Abelian &Non-Abelian Abelian &Non-Abelian transformationstransformations

Abelian groups

transformations commute

Non-Abelian groups

transformations do not commute

phase phase invariance invariance in QEDin QED

2222 1221 SUSUSUSU

1111 1221 UUUU

isospin yang-isospin yang-mills theorymills theory

Dal 1948 osserviamo le particelle; notiamo qualche simmetria; cerchiamo quale campo di gauge può spiegarle : questo vuol dire determinare le

proprietà delle particelle scambaitrici (“virtuali”) associate al campo, che poi bisogna

scoprire sperimentalmente.

Non-Abelian Guage global SymmetryNon-Abelian Guage global Symmetry

““Any non-Abelian Any non-Abelian global symmetry global symmetry not hiddennot hidden reveal reveal itself in the itself in the existence of existence of multipletsmultiplets that are that are either exactly either exactly degenerate in degenerate in mass, if the mass, if the symmetry is exact symmetry is exact or nearly so if the or nearly so if the symmetry is broken symmetry is broken by small explicit by small explicit terms in the terms in the Hamiltonian”Hamiltonian”

Exactly degenerate in mass: Angular momentum multiplets,in the absence of electromagnetic field

Fino al ~ 1948: simmetrie di gauge per costruire la elettrodinamica quantistca (QED): l’invarianza di gauge come controllo dei calcoli e non come generatore di forza

invarianza per rotazione nello spazio di spin

isotopico delle interazioni forti.

Yang-Mills e la Yang-Mills e la conservazione conservazione

dello SPINdello SPIN ISOTOPICOISOTOPICO

13211315

119711921189

6.4976.493

5.1391355.139

5,9392.938

0

0

0

0

KK

np

simmetria globale non non abelianaabeliana

Broken: Strong Isospin

notare

• simmetria nascosta hidden symmetry

• simmetria rotta broken symmetry

• trasformazione (simmetria, gruppo) abeliana

• trasformazione (simmetria, gruppo) non abeliana

4lez5pfd

Strong Isospin Symmetry (nucleons,pions and other hadrons)

3I212

1

1II

protone (protone (pp) e neutrone () e neutrone (nn))

mmpp=938.28 MeV=938.28 MeV, , mmnn=939.57MeV=939.57MeV

m m

Perché considerarli diversi? Hanno una carica e.m. diversa, ma le interazioni forti non sentono la carica e.m..L’interazione forte è molto più forte dell’interazione e.m., che non conta molto.

(Heisemberg, 1932)Questo modo di ragionare ha portato all’idea che dobbiamo pensare Questo modo di ragionare ha portato all’idea che dobbiamo pensare pp e e n n come due stati dello stesso oggetto: come due stati dello stesso oggetto: il nucleoneil nucleone NN.. La carica La carica elettrica è una “etichetta” per distinguere i due stati, se ce ne è elettrica è una “etichetta” per distinguere i due stati, se ce ne è bisogno. È utile immaginare uno spazio, dettobisogno. È utile immaginare uno spazio, detto STRONG ISOSPIN STRONG ISOSPIN SPACESPACE, nel quale il nucleone N punta in una direzione: in , nel quale il nucleone N punta in una direzione: in susu se è un se è un pp, in , in giùgiù se è un se è un nn

Si assume che l’interazione forte sia invariante per rotazioni Si assume che l’interazione forte sia invariante per rotazioni

nello spazio di spin isotopiconello spazio di spin isotopico, , e si chiama questa e si chiama questa invarianzainvarianza::

SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle INTERAZIONI FORTIINTERAZIONI FORTIIn effetti, si è osservato che approssimativamente l’interazione forte non cambia se si In effetti, si è osservato che approssimativamente l’interazione forte non cambia se si

scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari)scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari)

Questa Questa invarianza o simmetriainvarianza o simmetria è è rottarotta dall’interazione e.m.,dall’interazione e.m., ma tiene entro lo ma tiene entro lo 0,1%0,1%

Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’ interazione Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’ interazione di nucleoni,pioni e altri hadroni.di nucleoni,pioni e altri hadroni.

Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato concettuale: ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato

alle moderne teorie di gaugealle moderne teorie di gauge: : le teorie di Yang-Millsle teorie di Yang-Mills. . Qui Qui ce ne occuperemo da questo punto di vista.ce ne occuperemo da questo punto di vista.

Quello che è veramente fondamentale è la Quello che è veramente fondamentale è la simmetria disimmetria di

isospin deboleisospin debolecome vedremo in seguito.come vedremo in seguito.

SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICOSIMMETRIA di SPIN ISOTOPICOSIMMETRIA di SPIN ISOTOPICOSIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO

n

pN Doppietto di SU(2)

I=1/2

3

2

1

HADRONS AS STATES IN SU(2) MULTIPLETS

Tripletto di SU(2) I=1

mp=938.28 MeV, mn=939.57MeV

2/21 i 30

m=139.57 MeV, m0=139.96MeV

23

BI

e

Q Q carica particella

e carica elettrone

B numero barionico

21

21

3I

1

0

1

3I

0

Esempio di simmetria

interna di particelle

pion nucleon interaction Lagrangian N

00

int nngppgpngnpgL nnppnppnagr

pn

Distrugge un antiprotone, crea un protone

Distrugge un neutrone,crea un neutrone

Non invariante per rotazione nello spazio interno di spin isotopico per qualsiasi g. Per esempio

nnpp ggnp

COME RENDERE INVARIANTE UNA LAGRANGIANA? UNO SCALARE È INVARIANTE PER ROTAZIONE. DATO CHE IL È UN VETTORE, DOBBIAMO FORMARE UN VETTORE CON N NN

PaulidimatriciNNgL iagr ,int

analogia con lo spin

0,potenziale del campo forte,ma anche operatore creazione e distruzione del

charge indipendence interaction Lagrangian

332211

321 01

10

0

0

10

01

i

i

0

0

321

213

2

2

i

i

n

pnpNN

0

0

2

2

np

npnp

0

0

2

2

00 22 nnpnnppp

2

1:

2

1:1:1::: nppnnnpp gggg

Calcolo prodotto Relazione tra 1,2,3 e

,int

NNgLagr

5int igLagr NNagr igL 5int

NNagr igL 3322115int

NNagr igL 335int 22

3555int 20

20

2

n

p

npp

npn

npagr gigigiL

353555int 22 nnppnppnpnnpagr igiggigiL

00

int nngppgpngnpgL nnppnppnagr

np

pn

np

pn

basic nucleon-nucleon interaction

pn

n

p

gp

p

p

n

n

ng g2 g2

force amplitude

222 2 ggg

0

Lo spin isotopico è un esempio di simmetria interna di particelle.

A questo tipo di simmetria si associa uno “spazio interno” e si richiede che l’interazione sia invariante per rotazioni in tale spazio

In questo modo si ottiene un’interazione della forma voluta.

Quando ci occuperemo dellp spin debole, vedremo che è il bosone W ad avere isospin debole 1

Non-Abelian Gauge Non-Abelian Gauge TheoriesTheories

n

pe

n

p i .

'

'

SPAZI INTERNI ESPAZI INTERNI E

INVARIANZA DI FASEINVARIANZA DI FASE

p e n sono nello spazio interno di spin isotopico forte SU(2):

n

p

trasformazione di trasformazione di fase per cui la fase per cui la

variazione è espressa variazione è espressa da un operatore nello da un operatore nello

spazio di spin spazio di spin isotopicoisotopico

Rotazione dallo stato N allo stato N’

n.b.: l’ordine delle rotazioni è importante, perche’ le rotazioni non commutano. kijkji i 2,

TRASFORMAZIONI

NON ABELIANE

commutatore

i parametri della rotazione

i matrici di Pauli

In linea di principio possiamo considerare particelle in una rappresentazione di un gruppo qualsiasi, ed applicare la trsformazione appropriata

Se le particelle a1,a2,a3 portano numeri quantici in uno spazio SU(3), si ha:

3

2

1

3

2

1

'

'

'

a

a

a

e

a

a

ai

)3(,......,

,......,

821

821

SUdimatrici

rotazionediparametri

I quark hanno questo grado di libertá: il COLORECOLORE

Quali sono gli spazi interni della fisica delle particelle?

