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  • 1. Introduc ao `a Algebra Linear Um Curso de Nivelamento Jorge Delgado Katia Frensel Depto. de Matematica Aplicada Depto. de Geometria Instituto de Matematica UFF Marco de 2005

2. J. Delgado - K. Frensel ii Instituto de Matematica - UFF 3. Conteudo Noc oes Preliminares 1 1. Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Sistemas de Equac oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Operac oes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Multiplicac ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Matrizes Invertveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Espacos Vetoriais 29 1. Espaco Vetorial - denic oes e propriedades basicas . . . . 29 2. Subespaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Bases e Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5. Equivalencia por Linhas resumo . . . . . . . . . . . . . . 55 Transformac oes Lineares 61 1. Transformac ao Linear - noc oes basicas . . . . . . . . . . . 61 2. Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Polinomios 97 1. Algebras - generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2. Interpolac ao de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3. Ideais de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Decomposic ao de um polinomio em fatores primos . . . . . 117 iii 4. 5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6. Propriedades dos Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 134 Formas Canonicas - Preliminares 139 1. Formas Canonicas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 139 2. Polinomios Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3. Subespacos Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4. Triangulac ao Simultanea e Diagonalizac ao Simultanea . . . 167 5. Decomposic ao em Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . 170 6. Somas Diretas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7. O Teorema da Decomposic ao Primaria . . . . . . . . . . . 183 Forma Canonica Racional 193 1. Subespacos cclicos e anuladores . . . . . . . . . . . . . . 193 2. Decomposic ao Cclica e a Forma Racional . . . . . . . . . 197 Forma Canonica de Jordan 217 1. Forma Canonica Racional dos Operadores Nilpotentes . . 217 2. Calculo da Forma Canonica dos Operadores Nilpotentes . 219 3. Forma Canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4. Forma Canonica de Jordan Real . . . . . . . . . . . . . . . 242 5. Operadores Semi-Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Espacos Vetoriais com Produto Interno 269 1. Produto Interno - Denic oes basicas . . . . . . . . . . . . . 269 2. Funcionais Lineares e Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 288 3. Operadores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 4. Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 5. Diagonalizac ao simultanea de uma famlia comutativa de operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6. Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 J. Delgado - K. Frensel iv Instituto de Matematica - UFF 5. 7. Formas Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 8. Resumo sobre matrizes positivas . . . . . . . . . . . . . . . 354 9. Func oes de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 J. Delgado - K. Frensel 0 Instituto de Matematica - UFF 6. Noc oes Preliminares 1. Corpos Para saber mais ... Da historia da Algebra Linear, con- sulte as paginas: http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ HistTopics/Matrices_and_ determinants.html e http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ HistTopics/Abstract_ linear_spaces.html Um corpo comutativo e um conjunto K, cujos elementos sao chama- dos escalares, com um par de operac oes: + x K e y K = x + y K (adic ao) x K e y K = xy = x y K (multiplicac ao) que satisfazem as seguintes propriedades: 1. A adic ao e comutativa: x + y = y + x , x, y K. 2. A adic ao e associativa: x + (y + z) = (x + y) + z , x, y, z K. 3. Existe um unico elemento 0 K (zero), tal que x + 0 = x , x K. 4. A cada x K corresponde um unico elemento x K, tal que x + (x) = 0. 5. A multiplicac ao e comutativa: x y = y x , x, y K. 6. A multiplicac ao e associativa: x (y z) = (x y) z , x, y, z K. 7. Existe um unico elemento 1 K{0} (um), tal que x1 = x , x K. 8. A cada x K {0} (x nao-nulo) corresponde um unico elemento x1 ou 1 x em K, tal que x x1 = 1. 