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ALGEBRA

Introduccin al lgebraEl lgebra es muy divertida puedes resolver acertijos con ella!

Un AcertijoCul es el nmero que falta?

- 2 = 4Bueno pues, la respuesta es 6, no? Porque 6-2=4.

Bien, en lgebra no usamos espacios vacos o cajas sino que usamos una letra(normalmente una x o una y, pero cualquier letra est bien). Entonces escribiramos:

x - 2 = 4Es as de sencillo. La letra (en este caso una x) slo quiere decir an no lo sabemos yse la llama frecuentemente incgnita o variable.

Y una vez que la resuelves, escribes:

x = 6

Por qu usar una letra?Porque:

es ms fcil escribir x que dibujar cajitas vacas (y ms fcil decirx que caja vaca)

si hubiera muchas cajitas vacas (muchas incgnitas) podramosutilizar una letra diferente para cada una.

Cmo ResolverEl lgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como x-2=4 y quieres llegara algo como x=6.

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Pero en lugar de decir obviamente x=6, usa el siguiente mtodo paso a paso:

Piensa qu es lo que debes quitar para llegar a x= Qutalo haciendo lo opuesto (sumar es opuesto a restar) Esto ltimo hazlo en ambos lados

Aqu tienes un ejemplo:

Queremos quitar el-2

Para quitarlo, haz loopuesto, en este

caso suma 2

Hazlo en amboslados: Lo cual es ... Resuelto!

Por qu agregamos 2 a ambos lados?Para mantener el equilibrio

Agrega 2 a la izquierda Agrega 2 a la derecha tambin

Equilibrada Desequilibrada! Equilibrada de nuevo

Acurdate de esto:

Para mantener el equilibrio, lo que se hace a un lado del =tambin debe hacerse al otro lado!

Otro AcertijoResuelve ste:

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x + 5 = 12

Comienza con: x + 5 = 12

Lo que ests buscando es una respuesta como x= y el +5 estmolestando!

Si restas 5, puedes cancelar el +5 (porque 5-5=0)

Entonces, intentemos restar 5 en ambos lados: x+5 -5 =12 -5

Un poquito de aritmtica (5-5=0 y 12-5=7) da como resultado: x+0 = 7

Lo cual es simplemente: x = 7

Resuelto!(chequeo rpido: 7+5=12)

Cul es el nmero que falta?

4 = 8La respuesta es 2, verdad? Porque 2 4 = 8.

Bueno, en lgebra no se usan cuadros en blanco, se usan letras. As que podemosescribir:

x 4 = 8Pero la letra "x" se parece al ""! ... eso puede confundirnos... as que enlgebra no se usa el signo de multiplicar () entre nmeros y letras, slo hayque poner el nmero al lado de la letra para indicar una multiplicacin:

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4x = 8En espaol lo diras "cuatro equis es igual a ocho", lo que quiere decir que 4 x's hacen8. Y la respuesta la escribiras:

x = 2

Cmo resolverEn la otra pgina te enseamos este cmodo mtodo paso a paso:

Averigua qu tienes que quitar para conseguir "x = ..." Qutalo haciendo lo contrario Haz eso en los dos lados

Eso tambin funciona aqu, pero lo que te hace falta saber es que dividir es locontrario de multiplicar. Mira este ejemplo:

Queremos quitarel "4"

Para quitarlo, haz loopuesto, en este caso

divide entre 4:

Hazlo en los doslados: Eso es ... Resuelto!

Por qu hemos dividido entre 4 en los dos lados?Porque hace falta equilibrio...

Divide a la izquierda entre 4 Divide tambin a la derecha entre 4

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En equilibrio Desequilibrado! En equilibrio otra vez

Slo recuerda...

Para mantener el equilibro, lo que hagas a un lado del "="tienes que hacerlo tambin al otro lado!

Otro puzzleResuelve este:

x / 3 = 5Empieza por: x/3 = 5

Lo que tienes que conseguir es una respuesta como "x = ...", y el divideentre 3 te estorba!

Si multiplicas por 3 puedes cancelar el dividir entre 3 (porque 3/3=1)

As que vamos a probar a multiplicar por 3 en los dos lados: x/3 3 =5 3

Un poco de aritmtica (3/3 = 1 y 53 = 15) nos da: 1x = 15

Y esto es: x = 15

Resuelto!(Comprobacin rpida: 15/3 = 5)

Prueba t ahoraAhora prueba con esta hoja de ejercicios de multiplicacin algebraica y comprueba tusrespuestas en la pgina de despus. Intenta usar los pasos que te hemos enseado,en lugar de adivinar!

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Un ejemplo ms complicadoCmo resolveras este?

x / 3 + 2 = 5Parece difcil, pero no lo es si lo resuelves paso a paso.

Primero quitaremos el "+2":

Empieza por: x/3 + 2 = 5

Para quitar el ms 2 usa menos 2 (porque 2-2=0) x/3 + 2 -2 = 5 -2

Un poco de aritmtica (2-2 = 0 y 5-2 = 3) nos da: x/3 + 0 = 3

Y esto es: x/3 = 3

Ahora quitamos el "/3":

Empieza por: x/3 = 3

Si multiplicas por 3 puedes cancelar el dividir entre 3 x/3 3 = 3 3

Un poco de aritmtica (3/3 = 1 y 53 = 15) nos da: 1x = 9

Y esto es: x = 9

Resuelto!(Comprobacin rpida: 9/3 + 2 = 3+2 = 5)

Cuando tengas ms experiencia:

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Cuando tengas ms experiencia, podrs resolverlo as:

Empieza por: x/3 + 2 = 5

Resta 2 de los dos lados: x/3 + 2 -2 = 5 -2

Simplifica: x/3 = 3

Multiplica por 3 en los dos lados: x/3 3 = 3 3

Simplifica: x = 9O incluso as:

Empieza por: x/3 + 2 = 5

Resta 2: x/3 = 3

Multiplica por 3: x = 9

El orden de las operaciones - PEMDAS

OperacionesLas "operaciones" son por ejemplo sumar, restar, multiplicar, dividir, calcular elcuadrado, etc. Si algo no es un nmero entonces probablemente es una operacin.

