A2. Razones e identidades trigonométricas

Gustavo Rocha2011 - 1

Objetivo del tema

Utilización intensiva de las razones trigonométricas.Utilización intensiva de las identidades trigonométricas.Notas históricas sobre trigonometría.

Contenido del temaRazones trigonométricas. Funciones trigonométricas. Notación. Ángulos y su medición. Seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.Ley de los senos. Ley de los cosenos.Identidades recíprocas.Identidades pitagóricas.Identidades de ángulos opuestos.Identidades de ángulos complementarios.Identidades de ángulos suplementarios.Identidades de la suma y diferencia de ángulos.Identidades del ángulo doble.Identidades del ángulo medio.Notas históricas sobre trigonometría.

Razones trigonométricasLa relación de proporcionalidad entre la longitud de los lados de triángulos semejantes, depende solamente de los valores de sus ángulos; de ahí surgen, de manera natural, las denominadas razones trigonométricas, definidas como cocientes entre las longitudes de dos lados de triángulos rectángulos.

Razones trigonométricas

casoh htoa

adyacentecoshipotenu

opuestosenhipotenu

opuestotanadyacen

a

te

sa

s

Clave mnemotécnica:

Escuadras

Razones trigonométricasde ángulos notables

Radianes 0 /6 /4 /3 /2Grados 0 30 45 60 90sen 0 1/2 2/2 3/2 1cos 1 3/2 2/2 1/2 0tan 0 3/3 1 3

ÁngulosLas dos unidades más usuales para expresar ángulos son los grados sexagesimales y los radianes.Para la conversión de una unidad a otra sólo hay que tomar en cuenta la relación:

Al trabajar con funciones trigonométricas los ángulos se miden en radianes, es decir, los dominios de estas funciones se expresan en términos de .La medición de un ángulo se hace, a partir del semieje positivo x en sentido contrario a las manecillas del reloj. Y un ángulo negativo -, se hace en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

radián radianes1801 57.296 ; 1 0.0175180

radianes180

Radián

Medición de ángulospositivos y negativos

/ 3

5 / 6

5 / 6

/ 3

4 / 3

4 / 3

Ley de los senos

La ley de los senos establece que, en cualquier triángulo, la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos permite calcular el tercer lado desconocido, cuando se conocen dos lados y el ángulo.

Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualesquiera valores de los ángulos que se consideren.

Identidades recíprocas. Identidades pitagóricas. Identidades de ángulos opuestos. Identidades de ángulos complementarios. Identidades de ángulos suplementarios. Identidades de la suma y diferencia de ángulos. Identidades del ángulo doble. Identidades del ángulo medio.

Identidades recíprocas

Identidades trigonométricasen función de las otras cinco

El signo de cada valor depende del cuadrante en el que se encuentre

Identidades pitagóricas

2 2sen cos 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

sen cos 1 sen cos 1;cos cos cos cos cos

2 2tan 1 sec 2 2 2 2

2 2 2 2 2

sen cos 1 sen cos 1;sen sen sen sen sen

2 2cot 1 csc

Identidades pitagóricas

2 2sen cos 1 sen

cos

1

1

2sen

2cos

Identidades pitagóricas

2 21 tan sec tan

1

sec

2sec

2tan

1

Identidades pitagóricas

2 21 cot csc ?

Identidades deángulos opuestos

sen sen

cos cos

tan tan

cot cot

sec sec

csc csc

Identidades para la suma y diferencia de ángulos

sen sen cos cos sen

cos cos cos sen sen

tan tantan1 tan tan

sen sen cos cos sen

cos cos cos sen sen

tan tantan1 tan tan

Identidades de ángulos complementarios

sen / 2 cos

cos / 2 sen

sen / 2 cos

cos( / 2 ) sen

Identidades de ángulos suplementarios

sen sen

cos cos

sen sen

cos cos

Identidades del ángulo doble

sen2x 2 sen x cos x

2 2cos 2x cos x sen x

2

2 tan xtan2x1 tan x

sen x x sen x cos x cos x sen x

cos x x cos x cos x sen x sen x

tan x tan xtan x x1 tan x tan y

Combinación de identidades

Sumando (1) y (2) se obtiene:

Restando (2) de (1) se obtiene:

2 2

2 2

cos x sen x 1 1

cos x sen x cos 2x 2

22 cos x 1 cos2x

22 sen x 1 cos 2x

Identidades del ángulo medio

x 1 cos xsen2 2

x 1 cos xcos2 2

x 1 cos xtan2 1 cos x

2 2 21 cos 2x x 1 cos x2 sen x 1 cos2x; sen x ; sen2 2 2

2 2 21 cos 2x x 1 cos x2 cos x 1 cos 2x; cos x ; cos2 2 2

22 2

2

sen x 1 cos2x x 1 cos xtan x ; tancos x 1 cos2x 2 1 cos x

Notas históricas sobre trigonometría

Los inicios de la trigonometría

Trigonometría: Del griego, , triángulo y , medida, medida de triángulos. Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos.La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas de Egipto y Babilonia. Fueron los egipcios los que establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.En su origen, el objetivo principal de la trigonometría era el estudio de la astronomía, buscando descifrar los misterios del Universo. El principal problema era determinar distancias inaccesiblesLos fundamentos trigonométricos fueron desarrollados, en una línea por sumerios, egipcios y griegos, y en otra por indios y árabes.

