advanced economic analysis

Περιεχόμενα

Περιεχόμενα iii

1 Q. Αβεβαιότητα Απαντήσεις 1

2 Q. Εξωτερικότητες Απαντήσεις 3

3 Q. Δημόσια αγαθά Απαντήσεις 5

4 Q. Ασύμμετρη πληροφόρηση Απαντήσεις 8

iii

Κεφάλαιο 1

Q. Αβεβαιότητα Απαντήσεις

Ο Κώστας έχει μια επιχείρηση ρούχων. Η συνάρτηση χρησιμότηταςτου είναι p

√cf +(1− p)

√cnf, όπου p είναι η πιθανότητα πλημμύρας

και 1-p η πιθανότητα να μην υπάρξει πλημμύρα. Η πιθανότηταπλημμύρας είναι p=1/20. Η αξία της επιχείρησης είναι €8 εκατ.στην περίπτωση που αποφευχθεί η πλημμύρα και €0 αν υπάρξειπλημμύρα. Ο Κώστας μπορεί να αγοράσει ασφάλεια όπου θα λάβει€x σε περίπτωση πλημμύρας αλλά θα του κοστίσει €0.1x.(α) Ποια είναι η προσδοκώμενη χρησιμότητα του Κώστα;Απάντηση:

1

20

√0 +

19

20

√8 =

√37

5= 2.72 (1.1)

(β) Θα αγοράσει ασφάλεια ο Κώστας και αν ναι πόσο;Απάντηση: Ναι. Με αυτήν την συνάρτηση χρησιμότητας που είναι

κυρτή πάντα θα αγοράζει κάποια ασφάλεια.Για να βρούμε την ασφάλεια μεγιστοποιούμε την συνάρτηση χρη-

σιμότητας υπό τον εισοδηματικό περιορισμό.Με ασφάλεια μπορεί να αλλάξει την κατανάλωση στις δύο κατα-

στάσεις ως εξής: cf=0 + x− 0.1x

cnf = 8− 0.1x (1.2)

Απαλείφοντας το x βρίσκουμε τον εισοδηματικό περιορισμό πουείναι 1

9cf+cnf = 8Το Lagrange είναι L = 1

20√cf + 19

20√cnf + λ(8− 1

9cf−cnf )Η κατανάλωση θα είναι cf=1, 75135 και cnf = 7, 80541 εκατομμύρια

ευρώ. Οπότε αγόρασε ασφάλεια αξίας 1,7513 πληρώνοντας το έναδέκατο αυτού του ποσού.(γ) Πόσο θα έπρεπε να είναι η τιμή της ασφάλειας για να είναι

δίκαιη (να είχαν μηδενικά κέρδη οι ασφαλιστικές εταιρίες); Πώςγνωρίζουμε ότι σε αυτήν την περίπτωση θα ασφαλιστεί πλήρως;

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Q. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2

Απάντηση: Η τιμή της ασφάλειας θα έπρεπε να αντιστοιχούσε μετην πιθανότητα της πλημμύρας. Δηλαδή για κάθε x ασφάλειας θαέπρεπε να πληρώνει (1/20)x.(δ) Υπολογίστε (δεν χρειάζεται να κάνετε χρήση μεγιστοποίησης

Lagrange) πόσο θα καταναλώνει και στις δύο περιστάσεις ο Κώσταςαν η ασφάλεια είναι δίκαιη.Απάντηση: Φτάνει ο εισοδηματικός περιορισμός που είναι σε

αυτήν την περίπτωση 120cf+

1920cnf = 8 · 19

20 Εφόσον cf=cnf τότε και ταδύο θα είναι 8 · 19

20 = 7.6 εκατομύρια.

Κεφάλαιο 2

Q. ΕξωτερικότητεςΑπαντήσεις

Ένα χαλυβουργείο ρυπαίνει ένα ποτάμι και προκαλεί ζημιά σειχθυοτροφείο. Τα κέρδη του χαλυβουργείου είναι Πs(s, x) = 10s −s2−(x− 5)2. Τα κέρδη του ιχθυοτροφείου είναι Πf(f ;x) = 10f−f2−xf.(α) Πώς θα περιγράφαμε την εξωτερικότητα σε αυτό το πρόβλημα;

Γιατί το ονομάζουμε εξωτερικότητα;Απάντηση: Το χαλυβουργείο επιβάλει μια αρνητική εξωτερική

επίδραση στο ιχθυοτροφείο. Προκαλεί μια ζημιά για την οποίαδεν πληρώνει. Το ονομάζουμε εξωτερικότητα γιατί η επίδρασηείναι έξω από την αγορά (δεν γίνεται μέσα από συναλλαγή)και έτσι το χαλυβουργείο δεν λαμβάνει υπόψη τις εναλλακτικέςχρήσεις του ποταμού (ή την κοινωνική ζημιά που προκαλεί).(β) Ποια θα ήταν η παραγωγή χάλυβα, ρύπανσης και ψαριών αν

λειτουργούσαν οι δύο επιχειρήσεις ανεξάρτητα και χωρίς καμιάσυνεννόηση ή συναλλαγή;Απάντηση: s=5, x=5, f*=5/2.(γ) Ποια θα ήταν η παραγωγή χάλυβα, ρύπανσης και ψαριών αν

οι δύο επιχειρήσεις συγχωνεύονταν;Απάντηση:sm = 5, xm = 10

3 , fm = 103 .

(δ) Ποιο θα ήταν το αποτέλεσμα αν λειτουργούσαν ανεξάρτηταοι δύο επιχειρήσεις αλλά υπήρχε μια ανταγωνιστική αγορά δι-καιωμάτων ρύπανσης και το χαλυβουργείο έπρεπε να πουλάει ταδικαιώματα στο ιχθυοτροφείο προς μια τιμή px; Ποια θα ήταν ητιμή της ρύπανσης;Απάντηση: Η διατύπωση του ερωτήματος ότι το ‘χαλυβουργείο

έπρεπε να πουλάει δικαιώματα’ είναι λίγο αμφιλεγόμενη, οπότεμπορεί να απαντήσετε είτε θεωρώντας ότι το χαλυβουργείο δενέχει το δικαίωμα ρύπανσης και οφείλει να αγοράσει από το ιχθυο-

3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Q. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΤΗΤΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 4

τροφείο δικαιώματα ρύπανσης είτε ότι το χαλυβουργείο έχει ταδικαιώματα και μπορεί να τα πουλήσει στο ιχθυοτροφείο. Οιποσότητες χάλυβα, ψαριών και ρύπανσης καθώς και η τιμή δι-καιώματος θα είναι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις (αυτό πουθα διαφέρει είναι η κατανομή των κερδών). Στην περίπτωση πουτο ιχθυοτροφείο έχει τα δικαιώματα θα πρέπει να αφαιρέσετε pxxαπό το κέρδος του χαλυβουργείου (αύξηση εξόδων από την αγοράτων ρύπων) και να προσθέσετε pxx στο κέρδος του ιχθυοτροφείου(αύξηση εσόδων από την πώληση των ρύπων). Στην περίπτωση πουτο χαλυβουργείο έχει τα δικαιώματα ρύπανσης θα πρέπει να προ-σθέσετε px(5− x) στα κέρδη του χαλυβουργείου και να αφαιρέσετετο ίδιο ποσό από τα κέρδη του ιχθυοτροφείου. Στην πρώτη περί-πτωση το ιχθυοτροφείο πληρώνεται για την αύξηση της ρύπανσηςκαι στην δεύτερη το χαλυβουργείο πληρώνεται για την μείωσητης ρύπανσης. Θα ήταν λάθος αν προσθέταμε pxx στα κέρδη τουχαλυβουργείου στην περίπτωση που τα δικαιώματα ‘καθαρότητας’ανήκουν στο ιχθυοτροφείο αλλά θα το παραβλέψω στην βαθμολογία.Τα ποσά που παράγονται θα είναι ίδια με την απάντηση (β) και

η τιμή της ρύπανσης θα είναι px = f = 103 .

(ε) Πιστεύετε πως αν το χαλυβουργείο είχε την αστική ευθύνηγια την ζημιά που προκαλεί στο ιχθυοτροφείο θα είχαμε βέλτιστηκατανομή (χάλυβα, ψαριών και ρύπανσης); Εξηγείστε.Απάντηση: Όχι. Επειδή η ζημιά εξαρτάται και από την ποσό-

τητα παραγωγής ψαριών, με αστική ευθύνη δεν θα έχει κανένακίνητρο το ιχθυοτροφείο να λάβει υπόψη του τις επιπτώσεις τηςπαραγωγής ψαριών στις συνολικές ζημιές (δηλαδή στα κέρδη τουχαλυβουργείου). Ουσιαστικά η συνάρτηση κέρδους του ιχθυοτρο-φείου γίνεται Πf(f ;x) = 10f − f2 − xf + xf = 10f − f2. Δείτε απάντησηστην αντίστοιχη άσκηση 0.12 στο πακέτο ασκήσεων.(ε) Τι λέει το θεώρημα του Coase και τι σχέση έχει με την

απάντηση που δώσατε στο (γ);Απάντηση: επιγραμματικά το θεώρημα Coase λέει πως αν δεν

υπάρχουν έξοδα διαπραγμάτευσης τότε αρκεί να οριστούν δικαιώ-ματα ιδιοκτησίας, π.χ., στο ποτάμι ή στην ρύπανση, για ναοδηγήσει η αγορά (μέσω συναλλαγής) στην βέλτιστη κατανομή. Θαείχαμε δηλαδή το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό της άσκησης (γ) είτεδώσουμε δικαιώματα ρύπανσης στο χαλυβουργείο είτε δικαιώματακαθαρών υδάτων στο ιχθυοτροφείο.

