algebra linear
TRANSCRIPT
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 1
Captulo 01
Matrizes
1.0 Introduo A teoria das matrizes muito presente em aplicaes da Economia, Engenharia, Matemtica, Fsica, Tecnologia etc. Os chineses apresentam como um dos mais antigos povos a mencionar a teoria das matrizes. Eles gostavam de diagramas conhecidos como quadrados mgicos, como o exemplo a seguir.
4 9 23 5 78 1 6
1.1 Matriz Podemos definir matrizes com sendo uma tabela de nmeros dispostos em linhas e colunas, colocados entre parnteses ou colchetes:
2 2
2 31 4
x
3 2
4 02
1 1x
pi
Tabelas com m linhas e n colunas so denominadas matrizes m x n sendo * e m n
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 2
1.2 Notao e Formao de uma Matriz
As matrizes costumam ser representadas por letras maisculas e seus elementos por letras
minsculas, acompanhadas de dois ndices que indicam a linhas e a coluna, respectivamente, de cada elemento. Um formato geral para matiz m x n :
11 1
1
An
m mn
a a
a a
=
Abreviando a matriz A teramos:
[ ]ij m x nA a= Onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o
elemento ocupa.
Vejamos um exemplo de uma matriz 2 x 3. isso indica que a matriz possui duas linhas e trs colunas.
2 3
2 3 4A
1 0 5x
=
Onde:
11 12 13
21 22 23
2 3 41 0 5
a a a
a a a
= = =
= = =
As matrizes podem obedecer a uma lei de formao. Veja os exemplos a seguir.
Exemplo
E 01) Determinar a matriz 2 3[ ] 2 .ij xA a i j= = + Soluo:
11 12 13
21 22 23 2 3
Ax
a a a
a a a
=
= 11 12 13
21 22 23 2 3
2.1 1 3 2.1 2 4 2.1 3 52.2 1 5 2.2 2 6 2.2 3 7
x
a a a
a a a
= + = = + = = + =
= + = = + = = + =
2 3
3 4 5A
5 6 7x
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 3
1.3 Matrizes Especiais
1.3.1 Matriz Linha
toda matriz do tipo 1 x n , ou seja, uma nica linha. Exemplo.
1 4A [4 5 1] x=
1.3.2 Matriz Coluna
toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma nica coluna. Exemplo.
4 1
3012
x
B
=
1.3.3 Matriz Quadrada
toda matriz do tipo m x m, ou seja, o mesmo nmero de linhas e colunas. Com isso dizemos que a matriz possui ordem n onde n seu nmero de linhas e colunas. Exemplo:
2 2
1 24 1
x
C
=
ordem 2
3 3
4 0 10 0 41 2 4
x
D
=
ordem 3
1.3.3.1 Diagonais de uma Matriz Quadrada
o Diagonal principal: o conjunto de elementos, tal que i = j. o Diagonal Secundria: o conjunto de elementos, tal que i + j = n + 1.
12
21 23
13
31 32
11
22
33
Aa
a
a
a a
a
aa
a
=
Diagonal principal
Elementos 11a , 22a e 33a .
Diagonal Secundria Elementos 31a , 22a e
13a .
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 4
1.3.4 Matriz Nula
toda matriz em que seus elementos so nulos. [ ] 0ij mxn ijA a a= = = . Exemplo:
3 3
0 0 0A 0 0 0
0 0 0x
=
1.3.5 Matriz Diagonal
toda matriz quadrada onde todos os elementos que no esto na diagonal principal so nulos.
Exemplos:
2 2
1 00 1
x
A =
3 3
4 0 00 1 00 0 3
x
B
=
1.3.6 Matriz Identidade
toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais iguais a 0.
1, [ ], 0, n ij ij
se i jI a a
se i j=
= =
Exemplos:
2
1 00 1
I
=
3
1 0 00 1 00 0 1
I
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 5
1.3.7 Matriz Transposta
Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir de uma matriz A, trocando-se
ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notao TA .
Exemplo:
Se 1 2 3
A4 5 6
=
ento T1 4
A 2 53 6
=
1.3.8 Matriz Simtrica e Anti-Simtrica
Uma matriz quadrada simtrica quando tem-se TA = A .
Uma matriz quadrada anti-simtrica quanto tem-se TA A= .
1.3.9 Matriz Oposta
Chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. Notao: A. Exemplo:
3 1A
2 2
=
ento T3 1
A2 2
=
Exerccios
01.) Determinar a matriz 3 3[ ]ij xB b= , tal que 2 21, se
, se ij
i jb
i j i j=
=
02.) Determine as seguintes matrizes: a. 22 2( ) ( )ij xA a i j= = +
b. 33 3( ) ( )ij xB b i j= =
c. 2 32, ( )
, ij x
se i jC c
i j se i j=
= = +
03.) Dada a matriz 3 3( )ij xA a= , tal que 2 2 5ija i j= + , calcule 12 31a a+ .
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 6
Respostas
01.) 1 3 83 1 58 5 1
B
=
02.) a. 4 99 16
A =
b. 0 1 81 0 18 1 0
B
=
c. 2 3 43 2 5
C =
03.) 6
1.4 Operaes com Matrizes
1.4.1 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, so iguais, se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos. Notao A = B.
Exemplos
E 02) Dadas as matrizes 1 23
Aa
=
e 33
xB
b
=
, determinar a, b e x para que TA B= .
Soluo:
1 23 3 3
T x bA Ba
= =
Ento x = 1, b = 2 e a = 3.
E 03) Para que ocorra a igualdade das matrizes 2 0 11 1
2 02 1m
m
=
qual deve ser o valor de
m?
Soluo:
21 0 1 11 0 1
m m ou m
m m
= = =
= = Como devem ser satisfeitas simultaneamente ento m = 1.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 7
1.4.2 Adio e Subtrao
Dada duas matrizes ( )ij mxnA a= e ( )ij mxnB b= , a matriz soma A + B a matriz ( )ij mxnC c= ,
tal que ij ij ijc a b= + .
Exemplo:
1 2 0 3 1 0 2 3 1 53 4 1 5 3 1 4 ( 5) 2 1
+ + + = =
+ +
Dada duas matrizes ( )ij mxnA a= e ( )ij mxnB b= , definimos a diferena A B como a soma de A com a oposta de B, ou seja, ( )A B A B = + .
Exemplos
E 04) Determine a matriz X na equao matricial 2 1 1 1/ 2 2 3/ 23 4 3 5 4 3
X
= +
.
Soluo:
Fazendo a b
Xc d
=
temos que 2 1 1 1/ 2 2 3/ 23 4 3 5 4 3
a bc d
= +
2 1 1 23 4 1 2
a bc d
+ = +
2 1 1 2 1 13 1 4 2 4 2
a b a bc d c d
= + = = = = + = = = =
1 14 2
X
=
E 05) Determine a matriz X na equao matricial 2 3 5 11 1 4 3
4 2 3 2X
+ =
.
Soluo:
Fazendo X =
3 2x
a bc de f
temos que 2 3 5 11 1 4 3
4 2 3 2
a bc de f
+ =
2 3 5 1 2 5 3 1 3 41 1 4 3 1 4 1 3 5 4
4 2 3 2 4 3 2 2 1 4
a b a bc d c de f e f
+ + + = + =
+ + = + = + = = + + + = + =
3 45 41 4
X
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 8
1.4.3 Produto de uma Matriz por um Escalar
Seja a matriz ( )ij mxnA a= e um nmero real k com 0k . O produto de k pela matriz A dado por uma matriz B, tal que, B = k.A onde .ij ijb k a= .
Exemplo:
0 2 1 3.0 3.2 3.1 0 6 33. 2 3 5 3.( 2) 3.3 3.( 5) 6 9 15
0 1 4 3.0 3.1 3.4 0 3 12
= =
Exerccios
01.) Determine a, b, c e d para que se tenha 5 516
2 10 3
a bc d
=
.
02.) Determine x, y e z que satisfaam 31 2 1 243 5 1 6 5 0
x
y z
=
.
03.) Determine p e q, tais que 2 6 20 2 0 3
p qp q
+ =
.
04.) Verifique se existe m, m , para que se tenha 2 2 02 9
0 03 3m
m m
=
+ .
05.) Determine m, m , se existir, tal que 2 0 14 1
32 3m
m
=
.
