algebra linear

Elementos para lgebra Linear

2 Ano Licenciatura em Matemtica 1

Captulo 01

Matrizes

1.0 Introduo A teoria das matrizes muito presente em aplicaes da Economia, Engenharia, Matemtica, Fsica, Tecnologia etc. Os chineses apresentam como um dos mais antigos povos a mencionar a teoria das matrizes. Eles gostavam de diagramas conhecidos como quadrados mgicos, como o exemplo a seguir.

4 9 23 5 78 1 6

1.1 Matriz Podemos definir matrizes com sendo uma tabela de nmeros dispostos em linhas e colunas, colocados entre parnteses ou colchetes:

2 2

2 31 4

x

3 2

4 02

1 1x

pi

Tabelas com m linhas e n colunas so denominadas matrizes m x n sendo * e m n



1.2 Notao e Formao de uma Matriz

As matrizes costumam ser representadas por letras maisculas e seus elementos por letras

minsculas, acompanhadas de dois ndices que indicam a linhas e a coluna, respectivamente, de cada elemento. Um formato geral para matiz m x n :

11 1

1

An

m mn

a a

a a

=

Abreviando a matriz A teramos:

[ ]ij m x nA a= Onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o

elemento ocupa.

Vejamos um exemplo de uma matriz 2 x 3. isso indica que a matriz possui duas linhas e trs colunas.

2 3

2 3 4A

1 0 5x

=

Onde:

11 12 13

21 22 23

2 3 41 0 5

a a a

a a a

= = =

= = =

As matrizes podem obedecer a uma lei de formao. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo

E 01) Determinar a matriz 2 3[ ] 2 .ij xA a i j= = + Soluo:

11 12 13

21 22 23 2 3

Ax

a a a

a a a

=

= 11 12 13

21 22 23 2 3

2.1 1 3 2.1 2 4 2.1 3 52.2 1 5 2.2 2 6 2.2 3 7

x

a a a

a a a

= + = = + = = + =

= + = = + = = + =

2 3

3 4 5A

5 6 7x

=



1.3 Matrizes Especiais

1.3.1 Matriz Linha

toda matriz do tipo 1 x n , ou seja, uma nica linha. Exemplo.

1 4A [4 5 1] x=

1.3.2 Matriz Coluna

toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma nica coluna. Exemplo.

4 1

3012

x

B

=

1.3.3 Matriz Quadrada

toda matriz do tipo m x m, ou seja, o mesmo nmero de linhas e colunas. Com isso dizemos que a matriz possui ordem n onde n seu nmero de linhas e colunas. Exemplo:

2 2

1 24 1

x

C

=

ordem 2

3 3

4 0 10 0 41 2 4

x

D

=

ordem 3

1.3.3.1 Diagonais de uma Matriz Quadrada

o Diagonal principal: o conjunto de elementos, tal que i = j. o Diagonal Secundria: o conjunto de elementos, tal que i + j = n + 1.

12

21 23

13

31 32

11

22

33

Aa

a

a

a a

a

aa

a

=

Diagonal principal

Elementos 11a , 22a e 33a .

Diagonal Secundria Elementos 31a , 22a e

13a .



1.3.4 Matriz Nula

toda matriz em que seus elementos so nulos. [ ] 0ij mxn ijA a a= = = . Exemplo:

3 3

0 0 0A 0 0 0

0 0 0x

=

1.3.5 Matriz Diagonal

toda matriz quadrada onde todos os elementos que no esto na diagonal principal so nulos.

Exemplos:

2 2

1 00 1

x

A =

3 3

4 0 00 1 00 0 3

x

B

=

1.3.6 Matriz Identidade

toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais iguais a 0.

1, [ ], 0, n ij ij

se i jI a a

se i j=

= =

Exemplos:

2

1 00 1

I

=

3

1 0 00 1 00 0 1

I

=



1.3.7 Matriz Transposta

Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir de uma matriz A, trocando-se

ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notao TA .

Exemplo:

Se 1 2 3

A4 5 6

=

ento T1 4

A 2 53 6

=

1.3.8 Matriz Simtrica e Anti-Simtrica

Uma matriz quadrada simtrica quando tem-se TA = A .

Uma matriz quadrada anti-simtrica quanto tem-se TA A= .

1.3.9 Matriz Oposta

Chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. Notao: A. Exemplo:

3 1A

2 2

=

ento T3 1

A2 2

=

Exerccios

01.) Determinar a matriz 3 3[ ]ij xB b= , tal que 2 21, se

, se ij

i jb

i j i j=

=

02.) Determine as seguintes matrizes: a. 22 2( ) ( )ij xA a i j= = +

b. 33 3( ) ( )ij xB b i j= =

c. 2 32, ( )

, ij x

se i jC c

i j se i j=

= = +

03.) Dada a matriz 3 3( )ij xA a= , tal que 2 2 5ija i j= + , calcule 12 31a a+ .



Respostas

01.) 1 3 83 1 58 5 1

B

=

02.) a. 4 99 16

A =

b. 0 1 81 0 18 1 0

B

=

c. 2 3 43 2 5

C =

03.) 6

1.4 Operaes com Matrizes

1.4.1 Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, so iguais, se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos. Notao A = B.

Exemplos

E 02) Dadas as matrizes 1 23

Aa

=

e 33

xB

b

=

, determinar a, b e x para que TA B= .

Soluo:

1 23 3 3

T x bA Ba

= =

Ento x = 1, b = 2 e a = 3.

E 03) Para que ocorra a igualdade das matrizes 2 0 11 1

2 02 1m

m

=

qual deve ser o valor de

m?

Soluo:

21 0 1 11 0 1

m m ou m

m m

= = =

= = Como devem ser satisfeitas simultaneamente ento m = 1.



1.4.2 Adio e Subtrao

Dada duas matrizes ( )ij mxnA a= e ( )ij mxnB b= , a matriz soma A + B a matriz ( )ij mxnC c= ,

tal que ij ij ijc a b= + .

Exemplo:

1 2 0 3 1 0 2 3 1 53 4 1 5 3 1 4 ( 5) 2 1

+ + + = =

+ +

Dada duas matrizes ( )ij mxnA a= e ( )ij mxnB b= , definimos a diferena A B como a soma de A com a oposta de B, ou seja, ( )A B A B = + .

Exemplos

E 04) Determine a matriz X na equao matricial 2 1 1 1/ 2 2 3/ 23 4 3 5 4 3

X

= +

.

Soluo:

Fazendo a b

Xc d

=

temos que 2 1 1 1/ 2 2 3/ 23 4 3 5 4 3

a bc d

= +

2 1 1 23 4 1 2

a bc d

+ = +

2 1 1 2 1 13 1 4 2 4 2

a b a bc d c d

= + = = = = + = = = =

1 14 2

X

=

E 05) Determine a matriz X na equao matricial 2 3 5 11 1 4 3

4 2 3 2X

+ =

.

Soluo:

Fazendo X =

3 2x

a bc de f

temos que 2 3 5 11 1 4 3

4 2 3 2

a bc de f

+ =

2 3 5 1 2 5 3 1 3 41 1 4 3 1 4 1 3 5 4

4 2 3 2 4 3 2 2 1 4

a b a bc d c de f e f

+ + + = + =

+ + = + = + = = + + + = + =

3 45 41 4

X

=



1.4.3 Produto de uma Matriz por um Escalar

Seja a matriz ( )ij mxnA a= e um nmero real k com 0k . O produto de k pela matriz A dado por uma matriz B, tal que, B = k.A onde .ij ijb k a= .

Exemplo:

0 2 1 3.0 3.2 3.1 0 6 33. 2 3 5 3.( 2) 3.3 3.( 5) 6 9 15

0 1 4 3.0 3.1 3.4 0 3 12

= =

Exerccios

01.) Determine a, b, c e d para que se tenha 5 516

2 10 3

a bc d

=

.

02.) Determine x, y e z que satisfaam 31 2 1 243 5 1 6 5 0

x

y z

=

.

03.) Determine p e q, tais que 2 6 20 2 0 3

p qp q

+ =

.

04.) Verifique se existe m, m , para que se tenha 2 2 02 9

0 03 3m

m m

=

+ .

