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A10 - Optimização

Ensino Profissional Professora Maria Daniel Silva 1

ÍNDICE

1. Derivada de uma função---------------------------------------------------------------- 2

1.1. Introdução ao conceito de derivada--------------------------------------------- 2

1.2. Definição de derivada de uma função num ponto------------------------------ 3

1.3. Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto------------ 4

1.4. Derivadas laterais---------------------------------------------------------------- 9

1.5. Funções deriváveis--------------------------------------------------------------- 10

1.6. Derivabilidade e continuidade------------------------------------------------ 12

2. Derivadas de algumas funções-------------------------------------------------------- 13

3. Regras de derivação-------------------------------------------------------------------- 16

4. Aplicação das derivadas---------------------------------------------------------------- 18

4.1. Sinal da derivada e sentido de variação---------------------------------------- 18

4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função--------------------------------- 19

4.3. Segunda derivada de uma função----------------------------------------------- 23

4.4. Concavidade de uma função e segunda derivada------------------------------ 25

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1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

1.1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO (DERIVADA)

A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum.

A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único

ponto em comum.

Por exemplo

Como determinar uma equação da recta tangente a uma curva num ponto ( )( )00 xf,x ?

Para responder a esta questão, considere-se um número muito pequeno h, diferente de zero,

e sobre a curva assinala-se o ponto ( )( )hxf,hx 00 ++ .

0h > 0h <

Quando 0h ® , a linha secante, definida pelos pontos de abcissa 0x e hx0 + , tende para

uma posição limite que é a recta tangente à curva no ponto ( )( )00 xf,x .



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O declive da secante é dado por:

( ) ( )h

xfhxf 00 -+

O declive da recta tangente é dado por:

( ) ( )h

xfhxflim 00

0h

-+

®

1.2. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO NUM INTERVALO

Exemplo

Para a empresa X, o rendimento, em euros, da venda de x unidades é dado por:

( ) 1000x0 ,x01,0x10xR 2 ££-=

® Construindo a tabela

x 200 400 600

R(x) -200 2400 2400

( )200

20001,020010200R 2

-=

´-´=

( )2400

40001,040010400R 2

=

´-´=

( )2400

60001,060010600R 2

=

´-´=

® Calculando ( ) ( ) ( ) 26002002400200R400R =--=- , verifica-se que houve um aumento do

rendimento em 2600 euros.

® Determine-se a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 para

400 unidades.

GRAf pag 10

1.3. DEFINIÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

Considere-se a função real de variável real ( )xfy = , definida no intervalo ] [b,a , ba ¹ e seja

0x um ponto desse intervalo.



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Chama-se derivada de uma função f no ponto 0x e representa-se por ( )0x'f ao limite,

quando existir, da razão ( ) ( )

h

xfhxf 00 -+ e representa-se por

( ) ( ) ( )h

xfhxflimx'f 00

0h0

-+=

®

Se hxx 0 += então 0xxh -= e como 0h ® temos que 0xx 0 ®- , ou seja, 0xx ® .

Sendo assim, a expressão para ( )0x'f pode ser escrita da seguinte forma

( ) ( ) ( )0

0

xx0

xx

xfxflimx'f

0 -

-=

®

Exemplo

Considere-se a seguinte função ( ) 2xxf = e determine-se ( )2'f

Resolução

Usando a definição, tem-se que:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

422

2xlim

2x

2x2xlim

2x

2xlim

2x

2fxflim2'f

2x

2x

22

2x

2x

=+=

+=

-

+-=

-

-=

-

-=

®

®

®

®

Então ( ) 42'f =

Exercício 1

Calcula, a partir da definição, a derivada da função 2xy = nos pontos 1x0 -= e 3x0 -= .

Exercício 2



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Calcule, aplicando a definição, a derivada da função ( ) 3x2xf += nos pontos 1x0 -= e

3x0 = .