06.) Seja 2 3( )ij xA a= , em que ija i j= + . Determine m, n e p em 3 4
1 2 5m n
Bn m p
+ =
tal
que A = B.
07.) Calcule:
a. 1 0 3 4 2 1/ 22 3 1 1 1 0
+
b. 2 3 5 4
0 13 0
+
c.
3 5 1 22 7 3 54 0 1 1
d. 1 03 25 4
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 9
08.) Sejam as matrizes 3 2( )ij xA a= , em que 2i ja i j= + , e 3 2( )ij xB b= , em que 1 .ijb i j= + + a. Determine A + B.
b. Determine D = A B.
09.) Sejam 2 14 3
A
=
,
3 12 2
B
=
e 1 31 0
C
=
. Determine A + B + C.
10.) Resolva as seguintes equaes matriciais:
a.
3 111 3
5 2X
+ =
b. 2 3 4 14 1 0 3
X
=
11.) Determine a matriz X em 2 4 1 3 1 23 5 5 0 3 4
X
+ =
.
12.) Sejam as matrizes 7 9( )ij xA a= , em que 2ija i j= , e 7 9( )ij xB b= , em que ijb i j= + . Seja C A B= + , em que ij ij ijc a b= + . Determine os elementos:
a. 21c b. 63c
13.) Dada a matriz 1 11 38 5 2
A
=
, obtenha as matrizes:
a. 3.A b. 12
A
14.) Sejam as matrizes 3 21 54 3
A
=
e
0 13 2
1 5B
=
. Determine as seguintes matrizes:
a. 2A B+ b. 2A B
15.) Sejam as matrizes 2 1 01 2 2
0 5 4A
=
e 3 3( )ij xB b= , em que ijb i j= . Determine a matriz
1 A 42
B+ .
16.) Resolva a equao 1 2 3 1 1 02.X3 2 4 1 2 5
+ =
.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 10
17.) Dadas as matrizes 2 0 3 1 0 2, 1 1 0 1 1 0
A B e C
= = =
, determine a matriz X, tal
que 2 2A B X C+ = + .
18.) Sendo 1 23 4
A =
e
0 14 32 5
B
=
, determine:
a. 2 TA A+ b. TB
Respostas
01.) 11, , 6, 106
a b c d= = = =
02.) 3 , 2, 14
x y z= = =
03.) 3, 3p q= = 04.) no existe m real que satisfaa. 05.) 2m = 06.) 2, 4, 3m n p= = =
07.) a. 55 22
3 4 1
b. 7 7
3 1
c.
2 75 25 1
d. 159
08.) a. 6 98 11
10 13
b. 0 10 10 1
09.) 6 51 5
10.) a. 847
b. 6 24 4
11.) 2 55 9
12.) a. 21 6c = b. 63 18c =
13.) a. 3 33 924 15 6
b.
1 11 32 2 2
54 12
14.) a. 6 31 8
9 1
b. 3 47 92 13
15.)
71 82
7 1 32
138 22
16.) 3 302 2
11 22
X
=
17.) 7 54 1
18.) a. 4 22 16
b.
0 4 21 3 5
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 11
1.5 Multiplicao de Matrizes
Dadas duas matrizes
( )ij m x nA a= e p( )ij n xB b= , chama se o produto AB a matriz
( )ik m x pC c= tal que:
1 1 2 21
...
n
ij ij i j i k i k in nkj
c a b a b a b a b=
= = + + + para todo { }1,2,...,i m e todo
{ }1,2,...,k p . A definio garante a existncia do produto AB se, e somente se, o nmero de colunas de A
for igual ao nmero de linhas de B.
A B Cx x xColunas Linhas
pm pmn n
=
=
Vejamos um exemplo prtico:
Sejam as matrizes 1 2 35 1 23 2 1
A
=
e
2 14 02 3
B
=
faamos o produto AB conforme o
esquema abaixo.
2 14 02 3
1 2 3 1*2 2*4 3*2 1*( 1) 2*0 3*3 16 85 1 2 5*2 ( 1)*4 2*2 5*( 1) ( 1)*0 2*3 10 13 2 1 3*2 2*4 1*2 3*( 1) 2*0 1*3 16 0
+ + + +
+ + + + = + + + +
Ento o produto AB foi dado por 16 810 116 0
AB
=
obs.: Lembrar que o produto de matrizes, em geral, no comutativo, ou seja, AB BA .
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 12
Exemplos
E 06) Encontre a matriz X em AX = B, sendo 2 43 1
A
=
e 53
B
=
.
Soluo:
Temos que 2 2 2 1
2 4 5.
3 1 3x x
X
=
vemos que a Matriz X do tipo a
Xb
=
, da
2 2 2 1
2 4 5.
3 1 3x x
a
b
=
2 4 53 3a ba b
= + , donde resulta o sistema
2 4 53 3
a ba b
=
+ = cuja a
soluo 12
a = e 32
b = . Logo
12
32
X
=
E 07) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a i j= = + , e 3 8( ) 2ik xB b j k= = . Determine o elemento
35c , sendo que C A B= .
Soluo: Vejamos aqui que no necessrio montar as duas matrizes por completo. Para adquirir o
elemento 35c , basta usar a terceira linha de A e a coluna 5 de B.
31 32 33A a a a
=
= 4 5 6
; 15
25
35
31
1
bB b
b
= =
Assim 35 4 ( 3) 5 ( 1) 6 1 11c = + + =
35c = 11
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 13
1.6 Matriz Inversa (parte I) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A dita inversvel se existir uma matriz B tal que:
nA B B A I = = E neste caso B dita a inversa de A e denota-se por 1A . A Matriz inversa de A s ir existir
se, e somente se, det( ) 0.A (Determinante ser estudado no prximo capitulo).
Exemplos
E 08) Encontre a inversa da matriz 4 53 1
A
=
.
Soluo:
Devemos ter 4 5 1 03 1 0 1
a bc d
=
4 5 4 5 1 03 3 0 1a c b da c b d
= + + donde o sistema
4 5 1 1 3
3 0 19 19a c
a e ca c
= = =
+ = e tambm
4 5 0 5 4
3 1 19 19b d
b e db d =
= =+ =
Assim 11 5
1 5119 193 4 3 419
19 19
A
= =
E 09) Verifique se as matrizes 2 04 3
A =
e
1 022 13 3
B
=
so inversas, isto , 1B A=
Soluo:
Vamos fazer o produto AB.
1 2 11 2 0 2 0 002 0 1 02 3 322 14 3 1 2 1 0 14 3 4 0 33 3 2 3 3
+ +
= =
+
Como 1nAB I B A
= =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 14
Exerccios
01.) Determine os produtos.
a. 2 1 1 4 3 24 3 0 1 1 3
b.
4 3 1 12 5 0 2
02.) Sejam as matrizes 3 10 21 4
A
=
,
0 11 3
B
=
e 41
C =
. Determine, caso existir:
a. A.B
b. B.A c. A.C
d. BT.C e. B.AT
03.) Sejam as matrizes 4 1 5 30 2 0 14 3 2 51 3 0 8
A
=
e
10 65 32 4
1 8
B
=
. Se 4 2A B ( )ij xC c = = , determine
os elementos 12C e 41C .
04.) Calcule x e y em 2 4 13 5 3
x
y
=
.
05.) Sejam as matrizes 6 3( )ij xA a= , em que ija i j= + , e 3 4( )ik xB b= , em que 3 2ikb j k= . Sendo 6 4( )ik xC c= a matriz produto AB, determine o elemento 52C .
06.) Determine x e y a fim de que as matrizes 2 03 4
e
31x
y
comutem.
07.) Resolva a equao matricial 2 3 0 31 4 1 5
X
=
08.) Um fast-food de sanduches naturais vende dois tipos de sanduche, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades, em gramas, por sanduche:
Sanduche A Sanduche B queijo 18 g 10 g salada 26 g 33 g rosbife 23 g 12 g atum 0 16 g
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 15
Durante um almoo foram vendidos 6 sanduches do tipo A e 10 do tipo B. Qual foi a quantidade necessria de cada ingrediente para a preparao desses 16 sanduches?
09.) Sendo 1 23 4
A =
e
0 14 32 5
B
=
, resolva a equao T TA X B = .
10.) Resolva a equao A X B C + = , na qual 1 01 3
A
=
,
15
B
=
e 03
C =
.
