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Rdpartiteur.

A. T]~LEC.j 29, n ~ 11-12, 1974

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ACCESSIBILITY, R E S T R E I N T E - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

p a r

Geo rges F A L C O U Ing6nieur des t616communications *

R g s u M ~ . - - L'auteur ds les probl~mes renconlrds et les rdsullats oblenus au cours de l'dtude de l'accessibilitd restreinte et des mul t ip lages partiels dans les syst~mes avec choix aldatoire du point de sortie. Le plan suiv i correspond & peu pros d l'~volulion chronologique des iddcs qui Font conduit, en partant de mult iplages parliels complexes donnant la meilleure qualitd de service possible, & choisir cn fin de compte des mul t iplages partiels plus simples, donnant une qualitd de service Idg~rement moins bonne, mais particuli~rement bien adaptds & l'dvolution des trois param~tres de base des mult iplages partiels (nombre de groupcs, accessibilitd, nombre de circuits) . Les mul t ip lages choisis sont ddfinis avec prdeision quelles que soient les valeurs de ces trois para-

m&tres. S imul tandment , une mdthode d'dvaluation de la probabilitd de blocage a dtd dlaborde.

PLA~. - - �9 I : Introduct ion 1.1. Ddfinition du probl&me. Param&lres des mult iplages part ie ls; 1.2. Objccti fs; 1.3. Hypotheses. �9 I I : Wlul~plages ~radu6s I I .1 . D~fin i t ion; I I .2 . Mdthode de construct ion; I I .3 . M u l - plages graduds dans le eas des syst~mes avec choix aldatoire du point de sortie. �9 I I I : M u l t i p l a ~ e s h o m o - g ~ n e s I I I . 1 . Gdndralitds ; I I I . 2 . Multiplages combinatoirement homog~nes ; I I I . 3 . Mult ip lages homog~nes cycliques. �9 I V : Multiplages semi-homog~nes cycliques binaires IV.1 . Ddfini t ion; IV.2 . Mdthode de construction; IV .3 . Evolution. �9 V : C o r n p a r a i s o n s d e q u a l i t ~ de s e r v i c e V.1 . Premiere comparaison des diffdrents types de mult iplages ; V.2. Deuxi&me comparaison des diffdrents types de mult iplages ; V.3 . Comparaison compldmcntaire entre les multiplages homog&nes cycliques et semi-homog&nes cycliques binaires.

�9 V I : Calcul de la p r o b a b i l i t ~ de b l o c a ~ e . �9 V I I : Conclusion

I . I N T R O D U C T I O N

1.1. D6finition du probl~me. Parambtres des multiplagea partiels.

P o u r des r a i s o n s h l a fois t e c h n i q u e s e t d c o n o m i q u e s ,

les groupes de sdlection u t i l i s~s a c t u e l l e m e n t p o u r

c o n s t i t u e r les c h a i n e s d e s61ect ion des a u t o c o m m u -

t a t e u r s o n t u n nombre limitd de points de sortie :

- - 200, 300, 400 o u 600 e n C P 400,

- - 1 040 ou 2 080 e n P e n t a c o n t a .

So i t K le n o m b r e d e p o i n t s d e s o r t i e d ' u n g r o u p e

de s61ect ion. D a n s le c a s o h le n o m b r e t o t a l de cir-

c u i t s c o n n e c t 6 s en s o r t i e d ' u n e c h a i n e de s61ect ion es t

i n f d r i e u r ou 6ga l h K , c h a c u n d e ces c i r c u i t s p e u t ~t re

m u l t i p l 6 s u r l ' e n s e m b l e de s g r o u p e s . D a n s ces c o n d i -

t i o n s , il e s t p o s s i b l e , h p a r t i r d ' u n p o i n t d ' e n t r d e de

F u n q u e l c o n q u e de s g r o u p e s (h c o n d i t i o n q u ' i l n ' y

a i t p a s de b l o c a g e h l ' i n t 6 r i e u r des g r o u p e s , h y p o -

t h ~ s e s u p p o s 6 e vd r i f i6e ) , d ' a t t e i n d r e n ' i m p o r t e que l

c i r c u i t de n ' i m p o r t e q u e l f a i s c e a u . O n d i t a lo r s q u e

les d i f f ~ r e n t s f a i s c e a u x s o n t a t t e i n t s en accessibilitd tolale.

Si l ' o n v e u t , e t c ' e s t g 6 n ~ r a l e m e n t le cas , c o n s t i t u e r

de s c h a i n e s de s61ect ion q u i p e r m e t t e n t d ' a c c 6 d e r ,

g l o b a l e m e n t , h u n p l u s g r a n d n o m b r e d e c i r c u i t s , il

e s t n 6 c e s s a i r e de n e p a s m u l t i p l e r t o u s les c i r c u i t s

s u r l ' e n s e m b l e des g r o u p e s .

S o i t I le n o m b r e t o t a l d e f a i s c e a u x d e s s e r v i s p a r

l a c h a i n e de s61ect ion. S u p p o s o n s q u e le f a i s c e a u

Fi (1 ~< i ~< I ) c o m p o r t e N i c i r c u i t s e t u t i l i s e kl p o i n t s

d e s o r t i e d a n s c h a c u n des g r o u p e s . O n a :

ki <~ N i ,

l ' 6 g a l i t 6 c o r r e s p o n d a n t h l ' a c c e s s i b i l i t 6 t o t a l e .

L o r s q u e ki es t s t r i c t e m e n t i n f 6 r i e u r h N t , o n d i t

q u e le f a i s c e a u Fi e s t a t t e i n t e n accessibilitd restreinte, kt 6 t a n t l ' a c c e s s i b i l i t ~ .

L e n o m b r e d e p o i n t s de s o r t i e u t i l i s6 s p a r g r o u p e

6 r a n t l i m i t 6 h K , o n a n 6 c e s s a i r e m e n t :

E k ~ < K.

E n s u p p o s a n t q u ' i l n ' y a i r p a s d e b l o c a g e h l ' i n t 6 -

r i e u r de s g r o u p e s de s d l e c t i o n , les p o s s i b i l i t 6 s d ' 6 c o u -

l e m e n t de t r a f i c s u r u n f a i s c e a u s o n t i n d 6 p e n d a n t e s

de s a u t r e s f a i s c e a u x .

L e b u t de ce t a r t i c l e e s t d e p r 6 s e n t e r les r d s u l t a t s

d ' u n e 6 r u d e r e l a t i v e h l ' ~ c o u l e m e n t d u t r a f i c d a n s u n

s y s t ~ m e c o n s t i t u 6 p a r u n f a i s c e a u de N c i r c u i t s

c o n n e c t 6 su r G g r o u p e s , a v e c u n e a c c e s s i b i l i t 6 k.

N o u s d 6 s i g n e r 0 n s p a r mult iplage partiel (*) le s c h 6 m a

* A u C N E T - I s s y , g r o u p e m e n t RECHERCHES ET CONTROLE DE COMMUTATION, d 6 p a r t e m e n t INGI~NIERIE DES SYSTEMES DE COMMUTATION.

(*) Nous avons pr6f6r6 utiliser ce te rme et non le te rme franglais grading, qui correspondait in i t ia lement ~ un type particulier de mul t ip lage part iel , bien que ce dernier ai t de plus en plus t endance h ~tre utilis6 pour d6signer n ' impor te quel type de mul t ip lage part iel .

1 /26 A. T~:LEC., 29, n ~ 11-12, 1974

~84 G. FALCOU. -- ACCI~SSIBILITIE RESTREINTE - - STRUCTURE DES MULTIPLAGES PARTIELS

d ' i n t e r c o n n e x i o n des circuits d ' un fa isceau avec les points de sort ie des diff6rents groupes. Les valeurs

G, N, k s o r t les param~tres de base du mul t ip lage

par t ie l ; elles do iven t v6rif ier la re la t ion :

k <~ N <~ Gk

~tant donn6 que le hombre N de c i rcui ts ne peu t ~tre

sup6rieur au nombre to ta l de points de sortie Gk. Ces trois param~tres ne sont pas sull isants pour d6finir de mani~re d6taill6e le mu l t i p l age partiel . Il

exis te en fa i t un nombre consid6rable de possibilitds,

pa rmi lesquel les celles qui pa ra i s sen t les plus favo-

rables, on t dt6 envisag6es au cours de l '6 tude.

1.2. Objectifs.

E n fait , d e u x object i fs n e t t e m e n t diffdrents do iven t

~tre considdr6s dans la d6fini t ion du meil leur mult i -

p lage par t ie l .

L2.1. Objectif qualitd de service.

I1 f au t que, pour des va leurs fix~es de G, k et N,

le t y p e de mu l t i p l age par t ie l choisi donne, a u t a n t que

faire se peu t , la probabi l i t6 de blocage P la plus faible

possible. Cet te probabi l i t6 p o u v a n t ~tre 6valude en fonc t ion du t raf ic offert, pour chaque t y p e de mul t i -

plage par t ie l , la d6 te rmina t ion de la mei l leure m6thode

vis-h-vis de l ' ob jec t i f qualitd de service, ne pose pas

de probl~me. La d6 te rmina t ion de la probabi l i t6 de

blocage P n ' e s t c ependan t pas s imple et ndcessite l ' emplo i de s imulat ions .

L2.2. Objectif faisabilit~ (*).

D ' a u t r e pa r t , la d6fini t iou de la s t r u c t u r e du mul t i -

p lage en fonc t ion des trois pa ram~t res de base et sa cons t ruc t ion ne do iven t pas ~tre t rop complexes . De

plus, les va leu r s de G, k et N n ' 6 t a n t pas fig6es au

cours du t emps , il f au t que le mu l t i p l age par t ie l puisse

6voluer, sans t rop de modi f ica t ions lo rsque l 'une, ou plusieurs de ces va leurs changent .

Ma lheu reusemen t , la complexitd et les facultds d'dvolulion d ' u n mul t ip l age par t ie l sont diff ici lement chiffrables et les compara i sons re la t ives h la faisabili t6

ne p e u v e n t ~tre faites que de mani~re sub jec t ive au

vu des schdmas d ' in te rconnex ion .

L2.3. Combinaison des deux objectifs.

Ces d e u x object i fs sont en fai t cont radic to i res . I1

doi t done exis ter un t y p e de mu l t i p l age par t ie l opt imal . La d6 te rmina t ion de cet o p t i m u m ne peu t

(*) Le but de l'dtude 6tant de normaliser une mdthode de construction des multiplages partiels applicable dans la pratique, le mot faisabilild implique que le temps de travail n6cessaire lors d'une premiere installation ou d'une extension n'est pas prohibitif.

se faire qu 'h l ' a ide de consid6rat ions 6conomiques en

6va luant :

- - d ' u n e par t , le cofit d ' une a u g m e n t a t i o n de l 'accessibil i t6 k et du n o m b r e de circuits N p e r m e t t a n t

de ma in t en i r au-dessous d 'une va leur pr6d6termin6e

la probabi l i t6 de b locage quand on change de t y p e de mul t ip lage ,

- - d ' au t r e pa r t , le cofit de cons t ruc t ion et d '6vo-

lut ion d 'un t y p e de mu l t i p l age partiel .

L '6va lua t ion de ces deux cofits est a pr ior i extr~-

m e m e n t complexe . De plus, ces deux cofits d6penden t

de condi t ions locales. E n ce qui concerne le premier ,

il fau t p rendre en c o m p t e la to ta l i t6 des fa i sceaux

desservis par la cha ine de s~lection et le cofit pa r

circuit pour chacun des faisceaux, 6 taut donn6 que

les accessibilit6s sont lides par ~k / ~< K, l ' a u g m e n -

ta t ion de l 'accessibi l i t6 vers un faisceau e n t r a l n a n t

la d iminu t ion de l 'accessibi l i t6 vers cer ta ins au t res

faisceaux, s'il n ' y a pas de points disponibles. P o u r

le deuxi~me, il f au t t en i r compte du t y p e de mat6r ie l

utilis6. Une tel le op t ima l i s a t i on est donc di f l ic i lement

envisageable. De plus, elle r i squera i t de condui re

des solutions diff6rentes pour chacun des cas pa r t i -

culiers que l 'on p e u t rencont re r . I1 semble pr6f6rable

de ne pas essayer d ' e t r e t rop pur is te et d ' a d o p t e r une approche plus globale abou t i s san t h la d6fini t ion

d 'un nombre r e s t r e in t de types de mul t ip lages ut i l i -

sables de mani~re quas i g6n~rale.

L ' app roche adopt6e a ~t~ la su ivante : l ' ob jec t i f qualitd de service est consid6r6e comme object i f fonda-

mental . Uu m u l t i p l age par t ie l r6pondan t m i e u x q u ' u n

aut re h l ' ob jec t i f faisabi l i td lui est pr6fdr6 dans la

mesure off il n ' i n t r o d u i t pas une a u g m e n t a t i o n no tab le de la probabi l i t6 du b locage et off son emploi appo r t e

des s implif icat ions i m p o r t a n t e s lors de la cons t ruc t ion

et de la mod i f i ca t ion des valeurs des param~tres .

1.3. Hypotheses.

Un cer ta in n o m b r e d 'hypoth~ses p e r m e t t e n t de

simplifier le probl~me.

L3.1. Trafic.

Le t raf ic A offert au faisceau a les carac t6r is t iques

habi tuel les envisag6es de mani6re g6ndrale dans le

cas du rdseau de parole , c 'es t -h-dire que :

- - l a loi d ' a r r ivde des appels correspond h un

processus de Poisson,

- - la loi des dur6es de prise des circuits est expo-

neutiel le n6gat ive .

Nous consid6rerons que le t raf ic offert est dquilibr6

au n iveau des groupes, c 'es t -h-di re que chaque g roupe offre au fa isceau un t ra f ic A / G .

La prise cn c o m p t e de d~s6quilibres sur les groupes

A. T~LEC., 29, n o~ 11-12, 1974 2/26

G . F A L C O U . - - A C C E S S l B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 485

condui ra i t h cons t i tue r des mul t ip lages dissymdtr iques qui devra i en t faire l ' ob je t d '6 tudes part iculi~res dans chaque cas. De plus, la mesure des d6s6quilibres entre groupes pour le t rafic offert h u n faisceau d6termin6 n ' e s t pas chose courante . I1 est plus commode de r6aliser un 6quil ibrage du trafic en r6par t i s san t de mani~re homog~ne les circuits arriv6e en provenance d ' u n e m~me origine sur les diff6rents groupes.

Malgr6 cet te hypoth~se d '6quil ibrage, les mul t i - plages par t ie ls ou t dr6 con~us pour pouvoi r absorber, t ou t en couse rvan t une s t ruc ture sym6tr ique, de 16gers d6s~quilibres de trafic sans que se produise une a u g m e n t a t i o n i m p o r t a n t e de la probabi l i t6 de blocage, clans la mesure off cela n ' a l l a i t pas h l ' encont re de l 'objec t i f faisabilitd.

L3.2. R~gles de choix du point de sortie.

