Álgebra Linear Básica

O objetivo deste material é apresentar os principais conceitos e operações

envolvendo matrizes, determinantes, sistemas de equações e inequações

lineares.

Esta parte da álgebra linear é largamente utilizada na programação

matemática, principalmente na programação linear que é o objeto do curso de

pesquisa operacional.

A programação linear é uma técnica de pesquisa operacional que utiliza

modelos de programação linear para apoio a decisões em diferentes tipos de

organização.

1- Matriz

É um conjunto no qual os elementos estão agrupados em linhas e colunas

[ a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

]m – número de linhas da matriz

n – número de colunas da matriz

aij – elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j

Diagonal Principal – contém os elementos localizados na linha i e na coluna j,

onde i = j (a11, a22, a33, a44, a55).

1.1 – Tipos de Matrizes

1.1.1 Matriz Quadrada

É matriz na qual o número de linhas é igual ao número de colunas.

[ a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

]

m x n

4 x 4

m = 4

n = 4

O exemplo acima mostra uma matriz quadrada de ordem 4.

1.1.2 Matriz Triangular

Matriz quadrada de ordem m a qual os elementos acima ou abaixo da diagonal

principal são nulos. Quando os elementos nulos estão acima da diagonal é

principal é chamada de triangular superior e quando estes elementos estão

abaixo é chamada de triangular inferior.

Matriz Triangular Superior

[ a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

] Matriz Triangular Inferior

[a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

]1.1.3 Matriz Identidade

É a matriz quadrada na qual os elementos que estão na diagonal principal são

iguais a um e os que não estão nesta diagonal são nulos.

[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]1.1.4 Matriz Não Quadrada

É a matriz de ordem m x n, onde m é diferente de n.

4 x 4

4 x 4

4 x 4

[a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

]1.1.3 Matriz Transposta

Uma matriz At é denominada transposta da matriz A quando ocorre uma

permutação entre linhas e colunas destas matrizes, ou seja, o que é linha na

matriz A é coluna na matriz At e vice e vesa.

A = [ a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

]

At = [a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 a24 a34

]B = [5 2 4

1 0 32 8 4 ]

Bt = [5 1 22 0 84 3 4 ]

1.1.4 Matriz Simétrica

Uma matriz é dita simétrica quando ela é igua a sua transposta.

A = At

3 x 4

3 x 4

4 x 3

3 x 3

3 x 3

1.2 Igualdade de Matrizes

Uma matriz A é igual a uma matriz B quando todos os elementos de A,

localizados na linha i e na coluna j, são iguais a todos os elementos de B,

localizados na linha i e na coluna j.

A = [a11 a12a21 a22] B = [b11 b12

b21 b22]Se A = B, logo temos:

a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22

1.3 Operação com Matrizes

1.3.1 Adiação e Subtração

Dada duas matrizes A e B de mesma ordem, a soma ou subtração destas duas

matrizes resulta em uma matriz S de mesma ordem cujo os elementos são

equivalentes a:

A = [a11 a12a21 a22] B = [b11 b12

b21 b22]S = A + B = [a11+b11 a12+b12

a21+b21 a22+b22 ]1.3.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar

P = k * [a11 a12a21 a22]

P = [k∗a11 k∗a12k∗a21 k∗a22]

1.3.3 Multiplicação entre Matrizes

Seja uma A de ordem m x n e B uma matriz de ordem n x y, o produto entre

estas duas matrizes resultará em uma matriz P de ordem m x y cujo os

2 x 2 2 x 2

2 x 2 2 x 2

2 x 2

2 x 2

2 x 2

elementos são as combinações das linhas da matriz A com as colunas da

matriz B de mesma ordem, ou seja, o elmento que está na primeira linha e

primeira coluna da matriz produto será a combinação linear da primeira linha da

matriz A com a primeira coluna de B e assim sucessivamente.

A = [3 1 07 12 3] B = [1 2

0 30 4]

P = A * B = [3 1 07 12 3] * [1 2

0 30 4]

P = [ 3∗1+1∗0+0∗0 3∗2+1∗3+0∗47∗1+12∗0+3∗0 7∗2+12∗3+3∗4]

P = [3 97 62]

Obs. A*B ≠ B* A, a execessão desta regra ocorre no produto de uma matriz por

sua inversa.