11.) Resolva a equao A B X C = , se 1 0 32 1 4
A
=
,
1 04 1
0 2B
=
e 2 13 4
C
=
.
12.) O produto das matrizes 23 1
xA
=
e 1 10 1
B
=
uma matriz simtrica. Qual o
valor de x?
13.) (Vunesp Adaptado) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo cos( ) ( )( ) ( ) cos( )x sen x
A xsen x x
=
,
calcule A(x).A(x).
14.) Verifique se 3 / 5 2 / 51/ 5 1/ 5
a inversa de 1 21 3
.
15.) Determine, se existir, a inversa da matriz 2 1/ 24 1
.
16.) Seja 1 23 4
A
=
. Determine 10 1A .
17.) Sejam as matrizes 3 21 1
A =
e 0 13 4
B
=
. Determine:
a. 1A B + b. 1.A B
18.) A inversa de 32y
x
a matriz
45 1
x x
x
. Determine x e y.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 16
Respostas
01.) a. 2 7 5 14 19 15 17
b. 4 102 8
02.) a. 1 6
2 64 11
b.
c.
132
0
d. 1
7
e. 1 2 4
6 6 11
03.) a. 12 23C = b. 41 3C =
04.) 75
x = e 9
2y =
05.) 48 06.) 0x = e 3y =
07.) 3 6
11 119 7
11 11
X
=
08.) 208 g de queijo, 486 g de salada, 258 g de rosbife e 160 g de atum.
09.) 3 5 7
10 2 101 1 9
10 2 10
X
=
10.) 13
X
=
11.) 2 135 16
11 11X
=
12.) x = 1
13.) 1 (2 )(2 ) 1sen x
sen x
14.) sim inversa
15.) 1 14 8
112
16.) 4 23 1
17.) a. 1 14 7
b. 6 79 11
18.) x = 7 e y = 1
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 17
Captulo 02
Determinantes
2.0 Introduo Definio: Determinante um nmero real associado a uma matriz quadrada.
As aplicaes dos determinantes em matemtica esto associadas a: - Clculo da matriz inversa; - Resoluo de alguns tipos de sistemas lineares; - Clculo da rea de um tringulo, quando so conhecidas as coordenadas dos vrtices.
2.1 Determinante de 1 Ordem Dada uma matriz quadrada de ordem 1 Ordem 11[ ]M a= , seu determinante dado por:
11det( )M a= .
2.2 Determinante de 2 Ordem
Dada a matriz 11 1221 22
Ma a
a a
=
,por definio, temos que o determinante associado a essa
matriz dado por: 11 22 12 21det(M) a a a a= . Exemplo:
Sendo 2 34 5
M
=
, ento det( ) 2 5 4 3 2M = = .
Concluso: O determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 18
Exemplos
E 10) Calcular o valor dos determinantes:
a.
1 12 33 8
A = 1 18 3 4 1 32 3
= = det( ) 3A =
b. ( ) cos( )
cos( ) ( )sen x x
Bx sen x
=
2 2( ) ( ) ( cos( ) cos( )) ( ) cos ( ) 1sen x sen x x x sen x x = + =
det( ) 1B =
E 11) Calcular o valor de x, x , na igualdade:
a. 3 3
04 3x
x=
+
23 ( 3) 4 3 3 3 12 0x x x x + = + = donde tiramos que 41
x
x
=
=
2.3 Regra de Sarrus
Para determinantes de 3 ordem usaremos um dispositivo prtico conhecido como regra de Sarrus (l-se Sarr). O dispositivo consiste em: 1. Repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira; 2. Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direo da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais. Conservando o sinal dos elementos; 3. Multiplicamos os elementos da diagonal secundria de A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direo da diagonal secundria, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras diagonais, tambm trocando o sinal dos produtos; 4. Somamos todos os produtos obtidos nos passos 2 e 3.
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 19
Exemplo
E 12) Calcular o determinante da matriz 2 3 51 1 23 4 3
.
Soluo:
2 3 5 2 31 1 2 1 13 4 3 3 4
det( ) 32 10 22A = =
Exerccios
01.) Calcule:
a. 2 53 8
b. 3 25 1
c. 4 32 1
02.) Calcule o valor de 11 7 4 53 2 2 3
y
= +
.
03.) Resolva, em , a equao 24 3x x
x+
= .
04.) Resolva, em , a equao 3 2.1 1
x
x x=
+
05.) Resolva, em , a desigualdade
32 33
1 2 53 1
x
xx
x
.
06.) Calcule o valor de cada um dos determinantes.
a.
3 7 24 1 12 2 3
b. 1 1 12 1 14 3 3
6 18+ 20+ 32=
15+ 16 9 10=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 20
07.) Qual o valor de cada um dos seguintes determinantes:
a.
0 1 34 2 53 0 1
b. 2
1 11
1
a
a a
a a
08.) Sejam as matrizes 3 3( )ij xA a= , em que 1,
2,ijse i j
ase i j
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 21
16.) Calcule o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo. 1 2 14 9 46 7
Ax x
=
.
Respostas
01.) a. 1 b. -7 c. 10
02.) 1
03.) S = { 4 }
04.) S = {1, 5}
05.) 1|3
S x x =
06.) a. 105 b. 0
07.) a. 1 b. 3a a
08.)08.)08.)08.) 3
09.) { }| 1S x x= >
10.) a. 7 38 2
e ( 7 )
b. 1 ou 2
11.) a. {1}S = b. {0, 3, 3}S =
12.) 32
k =
13.) 10a =
14.) zero
15.) {2}S =
16.) x = 13
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 22
2.4 Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M quadrada e de
ordem n > 1, o determinante de ordem n 1, associado matriz obtida de M quando suprimimos a
linha e a coluna que passam por ija .
Exemplos
E 13) Dada a matriz 11 1221 22
a aM
a a
=
determine o menor complementar ao elemento 21a .
Soluo: 11 1221 22
a a
a a
suprimindo a linha e coluna do elemento 21a obtemos ento que o menor
complementar de 21a 12a
E 14) Obter o menor complementar ao elemento 12a da seguinte matriz 4 2
5 6M
=
.
Soluo: na matriz M o elemento 12a = 2, ento 4 2
5 6
encontramos 5 como menor
complementar ao elemento 12a .
E 15) Encontrar o menor complementar ao elemento 22a na matriz 2 0 13 1 21 1 2
M
=
.
Soluo: Suprimindo linha e coluna do elemento 22a , obtemos 2 0 13 1 21 1 2
a matriz 2 11 2
que
tem como determinante o valor 3 e, portanto, o menor complementar do elemento 22a igual a 3.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 23
2.5 Cofator Chamamos de cofator relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada de ordem n o
nmero ijA , tal que:
( 1)i jij ijA MC+=
Exemplos
E 16) Dada a matriz 3 21 0
A
=
determine os cofatores 11A e 21A .
Soluo: 1 111 ( 1) 0 0A += = 1 212 ( 1) 1 1A += =
E 17) Dada a matriz 4 1 23 1 02 3 1
M
=
determine o cofator 23A .
Soluo: 2 3234 1( 1) 1 (4 3 2 1) 142 3
A += = + =
23 14A =
2.6 Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n ) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando um j , tal que 1 j m :
1det
m
ij iji
M a A=
=
O teorema de Laplace se aplica a qualquer ordem de uma matriz quadrada, porm, para ordem 2 e 3 mais interessante aplicar regras anteriormente vistas. Esse teorema mais interessante ser aplicado quando a matriz possui um grande nmero de elementos iguais a zero em suas linhas ou colunas.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 24
Exemplos
E 18) Calcule o determinante da matriz
3 1 2 15 2 2 37 4 5 01 1 11 2
D
=
.
Soluo: Vamos escolher a 3 linha da matriz D. e usando o teorema de Laplace ento teremos:
31 32 33 347 4 ( 5) 0D A A A A= + + + Trocando pelos valores devidos temos:
431
1 2 1( 1) 2 2 3 9
1 11 2A
= =
, 5
32
3 2 1( 1) 5 2 3 20
1 11 2A
= = e 633
3 1 1( 1) 5 2 3 7
1 1 2A = =
no calculamos o 34A pois no h necessidade uma vez que ele est sendo multiplicado por zero.