Sperimentalmente si è verificato che gli “spazi” che descrivono tutte le particelle conosciute oggi, e le loro proprietà sono:

SU(3)(COLORE) interazione forte SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) e U(1) interazione elettrodeboleSU(2) e U(1) interazione elettrodebole

Si vedrà in seguito che uno spazio nel quale delle particelle portano numeri quantici non banali, conduce ad una interazione tra particelle mediate da nuovi bosoni di gauge

L’invarianza di fase della teoria quantistica (gauge L’invarianza di fase della teoria quantistica (gauge invariance) deve esistere per trasformazioni in questi invariance) deve esistere per trasformazioni in questi “spazi interni”. “spazi interni”.

STANDARD MODELSTANDARD MODEL

SU(3)(COLORE) interazione forte SU(3)(COLORE) interazione forte SU(2) U(1) interazione elettrodeboleSU(2) U(1) interazione elettrodebole

TEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONITEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONI

invarianza di gauge locale invarianza di gauge locale teorie di Yang-Millsteorie di Yang-Mills

Si può dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono Si può dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono pienamente gauge –invarianti, cioè esiste un insieme di pienamente gauge –invarianti, cioè esiste un insieme di trasformazioni per trasformazioni per ee i bosoni di gauge i bosoni di gauge che fa si che che fa si che DD si si trasformi cometrasformi come

Quark e leptoni hanno “etichette” ( o numeri quantici) che permettono di Quark e leptoni hanno “etichette” ( o numeri quantici) che permettono di distinguere 3 “spazi interni.”distinguere 3 “spazi interni.”

““weak” weak” isospinisospin

d

u

s

c

b

t

ee

rappresentazioni rappresentazioni in in uno spazio di uno spazio di isospin isospin deboledebole

3. 3. Nessuna Nessuna particella particella liberalibera è invariante per è invariante per una trasformazione di una trasformazione di gauge non-Abeliana gauge non-Abeliana dato che dato che non è non è invariante l’equazione invariante l’equazione di SCHROEDINGERdi SCHROEDINGER

1.1. Si richiede invarianza in Si richiede invarianza in

trasformazioni trasformazioni localilocali2. 2. Questo equivale a fare i Questo equivale a fare i

parametri dipendenti parametri dipendenti dal tempo e dallo dal tempo e dallo spazio.spazio.

txtx ii ,);,(

4. Covariant derivatives: Covariant derivatives: generalizzazione del generalizzazione del caso “abeliano” U(1)caso “abeliano” U(1)

2SU

),(,', ),( xtextxt xti

),(,', xtextxt i

),(,', xtextxt i

),()1( txU

3SU

Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali (Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali () ) Con U(1) abbiamo bisogno di un ACon U(1) abbiamo bisogno di un A ; con SU(2) abbiamo bisogno di W; con SU(2) abbiamo bisogno di Wi i

per per ogni ogni ii..

igAD

WigD22

U(1)

SU(2)gg22 arbitraria arbitraria la forza dell’interazione la forza dell’interazione

WWii necessario, per l’invarianza per rotazioni di weak isospinnecessario, per l’invarianza per rotazioni di weak isospin

Questa è un’equazione di matrici 22

Come cambia WCome cambia Wii con una trasformazione di gauge? con una trasformazione di gauge?

kjijkii Wg

W 2

1

DeD i''

iii WWW '

ie'Dato che si deve avere

Si assume che: . Si deve determinare iWSi puó dimostrare cheSi puó dimostrare che