2. Determinante

Determinante é um escalar obtido de uma matriz quadrada de ordem m.

2.1 Determinante de matriz de ordem um

O determinante de uma matriz de ordem um é igual ao próprio elemento desta

matriz

A = [a11]

Det A = |a11| = a11

2.2 Determinante de matriz de ordem dois

O determinante de uma matriz de ordem dois é obtido pela diferença entre o

produto de diagonal principal e o produto da diagonal secundária.

A = [a11 a12a21 a22]

2 x 33 x 2

3 x 23 x 2

2 x 2

2 x 2

Det A = |a11 a12a21 a22| = a11 * a22 – a21 * a12

2.3 Determinante de matriz de ordem tres

O determinante de uma matriz de ordem três é determinado pela regra de

Sarrus. Esta regra regra consiste em reescrever as duas primeiras linhas

abaixo da terceira ou as duas primeiras colunas após a terceira coluna do

determinante. Em seguida, realizamos a soma algébrica das diagonais.

A = [ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

]Det. A = |a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

| Det. A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – (a31*a22*a13 + a32*a23*a11 +

a33*a21*a12)

Exemplo:

B = [3 4 52 5 31 6 2]

Det. B = |3 4 5 3 42 5 3 2 51 6 2 1 6| = [(3*5*2) + (4*3*1) + (5*2*6)] – [(1*5*5) + (6*3*3) +

(2*2*4)]

= [30+12 + 60] – [25+54+16] = 7

2.4 Menor Complementar Aij

É o determinante de ordem menor que se obtém quando eliminamos uma linha

e uma coluna da matriz que lhe deu origem.

Ex. Dada as matrizes A e B, determinar o menor complementar A11 e B11

A = [a11 a12a21 a22]

A11 = |a22| = a22

B = [ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

]B11 = |b22 b23

b32 b33| = b22*b33 – b32*b23

Do exemplo anterior, determinar o menor complementar B22 da matriz B.

B = [ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

]B22 = |b11 b13

b31 b33| = b11*b33 – b31*b13

2.5 Cofator Cofij

O cofator Cij de uma matriz A é um escalar obtido pela seguinte expressão:

Cofij = (-1)i+j * Aij

Exemplo: Da matriz B do exemplo anterior determine os cofatores Cof11, Cof23,

Cof31

B = [ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

]Cof11 = (-1)1+1* B11 = (-1)2 * |b22 b23

b32 b33| = b22*b33 – b32*b23

Cof23 = (-1)2+3 * B23

B23 = |b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

|

Cof23 = (-1)5 * |b11 b12b31 b32| = (-1) * (b11 * b32 – b31 * b12)

Cof31 = (-1)3+1 * B31

B31 = |b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

|Cof31 = (-1)4 * |b12 b13

b22 b23| = b12 * b23 – b22 * b13

2.6 Resolução de determinantes de qualquer ordem

A resolução de determinante de matrizes quadradas de ordem maior que

quatro é feita pelo teorema de La Place. Este teorema define que o

determinante de uma matriz quadrada è igual à soma dos produtos dos

elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelo respectivo cofator.

Geralmente, a fila escolhida é a que possui o maior número de elementos

nulos.

Nos dias atuais, o uso de planilhas eletrônicas dispensou totalmente este

método, visto o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem é

determinada instantaneamente através da função MATRIZ DETERMINANTE.

O mesmo ocorre com as operações matriciais.

Exemplo: Calcule o determinante da Matriz A abaixo.

A = [1 2 1 12 1 4 33 0 0 24 3 2 5

]

DetA = |1 2 1 12 1 4 33 0 0 24 3 2 5

|= 3*Cof31 + 0*Cof32 + 0*Cof33 + 2*Cof34

DetA = = 3*Cof31 + 2*Cof34

DetA = 3 * (-1)3+1 * |2 1 11 4 33 2 5| + 2 * (-1)3+4 * |1 2 1

2 1 44 3 2| = 34

3. Matriz Inversa

Dada uma matriz quadrada A de ordem m, esta matriz é dita inversível, admite

a inversa A-1, se:

1- Det. A ≠ 0

2- A * A-1 = A-1 * A = I

I é a matriz identidade de ordem m.

Exemplo: verificar se a matriz A é inversível e determinar sua inversa.