L o r s q u ' u n appel se pr~sente sur un groupe et qu ' i l y a plusieurs circuits libres pa rmi les k circuits du faisceau auxque l s il a acc~s, les syst~mes de commuta - t ion effectuent u n choix pour d~terminer quel est le po in t de sortie, connect6 h u n circuit l ibre qui va ~tre utilis6 pour 6tabl ir l 'appel . Diff6rentes r~gles de choix p e u v e n t ~tre envisag6es, les deux cas extremes 6 t an t les su ivan t s :

1.3.2.1. Choix avec prioritd fixe.

Les k po in ts de sortie du groupe 6 tau t num6rot6s de 1 h k, on choisit pa rmi les points de sortie util i- sables celui don t le num6ro est le plus faible. Ceci correspond au f o n c t i o n n e m e n t de cer ta ins syst~mes u t i l i san t des sdlecteurs rotatifs , l 'ordre de choix des poin ts de sort ie 6 tan t l 'ordre d ' exp lora t ion par les balais du s61ecteur qui ddmar ren t tou jours h par t i r de la m~me pos i t ion de repos.

1.3.2.2. Choix aldaloire.

Le po in t de sortie est choisi au hasard pa rmi tous ceux qui son t uti l isables. E n fait, dans la pra t ique, le choix du po in t de sortie n ' e s t jamais pa r fa i t emen t aldatoire, mais on peu t considdrer que dans beaucoup de syst~mes, on est assez proche de cet te s i tuat ion. De mani~re g6n6rale, un syst~me de priorit6s, variables au cours du temps , d~finit u n ordre d ' exp lora t ion des poin ts de sortie, celui choisi 6 tan t le premier t rouv~ libre. Env i sageons par exemple le cas des grou- pes de s6lecUon 120/400 utilisds dans les CT 4 CP 400. On peu t consid6rer que l 'ordre de choix est, h peu de chose pros, d6fini de la mani~re su ivan te :

- - uu d i s t r i b u t e u r de priori t6 h 2 posi t ions (0, 1), associ6 ~ la bale J, ind ique dans laquelle des deux baies M le tes t d6marrera en premier,

- - un d i s t r i b u t e u r de priorit6s h 6 posi t ions (0, 1, 2, 3, 4, 5), associ6 h chaque baie M, d6 te rmine l 'ordre d ' exp lo ra t ion des n i v e a u x de la baie desservant le faisceau sor tan t ,

- - un d i s t r i b u t e u r de priori td h 10 posi t ions (O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), assoeid h chaque baie M, d6ter-

mine l 'ordre d ' exp lo ra t ion des points dans chacun des n i ve a ux de la baie M.

Ces d i s t r ibu teurs de priori td a v a n c e n t d ' u n pas chaque fois q u ' u n appel quelconque se pr6sente sur le groupe. Les priori t6s va r i e n t donc g loba lement de mani~re cyclique. Dans la mesure off le t raf ic offert h un faisceau par u n groupe ne const i tue pas une p a r t t rop i m p o r t a n t e du trafic offert par le groupe l ' ensemble des faisceaux, le nombre moye n d 'appe ls qui se p r6sen ten t sur le groupe entre deux appels des t ina t ion d ' u n faisceau d6termin6 est grand. Les dtats des d i s t r ibu teu r s lors de l ' appa r i t i on d 'appe ls des t ina t ion d ' u n m~me faisceau sont donc inddpen- dants les uns des autres et il en r6sulte que l ' on peu t adme t t r e que, vis-h-vis d ' u n faisceau d6termin6, la posi t ion des d i s t r ibu teu r s lors de l ' appa r i t i on d ' u n appel est p u r e m e n t al6atoire.

Supposons que l ' on ai t affaire h u n faisceau a t t e i n t avec une accessibili t6 k = 65 et voyons pour chacun des ensembles de poin ts qui on t certaines caract6- r is t iques c o m m u n e s (points d ' u n e m~me baie, po in t s d ' u n m~me n iveau , puis poin ts pris i nd iv idue l l emen t ) quelle est s i m p l e m e n t la probabi l i td qu ' i ls on t d ' e t re test6s en premier . Soit Pb(b) avec b = 0 ou 1 la p roba- bilit6 pour que la bale M associ6e h la pos i t ion b du premier d i s t r i b u t e u r soit celle dans laquel le le t es t d6marre en premier . On a b ien stir :

Pb(0) : P b ( 1 ) : 112.

Supposons de plus que les poin ts sont r6part is de la mani~re su ivan t e :

- - trois n i v e a u x de 10 points , num6rot6s 0, 1, 2 dans la bale M associ6e h b ~ 0,

- - trois n i v e a u x de 10 points , num6rot6s 0, 1, 2, plus u n n iveau de 5 points , num6ro td 3, dans la baie M associ6e h b = 1.

Darts une bale M, le num6ro du n iveau test6 en premier est 6gal au num6ro de la posi t ion du distr i- b u t e u r h 6 posi t ions de la baie, modulo le h o m b r e de n i v e a u x affect~s au faisceau dans la baie.

I1 en r~sulte que, dans la baie M co r re spondan t h b = 0, les trois n i v e a u x 0, 1, 2 on t r e spec t i vemen t les probabi l i t6s 1]3, 1]3, 113 d 'e t re test6s en p remier si cette baie est test6e en premier . P a r contre, dans la bale M c o r r e sponda n t h b = 1, les qua t r e n i v e a u x 0, 1, 2, 3 on t r e spec t ivemen t les probabi l i t6s 113, 113, 116, 116. Globa lement , si P . (n , b) est la p roba - bilit6 pour que le n iveau de num6ro n de la baie co r respondan t h b soit test6 en p r e m i e r ; on a d o n c :

1 1 1

P , ( n , 0) ~ • 3 : 6 n : 0 , 1 , 2 ,

1 1 1 P n ( n , 1 ) = ~ • 3 - - 6 n = 0, 1,

1 1 1 P n ( n , 1 ) = ~ • 6 - - 12 n = 2 , 3 .

L o r s q u ' u n n i v e a u est test6 en premier , les po in t s de ce n iveau ou t une probabi l i t6 6gale d ' e t re test6s

3/26 A. T ~ L E C . , 2 9 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

486 o . F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T E R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G ] E S P A R T I E L S

en p r e m i e r ; elle est 6gale h 1/10 si le n iveau est de

10 points et 1/5 si le n i v e a u est de 5 points. Si Pp(p, n, b) est la p robabi l i t6 pour que le point p

du n iveau n de la bale b soit testd en premier, on

ob t i eu t f ina lement :

* b = 0, n = 0 , 1 , 2 , p ~ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1

Pp (p, n, 0) - - 6 0 '

* b = 1, n = 0 , 1 , p ~ O, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8, 9, 1

Pp (p, n, 1) -- 6 0 '

* b = 1, n = 2, p ~ - O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1

Pp(p, 2 , 1 ) - - 1 2 0 '

* b = 1, n = 3, p ~ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,

1 P, (p, 3, 1) -- 60"

On vo i t donc que les po in ts on t p r a t i q u e m e n t tous

la m~me probabi l i td d ' e t r e test~s en p remier h quel-

ques except ions pr~s. n e n est de m~me pour la probabi l i t~ d ' e t r e test6, en second, en troisi+me, etc.

L ' o r d r e de tes t ddflni se r a p p o r t e en fair h l ' ensemble

des points de sort ie du g roupe affect~s au faisceau.

Le choix pa rmi les po in ts de sort ie donnan t acc~s h

un circui t l ibre se t r o u v e en fa i t r endu plus al6atoire,

6 tau t donn6 qu ' i l est influencd pa r l ' d t a t d 'occupa t ion

des points de sort ie et aussi des mail les internes du

groupe auxquel les a acc~s le po in t d ' en t r6e off s 'est prdsentd l ' appel .

On peu t donc considdrer que d a n s l ' e x e m p l e envi-

sagd, le choix aldatoire est assez proche de ce qui se

passe dans la r6alitd.

1.3.2.3. ROgles de choix envisagdes au cours de l'dtude.

I1 existe de n o m b r e u x cas in term6dia i res entre le

choix avec pr ior i td fixe et le choix aldatoire, mais ils

p e u v e n t le plus souven t ~tre ddtermin6s par appro- x i m a t i o n de mani~re cor rec te pa r Fun des deux cas

ext remes .

E n ce qui concerne le cho ix avec pr ior i t6 fixe, qui

cor respond au f o n c t i o n n e m e n t de syst~mes rotat i fs anciens et pour lequel des r6gles de cons t ruc t ion des

mul t ip lages par t ie ls out dr6 ddfinies dans le passd,

nous nous bornerons h r appe le r quelques principes f o n d a m e n t a u x .

E n fait , no t re a t t e n t i o n s 'es t su r tou t por t6e sur le

choix aldatoire qui p e r m e t de d6crire avec une bonne

a p p r o x i m a t i o n le f o n c t i o n n e m e n t des syst~mes cROSSBAR actuels.

syst~mes dans lesquels le cho ix du po in t de sortie

se fai t avec priori t6 fixe. Chaque circui t d tant acces-

sible ~ pa r t i r d ' u n plus ou moins g rand nombre de

groupes, le mul t ip lage est con~u de mani~re ~ ce que les circuits accessibles h u n moins g rand nombre de

groupes soient placds sur les po in ts de sortie les plus priori taires.

Un exemple est donnd figure 1. On p e u t considdrer

q u ' o n a affaire h un ensemble de fa isceaux don t

G roupes

1 2 3 4

1 x x x x

2 )r x x x

3 x • • x

4 ".c" 7. x •

5 x x ~ • Points de

sortie 6 x x ~( .-c.

7 .~ ~ ~ •

8 x .'<. v v.

10 .'<. ;c • x

FIG. I. -- Multiplage gradu&

chacun ddborde sur un fa isceau raccord~ sur des

points de sortie de pr ior i t6 infdrieure.

On a t o u t d ' a b o r d q u a t r e fa i sceaux individuels (associ~s chacun h uu seul groupe) , qui d6bordent sur

deux fa isceaux s em i - com m uns (associds respect i-

v e m e n t aux groupes 1-2 et 3-4) qui, f inalement ,

d6bordent sur un faisceau c o m m u n h t o u s l e s groupes.

Une tel le r6par t i t ion a p o u r a v a n t a g e d '~qui l ibrer

m ieux le t raf ic sur les c ircui ts en c o m p e n s a n t l 'effet

de la priori t6 fixe et d ' a u t r e p a r t de m a i n t e n i r a u t a n t

que possible libres les c ircui ts qui p e u v e n t desservir l ' ensemble des groupes.

I I . 2 . M ~ t h o d e de c o n s t r u c t i o n .

I I . M U L T I P L A G E S G R A D U ~ . S (*)

I I . 1 . D 6 f i n i t i o n .

Ce sont des mul t ip lages par t ie l s congus pour les

(*) Ce sont des (( gradings ,,, au sens initial du terme.

A. T~L~C., 29 , n os 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

Diffdrentes solut ions p e u v e n t ~tre envisagdes pour

un m~me ensemble de va leurs des pa ram~t res G, k, N.

Chaeune de ces solut ions donne en fa i t une quali t6 de service plus on moins bonne. Des 6tudes, pr inci-

p a l e m e n t expdr imenta les , fai tes sur divers mul t ip lages

graduals, ont mont r6 que d ' u n e fagon gdn6rale et pour les va leurs p ra t iques du traf ie , le mei l l eur mul t ip lage

est celui pour lequel la somme des carr6s des nombres

4/26

G . F A L C O U . - - A C C E S S I B I L I T I ~ 2 B E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 487

de po in t s de so r t i e d ' u n g r o u p e qu i son t connec t~s h

des c i rcu i t s m u l t i p l 6 s su r 1 seul g roupe , sur 2 g rou- pes, etc . , es t m i n i m a l e .

c h a q u e c i r cu i t es t c o n n e c t 6 su r le m ~ m e n o m b r e de

g r o u p e s , h u n e u n i t 6 pr~s.

II.3. Multiplages gradu6s dans le cas des sys- tSmes avec choix al6atoire du point de sortie.

C o m m e ce la a d6jh 6t6 d i t , le p r o b l ~ m e essent ie l e s t la d6 f in i t ion de m u l t i p l a g e s pa r t i e l s dans le cas du cho ix a lda to i re .

U n e p r e m i e r e q u e s t i o n se pose : p e u t - o n u t i l i se r des m u l t i p l a g e s g r a d u 6 s ?

L 'e f f lcac i t6 d ' u n m u l t i p l a g e g radu6 ut i l is6 dans les

c o n d i t i o n s q u e n o u s v e n o n s de v o i r es t due au fa i t q u e plus un c i r c u i t e s t m u l t i p l ~ sur un g r a n d n o m b r e

de g roupe , p lus les p o i n t s de sor t ie qu i p e r m e t t e n t

d ' y acc6der o n t u n e p r i o r i t 6 fa ib le , les c i rcu i t s com- m u n s h l ' e n s e m b l e des g r o u p e s 6 t a n t pr is en de rn ie r

c h o i x h p a r t i r du g r o u p e off s ' e s t p r6sen t6 l ' appe l .

Si m a i n t e n a n t n o u s a p p l i q u i o n s un cho ix a lda to i re

au m ~ m e m u l t i p l a g e p a r t i e l , nous o b t i e n d r i o n s

l ' e f f e t c o n t r a i r e : p l u s u n c i r c u i t se ra i t m u l t i p l 6 sur u n g r a n d n o m b r e de g r o u p e s , p lus la p r o b a b i l i t 6 q u ' i l

so i t occup~ s e r a i t g r a n d e . E l l p r o c 6 d a n t ainsi , nous

ser ions dans la m 6 m e s i t u a t i o n q u e si, l o r s q u ' i l y a

la sor t ie d ' u n a u t o c o m m u t a t e u r u n fa i sceau de p r e m i e r c h o i x e t u n f a i s c e a u de d 6 b o r d e m e n t p o u r

a c h e m i n e r un a p p e l v e r s u n e d e s t i n a t i o n donn6e ,

nous t i r ions a l 6 a t o i r e m e n t le c i r cu i t e m p r u n t 6 p a r m i

l ' e n s e m b l e des c i r c u i t s l i b res dans les d e u x fa i sceaux , ce qu i nous c o n d u i r a i t darts b e a u c o u p de c a s h e n v o y e r

des appe ls su r le f a i s c e a u de d 6 b o r d e m e n t , a lors qu ' i l

ex i s t e enco re des c i r c u i t s l ib res dans le f a i sceau de

p r e m i e r cho ix . On v o i t d o n c dans ces c o n d i t i o n s q u ' i l se ra i t a n o r m a l d ' u t i l i s e r des m u l t i p l a g e s gradu6s

dans le cas oh le c h o i x du p o i n t de sor t ie se f a i t de

man i~ re a l6a to i re .

L a d e u x i ~ m e q u e s t i o n q u i se pose alors es t : que l t y p e de m u l t i p l a g e u t i l i s e r darts ces c o n d i t i o n s ?

I1 n ' e s t pas poss ib l e de r 6 p o n d r e a v e c pr6cis ion h

c e t t e q u e s t i o n sans u n e 6 t u d e a p p r o f o n d i e , m a i s les c o n s i d d r a t i o n s q u i v i e n n e n t d ' e t r e fa i tes p e r m e t t e n t

c e p e n d a n t de d 6 g a g e r u n p r i n c i p e f o n d a m e n t a l . P o u r

6 v i t e r le p h 6 n o m b n e d 6 c r i t p r 6 c 6 d e m m e n t (p robab i l i t 6 p lus fo r t e d ' 6 t r e occup~s p o u r lcs c i rcu i t s connec t6s

sur un p lus g r a n d n o m b r e de groupcs) , il f a u t q u e

chaque circuit du f a i s c e a u soi t , a u t a n t q u e fa i re se

peu t , connectd sur le m~rne nombre de groupes.