Pero, cuando ves algo como...

7 + (6 52 + 3)

... qu parte tendras que calcular primero?

Empiezas por la izquierda y vas hacia la derecha?O de derecha a izquierda?

Atencin: Si lo calculas en el orden equivocado, tendrs una respuesta equivocada!

As que hace tiempo la gente se puso de acuerdo en seguir algunas reglas para hacerclculos, y son:

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El orden de las operacionesPrimero haz las cosas entre parntesis. Ejemplo:

6 (5 + 3) = 6 8 = 48

6 (5 + 3) = 30 + 3 = 33 (mal)

Exponentes (potencias, races) antes que multiplicaciones, divisiones,adiciones o sustracciones. Ejemplo:

5 22 = 5 4 = 20

5 22 = 102 = 100 (mal)

Multiplicar o dividir va antes que sumar o restar. Ejemplo:

2 + 5 3 = 2 + 15 = 17

2 + 5 3 = 7 3 = 21 (mal)

Aparte de eso se va de izquierda a derecha. Ejemplo:

30 5 3 = 6 3 = 18

30 5 3 = 30 15 = 2 (mal)

Cmo me puedo acordar? PEMDAS!

P Parntesis primero

E Exponentes (potencias y races cuadradas,etc.)

MD Multiplicacin y Divisin (de izquierda aderecha)

AS Adicin y Sustraccin (de izquierda a derecha)

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Nota: multiplicar y dividir estn al mismo nivel. Sumar y restarestn al mismo nivel.

Despus de hacer "P" y "E", slo ve deizquierda a derecha haciendo las "M" o "D"cuando te encuentres una.

Entonces ve de izquierda a derechahaciendo las "A" o "S" cuando lasencuentres.

Nota: no hace falta que te aprendas PEMDAS si no quieres, lo importante es que teaprendas el orden de las operaciones correctamente.

EjemplosEjemplo: Cmo calculas 3 + 6 2 ?Multiplicacin antes que Adicin:Primero 6 2 = 12, despus 3 + 12 = 15

Ejemplo: Cmo calculas (3 + 6) 2 ?Parntesis primero:Primero (3 + 6) = 9, despus 9 2 = 18

Ejemplo: Cmo calculas 12 / 6 3 ?Multiplicacin y Divisin estn al mismo nivel, ve de izquierda a derecha:Primero 12 / 6 = 2, despus 2 3 = 6

Ah, s, y qu pasa con 7 + (6 52 + 3)?

7 + (6 52 + 3)

7 + (6 25 + 3) Empieza dentro del parntesis, y despus hazlosexponentes primero

7 + (150 + 3) Despus multiplica

7 + (153) Despus suma

7 + 153 Parntesis hecho, la ltima operacin es una suma

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160 HECHO!

SustitucinEn lgebra "sustitucin" significa poner nmeros donde hay letras:

Si tienes: x - 2

Y sabes que x=6 ...

... entonces puedes "sustituir" 6 por x: 6 - 2 = 4

Ejemplo 1: si x=5 y y=3, cunto es 10/x + 2y ?

Pon "5" donde est la "x", y "3" donde est la "y": 10/5 + 23 = 2 + 6 = 8

Ejemplo 2: Si x=3 y y=4, cunto es x2 + xy ?

Pon "3" donde est la "x", y "4" donde est la "y": 32 + 34 = 9 + 12 = 21

Ejemplo 3: Si x=3 (pero no conoces "y"), cunto es x2 + xy ?

Pon "3" donde est la "x": 32 + 3y = 9 + 3y (esto es todo lo que puedes hacer)

Y como muestra este ltimo ejemplo, no siempre tendrs un nmero como respuesta,a veces slo una frmula ms simple.

Qu es una ecuacin

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Una ecuacin dice que dos cosas son iguales. Tendr un signo de igualdad "=", porejemplo:

x + 2 = 6

Lo que la ecuacin dice: lo que est a la izquierda (x + 2) es igual que lo queest en la derecha (6)

As que una ecuacin es como una afirmacin "esto es igual a aquello"

Qu es una frmulaUna frmula es un tipo especial de ecuacin que muestra la relacin entrediferentes variables (una variable es un smbolo que representa un nmero que noconocemos todava).

Ejemplo: La frmula para calcular el volumen de una caja esV = lpa

V significa volumen, l longitud, p profundidad y a altura.

Si l=5, p=10 y a=4, entonces V = 5104 = 200

Una frmula tiene ms de una variable.

Todas estas son ecuaciones, pero slo algunas son frmulas:

x = 2y - 7 Frmula (que relaciona x e y)

a2 + b2 = c2 Frmula (que relaciona a, b y c)

x/2 + 7 = 0 No es una frmula (slo una ecuacin)

Sin el igualA veces una frmula se escribe sin el "=":

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Ejemplo: la frmula para el volumen de una caja es:lpa

Pero de alguna manera el "=" est all, porque podras haber escrito V = lpa sihubieras querido.