05.) Determine m, m , se existir, tal que 2 0 14 1

32 3m

m

=

.

06.) Seja 2 3( )ij xA a= , em que ija i j= + . Determine m, n e p em 3 4

1 2 5m n

Bn m p

+ =

tal

que A = B.

07.) Calcule:

a. 1 0 3 4 2 1/ 22 3 1 1 1 0

+

b. 2 3 5 4

0 13 0

+

c.

3 5 1 22 7 3 54 0 1 1

d. 1 03 25 4



08.) Sejam as matrizes 3 2( )ij xA a= , em que 2i ja i j= + , e 3 2( )ij xB b= , em que 1 .ijb i j= + + a. Determine A + B.

b. Determine D = A B.

09.) Sejam 2 14 3

A

=

,

3 12 2

B

=

e 1 31 0

C

=

. Determine A + B + C.

10.) Resolva as seguintes equaes matriciais:

a.

3 111 3

5 2X

+ =

b. 2 3 4 14 1 0 3

X

=

11.) Determine a matriz X em 2 4 1 3 1 23 5 5 0 3 4

X

+ =

.

12.) Sejam as matrizes 7 9( )ij xA a= , em que 2ija i j= , e 7 9( )ij xB b= , em que ijb i j= + . Seja C A B= + , em que ij ij ijc a b= + . Determine os elementos:

a. 21c b. 63c

13.) Dada a matriz 1 11 38 5 2

A

=

, obtenha as matrizes:

a. 3.A b. 12

A

14.) Sejam as matrizes 3 21 54 3

A

=

e

0 13 2

1 5B

=

. Determine as seguintes matrizes:

a. 2A B+ b. 2A B

15.) Sejam as matrizes 2 1 01 2 2

0 5 4A

=

e 3 3( )ij xB b= , em que ijb i j= . Determine a matriz

1 A 42

B+ .

16.) Resolva a equao 1 2 3 1 1 02.X3 2 4 1 2 5

+ =

.



17.) Dadas as matrizes 2 0 3 1 0 2, 1 1 0 1 1 0

A B e C

= = =

, determine a matriz X, tal

que 2 2A B X C+ = + .

18.) Sendo 1 23 4

A =

e

0 14 32 5

B

=

, determine:

a. 2 TA A+ b. TB

Respostas

01.) 11, , 6, 106

a b c d= = = =

02.) 3 , 2, 14

x y z= = =

03.) 3, 3p q= = 04.) no existe m real que satisfaa. 05.) 2m = 06.) 2, 4, 3m n p= = =

07.) a. 55 22

3 4 1

b. 7 7

3 1

c.

2 75 25 1

d. 159

08.) a. 6 98 11

10 13

b. 0 10 10 1

09.) 6 51 5

10.) a. 847

b. 6 24 4

11.) 2 55 9

12.) a. 21 6c = b. 63 18c =

13.) a. 3 33 924 15 6

b.

1 11 32 2 2

54 12

14.) a. 6 31 8

9 1

b. 3 47 92 13

15.)

71 82

7 1 32

138 22

16.) 3 302 2

11 22

X

=

17.) 7 54 1

18.) a. 4 22 16

b.

0 4 21 3 5



1.5 Multiplicao de Matrizes

Dadas duas matrizes

( )ij m x nA a= e p( )ij n xB b= , chama se o produto AB a matriz

( )ik m x pC c= tal que:

1 1 2 21

...

n

ij ij i j i k i k in nkj

c a b a b a b a b=

= = + + + para todo { }1,2,...,i m e todo

{ }1,2,...,k p . A definio garante a existncia do produto AB se, e somente se, o nmero de colunas de A

for igual ao nmero de linhas de B.

A B Cx x xColunas Linhas

pm pmn n

=

=

Vejamos um exemplo prtico:

Sejam as matrizes 1 2 35 1 23 2 1

A

=

e

2 14 02 3

B

=

faamos o produto AB conforme o

esquema abaixo.

2 14 02 3

1 2 3 1*2 2*4 3*2 1*( 1) 2*0 3*3 16 85 1 2 5*2 ( 1)*4 2*2 5*( 1) ( 1)*0 2*3 10 13 2 1 3*2 2*4 1*2 3*( 1) 2*0 1*3 16 0

+ + + +

+ + + + = + + + +

Ento o produto AB foi dado por 16 810 116 0

AB

=

obs.: Lembrar que o produto de matrizes, em geral, no comutativo, ou seja, AB BA .



Exemplos

E 06) Encontre a matriz X em AX = B, sendo 2 43 1

A

=

e 53

B

=

.

Soluo:

Temos que 2 2 2 1

2 4 5.

3 1 3x x

X

=

vemos que a Matriz X do tipo a

Xb

=

, da

2 2 2 1

2 4 5.

3 1 3x x

a

b

=

2 4 53 3a ba b

= + , donde resulta o sistema

2 4 53 3

a ba b

=

+ = cuja a

soluo 12

a = e 32

b = . Logo

12

32

X

=

E 07) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a i j= = + , e 3 8( ) 2ik xB b j k= = . Determine o elemento

35c , sendo que C A B= .

Soluo: Vejamos aqui que no necessrio montar as duas matrizes por completo. Para adquirir o

elemento 35c , basta usar a terceira linha de A e a coluna 5 de B.

31 32 33A a a a

=

= 4 5 6

; 15

25

35

31

1

bB b

b

= =

Assim 35 4 ( 3) 5 ( 1) 6 1 11c = + + =

35c = 11



1.6 Matriz Inversa (parte I) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A dita inversvel se existir uma matriz B tal que:

nA B B A I = = E neste caso B dita a inversa de A e denota-se por 1A . A Matriz inversa de A s ir existir

se, e somente se, det( ) 0.A (Determinante ser estudado no prximo capitulo).

Exemplos

E 08) Encontre a inversa da matriz 4 53 1

A

=

.

Soluo:

Devemos ter 4 5 1 03 1 0 1

a bc d

=

4 5 4 5 1 03 3 0 1a c b da c b d

= + + donde o sistema

4 5 1 1 3

3 0 19 19a c

a e ca c

= = =

+ = e tambm

4 5 0 5 4

3 1 19 19b d

b e db d =

= =+ =

Assim 11 5

1 5119 193 4 3 419

19 19

A

= =

E 09) Verifique se as matrizes 2 04 3

A =

e

1 022 13 3

B

=

so inversas, isto , 1B A=

Soluo:

Vamos fazer o produto AB.

1 2 11 2 0 2 0 002 0 1 02 3 322 14 3 1 2 1 0 14 3 4 0 33 3 2 3 3

+ +

= =

+

Como 1nAB I B A

= =



Exerccios

01.) Determine os produtos.

a. 2 1 1 4 3 24 3 0 1 1 3

b.

4 3 1 12 5 0 2

02.) Sejam as matrizes 3 10 21 4

A

=

,

0 11 3

B

=

e 41

C =

. Determine, caso existir:

a. A.B

b. B.A c. A.C

d. BT.C e. B.AT

03.) Sejam as matrizes 4 1 5 30 2 0 14 3 2 51 3 0 8

A

=

e

10 65 32 4

1 8

B

=

. Se 4 2A B ( )ij xC c = = , determine

os elementos 12C e 41C .

04.) Calcule x e y em 2 4 13 5 3

x

y

=

.

05.) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a= , em que ija i j= + , e 3 4( )ik xB b= , em que 3 2ikb j k= . Sendo 6 4( )ik xC c= a matriz produto AB, determine o elemento 52C .

06.) Determine x e y a fim de que as matrizes 2 03 4

e

31x

y

comutem.

07.) Resolva a equao matricial 2 3 0 31 4 1 5

X

=

08.) Um fast-food de sanduches naturais vende dois tipos de sanduche, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades, em gramas, por sanduche:

Sanduche A Sanduche B queijo 18 g 10 g salada 26 g 33 g rosbife 23 g 12 g atum 0 16 g



Durante um almoo foram vendidos 6 sanduches do tipo A e 10 do tipo B. Qual foi a quantidade necessria de cada ingrediente para a preparao desses 16 sanduches?