III. M U L T I P L A G E S HOMOG~.NES

N o u s d6s igne rons de m a n i ~ r e gdn6rale sous le nora

de m u l t i p l a g e h o m o g b n e t o u t m u l t i p l a g e dans l e q u e l

III.1. G6n6ralit6s.

N o u s d6s igne rons sous le n o m de coefficient d'inter-

connexion h r e l a t i f h un c i r c u i t le h o m b r e de g roupes

su r l e q u e l es t c o n n e c t 6 ce c i r cu i t .

P o u r d d t e r m i n e r le ou les coe f f i c i en t s d ' i n t e r -

c o n n e x i o n d ' u n m u l t i p l a g e h o m o g ~ n e , e f f ec tuons la d i v i s i o n en t i~re :

Gk ~ Nq ~ r.

On v o i t q u ' i l y a u r a en gdn6ra l d e u x coeff ic ients

d ' i n t e r c o n n e x i o n e t q u e :

n ' = r c i r cu i t s s e r o n t c o n n e c t 6 s c h a c u n sur h ' = q ~- 1

g roupes .

n " = N - - r c i r cu i t s s e r o n t c o n n e c t 6 s c h a c u n sur

h " = q groupes .

Cons id6 rons p a r e x e m p l e le cas :

G ~ 4, k = 10, N = : 20.

On t r o u v e a lors q = 2 e t r = 0, c ' e s t - h - d i r e q u e les 20 c i r cu i t s a u r o n t t o u s l e m ~ m e coef f i c i en t d ' i n t e r -

c o n n e x i o n h = 2. D i f f6 ren t s m u l t i p l a g e s h o m o g ~ n e s

p e u v e n t a lors ~tre env i sag6s . T r o i s d ' e n t r e eux , p a r t i -

c u l i ~ r e m e n t c a r a c t 6 r i s t i q u e s , s o n t p r6sen t6s f igure 2.

D a u s la so lu t i on A, c h a q u e c i r c u i t e s t c o n n e c t 6 ,

so i t su r les g roupes 1 e t 2, so i t su r les g roupes 3 e t 4.

O n v o i t que , en fair , le f a i s c e a u es t ddcoup6 en deux

faisceaux totalement inddpendants de 10 c i r cu i t s c h a - curt e t que , v i s -h -v i s de ce f a i s c e a u , il ne p e u t y a v o i r

i n t e r a c t i o n e n t r e l ' e n s e m b l e des g r o u p e s 1 e t 2 e t

1 e n s e m b l e des g roupes 3 c t 4. I1 en r6su l t e q u ' e n cas de d6sdqu i l ib re de t r a f i c ( p e r m a n e n t ou m o m e n -

t an6) , la s u r c h a r g e en t r a f i c su r F u n des e n s e m b l e s

ne p e u t pas 8t re abso rb6e p a r les c i r cu i t s c o n n e c t 6 s

sur l ' a u t r e ensemble .

P o u r a b s o r b e r m i e u x les d6s6qu i l i b r e s de t r a f i c su r

les g roupes , on p e u t u t i l i s e r la s o l u t i o n B. L o r s q u ' o n passe d ' u n e l igne du s c h 6 m a h l a s u i v a n t e , on rdal ise

un d6ca l age c y c l i q u e d ' u n g r o u p e v e r s la d ro i t e . I1

en r6su l t e q u e dans le cas p a r t i c u l i e r chois i , on r6a-

l i se 5 b locs de m u l t i p l a g e i d e n t i q u e s , u t i l i s a n t c h a c u n d e u x p o i n t s de sor t i e p a r g r o u p e . C h a q u e g r o u p e se

t r o u v a n t dans u n e s i t u a t i o n a n a l o g u e v i s -h -v i s de

l ' e n s e m b l e des a u t r e s g r o u p e s , cons id6 rons p a r

e x e m p l e le g r o u p e 1. I l se t r o u v e m u l t i p l 6 a l t e r n a t i -

v e m e n t a v e c le g r o u p e 2 e t le g r o u p e 4, m a i s n ' e s t

j a m a i s m u l t i p l 6 a v e c le g r o u p e 3. U n e s u r c h a r g e en

t r a f i c sur le g r o u p e 1 ne p e u t d o n c r e j a i l l i r q u ' i n d i r e c -

t e m e n t ( p a r l ' i n t e r m 6 d i a i r e des g r o u p e s 2 e t 4) su r

les c i r cu i t s c o n n e c t 6 s su r le g r o u p e 3. On a c e p e n d a n t

u n e am61io ra t ion p a r r a p p o r t ~ la s o l u t i o n A.

C o m p t e t e n u du f a i t q u e :

- - le t y p e de m u l t i p l a g e h o m o g ~ n e de l a so lu t i on A

5/26 A . TI~LEC. , 2 9 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

4 8 8 G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L 1 T E R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

1 2 3

1 x .'<. • x

2 • • x x

3 x x x •

4 • • x x

5 • X >( x

6 • x x •

7 X X x )r

8 x • x •

9 x x x x

10 • • x x

Solut ion A

4 1 2 3 4

1 x - - - - - x x •

2 :1: x x

3 • x • •

4 ~ x x

5 X X X X

6 ~ X • J(

7 • X X •

8 ~ X x

X X X X 9

10

S o l u t i o n B

F I G . 2 . - - M u l t i p l a g e s h o m o g & n e s .

G = 4, k = 10, N = 20.

1 2 3 4

2 .~

4 • v. j j x

6

7 • • j , ~ :

9

10 x x • ;-

S o l u t i o n C

ne p e u t 6tre rdalis6 que si le n o m b r e de groupes est

divis ible p a r le coefficient d ' i n t e rconnex ion ,

- - la solut ion B ne condui t pas & un sch6ma fonda-

m c n t a l e m e n t plus compl iqu6 que la so lu t ion A (il

suffit que le rdpa r t i t cu r utilis6 p e r m e t t e d ' in te r -

connec te r lc p remie r et le dernier groupe).

La solut ion A est a priori & 61iminer.

La solut ion C semble 6tre la solut ion la mei l leure

pour l ' ab so rp t i on des dds6quilibres de trafic. E n effet,

chaque i n t e r connex ion co r re spondan t h une combi-

naison de 2 groupes choisis pa rmi les 4, on vo i t que

chaque combina i son diff6rente de 2 groupes parmi

4 a p p a r a i t le m~me n o m b r e de fois h une unit6

pr~s. P o u r ob ten i r ce rdsul tat , on r6alise des blocs

de mul t ip l age , chacun c o m p o r t a n t tou tes les combi-

naisons possibles de 2 groupes pa rmi 4, chacune une

fois. Un tel bloc p e r m e t donc de connec te r :

Ch~ = C~ = 6 circuits et ut i l ise

h 2 • C a = ~ • 6 = 3 points p a r g r o u p e .

On vo i t que l 'on peu t cons t i tue r 3 blocs de ce type

(lignes 1 h 9 du schdma). Les deux circui ts qui res ten t

p e u v e n t alors ~tre connectds, pa r exemple c o m m e sur

la figure 2, aux q u a t r e points encore disponibles. Le

cas envisag6 6 tan t en fai t pa r t i cu l i~ remen t simple,

nous allons m a i n t e n a n t examiner , dans des condi t ions

plus gdn6rales, et de mani~re plus d6taill6e, les deux

types de mu l t i p l ages homog~nes co r r e spondan t respec-

t i v e m e n t aux solut ions B e t C.

I I I . 2 . M u l t i p l a g e s combinatoirement homo- gSnes.

Ce sont les mu l t i p l ages homog6nes les plus com- plexes et v r a i s e m b l a b l e m e n t aux meil leures caract6-

r is t iques (ceci a 6t6 conf i rm6 par s imulat ion) . Ils

cor respondent & la solut ion C de la figure 2.

111.2.1. Ddfinition.

Le fai t de m u l t i p l e r un c i rcui t sur h groupes in t ro-

dui t un cer ta in couplage ent re ces groupes. P o u r

affecter une v a l e u r n n m 6 r i q u e & ce couplage, nous

dirons que le coefficienl de couplage pour une combi-

naison de g groupes choisis pa rmi les G groupes exis tants est 6gal au n o m b r e de circuits pour lesquels

on t rouve s i m n l t a n 6 m e n t ces g groupes pa rmi les

h' ou h" groupes multip16s pour connecter chacun

des circuits (pour g > h' coeff• d ' i n t e r connex ion

m ax im a l du mul t ip l age , le couplage est nul quel le que soit la combina i son consid6r6e).

Un mul t ip lage pa r t i e l sera di t combinatoirement homogdne d'ordre g si les coefficients de couplage de

tou tes les eombina i sons possibles de g groupes pa rmi

les G groupes ex i s t an t s sont 6gaux, & une unit6 pr6s. Dans le cas pa r t i cu l i e r de la figure 2, nous avons

fait appara i t re que le mei l l eur mul t ip lage par t ie l 6tai t

c o m b i n a t o i r e m e n t homog6ne d 'o rdre 2 (solut ion C).

D ' au t r e par t , les coefficients de couplage sont dans

ce cas par t icul ier , tons nuls pour g > 2. Un mul t ip lage est c o m b i n a t o i r e m e n t homog~ne

(globalement) dans la mesure off il vdrifie les condi-

t ions suivantes ( l 'o rdre dans lequel les condi t ions sont

A. T~LEC., 29, n ~ 11-12, 1974 6/26

G. I ~ A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 489

donn6es correspond h la priorit6 avec lesquelles ces condi t ions do iven t ~tre respect~es) :

- - i l est c o m b i n a t o i r e m e n t homog~ne d 'ordre 2 ;

- - il est a u t a n t que faire se peu t combina to i r emen t homog~ne d 'o rdre 3, t o u t en ~ tan t combina to i r emen t homog~ne d 'o rdre 2, etc. ;

- - il est a u t a n t que faire se peu t combina to i r emen t homog~ne d 'ordre h' (coefficient d ' i n t e rconnex ion max ima l ) t o u t en 6rant c o m b i n a t o i r e m e n t homog~ne pour les ordres inf6rieurs.

Cette d6f ini t ion pose quelques probl~mes, car il semble que dans cer tains cas, il ne soit pas possible d ' o b t e n i r une homog6n6it6 combina to i re parfaite.

111.2.2. M~thode de construct ion.

Essayons m a i n t e n a n t de voir c o m m e n t on peut dd te rminer la s t ruc tu re d6taill6e d ' u n mul t ip lage c o m b i n a t o i r e m e n t homog~ne.

III .2.2.1. Cas favorable . B locs de m u l l i p l a g e combi-

n a l o i r e m e n t homog~nes au sens strict .

Dans cer taines s i tuat ions , il est possible de d6ter-

miner , sans t rop de difficult6s, un mul t ip lage combina - t o i r emen t homog~ne au sens str ict (6galit6 str icte pour t o u t ordre g, 2 ~< g ~ h' , de tous les coefficients de eouplage).

Supposons que le nombre n ' de circuits pour les- quels le coefficient d ' i n t e rconnex ion est h ' , soit un mul t ip le du n o m b r e de combinaisons de h ' groupes pris pa rmi G :

n ' = b' C~'

et que de m~me ht~

n " = b" C c. .

Si nous sommes capables de cons t ru i re des blocs de mul t ip l age p e r m e t t a n t de connec te r Cna circui ts sur G groupes avec un coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n h tels que chaque circui t soit mul t ip l6 sur une eombi- na ison diffdrente de h groupes choisis pa r mi les G (blocs c o m b i n a t o i r e m e n t homog~nes au sens str ict) , il nous sera possible, en assemblan t b' blocs corres- p o n d a n t h h = h' et b" blocs co r re spondan t h h = h" ,

d ' o b t e n i r u n mul t ip l age p a r f a i t e m e n t sym6t r ique vis-h-vis de tou tes les combinaisons possibles de g groupes p a r m i les G (2 ~< g ~< h') et done parfa i - t e m e n t e o m b i n a t o i r e m e n t homog6ne.

h-1 C G . 1

points par groupe

fff>.

O-

4>

Q,

2 . . . . G

Bloc combinato i rement homog~ne

f au sens str ict : h-2

c G-2 G - 1 groupes .points

l par coef f ic ient d ' in terconnex ion h - 1 groupe

c h-1 circuits G-1

Bloc combinato i rement homog~ne

au sens str ict :

h-1 G - 1 groupes G-2

~ p o i n t s

coef f ic ient d ' in terconnex ion h - - I g r2a ;e

/ cGh. 1 circuits

FIG, 3, - - D6composition d'un bloc combinatoirement homog~ne au sens strict sur G groupes avec un coefficient d'interconnexion h (C~ circuits).

7/26 A. T~LEC., 29 , B um 11-12 , 1974

490 G. F A L C O U . - A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

Or, il es t fac i le de c o n s t r u i r e de te l s b locs p a r e x e m p l e de m a n i ~ r e r d c u r r e n t e (F ig . 3). L a c o n n e x i o n des C~ c i r cu i t s du b l o c n d c e s s i t e l ' u t i l i s a t i o n de :

h h GI ( G - - 1 ) I - - x C ~ = x G -G h X ( G - - h ) ! ( h - - 1 ) I ( G - - h )

h - 1 C G _ 1 ,

p o i n t s de sor t i e p a r g roupe .

Ces c i r cu i t s p e u v e n t ~tre s~par6s en d e u x e n s e m b l e s :

h-~ c i r cu i t s connec t6s - - le p r e m i e r c o m p o r t a n t les CG_ 1

sur le g r o u p e n ~ 1,

- - le d e u x i ~ m e c o m p o r t a n t les C~ _ Ca_lh-1 = ch_ t

c i r cu i t s n o n c o n n e c t d s sur le g r o u p e n ~ 1.

L e m u l t i p l a g e p e r m e t t a n t de c o n n e c t e r les c i rcu i t s

du d e u x i ~ m e e n s e m b l e es t en f a i r u n b loc c o m b i n a t o i r e -

m e n t h o m o g ~ n e au sens s t r i c t su r G - - 1 g roupes

( g r o u p e s 2, ..., G) a v e c le coe f f i c i en t d ' i n t e r c o n n e x i o n h.

Si d i n s le m u l t i p l a g e p e r m e t t a n t de c o n n e c t e r le

p r e m i e r e n s e m b l e on d l imine le g r o u p e n ~ 1, on

o b t i e n t u n b loc c o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g ~ n e au sens

s t r i c t su r G - - I g roupes ( g r o u p e s 2, ..., G) a v e c le

coe f f i c i en t d ' i n t e r c o n n e x i o n h - 1. O n v o l t d o n c q u e p o u r c o n s t r u i r e un b loc sur

G g r o u p e s a v e c le coe f f i c i en t d ' i n t e r c o n n e x i o n h, il

suff i t de c o n s t r u i r e su r G - - 1 g r o u p e s :

- - u n p r e m i e r b loc a v e c le coef f ic ien t d ' i n t e r -

c o n n e x i o n h - - 1,

- - u n d e u x i ~ m e b loc a v e c le coe f f i c i en t d ' i n t e r -

c o n n e x i o n h,

e t de r a c c o r d e r les p o i n t s de so r t i e du g r o u p e que

l ' o n r a j o u t e a u x c i r cu i t s d e s s e r v i s p a r le p r e m i e r bloc.

C o m m e la c o n s t r u c t i o n de b locs c o r r e s p o n d a n t h

h = 1 e t h h = G es t t r i v i a l e , on v o i t q u e l ' o n p e n t

sans dif f icul t6 c o n s t r u i r e n ' i m p o r t e q u e l b loc de

m u l t i p l a g e c o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g ~ n e au sens s t r i c t .