Sujeto de una frmulaEl "sujeto" de una frula es la variable sola (normalmente a la izquierda del "=") quees igual a todo lo dems.

Ejemplo: en la frmulas = vt + at2

"s" es el sujeto de la frmula

Cambiar el sujetoUna de las cosas ms poderosas que puede hacer el lgebra es "transformar" unafrmula para que otra variable sea el sujeto.

Transformar la frmula del volumen de una caja (V = lpa) para que la longitud sea elsujeto:

EMpieza por: V = lpadivide los dos lados entre p: V / p = ladivide los dos lados entre a: V / pa = lintercambia los lados: l = V / pa

As que si tienes una caja con profundidad 2m, altura 2m y volumen 12m3, puedescalcular su longitud:

l = V / pal = 12m3 / (2m2m) = 12/4 = 3m

ExponentesLos exponentes tambin se llaman potencias o ndices

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El exponente de un nmero nos dice cuntas veces se usael nmero en una multiplicacin.

En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segundapotencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 alcuadrado"

Ms ejemplos:

Ejemplo: 53 = 5 5 5 = 125

En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" osimplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 24 = 2 2 2 2 = 16

En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" osimplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen ms fcil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 96 es ms fcil de escribir y leer que 9 9 9 9 9 9

Puedes multiplicar cualquier nmero por s mismo tantas veces como quieras con estanotacin.

As que, en general:

an te dice que multipliques a por smismo,

y hay n de esos a's:

Exponentes negativosNegativos? Qu es lo contrario de multiplicar? Dividir! Un exponente negativosignifica cuntas veces se divide entre el nmero.

Ejemplo: 8-1 = 1 8 = 0,125

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O varias divisiones:

Ejemplo: 5-3 = 1 5 5 5 = 0,008

Pero esto lo podemos hacer ms fcilmente:

5-3 tambin se podra calcular as:1 (5 5 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008

Este ltimo ejemplo nos muestra una manera ms fcil de manejarexponentes negativos:

Calcula la potencia positiva (an) Despus cacula el recproco (o sea 1/an)

Ms ejemplos:

Exponente negativo Recproco del exponente positivo Respuesta4-2 = 1 / 42 = 1/16 = 0,0625

10-3 = 1 / 103 = 1/1.000 = 0,001

Qu pasa si el exponente es 1 o 0?Si el exponente es 1, entonces tienes el nmero solo (por ejemplo 91 = 9)

Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)

Tiene sentidoMi mtodo favorito es empezar con "1" y multiplicar y o dividir tantas veces como digael exponente, y tendrs la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5... etc...

52 1 5 5 25

51 1 5 5

50 1 1

5-1 1 5 0,2

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5-2 1 5 5 0,04

... etc...

Si miras esta tabla, vers que los exponentes positivos, cero y negativos son enrealidad parte de un mismo (y bastante sencillo) patrn.

Exponentes NegativosA los exponentes tambin se los llama ndices.

El exponente de un nmero nos dice cuntas veces debemos usar esenmero en una multiplicacin.

En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64

En palabras: 82 se podra llamar "8 elevado al 2" osimplemente "8 al cuadrado".

Entonces, en general:

an te dice que multipliques a por smisma un nmero n de veces:

Pero esos son exponentes positivos, qu pasa si tenemos algo como?

8-2Este exponente es negativo ... qu quiere decir?

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Exponentes NegativosNegativo? Qu puede ser lo opuesto a multiplicar? Dividir!

La divisin es la inversa (opuesta) de la multiplicacin.

Un exponente negativo nos indica cuntas veces dividir por ese nmero.

Por ejemplo: 8-1 = 1 8 = 1/8 = 0,125

O muchas divisiones:

Por ejemplo: 5-3 = 1 5 5 5 = 0,008

Pero se puede hacer de una forma ms fcil:

5-3 tambin podra calcularse as:1 (5 5 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008

El ultimo ejemplo nos mostr una forma ms simple demanejar exponentes negativos:

Calcula el exponente (an) Luego utiliza su Inverso (1/an)

Para cambiar el signo (ms a menos, o menos a ms) de el exponenteusa el Recproco (es decir, 1/an)

Entonces, cmo sera 8-2 ?

Por ejemplo: 8-2 = 1 8 8 = 1/82 = 1/64 = 0,015625

Ms ejemplos:

Exponente negativo Inversa de un exponente positivo Respuesta4-2 = 1 / 42 = 1/16 = 0,0625

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10-3 = 1 / 103 = 1/1.000 = 0,001

Todo Tiene SentidoMi mtodo favorito es comenzar con 1 y luego multiplicar o dividir tantas veces comoel exponente me diga. As obtendrs la respuesta correcta, por ejemplo:

Ejemplo: Exponentes de 5.. etc..

52 1 5 5 25

51 1 5 5

50 1 1

5-1 1 5 0,2

5-2 1 5 5 0,04

... etc...

Si miras esta tabla, vers que los exponentes positivos, el cero o los exponentesnegativos son parte del mismo modelo (bastante simple).

El recproco en lgebraDale la vuelta!

El recproco de un nmeroPara tener el recproco de un nmero, slo divide 1entre el nmero.

Ejemplos:

Nmero Recproco En decimal

2 1/2 = 0.5

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8 1/8 = 0.125

1,000 1/1,000 = 0.001

Recproco de una variableSi te dan una variable "x", su recproco es "1/x".