09.) Sendo 1 23 4

A =

e

0 14 32 5

B

=

, resolva a equao T TA X B = .

10.) Resolva a equao A X B C + = , na qual 1 01 3

A

=

,

15

B

=

e 03

C =

.

11.) Resolva a equao A B X C = , se 1 0 32 1 4

A

=

,

1 04 1

0 2B

=

e 2 13 4

C

=

.

12.) O produto das matrizes 23 1

xA

=

e 1 10 1

B

=

uma matriz simtrica. Qual o

valor de x?

13.) (Vunesp Adaptado) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo cos( ) ( )( ) ( ) cos( )x sen x

A xsen x x

=

,

calcule A(x).A(x).

14.) Verifique se 3 / 5 2 / 51/ 5 1/ 5

a inversa de 1 21 3

.

15.) Determine, se existir, a inversa da matriz 2 1/ 24 1

.

16.) Seja 1 23 4

A

=

. Determine 10 1A .

17.) Sejam as matrizes 3 21 1

A =

e 0 13 4

B

=

. Determine:

a. 1A B + b. 1.A B

18.) A inversa de 32y

x

a matriz

45 1

x x

x

. Determine x e y.



Respostas

01.) a. 2 7 5 14 19 15 17

b. 4 102 8

02.) a. 1 6

2 64 11

b.

c.

132

0

d. 1

7

e. 1 2 4

6 6 11

03.) a. 12 23C = b. 41 3C =

04.) 75

x = e 9

2y =

05.) 48 06.) 0x = e 3y =

07.) 3 6

11 119 7

11 11

X

=

08.) 208 g de queijo, 486 g de salada, 258 g de rosbife e 160 g de atum.

09.) 3 5 7

10 2 101 1 9

10 2 10

X

=

10.) 13

X

=

11.) 2 135 16

11 11X

=

12.) x = 1

13.) 1 (2 )(2 ) 1sen x

sen x

14.) sim inversa

15.) 1 14 8

112

16.) 4 23 1

17.) a. 1 14 7

b. 6 79 11

18.) x = 7 e y = 1



Captulo 02

Determinantes

2.0 Introduo Definio: Determinante um nmero real associado a uma matriz quadrada.

As aplicaes dos determinantes em matemtica esto associadas a: - Clculo da matriz inversa; - Resoluo de alguns tipos de sistemas lineares; - Clculo da rea de um tringulo, quando so conhecidas as coordenadas dos vrtices.

2.1 Determinante de 1 Ordem Dada uma matriz quadrada de ordem 1 Ordem 11[ ]M a= , seu determinante dado por:

11det( )M a= .

2.2 Determinante de 2 Ordem

Dada a matriz 11 1221 22

Ma a

a a

=

,por definio, temos que o determinante associado a essa

matriz dado por: 11 22 12 21det(M) a a a a= . Exemplo:

Sendo 2 34 5

M

=

, ento det( ) 2 5 4 3 2M = = .

Concluso: O determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.



Exemplos

E 10) Calcular o valor dos determinantes:

a.

1 12 33 8

A = 1 18 3 4 1 32 3

= = det( ) 3A =

b. ( ) cos( )

cos( ) ( )sen x x

Bx sen x

=

2 2( ) ( ) ( cos( ) cos( )) ( ) cos ( ) 1sen x sen x x x sen x x = + =

det( ) 1B =

E 11) Calcular o valor de x, x , na igualdade:

a. 3 3

04 3x

x=

+

23 ( 3) 4 3 3 3 12 0x x x x + = + = donde tiramos que 41

x

x

=

=

2.3 Regra de Sarrus

Para determinantes de 3 ordem usaremos um dispositivo prtico conhecido como regra de Sarrus (l-se Sarr). O dispositivo consiste em: 1. Repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira; 2. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direo da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais. Conservando o sinal dos elementos; 3. Multiplicamos os elementos da diagonal secundria de A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direo da diagonal secundria, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras diagonais, tambm trocando o sinal dos produtos; 4. Somamos todos os produtos obtidos nos passos 2 e 3.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a



Exemplo

E 12) Calcular o determinante da matriz 2 3 51 1 23 4 3

.

Soluo:

2 3 5 2 31 1 2 1 13 4 3 3 4

det( ) 32 10 22A = =

Exerccios

01.) Calcule:

a. 2 53 8

b. 3 25 1

c. 4 32 1

02.) Calcule o valor de 11 7 4 53 2 2 3

y

= +

.

03.) Resolva, em , a equao 24 3x x

x+

= .

04.) Resolva, em , a equao 3 2.1 1

x

x x=

+

05.) Resolva, em , a desigualdade

32 33

1 2 53 1

x

xx

x

.

06.) Calcule o valor de cada um dos determinantes.

a.

3 7 24 1 12 2 3

b. 1 1 12 1 14 3 3

6 18+ 20+ 32=

15+ 16 9 10=



07.) Qual o valor de cada um dos seguintes determinantes:

a.

0 1 34 2 53 0 1

b. 2

1 11

1

a

a a

a a

08.) Sejam as matrizes 3 3( )ij xA a= , em que 1,

2,ijse i j

ase i j

=



16.) Calcule o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo. 1 2 14 9 46 7

Ax x

=

.

Respostas

01.) a. 1 b. -7 c. 10

02.) 1

03.) S = { 4 }

04.) S = {1, 5}

05.) 1|3

S x x =

06.) a. 105 b. 0

07.) a. 1 b. 3a a

08.)08.)08.)08.) 3

09.) { }| 1S x x= >

10.) a. 7 38 2

e ( 7 )

b. 1 ou 2

11.) a. {1}S = b. {0, 3, 3}S =

12.) 32

k =

13.) 10a =

14.) zero

15.) {2}S =

16.) x = 13



2.4 Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M quadrada e de

ordem n > 1, o determinante de ordem n 1, associado matriz obtida de M quando suprimimos a

linha e a coluna que passam por ija .

Exemplos

E 13) Dada a matriz 11 1221 22

a aM

a a

=

determine o menor complementar ao elemento 21a .

Soluo: 11 1221 22

a a

a a

suprimindo a linha e coluna do elemento 21a obtemos ento que o menor

complementar de 21a 12a

E 14) Obter o menor complementar ao elemento 12a da seguinte matriz 4 2

5 6M

=

.

Soluo: na matriz M o elemento 12a = 2, ento 4 2

5 6

encontramos 5 como menor

complementar ao elemento 12a .

E 15) Encontrar o menor complementar ao elemento 22a na matriz 2 0 13 1 21 1 2

M

=

.

Soluo: Suprimindo linha e coluna do elemento 22a , obtemos 2 0 13 1 21 1 2

a matriz 2 11 2

que

tem como determinante o valor 3 e, portanto, o menor complementar do elemento 22a igual a 3.



2.5 Cofator Chamamos de cofator relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o

nmero ijA , tal que:

( 1)i jij ijA MC+=

Exemplos

E 16) Dada a matriz 3 21 0

A

=

determine os cofatores 11A e 21A .

Soluo: 1 111 ( 1) 0 0A += = 1 212 ( 1) 1 1A += =

E 17) Dada a matriz 4 1 23 1 02 3 1

M

=

determine o cofator 23A .

Soluo: 2 3234 1( 1) 1 (4 3 2 1) 142 3

A += = + =

23 14A =

2.6 Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n ) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando um j , tal que 1 j m :

1det

m

ij iji

M a A=

=

O teorema de Laplace se aplica a qualquer ordem de uma matriz quadrada, porm, para ordem 2 e 3 mais interessante aplicar regras anteriormente vistas. Esse teorema mais interessante ser aplicado quando a matriz possui um grande nmero de elementos iguais a zero em suas linhas ou colunas.



Exemplos

E 18) Calcule o determinante da matriz

3 1 2 15 2 2 37 4 5 01 1 11 2

D

=

.

Soluo: Vamos escolher a 3 linha da matriz D. e usando o teorema de Laplace ento teremos:

31 32 33 347 4 ( 5) 0D A A A A= + + + Trocando pelos valores devidos temos:

431

1 2 1( 1) 2 2 3 9

1 11 2A

= =

, 5

32

3 2 1( 1) 5 2 3 20

1 11 2A

= = e 633

3 1 1( 1) 5 2 3 7

1 1 2A = =

no calculamos o 34A pois no h necessidade uma vez que ele est sendo multiplicado por zero.