7 9 4 20 ( 5) 7 108D = + + =
E 19) Qual o valor de
1 0 10 03 2 1 15 0 3 29 0 4 7
D
=
.
Soluo: Vamos escolher a segunda coluna, pois, ela apresenta um grande nmero de elementos com valor zero e isso facilita as contas.
12 22 32 42 220 ( 2) 0 0 2D A A A A A= + + + = Assim basta calcular apenas esse ltimo termo.
2 222
1 10 0( 1) 5 3 2 183
9 4 7A += =
, segue que ( 2) ( 183) 366D = =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 25
Exerccios
01.) Calcule os seguintes determinantes:
a.
3 4 2 15 0 1 20 0 4 01 0 3 3
b.
2 3 1 70 1 2 03 4 5 11 0 2 1
c.
1 1 5 10 3 2 10 0 7 10 0 0 4
02.) Calcule os seguintes determinantes:
a.
0 5 3 411 1 2 70 0 0 04 3 2 1
b.
0 10 1 0 0
01 0
a b
a a bb a
c.
1 00 1
0 0 0 21 1
x yy x
x y
03.) Resolva, em , a equao:
0 0 31 0 0
3.0 1 10 0 1 2
x
x
x
=
04.) Resolva, em , a equao:
2 0 1 21 2 1 3
790 0 1 13 1 2 0
x
=
.
05.) Calcule
2 2 3 4 20 1 0 0 0
.0 4 0 2 10 5 5 1 40 1 0 1 2
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 26
Respostas
01.) a. 208 b. 3 c. 84 02.) a. 0 b. 2 2a b+ c. 22 (1 )x y +
03.) 10,2
S =
04.) { }5S = 05.) 50
2.7 Propriedades dos Determinantes Em alguns casos, o clculo de determinantes pode ser simplificado como auxlio de algumas propriedades.
2.7.1 Fila Nula
Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) so nulos, o determinante dessa matriz tambm nulo.
Exemplos: a. 3 0 21 0 5 02 0 7
=
b.
4 9 8 50 0 0 0 01 1 2 33 4 1 1
=
2.7.2 Filas Paralelas iguais
Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo. Exemplo:
2 1 3 5
2 11 4 5 0
0
73 5
8 1 3
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 27
2.7.3 Filas Paralelas Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz so proporcionais, ento seu determinante nulo. Exemplo:
4 4 21 21
1 12 4 2 1 2 0
2 6 22
3 3 32
= =
2.7.4 Filas Paralelas com Combinaes Lineares
Se os elementos de uma fila de uma matriz so combinaes lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ento o seu determinante nulo. Exemplos:
a.
1 3 4 1 3 41 32 42 4 6 2 4 6 0
3 2 5 3 2 53 2
=
=
+
=
=
+ =
+
b. 3 4 1 3 4 11 2 3 1 2
2 3 13 0
7 10 5 7 10 52 4 2 2 1 3 + + += =
= = =
2.7.5 Teorema de Jacobi
O determinante de uma matriz no se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinao linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo:
1 2 32 1 2 92 4 3
=
1 2 2 2 3 5 2 32 1 2 1 2 4 1 2 92 4 2 4 3 10 4 3
+
+ = =
+
2.7.6 Matriz Transposta
O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais. Exemplo:
1 2 3det( ) 2 1 2 9
2 4 3A = =
1 2 2det( ) 2 1 4 9
3 2 3
TA = =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 28
2.7.7 Produto de uma fila por um escalar
Multiplicando por um nmero real todos os elementos de uma fila em um matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero. Exemplo:
1 2 32 1 1 43 2 1
= multiplicando a primeira coluna por 2 222
1 2 32 1 1 2 ( 4) 83 2 1
= =
2.7.8 Troca de filas paralelas
Quando trocamos as posies de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
2 1 1 43 2
1 2 3
1 = trocando-se a primeira linha com a segunda 1 2 3 4
3 2
2 1 1
1= +
2.7.9 Matriz Triangular
Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:
a. 3 22
41
0 00 4 ( 1) 8
1 7= =
b. 1
34
2 27 1 30
04 12
0
= =
2.8 Outras Propriedades
2.8.1 Teorema de Binet
Sejam duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, temos: det( ) det( ) det( )AB A B=
obs.: Como 1A A nI
= , pelo teorema acima, temos que:
1 1det( )det( )A A
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 29
2.8.2 Produto de um escalar por toda a matriz
Quando todos os elementos de uma matriz multiplicada por um escalar k o seu determinante fica multiplicado por nk , onde n a ordem da matriz.
Se k , ento det( ) det( )nk A k A = . Exemplo:
2 14 5
A =
det(A) = 6 6 3312 15
A =
det(3A) = 54
det( ) det( )nk A k A = 54 = 32. 6
Exerccios
01.) Se 12
x yz w
= , qual o valor de (diga qual a propriedade que usou):
a. x z
y w b.
22
x z
y w
02.) Se 3a b cd e fg h i
= , qual o valor de 6 6 66 6 66 6 6
a d gb e hc f i
?
03.) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det( ) 5A = e det( ) 3B = . Qual o valor de: a. det( )A B b. det( )T TB A c. det(2 )TA
Respostas
01.) a. 12
( det( ) det( )TA A= ) b. 1 ( prop 2.7.7 e 2.7.6)
02.) 36 ( 3) 648 = 03.) a. 15 b. 15 c. 40
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 30
2.9 Regra de Chi A regra de Chi nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n 1, de igual determinante. Para que a regra seja aplicada, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1 e de preferncia na posio 11a .
Exemplos
E 20) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante da seguinte matriz:
5 2 2 1 2 3 3 2 0 1 5 35 1 3
1 ( 3) 2 2 ( 3) 3 5 ( 3) 0 7 11 51 2 5
6 ( 4) 2 7 3 ( 4) 2 0
2 3
( 4) 2 19 26 7 2
0234
1Chi
= =
Aplicando a regra
novamente, temos:
11 7 ( 5) 5 7 ( 3) 46 2611 5 386
19 2( 5) 2
5
2 ( 3) 29 8
31
12 27
9
= = =
E 21) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de:
1 27 4
2
31
0 3 Vamos trocar a segunda com a primeira linha e em seguida aplicarmos a Regra de Chio.
7 3 2 4 3 ( 1) 1 7 ( 19) 193 0 2 2 0 (
1 2
1)3 27 4 30 2
1
3
= = = =
E 22) Calcule, usando a regra de Chio, o determinante de: 2 2 2 22 2 2 32 2 3 32 3 3 3
Temos que dividir toda a primeira coluna por 2, da:
2 2 20 0 1
2 2 30 1 1 ( 1) 2
2 3 31 1 1
3 3
11
2 2
311
Chi = = =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 31
Exerccios
01.) Calcule, usando a regra de Chi:
a.
1 2 31 4 7
0 3 2 b.
1 0 0 05 4 3 21 3 2 00 1 0 1
c.
0 1 3 03 5 1 11 4 0 00 2 1 1
02.) Calcule, usando a regra de Chi:
a.
3 3 34 5 61 0 2
b.
5 3 2 00 2 4 62 4 2 82 0 3 0
c.
4 2 116 3 9
7 1 5
03.) Mostre que ( )( )( ).
a a a a
a b b ba b a c b d c
a b c ca b c d
=
04.) Resolva a equao 21 2 1
0 2.3 7 4x x =
Respostas
01.) a. 18 b. 21 c. 55
02.) a. 3 b. 460 c. 87
03.) Demonstrao
04.) {2, 1}S =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 32
A1 Apndice Capitulo 02 - Matriz Inversa (parte II)
Com vimos anteriormente, a matriz M, de ordem n, admite inversa se, e somente se,
det(M) 0 . Sua inversa representada por 1M . Para o clculo da inversa usaremos o seguinte teorema.
1 1M Mdet(M)
= onde M a matriz adjunta.
Calculamos a inversa conforme a ordem: a. O determinante de M. b. A matriz M, chamada matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo
respectivo cofator.
c. A matriz M , chamada matriz adjunta que a transposta de M. M (M ')T=
d. A inversa 1M , multiplicando M por 1det( )M .
Exemplos
E 23) Obter a matriz inversa de 4 111 3
M
=
.