Igualmente, si te dan algo ms complicado como "x/y" entonces el recproco es slo"y/x" (o sea, dale la vuelta).

Ejemplo: Cul es el recproco de x/(x-1) ?Respuesta: toma x/(x-1) y dale la vuelta: (x-1)/x

NotacinEl recproco de "x" se indica as:

1/x

o

x-1

Cuadrados y races cuadradasPara entender las races cuadradas primero tienes que entender los cuadrados...

Cmo se calcula el cuadrado de un nmeroPara calcular el cuadrado de un nmero, slo hay que multiplicarlo por s mismo...

Ejemplo: Cul es el cuadrado de 3?

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3 al cuadrado = = 3 3 = 9

Nota: escribimos "3 al cuadrado" como 32(el "2" pequeo significa que el nmero aparece dos veces en la multiplicacin)

Ms cuadrados4 al cuadrado = 42 = 4 4 = 16

5 al cuadrado = 52 = 5 5 = 25

6 al cuadrado = 62 = 6 6 = 36

Raz cuadradaLa raz cuadrada va en la direccin contraria:

3 al cuadrado es 9, as que la raz cuadrada de 9 es 3

3 9

La raz cuadrada de un nmero es...... ese valor particular tal que cuando lo multiplicas por s mismo te da el nmerooriginal.

La raz cuadrada de 9 es ...... 3, porque cuando multiplicas 3 por s mismo sale 9.

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Nota: cuando veas "raz" piensa

"conozco el rbol, pero cul es la raz que lo produce?"

En este caso el rbol es "9", y la raz es "3".

Aqu tienes ms cuadrados y races cuadradas:

4 16

5 25

6 36

Ejemplo: Cul es la raz cuadrada de 25?Bueno, acabamos de ver que 25 = 5 5, as que si multiplicas 5 por s mismo(5 5) sale 25.Entonces la respuesta es 5

El smbolo de raz cuadradaEste es el smbolo que significa "raz cuadrada", es como una marca de"correcto", de hecho hace cientos de aos empez siendo un punto conun palito hacia arriba.

Se le llama radical, y siempre hace que las matemticas parezcanimportantes!

Se usa as: (se dice que "la raz cuadrada de 9 es 3")

Abajo hay temas ms avanzados

Tambin puedes calcular el cuadrado de nmeros negativosMira esto:

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El cuadrado de 5 es 25: 5 5 = 25

Pero el cuadrado de -5 tambin es 25: -5 -5 = 25(porque negativo por negativo es positivo)

As que la raz cuadrada de 25 puede ser 5 o -5

Hay una respuesta positiva y otra negativa para una raz cuadrada!

Pero cuando la gente habla de "la" raz cuadrada normalmente se refieren a la positiva.

Y cuando usas el smbolo radical siempre quiere decir la raz positiva.

Ejemplo: 36 = 6 (no -6)

Cuadrados perfectosLos cuadrados perfectos son los cuadrados de los nmeros enteros:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 etcCuadradosperfectos: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 ...

Es fcil calcular la raz cuadrada de un cuadrado perfecto, pero es muy difcil calcularotras races cuadradas.

Ejemplo: cul es la raz cuadrada de 10?Bueno, 3 3 = 9 y 4 4 = 16, as que podemos adivinar que la respuesta estentre 3 y 4.

Probamos 3.5: 3.5 3.5 = 12.25 Probamos 3.2: 3.2 3.2 = 10.24 Probamos 3.1: 3.1 3.1 = 9.61

As vamos muy despacio... en este punto, saco mi calculadora y veo que sale:3.1622776601683793319988935444327

... pero las cifras siguen y siguen, sin patrn. As que incluso la respuesta de lacalculadora es slo una aproximacin!(Para saber ms: este tipo de nmeros se llaman radicales y son un tipo especialde nmeros irracionales)

Un mtodo especial para calcular una raz cuadrada

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Hay muchas maneras de calcular una raz cuadrada, pero mi favorita es una muysencilla que da una respuesta ms exacta cuantas ms veces se usa:

a) empieza adivinando (digamos 4 para la raz cuadrada de 10)b) divide entre tu aproximacin (10/4 = 2.5)c) suma eso a la aproximacin (2.5+4=6.5)d) y divide eso entre 2, o sea calcula la mitad. (6.5/2 = 3.25)e) ahora, ese esa tu nueva aproximacin, empieza otra vez en b)

... as que nuestro primer intento nos lleva de 4 a 3.25Otra vez (de b a e) nos da: 3.163Otra vez (de b a e) nos da: 3.1623

As que despus de hacerlo tres veces la respuesta es 3.1623, que est muy bien,porque:

3.1623 x 3.1623 = 10.00014

Es divertido hacer esto ... por qu no lo usas para calcular la raz cuadrada de 2?

Cubos y races cbicasPara entender las races cbicas, primero tienes que entender los cubos...

Cmo calcular el cubo de un nmeroPara hacer el cubo de un nmero, slo multiplcalo 3 veces ...

Ejemplo: Cunto es 3 al cubo?

3 al cubo = = 3 3 3 = 27

Nota: escribimos "3 al cubo" as: 33(el "3" pequeo dice que el nmero se multiplica tres veces)

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Algunos cubos ms4 al cubo = 43 = 4 4 4 = 64

5 al cubo = 53 = 5 5 5 = 125

6 al cubo = 63 = 6 6 6 = 216

Raz cbicaLa raz cbica va en la otra direccin:

3 al cubo es 27, as que la raz cbica de 27 es 3

3 27

La raz cbica de un nmero es ...... el valor exacto que, al elevarlo al cubo, da el nmero original.