A = [1 23 4]

Det. A = 1*4 – 3*2 = 4 – 6 = - 2

Como o determinante de A é diferente de zero, a matriz A é dita não singular

ou inversível, admite a inversa.

Utilizando a segunda condição temos:

A-1 = [a bc d ]

[1 23 4] * [a b

c d ]=[1 00 1]

[ a+2c b+2d3a+4c 3b+4d ] = [1 0

0 1]

Resolvendo os sistemas abaixo, teremos a matriz A-1

{ a+2c=13a+4 c=0

{ b+2d=03b+4 d=1

A-1 = [−2 11,5 −0,5]

3.1 Matriz Adjunta

Dada uma matriz quadrada A de ordem m, a matriz adjunta desta matriz, AdjA,

é definida como a matriz transposta da matriz dos cofatores de A, McofA.

AdjA = McofAt

Exemplo

A = [3 4 25 7 15 4 3]

Para determinarmos a adjunta da matriz A, o primeiro passo é determinarmos

todos os cofatores desta matriz para em seguida montar a matriz dos cofatores.

Com a matriz dos cofatores definida, a adjunta é obtida transportando esta

matriz.

Mcof = [Cof 11 Cof 12 Cof 13Cof 21 Cof 22 Cof 23Cof 31 Cof 32 Cof 33

]Cof11 = (-1)1+1 * |7 1

4 3| = 17 Cof12 = (-1)1+2 * |5 15 3| = -10

Cof13 = (-1)1+3 * |5 75 4| = -15 Cof21 = (-1)2+1 * |4 2

4 3| = -4

Cof22 = (-1)2+2 * |3 25 3| = -1 Cof23 = (-1)2+3 * |3 4

5 4| = 8

Cof31 = (-1)3+1 * |4 27 1| = - 10 Cof32 = (-1)3+2 * |3 2

5 1| = 7

Cof33 = (-1)3+3 * |3 45 7| = 1

Mcof = [ 17 −10 −15−4 −1 8−10 7 1 ]

AdjA = Mco ft = [ 17 −4 −10−10 −1 7−15 8 1 ]

3.2 Determinação da Matriz Inversa pela Adjunta

Dada uma matriz quadrada A de ordem m, sua inversa é obtida pela seguinte

expressão:

A-1 = AdjADetA

Do exemplo anterior temos que a inversa da matriz A será:

DetA = |3 4 25 7 15 4 3| = -19

A-1 = [ 17 −4 −10−10 −1 7−15 8 1 ]

−19=[

−1719

419

1019

1019

119

−719

1519

−819

−119

] 4. Sistema de Equações Lineares

Um sistema de equações é um conjunto de equações lineares com o seguinte

aspecto:

{a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2a31 x1+a32 x2+a33 x3+…+a3n xn=b3

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮=⋮am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm

Notação Matricial

[a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2na31 a32 a33 … a3n⋮ ⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 am3 … amn

]∗[x1x2x3⋮xn

]=[b1b2b3⋮bm

]A: Matriz dos Coeficientes das Variáveis

X: Matriz, vetor coluna, das variáveis

B: Matriz, vetor coluna, dos termos independentes

Um sistema de equações lineares consiste em determinar os valores das

variáveis que atendam a todas as equações do sistema.

4.1 Classificações dos Sistemas de Equações Lineares

Os sistemas de equações lineares são classificados pelos seguintes aspectos:

número de equações e de variáveis; solução.

4.1.1 Classificação quanto ao número de equações e de variáveis

Com relação ao número de equações e variáveis os sistemas de equações

lineares são classificados como: sistema do tipo um sistema do tipo dois.

4.1.1.1. Sistema de Equações Lineares do Tipo Um

O sistema de equações lineares do tipo um são aqueles que o número de

equações, m, é igual ao número de variáveis, n.

Exemplo de um sistema de equações do tipo um com três equações e três

variáveis (m= n = 3).

m x n n x 1 m x 1

A X B

{a11 x1+a12 x2+a11 x3=b1a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2a31 x1+a32 x2+a33 x3=b3

Notação Matricial

[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

]∗[ x1x2x3]=[b1b2b3]4.1.1.2. Sistema de Equações do Tipo Dois

O sistema de equações lineares do tipo dois são aqueles que o número de

variáveis é maior que o número de equações (n>m).