Κεφάλαιο 3

Q. Δημόσια αγαθάΑπαντήσεις

Τρία άτομα έχουν τις εξής αξιολογήσεις για ένα δημόσιο αγαθό,Α=€60, Β=€60, Γ=€10. Το συνολικό κόστος παροχής του δημόσιουαγαθού είναι €120.(α) Πρέπει να παρασχεθεί το δημόσιο αγαθό; Γιατί;Απάντηση: Ναι, γιατί το συνολικό όφελος και των τριών ατόμων

είναι μεγαλύτερο από το κόστος παροχής.(β) Πώς θα εφαρμοζόταν ένα πλάνο φορολογίας Groves-Clarke

σε αυτήν τη περίπτωση με επιμερισμό του αρχικού κόστους ανάάτομο €40; Εξηγείστε τι φόρο G-C θα αναλάβει ο καθένας καιεξηγείστε γιατί συμφέρει να αποκαλύψει την πραγματική καθαρήαξία ο Α.Απάντηση: Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το Φόρο Groves-

Clarke που αντιστοιχεί στον καθένα.Ο Α είναι κρίσιμος καθώς χωρίς αυτόν η καθαρή αξία είναι

-10 (άθροισμα καθαρής αξίας του Β και Γ) ενώ μαζί με αυτών(όλοι μαζί) είναι +10. Θα μπορούσε να δηλώσει λιγότερη καθαρήαξία από το 20 αλλά τότε αν δεν παρασχεθεί το δημόσιο αγαθόθα έχει απώλεια 20 και θα γλιτώσει τον φόρο οπότε θα χάσει 10συνολικά. Το να δηλώσει μεγαλύτερη καθαρή αξία από το 10 δεναλλάζει τίποτα.(γ) Ποιο είναι το βασικό χαρακτηριστικό ενός δημόσιου αγαθού

και πώς διαφέρει η συνθήκη βέλτιστης παροχής ή παραγωγής σεσχέση με ένα ιδιωτικό αγαθό;Απάντηση: Η κατανάλωση του είναι μη ανταγωνιστική και δεν

μπορεί να αποκλειστεί κάποιος από την χρήση του, οπότε όλοικαταναλώνουν την ίδια ποσότητα.Στα ιδιωτικά αγαθά η βέλτιστη ποσότητα είναι εκεί που εξισώ-

5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Q. ΔΗΜΟΣΙΑ ΑΓΑΘΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 6

Σχήμα 3.1: Πίνακας φόρου Groves-Clarke

νονται οι ΟΛΥ όλων και αυτά εξισώνονται με το λόγο τιμών δύοαγαθών. Στα δημόσια αγαθά εξισώνουμε το άθροισμα των οριακώνλόγων υποκατάστασης με τον λόγο τιμών του ιδιωτικού αγαθού μετο δημόσιο αγαθό (ή το κόστος του δημόσιου αγαθού)(δ) Δείξτε διαγραμματικά με δύο καμπύλες ζήτησης την διαφορά

βέλτιστης κατανομής δημόσιου αγαθού και ιδιωτικού αγαθού.Απάντηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Q. ΔΗΜΟΣΙΑ ΑΓΑΘΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 7

Σχήμα 3.2: Ιδιωτικά και Δημόσιο Αγαθό

Κεφάλαιο 4

Q. Ασύμμετρη πληροφόρησηΑπαντήσεις

Έστω ότι χαμηλής παραγωγικότητας εργάτες όλοι έχουν το ίδιοοριακό προϊόν αξίας 10 μονάδων και οι υψηλής παραγωγικότηταςεργάτες έχουν οριακό προϊόν αξίας 14 μονάδων. Η κοινότητα έχειισάριθμο αριθμό των δύο ειδών εργαζομένων. Το τοπικό κολέγιοπροσφέρει ένα μάθημα μικροοικονομικής. Οι υψηλής παραγωγικό-τητας εργάτες πιστεύουν πως η συμμετοχή στο μάθημα αυτό είναιτο ίδιο κακό με μια μείωση του μισθού τους κατά 5 μονάδες καιοι χαμηλής παραγωγικότητας υποφέρουν ακόμα περισσότερο οπότεθεωρούν πως αντιστοιχεί με μια μείωση του μισθού τους κατά 10μονάδες.(α) Πείτε τι είδους ισορροπία θα υπάρξει και με τι μισθό ή

μισθούς; Εξηγείστε.Απάντηση: Δεν υπάρχει διαχωριστική ισορροπία αλλά υπάρχει

συγκεντρωτική ισορροπία με μισθό 12.Το ένα σκέλος της διαχωριστικής ισορροπίας ισχύει γιατί το

όφελος των εργαζομένων από την εκπαίδευση είναι χαμηλότεροτου “κόστους” 4< 10 οπότε οι χαμηλής παραγωγικότητας δεν θαεπιδίωκαν εκπαίδευση. Όμως το όφελος των υψηλής παραγωγικότηςεργατών είναι μικρότερο από το κόστος 4<5.(β) Πόσο θα έπρεπε να αλλάξει το κόστος εκπαίδευσης των υψηλής

παραγωγικότητας εργατών για να υπάρξει διαχωριστική ισορροπία;Θα ήταν προτιμότερο να υπάρξει διαχωριστική ισορροπία;Απάντηση: Θα έπρεπε το κόστος εκπαίδευσης να είναι χαμηλότερο

του 4. Όχι το παράδοξο με την διαχωριστική ισορροπία εδώ είναιπως η παραπάνω πληροφόρηση απλά οδηγεί μια μερίδα εργαζομένωννα ξοδεύουν χρήματα σε άχρηστη γνώση.

8

Περιεχόμενα

Περιεχόμενα iii0.1 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 10.2 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 20.3 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 20.4 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 30.5 Άσκηση 5 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 30.6 Άσκηση 6 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 40.7 Άσκηση 7 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) . . . . . . 40.8 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) . . . . . 50.9 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) . . . . . 60.10 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) . . . . . 70.11 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) . . . . . 90.12 Άσκηση 5 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) . . . . . 110.13 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά) . . . . . 130.14 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά) . . . . . 150.15 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Δημοσια αγαθά) . . . . . 150.16 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά) . . . . . 160.17 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) . 160.18 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) . 170.19 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) . 190.20 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) . 19

iii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1

Σχήμα 0.1: Εισοδηματικός περιορισμός

0.1 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα)

Ο Σαμ πουλάει γυαλιά ηλίου στο Ατλάντικ Σίτι. Όταν έχει ήλιοβγάζει $30 και όταν βρέχει $10. Θα υποθέσουμε πως υπάρχουνμόνο δύο ειδών μέρες (με βροχή και ηλιόλουστες).(Α) Ένα Καζίνο πουλάει κουπόνια ‘βροχής’ στην τιμή του $1. Αν

βρέξει την επόμενη μέρα κερδίζεις $2 αλλιώς (ήλιος) αχρηστεύ-εται το κουπόνι (κερδίζεις μηδέν). Σε ένα διάγραμμα με άξονεςτο εισόδημα ανάλογα με την κατάσταση των πραγμάτων (υπό συν-θήκη αγαθά) δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό. Ποια είναι ηκλίση του; (Υποθέστε πως μπορεί να αγοράσει υποδιαιρέσεις αλλάόχι αρνητικές ποσότητες)Απάντηση: Η μπλε γραμμή είναι ο εισοδηματικός περιορισμός που

απορρέει από την δυνατότητα που παρέχει το καζίνο πουλώνταςκουπόνια ‘βροχής’. Ξεκινάει στο σημείο e (αρχικό απόθεμα).(Β) Στο ίδιο διάγραμμα δείξτε τον συνδυασμό των αγαθών για

κάθε κατάσταση πραγμάτων που θα πετύχαινε αν αγόραζε 10 κου-πόνια από το καζίνο.Απάντηση:Το σημείο a στο διάγραμμα(Γ) Έστω ότι το καζίνο πουλάει και κουπόνια ‘ήλιου’ στην


τιμή του $1, όπου λαμβάνεις $2 αν έχει ήλιο και $0 αλλιώς.Δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό του Σαμ που του επιτρέπειη αγορά αυτών των κουπονιών.Απάντηση: Η κόκκινη διακεκομμένη γραμμή(Δ) Αν η τιμή ενός δολαρίου κατανάλωσης όταν βρέχει είναι 1,

ποια είναι η τιμή ενός δολαρίου κατανάλωσης όταν έχει ήλιο;Απάντηση: Η τιμή είναι 1


Ο Σαμ έχει συνάρτηση χρησιμότητας για την κατανάλωση στιςδύο καταστάσεις πραγμάτων

U(cs, cr, π) = c1−πs cπr (1)

Όπου cs είναι η αξία σε δολάρια της κατανάλωσης αν έχει ήλιο,και cr αν βρέξει. Η πιθανότητα να βρέξει είναι π = .5.Πόσες μονάδες κατανάλωσης στην κατάσταση ‘βροχής’ θα επιλέξει

ο Σαμ; Πόσες μονάδες σε κατάσταση ‘ήλιου’;Απάντηση: 20 μονάδες ‘βροχής’ και 20 μονάδες ‘ήλιου’.