La raz cbica de 27 es ...... 3, porque cuando hacemos el cubo de 3 nos da 27.

Nota: cuando veas una "raz" piensa:

"conozco el rbol, pero cul es la raz que lo haproducido?"

En este caso el rbol es "27", y la raz cbica es "3".

Aqu tienes ms cubos y races cbicas:

4 64

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ALGEBRA

5 125

6 216

Ejemplo: Cul es la raz cbica de 125?Bueno, acabamos de ver que 125 = 5 5 5 (si multiplicas 5 tres veces sale125) ...

... as que la respuesta es 5

El smbolo de la raz cbicaEste es el smbolo especial para "races cbicas", es elsmbolo"radical" (el de las races cuadradas) con un tres pequeoencima para indicar que es una raz cbica.

Se usa as: (se lee "la raz cbica de 27 es igual a 3")

Tambin puedes hacer la raz cbica de nmeros negativosMira esto:

Si haces el cubo de 5 sale 125: 5 5 5 = 125

Si haces el cubo de -5 sale -125: -5 -5 -5 = -125

As que la raz cbica de -125 es -5

Cubos perfectosLos cubos perfectos son los cubos de los nmeros enteros:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 etc.Cubos

perfectos:

1 8 2764

125

216

343

512

729

1000

1331

1728

2197

2744

3375 ...

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Es fcil calcular la raz cbica de un cubo perfecto, pero es muy difcil calcular otrasraces cbicas.

Ejemplo: cul es la raz cbica de 30?Bueno, 3 3 3 = 27 y 4 4 4 = 64, as que adivinamos que la respuestaest entre 3 y 4.

Probamos con 3.5: 3.5 3.5 3.5 = 42.875 Probamos con 3.2: 3.2 3.2 3.2 = 32.768 Probamos con 3.1: 3.1 3.1 3.1 = 29.791

Nos vamos acercando, pero despacito ... ahora saco la calculadora, ella me dice:3.1072325059538588668776624275224

... pero las cifras siguen y siguen sin que haya ningn patrn. As que larespuesta de la calculadoraslo es una aproximacin !

(Sigue leyendo: este tipo de nmeros se llaman radicales, son un tipo especialde nmeros irracionales)

Races n-simasLa "raz n-sima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial

" n-sima "1, 2, 3, 10 (dcima), 20 (vigsima), ... n-sima ...

En vez de hablar de la "4 (cuarta)", "16 (decimosexta)", etc. , si queremos hablar engeneral decimos la "n-sima".

La raz n-sima

As como la raz cuadrada es lo que semultiplica dos veces para tener el valor original...

... y la raz cbica es lo que semultiplica tres veces para tener el valor original...

... la raz n-sima es lo que se multiplica n vecespara tener el valor original

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As que es la manera general de hablar de races(podra ser la segunda, novena, 324 o cualquier otra)

El smbolo de la raz n-simaEste es el smbolo especial que significa "raz n-sima", es elsmbolo"radical" (el de las races cuadradas) con una n pequea paraindicar la raz n-sima.

UsoSe podra usar la raz n-sima en una pregunta as:

Pregunta: , cunto es "n"?Respuesta: 5 5 5 5 = 625, as que n=4 (es decir 5 se usa 4 en lamultiplicacin)

O podramos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces

Por qu "raz"... ?Cuando cuando veas "raz" piensa

"conozco el rbol, pero cul es la raz que lo produce?"

En el caso de 9 = 3 el rbol es "9", y la raz es 3.

PropiedadesAhora que sabemos lo que es una raz n-sima, veamos algunas propiedades:

Multiplicacin y divisin

Puedes "separar" as multiplicaciones dentro de la raz:

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ALGEBRA

(suponemos que a y b son 0)

Esto te ayudar a simplificar ecuaciones en lgebra, y tambin algunos clculos:

Ejemplo:

Tambin funciona con la divisin:

(a0 y b>0)(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo:

Suma y restas

Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!

Es fcil caer en la trampa, as que ten cuidado. Tambin quiere decir quedesgraciadamente las sumas y restas son ms difciles cuando estn dentro de unaraz.

Exponentes y races

Un exponente a un lado del "=" se convierte en una raz cuando se pasa al otro ladodel "=":

Si entonces (b 0)

Ejemplo: entonces

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ALGEBRA

Raz n-sima de una potencia n-sima

Cuando un valor tiene un exponente n y calculas su raz n-sima, recuperas el valordel principio (o a veces su valor absoluto):

Ejemplos

(si a 0)

(para cualquier a, si n es impar)

(para cualquier a, si n es par)(Nota: |a| quiere decir el valor absoluto de a)

Raz n-sima de una potencia m-sima

Ahora vemos qu pasa cuando el exponente y la raz tienen valores diferentes (m y n).

Ejemplo:

As que... puedes poner el exponente "dentro" de la raz n-sima, cosa que a veces estil.

Pero hay otro mtodo todava ms poderoso... puedes combinar el exponente y laraz para hacer un nuevo exponente, as:

Ejemplo:

Es porque la raz n-sima es lo mismo que el exponente (1/n):

Ejemplo: 2 = 2 (la raz cuadrada de 2)

Quizs quieras leer ahora sobre exponentes fraccionarios para entender por qu!

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ALGEBRA

RadicalesCuando no puedes simplificar un nmero para quitar una raz cuadrada (o una razcbica, etc.) entonces es un radical.

Ejemplo: 2 (la raz cuadrada de 2) no se puede simplificar ms as que esun radical.