Exemplo de um sistema de equações com três variáveis e duas equações (n

=3, m = 2, n > m).

{a11 x1+a12 x2+a11 x3=b1a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2

Notação Matricial

[a11 a12 a13a21 a22 a23 ]∗[ x1x2x3]=[b1b2]

4.1.2 Classificação quanto à solução

Os sistemas de equações lineares do com relação à solução são classificados

como: possível e determinado; possível e indeterminado; impossível.

Os sistemas de equações lineares do tipo um (m=n) podem ser possíveis e

determinados, possíveis e indeterminados ou impossível.

Os sistemas de equações lineares do tipo dois (n > m) são sempre possíveis e

indeterminados.

4.1.2.1 Sistema de Equações Lineares Possível e Determinado

Um sistema de equações lineares do tipo um é dito possível e determinado

quando admite uma única solução verdadeira. Esta situação ocorre quando o

determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis é diferente de

zero.

4.1.2.2 Sistema de Equações Lineares Possível e Indeterminado

Um sistema de equações do tipo um é dito indeterminado quando admite

infinitas soluções. Este caso ocorre quando o determinante da matriz formada

pelos coeficientes das variáveis é nulo e o quando todos os determinantes das

matrizes formadas pela substituição da coluna associada a uma das variaríeis

pelos termos independentes (Dxn) forem nulo na resolução pela Regra de

Cramer. Na resolução por escalonamento, a indeterminação ocorre quando a

última equação do sistema, após as combinações lineares, se apresentar da

seguinte forma:

0x1 + 0x2 + 0x3 +...+ 0xn = 0

4.1.2.3 Sistema de Equações Lineares Impossível

Um sistema de equações do tipo um é dito impossível quando não admite

nenhuma solução que atenda simultaneamente a todas as equações do

sistema. Este caso ocorre quando o determinante da matriz formada pelos

coeficientes das variáveis é nulo e o quando um dos determinantes das

matrizes formadas pela substituição da coluna associada a uma das variaríeis

pelos termos independentes (Dxn) for diferente de zero na resolução pela Regra

de Cramer. Na resolução por escalonamento, a impossibilidade de solução

ocorre quando a última equação do sistema, após as combinações lineares, se

apresentar da seguinte forma:

0x1 + 0x2 + 0x3 + ............+ 0xn ≠ 0

4.2 A Resolução dos Sistemas de Equações Lineares

Nesta seção será abordada a resolução dos sistemas de equações lineares do

tipo um possíveis e determinados utilizando os seguintes métodos: Regra de

Cramer; Escalonamento da Matriz dos Coeficientes das Variáveis e Inversa da

Matriz dos Coeficientes das Variáveis.

4.2.1 Resolução pela Regra de Cramer

Seja A a matriz quadrada dos coeficientes das variáveis de ordem m e DetA ≠

0, o valor da variável xn é obtido pela seguinte expressão:

xn = DxnDetA

DetA: determinante da matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares

(matriz A).

Dxn : determinante da matriz dos coeficientes (matriz A), substituindo os

coeficientes da coluna xn pelos termos independentes do sistema de equações

lineares.

Exemplo:

{3x1+2 x2+2 x3=164 x1+x2+x3=13x1+3x2+4 x3=19

[3 2 24 1 11 3 4 ]∗[ x1x2x3]=[161319 ]

A X B

DetA = |3 2 24 1 11 3 4| = - 5

Dx1 = |16 2 213 1 119 3 4| = - 10 x1 =

Dx1DetA

= 2

Dx2 = |3 16 24 13 11 19 4| = - 15 x2 =

Dx2DetA

= 3

Dx3 = |3 2 164 1 131 3 19| = - 10 x3 =

Dx3DetA

= 2

Para confirmar se a solução acima é verdadeira, verificaremos se estas

variáveis atendem a todas as equações do sistema.

3*(2) + 2*(3) + 2*(2) = 16 condição verdadeira

4*(2) + 1*(3) + 1*(2) = 13 condição verdadeira

1*(2) + 3*(3) + 4*(2) = 19 condição verdadeira

Após estes cálculos, concluímos que todas as equações do sistema acima

foram atendidas, logo o sistema de equações lineares admite uma única

solução verdadeira que é tripla: x1 = 2, x2 = 3 e x3 = 2.