7 9 4 20 ( 5) 7 108D = + + =

E 19) Qual o valor de

1 0 10 03 2 1 15 0 3 29 0 4 7

D

=

.

Soluo: Vamos escolher a segunda coluna, pois, ela apresenta um grande nmero de elementos com valor zero e isso facilita as contas.

12 22 32 42 220 ( 2) 0 0 2D A A A A A= + + + = Assim basta calcular apenas esse ltimo termo.

2 222

1 10 0( 1) 5 3 2 183

9 4 7A += =

, segue que ( 2) ( 183) 366D = =



Exerccios

01.) Calcule os seguintes determinantes:

a.

3 4 2 15 0 1 20 0 4 01 0 3 3

b.

2 3 1 70 1 2 03 4 5 11 0 2 1

c.

1 1 5 10 3 2 10 0 7 10 0 0 4

02.) Calcule os seguintes determinantes:

a.

0 5 3 411 1 2 70 0 0 04 3 2 1

b.

0 10 1 0 0

01 0

a b

a a bb a

c.

1 00 1

0 0 0 21 1

x yy x

x y

03.) Resolva, em , a equao:

0 0 31 0 0

3.0 1 10 0 1 2

x

x

x

=

04.) Resolva, em , a equao:

2 0 1 21 2 1 3

790 0 1 13 1 2 0

x

=

.

05.) Calcule

2 2 3 4 20 1 0 0 0

.0 4 0 2 10 5 5 1 40 1 0 1 2



Respostas

01.) a. 208 b. 3 c. 84 02.) a. 0 b. 2 2a b+ c. 22 (1 )x y +

03.) 10,2

S =

04.) { }5S = 05.) 50

2.7 Propriedades dos Determinantes Em alguns casos, o clculo de determinantes pode ser simplificado como auxlio de algumas propriedades.

2.7.1 Fila Nula

Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa matriz tambm nulo.

Exemplos: a. 3 0 21 0 5 02 0 7

=

b.

4 9 8 50 0 0 0 01 1 2 33 4 1 1

=

2.7.2 Filas Paralelas iguais

Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo. Exemplo:

2 1 3 5

2 11 4 5 0

0

73 5

8 1 3

=



2.7.3 Filas Paralelas Proporcionais

Se duas filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento seu determinante nulo. Exemplo:

4 4 21 21

1 12 4 2 1 2 0

2 6 22

3 3 32

= =

2.7.4 Filas Paralelas com Combinaes Lineares

Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaes lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ento o seu determinante nulo. Exemplos:

a.

1 3 4 1 3 41 32 42 4 6 2 4 6 0

3 2 5 3 2 53 2

=

=

+

=

=

+ =

+

b. 3 4 1 3 4 11 2 3 1 2

2 3 13 0

7 10 5 7 10 52 4 2 2 1 3 + + += =

= = =

2.7.5 Teorema de Jacobi

O determinante de uma matriz no se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinao linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo:

1 2 32 1 2 92 4 3

=

1 2 2 2 3 5 2 32 1 2 1 2 4 1 2 92 4 2 4 3 10 4 3

+

+ = =

+

2.7.6 Matriz Transposta

O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais. Exemplo:

1 2 3det( ) 2 1 2 9

2 4 3A = =

1 2 2det( ) 2 1 4 9

3 2 3

TA = =



2.7.7 Produto de uma fila por um escalar

Multiplicando por um nmero real todos os elementos de uma fila em um matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero. Exemplo:

1 2 32 1 1 43 2 1

= multiplicando a primeira coluna por 2 222

1 2 32 1 1 2 ( 4) 83 2 1

= =

2.7.8 Troca de filas paralelas

Quando trocamos as posies de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

2 1 1 43 2

1 2 3

1 = trocando-se a primeira linha com a segunda 1 2 3 4

3 2

2 1 1

1= +

2.7.9 Matriz Triangular

Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:

a. 3 22

41

0 00 4 ( 1) 8

1 7= =

b. 1

34

2 27 1 30

04 12

0

= =

2.8 Outras Propriedades

2.8.1 Teorema de Binet

Sejam duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, temos: det( ) det( ) det( )AB A B=

obs.: Como 1A A nI

= , pelo teorema acima, temos que:

1 1det( )det( )A A

=



2.8.2 Produto de um escalar por toda a matriz

Quando todos os elementos de uma matriz multiplicada por um escalar k o seu determinante fica multiplicado por nk , onde n a ordem da matriz.

Se k , ento det( ) det( )nk A k A = . Exemplo:

2 14 5

A =

det(A) = 6 6 3312 15

A =

det(3A) = 54

det( ) det( )nk A k A = 54 = 32. 6

Exerccios

01.) Se 12

x yz w

= , qual o valor de (diga qual a propriedade que usou):

a. x z

y w b.

22

x z

y w

02.) Se 3a b cd e fg h i

= , qual o valor de 6 6 66 6 66 6 6

a d gb e hc f i

?

03.) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det( ) 5A = e det( ) 3B = . Qual o valor de: a. det( )A B b. det( )T TB A c. det(2 )TA

Respostas

01.) a. 12

( det( ) det( )TA A= ) b. 1 ( prop 2.7.7 e 2.7.6)

02.) 36 ( 3) 648 = 03.) a. 15 b. 15 c. 40



2.9 Regra de Chi A regra de Chi nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n 1, de igual determinante. Para que a regra seja aplicada, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1 e de preferncia na posio 11a .

Exemplos

E 20) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante da seguinte matriz:

5 2 2 1 2 3 3 2 0 1 5 35 1 3

1 ( 3) 2 2 ( 3) 3 5 ( 3) 0 7 11 51 2 5

6 ( 4) 2 7 3 ( 4) 2 0

2 3

( 4) 2 19 26 7 2

0234

1Chi

= =

Aplicando a regra

novamente, temos:

11 7 ( 5) 5 7 ( 3) 46 2611 5 386

19 2( 5) 2

5

2 ( 3) 29 8

31

12 27

9

= = =

E 21) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de:

1 27 4

2

31

0 3 Vamos trocar a segunda com a primeira linha e em seguida aplicarmos a Regra de Chio.

7 3 2 4 3 ( 1) 1 7 ( 19) 193 0 2 2 0 (

1 2

1)3 27 4 30 2

1

3

= = = =

E 22) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de: 2 2 2 22 2 2 32 2 3 32 3 3 3

Temos que dividir toda a primeira coluna por 2, da:

2 2 20 0 1

2 2 30 1 1 ( 1) 2

2 3 31 1 1

3 3

11

2 2

311

Chi = = =



Exerccios

01.) Calcule, usando a regra de Chi:

a.

1 2 31 4 7

0 3 2 b.

1 0 0 05 4 3 21 3 2 00 1 0 1

c.

0 1 3 03 5 1 11 4 0 00 2 1 1

02.) Calcule, usando a regra de Chi:

a.

3 3 34 5 61 0 2

b.

5 3 2 00 2 4 62 4 2 82 0 3 0

c.

4 2 116 3 9

7 1 5

03.) Mostre que ( )( )( ).

a a a a

a b b ba b a c b d c

a b c ca b c d

=

04.) Resolva a equao 21 2 1

0 2.3 7 4x x =

Respostas

01.) a. 18 b. 21 c. 55

02.) a. 3 b. 460 c. 87

03.) Demonstrao

04.) {2, 1}S =



A1 Apndice Capitulo 02 - Matriz Inversa (parte II)

Com vimos anteriormente, a matriz M, de ordem n, admite inversa se, e somente se,

det(M) 0 . Sua inversa representada por 1M . Para o clculo da inversa usaremos o seguinte teorema.

1 1M Mdet(M)

= onde M a matriz adjunta.

Calculamos a inversa conforme a ordem: a. O determinante de M. b. A matriz M, chamada matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo

respectivo cofator.

c. A matriz M , chamada matriz adjunta que a transposta de M. M (M ')T=

d. A inversa 1M , multiplicando M por 1det( )M .