1.4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

Exemplo

Considere a função ( ) 2xxf = e calcule, aplicando a definição, ( )1'f e ( )3'f .

Resolução

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

211

1xlim

1x

1x1xlim

1x

1xlim

1x

1fxflim1'f

1x

1x

22

1x

1x

=+=

+=

-

+-=

-

-=

-

-=

®

®

®

®

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

633

3xlim

3x

3x3xlim

3x

3xlim

3x

3fxflim3'f

3x

3x

22

3x

3x

=+=

+=

-

+-=

-

-=

-

-=

®

®

®

®

Ao obter-se para a derivada da função no ponto 1x = o valor 2, e no ponto 3x = o valor 6,

ficou a saber-se que o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa

1x = é 2 e o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa 3x = é 6,

portanto a tangente no ponto 3x = aproxima-se mais da vertical.

JJ Tangentes a curvas (significado da derivada aplicado essencialmente na geometria)



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Exercício

Na figura seguinte representou-se graficamente uma função f e desenhou-se tangentes à

curva em alguns dos pontos.

Por observação do gráfico e relativamente aos pontos considerados, o que pode dizer

acerca:

aa)) Do sinal da derivada?

bb)) Do valor relativo da derivada em 5xx = e 6xx = ?

cc )) Do valor relativo da derivada em 1xx = e 2xx = ?

A derivada de uma função num ponto 0x é o declive da recta

tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 0x .



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JJ Taxas de variação (significado da derivada aplicado em física, economia, engenharia,

etc.)

A taxa de variação média (velocidade média) de uma

função f num intervalo [ ]b,a é dada por:

( )[ ]

( ) ( )ab

afbfv.m.tx'f

b,a0

-

-=

A taxa de variação (velocidade instantânea) da função no

ponto ax = é dada por:

( ) ( )h

afhaflim

0h

-+

®

Observe-se a seguinte representação gráfica de uma função f

Da observação do gráfico é possível concluir que:

Em 1xx = , 2xx = e 4xx = a taxa de variação da função f é positiva ( 1m , 2m e 4m são

positivos).

Em 2xx = a taxa de variação da função f é inferior à taxa de variação em 1xx = ( 12 mm < ).

Em 3xx = a taxa de variação da função f é negativa ( 0m3 < ).

A taxa de variação da função no ponto ax = é a derivada da

função no ponto ax = .



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Exemplo

Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e

passados alguns instantes caiu de novo no ponto P.

A distância d do objecto ao ponto P em função do

tempo t, em segundos, com início no momento do

lançamento é dado por:

( ) 2t4t16td -=

aa)) Calcule a taxa de variação média (velocidade

média) nos intervalos [ ]1,0 , [ ]2,1 e [ ]3,2 e comente

os resultados.

bb)) Calcule a taxa de variação da função (velocidade instantânea) para 1t = .

Resolução

aa)) [ ]

( ) ( )12

1

0416

01

0d1d.m.v

1,0=

--=

-

-=

[ ]

( ) ( ) ( )44161632

1

1411624216

12

1d2d.m.v

22

2,1=+--=

´-´-´-´=

-

-=

[ ]

( ) ( ) ( )416323648

1

2421634316

23

2d3d.m.v

22

3,2-=+--=

´-´-´-´=

-

-=

A velocidade média é positiva nos dois primeiros intervalos e no intervalo [ ]1,0 é maior do

que no intervalo [ ]2,1 . Significa que o objecto vai a subir mas que a taxa de variação média

no primeiro intervalo, ou seja, a velocidade média é maior.

No intervalo [ ]3,2 a velocidade média é negativa, o que significa que o objecto vem a descer.