4.2.2 Resolução por Escalonamento da Matriz dos Coeficientes

A resolução por escalonamento consiste em transformar a matriz dos

coeficientes (A) em uma matriz triangular inferior ou superior através de

operações lineares da primeira ou última equação com as demais equações do

sistema.

Na literatura, a maioria dos exemplos envolve a transformação da matriz A em

uma triangular inferior por questão de conveniência. Neste caso para evitar

cálculos envolvendo frações se faz a permutação entre algumas equações para

que a primeira equação tenha pelo menos um dos coeficientes das variáveis

igual a um.

Seguindo este critério no exemplo anterior faremos a permutação da terceira

com a primeira linha. O sistema gerado é equivalente ao sistema anterior.

{ x1+3x2+4 x3=194 x1+x2+x3=133x1+2 x2+2 x3=16

Para transformar a matriz dos coeficientes em uma triangular inferior faremos

uma combinação linear da primeira equação com a segunda, multiplicando a

primeira equação por -4 e somando com a segunda equação. Com isso

teremos:

{ x1+3x2+4 x3=194 x1+x2+x3=133x1+2 x2+2 x3=16

{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−633 x1+2 x2+2x3=16

Seguindo a mesma metodologia, faremos agora a combinação linear da

primeira equação com a terceira, multiplicando a primeira por -3 e somando

com a terceira. Com isso teremos:

{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−633 x1+2 x2+2x3=16

{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−630 x1−7 x2−10 x3=−41

Para obtermos a matriz triangular, multiplicaremos a segunda equação do

sistema acima por -7/11 e somaremos com a terceira equação. Com isso

teremos:

{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−630 x1−7 x2−10 x3=−41

{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−63

0 x1+0 x2−511x3=

−1011

Do sistema acima obtemos o valor da variável x3 igual a dois.

*(-4) +

*(-3) +

*(-7/11) +

Substituindo a variável x3 na segunda equação por dois teremos:

-11x2 – 15*(2) = -63

-11x2 = -33 x2 = 3

Substituindo os valores de x2 e x3 na primeira equação teremos:

x1 + 3*(3) + 4*(2) = 19 x1 = 2

4.2.3 Resolução Utilizando Matriz Inversa

Seja A a matriz quadrada de ordem m dos coeficientes das variáveis do

sistema de equações lineares, onde DetA ≠ 0, a resolução utilizando a matriz

inversa de A, consiste em multiplicarmos os dois membros do sistema AX=B

por esta inversa, onde teremos:

A * A-1 * X = A-1 * B

I * X = A-1 * B

X = A-1 * B

Considerando o sistema de equações anterior teremos:

{3x1+2 x2+2 x3=164 x1+x2+x3=13x1+3x2+4 x3=19

A = [3 2 24 1 11 3 4 ] X = [ x1x2x3] B = [161319] A-1 = [ −1

525

0

3 −2 −1−115

75

1 ][3 2 24 1 11 3 4 ] * [ −1

525

0

3 −2 −1−115

75

1 ] * [ x1x2x3] = [ −15

25

0

3 −2 −1−115

75

1 ] * [161319]

[1 0 00 1 00 0 1 ] * [ x1x2x3] = [232]

[ x1x2x3] = [232]4.3 Resolução do Sistema de Equações Lineares do Tipo Dois

Os sistemas de equações lineares do tipo dois são aqueles em que o número

de variáveis (n) é maior do que o número de equações (m). Estes tipos de

sistema são sempre possíveis e indeterminados. Para resolver este tipo de

sistema, o mesmo deve ser transformado em um sistema do tipo um, tomando-

se m variáveis como dependentes e n – m variáveis como independentes, onde

a solução do sistema dependerá dos valores assumidos pelas variáveis

independentes. Para cada valor que a variável independente assume, o

sistema terá uma determinada solução.

O número de maneiras que se pode transformar um sistema do tipo dois em

um sistema do tipo um tomando-se m variáveis como dependentes e n – m

como independentes é dado pela seguinte expressão:

Cnm = n !

(n−m) !m!

Exemplo:

{2x− y+z=1x+5 z=3

O sistema acima é um sistema do tipo dois com três variáveis e duas

equações. Para resolver este sistema devemos transformá-lo em um sistema

do tipo um, tomando-se duas variáveis como dependentes (m=2) e uma

variável como independente (n-m = 1). Esta transformação pode ser feita de

três maneiras:

C32 = 3 !