Resoluo: Seguindo os passos corretos temos: a. O det (M) = 12 11 = 1
b. M = 1 1 1 2
2 1 2 2
( 1) 3 ( 1) 11( 1) 1 ( 1
3 1114 4)
+ +
+ +
=
c. 13(
1')
1 4TM M
= =
d. 13 1 3 11 111 4 11 4det( ) 1M MM
= = =
1 3 111 4
M
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 33
E 24) Calcular a inversa da matriz 1 2 10 3 20 0 1
.
Resoluo:
a. det( ) 3M =
b.
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
3 2 0 2 0 3( 1) ( 1) ( 1)0 1 0 1 0 02 1 1 1 1 2
' ( 1) ( 1) ( 1)0 1 0 1 0 02 1 1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1)3 2 0 2 0 3
M
+ + +
+ + +
+ + +
=
=
3 0 02 1 0
1 2 3
c.
3 2 1( ') 0 1 2
0 0 3
TM M
= =
d. 13 2 1 1 2 / 3 1/ 3
1 1 0 1 2 0 1/ 3 2 / 3det( ) 3
0 0 3 0 0 1M M
M
= = =
Exerccios
01.) A inversa da matriz 4 31 1
?
02.) Dada a matriz 1 00 1
M
=
, determinar o nmero real tal que 1M M M+ = .
03.) (MACK) Seja a bAc d
=
com ad bc , determine 1A .
04.) Sejam 1 21 4
A =
e 2 1
Bx y
=
duas matrizes. Se B a inversa de A, ento qual o valor
de x + y.
05.) Se 2 1Ax x
=
, ento o nmero de valores de x tais que 13 00 3
A A + =
:
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 34
Respostas
01.) 1 31 4
02.) = 2
03.) 1 d bc aad bc
04.) 0 05.) 1
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 35
Captulo 03
Sistemas Lineares
3.0 Equao Linear
toda equao da forma: 1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = onde a1, a2, a3, ..., an so nmeros reais que recebem o nome de
coeficientes das incgnitas X1, X2, ..., Xn e b um nmero real chamado termo independente.
Observao: Quando b = 0 a equao recebe o nome de linear homognea.
Exemplos:
So Lineares:
1) 3 2 4 72) 3 7 0 (homognea)3) 3 8
x y z
x y z txy z t
+ =
+ =
+ =
3.1 Sistema Linear
Um conjunto de equaes lineares da forma:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + = + + + + = + + + + =
um sistema linear de m equaes e n incgnitas.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 36
3.2 Soluo do sistema linear
Chamamos de soluo do sistema a n-upla de nmeros reais ordenados 1 2 3( , , ,..., )nr r r r que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.
3.3 Matrizes Associadas A Um Sistema Linear
3.3.1 Matriz Incompleta
a matriz A, formada pelos coeficientes das incgnitas do sistema.
Exemplo:
Em relao ao sistema:
2 3 04 72 4
x y zx y zx y z
+ =
+ + =
+ + =
a matriz incompleta : 2 3 14 1 12 1 1
A
=
3.3.2 Matriz Completa
a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos matriz incompleta uma ltima coluna formada pelos termos independentes das equaes do sistema. Exemplo:
2 3 04 72 4
x y zx y zx y z
+ =
+ + =
+ + =
a matriz completa 2 3 14 1 12 1 1
074
B
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 37
3.4 Sistemas Homogneos
O sistema:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
1 1 2 2 3 3
... 0
... 0...
... 0
n n
n n
m m m mn n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
+ + + + = + + + + = + + + + =
homogneo, pois os termos independentes de todas as equaes so nulos.
2 3 04 02 0
x y zx y zx y z
+ =
+ + =
+ + =
3.4.1 Solues de um sistema homogneo
A n-upla (0, 0, ..., 0) sempre a soluo de um sistema homogneo com n incgnitas e recebe o nome de soluo trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-triviais.
3.4.2 Classificao de um sistema quanto ao nmero de
solues
1) O sistema: 8
2 1x yx y+ =
=
Tem uma nica soluo: o par ordenado (3,5). Nessas condies o sistema possvel
(tem soluo) e determinado (soluo nica).
2) O sistema: 8
2 2 16x yx y
+ =
+ = Verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4)... So
algumas das solues. Nessas condies, o sistema possvel e indeterminado (infinitas solues).
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 38
3) Dado o sistema: 1010
x yx y+ =
=
Vemos que nenhum par ordenado faz parte da soluo desse sistema. Nessas
condies, o sistema impossvel (no tem soluo).
determinadoindeterminado
SPDpossvel
sistema SPISIimpossvel
=
=
=
3.5 Teorema de Cramer
Considere um sistema linear onde o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas. Teremos ento uma matriz quadrada A e seja D = det(A). Teorema.
Seja S um sistema linear com o nmero de equaes igual ao de incgnitas. Se 0D , ento o sistema ser possvel e ter soluo nica 1 2 3( , , ,... )n , tal que:
ii
DD
= {1, 2,3,..., }i n
Exemplos
E 25) Seja o sistema: 64
2 1
x y zx y z
x y z
+ + =
=
+ =
temos
1 1 11 1 1 4 02 1 1
D = =
, logo h uma nica soluo.
1
6 1 14 1 1 4
1 1 1D = =
2
1 6 11 4 1 122 1 1
D = = 3
1 1 61 1 4 82 1 1
D = =
logo: 1 4 14
Dx
D
= = =
; 212 34
DyD
= = =
3 8 24
Dz
D
= = =
Portanto a soluo nica desse sistema (1, 3, 2)
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 39
E 26) Em um sistema 2x2:
82 1x yx y+ =
=
temos 1 1
32 1
D = =
1
8 19
1 1D = =
2
1 815
2 1D = =
1 9 33
Dx
D
= = =
2 15 53
DyD
= = =
Temos a soluo o par (3, 5)
Exerccios
01.) Resolver os sistemas pela regra de Cramer.
a. 4 0
3 2 5x yx y
=
+ = b.
2 23 3
x yx y
=
+ = c.
3 12 3 1
4 2 7
x y zx z
x y z
+ =
+ = + =
d. 5
2 4 43 2 3
x y zx y zx y z
+ =
+ + = + =
e.
12 2
02 2 1
x y z tx y z
x y z tx z t
+ + + =
+ =
+ = + + =
f.
12 2
2 13 2 0
x y z tx y z
x y z tx y z t
+ + + =
+ + =
=
+ + =
02.) (MAPOFEI) Resolver, aplicando a regra de Cramer, o seguinte sistema:
12 3 3 2
1
x yx y z
x z
+ =
+ = + =
03.) Se (x,y) a soluo de 2 54 2x y
x y+ =
=
ento o valor de x + y vale?
04.) Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e a + c = 1500, ento a + b + c vale?
05.) No sistema 2 3 13 3 8
2 0
x y zx y z
y z
+ + =
+ = + =
o valor de z xy :
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 40
Respostas
01.)
a. 12,2
b. 3 4,
5 5
c. ( )1,1, 1 d. ( )2,3,0 e. 1 114, , , 22 2
f. ( )0,0,2, 1
02.) (1,2,2)
03.) 3
04.) 1900 05.) 3
3.5 Discusso De Um Sistema Linear
Vimos que um sistema pode ser classificado da seguinte forma:
determinadoindeterminado
SPDpossvel
sistema SPISIimpossvel
=
=
=
Exemplos
E 27) Considere o sistema:
2 92 3
3 2 4
x y zx y z
x y z
+ + =
+ =
=
escalonando o sistema chegamos 2 9
52 4
x y zy z
z
+ + =
+ =
=
O sistema agora na forma escalonada e com o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas, segue-se que possvel e determinado (SPD). (1,3,2)
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 41
E 28) Considere o sistema
3 13 3 2 02 2 4
x y z tx y z tx y z t
+ + =
+ + + = + + =
escalonando o sistema chegamos 3 1
10 37 4 2
x y z tz t
y z t
+ + =
=
+ =
O sistema agora na forma escalonada e com o nmero de equaes menor que o de incgnitas, segue-se que possvel e indeterminado.(SPI)
E 29) Considere o sistema
43 2 0
5 5 4
x y zx y zx y z
+ =
+ + = + + =
escalonando o sistema chegamos 4
5 2 1210 4 24
x y zy zy z
+ =
=
=
Esse novo sistema equivalente a 4
5 2 120 0 0
x y zy z
y z
+ =
= + =
pois a terceira linha proporcional segunda.