9. A multiplicac ao e distributiva em relac ao `a adic ao: x (y + z) = x y + x z , x, y, z K. 1 7. Corpos Denic ao 1.1 Um subcorpo de K e um subconjunto F de K que e um corpo com as operac oes de adic ao e multiplicac ao de K. Assim, dizer que F e um subcorpo do corpo K signica que 0 e 1 estao em F e que se x e y sao elementos de F, entao, x+y, xy, x e x1 (caso x = 0) sao tambem elementos de F. Exemplo 1.1 O conjunto dos numeros complexos C = {a + ib | a, b R} e um corpo com as operac oes de adic ao e multiplicac ao usuais. Exemplo 1.2 O conjunto dos numeros reais R e um subcorpo de C. Exemplo 1.3 O conjunto dos numeros racionais Q = { p q | p Z , q Z {0}} e um subcorpo de R e de C. Mais ainda, e facil vericar que todo subcorpo de C deve conter Q. Exemplo 1.4 O conjunto {x + y 2 | x, y Q} e um subcorpo de C. Exemplos ... Os corpos Zp = Z/(pZ) com p > 0 inteiro primo tem caracterstica p. Observac ao 1.1 Num corpo K pode ser possvel adicionar uma quantidade nita de parce- las iguais a 1 e obter 0, isto e, 1 + 1 + 1 + + 1 = 0. Quando esse fato acontece, o menor natural k, tal que a soma de k par- celas 1 e igual a 0, e chamado a caracterstica de K. Quando tal numero natural nao existe, dizemos que o corpo tem caracterstica zero. Em todo o seguinte, vamos considerar apenas corpos de caracterstica zero. J. Delgado - K. Frensel 2 Instituto de Matematica - UFF 8. Sistemas de Equac oes Lineares 2. Sistemas de Equac oes Lineares Seja K um corpo (como sempre, de caracterstica zero) e seja o sistema de m equac oes lineares a n incognitas A11x1 + A12x2 + + A1nxn = y1 A21x1 + A22x2 + + A2nxn = y2 ... ... ... ... Am1x1 + Am2x2 + + Amnxn = ym , ( ) onde y1, . . . , ym e Aij, 1 i m e 1 j n, sao elementos de K. Denic ao 2.1 Uma nupla (x1, x2, . . . , xn) Kn que satisfaz o sistema e chamada uma soluc ao do sistema. Se (y1, y2, . . . , ym) = (0, 0, . . . , 0), dizemos que o sistema e homogeneo. se c1, c2, . . . , cm K, dizemos que (c1A11 + c2A21 + + cmAm1)x1 +(c1A12 + c2A22 + + cmAm2)x2 + + (c1A1n + c2A2n + + cmAmn)xn = c1y1 + c2y2 + + cmym e uma combinac ao linear das equac oes do sistema. Note que toda soluc ao do sistema e, tambem, uma soluc ao desta nova equac ao. Dizemos que dois sistemas de equac oes lineares sao equivalentes se cada equac ao de um dos sistemas e combinac ao linear das equac oes do outro sistema. Em particular, sistemas de equac oes lineares que sao equivalentes pos- suem exatamente as mesmas soluc oes. J. Delgado - K. Frensel 3 Instituto de Matematica - UFF 9. Operac oes Elementares 3. Operac oes Elementares Podemos escrever o sistema ( ) na forma matricial AX = Y, onde A = A11 A12 A1n A21 A22 A2n ... ... ... ... Am1 Am2 Amn mn e a matriz dos coecientes do sistema, X = x1 x2 ... xn n1 e Y = y1 y2 ... ym m1 . Vamos considerar tres operac oes elementares sobre as linhas da matriz A que correspondem a formar combinac oes lineares das equac oes do sistema AX = Y: 1. multiplicac ao de uma linha de A por um escalar nao-nulo; 2. substituic ao da pesima linha de A pelo resultado da soma da linha pesima mais c vezes a linha qesima, sendo c K {0} e p = q numeros entre 1 e m; 3. transposic ao de duas linhas de A. Uma operac ao elementar sobre linhas e uma func ao e que a cada matriz A de tamanho mn associa outra matriz e(A) de mesmo tamanho. Para as tres operac oes elementares acima, temos: 1. e(A)ij = Aij se i = p, e(A)pj = c Apj. 2. e(A)ij = Aij se i = p, e(A)pj = Apj + c Aqj. 3. e(A)ij = Aij se i = p, e i = q, e(A)pj = Aqj e e(A)qj = Apj. J. Delgado - K. Frensel 4 Instituto de Matematica - UFF 10. Operac oes Elementares Teorema 3.1 Para cada operac ao elementar e existe uma operac ao elementar e1 do mesmo tipo, tal que, e1(e(A)) = e(e1(A)) = A. Prova. De fato, Se e e a multiplicac ao da pesima linha por c (c = 0), entao e1 e a multiplicac ao da pesima linha por c1 . Se e e a operac ao que substitui a pesima linha de A pela pesima linha mais c vezes a qesima linha, entao e1 e a operac ao que substitui a pesima linha de A pela pesima linha de A mais c vezes a qesima linha de A. Se e e a operac ao que transpoe as linhas p e q de A, entao e1 = e. Denic ao 3.1 Sejam A e B matrizes m n sobre o corpo K. Dizemos que B e equiva- lente por linhas a A se B pode ser obtida de A por uma sequencia nita de operac oes elementares sobre as linhas de A. Observac ao 3.1 A equivalencia por linhas no conjunto das matrizes m n e uma relac ao de equivalencia. Teorema 3.2 Se A e B sao matrizes m n equivalentes por linhas, entao os sistemas homogeneos AX = 0 e BX = 0 tem exatamente as mesmas soluc oes. Prova. Podemos passar de A para B por meio de uma sequencia nita de operac oes elementares sobre as linhas. A = A0 A1 A2 Ak = B . Basta entao observar que uma operac ao elementar sobre linhas nao al- tera o conjunto de soluc oes. De fato. Sejam C e D matrizes m n tais que e(C) = D. Entao, toda linha de D e uma combinac ao linear das linhas de C. Como C = e1(e(C)) = e1(D), toda linha de C e, tambem, uma combinac ao linear J. Delgado - K. Frensel 5 Instituto de Matematica - UFF 11. Operac oes Elementares das linhas de D. Logo, C e D sao matrizes equivalentes e, portanto, os sistemas homogeneos associados a tais matrizes possuem as mesmas soluc oes. Exemplo 3.1 Seja A a matriz 3 4 A = 2 1 3 2 1 4 0 1 2 6 1 5 sobre o corpo Q.