Tales de Mileto

Los iniciadores de la trigonometría formal fueron los griegos presocráticos.A Tales de Mileto se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto, utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo.

Aristarco de Samos

En el siglo III a.C. Aristarco de Samos observó que la distancia Tierra-Sol era mucho mayor que la Tierra-Luna y que, por consiguiente, el Sol tenía que ser mucho más grande, unas 300 veces mayor que la Tierra; el método que usó era correcto, no así las mediciones, pues el Sol se encuentra unas 400 veces más lejos. Su hallazgo le indujo a pensar que los cuerpos más pequeños son los que orbitaran alrededor del sol (modelo heliocéntrico).

Eratóstenes de CireneTreinta años después, Eratóstenes determinó por primera vez las dimensiones de la Tierra, por métodos trigonométricos. Sabiendo que el 21 de junio, el sol estaba en su zenit en la ciudad de Siene, midió la sombra de una estaca en la ciudad de Alejandría, situada 800 km al norte; los rayos del sol tenían un ángulo de 7.2 con la vertical, proyectando una sombra perfectamente definida; luego, mediante una regla de tres simple, estimó la circunferencia de la Tierra.

Hiparco de NiceaEn el siglo II a.C., Hiparco de Nicea, notable geómetra y astrónomo griego, considerado el padre de la trigonometría; construyó una tabla cuerdas trigonométricas, similar a una tabla de senos actual, cuyo propósito es relacionar las medidas angulares de los triángulos planos con sus medidas lineales; la necesidad de hacer cálculos astronómicos lo llevó a construir también la trigonometría esférica, ya que los triángulos sobre una superficie esférica no son planos.También introdujo en Grecia la división del círculo en 360 grados, calculó la duración del año tropical, determinada por las estaciones, descubrió la precesión de los equinoccios y describió el movimiento aparente de las estrellas fijas.

Claudio Ptolomeo

Tolomeo hizo contribuciones notables a la trigonometría plana y esférica creada por Hiparco. Empleando el sistema sexagesimal de los babilónicos, calculó cuerdas para una circunferencia de radio 60. Expuso su teorema relativo al cuadrilátero inscrito en una circunferencia, dando la fórmula que relaciona la cuerda de un ángulo con la cuerda de su mitad. La prevalencia de su teoría geocéntrica durante 1400 años es testimonio de su elocuencia como expositor.

La trigonometría india y árabe

Los astrónomos de la India desarrollaron otro sistema trigonométrico, basado en la función seno, que entonces era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada.La función seno aparece registrada por vez primera en el “Sulba Sutras”, texto que pertenece a una época que oscila entre los 800 a.C. y los 200 a.C.Hacia finales del siglo VIII los astrónomos árabes prefirieron trabajar con la función seno y en el siglo X completaron el estudio de la seis funciones trigonométricas; también descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

Trigonometría en occidente

En Europa fue hasta 1533 que aparece el primer trabajo importante sobre trigonometría; es una obra póstuma del astrónomo alemán Johann Müller, conocido como Regiomontano, un extenso tratado de trigonometría plana y esférica con el título “De triangulus omnimodis”, que incluía nuevas tablas, fundamentales para desarrollos posteriores.El también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Retico, fue el que introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporciones, en vez de considerarlas como longitudes de líneas; en su libro “El Canon doctrinae Triangulorum”, en 1551, definió las seis funciones trigonométricas como funciones de un ángulo, en vez de un arco y, principalmente como razones entre los lados de un triángulo.

Trigonometría en occidente

En 1583, el matemático danés Thomas Fincke publicó su famoso libro “Geometríae Rotundi” en el que introdujo los términos tangente y secante.El invento de los logaritmos por John Napier, a principios del siglo XVII dio un gran impulso al cálculos trigonométrico; Napier propuso reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos y algunas proporciones para resolver triángulos esféricos oblicuos.Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis; uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias, entre las que destacan el seno, el coseno y la tangente.

Trigonometría moderna

A mediados del siglo XVIII, la obra de Euler “Introductio in analysin infinitorum”, fue la que estableció el tratamiento analítico moderno de las funciones trigonométricas, definiéndolas como series infinitas. Euler estableció también la notación universal para las seis funciones trigonométricas.La famosa fórmula de Euler proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.

La trigonometría actualPor ejemplo, la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición, todo ello mediante la sistematización de los conceptos básicos de trigonometría.