O sistema ento fica com o nmero de equaes menor que o de incgnitas, segue-se que possvel e indeterminado. (SPI)
E 30) Considere o sistema
4 83 15
10 12 7
x yx yx y
+ =
=
=
escalonando o sistemas chegamos 4 8
13 390 69
x yy
y
+ =
=
=
O sistema ento no haver soluo, pois, nenhum valor para y satisfaz a terceira equao. O
sistema impossvel (SI).
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 42
Exerccios
01.) Escalonar, classificar e resolver os sistemas:
a.
2 12
2 2
x y zx y z
x y z
=
+ + =
+ =
b. 2 1
2 3 22 2 0
x y zx y t
x y z t
+ =
+ =
+ =
c.
3 2 23 5 4 4
5 3 4 10
x y zx y z
x y z
+ + =
+ + = + + =
d. 1
3 2 22 3 2 1
x y z tx y z t
x y z t
+ + =
+ =
+ + =
e.
11
2 22 1
x y z tx y z t
y z tx z t
+ + + =
+ + =
+ = + =
f. 2 3 5
2 5 2 33 2
x y zx y zx y z
=
+ + =
+ =
Respostas
01.) a. SPD (-11, -6, -3) b. SPI c. SI d. SPI e. SPD (-1/5, 1, -1/5, 2/5) f. SI
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 43
Captulo 04
Vetores
4.0 Vetores
Vetores so representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como flechas nos espaos bi e tridimensionais. Se o ponto inicial de um vetor v A e o ponto final B, ento escrevemos:
v AB=
4.0.1 Soma de Vetores
Regra do paralelogramo Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma v + w representado na figura a seguir.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 44
4.0.2 Vetor Oposto
Se v um vetor no nulo ento chamamos de oposto de v o vetor v. Esse vetor tem a propriedade.
( ) 0v v+ =
4.0.3 Produto Por Um Escalar
Dado um vetor 0v e um nmero real 0k , chama-se produto do nmero real k pelo vetor
v o vetor p = kv, tal que:
a) mdulo: p kv k v= = b) direo: a mesma de v
c) sentido: o mesmo de v se k > 0contrrio de v se k < 0
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 45
4.1 Vetores Em Sistemas De Coordenadas
4.1.1 Vetores no 2
O conjunto 2 {( , ) | , }x y x y= = interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy. Seja v qualquer vetor no plano e suponha que v tenha sido posicionado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. As coordenadas 1 2( , )v v do ponto final de v so chamadas componentes de v e escrevemos como 1 2( , )v v v= .
4.1.1.1 Igualdade e Operaes
IGUALDADE:
Dois vetores 1 1( , )u x y= e 2 2( , )v x y= so iguais se, e somente se 1 2x x= e 1 2y y= e escreve-se u = v.
Exemplo
E 31) Se o vetor u = (x + 1,4) igual ao vetor v = (5, 2y 6) quais os valores de x e y?
Pela definio de igualdade temos x + 1 = 5 x = 4 e 2y 6 = 4 y = 5.
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 46
ADIO EM TERMOS DE COMPONENTES:
Considere dois vetores 1 1( , )u x y= e 2 2( , )v x y= a soma desses vetores dada por:
1 2 1 2( , )u v x x y y+ = + +
Exemplo
E 32) Seja u = (2, 3) e v = ( -5, 1) vetores em 2 . Calcule a soma u + v.
(2 5,3 1) ( 3, 4)u v+ = + = ( 3, 4)u v+ =
MULTIPLICAO POR UM ESCALAR:
Seja v um vetor ( , )v x y= e k um escalar representamos o vetor kv por:
( , ) ( , )kv k x y kx ky= =
Exemplos
E 33) Seja u = (2, 3) e k = 3 o vetor ku ser representado por 3.(2,3) = (6,9)
E 34) Considere v = ( -1, 4) e k = 5 o vetor kv ser representado por:
5. (-1,4) = (5, - 20).
E 35) Seja 27
k = e v = ( -1,-1) calcule o vetor .k v .
2 2 2( 1, 1) ,7 7 7
=
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 47
4.1.2 Vetores no 3
O conjunto 3 {( , , ) | , , }x y z x y z= = interpretado geometricamente como sendo o espao cartesiano tridimensional Oxyz.
Da mesma forma que fazemos para o plano, consideramos geralmente vetores representados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condies, cada vetor do espao determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y,z) individualiza o vetor v OP=
e escreve-se:
V = (x, y, z)
A origem do sistema O(0,0,0) representa o vetor nulo. O vetor oposto de v = (x,y,z) o vetor v = (-x,-y,-z). Assim tambm temos que:
I) Dois vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = so iguais se, e somente se
1 1 2 2 3 3 u v e u v e u v= = = .
II) Dados os vetores 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = e , define-se: i. 1 1 2 2 3 3( , , )u v u v u v u v+ = + + +
ii. 1 2 3( , , )u u u u =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 48
Exemplos
E 36) Calcule a soma v + u, sendo u = (3,0,2) e v = (-2, -9, 8). Resoluo:
u + v = (3+(-2), 0 + (-9), 2 + 8) = ( 1, -9, 10) (1, 9,10)u v + =
E 37) Seja 2 = e dado o vetor (1, 6,5)v = Calcule v. Resoluo:
v = 2. (1, 6,5) = (2.1,2.(-6),2.5) = (2, -12, 10) v (2, 12,10) =
E 38) Seja 27
k = e v = ( -1,-1, -1) calcule o vetor .k v .
Resoluo:
.k v = ( )2 1, 1, 17
=
2 2 2, ,
7 7 7
4.2 Componentes de um Vetor
s vezes um vetor ( 2 ou 3 ) no est posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o vetor 1 2v PP=
:
Em 2 como ponto inicial 1 1 1( , )P x y= e ponto final em 2 2 2( , )P x y= , ento:
1 2 2 1 2 1( , )v PP x x y y= =
Em 3 como ponto inicial 1 1 1 1( , , )P x y z= e ponto final em 2 2 2 2( , , )P x y z= , ento:
1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v PP x x y y z z= =
-
Elementos para lgebra Linear
2 Ano Licenciatura em Matemtica 49
Exerccios
01.) Considere os seguintes vetores u = (9,3), w = (-1, 3, 4), v = (2,-5), p = (3,-2,-1), q = (2,0), t = (3,4) e m = (3,0,-2).
Calcule: a. v + u
b. w p c. 4.t + 3.q
d. u t e. 3.(q+u) 2(v + t) f. m + p
02.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 2 do exerccio 1.
03.) Em um sistema cartesiano de coordenadas esboce os vetores 3 do exerccio 1.
04.) Encontre os componentes do vetor de ponto inicial 1u e ponto final 2u .
a. 1 2(4,8), (3,7)u u b. 1 2(3, 5), ( 4, 7)u u c. 1 2(0,0), ( 3,1)u u d. 1 2(4,8,2), (3,7, 1)u u e. 1 2(3, 7, 2), ( 2,5, 1)u u
Respostas
01.) a. (11, -2), b. (-4, 5,5), c. (18,16), d. (6,-1), e. (23,11), f. (6,-2,-3)
02.) desenho individual
03.) desenho individual
04.) a. (1,1), b. (7,2), c. (3,1), d. (1,1,3) e. (5,12,3)
-
Elementos para lgebra Linear
50
4.3 Norma de um Vetor
O comprimento de um vetor u muitas vezes chamado de norma de u e denotado por u .
4.3.1 Em 2
A norma do vetor u pode ser calculada aplicando o teorema de Pitgoras.
2 21 2( ) ( )u u u= +
4.3.2 Em 3
A norma do vetor u pode ser aplicada usando o teorema de Pitgoras duas vezes chegando ao resultado final como:
2 2 2u x y z= + +
-
Elementos para lgebra Linear
51
Exemplo
E 39) Calcule a norma dos vetores nos seguintes casos:
a. v = ( 2, -3 ) 2 22 ( 3) 4 9 13v = + = + =
b. v = (-3, 5, 2) 2 2 2( 3) 5 2 9 25 4 38v = + + = + + =
4.4 Distncia
Como, em 2 , 1 2 2 1 2 1( , )v P P x x y y= =
o clculo da distncia ser dado por:
2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y= +
Em 3 , 1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v P P x x y y z z= =
o clculo da distncia ser dado por: 2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z= + +
Exemplo
E 40) Calcule a distncia d entre os pontos: 1 (2, 1, 5)P = e 2 (4, 3,1)P = 2 2 2(4 2) ( 3 1) (1 5) 44 2 11d = + + + + = =
4.5 Aritmtica Vetorial
O seguinte teorema aborda as mais importantes propriedades de vetores nos espaos bi e tridimensionais.