Em valor absoluto a velocidade nos intervalos [ ]2,1 e [ ]3,2 é a mesma.

bb)) Para calcular a taxa de variação da função, ou seja, a velocidade instantânea para 1t = ,

calcule-se



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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

8048

h48lim

h

hh48lim

h

h4h8lim

h

416h4h84h1616lim

h

416hh214h1616lim

h

14116h14h116lim

h

1dh1dlim

0h

0h

2

0h

2

0h

2

0h

22

0h0h

=´-=

-=

-=

-=

+----+=

--++-+=

´-´-+-+=

-+

®

®

®

®

®

®®

A velocidade instantânea para 1t = é 8m/s.

Exercício 3

Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx`s. A sua posição no tempo 0t ³ é dada por

( ) 4t3ttd 2 ++-=

(d em cm e t em segundos)

aa)) Determine a posição do móvel para 1t = e 2t = .

bb)) Qual é a velocidade do móvel para 1t = e 2t = ?

cc )) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos [ ]1,0 , [ ]2,1 e [ ]3,2 e

comente os resultados.

2. DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES

Prova

Usando a definição tem-se que

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

mh

mhlim

h

bmxbmhmxlim

h

bmxbhxmlim

h

xfhxflimx'f

0h

0h

0h

0h

==

--++=

+-++=

-+=

®

®

®

®

A função afim definida por ( ) bmxxf += tem por derivada

( ) mx'f =

A função identidade definida por ( ) xxf = tem por derivada

( ) 1x'f =



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Prova


( ) ( ) ( )

( ) ( )

1h

hlim

h

xbhxlim

h

xhxlim

h

xfhxflimx'f

0h

0h

0h

0h

==

-+=

-+=

-+=

®

®

®

®

Prova


( ) ( ) ( )

0

h

0lim

h

kklim

h

xfhxflimx'f

0h

0h

0h

=

=

-=

-+=

®

®

®

Exemplos

A derivada da função ( ) 3x2xf += é a função ( ) 2x'f = .

A derivada da função ( ) 4xxf --= é a função ( ) 1x'f -= .

A derivada da função ( ) 10xf = é a função ( ) 0x'f = .

Exemplos

A derivada da função ( ) 2xxf = é a função ( ) x2x'f = .

Prova

A função constante definida por ( ) kxf = tem por derivada

( ) 0x'f =

A função potência definida por ( ) naxxf = tem por derivada

( ) 1nx.n.ax'f -=



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( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) x2hx2lim

h

hhx2lim

h

hxh2lim

h

xhxh2xlim

h

xhxlim

h

xfhxflimx'f

0h

0h

2

0h

222

0h

22

0h

0h

=+=

+=

+=

-++=

-+=

-+=

®

®

®

®

®

®

A derivada da função ( ) 3xxf = é a função ( ) 2x3x'f = .

A derivada da função ( ) 3x2xf = é a função ( ) 22 x6x32x'f =´= .

Exemplos

Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções

aa)) ( )g x 2 x 5= + ( )g ' x 2=

bb)) ( ) 2h x 3 x 2 x 6= + + ( )h ' x 6 x 2= +

Exercício 6

Determine uma expressão para a função derivada de f.

aa)) ( ) 2f x 3 x 2 x 5= + +

bb)) ( ) 5 23 4f x 2 x x

2 3= - +

cc )) ( ) 3 2f x 2 x 5 x 7= - +

dd)) ( ) 1 0 2f x x 4 x 2 x 7= + - +

Exercício 7

Determine uma expressão para a função derivada de f e calcule ( )f ' 1.

aa)) ( ) 2f x 2 x 4= - +

bb)) ( ) 31f x x 2 x 1 0 0

3= + -

cc )) ( ) 3f x x 3 x= -

dd)) ( ) 3 21 7f x 4 x x 3 x

2 1 0= - + - +

A derivada da soma de duas função é igual à soma das

derivadas das funções

( ) ( ) ( ) ( )f g ' x f ' x g ' x+ = +



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Exercício 8

Determine uma expressão para a função derivada de f.