Esiste quindi una soluzione non Esiste quindi una soluzione non banale consistente con l’ipotesi banale consistente con l’ipotesi della gauge invarianza di una della gauge invarianza di una teoria non-Abeliana!teoria non-Abeliana!

analogo a U(1) (abelian)

eA / trasformazione di un vettore per rotazione (non-

abelian)

Dimostrazione

kjijkii Wg

W 2

1 DeD i

''

jjii iWigD 12' '

2''

2122 22

jjiiii

iWigWig

442

22

22

22

jiiijiiijj

iiii

WigWigi

WigWig

21 22

jjii

i

WigiDe

42

22

2

22

jiiijj

iiii

Wigi

WigWig

242 22

iijjiijj

iWgWig

42

22

2

22

jiiijj

iiii

Wigi

WigWig

j

jiiii iWigWig

222 22

2

42 22

ii

jjiijj

i

WgWig

42 jjii Wg

ijjijiiiii Wi

gW

2

1

2

01

2

jiijkiii W

gW

kjijkii Wg

W 2

1

OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE

abbiamo quindi visto una derivazione esplicita del fatto che una teoria non abelianateoria non abeliana può essere pienamente gauge-invariantegauge-invariante

esiste cioè un set di trasformazioni per esiste cioè un set di trasformazioni per e e WW tali per cui tali per cui DD si trasforma come si trasforma come

non è un risultato banale che esista una soluzione consistente

WigD

22

covariant covariant derivativederivative per per doppietti di doppietti di SU(2)SU(2)

fermioni fermioni sinistrorsisinistrorsi

Bisogna generalizzare questo risultatoBisogna generalizzare questo risultato

1.1. spazio interno di weak isospin . spazio interno di weak isospin . in una diversa in una diversa rappresentazionerappresentazione.

weak isospin weak isospin t,t, con con (2t+1)(2t+1) componenti , componenti ,TT è la rappresentazione è la rappresentazione operatore matriciale operatore matriciale (2t+1)(2t+1) (2t+1) (2t+1) dei generatori di SU(2) in quella dei generatori di SU(2) in quella base.base.

2.2. Consideriamo un diverso spazio internoConsideriamo un diverso spazio interno

SU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (nSU(n) invariance con generatori in uno spazio vettore a (n2 2 -1)-1)

dimensioni, e , allora dimensioni, e , allora

WTigD

2

F

kijkji FicFF

GFigD n

La natura ci offre uno spazio interno “di colore”

SU(3) richiede (n2-1)= (9-1)=8 bosoni di gauge

SU(2)

SU(3)

i Gi G sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria di gauge invariante.di gauge invariante.

Sommando a svariati termini siamo sicuri di poter scrivere un differenziale covariante D che ci permetterá di scrivere Lagrangiane gauge-invariant per trasformazioni di gauge , simultaneamente o separateamente in tutti gli spazi interni

MAIN MAIN EQUATION EQUATION OF THE OF THE STANDARD STANDARD MODELMODEL

Il campo abeliano di U(1) è BIl campo abeliano di U(1) è B. Dimostreremo che in natura questo . Dimostreremo che in natura questo campo coincide con Acampo coincide con A, il campo e.m, cioè il fotone., il campo e.m, cioè il fotone.

Y è chiamato “Hypercharge generator”ed e’un numeroY è chiamato “Hypercharge generator”ed e’un numero

è un quadrivettore di Lorentz, come tutti gli altri termini è un quadrivettore di Lorentz, come tutti gli altri termini dell’equazione. dell’equazione.

singoletto singoletto in SU(2) in SU(2) ed SU(3)ed SU(3)

singoletto in U(1) singoletto in U(1) ed SU(3). Matrice ed SU(3). Matrice 222 in SU(2)2 in SU(2)

singoletto in U(1) singoletto in U(1) ed SU(2). Matrice ed SU(2). Matrice 333 in SU(3)3 in SU(3)

arbitrarirealinumerig

i

GigWigBY

igD

ii

aa

ii

3,2,1,

321

8....2,13,2,1

222

BY

ig21

i

iWig22

a

a Gig23