Ο Κώστας, αδερφός του Σαμ, έχει von Neumann-Morgenstern συ-νάρτηση χρησιμότητας u (c) = lnc. Ο Κώστας κάνει την ίδια δουλειάμε τον Σαμ και μπορεί να κάνει αντίστοιχες συμφωνίες.(Α) Αν πιστεύει πως η πιθανότητα βροχής είναι 50% ποια είναι

η συνάρτηση χρησιμότητάς του;Απάντηση:

u =1

2lncs +

1

2lncr (2)

.(Β) Πώς συγκρίνεται η συνάρτηση χρησιμότητάς του με του

αδερφού του; Είναι η μία συνάρτηση μονοτονικός μετασχηματισμόςτης άλλης; Είναι θετικός συναφής μετασχηματισμός;Απάντηση: Η συνάρτηση χρησιμότητας του Κώστα είναι μονο-

τονικός μετασχηματισμός του αδερφού του αφού απλά είναι ολογάριθμος της συνάρτησης του Σαμ. Είναι και θετικός συναφήςμετασχηματισμός(Γ) Ποιος θα είναι ο βέλτιστος συνδυασμός κατανάλωσης του

Κώστα;Απάντηση: 20 μονάδες ‘βροχής’ και 20 μονάδες ‘ηλίου’ όπως

και ο Σαμ.



Ο Μάνθος έχει vNM συνάρτηση χρησιμότητας u (c) =√c. Είναι

αστέρι ποδοσφαιριστής. Αν αποφύγει σοβαρό τραύμα θα καταφέρεισυμβόλαιο $1.000.000. Αν τραυματιστεί θα χαθεί η καριέρα τουστο ποδόσφαιρο και θα λάβει $10.000 συμβόλαιο σε μια δουλειάστο δημόσιο. Η πιθανότητα τραυματισμού είναι 10%.(Α) Ποια είναι η προσδοκώμενη χρησιμότητα του Μάνθου;Απάντηση:.1

√10000 + .9

√1000000 = 910.

(Β) Αν πληρώσει $p για μια ασφάλεια που θα του έδινε $1.000.000στην περίπτωση τραυματισμού τότε θα έχει εισόδημα $1.000.000 -p ότι και να συμβεί. Γράψτε μια εξίσωση και βρείτε το μέγιστοποσό που θα έδινε ο Μάνθος για να αγοράσει την ασφάλεια.Απάντηση: Η εξίσωση είναι 910 =

√1000000− p και λύνοντας για

p βρίσκουμε p=171900.


Το ισοδύναμο βεβαιότητας μιας λοταρίας (στοίχημα) είναι τοποσό χρημάτων που θα έπρεπε να λάβεις με βεβαιότητα για ναείσαι εξίσου ικανοποιημένος (ίδια χρησιμότητα) με την λοταρία.Έστω ότι η προσδοκώμενη χρησιμότητα για λοταρίες που δίνουνx στην Κατάσταση 1 και y στην περίπτωση που δεν συμβεί ηΚατάσταση 1 είναι U(x, y, π) = π

√x + (1 − π)

√y, όπου π είναι η

πιθανότητα ότι η Κατάσταση 1 θα συμβεί και 1− π η πιθανότηταότι η Κατάσταση 1 δεν θα συμβεί.(Α) Αν π = .5, υπολογίστε την χρησιμότητα της λοταρίας που

δίνει €10.000 σε Κατάσταση 1 και €100 αν δεν συμβεί η Κατάσταση1.Απάντηση: 55=.5x100+.5x10.(Β) Αν ξέρατε πως θα λάβετε €4.900 πόση θα είναι η χρησιμότητά

σας;Απάντηση:.5

√4900 + .5

√4900 = 70.

(Γ) Με δεδομένη την συνάρτηση χρησιμότητας και με \pi=.5γράψτε μια γενική συνάρτηση με ισοδύναμο βεβαιότητας μιαςλοταρίας που σας δίνει x στην Κατάσταση 1 και y στην περίπτωσηπου δεν συμβεί η Κατάσταση 1.

Απάντηση:(.5x12 + .5y

12 )

2.

(Δ) Υπολογίστε το ισοδύναμο βεβαιότητας του να λάβετε €10.000σε Κατάσταση 1 και €100 αν δεν συμβεί η Κατάσταση 1.Απάντηση: €3025=552.



Ο Γιάννης αποστρέφεται τον κίνδυνο και προσπαθεί να μεγι-στοποιήσει την προσδοκώμενη χρησιμότητα

√c, όπου c είναι ο

πλούτος του. Ο Γιάννης έχει €50.000 και έχει και ένα σπίτι σεδάσος που κινδυνεύει πολύ από φωτιές. Αν καεί το σπίτι του τοοικόπεδο θα έχει αξία €40.000, έτσι η συνολική περιουσία τουείναι €90.000. Αν δεν καεί, η αξία του σπιτιού (και οικοπέ-δου) θα είναι €200.000 οπότε η συνολική του περιουσία θα είναι€250.000. Η πιθανότητα πυρκαγιάς που θα καταστρέψει το σπίτιτου είναι .01.(A) Υπολογίστε την προσδοκώμενη χρησιμότητα αν δεν αγοράσει

πυρασφάλεια.Απάντηση:.99

√250000 + .01

√90000 = 498.

(Β) Υπολογίστε το ισοδύναμο βεβαιότητας αν δεν αγοράσει πυ-ρασφάλεια.Απάντηση:

4982 = 248004 (3)

(Γ) Έστω ότι μπορούμε να αγοράσουμε πυρασφάλεια σε τιμή €1για €100 ασφάλειας. Πόση ασφάλεια πρέπει να αγοράσει ο Γιάννηςγια να αποκτήσει πλήρη ασφάλεια και πόσος θα είναι ο πλούτοςτου;Απάντηση: Ουσιαστικά πρέπει να βρει την ποσότητα που θα

δώσει για ασφάλεια που θα εξισώνει τα χρήματα που θα έχει καιστις δύο καταστάσεις. 250000-m=90000+100m -m (όπου m είναι ταχρήματα που δίνει για την ασφάλεια). Οπότε m = 1600. O πλούτοςτου θα είναι 248400.(Δ) Ποιο θα είναι το ισοδύναμο βεβαιότητας για τον Γιάννη

και ποια η προσδοκώμενη χρησιμότητα του;Απάντηση: Το ισοδύναμο βεβαιότητας στην περίπτωση που αγο-

ράσει πλήρη ασφάλεια θα είναι 248400 και η προσδοκώμενη χρη-σιμότητα /

√248400.


Έστω μια λοταρία δίνει €1 και €25 με ίσες πιθανότητες. Ποιοείναι το ελάχιστο που θα δίνατε σε κάποιον με συνάρτηση προσ-δοκώμενης χρησιμότητας u (x) = x.5 για να μην κάνει το στοίχημα(υποθέστε πως το άτομα δεν έχει καθόλου πλούτο); Ποιο είναιτο κόστος της ασφάλισης;Απάντηση: Η προσδοκώμενη χρησιμότητα της λοταρίας είναι

0.5√1 + 0.5

√25 = 3. Αυτή η χρησιμότητα αντιστοιχεί με €9 με


βεβαιότητα. Οπότε θα πρέπει να λάβει τουλάχιστον €9 για να μηνδεχθεί την λοταρία.Διώρθωση: Η ερώτηση “Ποιο είναι το κόστος της ασφάλισης;”

είναι λάθος και δεν έχουμε πληροφορίες σχετικές εδώ.

0.8 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα)

Στο Καρακοχώρι υπάρχει κόλπος γνωστό για αστακούς. Το δημαρ-χείο του χωριού εκδίδει άδειες για την αλίευση τους. Προσπαθείτο δημαρχείο να αποφασίσει πόσες άδειες θα εκδώσει. Τα οικο-νομικά δεδομένα έχουν ως εξής:

1. Κοστίζει €2.000 το μήνα για την λειτουργία του αλιευτικού.