aa)) ( )2 7

f xx x

= -

bb)) ( )3

f x 4 x 1 0x

= - +

cc )) ( ) 21 5 xf x x

2 x 2= - +

dd)) ( ) 24f x 2 x

x= +

ee)) ( )1 0 1 5

f x 3 0x x

= - + +

Exercício 9

Complete a seguinte tabela

( )f x 6 x 7x 48 x 1 02 x-

3x

4-

( )f ' x 2 93 0 x

Exercício 10

Determine uma expressão para a derivada de cada uma das expressões.

aa)) 2

1

x

bb)) 4

3

x

cc )) 2 x

dd)) 3 x

ee)) 3 2x

Exercício 11

Indique uma expressão para a função derivada de f.

aa)) ( )1

f x 1 0 x 1x

= - + -

bb)) ( ) 4 3 2 xf x 8 x 3 x 2 x 5

2= - - + + +

cc )) ( )4 3

2x 2 x x 5f x 2 x

4 3 2 6= - - + + +

dd)) ( ) 21 1 3f x x x 1 2

2 4 x= + - +

A derivada da função ( )k

f xx

= a função ( ) 2

kf ' x

x= -



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ee)) ( ) 2

3f x 2

x= +

3. REGRAS DE DERIVAÇÃO

JJ Derivada do produto de duas funções

Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função produto f g´ também é

derivável em a e:

Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de ( ) ( )7 2 x 5 x 3- ´ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

7 2 x 5 x 3 ' 7 2 x ' 5 x 3 5 x 3 ' 7 2 x

25x3572x

10x63510x

20x29

- ´ + = - ´ + + + ´ -é ùë û

= - ´ + + ´ -

= - - + -

= - +

Exercício 12

Determine uma expressão para a derivada de:

aa)) ( ) ( ) ( )f x 2 3 x 5 x= + ´ -

bb)) ( ) ( ) ( )f x 7 x 1 x 4= - ´ - +

cc )) ( ) ( ) ( )2f x 2 x 3 x= + ´ -

dd)) ( ) ( )2 3f x 2 5 x x= + ´

JJ Derivada do quociente de duas funções

Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função quociente f

g também é

derivável em a e:

Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de x

2 x 1+

( )f g ' f ' g g ' f´ = ´ + ´

'

2

f f ' g g ' f

g g

æ ö ´ - ´=ç ÷

è ø



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( ) ( )( )

( )( )

( )

'

2

2

2

x ' 2 x 1 2 x 1 ' xx

2 x 1 2 x 1

2 x 1 2 x

2 x 1

1

2 x 1

´ + - + ´é ù=ê ú+ë û +

+ - ´=

+

=+

Exercício 13

Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções:

aa)) ( )1

f xx 3

=+

bb)) ( ) 2

xf x

x 4=

+

cc )) ( )2x 7

f x1 2 x

+=

-

dd)) ( )2

3

xf x

2 x=

-

JJ Derivada da potência de uma função

Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de ( )5

3 x 1-

( ) ( ) ( )

( )

( )

'5 4

4

4

3 x 1 5 3 x 1 3 x 1 '

53x13

153x1

é ù- = ´ - ´ -ë û

= ´ - ´

= ´ -

Exercício 14

Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções:

a) ( ) ( )7

f x 7 x 3= +

b) ( ) ( )32f x x 3 x 1 2= - +

c) ( )f x 2 x 1= -

d) ( ) 3 2f x 4 x 1= -

4. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS

4.1. SINAL DA DERIVADA E SENTIDO DE VARIAÇÃO

Exemplo

Na figura seguinte está representada graficamente a função f e a sua derivada

Seja ( ) 3f x x 3 x 1= - + então ( )f ' x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=

( )'n n 1f n f f '-é ù = ´ ´

ë û



A10 - Optimização


aa)) Complete, recorrendo à observação do gráfico, o seguinte quadro:

bb)) Procure estabelecer agora uma relação entre a variação de uma função e o sinal da sua

derivada.