U n e x e m p l e es t p r6 sen t6 f igure 4 ; il c o r r e s p o n d

au cas G = 8 e t h = 6.

I I I . 2 .2 .2 . Cas gdndral.

O n ne se t r o u v e en f a i t d i n s le cas f a v o r a b l e que p o u r des e n s e m b l e s de v a l e u r s G, k, N e x t r 6 m e m e n t

p a r t i c u l i e r s e t q u e l ' o n ne r e n c o n t r e p r a t i q u e m e n t

j a m a i s . C o m m e n t p r o c 6 d e r d i n s les a u t r e s cas ?

S i n ' , n o m b r e de c i r cu i t s c o n n e c t ~ s c h a c u n sur h' h r g r o u p e s es t sup6 r i eu r ou ~gal h C ~ , ou si de m ~ m e

n" t> Caq " , on p e n t t o u t d ' a b o r d c o n s t r u i r e un cer-

t a i n n o m b r e de b locs de m u l t i p l a g e c o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g ~ n e s au sens s t r ic t . I1 r e s t e e n s u i t e t o u t e une

p a r t i e du m u l t i p l a g e ne c o m p o r t a n t pas de te l s blocs.

I1 s e m b l e q u e sa c o n s t r u c t i o n ne pu i s se se fa i re que de m a n i ~ r e i n t u i t i v e e t e m p i r i q u e , en u t i l i s a n t une

a p p r o c h e qu i p e n t ~tre d i f f6 ren t e s u i v a n t les cas

p a r t i c u l i e r s r e n c o n t r e s . C e t t e o p 6 r a t i o n p e n t 6tre cons id~r~e auss i b i e n c o m m e u n t r a v a i l d ' a r t i s t e que

c o m m e un ca s se - t6 t e ch inois . Ce la n ' a pas en fa i t g r a n d e i m p o r t a n c e , ca r il n ' e s t pa s n6ces sa i r e d ' e n v i -

s a g e r des s t r u c t u r e s auss i c o m p l e x e s p o u r o b t e n i r

u n e q u a l i t 6 de s e rv i ce s a t i s f a i s a n t e .

111.2.3. Evolution.

C o m m e nous v e n o n s de le vo i r , la c o n s t r u c t i o n d ' u n m u l t i p l a g e c o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g ~ n e p o u r des

v a l e u r s fixdes de G, k, N es t en g6n~ral t r~s difficile.

Si on e n v i s a g e de p lus de m o d i f i e r au cours du

t e m p s les v a l e u r s d ' u n ou de p l u s i e u r s des t r o i s p a r a - m~t res , on s ' a p e r s q u ' i l n ' e s t pas poss ib l e d ' e n t r e -

v o i r u n e d v o l u t i o n s imp le de la s t r u c t u r e e t q u e c h a q u e

e x t e n s i o n c o n d u i t h ddtruire totalement le mult iplage ancien p o u r en r e c o n s t r u i r e un n o u v e a u , chose qu i

n ' e s t pas e n v i s a g e a b l e d a n s la p r a t i q u e .

Ceci c o n d u i t d o n e h r e j e t e r a priori u n te l t y p e de m u l t i p l a g e , sauf p e u t - S t r e d a n s des cas e x t r ~ m e -

m e n t e x c e p t i o n n e l s p o u r l e sque l s :

- - l e ga in en qua l i t d de s e rv i ce est n o t a b l e p a r

r a p p o r t a u x a u t r e s t y p e s de m u l t i p l a g e ,

- - l e s m o d i f i c a t i o n s des p a r a m ~ t r e s G, k, N qu i

i n t e r v i e n d r o n t d a n s le f u t u r s o n t p e u i m p o r t a n t e s e t

e x a c t e m e n t p rdv is ib les .

III .3 . Mul t ip lages h o m o g b n e s c y c l i q u e s .

Ce s o n t des m u l t i p l a g e s h o m o g ~ n e s du t y p e de

ce lu i de la s o l u t i o n B (Fig . 2). L e u r c o n s t r u c t i o n se

f a i t de m a n i ~ r e b e a u c o u p p lus s i m p l e q u e p o u r les

m u l t i p l a g e s c o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g ~ n e s e t il es t

poss ib le de les fa i re ~vo lue r sans e f f ec tue r des r e t o u -

ches t r o p i m p o r t a n t e s .

111.3.1. Ddfinition.

P o u r c o n s t i t u e r le m u l t i p l a g e , on r~al ise exc lus i -

v e m e n t (mis h p a r t q u e l q u e s ra res e x c e p t i o n s ) des

c o n n e x i o n s e n t r e :

- - p o i n t s de sor t i e h o m o l o g u e s de g r o u p e s vo is ins ,

- - p o i n t s de so r t i e des g r o u p e s e x t r e m e s (g roupes 1

e t G).

Les c o n n e x i o n s e f fec tudes sur u n e l igne du s c h d m a

s o n t a n a l o g u e s p o u r les d i f fd ren tes l ignes , a v e c s im- p l e m e n t un d~ca lage d ' u n g r o u p e v e r s la d r o i t e lors-

q u ' o n passe d ' u n e l igne h la s u i v a n t e .

111.3.2. Mdthode de cons truc t ion .

On c o n s t i t u e le m u l t i p l a g e h p a r t i r de b locs q u e

l ' o n dds igne ra sons le n o m de b locs de m u l t i p l a g e c y c l i q u e s c o m p l e t s . C o n t r a i r e m e n t h ce qu i se pa s sa i t

a v e c les b locs d~finis p o u r les m u l t i p l a g e s c o m b i n a -

t o i r e m e n t h o m o g ~ n e s , la m a j e u r e p a r t i e du m u l t i p l a g e

se t r o u v e a lors fo rm6e p a r de te l s blocs.

I I I .3 .2 .1 . Blocs de mult iplage cgcliques complets.

U n te l b loc se t r o u v e e n t i ~ r e m e n t ddf in i h p a r t i r du n o m b r e de g r o u p e s G e t du coef f i c i en t d ' i n t e r -

c o n n e x i o n h des c i r cu i t s q u ' i l desser t . I1 p e r m e t de d e s s e r v i r G c i rcu i t s , u t i l i se Gh]G = h p o i n t s de sor t i e

p a r g r o u p e e t a la s t r u c t u r e p r~sen t~e f igure 5. L a

A. T~LEC., 29, no" 11-12, 1974 8/26

G. I~ALCOU. -- ACCESSIBILIT~ RESTREINTE - - STRUCTURE DES MULTIPLAGES PARTIELS ~ 1

1 2 3 4 5 6 7 8

Q X X X

G X X X

/ /

/

/

10

!1

12

13

/

v ~ X v

/

/

14

X X X X

17 X~ /

18 4 ~

19 ( ~ H ~ v v

20 / Q • •

v

FIG. 4. - - B l o c d e m u l t i p l a g e c o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g ~ n c a u s e n s s t r i c t .

G = 8 , h = 6 .

Points de

sortie

1 2 h-1 h G-h+1 G - ~ - 1 G i i l i i i I

! " , , - ~ ~ \ i h-p

\ \

\ \ . . . . . . . . . . x y. • • p+ . l

\ ~ ^ I /3+2

h ~ _ \ " ~ . ~ ~ I h )( x )r ~(

Fro. 5. -- Schdma gdndral d'un bloc de multiplage cyclique complet.

9 / 2 6 A. TELEC., 29, n ~ 11-12, 1974

492 G. F A L C O U . - - A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

cons t ruc t ion du sch6ma du bloc se fair en deux 6tapes.

On place t o u t d ' a b o r d seu lement les connexions entre points homologues de groupes voisins.

Soit ~ et ~ d6finis pa r la division enti~re.

On a n~cessa i rement ~ ~> 1, d tan t donnd que h est

au m a x i m u m dgal h G (et les circuits du bloc sont

pour h ~ G a t t e in t s avec accessibilit6 totale) . Sur la p remie re ligne, on mul t ip le les h premiers

points ent re eux, ensui te les h suivants , etc. L o r s q u ' o n

a ob tenu ~ ensembles de h points , il reste en fin de

ligne ~ points que l ' on mul t ip le ent re eux (6ventuel-

lement , ~ p e u t ~tre 6gal h zdro). Sur la deuxi~me

ligne, on effectue un ddcalage d 'un groupe vers la

droite, c 'es t -h-di re que le p remier po in t res te isol6,

que l 'on mul t ip l e les h points suivants , etc., e t que

le dernier ensemble de points mult ipl6s perd un poin t

par r appor t h la l igne pr6c6dente. On con t inue ainsi

en passan t d ' u n e l igne h la suivante .

Sur la l igne ~ 5 - 1 , on ob t i en t la conf igura t ion

su ivan te (cet te l igne est en fai t la ligne 1 si ~ ~ 0) :

t ou t d ' abord , un ensemble de ~ points suivi de zr en-

sembles de h points . J u s q u ' h ce t te ligne, on a tou-

jours ~ ensembles de h points. A par t i r de la ligne suivante , on n ' a plus que ~ - - 1 ensembles de h points ,

les h + ~ aut res po in ts d tan t s6par6s en deux ensem-

bles c o m p o r t a n t chacun moins de h points .

Le n o m b r e d ' ensembles de h points don t on dispose est alors 6gal h :

( ~ + 1) c t + [ n - - ( ~ + 1)] ( ~ - - 1 )

= ( ~ + 1) r 1 ) : r ~ § 1,

= c t h + ~ - - ( h - - 1 ) : G - - ( h - - l ) .

Le t e rme (~l + 1) ~ correspond aux ~ E 1 premieres lignes, le t e r m e [h - - (~ + 1)] (~ - - 1) cor respond aux

h - - (~ -}- 1) derni~res lignes.

Les h - - 1 ensembles de h points qu ' i l reste h consti-

tue r sont ob tenus en 6tabl issant des connexions entre des points du g roupe 1 et des points du g roupe G.

I1 y a en effet de la l igne 2 A la l igne h, sur la gauche

du sch6ma, h - 1 ensembles de points c o m p o r t a n t

r e s p e c t i v e m e n t de 1 h h - - 1 points et sur la droi te du sch6ma :

- - de la l igne 1 h la l igne ~, ~ ensembles de points c o m p o r t a n t r e s p e c t i v e m e n t de ~ h 1 point ,

- - de la l igne ~ + 2 h la l igne h, h - - (~ + 1) ensem-

bles c o m p o r t a n t r e s p e c t i v e m e n t de h - - 1 h ~ § 1 points.

En re l ian t les po in t s 1 h ~ du groupe G respect i -

v e m e n t aux po in t s h - - ~ + 1 h h du groupe 1, et

d ' a u t r e pa r t les po in ts ~ + 2 h h du groupe G aux points 2 h h - - ~ du groupe 1, on ob t i en t les

~ + h - - ( ~ + 1 ) = h - - 1 .

ensembles de h po in t s qu ' i l r e s ta i t h cons t i tuer .

I II .3.2.2. Ddcoupage du mull iplage en zones.

E n r e p r e n a n t les no ta t ions du p a r a g r a p h e I I I .1 ,

soit n ' : r le nombre de c i rcui ts pour lesquels le coeffi- c ient d ' i n t e r connex ion est h' ~ q + 1 et n" ~ N - - r

le nombre de circui ts pour lesquels le coefficient d ' in te r - connexion est h " = q.

On effectue le c h a n g e m e n t de no ta t ion su ivan t :

- - soit h 0 celle des d e u x va lenrs h' et h" qui est paire et h 1 celle des d e u x va lenrs h' et h" qui est impai re ;

- - soit n o (dgal su ivan t les c a s h n' ou n") le n o m b r e de circuits pour lesquels le coefficient d ' i n t e rconnex ion

est ho, et n 1 (dgal s u i v a n t les cas h n' ou n") le

nombre de circuits pour lesquels le coefficient d ' in- t e rconnex ion est h 1 .

En ce qui concerne les schdmas de mul t ip lage , on

fai t l ' hypoth~se su ivan t e : l o r squ 'on a fi faire une

modi f ica t ion de l ' access ibi l i td k (en gdndral une rdduc-

t ion), ce t te mod i f i ca t ion affecte les points de sortie

qui se t r o u v e n t dans le bas du schdma (c 'est-h-dire

qu ' en cas de rdduct ion de l 'accessibi l i td , on suppr imera

les points de sortie a y a n t les numdros les plus forts).

On se rend bien c o m p t e que l ' on a intdr~t h placer,

a u t a n t que possible, les ensembles de points corres-

pondan t h des coefficients d ' i n t e r connex ion de m~me

pari t6 dans la m~me pa r t i e du schdma. En effet, on

sent bien i n t u i t i v e m e n t que darts une par t ie ddter-

minde du mul t ip lage , une v a r i a t i o n de 2 du coefficient

d ' i n t e rconnex ion ndcess i tera moins d 'opdrat ions q u ' u n e va r i a t ion de 1.

D ' a u t r e par t , il f a u t moins d 'opdra t ions pour passer

d ' un coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n pa i r h u n coefficient

d ' i n t e rconnex ion pa i r que d ' u n coefficient d ' in te rcon-

nexion impai r h u n coefficient d ' i n t e r connex ion impair .

I1 appara i t donc qu ' i l est in tdressant de placer les

ensembles de points c o r r e s p o n d a n t h u n coefficient d ' in te rconnex ion pa i r dans la pa r t i e la plus s table

du mul t ip lage , c 'es t -h-dire , d 'apr~s l ' hypothbse faite,

dans le hau t des schdmas.

I1 en rdsulte que nous mu l t ip l e rons les n o circuits

h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n pa i r sur les points de

sortie situds dans le h a u t du schdma et les n l circuits

coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n impa i r sur les points

de sortie situds dans le bas du schdma.

Effectuons la d ivis ion ent i~re :

n o = G b o + vo �9

On peu t t ou t d ' a b o r d cons t ru i re b o blocs de mul t i - plage cycliques comple t s h coefficient d ' i n t e rconnex ion

h o que l 'on place en h a u t du sch6ma (voir Fig. 6) et

qui oecupent boh a poin ts pa r groupe. De mSme, en e f fec tuan t la divis ion entibre :

n i ~ Gb i -~- v i �9

on vo l t que l 'on p e u t cons t rn i re b 1 blocs de mul t i -

plage cycliques comple t s h coefficient d ' i n t e rconnex ion

h i que l 'on place en bas du sch6ma et qui occupen t blh 1 points par g r o u p e .

I1 reste h p lacer v o c i rcui ts h coefficient d ' in te r -

connexion h c et v I c i rcui ts h coefficient d ' in te r -

connexion h i dans une zone m i x t e situ6e ent re les

A. T~LEC., 29, n ~ 11-12, 1974 10/26

G . F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 493

1 2 . . . . . . G

I I

I

I !

ho.

Bloc de multiplage cyclique complet

coefficient d'interconnexion h o

(bo -1

I

I I

bo bo

) h o + l I

I

I Bloc de multiplage cyclique complet

coefficient d'interconnexion h o

boho +1 - - j

k-b, h,

zone mixte

T o circuits ~ coefficient d'interconnexion ho

u~ circuits ~ coefficient d'interconnexion h~

k-b, h I + 1

b o blocs 7 identiques

k- (b , -1)h ,

k-h I + 1 I I I

I I I

I I I

I

I

Bloc de multiplage cyclique complet

coefficient d'interconnexion h~

Bloc de multiplage cyclique complet

coefficient d'interconnexion hi

Fla. 6. - - D~coupage du multiplage en zones.