2. Αν υπάρχουν x αλιευτικά στον κόλπο, τα συνολικά έσοδα ανάμήνα θα είναι f (x) = 1000(10x− x2).

(α) Δείξτε διαγραμματικά τις καμπύλες μέσου προϊόντος, AP (x) =f(x)x , και το οριακό προϊόν, MP (x) = 10.000−2.000X. Στο ίδιο διά-

γραμμα, δείξτε την γραμμή του κόστους λειτουργίας των αλιευ-τικών.(β) Αν οι άδειες είναι δωρεάν, πόσα σκάφη θα λειτουργούν στο

χωριό;Απάντηση: Θα συνεχίζουν να εισέρχονται αλιευτικά μέχρι να τα

κέρδη να μηδενιστούν (έσοδα μείον έξοδα). 1000(10x−x2)−2000x = 0οπότε x = 8 αλιευτικά. Είναι το σημείο όπου το μέσο προϊόν είναιίσο με το μέσο κόστος.(γ) Τι αριθμό σκαφών μεγιστοποιούν τα κέρδη;Απάντηση: Από τις ΣΠΤ ξέρουμε πως το οριακό προϊόν πρέπει να

εξισωθεί με το οριακό κόστος: 10.000− 2.000x = 2000 οπότε x = 4.(δ) Αν το δημαρχείο θέλει να περιορίσει τον αριθμό των σκαφών

έτσι ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη, πόσο πρέπει να χρεώσειανά μήνα για άδεια αλίευσης;Απάντηση: Ο κάθε ψαράς εξισώνει το μέσο προϊόν με το μέσο

κόστος 10.000 − 1.000x = 2000. Αυτό μας οδηγεί στην υπεραλίευση,οπότε πρέπει να αυξηθεί το μηνιαίο μέσο κόστος με φόρο τόσοώστε το μέσο έσοδο του 5ου αλιευτικού να είναι μικρότερο από τομέσο κόστος (αρνητικά κέρδη). Με άλλα λόγια, θέλουμε να υπάρχεικερδοφορία μέχρι και το τέταρτο αλιευτικό αλλά μετά να αρχίζουναρνητικά κέρδη. Ξέρουμε πως μεγιστοποιούνται τα κέρδη όταν x=4,οπότε θέλουμε 10.000− 1.000x = 10.000− 1.000 · 4 = 2000 + ϕ ⇒ ϕ = 4000


Σχήμα 0.2: Μέσο και οριακό προϊόν


Έστω ότι ένα μελισσοκομείο βρίσκεται δίπλα σε ένα πορτο-καλεώνα, και το καθένα λειτουργεί σαν επιχείρηση σε τέλειοανταγωνισμό. Έστω ότι A είναι ο αριθμός των πορτοκαλιών πουπαράγονται και H η ποσότητα του μελιού. Οι συναρτήσεις κόστουςτων δύο επιχειρήσεων είναι cH (H) = H2

100 και cA (A) = A2

100−H. Η τιμήτου μελιού είναι €2 και η τιμή των πορτοκαλιών €3.(α) Ποιες είναι οι ποσότητες μελιού και πορτοκαλιών που

παράγονται αν οι επιχειρήσεις λειτουργούν ανεξάρτητα η μίααπό την άλλη;Απάντηση: Τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων είναι

2H − H2

100(4)

3A− A2

100+H (5)

Το μελισσοκομείο δεν υπολογίζει το όφελος που προσφέρει στονπορτοκαλεώνα και μεγιστοποιεί απλά τα κέρδη του 2H− H2

100. Οπότε


H − H50 = 0 ⇒ H = 100. Ο πορτοκαλεώνας δεν μπορεί να επηρεάσει

τις μέλισσες οπότε μεγιστοποιεί με την μεταβλητή που μπορεί ναεπηρεάσει μόνο (A). Οπότε παραγωγίζουμε την συνάρτηση κέρδους3A− A2

100 +H ως προς το Α και μηδενίζουμε για να βρούμε 3− A50 =

0 ⇒ A = 150.(β) Έστω πως συγχωνεύονται οι επιχειρήσεις. Ποιες θα είναι οι

ποσότητες πορτοκαλιών και μελιού που μεγιστοποιούν τα συνολικάκέρδη;Απάντηση: Μεγιστοποιούμε τα συνολικά κέρδη ως προς τις δύο

μεταβλητές. Βλέπουμε τώρα πως το μελισσοκομείο λαμβάνει υπόψητην θετική επίδραση της παραγωγής του στον πορτοκαλεώνα.

2H − H2

100+ 3A− A2

100+H (6)

3− H

50= 0 ⇒ H = 150 (7)

3− A

50= 0 ⇒ A = 150 (8)

(γ) Αν παρέμεναν ανεξάρτητες οι επιχειρήσεις πόσο πρέπει ναεπιδοτήσουμε την παραγωγή μελιού για να υπάρξει αποτελεσματικήπαραγωγή;Απάντηση: Ψάχνουμε πόσο πρέπει να αυξήσουμε την τιμή του

μελιού ώστε να παράξει ο μελισσοκόμος 150 μονάδες.

(2 + E)− 150

50= 0 ⇒ E = 1 (9)


Σε ένα χωριό στην Γερμανία με πληθυσμό 1.001, το μόνο πουυπάρχει να κάνουν οι πολίτες είναι να οδηγούν τα αυτοκίνητατους. Όλοι στο χωριό είναι ίδιοι. Ενώ απολαμβάνουν την οδήγησηυποφέρουν από τον συνωστισμό, το θόρυβο και την ρύπανση πουπροκαλεί η κίνηση. Η συνάρτηση χρησιμότητας ενός πολίτη είναιU(m, d, h) = m+16d−d2− 6h

1.000, όπου m είναι η καθημερινή κατανάλωσησουβλακιών, d είναι ο αριθμός των ωρών που οδηγεί μέσα σεμία μέρα ο ίδιος, h είναι η συνολική οδήγηση (σε ώρες-άτομαανά μέρα) από το σύνολο των πολιτών. Η τιμή ενός σουβλακίουείναι €1. Κάθε άτομο έχει εισόδημα €40 ανά μέρα. Για να είναιοι υπολογισμοί εύκολοι υποθέτουμε πως δεν κοστίζει τίποτα ηοδήγηση αυτή καθεαυτή.


(α) Αν ο καθένας πιστεύει πως η δικιά του οδήγηση δεν επη-ρεάζει το πόσο οδηγούν οι υπόλοιποι, πόσες ώρες θα επιλέξεινα οδηγήσει;Απάντηση: Μεγιστοποιούμε την χρησιμότητα του ως προς τις

δικές του ώρες οδήγησης αγνοώντας την όποια επίδραση στιςσυνολικές ώρες (h). Από τις ΣΠΤ έχουμε 16− 2d = 0 ⇒ d = 8.(β) Αν ο καθένας επιλέξει το δικό του d, πόση θα είναι η

συνολική οδήγηση όλων των υπόλοιπων;Απάντηση: 8*1000=8000.(γ) Ποια θα είναι η χρησιμότητα κάθε ατόμου;Απάντηση:

U(m, d, h) = m+ 16d− d2 − 6h

1.000= 40 + 16 · 8− 82 − 6 · 8000

1.000= 56 (10)

(δ) Αν ο καθένας οδηγήσει 6 ώρες ποια θα είναι η χρησιμότητατου καθενός;Απάντηση:

U(m, d, h) = m+ 16d− d2 − 6h

1.000= 40 + 16 · 6− 62 − 6 · 6000

1.000= 64 (11)

(ε) Έστω πως αποφασίζουν οι πολίτες να εφαρμοστεί νόμοςπου περιορίζει τις συνολικές ώρες που μπορεί να οδηγεί οκαθένας. Ποιο πρέπει να είναι αυτό το όριο αν θέλουμε ναμεγιστοποιήσουμε την χρησιμότητα του κάθε πολίτη;Απάντηση: Αντικαθιστούμε h=d*1000 U(m, d, h) = m+16d− d2 − 6·1000

1.000και μεγιστοποιούμε ως προς d και βρίσκουμε πως d=5 ώρες. Έτσιη χρησιμότητα του καθενός θα είναι 40 + 16 · 5− 52 − 6 · 5 = 65(στ) Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί με φόρο στην

οδήγηση. Ποιο πρέπει να είναι το ύψος του φόρου ανά ώρα οδή-γησης;Απάντηση: Ο φόρος πρέπει να ισούται με τον ΟΛΥ μεταξύ οδήγησης

και σουβλακιού στην ‘σωστή’ ποσότητα οδήγησης.Το πρόβλημα του καταναλωτή είναι να μεγιστοποιήσει την χρη-

σιμότητα υπό τον εισοδηματικό περιορισμό. Εφόσον δεν αντιμε-τώπιζε ‘τιμή’ για την οδήγηση απλά μεγιστοποιούσε ανεξάρτητααπό τον εισοδηματικό περιορισμό. Τώρα το πρόβλημα γίνεται:

L = m+ 16d− d2 + λ(40−m− ϕd) (12)

16− 2d− λϕ = 0 (13)

1− λ = 0 (14)


40−m− ϕd = 0 (15)

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις και θέλοντας να οδηγήσει οκαταναλωτής 5 ώρες την ημέρα προσδιορίζεται ο φόρος από τονΟΛΥ 16-2d=16-2*5=φ. Οπότε φ=6.