(3−2 ) !2 !=1

Sequência Dependentes Independentes

1 x,y z

2 x,z y

3 y,z x

Considerando a primeira sequência, teremos o seguinte sistema a ser

resolvido:

{2x− y=1−zx=3−5 z

2(3 – 5z) – y = 1 – z

6 – 10z – y = 1 – z

- y = 1 – z – 6 + 10z

y = 5 – 9z

Solução: {3 – 5z; 5 – 9z; z}

A solução deste sistema dependerá dos valores que a variável z assumirá, ou

seja para cada valor que a variável assumir o sistema terá uma determinada

solução.

Solução 1: {3;5;0}

Solução 2: {-2;-4;1}

Solução 3: {-7;-13;2}

⋮

Solução n: {3-5n;5-9n;n}

E assim sucessivamente.

Considerando a sequência dois, teremos:

{2x+z=1+ yx+5 z=3

Resolvendo o sistema do tipo um acima, teremos a seguinte solução:

Solução: {52−5 y9; y ;

−5+ y9

}

Considerando a sequência três teremos:

{− y+z=1−2 x+5 z=3−x

Resolvendo o sistema do tipo um acima teremos a seguinte solução:

Solução: {x ;−2+9 x5

;3−x5

}

Exemplo. Discuta o sistema de equações lineares abaixo quanto à solução

{ x− y+z=43 x+2 y+z=05x+5 y+z=−4

Utilizando a técnica de escalonamento multiplicaremos a primeira equação do

sistema por -3 e somaremos com a segunda equação. Em seguida

multiplicaremos a primeira por -5 e somaremos com a terceira equação,

obtendo o seguinte sistema de equação equivalente ao primeiro:

{ x− y+z=43 x+2 y+z=05x+5 y+z=−4

{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−125 x+5 y+ z=−4

{ x− y+z=40x+5 y−2 z=−120 x+10 y−4 z=−24

Do sistema obtido acima, faremos uma combinação linear multiplicando a

segunda linha por -2 e somando com a terceira linha, onde obteremos o

seguinte sistema de equações lineares equivalente ao primeiro:

*(-5) +

*(-3) +

{ x− y+z=40x+5 y−2 z=−120 x+10 y−4 z=−24

{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−120x+0 y+0 z=0

Ao analisarmos o sistema obtido acima, verificamos que qualquer valor que as

variáveis x, y e z assumirem atenderá a terceira equação do sistema o que

caracteriza uma indeterminação do sistema de equações lineares do tipo um.

Esta linha pode ser abandonada, onde obteremos o seguinte sistema de

equações lineares do tipo dois com três variáveis e duas equações para ser

resolvido:

{ x− y+z=45 y−2 z=−12

Anteriormente, foi comentado que os sistemas do tipo dois são sempre

possíveis e indeterminados.

O sistema do tipo um acima poderia também ser discutido pela regra de

Cramer. Para que a indeterminação ocorra todos os determinantes (DetA e

Detx) devem ser nulos.

00

+∞ - ∞ são casos de indeterminação

DetA = |1 −1 13 2 15 5 1| = 0

Como o determinante da matriz dos coeficientes é nulo, o sistema de equações

pode ser indeterminado ou impossível. Para que a indeterminação ocorra todos

os Detx devem ser nulos. Se um dos Detx for diferente de zero o sistema será

impossível.

Detx1 = | 4 −1 10 2 1

−4 5 1| = 0 x1 = 00 indeterminação

*(-2) +

Detx2 = |1 4 13 0 15 −4 1| = 0 x2 =

00 indeterminação

Detx3 = |1 −1 43 2 05 5 −4| = 0 x3 =

00 indeterminação

Como todos os Detx são nulos, concluímos que o sistema do tipo um acima é

possível e indeterminado, utilizando a Regra de Cramer.