Pode dizer-se que:

Exercício 15

Considere-se a função polinomial ( ) 3g x x 2= + .

aa)) Determine ( )g ' x.

bb)) Estude a monotonia da função g.

4.2. EXTREMOS RELATIVOS E ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO

Analise-se o gráfico de uma função f definida no intervalo [ ]2 , 8- .

x - ¥ -1 1 + ¥

Sinal de ( )f ' x

Variação de ( )f x

MM Se a derivada f’ é positiva num intervalo então a função f é estritamente crescente

nesse intervalo.

MM Se a derivada f’ é negativa num intervalo então a função f é estritamente

decrescente nesse intervalo.

MM Se a derivada f’ é nula num intervalo então a função f é constante nesse intervalo.



A10 - Optimização


Recorda:

üü O ponto E de coordenadas ( )5 , 3- é o ponto mais baixo da curva, o que significa que a

sua ordenada é o menor valor do contradomínio de f.

Diz-se que 3- é o mínimo absoluto da função f quando x 5= .

üü O ponto F de coordenadas ( )7 , 4 é o ponto mais alto da curva, o que significa que a

sua ordenada é o maior valor do contradomínio de f.

Diz-se que 4 é o máximo absoluto da função f quando x 7= .

üü Se se restringir a função ao intervalo ] [2 , 0- , o ponto mais baixo da curva é ( )B 1 , 1- .

Diz-se que a função f admite um mínimo relativo igual a 1- quando x 1= .

üü Se se restringir a função ao intervalo ] [1 , 4- , o ponto mais alto da curva é 5

D 3 ,3

æ öç ÷è ø

.

Diz-se que a função f admite um máximo relativo igual a 5

3 quando x 3= .

11 Qual a relação entre a existência de extremos e o sinal da derivada?

Exemplos

1. Observe-se o gráfico anterior e estude-se a monotonia da função no intervalo ] [4 , 6

Verifica-se que f’ passa de negativa a positiva então f tem um mínimo relativo para x 5= .

x 5

Sinal de ( )f ' x - 0 +


( )f 5



A10 - Optimização


2. Observe-se o gráfico anterior e estude-se a monotonia da função no intervalo ] [6 , 8

Verifica-se que f’ passa de positiva a negativa então f tem um máximo relativo para x 7= .

Isto é, se num ponto c do seu domínio, uma função f é contínua e f ' muda de sinal então f

tem um extremo relativo nesse ponto.

Exemplo

Determine os extremos relativos da função ( ) 3f x 2 x 2 4 x 7= - +

Resolução

A expressão da função derivada é ( ) 2f ' x 6 x 2 4= - (utilize-se a calculadora gráfica para

traçar a derivada da função)

Determinem-se os zeros de f’:

2 2

2

6 x 2 4 0 6 x 2 4

x4

x2x2

- = Û =

Û =

Û = Ú = -

(utilize-se a calculadora gráfica para determinar os zeros da função derivada)

x 7

Sinal de ( )f ' x + 0 -


( )f 7

MM Se f’ passa de positiva a negativa em c, a função f tem um máximo relativo para x c= .

x c

Sinal de ( )f ' x + 0 -


( )f c

MM Se f’ passa de negativa a positiva em c, a função f tem um mínimo relativo para x c=

x c

Sinal de ( )f ' x - 0 +


( )f c



A10 - Optimização


Elabore-se um quadro para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação da

função

Um máximo relativo da função f é 39 quando x 2= - .

Um mínimo relativo da função f é 2 5- quando x 2= .

Repare que:

Exemplo

A função ( ) 3f x x 2= + é estritamente crescente em IR e não admite qualquer extremo.

( ) 2f ' x 3 x=

Apesar de ( )f ' 0 0= não é suficiente para que f admita em 0 um extremo relativo.

Exercício 16

Determine os extremos relativos da função:

aa)) ( ) 2f x x 3 x 1= - + + bb)) ( ) 3f x x 3 x 1 0= - -

PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO

Muitos fenómenos da Física, Economia e muitas ciências têm como modelo matemático uma

função.