: J

b~ blocs 7 identiques

d e u x zones d6jh r empl i e s . Le n o m b r e t o t a l de p o i n t s

de so r t i e s i tu6s d a n s c e t t e zone es t :

v0h0 d- vihz = n o h o - Gboho ~- n lh l - - Gblhl ,

= noh o + n lh l - - (Gboho + blhl) ,

= G k - - G(boh o d- b l h l ) ,

= G [ k - - (bob o + bihl) ]

e t on v~r i f i e q u ' e l l e o c c u p e k - (boh o + bthl) p o i n t s p a r g r o u p e .

I I I . 3 .2 .3 . Schdma de la zone mix te .

V o y o n s m a i n t e n a n t c o m m e n t e o n s t r u i r e le s e h d m a

de l a z o n e m i x t e s i tu6e e n t r e les d e u x zones cons t i -

t u6es p a r l ' a s s e m b l a g e de b locs de m u l t i p l a g e s

e y e l i q u e s e o m p l e t s .

E l l e es t d iv i sde en d e u x p a r t i e s ( v o i r F ig . 7).

L a p a r t i e h a u t e c o n t i e n t u n b l o c de m u l t i p l a g e

e y e l i q u e incomple l h coef f ic ien t d ' i n t e r c o n n e x i o n h a

e t p e r m e t t a n t de c o n n e c t e r v 9 c i r cu i t s .

11/26 A. T ~ L E C . , 2 9 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

494 G . F A L C O U , - - A C C E S S I B I L I T E R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

1 p p + l G

bo ho + 1

�9 v o circuits ~ coefficient d'interconnexion ho

boh o +s

boho +s + 1

bo ho + s + 2

J

v~ circuits b coefficient d' interconnexion hi

k - bl hi

Fro. 7. - - D6coupage de la zone mixte en deux parties.

Si on ddfinit l e t p pa r la d iv is ion enti~re :

v0h o = Gl § p,

on v o i t que ee t te par t ie hau t e occupe dans la zone

m i x t e les l premieres lignes plus les p premiers points de la (l § 1) teme ligne.

La pa r t i e basse con t i en t un bloc de mul t ip lage

cye l ique incomple t h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n h 1

et p e r m e t t a n t de connec te r vl circuits .

Lors de la cons t ruc t ion de la zone mix te , on s 'ar-

range pour que :

- - le bloc de mul t ip l age cyc l ique i n c o m p l e t h coeffi-

c ien t d ' i n t e r connex ion h o ressemble au m a x i m u m h la pa r t i e haute du bloc comple t de m6me coefficient

d ' i n t e r connex ion ,

- - le bloc de mu l t i p l age cyc l ique i ncomple t h coeffi-

c ien t d ' i n t e r c o n n e x i o n h 1 ressemble au m a x i m u m

la pa r t i e basse du bloc comple t de m6me coefficient

d ' i n t e reonnex ion .

Ceei ne pose pas de problbme dans le cas off :

- - ~ = O, car alors les connex ions se font toujours en t re points d ' une mSme ligne,

- - ~ = h - - 1, car alors les connex ions se font tou-

jours en t re points d ' une m6me l igne ou poin ts de deux lignes voisines (pour les connex ions ent re points

des groupes extrSmes). Le bloc i n c o m p l e t correspond

alors e x a c t e m e n t h la par t ie h a u t e ou basse du bloc

comple t de mfime coefficient d ' i n t e r connex ion . Dans

les au t res cas, la cons t ruc t ion de blocs de mul t ip lages cyc l iques comple ts est souven t plus complexe et par-

fois p lusieurs solut ions sont possibles.

I I I .3 .2 .4 . Schdma complet du multiplage partiel. Points de connexion des circuits.

En assemblan t les diff6rents blocs de mul t ip lage cyel iques comple ts ou incomple t s , on ob t i en t le

mu l t i p l age homog~ne cycl ique.

P a r exemple , dans le cas G = 9, k = 25, N = 44,

on ob t i en t le mu l t i p l age par t ie l de la figure 8.

Les cercles qui e n t o u r e n t cer ta ins points de sortie

des groupes (un pa r ensemble de points mult iplds) i nd iquen t les po in ts sur lesquels il est prdf6rable de

connec te r les c i rcui ts lors d ' une p remiere ins ta l la t ion ,

afin de min imal i se r les opdra t ions h effectuer lors

d ' une dvolut ion future .

De mani~re g6ndrale, on connecte , lors d ' u n e pre-

miere ins ta l la t ion ou lorsque l ' on a jou te de n o u v e a u x

circuits, chaque c i rcu i t sur le po in t le plus h gauche de l ' ensemble de po in t s sur lequel il est mult ipl6.

I1 peu t appa ra i t r e en cours d '6vo lu t ion que si l 'on

ne ddplace pas cer ta ins circuits ddjh en place, on se r e t rouve avec deux ou plusieurs circuits mul t ip lds

sur le m~me ensemble de points. Dans ces condi t ions ,

on conserve celui qui se t r o u v e le plus h gauche et

on reconnec te les aut res c o m m e si c '~ ta ient de nou- v e a u x circuits.

111.3.3. Evolut ion.

Afin d '~va luer l ' a p t i t u d e des mul t ip iages homo-

g~nes cycl iques h dvoluer lors de la modi f i ca t ion des

param~tres , nn cas pa r t i cu l i e r a dtd dtudi~ de mani~re

d4taillde.

L '~vo lu t ion c o m p o r t e les qua t r e phases su ivan tes :

Phase 1. Elle cor respond h l ' 6 t a t ini t ial :

G = 9, h = 25, N = 44.

Le mul t ip l age homog~ne cyc l ique co r r e spondan t

est celui de la figure 8.

Phase 2. Une a u g m e n t a t i o n du t raf ic offert condu i t

h faire passer le n o m b r e de c i rcui ts de N = 44

N = 50.

Phase 3. On r~alise une ex tens ion de la chatne de

s~lection en a j o u t a n t 4 groupes, ce qui c o n d u i t h

G = 13 et on suppose que, para l l~ lement , ce t t e ex tens ion fai t c ro i t re le t raf ic offert au fa isceau e t

A . TI~LEC. , 2 9 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4 12/26

G . F A L C O U . - - A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 495

I 2 3 4 5 6 7 8 9

3

4 J

5 ~ • • | x x • •

9

10

11

I I I I I I

25

6

7 ~ X X X

a

x

X

3 Blocs de multiplage cycliques complets

coefficient d'[nterconnexion 5

(identiques aux lignes 6 ~ 10)

FIG. 8. - - Mult iplage homog~ne cyclique.

G : 9, k = 25, N = 44.

o b l i g e h f a i r e p a s s e r le n o m b r e de c i r c u i t s de N = 50

h N ~ 69.

P h a s e 4. L a m i s e e n p l a c e de n o u v e a u x f a i s c e a u x

c o n d u i t h e f f e c t u e r u n e r 6 d u c t i o n d ' a c c e s s i b i l i t 6 p o u r

p a s s e r h k = 20. A f i n de c o n s e r v e r la m S m e q u a l i t 6

de s e r v i c e , c e t t e d i m i n u t i o n d ' a c c e s s i b i l i t 6 c o n d u i t h

a u g m e n t e r le n o m b r e d e c i r c u i t s e t h p a s s e r d e N = 69

h N = 72.

L e n o m b r e d ' o p d r a t i o n s ( s u p p r e s s i o n e t 6 t a b l i s -

s e m e n t de c o n n e x i o n s ) h e f f e c t u e r l o r s des d i v e r s e s

t r a n s i t i o n s e n t r e p h a s e s s u c c e s s i v e s e s t d o n n 6 d a r t s

l a p r e m i e r e p a t t i e d u t a b l e a u I.

TABLEAU I

Modifications effecludes au cours de l'dvolution

Multiplages part iels

Homog~nes

Cycliques

Semi

homog~nes

cycliques

binaires

Suppr im~es

E tab l ies

Suppr im6es

E tab l ies

Types de connexions

E n t r e points homologues de groupes voisins

,En t re points de groupes ext rSmes . . . . . . . .

, In te rnes non adjaeentes . . . . . . . . . . . . . . . . .

De circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E n t r e points homologues de groupes voisin.,

E n t r e points de groupes ex t remes

In te rnes non adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De circuits

E n t r e points homologues de groupes vois im

,En t re points de groupes ex t remes . . . . . . . .

, In te rnes non adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, De circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E n t r e points homologues de groupes voisins

En t r e points de groupes ex t remes . . . . . .

, In te rnes non adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De circuits

Phase 1 /Phase 2

14

Phase 2 /Phase 3

19

84

19

20

1

19

82

19

21

Phase 3 /Phase 4

36

11

23

20

9

11

1 3 / 2 6 A. T~LEC., 29, n ~ 11-12, 1974

496 G . F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T ] ~, B E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

On d6signe par connexions in ternes non ad jacen tes des connexions en d iagonale autres que les connexions

ent re groupes extrSmes. Ce t y p e de connex ion ne

peu t en fai t appa ra i t r e que dans la zone mix te .

Lors d 'une a u g m e n t a t i o n du nombre de circuits ,

comme dans le cas du passage de la phase 1 h la

phase 2, on observe s imp lemen t un d~placement de

la l imi te en t re les d e u x domaines desservant chacun des circuits h m~me coefficient d ' i n t e rconnex ion , le

domaine co r r e spondan t au coefficient d ' i n t e r connex ion

le plus faible a u g m e n t a n t au d6 t r imen t de celui cor-

r e spondan t au coefficient d ' i n t e r connex ion le plus

fort. E v e n t u e l l e m e n t , pour une a u g m e n t a t i o n suffisante

du nombre de circui ts , le domaine co r re spondan t au

coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n qui 6tai t le plus for t peu t

disparai t re . A p p a r a i t alors un nouveau coefficient

d ' i n t e rconnex ion , qui se t r o u v e ~tre le plus faible. E n

g6n6ral, une bonne pa r t i e du sch6ma reste inchang~e.

L ' a v a n t a g e des mul t ip l ages homog~nes cycl iques

dans le cas d ' une a u g m e n t a t i o n du nombre de groupes

v ien t de ce q u ' u n bloc de mul t ip l age cycl ique comple t

cons t ru i t sur G groupes peu t 8tre t ransform~ en un bloc de mu l t i p l age cyc l ique comple t sur G' groupes

ayan t le m~me coefficient d ' i n t e r connex ion avec un

m i n i m u m d 'op~rat ions . I1 suffit en effet de suppr imer les h - - 1 connexions en t re points de groupes ex t remes

initiales, de raccorder les points des n o u v e a u x groupes h l 'a ide de ( G ' - - G ) ( h - 1) connexions en t re points

homologues de groupes voisins, de m e t t r e en place

les h - - 1 nouvel les connex ions ent re points de groupes

ex t remes et de connec te r les G ' - - G n o u v e a u x cir-

cuits du bloc. Dans l ' exemple choisi, il faut , au cours du passage

de la phase 2 h la phase 3, 6tablir 84 § 19 § 3 ~ 106

connexions en t re po in t s de sort ie des groupes. Ce nombre est i m p o r t a n t , mais il pa ra i t difficile de le

r~duire cons id6rab lement , quelle que soit la m6 thode

utilis6e pour cons t ru i re le mul t ip l age homog~ne. I1

est en effet n6cessaire de raccorder les n o u v e a u x points

de sortie en t re eux et au mul t ip l age qui ex is ta i t aupa ravan t . Soit q' le coefficient d ' i n t e r connex ion

moyen. Ici :

Gk 325 q ' - - -- -- 4,7.

N 69

Le mu l t i p l age qui ex is ta i t a u p a r a v a n t appa ra i t

en fai t pour le r a c c o r d e m e n t c o m m e un ensemble de

25 points. I1 f au t donc relier ent re eux :

2 5 § 4 • 2 5 = 125 points.

E t a n t donn6 la v a l e u r de q', il f au t en m o y e n n e

6tablir 3,7 connexions pour 4,7 points. La va l eu r m i n i m a l e du nombre de connexions

6tablir est donc de l ' o rd re de :

3,7 125 • ~ ~ 99.

On vo i t q u ' o n est en fair assez proche du m i n i m u m .

Dans le cas d ' une r~duct ion d 'accessibi l i td, on peu t

consid~rer a p p r o x i m a t i v e m e n t que les opera t ions

effectuer co r responden t d ' u n e p a r t bien stir ~ la

suppression de l ' ensemble des connexions fa isant

in te rven i r des points qui d i spara i ssen t et d ' au t r e pa r t

une augm en ta t i on du n o m b r e de circuits dans le

reste du mul t ip lage .

En conclusion, on v o l t que les diverses op6rations,

mis ~ par t celles qui sont t ou jou r s n6cessaires (raccor-

demen t de n o u v e a u x circui ts on raise en place de

n o u v e a u x groupes), sont peu nombreuses .

La r emarque qui sui t va c e p e n d a n t nous conduire

d~finir un nouveau t y p e de mul t ip l age part iel assez

voisin, dans son pr incipe, des mul t ip lages homog~nes

cycliques.

Supposons que l ' on ai t un mul t ip l age homog~ne

cycl ique h coefficients d ' i n t e r c o n n e x i o n h ' = q § 1

et h " = q et que l ' on veui l le r a j o u t e r un circuit .

S i n ' /> q (ce qui sera v ra i dans beaucoup de cas),

le nouveau circuit dev ra avo i r un coefficient d ' in te r -

connexion q. Pour cons t i t ue r l ' ensemble de points sur

lequel il sera mult ipl6, nous effectuerons un cer ta in

nombre d 'opdra t ions qui a u r o n t pour effet d ' en lever

t o u t d ' abord 1 po in t h chacun des ensembles parmi q ensembles ~ q § 1 po in ts et ensui te de regrouper

les q points obtenus en un seul ensemble.

I1 nous faudra doric success ivement :

- - suppr imer q connex ions en t re points de sortie,

- - ~tablir q - - I connex ions en t r e points de sortie,

soit au to ta l 2 q - - I ope ra t ions pour a jou ter un seul

circuit .

Supposons m a i n t e n a n t que l ' on construise des

mul t ip lages part ie ls (qui ne sont plus t o u t h fai t

homog~nes) ayan t deux coefficients d ' i n t e rconnex ion

h e t h tels que :

h = 2 h .

I1 nous suffira alors, pour connec te r un nouveau

circuit , de diviser un ensemble de h points en deux

ensembles de h points , ce qui n~cessite seu lement la suppression d 'une connex ion en t r e deux points de

sortie.

I V . M U L T I P L A G E S S E M I - H O M O G ~ N E S C Y G L I Q U E S B I N A I B E S

I V . 1 . D 6 f i n i f i o n .

Ce sont des mul t ip l ages par t ie l s const rui ts de

mani~re cycl ique darts lesquels on t rouve essentiel-

l emen t (sauf pour que lques c i rcui ts part icul iers) deux coefficients d ' i n t e r connex ion qui p e u v e n t diffdrer de

plus d 'une unit~ (d 'oh le t e r m e semi-homog~nes). Les coefficients d ' i n t e r c o n n e x i o n que l 'on uti l ise

sont, a u t a n t que possible, des puissances enti~res

successives de 2.