Considerando este sistema com a seguinte alteração na segunda equação,

teremos:

{ x− y+z=43 x+2 y+ z=15x+5 y+z=−4

{ x− y+z=43 x+2 y+ z=15x+5 y+z=−4

{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−115 x+5 y+z=−4

{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−110 x+10 y−4 z=−24

{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−110 x+10 y−4 z=−24

{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−110 x+0 y+0 z=−2

Ao analisarmos a terceira equação, após o escalonamento, verificamos que o

sistema de equações acima não tem solução, pois é impossível obter um

resultado igual a -2 quando as variáveis x, y, z são multiplicadas por zero, pois

*(-5) +

*(-3) +

*(-2) +

para qualquer valor dessas variáveis forneceria um resultado nulo para esta

equação.

Discutindo este sistema pela Regra de Cramer teremos as seguintes situações:

DetA = |1 −1 13 2 15 5 1| = 0

Detx1 = | 4 −1 11 2 1

−4 5 1| = 6 x1 = 60 divisão impossível de ser resolvida

Detx2 = |1 4 13 1 15 −4 1| = -4 x2 =

−40

divisão impossível de ser resolvida

Detx3 = |1 −1 43 2 15 5 −4| = -10 x3 =

−100

divisão impossível de ser resolvida

5. Função Linear

Uma função é dita linear quando todas as variáveis tem expoente igual a um,

ou, ainda, como a função em que a variável dependente varia a uma taxa

constante em relação à variável dependente. Exemplo:

y = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + ------------ + anxn

A função linear mais básica existente é a que possui duas variáveis. Este tipo

de função é geralmente denominada como função do primeiro grau, sendo sua

representação gráfica uma reta definida pelo coeficiente angular.

O coeficiente angular é a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo x,

determinando a inclinação da reta. Conhecido o coeficiente angular é possível

determinar os pontos onde à reta intercepta os eixos. O coeficiente linear é

uma constante.

y = ax + b (função linear com duas variáveis)

a: coeficiente angular

b: coeficiente linear

6. Sistema de Inequações Lineares

Uma inequação linear é uma expressão matemática do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 +

------ + anxn {>;<;≥;≤} c. A solução de um sistema de inequações lineares é

semelhante à de um sistema de equações lineares, ou seja, o objetivo é

encontrar o conjunto de soluções que atenda simultaneamente a todas as

inequações do sistema.

No curso de pesquisa operacional serão trabalhados os sistemas de

inequações com duas variáveis. Os modelos que apresentam mais variáveis

serão abordados por outras técnicas que transformam as inequações lineares

em equações lineares (forma padrão).

A resolução de um sistema de inequações lineares com duas variáveis consiste

na determinação gráfica da região que atende a todas inequações do sistema.

Para isto devemos determinar as retas com suas inclinações e sentidos, suas

interseções e área que atenda a todas inequações simultaneamente.

Exemplo:

2x1 + 4x2 ≤ 16

3x1 + 2x2 ≤ 12

x1 ≤ 3

Para resolvermos o sistema de inequações lineares acima, primeiramente,

deveremos relaxar cada uma das inequações a uma equação linear. A

inclinação das retas é obtida através da interseção com os eixos x1 e x2,

arbitrando-se o valor nulo a uma das variáveis. O sentido é determinado pelos

sinais ≤ e ≥.

a) Para a reta 2x1 + 4x2 ≤ 16, teremos:

Para x1 = 0 → 2(0) + 4x2 = 16 ... x2 = 4 → A(0,4)

Para x2 = 0 → 2x1 + 4(0) = 16 ... x1 = 8 → B(8,0)

b) Para a reta 3x1 + 2x2 ≤ 12, teremos:

Para x1 = 0 → 3(0) + 2x2 = 12 ... x2 = 6 → C(0,6)

Para x2 = 0 → 3x1 + 2(0) = 12 ... x1 = 4 → D(4,0)

c) Para a reta x1 ≤ 3:

Esta reta não tem pontos sobre o eixo-x2, logo ela é paralela a este eixo,

passando pelo ponto E(3,0)

De posse destas informações temos a solução do sistema de inequações

lineares através do gráfico abaixo:

x2

C(0,6)6

5A(0,4)

4

3

2

1D(4,0) B(8,0) x1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Considerando o mesmo sistema com as seguintes mudanças de sinais,

teremos:

2x1 + 4x2 ≥ 16

3x1 + 2x2 ≥ 12

x1 ≤ 3

x2

6

5A(0,4)

4

3

2

1D(4,0) B(8,0) x1

0 1 2 3 4 5 6 7 8