TEOREMA: Se u, v e w so vetores de um espao bi ou tridimensional e k e l so escalares, ento valem as seguintes relaes.
a. u + v = v + u
b. (u + v) + w = u + (v+w) c. u + 0 = 0 + u
d. u + (-u) = 0
e. k(lu) = (kl)u f. l(u+v) = lu + lv g. (k + l)v = kv + lv h. 1.u = u
-
Elementos para lgebra Linear
52
Exerccios
01.) Encontre a norma de v a. v = (4, -3) b. v = (2,3) c. v = (-5, 0)
d. v = (2,2,2) e. v = (-7,2,-1) f. v = (0,6,0)
02.) Encontre a distncia entre 1P e 2P . a. 1 2(3, 4), (5,7)P P b. 1 2( 3,6), ( 1, 4)P P
c. 1 2(7, 5,1), ( 7, 2, 1)P P d. 1 2(3,3,3), (6,0,3)P P
03.) Sejam u = ( 2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3,6,-4). Calcule o pedido: a. u v+
b. u v+
c. 2 2u u +
d. 3 5u v w +
e. 1
.ww
f. 1 .ww
04.) Seja v = (1, 2,5). Encontre todos os escalares k tais que 4kv = 05.) Sejam u = (7, 3, 1), v = (9,6,6), w = (2,1,8), k = 2 e l = 5. verifique que estes vetores e
escalares satisfazem as seguintes identidades do teorema da aritmtica vetorial.
a. Parte (b) b. Parte (e)
c. Parte (f) d. Parte (g)
06.) Mostre que se w qualquer vetor no nulo, ento 1 .ww
um vetor unitrio
Obs.: Vetor unitrio todo vetor que possui norma igual a 1.
-
Elementos para lgebra Linear
53
Respostas
01.) a. 5, b. 13 , c. 5, d. 2 3 , e. 3 6 , f. 6 02.) a. 13 , b. 2 26 , c. 209 , d. 3 2
03.) a. 83 , b. 17 26+ , c. 4 17 , d. 466 , e. 3 6 4, ,61 61 61
, f. 1
04.) 4 2 301530
k = =
05.) e 06.) demonstrao
4.6 Produto Escalar
Sejam u e v dois vetores no-nulos nos espaos bi e tridimensionais e suponha esses vetores posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam. Esses vetores formam
um ngulo entre si tal que 0 pi .
DEFINIO: Se u e v so vetores em 2 3 ou e o ngulo entre eles, ento o produto escalar ou produto interno ser definido por:
cos 0 00 0 0u v se u e v
u vse u ou v
=
= =
-
Elementos para lgebra Linear
54
Exemplo
E 41) Sejam os vetores u = (0,0,1) e w = (0,2,2) calcule o produto interno deles sendo considerado 045 o ngulo entre eles.
( ) ( )2 2 2 2 2 2 00 0 1 0 2 2 .cos(45 )v w = + + + + 2u w =
4.7 Produto Escalar em Termos de Componentes
Sejam 1 2 3 1 2 3( , , ) e ( , , )u u u u v v v v= = dois vetores no-nulos e o ngulo entre eles. Obs.: O produto escalar pode ser denotado como u v ou tambm pela forma ,u v< >
Pela lei dos co-senos temos que: 2 2 2 cos( )PQ u v u v = +
e como PQ v u=
, podemos escrever
que:
2 2 21cos( ) ( )
2u v u v v u = +
Simplificando a expresso temos 2 2 21 ( )2
u v u v v u = + e substituindo os valores
2 2 2 21 2 3u u u u= + + ,
2 2 2 21 2 3v v v v= + + e
2 2 2 21 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )v u v u v u v u = + + +
chegamos a:
1 1 2 2 3 3. . .u v u v u v u v = + +
de demonstrao anloga para 2 temos o produto escalar dado por:
1 1 2 2. .u v u v u v = +
-
Elementos para lgebra Linear
55
Exemplos
E 42) Sejam u = (3,1), v = (2,2) e w = (9,3) calcule: a.
Resoluo: 3.2 + -1.2 = 6 2 = 4 b.
Resoluo < (5,1), (9,3)> = 5.9 + 1.-3 = 45 + (3) = 42 c.
Resoluo
2.9 + 2.(3) = 18 + (6) = 12
E 43) Considere u = (1,2,3) e v = (2,2,2). Calcule o produto escalar entre eles. Resoluo:
= 1.2 + 2.2 + 3.2 = 2 + 4 + 6 = 8
E 44) Sejam v = (a,b) e w = (p,q) calcule o produto interno entre eles. Resoluo:
= a.p + b.q
4.8 ngulo Entre Vetores
Considere dois vetores u e v em 2 3 ou ambos. Como podemos escrever o produto
interno deles como sendo cos( )u v u v = ento podemos isolar o cos( ) ficando com:
cos( ) u vu v
=
Obs. Para encontrar o ngulo devemos usar a funo arccos ( a funo 1cos de sua calculadora cientfica)
-
Elementos para lgebra Linear
56
Exemplo
E 45) Considere os vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, 1, 2). Determine o ngulo entre u e v. 2.1 ( 1).1 1.2 1
cos( )26. 6
u v
u v + += = =
e portanto 01arccos 602
=
TEOREMA: Sejam u e v vetores em 2 3 ou : a) 2v v v = b) se os vetores so nonulos e o ngulo entre eles, ento
, 0 , 0 , 0
agudo se e somente se u v obtuso se e somente se u v reto se e somente se u v
>
= =
Exemplo
E 47) Calcule o valor de k para que o produto escalar entre u = (k, 2) e v = (3,1) seja zero. Resoluo:
= k.3 + 2.1 = 0 3k + 2 = 0 23
k =
E 48) Sabe-se que os vetores u = (1,-2,-1) e w = (k, -2k ,0) so ortogonais. Determine o valor de k.
Resoluo: = 1.k + (-2).(-2k) + (-1).0 = k + 4k + 0 = 0 5k = 0 k = 0
-
Elementos para lgebra Linear
58
4.10 Projeo Ortogonal
Se u e a (vetores) so posicionados com seus iniciais coincidindo com um ponto Q, podemos decompor o vetor u baixando uma perpendicular da ponta de u para a reta ao longo
de a e construmos o vetor 1w de Q ao p desta perpendicular. Em seguida tomamos a diferena 2 1w u w= .
O vetor 1w chamado projeo ortogonal de u sobre a, denotado por:
aproj u
TEOREMA: Se u e a so vetores em 2 3 ou e se 0a , ento:
1 2 ( )au a
w proj u a componente vetorial de u ao longo de aa
= =
2 2 ( )au a
w u proj u u a componente vetorial de u ortogonal de aa
= =
Exemplo
E 49) Sejam u = (2, -1, 3) e a = (4, -1, 2). Encontre 1 2 e w w .
1 2 2 2 22.4 ( 1).( 1) 3.2 15(4, 1,2) (4, 1,2)
4 ( 1) 2 21au a
w proj u aa
+ += = = =
+ +
120 5 10
, ,
7 7 7w
=
220 5 10 6 2 11(2, 1,3) , , , ,7 7 7 7 7 7
w
= =
26 2 11
, ,
7 7 7w
=
obs.: Fazendo o produto escalar entre esses vetores obtemos 1 2, 0w w< >= , pois 1 2w w .
-
Elementos para lgebra Linear
59
Exerccios
01.) Encontre < u, v > a. u = (2,3), v = (5, 7) b. u = (6, 2), v = (4, 0)
c. u = (1, 5, 4), v = (3,3,3) d. u = (2, 2,3), v = (1,7,4)
02.) Em cada parte do exerccio 1 encontre o co-seno do ngulo de entre u e v. 03.) Determine se u e v fazem um ngulo agudo, obtuso ou so ortogonais.
a. u = (6,1,4), v = (2,0,3) b. u = (0,0,-1), v = (1,1,1)
c. u = (6,0,4), v = (3,1,6) d. u = (2,4,-8), v = (5,3,7)
04.) Encontre a projeo ortogonal de u em a. a. u = (6,2), a = (3, 9) b. u = (1,2), a = (2,3)
c. u = (3,1,7), a = (1,0,5) d. u = (1,0,0), a = (4,3,8)
05.) Em cada parte do exerccio 4, encontre o componente vetorial u ortogonal a a ( 2w ).
