(−1,1,−2) + x3.(0,0,1).

Luego, Im(f) = < (1,−1,2),(−1,1,−2),(0,0,1) > = < (1,−1,2),(0,0,1) >.

Otra manera de calcular la imagen de f, teniendo en cuenta que es una transformación lineal, es la siguiente:

Consideremos un sistema de generadores de R3, por ejemplo la base canónica {e1,e2,e3}. Para cada x ∈ R3 se tiene que x = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3, de donde resulta que

f(x) = x1.f(e1) + x2.f(e2) + x3.f(e3).

Luego,

Im(f) ={f(x) : x ∈ R3} = < f(e1),f(e2),f(e3) > =

=< (1,−1,2),(−1,1,−2),(0,0,1) > = < (1,−1,2),(0,0,1) >.

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5.3 La matriz de una transformación lineal.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.

Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

Teorema 1

Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que

Demostración

Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. si

Entonces

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De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición 1    Matriz de transformación

La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de transformación diferente.

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TEOREMA 2   sea AT la matriz de transformación correspondiente a laa transformación lineal T. entonces.

i.                     Im T = Im A = CAT

ii.                   P(T) = p(AT)

iii.                  Un T = NAT

iv.                 v(T) = v(AT

Ejemplo 1    Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente ala proyección de un vector en R3 sobre el plano xy.

Solución

Teorema 4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2  en W. entonces

i.                     p(T) =p(AT)         ii. V(A) = v(AT)           iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición  de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.

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Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.

Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante

C>1. Como antes ,

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entonces la representación matricial de T es   de manera que

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Expansión en la dirección de x c = 2.

c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.

Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva 0<c<1, mientras que para la expansión c<1.

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a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Compresión a lo largo del eje x con c =1/3.

c)       Compresión a lo largo del eje x con c=1/2.

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5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Reflexión sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de

R2 en R2 que cada vector   lo refleja sobre el eje x,

para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

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Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

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Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

Rotación por un ángulo

Sea   un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de R2 en R2 que gira cada

vector  un angulo  , para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

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Distribuyendo y usando el hecho de que   

y   tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la

transformación   tal que 

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo  y es lineal, ya que:

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Fuente de información

http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales1.pdf

http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf

http://www.matap.uma.es/~garvin/05Alg10/node24.html

http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/53-la-matriz-de-una-transformacion.html

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