Ο Κώστας και ο Γιάννης είναι συγκάτοικοι. Ξοδεύουν 80 ώρεςσυνολικά ανά εβδομάδα στο ίδιο δωμάτιο. Του Γιάννη του αρέσεινα ακούει μουσική με μεγάλη ένταση, ακόμα και όταν κοιμάται. Ησυνάρτηση χρησιμότητάς του Κώστα είναι UT (CT ,M) = CT +M, όπουCT είναι ο αριθμός των μπισκότων που τρώει ανά βδομάδα και M οαριθμός των ωρών της δυνατής μουσικής ανά βδομάδα όσο βρίσκεταιστο κοινό δωμάτιο. Ο Γιάννης απεχθάνεται την μουσική γενικό-τερα. Η συνάρτηση χρησιμότητας της είναι U(CJ ,M) = CJ − M2

12 .Κάθε εβδομάδα, ο Κώστας και ο Γιάννης λαμβάνουν ο καθένας 24μπισκότα από το σπίτι τους. Δεν υπάρχουν άλλες πηγές μπισκό-των. Μπορούμε να περιγράψουμε αυτήν τη κατάσταση με διάγραμματου Edgeworth. Το διάγραμμα έχει μπισκότα στον οριζόντιο άξονακαι ώρες μουσικής στον κάθετο άξονα. Εφόσον τα μπισκότα εί-ναι ιδιωτικά αγαθά, ο αριθμός των μπισκότων που καταναλώνουνσυνολικά είναι 48. Η μουσική στο δωμάτιο τους είναι δημόσιοαγαθό. Ο καθένας πρέπει να καταναλώσει την ίδια ποσότητα είτετου αρέσει είτε όχι. Στο διάγραμμα ας ορίσουμε το ύψος ενόςσημείου να αντιστοιχεί με τις συνολικές ώρες μουσικής ανάβδομάδα. Η απόσταση από την αριστερή πλευρά του διαγράμματοςνα είναι “μπισκότα που καταναλώνει ο Κώστας” και η απόστασηαπό την δεξιά πλευρά να είναι τα “μπισκότα που καταναλώνει οΓιάννης”.(α) Έστω πως οι κανόνες της εστίας λένε πως πρέπει να έχετε

την άδεια του συγκάτοικου για να παίξετε μουσική. Το αρχικόαπόθεμα σε αυτήν την περίπτωση αντιστοιχεί στην περίπτωση πουδεν κάνουν κάποιες συμφωνίες ο Κώστας και ο Γιάννης. Δείξτεαυτό το σημείο στο διάγραμμα. Με κόκκινο χρώμα δείξτε τηνκαμπύλη αδιαφορίας του Κώστα που περνάει από αυτό το σημείο,και με μπλε χρώμα δείξτε την καμπύλη αδιαφορίας του Γιάννη πουπερνάει από το ίδιο σημείο. Με μπλε σκιάστε την περιοχή πουαντιστοιχεί με βελτίωση και των δύο από το σημείο Α.Απάντηση: Στο παρακάτω διάγραμμα ο Tom είναι ο Κώστας και ο

Jerry είναι ο Γιάννης. Για να βρούμε την καμπύλη αδιαφορίας τουΓιάννη ξεκινάμε βρίσκοντας την χρησιμότητα που του αντιστοιχεί


Σχήμα 0.3: Κουτί του Edgeworth

στο σημείο a στο διάγραμμα. Ξέρουμε πως C=24 και M=0, οπότεCJ − M2

12 = 24 − 02

12 = 24. Οπότε η καμπύλη αδιαφορίας του θα είναι

CJ−M2

12 = 24. Γνωρίζουμε το ένα σημείο της καμπύλης και απλά τώρα

βρίσκουμε άλλα σημεία, π.χ., όταν CJ = 0 τότε M2

12 = 24 ⇒ M = 16.9.Θέλει προσοχή πώς το απεικονίζουμε γιατί το σημείο 0 για τονΓιάννη είναι πάνω δεξιά στο κουτί Edgeworth.(β) Υποθέστε, πως οι κανόνες της εστίας λένε πως η μουσική

είναι καλή για την ψυχή και δεν χρειάζεται η σύμφωνη γνώμη τουσυγκάτοικου για να παίξετε μουσική. Δείξτε το νέο σημείο αρ-χικού αποθέματος. Βρείτε πάλι τις δύο καμπύλες που περνούν απότο σημείο αυτό. Υπάρχουν περιθώρια βελτίωσης της χρησιμότηταςκαι των δύο;Απάντηση: Ναι, υπάρχουν περιθώρια βελτίωσης. Η χρησιμότητα

του Γιάννη στο σημείο b είναι CJ − M2

12 = 24 − 802

12 = −509.33. Γιανα βρούμε άλλο ένα σημείο στην καμπύλη χρησιμότητας θέτουμεCJ = 0 και λύνουμε 0 − M2

12 = −509.33 για να βρούμε M=78.17. Ανεπιλέξουμε το σημείο τομής της καμπύλης χρησιμότητας του Κώσταμε τον άξονα των 48 μπισκότων (0 για τον Γιάννη) βλέπουμε πωςη χρησιμότητα του Κώστα παραμένει ίδια ενώ η χρησιμότητα του


Γιάννη αυξάνεται 0− 562

12 = −261.33. Οπότε σίγουρα υπάρχουν πολλάπεριθώρια για κοινή βελτίωση.


Ένα αεροδρόμιο βρίσκεται κοντά σε περιοχή που ανήκει σεεργολάβο που ετοιμάζει οικιστική ανάπτυξη. Ο εργολάβος θαήθελε να κτίσει σπίτια αλλά ο θόρυβος μειώνει την αξία της γης.Όσο περισσότερα αεροπλάνα πετούν, λιγότερα είναι τα κέρδη τουεργολάβου. Έστω X ο αριθμός των αεροπλάνων που πετάνε ανά μέρακαι Y ο αριθμός των σπιτιών που χτίζει ο εργολάβος. Τα συνολικάκέρδη του αεροδρομίου είναι 48X −X2, τα κέρδη του εργολάβουείναι 60Y −Y 2−XY . Ας δούμε τις επιπτώσεις διαφορετικών θεσμώνκαι διαπραγματεύσεων μεταξύ του αεροδρομίου και του εργολάβου.(α) “Ελεύθερη επιλογή και καμία διαπραγμάτευση”: Έστω ότι

δεν μπορούν να διαπραγματευτούν οι δύο πλευρές και ο καθέναςεπιλέγει την δράση του ανεξάρτητα. Πόσα αεροπλάνα θα πετά-ξουν; Πόσα σπίτια θα χτίσει ο εργολάβος; Ποια τα κέρδη τουαεροδρομίου και του εργολάβου (και τα συνολικά);Απάντηση: Τα κέρδη του αεροδρομίου μεγιστοποιούνται (όταν

λειτουργούν ανεξάρτητα) με 24 αεροπλάνα. Μεγιστοποιούμε 48X −X2 οπότε 48− 2X = 0. Για τα κέρδη του εργολάβου μεγιστοποιούμε60Y − Y 2 −XY , οπότε 60− 2Y −X όπου X=24 οπότε Υ=18. Τα κέρδητα υπολογίζουμε βάζοντας τις τιμές των Χ και Υ που βρήκαμεστις συναρτήσεις κέρδους, του αεροδρομίου είναι 576 και τουεργολάβου 324 οπότε τα συνολικά κέρδη είναι 900.(β) “Αυστηρή απαγόρευση”: Έστω ότι απαγορεύεται να πετούν

αεροπλάνα για να αποφευχθεί ο θόρυβος. Πόσα σπίτια θα χτιστούν;Απάντηση: Ο εργολάβος μεγιστοποιεί τα κέρδη του με X=0 (60Y −

Y 2, οπότε Υ=30. Τα συνολικά κέρδη του εργολάβου θα είναι 900.(γ) “Ο παράδεισος του δικηγόρου”: Έστω ότι θα περάσει νόμος