~,. T ~ L E C . , 29 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4 14/26

G . F A L C O U . - - A C C E S S I B I L I T E R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S l a A R T I E L S 497

IV.2. M6thode de construction.

Soft q ' : Gk -~- le coefficient d ' i n t e r connex ion moyen

(en g~n6ral non ent ier) du mul t ip lage .

Soft h la puissance enti~re de 2 i m m 6 d i a t e m e n t inf6-

r ieure ou 6gale h q'. D e u x cas p e u v e n t se pr6senter :

- - o u b i e n 2 h < G ; dans ce cas, on p r e n d c o m m e

deuxibme coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n h = 2 h,

- - ou bien 2 h /> G ; dans ce cas, on prend comme deuxi~me coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n h = G.

C'est le cas lorsque l 'accessibi l i t6 k est assez peu diff6rente de N. On a alors un cer ta in nombre de

circuits qui sont mul t ip l6s t o t a l e m e n t sur les groupes.

I V . 2 . 1 . C a s o ~ h = G.

C'est un cas en fai t pa r t i cu l i e r et v ra i semblab lemen t assez peu I rdquent .

IV.2.1.1. Circui ts mul t ip lds sur l' ensemble des

groupes.

Cherchons t o u t d ' a b o r d h d6 te rminer le nombre T

de circuits mul t ip les sur l ' en semble des groupes. Sup-

posons tou t d ' a b o r d que chacun des N circuits soft mul t ip ld sur h points. I1 y au ra i t alors :

R ~ G k - N h

points de sort ie de groupes non utilis6s.

P o u r uti l iser ces points de sortie, on mul t ip le cer-

ta ins circuits sur l ' ensemble des groupes. Pour chaque c i rcui t suppl6menta i re que l ' on mul t ip l e sur l ' ensemble

des groupes, on uti l ise ~ = G - - h points suppld-

menta i res , c 'es t -~-dire que T e s t donn6 par la division

entibre R = ~T + r

II reste e < ~ points de sort ie non utilis6s qui per-

m e t t r o n t d ' a u g m e n t e r le coefficient d ' in te rconnexion

d ' u n ou plusieurs autres c i rcui ts sans toutefois con- duire h en mu l t i p l e r t o t a l e m e n t .

Les circuits mul t ip l6s t o t a l e m e n t seront placds darts

le bas du sch6ma de mul t ip l age , de telle sorte que

si l ' on effectue une d iminu t i on d'acccssibil i t6, la zone qui d ispara i t cor responde au coefficient d ' in ter-

connex ion le plus 6lev6.

IV.2.1.2. Circui ls non lotalement mult iplds. Ddcou-

page en blocs.

I1 reste alors n = N - - T circui ts et k - - T points

de sortie pa r groupe. La p l u p a r t d ' en t re eux auront

un coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n h et les autres un

coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n compris entre h et G (bornes non comprises) h cause du reste r d6fini au

pa rag raphe pr6cddent .

On cherche h cons t i tue r des blocs de mul t ip lage

cycl iques comple ts h coefficient d ' i n t e rconnex ion h.

E n e f fec tuan t la d ivis ion enti~re :

n = G b + v ,

on vo i t que l 'on peu t cons t i tuer b blocs de ce type ,

que l 'on place dans la par t ie hau t e du schema de

mul t ip lage .

IV.2.1.3. Bloc incomplet semi-homog~ne.

I1 reste m a i n t e n a n t h connec te r ~ circui ts en uti- l i sant k - T - - bh points par groupe.

On eons t i tue un bloc ineomple t cons t ru i t de mani~re

eyc l ique dans lequel (mis ~ p a r t que lques circuits

pour lesquels le coefficient d ' i n t e r e o n n e x i o n est sup~-

rieur), la p l u p a r t des circuits on t un coefficient d ' in te r -

connex ion h. La m~thode est ana logue h eelle utilis~e pour les blocs de mul t ip lage cyel iques ineomple ts . On

place t o u t d ' abord , en e o m m e n ~ a n t pa r le haut , le

m a x i m u m d 'ensembles de h points qui ex i s t en t dans

le bloc de m u l t i p l age eyel ique comple t h coefficient

d ' i n t e r c o n n e x i o n h qui ser t de r~f6rence. Les derniers

ensembles h m e t t r e en place (dont cer ta ins p e u v e n t

c o m p o r t e r un nombre de points eompris en t re h et G, bornes non comprises) sont const i tu~s en fonct ion

de la conf igura t ion des points de sort ie non encore

utilis~s. Les eonnexions ent re po in ts homologues de groupes vois ins qui sont supprim~es par r appo r t au

bloc de rdfdrence sont ehoisies de pr~fdrenee et si

possible p a r m i celles qui seraient supprimdes lors du

passage h un coefficient d ' i n t e r e o n n e x i o n h i2 , Un exemple de mu l t i p l age semi-homog~ne eye l ique binai re

darts le eas off h = G est donn~ figure 9.

I V . 2 . 2 . C a s oiz h = 2 h < G.

IV.2.2.1. M u l l i p l a g e de base.

On cons t i t ue t o u t d ' a b o r d un m u l t i p l a g e par t ie l

de base h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n h.

Ce m u l t i p l age de base c o m p o r t e des circui ts coefficient d ' i n t e r connex ion h , plus ~ven tue l l emen t

que lques circui ts don t le coefficient d ' i n t e r connex ion est compr is en t re h et h (h exclu).

Ef fec tuons la divis ion enti~re :

G k = h N + ~ .

Si g = 0, le mul t ip l age de base e o m p o r t e r a n = N

circui ts a y a n t t o u s l e coefficient d ' i n t e r e o n n e x i o n h.

S i e :/= 0, le mu l t i p l age de base e o m p o r t e r a n = N + 1 circuits , d o n t la p lupa r t au ron t le coefficient d ' in ter -

connex ion h et que lques-uns des coefficients eompris

en t re h et h. Quelle que soit la va l eu r de c, en effee- t u a n t la divis ion enti~re :

n = G b + V ,

on vo i t qu ' i l est possible de cons t i t ue r t o u t d ' abo rd

b blocs de mu l t i p l age cycl iques comple t s h coefficient

d ' i n t e r c o n n e x i o n h, que l 'on place en h a u t du mul t i -

plage. I1 res te alors h cons t ru i re un bloc incomple t

semi-homog~ne h v circuits en u t i l i san t la m~me

m6thode que celle ddfinie au p a r a g r a p h e IV.2.1.3 (la seule diffdrence v i en t de ce que les c i rcui ts part icul iers

ont un coefficient d ' i n t e r connex ion infdrieur h celui du bloc de mu l t i p l age cycl ique com ple t de r~f6rence au lieu de supdrieur.

15/26 A. T ~ L E C . , 2 9 , n ~ 1 1 - 2 1 , 1 9 7 4

498 G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

1 2 3 4 5 6 '7 8 9 10 11

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 (~) X X ~ X X .~ X X

16 ~ X X X X X X .'~ X

18 ( ~ X v X X X X X X

20 ( ~ X ~ ~ X X --.~ X X

22 ( ~ X X X X X ..~ X X

23 ( ~ X X X X X X X X

2"4 ( ~ X X v .~. X X .~. X

25 ( ~ ~ X X X X X X X

F*s. 9. -- Multiplage semi-homog~ne eyelique binaJre.

G = 11 , k = 2 5 , N = 3 0 ( C a s p a r t i c u l i e r h = G) .

X X

X

v .'C.

X X

X X

v

X K

X )t

X X

X )C

IV.2.2.2. Multiplage semi-homogdne cgclique binaire.

Le mul t i p l age par t ie l de base ne p e r m e t de con-

nec te r que n circui ts pa rmi les N circui ts du faisceau.

P o u r r acco rde r les D = N - - n c i rcui ts res tants , il f au t d6couper en ensembles de h po in ts D ensembles

de h points . On effectue ce d4coupage en progressant de h a u t en bas dans le schdma.

Soit b* d4fini pa r la divis ion ent i6re :

D = Gb* q- n*.

I1 en r4sulte que chaque ensemble de h points des b* premiers blocs doi t ~tre ddcoup4 en deux ensembles

de h points. Les n* coupures suppl6menta i res sont faites darts le bloc b* + 1, success ivement sur les

lignes prises darts l ' o rd re de leurs numdros. Si le bloc b* q - 1 est un bloc semi-homog4ne

ineomple t (c 'es t alors le dernier bloc du m u l t i p l age

A. TELSC., 29, n ~ 11-12, 1974 16/26

G . F A L C O U . - - A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 499

de base), on ne t ouche pas aux ensembles c o m p o r t a n t moins de h p o i n t s r a n t q u ' o n n ' a pas coup4 en deux t o u s l e s ensembles de h points .

Les connex ions suppr im4es pa r r a p p o r t au mul t i - p lage de base son t de pr4f4rence et si poss ible celles qui se ra ien t suppr im4es pou r ob ten i r des blocs de m u l t i p l age cyc l iques comple t s h coefficient d ' in t e r - connexion hi2 = h.

UR exemple de m u l t i p l a g e semi-homog~ne cycl ique.

b ina i re et le m u l t i p l a g e de base c o r r e s p o n d a n t son t donn4s figures 10 et 11.

IV.3. Evolution.

L ' e x e m p l e ut i l is4 p o u r 6 tudier l ' 4vo lu t ion des m u l t i p h a s e s semi-homog~nes cycl iques b ina i res es t le

1

2

3

4

5

6

7

8

I 2 3 4 5 6 7 8 9

g | • • ": | • --v

12 ~ = ~ = = ~ - - - - - - - " ~ X

I

17

18

19

20

21

22

23

24

25 ( ~ X X X ~ X ~ X X

FIG. I0. -- Multip]age semi-homog~ne cye]ique binaire.

G = 9 , k : 2 5 , N : 4 4 .

17/26 A. T ~ L E C . , 29 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

5 0 0 G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A B T I E L S

24

25 ~ )

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X X X X ,~. )."

2 Blocs de multiplage cycliques complets

coefficient d'interconnexion 8

(identiques aux lignes 1 ~ 8)

• X X ~ ) • X X

Fro. 11. - - Multiplage de base G : 9, h = 8, k = 25.

m ~ m e q u e ce lu i cons id6r6 d a n s le cas des m u l t i p l a g e s

h o m o g ~ n e s cyc l iques . Les o p d r a t i o n s ef fec tu6es darts le cas des m u l t i p l a g e s s e m i - h o m o g ~ n e s c y c l i q u e s

b ina i re s son t d o n n 6 e s d a n s la d e u x i ~ m e p a r t i e du

t a b l e a u I. Si l ' o n c o m p a r e a u x r d s u l t a t s o b t e n u s lors de l ' 6 t u d e

des m u l t i p l a g e s h o m o g ~ n e s cyc l iques , on v o l t que :

- - lors de l ' a u g m e n t a t i o n du n o m b r e de c i rcu i t s , on passe de 49 h 12 o p d r a t i o n s , soi t u n e d i m i n u t i o n

de 75 % ;

- - lors de l ' a u g m e n t a t i o n du n o m b r e de g roupes ,

on passe de 152 h 144 opd ra t i ons . L a d i m i n u t i o n

est f a ib le (4 % ) , m a i s il ne f a u t pas oub l i e r q u ' u n g r a n d h o m b r e de ces o p d r a t i o n s s o n t en fa i r

n6cessa i res , q u e l q u e so i t le t y p e de m u l t i p l a g e

ut i l i s6 ;

- - lo ts de la d i m i n u t i o n d ' aeces s ib i l i t 6 (qu i corres-

p o n d p r a t i q u e m e n t s i m p l e m e n t h u n e a u g m e n t a t i o n du n o m b r e de c i r c u i t s d a n s la zone q u e l ' o n conse rve ) ,

on passe de 109 h 23 o p 6 r a t i o n s , soi t une d i m i n u t i o n

de 78 %.

E n conc lu s ion , en ce q u i c o n c e r n e l ' o b j e c t i f faisa- bilitd, les m u l t i p l a g e s s e m i - h o m o g ~ n e s c y c l i q u e s bi- na i res a p p o r t e n t u n e t r~s n e t t e a m 6 l i o r a t i o n p a r r ap -

p o r t a u x m u l t i p l a g e s h o m o g ~ n e s cyc l iques . De p lus , d e u x e a r a c t 6 r i s t i q u e s i m p o r t a n t e s des

m u l t i p l a g e s s e m i - h o m o g ~ n e s c y c l i q u e s b ina i r e s p e u - v e n t e o n d u i r e h a d o p t e r des r~gles de c~b lage des

r d p a r t i t e u r s qu i f a c i l i t e n t les t r a v a u x h e f fec tue r lo ts de l ' 6 v o l u t i o n :

- - les p o i n t s de so r t i e su r l e sque l s son t connec t6s

les c i rcu i t s o n t u n e p o s i t i o n b i e n d6finie , qu i ne v a r i e

pas au cours de l ' 6 v o l u t i o n . Ce s o n t soi t les p o i n t s de sor t i e du p r e m i e r g r o u p e , so i t des p o i n t s si tu~s

sur des d i agona l e s p r iv i ldg i6es q u i e o u p e n t la co lonne

c o r r e s p o n d a n t au p r e m i e r g r o u p e en des p o i n t s de

n u m d r o mh-t- 1 (m en t i e r ) ;

- - s ' i l f a u t s u p p r i m e r des e o n n e x i o n s e n t r e p o i n t s

de sor t i e au cour s de l ' 6 v o l u t i o n , on sai t a priori que l les son t cel les q u i s e r o n t s u p p r i m 6 e s d ' a b o r d , que l l e que soi t l ' 6 v o l u t i o n f u t u r e subie p a r le m u l t i -

p lage .

L ' i n f l u e n c e de ces d e u x c a r a c t ~ r i s t i q u e s sur les

r~gles de c&blage des r 6 p a r t i t e u r s p e u t ~tre d i f f6ren te

s u i v a n t les t y p e s de r ~ p a r t i t e u r s utilis6s.

V . C O M P A R A I S O N S

D E Q U A L I T Y . D E S E B V I C E

Ces c o m p a r a i s o n s ne c o n c e r n e n t que le cas off le

c h o i x du p o i n t de so r t i e se f a i t de m a n i ~ r e a l~atoi re . J u s q u ' h m a i n t e n a n t , n o u s n o u s s o m m e s s e u l e m e n t

occupds de l ' o b j e c t i f faisabilild. V o y o n s m a i n t e n a n t que l l e es t la qualitd de service of fe r t e p a r les d i f fdrents t y p e s de m u l t i p l a g e . I1 s e m b l e a priori que la qua l i t d

de se rv ice d6c ro i t au fu r e t h I n e s u r e q u e l ' o n s '6 lo igne

A. T~LEC., 29, n ~ 11-12, 1974 18/26

G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A - R T I E L S 5 0 1

de l 'homog6nditd. I1 est doric v ra i semblab le que l 'on

t rouvera , dans l ' o rd re des probabi l i tds d 'dchec crois- santes, les mul t ip lages :

- - c o m b i n a t o i r e m e n t homog~nes,

- - homog~nes cycl iques ,

- - semi-homog~nes cycl iques binaires,

- - graduals.

Ceci ne prdjuge e n r i e n de la d6cision finale qui

rdsultera de la combina i son des object i fs qualitd de service et faisabilitd.

La formule de Conny P a l m sures t ime la probabi l i td

d 'dchec, parfois de mani~re considdrable (mul t ip l i -

ca t ion par 2). La diffdrence s ' a ccen tue au fur et h

mesure que le t ra f ic croit .