( )xfyx:f =a

x - ¥ -2 2 + ¥

Sinal de

( )f ' x + 0 - 0 +

Variação de

( )f x

( )f 2 3 9- =

( )f 2 2 5= -

x - ¥ 0 + ¥

Sinal de ( )f ' x + 0 +


( )f 0 2=

Se f’ se anula em c mas tem o mesmo sinal à esquerda e à

direita de c, então ( )f c não é um extremo relativo.



A10 - Optimização


As questões que na realidade se colocam estão muitas vezes relacionadas com a

determinação de valores óptimos (maximizar o lucro, minimizar o material a utilizar, …).

Para responder a algumas destas questões aplica-se o conceito de taxa de variação e em

particular a determinação dos extremos da função no domínio da variável independente.

Exemplo

Um agricultor tem 810 euros para gastar na vedação de duas cercas contíguas, rectangulares

e iguais, junto a um rio, como se ilustra na figura seguinte.

Fig pag 22

A vedação dos três lados perpendiculares ao rio custa 9€ o metro, enquanto que vedar o lado

paralelo ao rio custa 8€ o metro.

Quais devem ser as dimensões das cercas de modo que a área destas seja máxima?

Resolução

Pretende-se optimizar a área cercada.

Ilustre-se a situação e identifique-se as variáveis independentes.

Considere-se que:

x designa o comprimento de um lado perpendicular ao rio

y designa o comprimento do lado, de uma cerca, paralelo ao rio

A resolução do problema está condicionada pelo custo da vedação e pelo dinheiro disponível.

{8108y29x3 =´+´ 321321

Ou seja

16

x27810y

-=

A área A é dada por ( ) xy2xy2A ==

Escrevendo a área em função de x, vem

( )16

x27810x2xA

-´= ou ( )

8

x27x810xA

2-=

Estude-se o sinal de A’ usando o programa Graphmatica ou a calculadora

Custo da vedação dos lados perpendiculares ao rio

Custo da vedação do lado paralelo ao rio

Valor disponível



A10 - Optimização


® Traçar o gráfico da função A(x)

® Traçar o gráfico da derivada, A’(x)

® Estude-se a variação da função área A, construindo uma tabela de variação da função A e

do sinal de A’.

x 0 15

A’(x) + 0 –

A(x)

max.

759,375



A10 - Optimização


® Determine-se a dimensão y

Sendo x=15 temos que: 3125,2516

1527810y =

´-=

Logo as dimensões da cerca que conduzem à área máxima são:

m3,25y e m15x »=

Exercícios

Resolver os exercícios da ficha

DOMÍNIOS PLANOS. LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RECTA

As rectas horizontais têm equação do tipo by = e as rectas verticais têm equações do tipo

ax = , com IRb,a Î .

Pag 44

No caso de a recta não ser vertical, nem horizontal, a expressão que a define é do tipo

bmxy += , em que m é o declive e b é a ordenada na origem. Esta equação designa-se por

equação reduzida da recta.

Representar graficamente uma recta

Para representar graficamente uma recta é suficiente determinar dois dos seus pontos.

Por exemplo, para representar graficamente a recta de equação 3x2y +-= , determinem-se

os pontos de intersecção da recta com os eixos coordenados.

3x2y +-=

3302y ;0x =+´-==

3

2x3x23x20 ;0y =Û=Û+-==

Então ( )3,0 e ÷ø

öçè

æ0,

3

2 são pontos da recta. Graf 44

Determinar o declive da recta

Sejam dois pontos ( )11 y,xA e ( )22 y,xB de uma recta não vertical, o declive m da recta AB é

dado por

12

12

xx

yym

-

-=



A10 - Optimização


Exercícios

1. Representa graficamente a recta de equação

a) 6y3x2 -=-

b) 2

1yx3 =-

2. Escreve uma equação para cada uma das rectas representadas na figura ao lado. A recta t

passa nos pontos ( )0,1A e ( )2,3B .