που καθιστά το αεροδρόμιο υπεύθυνο για όποιες ζημιές στηνπεριουσία του εργολάβου (αστική ευθύνη). Εφόσον τα κέρδη τουεργολάβου 60Y −Y 2−XY και τα κέρδη του θα ήταν 60Y −Y 2 αν δενπετούσαν καθόλου αεροπλάνα, το συνολικό ποσό που θα λάβει οεργολάβος για την ζημιές που προκαλεί το αεροδρόμιο είναι XY.Αν το αεροδρόμιο πετάξει X αεροπλάνα και ο εργολάβος χτίσειY σπίτια, τότε τα κέρδη του αεροδρομίου αφού έχει πληρώσειγια τις ζημιά που προκαλεί θα είναι 48X − X2 − XY . Τα κέρδητου εργολάβου που συμπεριλαμβάνει τα χρήματα που θα λάβει απότο αεροδρόμιο θα είναι 60Y − Y 2 − XY + XY = 60Y − Y 2. Για ναμεγιστοποιήσει τα καθαρά κέρδη, ο εργολάβος θα επιλέξει να


χτίσει πόσα σπίτια; Το αεροδρόμιο; Ποια θα είναι τα κέρδη τους(και το συνολικό κέρδος και των δυο);Απάντηση: Ο εργολάβος θα χτίσει 30 σπίτια (εφόσον η συνάρ-

τηση κέρδους είναι ίδια με την ερώτηση (γ) με κέρδη 900. Τοαεροδρόμιο θα μεγιστοποιήσει 48X − X2 − X · 30 ή 18X − X2 οπότεμεγιστοποιεί τα κέρδη του πετώντας 9 αεροπλάνα με κέρδη 18*9-92=81. Οπότε τα συνολικά τους κέρδη είναι 981.(δ) “Συγχώνευση”: Έστω ότι ο εργολάβος θα αγοράσει το αε-

ροδρόμιο. Ποια είναι η συνάρτηση κέρδους αυτής της κοινήςοντότητας; Πόσα σπίτια πρέπει να χτίσει και πόσα αεροπλάνανα αφήσει να πετούν; Ποια είναι τα συνολικά κέρδη; Εξηγεί-στε γιατί οι προηγούμενοι θεσμικοί κανόνες (καταστάσεις) δενπετυχαίνουν αποτελεσματικότητα;Απάντηση: Η συνάρτηση κέρδους θα είναι 48X−X2+60Y −Y 2−XY .

Για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη θα χτίσει 24 σπίτια και θαπετάξει 12 αεροπλάνα. Τα συνολικά κέρδη θα είναι 1008.Στην περίπτωση (α) το αεροδρόμιο δεν αναλαμβάνει το κόστος

ζημιάς που προκαλούν τα αεροπλάνα στον εργολάβο. Στην περίπτωση(β) όπου απαγορεύονται οι πτήσεις εξαφανίζεται η ζημιά πουπροκαλεί το αεροδρόμιο αλλά μαζί και τα οφέλη των πτήσεων. Στηνπερίπτωση (γ) το αεροδρόμιο αναλαμβάνει το συνολικό κόστος τωνπτήσεων (μαζί με την ζημιά της εξωτερικότητας) αλλά ο εργολάβοςδεν αντιμετωπίζει καθόλου το μερίδιο της ζημιάς (την απώλειατων κερδών του αεροδρομίου) οπότε χτίζει υπερβολικά.(ε) Έστω πως παραμένουν ανεξάρτητοι το αεροδρόμιο και ο

εργολάβος. Αν ξεκινάγαμε από την περίπτωση “Ελεύθερη επιλογήκαι καμία διαπραγμάτευση”, θα μπορούσε ο εργολάβος να αυξήσειτα κέρδη του δωροδοκώντας το αεροδρόμιο να μειώσει κατά μίαπτήση την ημέρα αν ο εργολάβος πρέπει να πληρώσει για τηναπώλεια κερδών του αεροδρομίου; Πόσες πτήσεις ανά μέρα θαζητούσε το αεροδρόμιο να μειώσει για να μεγιστοποιήσει τακέρδη του ο εργολάβος (εφόσον πληρώνει το αεροδρόμιο για τηνμείωση);Απάντηση: Ναι θα μπορούσε ο εργολάβος να αυξήσει τα κέρδη του

δωροδοκώντας το αεροδρόμιο. Για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη τουθα έπρεπε να ζητήσει από το αεροδρόμιο να μειώσει κατά 12 τιςπτήσεις του (καταλήγοντας εκεί που μεγιστοποιούνται τα κοινάκέρδη στο (δ)). Στην περίπτωση της ελεύθερης επιλογής είδαμεπως ο εργολάβος χτίζει 18 σπίτια με κέρδη 324, το αεροδρόμιοπετάει 24 αεροπλάνα με κέρδη 576 και τα συνολικά κέρδη τουςείναι 900. Γνωρίζουμε πως τα κοινά κέρδη μεγιστοποιούνται(1008) όταν χτίζονται 24 σπίτια (με κέρδη 576) και πετάνε12 αεροπλάνα (με κέρδη 432). Η απώλεια του αεροδρομίου είναι


Σχήμα 0.4: Τα κοινά κέρδη

(576-432=144) αλλά κερδίζει ο εργολάβος (576-324=252). Οπότεμε χαρά τον δωροδοκεί.

0.13 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά)

Το χωριό Μάσκρατ του Καναδά έχει 1000 κάτοικους. Οι πολί-τες του χωριού καταναλώνουν μόνο ένα ιδιωτικό αγαθό, μπύραLabatt’s. Υπάρχει ένα δημόσιο αγαθό, το παγοδρόμιο. Οι πολί-τες έχουν τις ίδιες συναρτήσεις χρησιμότητας. Η συνάρτηση αυτήείναι U(Xi, G) = Xi − 100

G , όπου Xi είναι ο αριθμός μπουκαλιών πουκαταναλώνει ο πολίτης i και G το μέγεθος του παγοδρομίου σετετραγωνικά μέτρα. Η τιμή της μπύρας είναι $1 ανά μπουκάλι καιη τιμή του γηπέδου πατινάζ είναι $10 ανά τετραγωνικό μέτρο.Το εισόδημα που έχει κάθε πολίτης στο Μασκρατ είναι $1000ετησίως.(α) Ποια είναι η απόλυτη τιμή του οριακού λόγου υποκατάστασης

μεταξύ παγοδρομίου και μπύρας για κάθε πολίτη; Ποιο είναι τοοριακό κόστος ενός παραπάνω τετραγωνικού μέτρου (σε όρουςμπύρας);


Απάντηση: ΟΛΥ είναι 100G2 . Οριακό κόστος ενός παραπάνω τετρα-

γωνικού μέτρου είναι 10.(β) Γράψτε την συνάρτηση για το χωριό Μάσκρατ που ορίζει

το αποτελεσματικό ποσό του δημόσιου αγαθού (παγοδρόμιο) καιβρείτε την αποτελεσματική τιμή του δημόσιου αγαθού G.Απάντηση:1000100

G2 = 10 οπότε G=100.(γ) Έστω πως ο κάθε πολίτης στην πόλη πληρώνει το ίδιο ποσοστό

του κόστους του παγοδρομίου. Ξοδεύονται συνολικά $10G για τοπαγοδρόμιο. Ο φόρος που θα πληρώνει ο κάθε πολίτης τότε θαείναι $10G/1000=$G/100. Κάθε πολίτης του χωριού ψηφίζει γιαμέγεθος του παγοδρομίου και αντιλαμβάνεται πως θα υποχρεωθείνα πληρώσει το μερίδιο του κόστους. Με αυτό το δεδομένο γράψτετην εξίσωση του διαθέσιμου χρήματος που θα έχει ο κάθε πολίτηςγια ν’ αγοράσει μπύρα.Απάντηση: 1000-G/100.(δ) Οπότε μπορούμε να γράψουμε τον εισοδηματικό περιορισμό

του ψηφοφόρου ως Xi+G100 = 1000. Για ν’ αποφασίσει ο κάθε πολίτης

για το μέγεθος του παγοδρομίου που θα επιλέξει να ψηφίσει,λύνει για τον συνδυασμό των Xi και G που μεγιστοποιεί τηνχρησιμότητα του υπό τον εισοδηματικό περιορισμό. Πόσο G θαεπιλέξει;Απάντηση: G=100.(ε) Αν ο δήμος προσφέρει ένα παγοδρόμιο στο μέγεθος που ψή-

φισαν οι πολίτες θα είναι μικρότερο, μεγαλύτερο ή ίδιο μέγεθοςμε αυτό που είναι κατά Pareto αποτελεσματικό;Απάντηση: Ίδιο.(στ) Έστω πως το Οντάριο αποφασίσει να επιδοτήσει παγοδρόμια

για να υποστηρίξει την πολιτιστική κληρονομιά. Αναλαμβάνει το%50 του κόστους σε όλα τα χωριά. Το κόστος της επιδότησης θα τομοιραστούν (με αύξηση φόρου) όλοι οι πολίτες της περιφέρειαςτου Οντάριο. Η επίδραση αυτού του φόρου θα είναι μηδαμινή γιατους πολίτες του Μάσκρατ (οπότε και μπορούμε να την αγνοή-σουμε). Τώρα, περίπου τι μεγέθους παγοδρομίου θα θέλανε οιψηφοφόροι του Μάσκρατ;Απάντηση:

G = 100√2 (16)

(ζ) Η επιδότηση προάγει την αποτελεσματικότητα;Απάντηση: Όχι.