V.2. DeuxiSme comparaison des diff6rents types de multiplages.

On n ' env i s age plus ici le cas des mu l t i p l ages combi-

n a t o i r e m e n t homog~nes.

V.1. PremiSre comparaison des diff6rents types de multiplages.

V.1.1. Mult iplages ~tudi~s.

L ' e x e m p l e envisag6 p o u r la compara i son correspond

aux trois pa ram~t res �9

G = 8, k = 21, N = 56.

I1 en r6sulte que dans le cas de mul t ip lages homo-

g~nes, on a un coefficient d ' i n t e rconnex ion unique h = 3. De plus, c o m m e C~ = 56 = N, le mul t ip lage

c o m b i n a t o i r e m e n t homog~ne est const i tu6 par un bloc

de mul t ip l age c o m b i n a t o i r e m e n t homog~ne au sens

s t r ic t (les va leurs des t rois pa ram~t res ont en fait 6t6

choisies dans ce but) .

Les sch6mas des q u a t r e types de mul t ip lages sont

donn6s r e s p e c t i v e m e n t figures 12, 13, 14 et 15.

V.I.2. R~sultats e t commenta i res .

Les probabi l i t6s de pe r t e obtenues par s imula t ion

pour les divers types de mul t ip lages sont donndes

f g u r e 16 en fonct ion du t raf ic offert.

A t i t re de compara i son , on a donn6, de plus, les

probabil i t6s de per te ob tenues par ut i l isat ion de la formule d ' E r l a n g et de la formule de Conny-Palm.

Les deux mul t ip lages homog~nes et le mul t ip lage

semi-homog~ne cyc l ique b ina i re a r r iven t dans un mouchoir, dans l ' o rd re qui ava i t 6t6 pr6vu in tui t i -

vement . E t a n t donn6 que la cons t ruc t ion et l '6vo-

lu t ion des mul t ip lages c o m b i n a t o i r e m e n t homog~nes pr6sentent de r6elles difficult6s, nous consid~rerons

que ce t y p e de mul t ip l age , bien que donnan t la

mei l leure qual i t6 de service, ne doi t pas ~tre utilis6

dans la p ra t ique .

Le mul t ip lage gradu6 p rovoque , par rappor t aux

autres types de mul t ip lages , un accroissement de la

probabi l i t6 d '6chec (absolu) de l 'o rdre de 2,5 %. Ceci

n ' e s t pas suff isant p o u r t i r e r de conclusion d6finitive.

Nous allons donc, au p a r a g r a p h e V.2, poursuivre

les compara isons en t re mul t ip lages

- - homog~nes cycl iques ,

- - semi-homog~nes cyc l iques binaires,

- - gradu6s.

V.2.1. Mult iplages ~tudi~s.

Afin de nous p lacer dans des condi t ions r~elles,

nous avons choisi le cas d ' u n cen t r e de t r ans i t

ex is tan t . I1 compor t e un 6tage de s61ection p r imai re

const i tu6 par G = 20 groupes et h la sort ie de cet 6tage, un cer ta in n o m b r e de fa i sceaux sont a t t e in t s

avec accessibil i t6 res t re inte . Les ca rac t6r i s t iques de

ces f a i sceaux sont donndes dans le t ab l eau II.

Le fa isceau n ~ 1 n ' e s t pas en fa i t un faisceau sor-

t an t , mais p e r m e t d ' acc6der ~ un bloc de s61ection

seeondaire , en sort ie duque l sont conneet6s des fais-

ceaux de faible ta i l le pour lesquels on ne p e u t pas

a d m e t t r e d 'accessibi l i t6 res t re in te . Les mul t ip lages

gradu6s dtudids sont ceux utilis6s rde l l ement j u s qu ' h

m a i n t e n a n t .

V.2.2. R~sultats et commenta i re s .

Les t raf ics injectds dans les s imula t ions corres-

p o n d e n t h u n t raf ic m o y e n offert de 0,7 E par circuit .

Les rdsul ta ts ob tenus ainsi que les probabil i tds ,

d 'dchec, co r r e spondan t aux fo rmules d ' E r l a n g et de

Conny P a l m sont donnds dans le t a b l e a u II.

Les rdsul ta ts ob tenus pour les mul t ip lages homo-

g~ncs cycl iques et semi-homog~nes cycl iques binaires

sont tr~s voisins, les premiers d t an t mei l leurs que

les seconds.

I1 y a c e p e n d a n t unc excep t ion (faisceau 7 avec

0,7 E pa r circuit) . Ceci est dfi d ' u n e p a r t au fair que

les deux types de m u l t i p l age sont darts ce cas tr~s

voisins :

- - 100 circuits h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n 4 et

40 c i rcui ts h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n 5 pour

l ' homog~ne cycl ique ;

- - 130 circuits h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n 4 et

10 c i rcui ts h coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n 8 pour le

semi-homog~ne cycl iquc binaire ,

et d ' a u t r e p a r t h l ' imprdcis ion inh6ren te aux simu-

lat ions. P a r contre , les mul t ip lages graduds donnen t

des rdsul ta t s n e t t e m e n t plus m a u v a i s , la probabi l i td

de pe r t e d tan t mul t ip l ide darts le cas le plus ddfavo-

rable (faisceau 1) pa r 15. Si l ' on a d m e t , ce qui pa ra i t normal , que la per te sur un fa isceau vcrs un bloc

secondai re ne doi t pas ddpasser 0,003, on vo i t que

19/26 A. TI~LEC., 29, n ~ 11-12 , 1974

5 0 2 G. FALCOU. -- ACCESSIBILITI~ RESTREINTE - - STRUCTURE DES MULTIPLAGES PARTIELS

1 2 3 4 5 6 7 8

|

|

|

/

i

8

,.X

/ V f~

9

10

;,.,,K l i X i

11

12

13

14

15

16

17

4 ~

4 /

i i

. ) ( i

18

19

20

21 d

/ /

F I G . 12. - - M u l t i p l a g e e o m b i n a t o i r e m e n t h o m o g b n e .

G ~ 8, k = 21, N = 56

A. T~LEC., 29, n ~ 11-12, 1974 20/26

G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S ~ 0 3

1 2 3 4 5 6 7 8

1

21

6 Blocs de multiplage cycliques complets

coefficient d'interconnexion 3"

(identiques aux lignes 1 ~x 3)

F I G . 13 . - - M u l t i p l a g e h o m o g ~ n e c y c l i q u e .

G = 8 , k = 2 1 , N = 5 6 .

1 2 3 4 5 6 7 b

' | • | x | x | x

2 ~ ~ x @ x | x k

3 ~D • ~ x ~) x ~ •

s @ • ~) x G x @ ,x

9 ~) x .x • ~) x x x

1o ~ E)" x x • x x

11 (b x ~) x x x x

12 ~) x x @ x x • k

13

20

21

2 Blocs de multiplage cycliques complets

coefficient d'interconnexion 4

(identiques aux lignes 9 ~ 12)

X v ., ~ ) X

F I G . 14 . - - M u l t i p l a g e s e m i - h o m o g ~ n e c y c l i q u e b i n a i r e .

G = 8 , k = 2 1 , N = 5 6 .

21/26 A. T~LEC., 29, n ~ 11-12, 1974

5 0 4 G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2 0

21

1 2 3 4 5 6 7 8

I X X X X X X X X

2 X X X X X X X X

3 X X X

4 ,X .X X

5 ,~ ~ X

6 X X X

7 X ~ .~.

X X X

X X' •

X v

X X X

~ v

X X ~ X

v X ~ X v

v X X X X

X X v v

.~ X X X X

X X X X v

.'. X X ;'.

v v v

X X X

X X X

Z .X X

X X X

X X X

X X X

X X )(

s X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X ~

X X X X X

X X X ~

X X ~," X

F I G . 15. - - M u l t i p l a g e g r a d u d .

G ~ 8, k ~ [ 2 1 , N : 56 .

le mul t ip lage gradu6 avec une per te de l 'ordre de 0,018 ne conv ien t pas du tout .

Comme il n ' a p p a r a i t pas, de plus, que les mul t i - plages gradu6s pu i s sen t appor te r une am6liorat ion par rappor t aux deux autres types cn ce qui concerne l 'object i f faisabilit6, il est pr6f6rable d ' a b a n d o n n e r leur ut i l isa t ion.

La formule de Conny P a l m donne des rdsultats corrects, sauf lorsque le coefficient d ' i n t e rconnex ion moyen q' ~ G k / N est faible. E n par t icul ier pour le faisceau 1, la probabi l i t~ de per te ob tenue pour le mul t ip lage homoggnc cycl ique est 200 fois plus forte que celle donn6e par la formule de Conny Palm.

Nous rev iendrons sur ce po in t au paragraphe VI.

V.3. Comparaison compl6men/aire mul/iplages homogSnes cycliques homogSnes cycliques binaires.

entre les et semi-

II semble pour le m o m e n t que la ba lance penche en faveur des mul t ip lages semi-homog~nes cycliques binaires qui a ppo r t e n t de n o m b r e u x avan tages en ce qui concerne la faisabilitd, sans toutefois appor ter une d iminu t ion no tab le de la qualitd de service par r appor t aux mul t ip lages homog~nes cycliques. I1 faut c e pe nda n t ~tre p ruden t . S u i v a n t les valeurs des para- m~tres G, k, N, ces deux types de mul t ip lage sont plus ou moins diff6rents. Ils sont h la l imi te ident iques lorsque le coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n moyen q' est

A. TELEC., 29, n ~ 11-12, 1974 22/26

G . F A L C O U . - - A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 5 0 5

Prohabilite d'~chec

15%

10%

5%

0%

'~"~ ///

j "

/ /

Erlar

40 50 Trafic offert (erlang)

FIG. 16. - - Comparaison entre les diff6rents types de mult iplages. Combinato i rement homog~ne. Homog~ne cyclique.

Semi-homog~ne cyclique binaire. Gradu6.

TABLEAU I I Probabilitds d'dchec des faiseeaux du centre de transi t

Faisceaux

N

k

A

Er lang

Conny Palm

Homog~nes eycliques

Multiplages Semi-homog~nes cycliques binaires

Gradu6es (existant)

h _ _

100 360 52 222

40 50 30 30

252 70 36,4 155,4

2,9 X 10-91,38 X 10-a0,29 X 10-29,19 x 10 -6

6 x 1 0 - e

0,0012

0,0014

0,0182

0,0004

0,00044

0,0006

0,0044

0,0068

0,0050

0,0059

0,0114

0,00017

0,0037

0,0042

0,0439

)ris comme exemple

5 6

120 106

40 30 i

84 74,2

4 x 10 -5 9,5 X 10 -~

0,00036 0,0013 i

0,00085 0,0029

0,0010 0,0041

0,0085 0,0200

7 8

140 45

30 30

98 31,5

1,2 x 10 -~ 4,7 X 10 -a

0,00057

0,0032

0,0085 ul

0,0060

0,0030 0,0072

0,0265 0,0145

c o m p r i s e n t r e 1 e t 2 o u l o r s q u ' i l e s t 6gal h u n e pu i s -

s a n c e e n t i ~ r e de 2. N o u s a l l o n s d o n c e f f e c t u e r l a

c o m p a r a i s o n s u r u n e n s e m b l e de cas q u i n o u s p a r a i s -

s e n t a p r i o r i f i tre p a r m i les p l u s d 6 f a v o r a b l e s p o u r

les m u l t i p l a g e s s e m i - h o m o g 6 n e s c y c l i q u e s b i n a i r e s .

V.3.1. Multiplages dtudids.

P o u r q u e les d e u x m u l t i p l a g e s c o r r e s p o n d a n t a u x

m 6 m e s v a l e u r s des p a r a m b t r e s de b a s e G, k, N s o i e n t

a u s s i d i f f 6 r e n t s q u e p o s s i b l e , il f a u t q u e le coef f ic ien t

d ' i n t e r c o n n e x i o n m o y e n q ' so i t 6gal h l a v a l e u r

m o y e n n e d e s d e u x p u i s s a n c e s e n t i ~ r e s d e 2 q u i

l ' e n c a d r e n t . Cec i c o n d u i t h c h o i s i r de s c o n f i g u r a t i o n s

t e l l e s q u e q' s o i t 6ga l h 3, 6, 12 o u 24 (ce n ' e s t p a s l a

p e i n e d ' e n v i s a g e r de s v a l e u r s s u p 6 r i e u r e s , 6 t a n t d o n n 6

q u ' i l n ' e x i s t e p a s d e s y s t ~ m e s d a n s l e s q u e l s G > 40) .

O n a c h o i s i c o m m e e x e m p l e u n f a i s c e a u d e N ~ 50

c i r c u i t s , a t t e i n t a v e c u n e a c c e s s i b i l i t 6 k = 3 0 e t

r a c c o r d 6 s u r u n e c h a i n e d e s61ec t ion c o m p o r t a n t

s u c c e s s i v e m e n t G ~ 5, 10, 20 e t 40 g r o u p e s .

L e t r a f i c o f f e r t e s t A ~ 35 e r l a n g . L a f o r m u l e d e

C o n n y P a l m d o n n e u n e p r o b a b i l i t 6 d ' d c h e c d g a l e h

0 ,0073 ( l a f o r m u l e d ' E r l a n g d o n n e 0 ,0033 ) .

23/26 A. T E L E C . , 2 9 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

5 0 6 G. F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T I ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A B T I E L S

V.3.2 . R d s u l t a t s e t c o m m e n t a i r e s .

Les rdsul ta ts sont donn6s dans le t ab leau I I I .

TABLEAU II I Comparaison compldmenlaire. Probabilitds d'dchec N ~ 50 k ~ 30 A ~ 35E Erlang 0,0033. Conny Palm 0,0073.

Multiplages

G

5

10

20

40

Homogbnes cycliques

0,0057

0,0053

0,0051

0,0058

Semi-homogbnes cycliques binaires

0,0069

0,0072

0,0067

0,0075

Les mu l t i p l ages semi -homog~nes cycl iques binaires

p r o v o q u e n t pa r r a p p o r t a u x m u l t i p l a g e s homog~nes

cyc l iques (darts les cas ddfavorables envisag6s) une

a u g m e n t a t i o n re l a t ive de l ' o r d r e de 30 % de la

p robab i l i t 6 de per te . C o m p t e t e n u des avan tages cons iddrables appor tds pa r ce t y p e de mul t ip lage ,

r a n t en ce qui concerne les p rob l~mes de cons t ruc t ion

que les probl~mes d ' dvo lu t ion , e t de la faible dimi-

n u t i o n de qual i t6 de serv ice qu ' i l s i n t rodu i s en t (effet

qu i p e u t 8tre compens6 pa r n n e tr~s 16g~re augmen-

t a t i o n du n o m b r e de circui ts) , les multiplages semi- homog~ncs cycliques binaires a p p a r a i s s e n t donc comme

une so lu t ion p a r t i c u l i ~ r e m e n t in t6 ressan te darts les

cas d 'access ib i l i td r e s t r e in t e a v e c choix al6atoire

( a p p r o x i m a t i v e m e n t ) du p o i n t de sortie.

V I . ~ A L ~ U L D E L A ~ R O B A B I L I T ~ D E B L O ~ A ~ E

C o m m e nous l ' avons v u au p a r a g r a p h e V.2.2, la

f o r m u l e de Conny P a l m ne d o n n e pas enti~re satis-

fac t ion . I1 exis te en effet des cas off elle sous-est ime tr~s f o r t e m e n t la p robab i l i td d '6chec .