Graf 45

INTERSECÇÃO DE RECTAS

Considera as rectas de equação 1x2y += e 1x2y -= . Estas rectas são paralelas, uma vez

que têm o mesmo declive, m=2, mas não são coincidentes, isto é, são estritamente

paralelas (não se intersectam).

No caso das rectas de equação 1x2y += e 1yx2 -=- , estas são coincidentes porque

1x2y1yx2 +=Û-=-

Neste caso há uma infinidade de pontos em comum às duas rectas.

Determine-se o ponto de intersecção das rectas não paralelas de equações 1y2x:p =+ e

3yx:q =- .

Resolução analítica

O ponto de intersecção das duas rectas é a solução do sistema:

îíì

=-

=+

3yx

1y2x

Resolva-se o sistema pelo método de substituição

( )

( ) ÷ø

öçè

æ-=Û

ïïî

ïïí

ì

-=

=

Û

ïï

î

ïï

í

ì

-=

+÷ø

öçè

æ-´-=

Û

ïî

ïí

ì

-=

------

Û

îíì

-=-

------Û

îíì

=-+-

+-=Û

îíì

=-

=+

3

2,

3

7y,x

3

2y

3

7x

3

2y

13

22x

3

2y

13y3

3y1y2

1y2x

3yx

1y2x

Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas e

substituir a expressão obtida na outra equação

Resolver a segunda equação em ordem à incógnita que aí figura

Substituir o valor encontrado na primeira equação



A10 - Optimização


As rectas intersectam-se no ponto de coordenadas ÷ø

öçè

æ-

3

2,

3

7

Resolução gráfica

Representam-se as rectas graficamente determinando-se, assim, o seu ponto de intersecção.

Pag 47

2

x

2

1y

1y2x

-=Û

Û=+

x y

0 2

1

1 0

3xy

3yx

-=Û

Û=-

x y

0 3-

3 0

Com o uso do programa Graphmatica

Exercício

Determina, caso exista, o ponto de intersecção das rectas r e s em cada um dos seguintes

casos:

a) 3y4x:r =+ ; e 4y2x3:s =+- ;

b) 1y3x4:r =- ; e 7y4x3:s =+ ;

c) 5

2x

10

3y:r +-= ; e 03yx2:s =++ ;

d) 2xy2:r =- ; e 3x2

1y:s += ;



A10 - Optimização


ESTUDO GRÁFICO DE INEQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS

Recorda que, por exemplo, a inequação 0x ³ representa o semiplano que contém todos os

pontos com abcissa maior ou igual a zero.

A inequação 1y £ representa o semiplano que contém todos os pontos com ordenada menor

ou igual a um.

Exercício

Representa num referencial

a) 1x -³

b) 1x >

c) 1y >

d) 1y ->

e) 01x >+-

f) 1y -£

g) 02x >-

h) 02y £-

Considera agora a inequação 04y2x £-+ .

O conjunto de pares ordenados que são solução desta inequação é representado por um

semiplano cuja fronteira é a recta de equação 04y2x =-+ .

Para identificar qual é o semiplano procede-se de uma das seguintes formas.

1º processo



A10 - Optimização


ü Desenha-se a recta de equação 22

xy +-= usando dois dos seus pontos (pontos de

intersecção com os eixos coordenados, preferencialmente).

ü Observa-se onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo a

origem do referencial (0,0)

Para x=0 e y=0, tem-se

0404020 £-Û£-´+ verdade

Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condição.

Se a proposição fosse falsa concluía-se que o ponto não pertencia ao semiplano pretendido.

2º processo

ü Desenha-se a recta de equação 22

xy +-=

ü Resolve-se a inequação dada em ordem a y:

22

xy

4xy204y2x

+-£Û

+-£Û£-+



a10 optimização

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