Το χωριό Δαφνές, στη Κρήτη έχει 1000 άτομα. Κάθε χρόνο κάνουνένα πανηγύρι με πυροτεχνήματα. Οι πολίτες ενδιαφέρονται μόνογια δύο πράγματα: ρακί και πυροτεχνήματα. Τα πυροτεχνήματακοστίζουν 1 λίτρο ρακί ανά μονάδα. Όλοι έχουν ίδιες συναρτή-σεις χρησιμότητας. Η συνάρτηση χρησιμότητας του κάθε πολίτη iείναι Ui(xi, g) = xi +

√g

20 , όπου xi είναι λίτρα ρακί το χρόνο πουκαταναλώνει κάθε πολίτης και g είναι οι μονάδες πυροτεχνημάτωνπου αναλώνονται στο ετήσιο πανηγύρι.(α) Βρείτε την απόλυτη αξία του ΟΛΥ του κάθε πολίτη μεταξύ

πυροτεχνημάτων και ρακί.Απάντηση:

1

40√g

(17)

(β) Ποια είναι η κατά Παρέτο βέλτιστη ποσότητα πυροτεχνημά-των;Απάντηση: 625. Λύνουμε 1000

40√g = 1.

0.15 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Δημοσια αγαθά)

Ο Κώστας και ο Γιάννης είναι συγκάτοικοι και βρίσκουν ένανπαλιό καναπέ που ταιριάζει με το σαλόνι τους. Η συνάρτησητου Κώστα είναι uC(S,MC) = (1 + S)MC, η χρησιμότητα του Γιάννηείναι uG(S,MG) = (2 + S)MG. MC και MG είναι τα ποσά χρημάτωνπου μπορούν να ξοδέψουν ο Κώστας και ο Γιάννης σε άλλα αγαθά,S=1 αν αγοράσουν τον καναπέ, και S=0 αν δεν τον αγοράσουν. ΟΚώστας έχει να ξοδέψει WC και ο Γιάννης έχει WG δολάρια.(α) Ποια είναι η τιμή επιφύλαξης του Κώστα για τον καναπέ;Απάντηση: Λύστε WC = 2(WC − pC) για να βρείτε pC = WC

2 .(β) Ποια είναι η τιμή επιφύλαξης του Γιάννη για τον καναπέ;Απάντηση: Λύστε 2WG = 3(WG − pG) για να βρείτε pG = WG

3 .(γ) Αν ο Κώστας έχει συνολικό πλούτο WC=$100 και ο Γιάννης

έχει WG=$75 για να ξοδέψουν για τον καναπέ και για άλλα αγαθά,θα μπορούσαν να αγοράσουν τον καναπέ και να απολαύσουν μια κατάΠαρέτο βελτίωση σχετικά με το να μην τον αγοράσουν αν η τιμήτου καναπέ δεν ξεπερνά το ποσό _;Απάντηση:* $75.



Η Λάρα και η Μαρία είναι συγκάτοικοι. Ξοδεύουν μέρος τουεισοδήματος τους σε ιδιωτικά αγαθά όπως τρόφιμα και ρούχα καιάλλο μέρος σε δημόσια αγαθά όπως ψυγείο, ηλεκτρισμό, θέρμανσηκαι νοίκι. Η συνάρτηση χρησιμότητας της Λάρας είναι 2XL+G καιτης Μαρίας XMG, όπου XL και XM είναι τα χρήματα που ξοδεύουνγια ιδιωτικά αγαθά και G το ποσό χρημάτων που ξοδεύουν γιατα δημόσια αγαθά. Από κοινού έχουν $8000 ετησίως να ξοδεύουν(για ιδιωτικά και δημόσια αγαθά).(α) Ποια είναι η απόλυτη τιμή του ΟΛΥ της Λάρας μεταξύ

δημόσιων και ιδιωτικών αγαθών; Ποια της Μαρίας;Απάντηση: Ο ΟΛΥ της Λάρας είναι 1/2 και της Μαρίας XM

G .(β) Γράψτε την εξίσωση που προσδιορίζει την αποτελεσματική

κατανομή δημόσιου αγαθού.Απάντηση:1

2 + XMG = 1.

(γ) Έστω πως η κάθε μία ξοδεύει $2000 σε ιδιωτικά αγαθάκαι τα υπόλοιπα $4000 σε δημόσια αγαθά. Είναι μια κατά Παρέτοαποτελεσματική κατανομή;Απάντηση: Ναι.(δ) Αναφέρετε μια διαφορετική κατά Παρέτο κατανομή όπου η

Μαρία λαμβάνει περισσότερο από $2000 και η Λάρα λιγότερο από$2000 σε ιδιωτικά αγαθά.Απάντηση: Ένα παράδειγμα είναι: η Μαρία λαμβάνει $2500, η

Λάρα $500 και G=$5000.(ε) Αναφέρετε ακόμα ένα παράδειγμα κατά Παρέτο κατανομής

όπου η Λάρα λαμβάνει περισσότερο από $2000.Απάντηση: Η Λάρα λαμβάνει $5000, η Μαρία $1000 και G=$2000.(στ) Περιγράψτε το σύνολο των κατά Παρέτο βέλτιστων κατανο-

μών.Απάντηση: Οι κατανομές που ικανοποιούν τις εξισώσεις XM

G = 12

και XL +XM +G = $8000.

0.17 Άσκηση 1 Απαντήσεις (ΑσύμμτερηΠληροφόρηση)

Υπάρχουν δύο ειδών ξύστρες, ‘υψηλής ποιότητας’ που οι κατα-ναλωτές διατίθενται να πληρώσουν €14 και ‘χαμηλής ποιότητας’που οι καταναλωτές διατίθενται να δώσουν €8. Οι καταναλωτέςδεν μπορούν να καταλάβουν την διαφορά πριν την αγορά αλλά μετην χρήση φαίνεται. Οι καταναλωτές είναι ουδέτεροι απέναντιστο ρίσκο. Αν έχουν πιθανότητα q να λάβουν το προϊόν υψηλής


ποιότητας και (1-q) πιθανότητα να λάβουν το προϊόν χαμηλής,αποτιμούν αυτό το ενδεχόμενο ως 14q+8(1-q). Κάθε είδος πα-ραγωγού μπορεί να κατασκευάσει το προϊόν σε σταθερό κόστοςανά μονάδα €11.50. Όλοι οι παραγωγοί συμπεριφέρονται ανταγω-νιστικά. Έστω q=1/2.(α) Υποθέστε πως η πώληση της χαμηλής ποιότητας ηλεκτρονικής

ξύστρας είναι παράνομη, έτσι ώστε μόνο οι υψηλής ποιότητας ναπωλούνται. Ποια θα είναι η τιμή ισορροπίας;Απάντηση: €11.50.(β) Υποθέστε πως δεν υπήρχαν πωλητές υψηλής ποιότητας προϊό-

ντων. Πόσες ξύστρες χαμηλής ποιότητας πιστεύετε θα πουληθούν;Απάντηση: Οι πωλητές δεν θα πουλήσουν για λιγότερο από

€11.50, οι καταναλωτές δεν δίνουν παραπάνω από €8 οπότε δενθα υπάρξουν καθόλου πωλήσεις.(γ) Θα μπορούσε να υπάρξει ισορροπία όπου πωλούνται ίσες

ποσότητες των δύο ειδών;Απάντηση: Όχι. Η μέση διάθεση πληρωμής θα ήταν €11, που είναι

λιγότερο απ’ ότι κοστίζει η παραγωγή.(δ) Τώρα αλλάξτε την υπόθεση για την τεχνολογία. Υποθέστε

πως κάθε παραγωγός έχει την δυνατότητα να επιλέξει το είδοςτου προϊόντος που παράγει και όπου το κόστος παραγωγής τουπροϊόντος υψηλής ποιότητας είναι €11.50 και χαμηλής ποιότητας€11. Ποια θα είναι η ισορροπία στην αγορά;Απάντηση: Καμία ανταλλαγή. Οι παραγωγοί θα κατασκευάσουν

μόνο χαμηλής ποιότητας αφού κοστίζει λιγότερο. Αν το πράξουνόλοι, το κόστος ανά μονάδα θα είναι €11 αλλά οι καταναλωτέςδεν θα δίνουν παραπάνω από €8.(ε) Συνεχίζοντας με την ίδια υπόθεση της ερώτησης (δ), τι

καλό θα έκανε αν η κυβέρνηση απαγόρευε την παραγωγή χαμηλήςποιότητας προϊόντος;Απάντηση: Χωρίς την απαγόρευση δεν υπάρχει καθόλου παραγωγή.

Με την απαγόρευση θα υπάρξει παραγωγή και πλεόνασμα του κα-ταναλωτή. Η απαγόρευση ‘ποικιλίας’ κάνει καλό στην λειτουργίατης αγοράς!