Exemplos

E 23) Obter a matriz inversa de 4 111 3

M

=

.

Resoluo: Seguindo os passos corretos temos: a. O det (M) = 12 11 = 1

b. M = 1 1 1 2

2 1 2 2

( 1) 3 ( 1) 11( 1) 1 ( 1

3 1114 4)

+ +

+ +

=

c. 13(

1')

1 4TM M

= =

d. 13 1 3 11 111 4 11 4det( ) 1M MM

= = =

1 3 111 4

M

=



E 24) Calcular a inversa da matriz 1 2 10 3 20 0 1

.

Resoluo:

a. det( ) 3M =

b.

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

3 2 0 2 0 3( 1) ( 1) ( 1)0 1 0 1 0 02 1 1 1 1 2

' ( 1) ( 1) ( 1)0 1 0 1 0 02 1 1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1)3 2 0 2 0 3

M

+ + +

+ + +

+ + +

=

=

3 0 02 1 0

1 2 3

c.

3 2 1( ') 0 1 2

0 0 3

TM M

= =

d. 13 2 1 1 2 / 3 1/ 3

1 1 0 1 2 0 1/ 3 2 / 3det( ) 3

0 0 3 0 0 1M M

M

= = =

Exerccios

01.) A inversa da matriz 4 31 1

?

02.) Dada a matriz 1 00 1

M

=

, determinar o nmero real tal que 1M M M+ = .

03.) (MACK) Seja a bAc d

=

com ad bc , determine 1A .

04.) Sejam 1 21 4

A =

e 2 1

Bx y

=

duas matrizes. Se B a inversa de A, ento qual o valor

de x + y.

05.) Se 2 1Ax x

=

, ento o nmero de valores de x tais que 13 00 3

A A + =

:



Respostas

01.) 1 31 4

02.) = 2

03.) 1 d bc aad bc

04.) 0 05.) 1



Captulo 03

Sistemas Lineares

3.0 Equao Linear

toda equao da forma: 1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = onde a1, a2, a3, ..., an so nmeros reais que recebem o nome de

coeficientes das incgnitas X1, X2, ..., Xn e b um nmero real chamado termo independente.

Observao: Quando b = 0 a equao recebe o nome de linear homognea.

Exemplos:

So Lineares:

1) 3 2 4 72) 3 7 0 (homognea)3) 3 8

x y z

x y z txy z t

+ =

+ =

+ =

3.1 Sistema Linear

Um conjunto de equaes lineares da forma:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + = + + + + = + + + + =

um sistema linear de m equaes e n incgnitas.



3.2 Soluo do sistema linear

Chamamos de soluo do sistema a n-upla de nmeros reais ordenados 1 2 3( , , ,..., )nr r r r que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.

3.3 Matrizes Associadas A Um Sistema Linear

3.3.1 Matriz Incompleta

a matriz A, formada pelos coeficientes das incgnitas do sistema.

Exemplo:

Em relao ao sistema:

2 3 04 72 4

x y zx y zx y z

+ =

+ + =

+ + =

a matriz incompleta : 2 3 14 1 12 1 1

A

=

3.3.2 Matriz Completa

a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos matriz incompleta uma ltima coluna formada pelos termos independentes das equaes do sistema. Exemplo:

2 3 04 72 4

x y zx y zx y z

+ =

+ + =

+ + =

a matriz completa 2 3 14 1 12 1 1

074

B

=



3.4 Sistemas Homogneos

O sistema:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

1 1 2 2 3 3

... 0

... 0...

... 0

n n

n n

m m m mn n

a x a x a x a x

a x a x a x a x

a x a x a x a x

+ + + + = + + + + = + + + + =

homogneo, pois os termos independentes de todas as equaes so nulos.

2 3 04 02 0

x y zx y zx y z

+ =

+ + =

+ + =

3.4.1 Solues de um sistema homogneo

A n-upla (0, 0, ..., 0) sempre a soluo de um sistema homogneo com n incgnitas e recebe o nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.

3.4.2 Classificao de um sistema quanto ao nmero de

solues

1) O sistema: 8

2 1x yx y+ =

=

Tem uma nica soluo: o par ordenado (3,5). Nessas condies o sistema possvel

(tem soluo) e determinado (soluo nica).

2) O sistema: 8

2 2 16x yx y

+ =

+ = Verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4)... So

algumas das solues. Nessas condies, o sistema possvel e indeterminado (infinitas solues).



3) Dado o sistema: 1010

x yx y+ =

=

Vemos que nenhum par ordenado faz parte da soluo desse sistema. Nessas

condies, o sistema impossvel (no tem soluo).

determinadoindeterminado

SPDpossvel

sistema SPISIimpossvel

=

=

=

3.5 Teorema de Cramer

Considere um sistema linear onde o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas. Teremos ento uma matriz quadrada A e seja D = det(A). Teorema.

Seja S um sistema linear com o nmero de equaes igual ao de incgnitas. Se 0D , ento o sistema ser possvel e ter soluo nica 1 2 3( , , ,... )n , tal que:

ii

DD

= {1, 2,3,..., }i n

Exemplos

E 25) Seja o sistema: 64

2 1

x y zx y z

x y z

+ + =

=

+ =

temos

1 1 11 1 1 4 02 1 1

D = =

, logo h uma nica soluo.

1

6 1 14 1 1 4

1 1 1D = =

2

1 6 11 4 1 122 1 1

D = = 3

1 1 61 1 4 82 1 1

D = =

logo: 1 4 14

Dx

D

= = =

; 212 34

DyD

= = =

3 8 24

Dz

D

= = =

Portanto a soluo nica desse sistema (1, 3, 2)



E 26) Em um sistema 2x2:

82 1x yx y+ =

=

temos 1 1

32 1

D = =

1

8 19

1 1D = =

2

1 815

2 1D = =

1 9 33

Dx

D

= = =

2 15 53

DyD

= = =

Temos a soluo o par (3, 5)

Exerccios

01.) Resolver os sistemas pela regra de Cramer.

a. 4 0

3 2 5x yx y

=

+ = b.

2 23 3

x yx y

=

+ = c.

3 12 3 1

4 2 7

x y zx z

x y z

+ =

+ = + =

d. 5

2 4 43 2 3

x y zx y zx y z

+ =

+ + = + =

e.

12 2

02 2 1

x y z tx y z

x y z tx z t

+ + + =

+ =

+ = + + =

f.

12 2

2 13 2 0

x y z tx y z

x y z tx y z t

+ + + =

+ + =

=

+ + =

02.) (MAPOFEI) Resolver, aplicando a regra de Cramer, o seguinte sistema:

12 3 3 2

1

x yx y z

x z

+ =

+ = + =

03.) Se (x,y) a soluo de 2 54 2x y

x y+ =

=

ento o valor de x + y vale?

04.) Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e a + c = 1500, ento a + b + c vale?

05.) No sistema 2 3 13 3 8

2 0

x y zx y z

y z

+ + =

+ = + =

o valor de z xy :



Respostas

01.)

a. 12,2

b. 3 4,

5 5

c. ( )1,1, 1 d. ( )2,3,0 e. 1 114, , , 22 2

f. ( )0,0,2, 1

02.) (1,2,2)

03.) 3

04.) 1900 05.) 3

3.5 Discusso De Um Sistema Linear

Vimos que um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

determinadoindeterminado

SPDpossvel

sistema SPISIimpossvel

=

=

=

Exemplos

E 27) Considere o sistema:

2 92 3

3 2 4

x y zx y z

x y z

+ + =

+ =

=

escalonando o sistema chegamos 2 9

52 4

x y zy z

z

+ + =

+ =

=

O sistema agora na forma escalonada e com o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas, segue-se que possvel e determinado (SPD). (1,3,2)



E 28) Considere o sistema

3 13 3 2 02 2 4

x y z tx y z tx y z t

+ + =

+ + + = + + =

escalonando o sistema chegamos 3 1

10 37 4 2

x y z tz t

y z t

+ + =

=

+ =

O sistema agora na forma escalonada e com o nmero de equaes menor que o de incgnitas, segue-se que possvel e indeterminado.(SPI)


43 2 0

5 5 4

x y zx y zx y z

+ =

+ + = + + =

escalonando o sistema chegamos 4

5 2 1210 4 24

x y zy zy z

+ =

=

=

Esse novo sistema equivalente a 4

5 2 120 0 0

x y zy z

y z

+ =

= + =

pois a terceira linha proporcional segunda.