06.) Sendo definido como | ||| ||au aproj u
a
= o comprimento da projeo ortogonal de u ao
longo de a. Calcule aproj u . a. u = (1, -2), a = (-4,-3) b. u = (5,6), a = (2,-1)
c. u = (3,0,4), a = (2,3,3) d. u = (3,-2,6), a = (1,2,-7)
07.) Sejam u = (5,2,1), v = (1,6,3) e k = -4. Verifique o Teorema da pgina 19 para estas condies.
08.) (a) Mostre que v = (a,b) e w = (-b,a) so vetores ortogonais. (b) Use o resultado da parte (a) para encontrar dois vetores ortogonais a (2, 3)v =
09.) Sejam u = (3,4), v = (5,1) e w = (7,1). Calcule as seguintes expresses. a.
-
Elementos para lgebra Linear
60
13.) Sejam p = (2,k) e q = (3,5). Encontre k tal que: a. p e q so paralelos
b. p e q so ortogonais
c. o ngulo entre p e q de 3pi
d. o ngulo entre p e q de 4pi
Respostas
01.) a. -11 b. -24 c. 0 d. 0
02.) a. 1113 74
b. 310
c. 0 d. 0
03.) a. ortogonal b. Obtuso c. Agudo d. Obtuso
04.) a. (0,0) b. 8 12,13 13
c. 16 80
,0,13 13
d. 16 12 32, ,89 89 89
05.) a. (6,2) b. 21 14,13 13
c. 55 11
,1,13 13
d. 73 12 32, ,89 89 89
06.) a. 25
b. 4 55
c. 1822
d. 4354
07.) Demonstrao 08.) a. = a.(-b) + b.a = 0 b. demonstrao 09.) a. 102 b. 125 2 c. 170 d. 170 10.) Demonstrao
11.) 1 2 310 3 10
cos ,cos ,cos 010 10
= = =
12.) Demonstrao. O ngulo reto est em B.
13.) a. 103
b. 65
c. 60 34 3
33 +
d. 12
-
Elementos para lgebra Linear
61
4.11 Produto Vetorial
O produto vetorial aplicado apenas por vetores em 3R e cujo o resultado um vetor.
Definio: Se 1 2 3( , , )u u u u= e 1 2 3( , , )v v v v= so vetores em 3R , ento o produto vetorial u v (ou ento u v ) o vetor definido por:
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ,
u u u u u uu v
v v v v v v
=
Exemplo
E 50) Encontre u v sendo u = (1,2,-2) e v = (3,0,1) 2 2 1 2 1 2
, ,
0 1 3 1 3 0u v
=
(2, 7, 6)u v =
Obs.: O produto escalar um escalar e o produto vetorial um vetor.
4.12 Relaes Entre Os Produtos
Se u, v e w so vetores em 3R , ento:
a. ( ) 0u u v = b. ( ) 0v u v = c. ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w =
4.12.1 u v perpendicular a u e a v
Considere os vetores u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), vimos que (2, 7, 6)u v = Ento ( ) 1.2 2.( 7) ( 2).( 6) 0u u v = + + =
( ) 3.2 0.( 7) 1.( 6) 0v u v = + + =
-
Elementos para lgebra Linear
62
4.13 Vetores Unitrios Cannicos
Considere os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) estes vetores tm, cada um, comprimento 1 e esto sobre os eixos coordenados. Eles so chamados vetores unitrios
cannicos do espao tridimensional. Cada vetor 1 2 3( , , )u u u u= pode ser expressos em termos de i, j e k.
1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)u u u u u u u u i u j u k= = + + = + +
Por exemplo, o vetor v = (3,2,4) pode ser escrito como 3i 2j + 4k.
4.14 Produto Vetorial em Formato de Determinante
O produto vetorial ser representado simbolicamente por um determinante 3x3 na forma:
1 2 3
1 2 3
i j ku v u u u
v v v
=
Exemplo
E 51) Se u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), Calcule u v .
Resoluo: 1 2 2 2 7 63 0 1
i j ku v i j k = =
-
Elementos para lgebra Linear
63
4.15 rea de um Paralelogramo
Se u e v so vetores em 3R , ento || u v || igual a rea do paralelogramo determinado por u e v.
Exemplo
E 52) Calcule a rea do paralelogramo formado pelos vetores u = (1,2,2) e v = (3,0,1). Resoluo:
1 2 2 2 7 63 0 1
i j ku v i j k = = ||u v || = 2 2 22 ( 7) ( 6) 4 49 36 89+ + = + + =
4.16 rea de um Tringulo
Considere trs pontos no plano tridimensional 1 2 3, P P e P como sendo
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ), ( , , ) ( , , )P x y z P x y z e P x y z= = = e tomando 1 2PP
e 1 3PP
a rea do tringulo
formada por esses vetores ser dada por:
1 2 1 312
A PP PP=
Exemplo
E 53) Encontre a rea do tringulo determinado pelos pontos 1 (2,2,0)P = , 2 ( 1,0, 2)P = e
3 (0, 4,3)P = . Resoluo:
1 2 ( 3, 2,2)PP =
e 1 3 ( 2, 2,3)PP =
. Segue que 1 2PP
x 1 3PP
= ( -10, 5, -10) e
|| 1 2PP
x 1 3PP
|| = 15 e, portanto, para o clculo de sua rea temos 1 2 1 3
12
A P P P P=
o que se chega a 1 15 ( . )2
A u a=
-
Elementos para lgebra Linear
64
4.17 Produto Misto
DEFINIO: Se u, v e w so vetores no espao tridimensional ento ( )u v w chamado produto misto de u, v e w.
O produto misto de 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= pode ser calculado atravs do determinante:
Exemplo
E 54) Calcule o produto misto ( )u v w dos vetores u = 3i 2j 5k, v = i + 4j 4k e w = 3j + 2k. Resoluo:
3 2 5( ) 1 4 4 49
0 3 2u v w
= =
TEOREMA: Se os trs vetores 1 2 3( , , )u u u u= , 1 2 3( , , )v v v v= e 1 2 3( , , )w w w w= tm o mesmo ponto inicial, ento eles ficam em um mesmo plano se, e somente se,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( )u u u
u v w v v v
w w w
=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) 0u u u
u v w v v v
w w w
= =
-
Elementos para lgebra Linear
65
Exerccios
01.) Sejam u = (3,2,1), v = (0,2,3) e w = (2,6,7). Calcule: a. v w b. ( )u v w c. ( )u v w
d. ( ) ( )u v v w e. ( 2 )u v w f. ( ) 2u v w
02.) Encontre um vetor que ortogonal a ambos u e v. a. u = (6, 4, 2), v = (3, 1, 5) b. u = (-2, 1, 5), v = (3, 0, -3)
03.) Encontre a rea do paralelogramo determinado por u e v. a. u = (1, 1, 2), v = (0,3,1) b. u = (2,3,0), v = (1,2,2)
c. u = (3,-1,4), v = (6,2,8)
04.) Encontre a rea do tringulo de vrtices P, Q e R. a. (2,6, 1), (1,1,1), (4,6,2)P Q R b. (1, 1,2), (0,3, 4), (6,1,8)P Q R
05.) Encontre o produto misto ( )u v w a. ( 1, 2, 4), (3, 4, 2), ( 1, 2,5)u v w= = = b. (3, 1,6), (2,4,3), (5, 1, 2)u v w= = =
06.) Obtenha o volume do paraleleppedo de lados u, v e w. a. (2, 6, 2), (0,4, 2), (2,2, 4)u v w= = = b. (3,1, 2), (4,5,1), (1,2,4)u v w= = =
Respostas
1. a. (32,-6,-4) b. (-14,-20,-82) c. (27,40,-42) d. (0, 176,-264) e. (-44,55,-22) f. (-8,-3,-8) 2. a. (18,36,-18) b. (-3,9,-3) 3. a. 59 b. 101 c.0
4. a. 3742
b. 285
5. a. 10 b. 110
6. a. 16 b. 45