Στο χωριό Αίνιγμα υπάρχουν δύο ειδών εργάτες: Δενβαριέσαιπου η εργασία τους αξίζει $1000 το μήνα και Σπασίκλες πουη εργασία τους αξίζει $2500 το μήνα. Στο χωριό υπάρχουν δι-πλάσιοι Δενβαριέσαι από Σπασίκλες. Μοιάζουν τρομερά και οι


Δενβαριέσαι είναι εξπέρ στο ψέμα ενώ οι Σπασίκλες αδυνατούννα πουν ψέματα. Δεν αξίζει ο έλεγχος της απόδοσης εργασίαςγιατί είναι ασύμφορο. Παλιά δεν υπήρχε τρόπος να διακρίνονταιοι δύο τύποι οπότε πληρωνόντουσαν τον ίδιο μισθό.(α) Με ανταγωνιστικές αγορές εργασίας ποιος θα ήταν ο μισθός;Απάντηση:2

3 · 1000 + 13 · 2500=$1500

(β) Ένας καθηγητής που την βρίσκει να μιλάει προσφέρει τζά-μπα διαλέξεις στους εργαζόμενους μιας μικρής εταιρείας. Οιδιαλέξεις ήταν εξαιρετικά βαρετές και δεν είχαν καμία επί-δραση στην απόδοση των εργαζομένων. Για τους Δενβαριέσαι ήταντόσο βαρετές που ήταν σαν να χάνουν $100. Οι Σπασίκλες επί-σης υπέφεραν αλλά ήταν μικρότερη η ζημιά: $50. Υποθέστε πωςη επιχείρηση έδινε μια μικρή αύξηση $55 στους εργαζόμενους μετην απαίτηση να παρακολουθούν τις διαλέξεις. Τι θα συνέβαινεστο εργατικό δυναμικό και ποια θα ήταν η μέση παραγωγικότηταανά εργαζόμενο;Απάντηση: Θα φεύγαν όλοι οι Δενβαριέσαι. Οι Σπασίκλες θα

μέναν και θα προσλάμβαναν και άλλους. Η παραγωγικότητα θααυξανόταν κατά $1000 (από 1500 σε 2500).(β) Άλλες επιχειρήσεις παρατηρώντας την αυξημένη απόδοση των

εργαζομένων στην μικρή επιχείρηση προσπάθησαν να προσελκύσουντους εργαζόμενους από την μικρή επιχείρηση προσφέροντας κάτιπαραπάνω. Πού θα κατέληγε ο ανταγωνισμός για την προσέλκυσηαυτών; (τι μισθό θα περνάνε);Απάντηση: $2500(γ) Βλέποντας την επίδραση των διαλέξεων του στη απόδοση των

εργαζομένων ο καθηγητής αποφάσισε να επεκτείνει το πρόγραμμαδιαλέξεων σε μεγάλη αίθουσα που χωρούσε όλους του χωριού Αί-νιγμα.Πόσους θα στέλνανε οι εργοδότες για τις διαλέξεις;Απάντηση: Όλους.Βλέποντας το αποτέλεσμα αυτό τι πριμ θα δίναν οι εργοδότες

στους εργαζόμενους;Απάντηση: 0(δ) Απογοητευμένος ο καθηγητής για την επίδραση των διαλέ-

ξεων στην μεγάλη αίθουσα αποφάσισε να προσφέρει περισσότερεςδιαλέξεις για να ‘μάθουν περισσότερα’ οι μαθητές του. Αποφά-σισε να προσφέρει πρόγραμμα με 20 διαλέξεις το μήνα. Θα υπήρχενέα ισορροπία όπου όλοι οι Σπασίκλες παρακολουθούσαν το πρό-γραμμα και οι Δενβαριέσαι δεν πηγαίναν και πληρωνόντουσαν όσοιπηγαίναν στο μάθημα σύμφωνα με την πραγματική τους απόδοση;Απάντηση: Ναι. Εφόσον αυτοί που πήγαιναν θα λάμβαναν $2500

και όσοι δεν παρακολουθούσαν, λάμβαναν $1000 το μήνα, τότε οι


Σπασίκλες θα παρακολουθούσαν γιατί 20 ώρες θα τους ‘κόστιζε’$1000 αλλά θα κέρδιζαν $1500. Οι Δενβαριέσαι δεν θα παρακολου-θούσαν γιατί ο πόνος των διαλέξεων θα αντιστοιχούσε με $2000το μήνα ενώ το όφελος του αυξημένου μισθού θα ήταν $1500.(ε) Ποιες είναι οι ελάχιστες ώρες διαλέξεων που θα μπο-

ρούσε να προσφέρει ο καθηγητής διατηρώντας την ‘διαχωριστικήισορροπία’;Απάντηση: 15 ώρες.


Ένας γεωργός παράγει σανό. Έχει έναν εργάτη που όταν εργάζε-ται x ώρες παράγει x τσουβάλια σανό. Κάθε τσουβάλι πουλιέται€1. Το κόστος για τον εργάτη (η απώλεια στον ίδιο) είναιc (x) = x2

10.(α) Ποια είναι η αποτελεσματική ποσότητα τσουβαλιών;Απάντηση: 5(β) Αν δεν έχει εναλλακτική εργασία ο εργάτης, πόσο θα έπρεπε

να τον πληρώσει ο γεωργός για να εργαστεί στην αποτελεσματικήποσότητα;Απάντηση:52

10=€2.50.(γ) Ποιο είναι το καθαρό κέρδος του γεωργού;Απάντηση: 5-2.50=€2.50.(δ) Υποθέστε πως μπορεί να λάβει ο εργάτης €1 μοιράζοντας

ενημερωτικά έντυπα και αυτό δεν απαιτεί καθόλου κόπο. Πόσο θαέπρεπε να του δώσει ο γεωργός για να παράξει την αποτελεσματικήποσότητα σανό;Απάντηση: €3.50.(ε) Έστω πως δεν υπάρχει πλέον η δυνατότητα των εντύπων,

αλλά ο γεωργός αποφάσιζε να νοικιάσει το κτήμα του στον εργάτηγια ένα εφάπαξ ποσό. Πόσο θα ζητούσε;Απάντηση: €2.50.


Στο Καλέντζι 1000 άτομα θέλουν να πουλήσουν τα αυτοκίνητατους (2ο χέρι). Οι αρχικοί ιδιοκτήτες ξέρουν την πραγματικήαξία των αυτοκινήτων τους. Όλα τα αυτοκίνητα μοιάζουν ίδιαστους δυνητικούς αγοραστές μέχρι που να τα αποκτήσουν και


τότε μαθαίνουν την αλήθεια. Για όποιο νούμερο Χ μεταξύ 0 και2000, ο αριθμός των αυτοκινήτων με ποιότητα χαμηλότερη του Χείναι Χ/2. Αν γνώριζε ο αγοραστής ότι η ποιότητα του αυτοκι-νήτου είναι Χ, θα το αγόραζε για Χ+500. Όταν δεν γνωρίζουντην ποιότητά του αυτοκινήτου είναι διατεθημένοι να πληρώσουντην προσδοκώμενη τιμή, με δεδομένο τις γνώσεις τους για τηνκατανομή των ποιοτήτων στην αγορά.(α) Υποθέστε πως όλοι γνωρίζουν ότι όλα τα αμάξια δεύτερο

χέρι πουλιούνται στο Καλέντζι.Σε τι τιμή θα πουλιόνταν;Απάντηση: $1500Θα μπορούσε κάθε πωλητής να βρει αγοραστή με αυτήν την τιμή;Απάντηση: ΌχιΠοια αυτοκίνητα (δεύτερο χέρι) θα πουλιόνταν;Απάντηση: Αυτά που άξιζαν λιγότερο από $1500.(β) Έστω X* είναι ένα νούμερο μεταξύ 0 και 2000 και υποθέστε

ότι όλα τα αμάξια χαμηλότερης ποιότητας του Χ* πουλιούνται αλλάοι ιδιοκτήτες δεν πουλήσουν τα αμάξια ποιότητας μεγαλύτερηςαπό Χ*.Τι θα έδιναν οι αγοραστές για ένα αυτοκίνητο;Απάντηση: Χ*/2 +500.Σε αυτήν την τιμή ποια αυτοκίνητα θα πουλιόνταν;Απάντηση: Αυτά που είχαν μικρότερη αξία από Χ*/2 +500.(γ) Γράψτε μια συνάρτηση για την τιμή ισορροπίας του Χ* όπου

η τιμή που διατίθενται να πληρώσουν οι αγοραστές είναι ακριβώςόσο χρειάζεται για να πουληθούν όλα τα αυτοκίνητα που έχουνποιότητα μικρότερη από Χ* και βρείτε την τιμή αυτή.Απάντηση: Χ/2+500=Χ => Χ*=$1000.

advanced economic analysis

Documents