On au ra i t pu en fa i t s 'en d o u t e r sans avo i r besoin de le vdr i f ier pa r s imula t ion . Considdrons le cas part i-

cul ler l im i t e darts l eque l :

Gk q ' - - -- 1.

N

Le fa isceau est alors divis6 en G fa i sceaux de k cir- cu i t s t o t a l e m e n t i nd6pendan t s , c h a c u n d ' e u x 6rant associ~ h u n groupe de s61ection.

Le t ra f ic offert pa r un g r o u p e es t :

A A k A ' - -

G - - N

et la probabi l i t6 d '6chec est :

En(A) P : E~ (A') >

E N - k ( A ) "

Nous allons 6laborer une m~thode d ' i n t e rpo la t ion

de mani~re h ce que le rdsul ta t soit i den t ique h Ek(A)

dans ce cas par t icu l ie r et soit le m~me que celui de la formule de Conny P a l m pour q' suf f i samment grand.

D6finissons t o u t d ' abo rd ce que l 'on p e u t appeler

le champ d'action d ' u n groupe. Lorsque q ' : 1, les

groupes sont t o t a l e m e n t ind6pendan t s e t le champ

d ' ac t ion de chaque groupe est const i tu~ par les k cir-

cuits qui sont d i r e c t e m e n t connect6s ci-dessus. Si on

a u g m e n t e q', l ' appa r i t i on de connexions en t re points

de sortie de groupes diff~rents fa i t que le t raf ic offert

pa r un groupe d6termind a, pa r l ' i n t e rm6dia i r e des

autres groupes, une inf luence sur l ' d t a t d ' oecupa t ion

de circuits auxquels il n ' a pas ace , s d i rec tement . Ceei

a pour effet d '6 tendre son c h a m p d ' ac t ion qui t o m -

por te alors N ' ~ k circuits. A la l imite , pour q' suffi-

s a m m e n t grand, le champ d ' ac t ion englobe les

N circuits du faisceau, et on p e u t app l iquer la for-

mule de Conny Pa lm. C o m m e n t ~valuer la ta i l le N '

du champ d ' ac t ion ? Le r a i sonnem en t qui suit (qui

ne saura i t m6r i te r le nom de d6mons t ra t ion ) p e r m e t

d ' a b o u t i r h une m~thode de calcul (qui est p lu t6 t

une recctte).

Supposons que G est tr~s g rand d e v a n t q', que le mul t ip lage est homog~ne cyc l ique et est const i tu6

par un seul bloc de mul t ip l age cycl ique comple t (ce

qui en t ra ine que q' -~ q ~ h"). Consid~rons le g r o u p e j ;

il a ace , s h q circui ts (voir Fig. 17, off l ' on a pris

q = 5). Soit c le t raf ic m o y e n 6could par un point de sortie.

C'est aussi la probabi l i t~ pour q u ' u n c i rcui t connect6

sur le g r o u p e j soit occupd par du t ra f ic en p rovenance

de ce groupe.

L ' o c c u p a t i o n des circui ts 2, 3, ..., q a une influence

di recte sur le c i rcui t 1' pa r l ' i n t e rm6dia i r e des groupes

j d- 1, j-~- 2, j d- q - - I ; celle des circuits 3, ..., q a une influence di recte sur le c i rcui t 2' pa r l ' i n te rm6-

diaire des groupes j d- 2, . . . , j d- q - - 1 ; etc. , e t enfin

celle du c i rcui t q a une inf luence directe sur le c i rcui t

( q - - 1)' pa r l ' i n te rm~dia i re du groupe j § q - - 1.

Supposons que l o r s q u ' u n des circui ts connect~s sur le groupe j e s t occup~ par un appel en p rovenance

de ce groupe, le t raf ic du g roupe j ' ( j ' =l= j ) ~coul6

en m o y e n n e par le po in t de sort ie qui donne acc~s

h ce c i rcui t soit repor t6 6 q u i t a b l e m e n t sur les diffd-

rents circuits auxque ls s i m u l t a n 6 m e n t le groupe j ' a acc~s et le groupe j n ' a pas acc~s.

Comme on a une probabi l i t6 c pour q u ' u n circui t

auque l a acc~s le groupe j soit occupd pa r du t raf ic en p rovenance du groupe j , le t raf ic reportd sur le

c i rcui t 1' pa r l ' i n t e rm6dia i r e du groupe j d- 1 et par

l ' i n te rm6dia i re d ' un c i rcui t que lconque c o m m u n aux

groupes j et j d - 1 est :

C X C ~ C 2.

Comme il y a q - - 1 circui ts en c o m m u n sur ces

A. T~:LEC., 29, n as 11-12, 1974 24/26

G . F A L C O U . -- A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S 507

Points Groupes

I I

;< X X (q - l ) "

2 ~ --)~ --.-)(-- ---x-- -)~ • •

J

I

Y. x

2 X •

j41 j + 2 j+q -1

I I 1 1'

2' X X---- .--K -- --)<.-- -~(-- --K

q-1

q

~ " - ---)( ~ -)(--- -----)( ~ -)< X X .'.. X X

2" q-1 ~ ' - - .---X ~ -,)~--- - - - K X X X X

1" q )~-- --~ -- --X-- -- ~<--- --X X .K x

)(- - - - - - ~ - - --X-- - - )~---- --)(

(q- 1)'

X v.

FIG. 17. - - Mdthode de calcul. D6termination de la taille du champ d'action.

d e u x g roupes , le t r a f i c r e p o r t ~ sur le c i r cu i t 1' p a r l ' i n t e r m ~ d i a i r e d u g r o u p e j + 1 est ( q - - 1 ) c 2

De m ~ m e , un t r a f i c ( q - - 2 ) c * se r e p o r t e e q u i t a - b l e m e n t su r les c i r c u i t s 1' e t 2' p a r l ' i n t e r m d d i a i r e

du g r o u p e j § 1 . . . . , e tc . , ; un t r a f i c c 2 se r e p o r t e

u n i f o r m 6 m e u t su r les c i r cu i t s 1' , 2 ' , ..., ( q - - 1 ) ' p a r

l ' i n t e r m ~ d i a i r e du g r o u p e j § q - 1.

On a doric g l o b a l e m e n t un t r a f i c r e p o r t 6 :

1 1 c2 ( q - - l ) c 2 § ( q - - 2) c 2 § . . . §

sur le c i r c u i t 1' .

sur le c i r c u i t 2 ' .

1 1 ( q - - 2 ) c 2 § . . . + ~ c 2

q - - i

1 - - C 2

q - - 1

sur le c i r c u i t ( q - 1) ' .

Les c i r cu i t s d i r e c t e m e n t connec t6s sur le g r o u p e j

i n t e r v i e n n e n t a v e c u n poids 1 darts le c h a m p d ' a c t i o n

de ce g r o u p e , a lo rs q u e le t r a f i c en p r o v e n a n c e de ce g r o u p e sur c h a c u n d ' e u x est c. N o u s cons id@erons

que le poids d ' u n c i r c u i t darts le champ d'action du

g r o u p e j e s t ~gal au t r a f i c qu i es t r epo r t6 dessus , divis6 p a r c. L e p o i d s des cliff@cuts c i rcu i t s :

1 ' , 2 ' , .... (q - - 1)'

es t donc le s u i v a n t :

1 1 ( q - - l ) c § ~ ( q - - 2 ) c + . . . + ~ c p o u r 1' ,

1 1 ( q - - 2 ) c + . . . + ~ c p o u r 2 ' ,

1 q - - 1 c p o u r ( q - - I ) ' ,

Le poids t o t a l p o u r les c i rcu i t s 1' , 2 ' , .... ( q - 1)

es t :

q ( q - 1) ( q - - 1 ) c § ( q - - 2 ) c + ...-4- c - - ~ c .

Le poids t o t a l p o u r les c i r cu i t s sur l e sque l s il y a

un r e p o r t de t r a f i c a u I er o r d r e (c i rcui t s 1', 2 ' , .... ( q - - 1) '

e t 1", 2", ..., (q - - 1)" es t doric : q (q - - 1) c.

A u - d e l ~ des c i r c u i t s 1 ' , 2 ' , ..., ( q - 1) e t

1", 2", .... (q - - 1)",

on t r o u v e h n o u v e a u d e u x e n s e m b l e s de ( q - - 1 ) c i r -

cu i t s q u i s o n t affect~s , r e s p e c t i v e m e n t , p a r l ' i n t e r -

m d d i a i r e des d e u x e n s e m b l e s prdc i tds , p a r u n r e p o r t de t r a f i c au 2 e o rd re . On p e u t m o n t r e r , p a r le m ~ m e

r a i s o n n e m e n t q u e p r d c 6 d e m m e n t , q u e l eu r poids es t q ( q - - 1 ) 2 c 2. D e m ~ m e , u n r e p o r t A l ' o r d r e co, i n t r o -

du i t , darts le champ d ' a c t i o n , des c i r c u i t s a v e c u n poids q (q - - 1) r176 c ~

I1 en r~su l t e q u e l a t a i l l e de c h a m p d ' a c t i o n es t clans le cas p a r t i c u l i e r e n v i s a g ~ e (en s u p p o s a n t

G inf ini ) :

N ' = q + q ( q - - 1 ) c § q ( q - - 1 ) 8 c 2 § . . . +

q ( q - - 1 ) ~ c c~ + + N ' - - q "'" 1 - - ( q - - l ) c .

E n g6n6 ra l i s an t , au cas off q ' n ' e s t pa s e n t i e r e t

off l ' a cces s ib i l i t 6 es t 6ga le h k :

k N r

1 - - (q' - - 1 ) c"

D ' a u t r e p a r t , n o u s s u p p o s e r o n s p o u r s imp l i f i e r q u e

c es t p r a t i q u e m e n t ~gal ~ c', trafic offert p a r p o i n t de sor t ie , n e n r6 su l t e f i n a l e m e n t q u e p o u r ~ v a l u e r

le b locage , on a h e f f e c t u e r les ca lcu l s s u i v a n t s :

Gk A q ' - - c' =

N ' G k '

k N t

1 - - ( q ' - - 1 ) c'"

Si N ' ~> N ou N ' n6ga t i f , ce q u i p e u t se p r o d u i r e ,

e a r (q' - - 1) c' p e u t fitre p l u s g r a n d q u e 1, ~ t a n t d o n n ~

q u e c' es t u n t r a f i c o f f e r t :

EN(A) P--

E N--k(A) "

Si N ' < N : A ' N ' = ~ A ,

E N ' ( A ' ) p _ E N , _ k ( A , ) �9

On v6r i f i e b i e n q u e p o u r q ' = 1, on a b i e n N ' = k.

25/26 A. T~LEC., 29, n ~ xl-12, 1974

5 0 8 G. F A L C O U . - A C C E S S I B I L I T ] ~ R E S T R E I N T E - - S T R U C T U R E D E S M U L T I P L A G E S P A R T I E L S

Si N ' non ent ier , on in te rpo le ent re va leurs enti~res. Bien que la va l id i td du r a i sonnemen t soit extr~-

m e m e n t dou teuse , l ' u t i l i s a t ion de la m~thode propos6e

est just i f ide pa r le fair qu ' e l l e pe rme t d '6v i t e r les

sous -es t imat ions parfois considdrables de la formule

de Conny Pa lm.

Le rdsu l ta t du calcul est le m~me, que] que soit le t y p e de m u l t i p l a g e utilis6, 6 tan t donnd que l 'on

se base sur le coefficient d ' i n t e r c o n n e x i o n m o y e n q'.

Les deux derni~res colonnes du t ab leau IV donnen t

le r a p p o r t :

r~su l ta t du calcul

rdsu l t a t de la s imula t ion

pour les d e u x t ypes de mul t ip lages .

VII. CONCLUSION

L'd tude effectu6e a pe rmis d ' a b o u t i r h deux rdsul- ta t s impor tan t s :

La d6finition d ' u n t y p e de mul t ip lage (semi-

homog~ne eyel ique binai re) off rant une bonne qual i t6

de service dans le cas d ' u n choix al~atoire du po in t

de sortie et pa r t i cu l ib r emen t com m ode h r~aliser et

sur tou t h modif ier lors des extensions.

La mise au po in t d ' u n e m d thode de ealeul de blo-

cage qui, bien que ne r eposan t pas sur des bases th6o-

riques trbs solides, donne des r6sul tats corrects, du

moins dans les cas qui on t 6t6 envisag6s. I1 est bon

de rioter que ce t t e m 6 t h o d e n ' a 6t6 p r a t i q u e m e n t

TABLEAU IV Mdlhode de calcul. Faisceaux du centre de transit pris comme exemple

Donndes Correction Simulation Calcul Rapport

Faisceau A k N q' N '

252 1 40 360 2,22

288

70 2 5O 100 10

8O

36,4 3 3O 52 11,5

41,6

155,4 4 30 222 2,70

177,6

84 5 40 120 6,67

96

74.2 6 30 106 5,66

84,8

98 7 30 140 4,29

112

31,5 8 30 45 13,3

36

65,0

71,4

~ N

~ N

~ N

~ N

53,7

60,5

98,8

~ N

70,8

87,9

64,7

77,6

~ N

~ N

Semi- Semi- Homog~ne homog~ne Conny M4thode Homog~ne homog~ne

cyclique cyclique Palm de calcul cyclique cyclique binaire binaire

m m

0,0012 0,0014 6 • 10 -6 0,0026 2,16 1,86

0,0119 0,0122 0,0012 0,0198 1,66 1,62

0,00044 0,0006 0,0004 0,91 0,67

0,0068 0,0078 0,0102 1,50 1,31

0,0050 0,0059 0,0068 1,36 1,15

0,0241 0,0268 0,0353 1,46 1,32

0,0037 0,0042 0,00017 0,0064 1,73 1,52

0,0205 0,0234 0,0084 0,0330 1,61 1,41

0,00085 0,0010 0,00036 0,0008 0,94 0,80

0,0097 0,0116 0,0113 1,17 0,97

0,0029 0,0041 0,0013 0,0037 1,28 0,90

0,0189 0,0217 0,0218 0,0259 1,37 1,19

0,0032 0,0030 0,00057 0,0045 1,41 1,50

0,0195 0,0200 0,0160 0,0284 1,46 1,42

0,0060 0,0072 0,0085 1,42 1,18

0,0272 0,0300 0,0371 1,36 1,24

On vo i t que la m d t h o d e sures t ime le b locage - - sauf dans c inq cas (va leurs en i t a l ique) le r a p p o r t pou-

r a n t a t t e i n d r e :

- - 2,16 p o u r les mu l t i p l ages homog~nes cycl iques,

- - 1,86 p o u r les mu l t i p l ages semi-homog~nes cycli- ques binaires .

De t o u t e fagon, l ' o rd r e de g randeur est t ou jours respect6.

test6e que dans le cas off le t ra f ic est 6quilibr6 sur

les diff6rents groupes de sdlection.

Ces deux 616ments d o i v e n t p e r m e t t r e de rdsoudre plus c o m m o d d m e n t les problbmes pra t iques qui se

poseur darts le cas off l ' u t i l i s a t ion de l 'accessibi l i t6

res t re in te est n fcessa i re pour desserv i r l ' ensemble des

fa isceaux conneet6s en sort ie d ' u n e chaine de sf lect ion.

M a n u s c r i t re~u le 13 m a i 1974.

A. T~:LEC., 29, n os 11-12, 1974 26/26