O sistema ento fica com o nmero de equaes menor que o de incgnitas, segue-se que possvel e indeterminado. (SPI)


4 83 15

10 12 7

x yx yx y

+ =

=

=

escalonando o sistemas chegamos 4 8

13 390 69

x yy

y

+ =

=

=

O sistema ento no haver soluo, pois, nenhum valor para y satisfaz a terceira equao. O

sistema impossvel (SI).



Exerccios

01.) Escalonar, classificar e resolver os sistemas:

a.

2 12

2 2

x y zx y z

x y z

=

+ + =

+ =

b. 2 1

2 3 22 2 0

x y zx y t

x y z t

+ =

+ =

+ =

c.

3 2 23 5 4 4

5 3 4 10

x y zx y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

d. 1

3 2 22 3 2 1

x y z tx y z t

x y z t

+ + =

+ =

+ + =

e.

11

2 22 1

x y z tx y z t

y z tx z t

+ + + =

+ + =

+ = + =

f. 2 3 5

2 5 2 33 2

x y zx y zx y z

=

+ + =

+ =

Respostas

01.) a. SPD (-11, -6, -3) b. SPI c. SI d. SPI e. SPD (-1/5, 1, -1/5, 2/5) f. SI



Captulo 04

Vetores

4.0 Vetores

Vetores so representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como flechas nos espaos bi e tridimensionais. Se o ponto inicial de um vetor v A e o ponto final B, ento escrevemos:

v AB=

4.0.1 Soma de Vetores

Regra do paralelogramo Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma v + w representado na figura a seguir.



4.0.2 Vetor Oposto

Se v um vetor no nulo ento chamamos de oposto de v o vetor v. Esse vetor tem a propriedade.

( ) 0v v+ =

4.0.3 Produto Por Um Escalar

Dado um vetor 0v e um nmero real 0k , chama-se produto do nmero real k pelo vetor

v o vetor p = kv, tal que:

a) mdulo: p kv k v= = b) direo: a mesma de v

c) sentido: o mesmo de v se k > 0contrrio de v se k < 0



4.1 Vetores Em Sistemas De Coordenadas

4.1.1 Vetores no 2

O conjunto 2 {( , ) | , }x y x y= = interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy. Seja v qualquer vetor no plano e suponha que v tenha sido posicionado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. As coordenadas 1 2( , )v v do ponto final de v so chamadas componentes de v e escrevemos como 1 2( , )v v v= .

4.1.1.1 Igualdade e Operaes

IGUALDADE:

Dois vetores 1 1( , )u x y= e 2 2( , )v x y= so iguais se, e somente se 1 2x x= e 1 2y y= e escreve-se u = v.

Exemplo

E 31) Se o vetor u = (x + 1,4) igual ao vetor v = (5, 2y 6) quais os valores de x e y?

Pela definio de igualdade temos x + 1 = 5 x = 4 e 2y 6 = 4 y = 5.



ADIO EM TERMOS DE COMPONENTES:

Considere dois vetores 1 1( , )u x y= e 2 2( , )v x y= a soma desses vetores dada por:

1 2 1 2( , )u v x x y y+ = + +

Exemplo

E 32) Seja u = (2, 3) e v = ( -5, 1) vetores em 2 . Calcule a soma u + v.

(2 5,3 1) ( 3, 4)u v+ = + = ( 3, 4)u v+ =

MULTIPLICAO POR UM ESCALAR:

Seja v um vetor ( , )v x y= e k um escalar representamos o vetor kv por:

( , ) ( , )kv k x y kx ky= =

Exemplos

E 33) Seja u = (2, 3) e k = 3 o vetor ku ser representado por 3.(2,3) = (6,9)

E 34) Considere v = ( -1, 4) e k = 5 o vetor kv ser representado por:

5. (-1,4) = (5, - 20).

E 35) Seja 27

k = e v = ( -1,-1) calcule o vetor .k v .

2 2 2( 1, 1) ,7 7 7

=



4.1.2 Vetores no 3

O conjunto 3 {( , , ) | , , }x y z x y z= = interpretado geometricamente como sendo o espao cartesiano tridimensional Oxyz.

Da mesma forma que fazemos para o plano, consideramos geralmente vetores representados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condies, cada vetor do espao determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y,z) individualiza o vetor v OP=

e escreve-se:

V = (x, y, z)

A origem do sistema O(0,0,0) representa o vetor nulo. O vetor oposto de v = (x,y,z) o vetor v = (-x,-y,-z). Assim tambm temos que:

I) Dois vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = so iguais se, e somente se

1 1 2 2 3 3 u v e u v e u v= = = .

II) Dados os vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = e , define-se: i. 1 1 2 2 3 3( , , )u v u v u v u v+ = + + +

ii. 1 2 3( , , )u u u u =



Exemplos

E 36) Calcule a soma v + u, sendo u = (3,0,2) e v = (-2, -9, 8). Resoluo:

u + v = (3+(-2), 0 + (-9), 2 + 8) = ( 1, -9, 10) (1, 9,10)u v + =

E 37) Seja 2 = e dado o vetor (1, 6,5)v = Calcule v. Resoluo:

v = 2. (1, 6,5) = (2.1,2.(-6),2.5) = (2, -12, 10) v (2, 12,10) =

E 38) Seja 27

k = e v = ( -1,-1, -1) calcule o vetor .k v .

Resoluo:

.k v = ( )2 1, 1, 17

=

2 2 2, ,

7 7 7

4.2 Componentes de um Vetor

s vezes um vetor ( 2 ou 3 ) no est posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o vetor 1 2v PP=

:

Em 2 como ponto inicial 1 1 1( , )P x y= e ponto final em 2 2 2( , )P x y= , ento:

1 2 2 1 2 1( , )v PP x x y y= =

Em 3 como ponto inicial 1 1 1 1( , , )P x y z= e ponto final em 2 2 2 2( , , )P x y z= , ento:

1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v PP x x y y z z= =



Exerccios

01.) Considere os seguintes vetores u = (9,3), w = (-1, 3, 4), v = (2,-5), p = (3,-2,-1), q = (2,0), t = (3,4) e m = (3,0,-2).

Calcule: a. v + u

b. w p c. 4.t + 3.q

d. u t e. 3.(q+u) 2(v + t) f. m + p

02.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 2 do exerccio 1.

03.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 3 do exerccio 1.

04.) Encontre os componentes do vetor de ponto inicial 1u e ponto final 2u .

a. 1 2(4,8), (3,7)u u b. 1 2(3, 5), ( 4, 7)u u c. 1 2(0,0), ( 3,1)u u d. 1 2(4,8,2), (3,7, 1)u u e. 1 2(3, 7, 2), ( 2,5, 1)u u

Respostas

01.) a. (11, -2), b. (-4, 5,5), c. (18,16), d. (6,-1), e. (23,11), f. (6,-2,-3)

02.) desenho individual

03.) desenho individual

04.) a. (1,1), b. (7,2), c. (3,1), d. (1,1,3) e. (5,12,3)


50

4.3 Norma de um Vetor

O comprimento de um vetor u muitas vezes chamado de norma de u e denotado por u .

4.3.1 Em 2

A norma do vetor u pode ser calculada aplicando o teorema de Pitgoras.