Pero 4 (la raz cuadrada de 4) s se puede simplificar (queda 2), as que no es unradical.

Fjate en estos:

Nmero Simplificado En decimal Radicalo no?

2 2 1.4142135(etc) Radical

3 3 1.7320508(etc) Radical

4 2 2 No es radical

(1/4) 1/2 0.5 No es radical3(11) 3(11) 2.2239800(etc) Radical3(27) 3 3 No es radical5(3) 5(3) 1.2457309(etc) Radical

Como ves, los radicales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, y poreso son nmeros irracionales.

De hecho "radical" se refiere en concreto a una raz que esirracional.

Alrededor del ao 820 AC, al-Khwarizmi (el matemticopersa de cuyo nombre viene la palabra "Algoritmo") decaque los nmeros irracionales eran "inaudibles" ... esto setradujo al latn como surdus ("sordo" o "mudo")

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ALGEBRA

Conclusin

Si es una raz e irracional, es un radical.

Pero no todas las races son radicales.

Exponentes fraccionariosTambin se llaman "radicales"

ExponentesEl exponente de un nmero dice cuntas veces semultiplica el nmero.

En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segundapotencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 alcuadrado"

Exponentes fraccionarios: En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", pero y si fuera ""? Cmo funcionara?

Pregunta: Qu es x ?

Respuesta: x = la raz cuadrada de x (o sea x = x)

Por qu?Porque si calculas el cuadrado de x tienes: (x)2 = x1 = x

Para entenderlo, sigue esta explicacin de dos pasos:

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ALGEBRA

1 Primero, hay una regla general: (xm)n = xmn(Porque primero multiplicas x "m" veces, despus tienes que hacer eso "n" veces, en totalmn veces)

Ejemplo: (x2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x6

As que (x2)3 = x23 = x6

2 Ahora, vemos qu pasa cuando hacemos el cuadrado de x:

(x)2 = x2 = x1 = x

Cuando hacemos el cuadrado de x sale x, as x tiene que ser la raz cuadrada de x

Probamos con otra fraccinVamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4):

Qu es x?

(x)4 = x4 = x1 = x

Entonces, qu valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La razcuarta de x.

As que x = la raz cuarta de x

Regla generalDe hecho podemos hacer una regla general:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raz n-sima:

Ejemplo: Cunto es 271/3 ?Respuesta: 271/3 = 27 = 3

Qu pasa con fracciones ms complicadas?

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ALGEBRA

Las fracciones ms complicadas se pueden separar en dos partes:

una parte con un nmero entero, y una parte con una fraccin del tipo 1/n

Para entender eso, slo recuerda que m/n = m (1/n):

As que tenemos esto:

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-sima, despus haz la raz n-sima

Ejemplo: Cunto es 43/2 ?Respuesta: 43/2 = 43(1/2) = (43) = (444) = (64) = 8

Leyes de los exponentesLos exponentes tambin se llaman potencias o ndices

El exponente de un nmero dice cuntas veces semultiplica el nmero.

En este ejemplo: 82 = 8 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segundapotencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 alcuadrado"

Todo lo que necesitas saber...Todas las "Leyes de los Exponentes" (o tambin "reglas de los exponentes") vienen detres ideas:

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ALGEBRA

El exponente de un nmero dice multiplica el nmero por smismo tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, as que un exponente negativosignifica dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raz n-sima:

Si entiendes esto, entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentesAqu estn las leyes (las explicaciones estn despus):

Ley Ejemplox1 = x 6

1= 6

x0 = 1 70

= 1

x-1 = 1/x 4-1

= 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x23 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3

= 1/x3

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Explicaciones de las leyesLas tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son slo parte de lasucesin natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5... etc...

52 1 5 5 25

51 1 5 5

50 1 1

5-1 1 5 0,2

5-2 1 5 5 0,04

... etc...

vers que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de unmismo patrn, es decir 5 veces ms grande (o pequeo) cuando el exponente crece (odisminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+nEn xmxn, cuntas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,despusotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) (xxx) = xxxxx = x5

As que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-nComo en el ejemplo anterior, cuntas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m"veces, despus reduce eso"n" veces (porque ests dividiendo), en total "m-n"veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, as que cada vez que hay una x "sobre la lnea" y una"bajo la lnea" puedes cancelarlas.)

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ALGEBRA

Esta ley tambin te muestra por qu x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmnPrimero multiplicas x "m" veces. Despus tienes que hacer eso "n" veces, entotal mn veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

As que (x3)4 = x34 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnynPara ver cmo funciona, slo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en esteejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/ynParecido al ejemplo anterior, slo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice quePara entenderlo, slo recuerda de las fracciones que n/m = n (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todoSi te cuesta recordar todas las leyes, acurdate de esto:

siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de estapgina.

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Ah, una cosa ms... Qu pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0Exponente negativo (n

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ALGEBRA

(y2)(y3)

Sabemos que y2 = yy, y y3 = yyy as que lo escribimos todo:

y2 y3 = yyyyy

Eso son 5 "y"s multiplicadas juntas, as que el nuevo exponente es 5:

y2 y3 = y5

Pero para qu contar las "y"s cuando los exponentes ya nos dicencuntas hay?

Los exponentes nos dicen que hay dos "y"s multiplicadas por 3 "y"s que hacen un totalde 5 "y"s:

y2 y3 = y2+3 = y5

As que el mtodo ms simple es sumar los exponentes! (Nota: esa es slo una delas Leyes de los Exponentes)

Variables mezcladasSi tienes una mezcla de variables, slo suma los exponentes de cada una, as (pulsa elbotn):

Con constantesNormalmente habr constantes (nmeros como 3, 2.9, etc) mezclados tambin.

