OO “Ábaco dos inteiros”.“Ábaco dos inteiros”.

ÁbacoÁbacoUm pouco da sua história…Um pouco da sua história…

O Ábaco, O Ábaco, primeira máquina de calcular da humanidadeprimeira máquina de calcular da humanidade, teve , teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5500 anos. origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5500 anos.

Exemplo de um ábaco representando o número 6302715408.

O ábaco é um dispositivo de cálculo aritmético que consiste, geralmente, num quadro de madeiras com cordas ou arames transversais, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas, centenas, ...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente.

Em todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados no ensino pré-escolar e primário como uma ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética.

Exemplo de um ábaco escolar.

Ábaco chinês

Exemplos de ábacos utilizados em vários países.

Ábaco Japonês

Ábaco russo

Existem variadíssimos estilos de ábacos, como por exemplo os das figuras 1 e 2.

Fig. 1 Fig. 2

Vamos debruçar-nos somente no estudo

de um ábaco especial, o “Ábaco

dos inteiros”.

Adição, subtracção e multiplicação

utilizando o `”Ábaco dos inteiros”.

+ -

“Como se representa o número zero no ábaco?”

+ -

Ao todo, quantas são, as formas possíveis de representar o zero?

Aprender a manusear o Aprender a manusear o ábaco…ábaco…

+ -

+ - + -

Portanto, existem 11 situações de equilíbrio.

Como representar no ábaco os números -6, 7 e -2?

+ - + - + -

Exemplos de representações do número -6

Uma representação do número +7

Exemplos de representações do número -2

+ - + - + -

Adição de números Adição de números inteiros relativosinteiros relativos

Utilizando o ábaco vamos aprender a operar com números inteiros, começando pela adição. Analisemos, um a um, os quatro casos seguintes:

43

43

43

43

1.º Caso:

2.º Caso:

3.º Caso:

4.º Caso:

+ - + - + -

...43.º1

+ - 43 7

+ 7

Então: Nota:Nota: Poderíamos começar por outra situação de equilíbrio, por exemplo, com 1, 2 ou 3 bolas (no máximo 3).

43.º2

-1

+ -

Situação de equilíbrio logo zero

-1

+ -

43.º2Outra forma possível, partido de uma situação de equilíbrio com 5 bolas:

Situação de equilíbrio

-1

-1

43.º3 1

+ -

Zero

1

Começamos com uma situação de equilíbrio, por exemplo, sem bolas e…

+ -

43.º4 -7

-7

Subtracção de números Subtracção de números inteiros relativosinteiros relativos

Agora vamos para a subtracção… Analisemos, cada um dos exemplos seguintes:

64

72

25

36

1.º Caso:

2.º Caso:

3.º Caso:

4.º Caso:

+ -

64.º1

+ -

-2-2

Excluindo a situação de equilibro…

-2

72.º2

+ -

99

9

25.º3

+ -

-7

ZeroZero

-7-7

35.º4

+ -

-2

ZeroZero

+ -

-2-2

36 = -3

E, relativamente a este exemplo?E, relativamente a este exemplo?

Os alunos devem responder não, porque o número de Os alunos devem responder não, porque o número de bolas existentes no ábaco é insuficiente.bolas existentes no ábaco é insuficiente.

Partiriam da situação de equilíbrio correspondente à Partiriam da situação de equilíbrio correspondente à parcela de maior valor absoluto?!parcela de maior valor absoluto?!

+ -

ZeroZero

-3-3

+ -

36 = -3

Multiplicação de Multiplicação de números inteiros números inteiros

relativosrelativosAnalisemos, cada um dos exemplos seguintes:

24

25

52

25

1.º Caso:

2.º Caso:

3.º Caso:

4.º Caso:

905.º Caso:

096.º Caso:

241.º Caso:

Mais uma vez, utilizando o ábaco…

+ -

E partindo, por exemplo, da situação de equilíbrio representada…

Adicionamos 4 vezes o número 2.

Ex

cluin

do

a situ

aç

ão

de

eq

uilíb

rio

Ex

cluin

do

a situ

aç

ão

de

eq

uilíb

rio

res

tam 8 b

ola

s ve

rmelh

as, lo

go

o

res

tam 8 b

ola

s ve

rmelh

as, lo

go

o

pro

du

to é

+8

.p

rod

uto

é +

8.

25 2.º Caso:

+ -

Colocam-se 5 vezes 2 bolas pretas, logo, a única opção é partir de uma situação de equilíbrio, sem bolas.

Logo, o produto é -10.Logo, o produto é -10.

523.º Caso:

+ -

Tiram-se duas vezes cinco bolas Tiram-se duas vezes cinco bolas vermelhas.vermelhas.

E neste caso, como procederiam?

Logo, o produto é -10.Logo, o produto é -10.1052

Obviamente, este é um exemplo que temos obrigatoriamente de partir de uma situação de equilíbrio com as 10 bolas.

254.º Caso:

+ -

Neste caso, tiram-se 5 Neste caso, tiram-se 5 vezes 2 bolas pretas.vezes 2 bolas pretas.

+10+10

+10

90 5.º Caso:

09 6.º Caso:

E no 5.º e 6.º casos como procederemos?E no 5.º e 6.º casos como procederemos?

5.º - Significa colocar 0 vezes 9 bolas vermelhas, logo, o produto é zero.

6.º- Significa adicionar 9 vezes 0 bolas, logo, o produto é zero.

+ -

ZeroZero

FIM