2 21 2( ) ( )u u u= +

4.3.2 Em 3

A norma do vetor u pode ser aplicada usando o teorema de Pitgoras duas vezes chegando ao resultado final como:

2 2 2u x y z= + +


51

Exemplo

E 39) Calcule a norma dos vetores nos seguintes casos:

a. v = ( 2, -3 ) 2 22 ( 3) 4 9 13v = + = + =

b. v = (-3, 5, 2) 2 2 2( 3) 5 2 9 25 4 38v = + + = + + =

4.4 Distncia

Como, em 2 , 1 2 2 1 2 1( , )v P P x x y y= =

o clculo da distncia ser dado por:

2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y= +

Em 3 , 1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v P P x x y y z z= =

o clculo da distncia ser dado por: 2 2 2

2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z= + +

Exemplo

E 40) Calcule a distncia d entre os pontos: 1 (2, 1, 5)P = e 2 (4, 3,1)P = 2 2 2(4 2) ( 3 1) (1 5) 44 2 11d = + + + + = =

4.5 Aritmtica Vetorial

O seguinte teorema aborda as mais importantes propriedades de vetores nos espaos bi e tridimensionais.

TEOREMA: Se u, v e w so vetores de um espao bi ou tridimensional e k e l so escalares, ento valem as seguintes relaes.

a. u + v = v + u

b. (u + v) + w = u + (v+w) c. u + 0 = 0 + u

d. u + (-u) = 0

e. k(lu) = (kl)u f. l(u+v) = lu + lv g. (k + l)v = kv + lv h. 1.u = u


52

Exerccios

01.) Encontre a norma de v a. v = (4, -3) b. v = (2,3) c. v = (-5, 0)

d. v = (2,2,2) e. v = (-7,2,-1) f. v = (0,6,0)

02.) Encontre a distncia entre 1P e 2P . a. 1 2(3, 4), (5,7)P P b. 1 2( 3,6), ( 1, 4)P P

c. 1 2(7, 5,1), ( 7, 2, 1)P P d. 1 2(3,3,3), (6,0,3)P P

03.) Sejam u = ( 2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3,6,-4). Calcule o pedido: a. u v+

b. u v+

c. 2 2u u +

d. 3 5u v w +

e. 1

.ww

f. 1 .ww

04.) Seja v = (1, 2,5). Encontre todos os escalares k tais que 4kv = 05.) Sejam u = (7, 3, 1), v = (9,6,6), w = (2,1,8), k = 2 e l = 5. verifique que estes vetores e

escalares satisfazem as seguintes identidades do teorema da aritmtica vetorial.

a. Parte (b) b. Parte (e)

c. Parte (f) d. Parte (g)

06.) Mostre que se w qualquer vetor no nulo, ento 1 .ww

um vetor unitrio

Obs.: Vetor unitrio todo vetor que possui norma igual a 1.


53

Respostas

01.) a. 5, b. 13 , c. 5, d. 2 3 , e. 3 6 , f. 6 02.) a. 13 , b. 2 26 , c. 209 , d. 3 2

03.) a. 83 , b. 17 26+ , c. 4 17 , d. 466 , e. 3 6 4, ,61 61 61

, f. 1

04.) 4 2 301530

k = =

05.) e 06.) demonstrao

4.6 Produto Escalar

Sejam u e v dois vetores no-nulos nos espaos bi e tridimensionais e suponha esses vetores posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam. Esses vetores formam

um ngulo entre si tal que 0 pi .

DEFINIO: Se u e v so vetores em 2 3 ou e o ngulo entre eles, ento o produto escalar ou produto interno ser definido por:

cos 0 00 0 0u v se u e v

u vse u ou v

=

= =


54

Exemplo

E 41) Sejam os vetores u = (0,0,1) e w = (0,2,2) calcule o produto interno deles sendo considerado 045 o ngulo entre eles.

( ) ( )2 2 2 2 2 2 00 0 1 0 2 2 .cos(45 )v w = + + + + 2u w =

4.7 Produto Escalar em Termos de Componentes

Sejam 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = dois vetores no-nulos e o ngulo entre eles. Obs.: O produto escalar pode ser denotado como u v ou tambm pela forma ,u v< >

Pela lei dos co-senos temos que: 2 2 2 cos( )PQ u v u v = +

e como PQ v u=

, podemos escrever

que:

2 2 21cos( ) ( )

2u v u v v u = +

Simplificando a expresso temos 2 2 21 ( )2

u v u v v u = + e substituindo os valores

2 2 2 21 2 3u u u u= + + ,

2 2 2 21 2 3v v v v= + + e

2 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )v u v u v u v u = + + +

chegamos a:

1 1 2 2 3 3. . .u v u v u v u v = + +

de demonstrao anloga para 2 temos o produto escalar dado por:

1 1 2 2. .u v u v u v = +


55

Exemplos

E 42) Sejam u = (3,1), v = (2,2) e w = (9,3) calcule: a.

Resoluo: 3.2 + -1.2 = 6 2 = 4 b.

Resoluo < (5,1), (9,3)> = 5.9 + 1.-3 = 45 + (3) = 42 c.

Resoluo

2.9 + 2.(3) = 18 + (6) = 12

E 43) Considere u = (1,2,3) e v = (2,2,2). Calcule o produto escalar entre eles. Resoluo:

= 1.2 + 2.2 + 3.2 = 2 + 4 + 6 = 8

E 44) Sejam v = (a,b) e w = (p,q) calcule o produto interno entre eles. Resoluo:

= a.p + b.q

4.8 ngulo Entre Vetores

Considere dois vetores u e v em 2 3 ou ambos. Como podemos escrever o produto

interno deles como sendo cos( )u v u v = ento podemos isolar o cos( ) ficando com:

cos( ) u vu v

=

Obs. Para encontrar o ngulo devemos usar a funo arccos ( a funo 1cos de sua calculadora cientfica)


56

Exemplo

E 45) Considere os vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, 1, 2). Determine o ngulo entre u e v. 2.1 ( 1).1 1.2 1

cos( )26. 6

u v

u v + += = =

e portanto 01arccos 602

=

TEOREMA: Sejam u e v vetores em 2 3 ou : a) 2v v v = b) se os vetores so nonulos e o ngulo entre eles, ento

, 0 , 0 , 0

agudo se e somente se u v obtuso se e somente se u v reto se e somente se u v

>

= =

Exemplo

E 47) Calcule o valor de k para que o produto escalar entre u = (k, 2) e v = (3,1) seja zero. Resoluo:

= k.3 + 2.1 = 0 3k + 2 = 0 23

k =

E 48) Sabe-se que os vetores u = (1,-2,-1) e w = (k, -2k ,0) so ortogonais. Determine o valor de k.

Resoluo: = 1.k + (-2).(-2k) + (-1).0 = k + 4k + 0 = 0 5k = 0 k = 0


58

4.10 Projeo Ortogonal

Se u e a (vetores) so posicionados com seus iniciais coincidindo com um ponto Q, podemos decompor o vetor u baixando uma perpendicular da ponta de u para a reta ao longo

de a e construmos o vetor 1w de Q ao p desta perpendicular. Em seguida tomamos a diferena 2 1w u w= .

O vetor 1w chamado projeo ortogonal de u sobre a, denotado por:

aproj u

TEOREMA: Se u e a so vetores em 2 3 ou e se 0a , ento:

1 2 ( )au a

w proj u a componente vetorial de u ao longo de aa

= =

2 2 ( )au a

w u proj u u a componente vetorial de u ortogonal de aa

= =

Exemplo

E 49) Sejam u = (2, -1, 3) e a = (4, -1, 2). Encontre 1 2 e w w .

1 2 2 2 22.4 ( 1).( 1) 3.2 15(4, 1,2) (4, 1,2)

4 ( 1) 2 21au a

w proj u aa

+ += = = =

+ +

120 5 10

, ,

7 7 7w

=

220 5 10 6 2 11(2, 1,3) , , , ,7 7 7 7 7 7

w

= =

26 2 11

, ,

7 7 7w

=

obs.: Fazendo o produto escalar entre esses vetores obtemos 1 2, 0w w< >= , pois 1 2w w .


59

Exerccios

01.) Encontre < u, v > a. u = (2,3), v = (5, 7) b. u = (6, 2), v = (4, 0)

c. u = (1, 5, 4), v = (3,3,3) d. u = (2, 2,3), v = (1,7,4)

02.) Em cada parte do exerccio 1 encontre o co-seno do ngulo de entre u e v. 03.) Determine se u e v fazem um ngulo agudo, obtuso ou so ortogonais.

a. u = (6,1,4), v = (2,0,3) b. u = (0,0,-1), v = (1,1,1)

c. u = (6,0,4), v = (3,1,6) d. u = (2,4,-8), v = (5,3,7)

04.) Encontre a projeo ortogonal de u em a. a. u = (6,2), a = (3, 9) b. u = (1,2), a = (2,3)

c. u = (3,1,7), a = (1,0,5) d. u = (1,0,0), a = (4,3,8)

05.) Em cada parte do exerccio 4, encontre o componente vetorial u ortogonal a a ( 2w ).