No te preocupes! slo multiplica las constantes por separado y pon en resultado en larespuesta:

(Nota: he usado "" para indicar la multiplicacin. En lgebra no nos gusta usar ""porque se parece a la letra "x")

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ALGEBRA

Aqu tienes un ejemplo ms complicado con constantes y exponentes:

Exponentes negativosLos exponentes negativos quieren decir dividir!

x-1 =

1

x-2 =

1

x-3 =

1

x x2 x3

Acostmbrate a este idea, es muy importante y til!

Dividir

Entonces, cmo se hace esto?

y3

y2

Si escribimos las multiplicaciones tenemos:

yyy

yy

Podemos quitar las "y"s que coincidan arriba y abajo(porque y/y = 1), as que queda: y

Entonces las 3 "y"s sobre la lnea se reducen con 2 "y"s debajo, y queda 1 "y" as:

y3 = yyy = y3-2 = y1 = y

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y2 yy

O, podras haberlo hecho as:

y3

= y3y-2 = y3-2 = y1 = y

y2

As que... slo resta los exponentes de las variables que estn dividiendo!

Aqu tienes una demostracin ms grande, con algunas variables:

Las "z"s se cancelaron! (Tiene sentido, porque z2/z2 = 1)

Puedes ver lo que est pasando si escribes todas las multiplicaciones, y despus"quitas" las variables que estn arriba y abajo:

x3 y z2

=

xxx y zz

=

xxx y zz

=

xx

=

x2

x y2 z2 x yy zz x yy zz y y

Pero otra vez, por qu contar las variables, cuando los exponentes tedicen cuntas hay?

Cuando tengas prctica podrs hacer toda la cuenta muy rpidamente "de golpe" as:

Leyes conmutativasLas "leyes conmutativas" slo quieren decir que puedes intercambiar los nmeroscuando sumas o cuandomultiplicas y la respuesta va a ser la misma.

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a + b = b + aa b = b a

Ejemplos:

Puedes intercambiarlos cuando sumas: 3 + 6 = 6 + 3

Puedes intercambiarlos cuando multiplicas: 2 4 = 4 2

Leyes asociativasLas "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cmo agrupes los nmeros (osea, qu calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.

(a + b) + c = a + (b + c)(a b) c = a (b c)

Ejemplos:

Esto: (2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11da el mismo resultado que esto: 2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11

Esto: (3 4) 5 = 12 5 = 60da el mismo resultado que esto: 3 (4 5) = 3 20 = 60

Usos:

A veces es ms fcil sumar o multiplicar si cambiamos el orden:

Cunto es 19 + 36 + 4?19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4) = 19 + 40 = 59

O si los reordenamos un poco (fjate que aqu usamos tambin la ley conmutativa paraeso):

Cunto es 2 16 5?2 16 5 = (2 5) 16 = 10 16 = 160

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Ley distributivaLa "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con mucho cuidado.

Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:

sumas varios nmeros y el resultado lo multiplicas por algo, o haces cada multiplicacin por separado y luego sumas los resultados

As:

(a + b) c = a c + b c

Ejemplos:

Esto: (2 + 4) 5 = 6 5 = 30da el mismo resultado que esto: 25 + 45 = 10 + 20 = 30

Esto: (6 - 4) 3 = 2 3 = 6da el mismo resultado que esto: 63 - 43 = 18 - 12 = 6

Usos:

A veces es ms fcil si rompemos una multiplicacin difcil:

Cunto es 204 6?204 6 = 2006 + 46 = 1,200 + 24 = 1,224

O para combinar:

Cunto es 6 16 + 4 16?6 16 + 4 16 = (6+4) 16 = 10 16 = 160

ResumenLeyes conmutativas: a + b = b + a

a b = b aLeyes asociativas: (a + b) + c = a + (b + c)

(a b) c = a (b c)Ley distributiva: (a + b) c = a c + b c

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Multiplicar en cruz es ir de esto:

8

=

2

12 3

A esto: 8 3 = 12 2

Cmo funciona?Bueno, si multiplicas una fraccin arriba y abajo por la misma cantidad, no cambia suvalor.

Ejemplo (el de arriba):

8

=

8 3

12 12 3

En este ejempo he multiplicado la primera fraccin arriba y abajo por el nmero deabajo de la segunda fraccin.

Tambin podramos haber multiplicado la segunda fraccin arriba y abajo por elnmero de abajo de la primerafraccin.

Ejemplo (la segunda fraccin de arriba):

2

=

2 12

3 3 12

Y tendramos:

8 3=

2 12

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12 3 3 12

Y magia! Ahora los nmeros de abajo de las dos fracciones son 12 3 ... !

Podemos quitar los 12 3 (porque estamos dividiendo los dos lados entre la mismacantidad) y la ecuacin todava se cumple:

8 3 = 12 2

Hecho! (En la prctica es ms fcil saltarse los pasos intermedios y pasardirectamente a la forma de "producto en cruz").

TerminologaHe estado diciendo "arriba" y "abajo" enlas fracciones... pero las palabrascorrectassonnumerador y denominador, vale?

Slo quera hacerlo simple.