06.) Sendo definido como | ||| ||au aproj u

a

= o comprimento da projeo ortogonal de u ao

longo de a. Calcule aproj u . a. u = (1, -2), a = (-4,-3) b. u = (5,6), a = (2,-1)

c. u = (3,0,4), a = (2,3,3) d. u = (3,-2,6), a = (1,2,-7)

07.) Sejam u = (5,2,1), v = (1,6,3) e k = -4. Verifique o Teorema da pgina 19 para estas condies.

08.) (a) Mostre que v = (a,b) e w = (-b,a) so vetores ortogonais. (b) Use o resultado da parte (a) para encontrar dois vetores ortogonais a (2, 3)v =

09.) Sejam u = (3,4), v = (5,1) e w = (7,1). Calcule as seguintes expresses. a.


60

13.) Sejam p = (2,k) e q = (3,5). Encontre k tal que: a. p e q so paralelos

b. p e q so ortogonais

c. o ngulo entre p e q de 3pi

d. o ngulo entre p e q de 4pi

Respostas

01.) a. -11 b. -24 c. 0 d. 0

02.) a. 1113 74

b. 310

c. 0 d. 0

03.) a. ortogonal b. Obtuso c. Agudo d. Obtuso

04.) a. (0,0) b. 8 12,13 13

c. 16 80

,0,13 13

d. 16 12 32, ,89 89 89

05.) a. (6,2) b. 21 14,13 13

c. 55 11

,1,13 13

d. 73 12 32, ,89 89 89

06.) a. 25

b. 4 55

c. 1822

d. 4354

07.) Demonstrao 08.) a. = a.(-b) + b.a = 0 b. demonstrao 09.) a. 102 b. 125 2 c. 170 d. 170 10.) Demonstrao

11.) 1 2 310 3 10

cos ,cos ,cos 010 10

= = =

12.) Demonstrao. O ngulo reto est em B.

13.) a. 103

b. 65

c. 60 34 3

33 +

d. 12


61

4.11 Produto Vetorial

O produto vetorial aplicado apenas por vetores em 3R e cujo o resultado um vetor.

Definio: Se 1 2 3( , , )u u u u= e 1 2 3( , , )v v v v= so vetores em 3R , ento o produto vetorial u v (ou ento u v ) o vetor definido por:

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, ,

u u u u u uu v

v v v v v v

=

Exemplo

E 50) Encontre u v sendo u = (1,2,-2) e v = (3,0,1) 2 2 1 2 1 2

, ,

0 1 3 1 3 0u v

=

(2, 7, 6)u v =

Obs.: O produto escalar um escalar e o produto vetorial um vetor.

4.12 Relaes Entre Os Produtos

Se u, v e w so vetores em 3R , ento:

a. ( ) 0u u v = b. ( ) 0v u v = c. ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w =

4.12.1 u v perpendicular a u e a v

Considere os vetores u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), vimos que (2, 7, 6)u v = Ento ( ) 1.2 2.( 7) ( 2).( 6) 0u u v = + + =

( ) 3.2 0.( 7) 1.( 6) 0v u v = + + =


62

4.13 Vetores Unitrios Cannicos

Considere os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) estes vetores tm, cada um, comprimento 1 e esto sobre os eixos coordenados. Eles so chamados vetores unitrios

cannicos do espao tridimensional. Cada vetor 1 2 3( , , )u u u u= pode ser expressos em termos de i, j e k.

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)u u u u u u u u i u j u k= = + + = + +

Por exemplo, o vetor v = (3,2,4) pode ser escrito como 3i 2j + 4k.

4.14 Produto Vetorial em Formato de Determinante

O produto vetorial ser representado simbolicamente por um determinante 3x3 na forma:

1 2 3

1 2 3

i j ku v u u u

v v v

=

Exemplo

E 51) Se u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), Calcule u v .

Resoluo: 1 2 2 2 7 63 0 1

i j ku v i j k = =


63

4.15 rea de um Paralelogramo

Se u e v so vetores em 3R , ento || u v || igual a rea do paralelogramo determinado por u e v.

Exemplo

E 52) Calcule a rea do paralelogramo formado pelos vetores u = (1,2,2) e v = (3,0,1). Resoluo:

1 2 2 2 7 63 0 1

i j ku v i j k = = ||u v || = 2 2 22 ( 7) ( 6) 4 49 36 89+ + = + + =

4.16 rea de um Tringulo

Considere trs pontos no plano tridimensional 1 2 3, P P e P como sendo

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ), ( , , ) ( , , )P x y z P x y z e P x y z= = = e tomando 1 2PP

e 1 3PP

a rea do tringulo

formada por esses vetores ser dada por:

1 2 1 312

A PP PP=

Exemplo

E 53) Encontre a rea do tringulo determinado pelos pontos 1 (2,2,0)P = , 2 ( 1,0, 2)P = e

3 (0, 4,3)P = . Resoluo:

1 2 ( 3, 2,2)PP =

e 1 3 ( 2, 2,3)PP =

. Segue que 1 2PP

x 1 3PP

= ( -10, 5, -10) e

|| 1 2PP

x 1 3PP

|| = 15 e, portanto, para o clculo de sua rea temos 1 2 1 3

12

A P P P P=

o que se chega a 1 15 ( . )2

A u a=


64

4.17 Produto Misto

DEFINIO: Se u, v e w so vetores no espao tridimensional ento ( )u v w chamado produto misto de u, v e w.

O produto misto de 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= pode ser calculado atravs do determinante:

Exemplo

E 54) Calcule o produto misto ( )u v w dos vetores u = 3i 2j 5k, v = i + 4j 4k e w = 3j + 2k. Resoluo:

3 2 5( ) 1 4 4 49

0 3 2u v w

= =

TEOREMA: Se os trs vetores 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= tm o mesmo ponto inicial, ento eles ficam em um mesmo plano se, e somente se,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )u u u

u v w v v v

w w w

=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ) 0u u u

u v w v v v

w w w

= =


65

Exerccios

01.) Sejam u = (3,2,1), v = (0,2,3) e w = (2,6,7). Calcule: a. v w b. ( )u v w c. ( )u v w

d. ( ) ( )u v v w e. ( 2 )u v w f. ( ) 2u v w

02.) Encontre um vetor que ortogonal a ambos u e v. a. u = (6, 4, 2), v = (3, 1, 5) b. u = (-2, 1, 5), v = (3, 0, -3)

03.) Encontre a rea do paralelogramo determinado por u e v. a. u = (1, 1, 2), v = (0,3,1) b. u = (2,3,0), v = (1,2,2)

c. u = (3,-1,4), v = (6,2,8)

04.) Encontre a rea do tringulo de vrtices P, Q e R. a. (2,6, 1), (1,1,1), (4,6,2)P Q R b. (1, 1,2), (0,3, 4), (6,1,8)P Q R

05.) Encontre o produto misto ( )u v w a. ( 1, 2, 4), (3, 4, 2), ( 1, 2,5)u v w= = = b. (3, 1,6), (2,4,3), (5, 1, 2)u v w= = =

06.) Obtenha o volume do paraleleppedo de lados u, v e w. a. (2, 6, 2), (0,4, 2), (2,2, 4)u v w= = = b. (3,1, 2), (4,5,1), (1,2,4)u v w= = =

Respostas

1. a. (32,-6,-4) b. (-14,-20,-82) c. (27,40,-42) d. (0, 176,-264) e. (-44,55,-22) f. (-8,-3,-8) 2. a. (18,36,-18) b. (-3,9,-3) 3. a. 59 b. 101 c.0

4. a. 3742

b. 285

5. a. 10 b. 110

6. a. 16 b. 45

algebra linear

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