Usando variablesHasta ahora hemos usado un ejemplo real, pero se puede escribir en general usandovariables:

Multiplicar en cruz es ir de esto:

a

=

c

b d

A esto: ad = bc

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Recuerda... multiplicar "en cruz":

EjemploMultiplicar en cruz puede llevarte ms rpido a la solucin. Como en este ejemplo:

Calcula "x":

x

=

2

8 x

Multiplicamos en cruz: x2 = 8 2

Y resolvemos x = 16 = 4

Cuidado: ceroTen cuidado! No puedes usar esto si alguno de los denominadores ("b" y "d" en lafrmula) es cero. Dividir ente cero es "ilegal".

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PolinomiosUn polinomio es as:

un ejemplo de polinomioeste tiene 3 trminos

Estn hechos de:

constantes (como 3, -20, o )variables (como x e y)exponentes (como el 2 en y2) pero slo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ -

sumas, restas y multiplicaciones...

... pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, as es fcil trabajarcon ellos!

Son polinomios o no?

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Estos son polinomios:

3x x - 2 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

2/(x+2) no lo es, porque dividir no est permitido 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes slo pueden ser

0,1,2,...)

Pero esto s est permitido:

x/2 est permitido, porque tambin es ()x (la constante es , o 0.5) tambin 3x/8 por la misma razn (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomiosHay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 trminos:

Cmo te aprendes los nombres?Piensa en bicicletas!

(Tambin existen cuatrinomio (4 trminos) y quintinomio (5 trminos), pero se usanpoco)

Muchos trminosLos polinomios pueden tener montones de trminos, pero no infinitos trminos.

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Qu tienen de especial los polinomios?Por su definicin tan estricta, es fcil trabajar con polinomios.

Por ejemplo sabemos que:

Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

As que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale unpolinomio al final.

GradoEl grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esavariable.

Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Sumar y restar polinomiosUn polinomio es algo as como esto:

ejemplo de polinomioeste tiene 3 trminos

Para sumar polinomios simplemente suma juntos los trminos similares... qu sontrminos similares?

Trminos similares"Trminos similares" son trminos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2)son los mismos.

En otras palabras, trminos que "se parecen".

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Ejemplos:

Trminos Por qu son "similares"7x x -2x porque las variables son todas x

(1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2

Sumar polinomiosDos pasos:

Pon juntos los trminos similares Suma los trminos similares

Ejemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1

Junta los trminos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5 - 1

Suma los trminos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)

= 5x2 + 4x + 4

Expresiones racionalesUna expresin que es cociente de dos polinomios:

Otros ejemplos:

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En generalUna funcin racional es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x) as

Excepto que Q(x) no puede ser cero (y cualquier valor de x que hace Q(x)=0 no estdefinido)

ConjugarEl conjugado es cuando cambias el signo que est entre dos trminos, as:

Slo se usa en expresiones con dos trminos (llamadas "binomios")

Otros ejemplos:

Expresin Su conjugado

x2 - 3 x2 + 3

a + b a - b

a - b3 a + b3

Ejemplos de usoEl conjugado puede ser muy til porque...

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... cuando multiplicas algo por su conjugado salen cuadrados as:

Para qu vale eso?

Puede ayudarte a mover una raz cuadrada de la parte de abajo (denominador) de unafraccin a la parte de arriba (numerador) o al revs. Ahora te enseo cmo.

Nota: muchas races cuadradas son nmerosirracionales, as que este proceso se llama"Racionalizar el Denominador"

Ejemplo: aqu tienes una fraccin con "denominador irracional":

Cmo pasamos la raz de 2 arriba?Respuesta: Multiplica arriba y abajo por el conjugado (esto no cambia el valor de lafraccin), as:

(Viste cmo el denominador se convirti en "a2-b2"?)

Hay otro ejemplo en la pgina evaluar lmites donde muevo una raz cuadrada delnumerador al denominador.

As que intenta recordar este truco, te puede ayudar algn da a resolver unaecuacin!

Racionalizar el denominador

Qu es?"Racionalizar el denominador" es cuando mueves una raz (por ejemplo una razcuadrada o cbica) de la parte de abajo de una fraccin a la de arriba.

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Por qu se llama "racionalizar el denominador" ?La parte de abajo de una fraccin se llama denominador, ymuchas races son irracionales, as que (por ejemplo) esto:

tiene "denominador irracional" (2 es irracional).

Para ponerla de la "forma ms simple" no debera haber ningn nmeroirracional en el denominador!

As que arreglarla (haciendo el denominador racional) se llama "racionalizar eldenominador"

Entonces... Cmo se hace?

1. Multiplica arriba y abajo por una razA veces basta con multiplicar arriba y abajo por una raz:

Ejemplo: tiene denominador irracional. Vamos a arreglarlo.Multiplica arriba y abajo por la raz cuadrada de 2, porque: 2 2 = 2:

Ahora el denominador es un nmero racional (=2). Hecho!

Nota: no pasa nada si tienes un nmero irracional arriba (en el numerador) de unafraccin.

2. Multiplica arriba y abajo por el conjugadoHay otra manera especial de mover una raz cuadrada de abajo a arriba en unafraccin... multiplicas arriba y abajo por el conjugado del denominador.

El conjugado es cuando cambias el signo de en medio de dos trminos:

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Expresin de ejemplo Su conjugado

x2 - 3 x2 + 3

a + b3 a - b3

Aqu tienes cmo se hace:

Ejemplo: aqu tienes una fraccin con "denominador irracional":

Cmo movemos la raz cuadrada de 2 arriba?Repuesta: Multiplica arriba y abajo por el conjugado (esto no cambia el valor de lafraccin), as:

Intenta recordar estos trucos, te pueden ayudar un da a resolver una ecuacin!