a time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

10
Theory and Methodology A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem q Kathrin Klamroth 1 , Margaret M. Wiecek * Department of Mathematical Sciences, Clemson University, Martin Hall Box, Clemson, SC 29634-0975, USA Received 9 February 1999; accepted 18 September 2000 Abstract We introduce a nonpreemptive single-machine scheduling model with time-dependent multiple criteria. We for- mulate the problem as a knapsack problem and propose a dynamic programming DP)-based algorithm to ®nding all ecient schedules. An illustrative example is enclosed. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Scheduling; Single machine; Time-dependent multiple criteria 1. Introduction Preemptive and nonpreemptive single-machine scheduling has been a subject actively researched from the point of view of dierent formulations and solution approaches. The element of time-de- pendency has been introduced to single-machine scheduling in various ways. Gascon and Leachman [7] examined a problem in which items to be scheduled on a single machine come with time-de- pendent demands and proposed a dynamic pro- gramming DP)-based algorithm. Sousa and Wolsey [24] examined a time-indexed formulation in which the cost of a job was indexed by time. They proposed a cutting plane/branch-and-bound algorithm based on problem-related valid in- equalities. This formulation was also analyzed in depth by van der Akker [26] and van der Akker et al. [27] who focused on polyhedral combinatorics and mixed-integer programming approaches to the problem. Single-machine scheduling with linear processing times of jobs was studied by Konov [16] and Cheng and Ding [4,5]. The former analyzed the criterion of maximum lateness that makes the problem NP-hard while the latter showed that the makespan problem is strongly NP-complete. An overview on time-dependent scheduling can be found in Alidaee and Womer [1]. Gawiejnowicz [8] surveys more general discrete-continuous schedul- ing models including time-dependent processing times and other continuous resources. European Journal of Operational Research 135 2001) 17±26 www.elsevier.com/locate/dsw q This work was partially supported by ONR Grant N00014- 97-1-0784. * Corresponding author. Tel.: 1-864-6565245; fax: +1-864- 6565230. E-mail address: [email protected] M.M. Wiecek). 1 On leave from the Department of Mathematics, University of Kaiserslautern, Kaiserslautern, Germany. 0377-2217/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 3 7 7 - 2 2 1 7 0 0 ) 0 0 2 8 6 - 1

Upload: kathrin-klamroth

Post on 04-Jul-2016

214 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

������ �� ������� �

� ������������ �������� �������� ��� ���������� �������� ������� �

������� �������� �� �� ���� � ������ �

���������� �������� ��� �� ������ ������ �� ���� ��� ���� � ���� ��� ������� �� ������ �!"� ��#

������� !������� � " ������� �# $�������� %&&&

��������

�� �������� � ������������� ��� ���������� �������� ���� '��� ������������ �������� ��������� �� (���

������ ��� ������� �� � �������� ������� �� ������� � ������ ��� ������ )*+,����� �� ������ �� -��� ���

�.����� ��������� �� ������������ �/����� �� �������� � %&&� 0������� $������ 1�2� ��� �� ��� ��������

$��%�&�' $������� " $�� �� �������" ������������ �������� ��������

� ���� ������

+��������� �� ������������� ��� ������������������ ��� ���� � ���3��� �������� ���������(��� ��� ����� �( ���' �( �4����� (������������� �������� ����������� ��� ������� �( �������������� ��� ���� �������� �� ��� ������������������ �� ������� '���� 5����� �� 6�������789 �/����� � ������� �� '���� ����� �� ��������� �� � ��� �� ������� ���� '��� ������������� ����� �� ������� � ������ ����

������ )*+,����� �� ������� $���� �������� 7%:9 �/����� � ��������/� (������������ '���� ��� ���� �( � 3�� '�� ���/� �� ��������� ������� � ������ �����;���������������� ������ ���� �� �������������� ���� ����<��������� ���� (���������� '�� ���� �����=� ������ �� ��� �� ����� 7%>9 �� ��� �� ������� ��� 7%89 '�� (����� �� ��������� ��������������� ��/������ �� ��� ������ ���������� �� ����������� $�� ���������� �������� '��� ��������������� ����� �( 3��� '�� ����� �� ����� 7�>9�� ?��� �� *�� 7:�@9� ��� (����� �����=� ������������ �( ��/���� �������� ���� ����� ���������� A+���� '���� ��� ������ ���'� ���� ����������� ������� �� ����� �� A+���������� ���������' �� ������������ �������� ��� ��(��� �� ������ �� ����� 7�9� 5�'��3��'��= 7#9������� ���� ������ ������������������ ��������� ����� ������� ������������ ��������� ����� �� ����� ���������� ����������

0������� B������ �( C���������� �������� �D@ )%&&�, �8E%>'''�������������;������;�'

����� '��� '�� ��������� �������� �� CA� 5���� A&&&�:�

8���&8#:�� ?���������� ������� ����F ��#>:�>@>@%:@" (�/F G��#>:�

>@>@%D&�

(��� � �&&����' '��� ��H���������� )�� ������,�� C� ����� (��� ��� *��������� �( ����������� I���������

�( ��������������� ��������������� 5�������

&D88�%%�8;&�;J � ��� (���� ������ � %&&� 0������� $������ 1�2� ��� �� ��� ��������

+KKF $ & D 8 8 � % % � 8 ) & & , & & % # > � �

Page 2: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

K���������� �( �������������� ������������/���� ��� �� ��3������ ����� �� ���������������� ��� ���������� �������� ���������������� �������� �( �������� '��� ���� �� � ������������ �( L�'���� �� � ������� �( ������������� ������� M�� ����� �� ��� � 2��� 7��9����� ���� ��� ������� �( ������=�� ��������������� ���� �� ��/���� ���� �� �������� ������������ ����� M�� ����� 7�&9 ����� ��� ��������� �( ��/���� ���������� �� ��/������������ '���� �=�=� �� �� ��� 7%9 �/����� ����������� �( L�'���� �� ��/���� ���������� 5������ ��� 7 9 ����� � ������� '��� �������� ������� �������� 3�� ������� �� '���� ��� ���������� ������� ����� �( �������� ����� '��� �������=�� $��� ������� ��� ������� ���������������� 3�� ��������� ����� �� ������� ����� ���������� !�� �/������ ���� ��������� ����� '�������� �� ������� �� ��� 7�@9�

K� ���� ������ '� ������� � ���������������� ���������� �������� ���� '��� ������������� �������� ��������� ������� �� ��� ��������� ���� � ���� ��� ��� ���� ����� �� ������������� ��(���� $����-������ 3�� ��������� ��������� ���� ��� ����� ��� 3��� ���� ���� �������� ��� ������=����� �( ��� ���������� ���� ����� ��� �( ��� �������� �( ��������� ��� �������� �� ��������=� ���� �� ������� �������� (�������� �(����� $������� �� ���3��� �� � ������� ������������������� ��� (���������� �� ���� ���� ������������ �������� ������� �/���� �� ���������������� �� �������������� $�������� �� ������)�� �� 7%:9, '� � ��� ��(���� ��� 3��� �� �� �������� �� �����(��� ��� ���� ��� �� ���'� �� ���������� ������� ������ ���� � �������� �������� )��� 7%D9,� $���� ��� ���� �/���� ��� ����������������� ����� �� �� �� ������ A+���� )��� �� �7%�9,�

�����=�� ��� ���� �� ��� �����/� �( ����������� �������� �������� ������� )?�+,� '����� ��=� ���� ���� ������� ��� ������ ������ ����'� ������������� ������=����� ������� ���� � '�� ��� � �( ������������� $���� �� �������� '��� ������������ ��� ���(������� �( ��������������� ������ ��;�� ������� ��3������� ���� ���� ����������� ���� ��� ����� �� �� � ��������/������� �( ��� ��������� �������� ���� )(�� ���������' ��� �� � 7%&�%�9, �� ������� ���� ����

��� ���������� 0/������ ��� �� (��� �� �4���������� �������� '���� ���3���� ���� �� �� ������'��� ������� �� ���� ���� � ��� �� ��������� �� ��������� �� ���� )��� �� � 7D�� �%#9,� ��� ���=�� 7%@9 ������ ��� �������� �������� ������������������ �������� ������� )??�+, ���������������� ���������� ������� � ?�+� '������ �� �������� �� ��� 7�89 �� ��� '��� ����������� ������ ������ �� ������������ ����� �� ���������� �( ������������� �� ��� ��������������� ��� ��� ���� ���� ����� ������ � ������ ������������ ��� ���������� �( ��� ���������� ���� � �� ����� ?������ � ���3��� ���������������� �� ��� �������� �( �� �� ��<����������� ������ � ���� ��� ������������� �� � ������ ������� '��� ����� ��<����� ������� �������������� ���� ���� �� ������ �4��� �������� ��� ����� �� ������ ���� � �( )���� �� ��3������, �������� ������� ���������� ������� �������� �/����� �� ����'� � �� +����������� 7�:9�

K� ���� ������ '� ������� � *+ �������� �� ���������� ������������ �������� �������� ��������� ������� )�*?$+, (����'�� ���� 2���������� �� ���'�� 7% 9� ���� '��� ������� ��� �������� '�� ������� *+ ���������� �� ���??�+� ���� ������� (��� ����������F �'������ ����� �� ����� ����� ��������� �� ������ ��������� ��� -��� ����� �������� '������ ������� �� A�������� �� 5��-����N� 7>9 ���������� �<������� )K, ������� (�� ��� ��� �� ���3������ ��� �� ���������� �������� ������� '������� ����� ����� �������� '�� � �������=����� �(��� ��������� �<������� )KKK, ������� �� ��� ����������� (�� ��� ���� ������� 7>9 �� �� K������7�%9 �� ���� )�,� ��� �'� ����� ���������� ������ ������ ��� ������������� ������/��� �( �������� �����������

�� ������ � �������� �������� �� ����*?$+� '� (����' ���� ��� ����� ����� ��������� �( 2��������� �� ���'�� 7% 9� ����������� ���� ���� �� ��� ������������ ��������� ��3������ ����� '� ���(� ��� �������������������� �������� ������ ��� ������ ��������� �� �������� �� ������ 7�#9� ���� �������� �'� ���������� �� �� ������� )����'���� (��'��, �� ������ ������������ ���������������� ������ �������� �� ����� �( *+� ���

�# $) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4��

Page 3: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

����'�� �������� �� ��������������� ����������/ ��� ��� ����� ������ ���� (��������'���� ��� (��'�� ��������� ������ � �� ��<����� ������������� ���������� ����� ��� ��3������(��������� �� ���� �.������ 1��� ���������� ����� ����� �� ��� �*?$+�

�� ����� ��� (��'�� �������� �� '� ������� ���� ���� �������� �� �� ��� �.������ '���� ��������������� ���������� ����� �� ��������� -����� ������� ����� ����������� K( (�� ���� �������������� ��'����� ���� ���������� '�� �������������� � ��� ����'�� �������� ���� ������ ���-� �� ����� ��� �*?$+�

K� $������ % '� (�������� ��� �*?$+ �� ��$������ D '� ������� � *+ �������� ��������� ������������ ��� �� ������ '��� � ������������ �/������� $������ :� $������ @ �������� ��� ������

� �� �� �����������

?������ ��� ��������� ������� �( ������� ���3���� ���� ���� �� '���� ��� ����� �������������-� �� �� �� ������=� ���3��� �� �������������������� C��� ��� ���3��� ��� �� ������� �� ������ *�� �� �������������� ��� ���������������� ������� �� (��� � �������� ������� ��'���� ��� ���3���� )�� 3���, ��� �� �� ������� ��� ��� �� �������� ������� �� ���� �������������� $���� �� ������ 7%:9 ��� �������������=����� '���� ����� ���� ���� ������ �� ������� ����-� ����� �� �� ��� ������ �( ����������� �� ���� ���3��� ���� ���� ��� ����� ������3��� ��� ���� �������� ���� �������� ���������� ���� �� '���� ��� �������� ������������ ������ ����� �� ��� ���� �� ��� ������ �( ��������� ��� �� � ���3��� �� � ����� �� ������ =����� ���� ��� ���� ����'� �� ����� ������� ��������� ����� (�� 3����

K� ��� ���� ������� �� ���� ������ ���� ���������� �� � ���������� �������� ���� '������� ����-� ����� �� ���� 3�� ����� '���� ��������� �( �������� ��� �� � 3�� �� � �����������������

6�� � � ��� � � � � �� �� �� ���/ ���� '���� 5�� � �� ������ � 3��� � ������� �( 3��� �� �-���� � ��<����� � �� �������� �( �������� �� � ��� � �� � � � � �� �����(���

� � ��������� � � � �� �� � �� � � �� � � � � ��� ���K� � �������� � 3�� ��� �� ������� �� �� �� ���/����� ���� ����� C��� ��� 3�� ��� �� ���������� ��� ���� ���� �� ��� 3��� ��� ������� �� ���� &�!����������� '� ������ ���� ��� 3��� � ��� ������ ����� �� ����������� ��� ��� ����'��

0��� 3�� � � � ��� � '�� �� �� ����������� ���3��N� ��� � �( ��� �������� )�� �� ������� ����������� ����,� ��� ����� '�� �� �( � �������� ���������� �� ��� ��� �( ��� '�� ��� �( ��� 3��� �� ����������� �� ���������� �� � '�� �� (������� ��-�� ��

���� ����

���

��� � �%�

'���� ��� �� ��� '�� �� ���.����� �( ��� 3�� �� ����� ��������

��� ����� '�� �� �( � ������� ������ �/��� � ���� �������� )�� ��, ���������� ����� �� ����������F

����� �� �D�'���� �� ��(���� �� �� � ����� �� ������ �� )6-&7�������� ��,�

�� ���������� ������ ���� ��� '�� ������ � � �� �� ��� �������� 6 ��� �������� ���� ����K� ���� �� ���� ������� ��������� ��� & � �� � ��� � �� � � � � ��

� (������� ������� �( 3��� �� �����<������ ���<����� �( �������� �� � ���� ���� ��� �����'�� �� �( ��� ������� ��� ��� �/��� ��� ���������� 6�� �� �� � ����� �� �� ��� ��� �( ��� ���(������� �������� �( ��� �*?$+� A��� ���� ���� ��� (��� ���� ��� '�� �� ���.������ ��� ������������ ���� ��� (������� ��������� �� 8 ��� -�����A����� '� �� ���� �� � (�� ��� �������� � �

��� 3��� ��� �������� '��� ������� �� � �����-�� ���� ����� !�� ����� � � �� ��� ���� �� � ���������� ����-� ��������� '��� ��� 3�� 5 �� ���� ��0������� ������ � � �� � � � � � � � �� � � � � �� ��� ��-�� �� �� ���������� (�������� �( ���� � �� ������ ������ �� �� ����������� K� ����������� ����� ���� � � �� � � � � �� �� �������� (�������� �������� ��� ��������� ���� �( ��� 3�� 5 �( �� ��� ���������� �� ���� �� K� ��� �����/� �( ��� ���3��� ���������� �������� �� ��� ���� ���������� ��� �������

$) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4�� �

Page 4: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

�( ���3��� 5� � � �� � � � � �� 6�� ��� ����� ���������������� � � %� � � � � � � � �� � � � � �� ��������� ��� �����-�� �( �������� �� ��� ������� ����� ������� ��'���� ��� 3��� ��� �� �� ������� �� ��������)�� �� ������ �� �������� ������������,�

� ����-� �( � ������� �� ��������� �� ��������� ��� �( ��� ����-�� �( ��� 3��� �� ����������F

����� ����

���

����������� � � �� � � � � � �:�

'���� � �� � ���������� ��������� �� &� �� ��������������� ��� ���� �� '���� ��� ��� 3�� �( ���������� � �� ������ �� �� ��������� ��

����� � &�

������� � ����� � ����������� � � �� � � � � ���@�

K� ����������� ��� ���������� ���� �( � ������� ������������ �� ������

�� (�������� ��� �*?$+ ��F

���/� � ��� � ������ �%���� � � � � � �������� ����� ��

�>�

�� '� ��� ��������� �� ��/���=�� ��� ��3������(�������� ������ � � %� � � � � � �� �� ������=�� ������������� ���� ��������������� ��� �����������/� �� )>, ������ ��� ��/���=����� �(������� �%���� � � � � � ����� �������/������� �%���� � � � � � ���� �

� ���/������� �%���� � � � � � ����� �8�M�'����� ��� ������� ����� ��� ������ ��� ��������=� ��� ���������� ���� ��� ���� ��/���=���� ����� ��������� K� ���� ��������� ��� �����������/� � ���/ �� ������ ���� �� ���������%���� � � � � � �����

$����� )>, �� �������� �� �������� ��� �.������ )+�����, ��������� � (������� ������� �� � �� ��� �� �� �� �.����� �������� �( )>, �( ����� �� ������� (������� ������� � � ���� ����

������ ������ �� �� � �%� � � � � �� ������ �������#�

'��� �� ����� ��� ������ ���<������ �� )#,�

6���� ����� ��� ��� �( �.����� �������� �( )>,�� ��� �� ����� ��� ��� � �( �� �� ��� ��3������������ ���� �� �� � � ����� '���� � � ��� � � � � � ���� �� ��(���� �� �� ��� ��� �( ���������� ���������� ������� )��������, �( )>,�

� � ������ ����������� ��������

K� ��� (����'�� �� �� ���������� �� ������� ����*?$+ '��� ��� �� ������ ��� � � �� � � � � � �(��� �������� ���������� '���� �� ����� �� +��*?$+� � (������� ������� � �� �������� �( ���+��*?$+ �� � ��<����� �( 3��� �� � ��� � �� � � � � �� �� �� �� ����

����� ��� � � (��

� � �� � � � � �� 5���� �'� (������� ����������� � �������� �( ��� ����*?$+ �� �� � ����������

�( ��� ����*?$+� '� �-�� ��� ������������������ ���� ��� �� �������

��� ���� �� � (�������������� �( ��� ��� � �����*?$+�

6�� � ��� �( ������ 9 �� �-�� ��

� �� ���&�� ����� � � � � ������'���� ��� ������� ����� �� �-�� �� ������� ���� �������� ������� �� )����������� (��� ��� '�� ��(������� � �� ��� ��3������ ���.������,�

��&� � ������� ��� ����� ����� � � �� � � � � �� ���������� ��� ���(������� �������� �( ��� +��*?$+� ����

���� �� �������� � �

�� �� �� � �� � � �� � � � � ��

��

���

��� � �

��

$���� ����� ��� ����� �.����� �������� �� ��� ���������� ��� ��� �( -��� ������ �� �� ���� ��

�� �� ���&�� ����� � � � � ��������� ������� �( ��� � 3�� � � � �� � ������� �(3��� � � ���� ������� �� �� �������� �( ��� �� ������ ��� + �� �� �� ���� ���������� �� ����������� �( � (��� ��� ����� ���� �� ��� �������� � ���� C������ ���� '��� ���� �-������ �( ���������� ��� ��� ���� ������� �� ���������� �� �

%& $) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4��

Page 5: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

�����(��� ��<������� ������� �������� ���� � �������'���� ������ ��� �� ���/� (��� & �� 6� �� ���� ����������� (��� � ����� ���� ��'��� ������ �� ������ ���� ���� ���� � � �� (�� ��� �� � � &� �� � � � � �)��� 7�%9,�

������� ���� �( ��������� '� ������ ���� ��������� �� �� ��� ����� ��&� �� ���� � � &� �� ���������� ���� ����� �� �� '����� ���� ���'������ �'� ����������� 3��� �� � (������� ������������ ���� � 3�� 5 ��� ���� ��������� ������� 3�� �� ������ ������ �� �������� �� �� �(���� !�� ���� � �� � � � � �� �� ��� � & ���������� ��� ���� ������ ���� � ���������� (��� � ����� ���� �� � �������� � ��� (�� � � &� �� � � � � �� �� ���� ���� ��������� �� �� ��� ����� ���� �� ���� �� ��� ����������� �� ��� ����� ��� � ��� �� �<��� �� � � �� ����

��� ������ �-�� ����� �� ��� ������������������� ���'��� ���� ���� � ���'��� '�������� �� ���� ��� �-�� �� ����� ������ �������������� ������������� ���� ���'��� ��� ������� ��� �������� ����� ��� ������ �� ��� ������������ (��� � �����(��� ������� �������� ���������'��� ����� ��� �( ���� ���'��� �� � ������ ������ ���� � � � � � ���� ������ �� ��� ��� 3�� � � � ��� (������� ������� �� ���� ��

5���� ��� ���'���� '� ��� �� ��� �������� ������� ��� (��'�� �������� �( �������� �������� 7�#9� ���� ������� ���� �������� �� -���� ��� �( ��� �.����� )��������, ����� (��� � ���������� ��� �� ����� ����� ��� �� ��� ���'���'���� ����� ������ � ������������ ������ ��������� �������� � ������ ���'��� '���� �������� ���� �� �������� �� ����� ����� ���� �������� '��� ������ �� �� ���������� �������� ���������� ��������� (�������� �( ����� ����� ������������ '��� ��������� �� ��������� ��� ����������( ���������� (�� ������ �������� ��3������ ����'�����

5���� ��� ������� ��������� �( ��� ���'���� '���� ����/ �� ���� � ���� �( ����� ������������� �� ��� (��� ���� ��� (���������� ���������� �( ����*?$+ ����� � ��������(��� ���'��� �� ������� ������� �������� ��/���=����� ������ ����������=������ K� ������� '� ��� ����' ��� �����3������ (�������� �� �� �������� ��;�� �� �����(�������� �( ���� �� ������ '������ '� ���� ���/���=����� �� � ������=����� �������� K� ��������� ��� ������� ��3������ (������� )������, �����

'��� �� ����������� ����� �� '� ���� � -���������� �( ������ )����,� � -���� ������ �(����������� )����,� �� �� �������� �� ��� ���'����M�'����� �� '� ���� ������ �� ���� � � �� � � � � �� ����������� ��� ��������� ����� '� ��<���� �����(�������� �� �� ��������� '���� ��� ����� (�������������� � � %� � � � � � � � �� � � � � �� ����������� ������� �������� �( �������� ��� �� �( ��� �� �� K� (����� ���������� (��� � ����� ���� �� � ���� ���� �� �� ������ ���� ��� (�� ���� ��������� �� � � �%� � � � � ��������� � ���� ������ � &� '���� ����� ���� ��� ��� 3�� 5 �� ���� �� �� � ������� �� ��� ����-���� ������ ����� ��'����� ��� �������� ������� ��� ������� �.������ ?������� ��� ���� 3�� 5 ���� �� ���� � ���� �%� �% � ��� �� ���� ��� ����������� ����'��� �� ��������� ����%� � &�

��� (����'�� ���������� �� ��������� �� ������ ��������� �( ���������� (�� ��� �*?$+�

���������� � !�� ��� ��� �% � &� �( �� � �%� ����)�, �� � �� ����� �% � �� ��%� (�� ��� � � �� � � � � ����)�, ������� ����%� (�� ��� � � %� � � � � � ��� � �� � � � � ��

���������� �)�, ��<����� ���� �( � 3�� 5 �� �� ��� ������� �� ���� �� �� �� � ����� ���� �%� ���� '������ ������� ������� ���� ��� ��/� 3�� ��� �� ��������� �� �� �� �� ��� ������� ������� ����'��� ��� ����� ������� ����� �� ������� ���� �(�� ���� � � �� � � � � �� ��� �������� ��������� (��������� �( ����� ���� ���� ���������� ����� ����������� �)�, ������ ��<����� ���� ��� ��������������� �( ��� ��3������ (�������� ����� (�� ���� � %� � � � � �� � � �� � � � � � �� �������� ��������� (�������� �( ����� K� ��� �����/� �( ������� ���� ������� ���� )(�� �/�����, ��� ����-�� ������� �� � ���3��� )3��, 5 ������� �� ����� ���� ����� '���� ��� ����� ��� 3�� �� �������� �� �������� ��� ���� ����-�� �� ���� �� 1��� ������������ ��������� ��� ������� ��<�������� �( ������3��� ��������� ������� ���� ��� ������� ��� ����3��� �� ������� ��� ������� �� �� �������� �� ����� �� ����-�� �� ���� ��

������� � ��������� ���� ���� � ���������� ����� ��������� �� � ������������� �������� ��� �� � �������� ���

$) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4�� %�

Page 6: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

�������� �������� � ���� �������� � � ���������� �� � � �� ������ ������������� � ��������� �� �� � �������� � ������������� ��������� ��������� �� � ������� �������������� ��� � ��� ���

��� ������������

����� 6�� �� �� �� �.����� �������� ��<����� �(��� ���*?$+ �������� �� ���� ��������� ������� �� ��� �������� ���� � �������� �����<������� �( ��� �������� ��<����� ��� �� � ����������� �� �� �������� �� ���� ��������� ������������������ �� ��� �� �.����� �������� ��<����� �( ������

��� ������*?$+� ���� ����� �/���� ��������������� ��<����� �� � �������� �( ��� ���

��� ������*?$+ �������� �� ����

��������� �������� � ����� ����

������� ������ ��

������� ������ �� � �%� � � � � � ��&�'��� �� ����� ��� ������ ���<������ �� )�&,� !������������ '� ���� ���� �� � ���� ��� �� ��� �������������� �( ��� ��<����� �� �� ���� �������<����� �� � ���������� ���� �� � �������� ��<������( ��� �� ���

��� ������*?$+� ���� ��� �������������� ���� ��� �( �� �� �� �� ���� � (������� ��������� ��<����� �( ��� ���*?$+� �� �� ���(����'�� ��3������ ������ (�� �� � ���� ��� �� (������ ���F� ���� � � ����� ����

� � ���� ������

�������������� �����

��

� ����� ���� � � ���� ������

�������������� ������

'���� ��������� ���� �� ��������� ����� �� ������� ��� ����� �( ��������� �����<������ �(�� � � � �� �� � � � 3��� �� ��� ��<���������� ��� �� ���� ���� �������������

������� ���������� �)�, �� ) ,� '� ������

�������� � �� ����������� �������� � �� ����������

(�� ����� ������� � �� ��� (������� �������� ���<������ K� ����������� ������� ���� ���������� ������� ������� ����� �� ���� �� ��� ��<����� ��

������������ ��� ��<����� �� �� ��� ��<����� ��

'� ��

�������� ������

��������������� ������ ��������

������

��������������� ������

'���� �����

����������� ����� ����������� ����� ����

'���� ����������� ���� �� ����������� ���� ��� �������� �� '���� ��� ���� �����<����� �( 3��� �� ���������� '��� ������ �� ��� ����� �������� ����������� ������������� ?������� ����������� ���� ����������

������� ���������� �)�, �� ) , �� ������ ���� ��� ��� �������� �� ��� �������� ��<����� ��

���� ������������ ��� ��<����� �� �� ��� ��<�������� '� ����� ����� ����

�����

��������������� ������

�����

��������������� ������

� � �%� � � � � �� ��%�

C������ ���� )��, �� �<�������� ��

������� ����� ���� �� ��D�

'���� )�%, ������� ����

������� ����� ���� ��� � � �%� � � � � �� ��:�

$���� �� ����� ��� ���<������ �� )�&, �� ������� �� ������ ���� ��� ���<������ �� )�D, �� )�:, ������������ �� ��� ���� ���/ �� � � ��� � � � � �� �� ����������� ���� ������� ���� ��� �������� ��<����� ��

��������� �( �����<������ �� �� �� �� ��� �.������� �

A��� ���� '��� ���������� � �� ��� �����-��������� � �� �� ������ ��� ����� ?������� (���/������ � ������� '���� �� ���� � � �� � � � � �� ����������� (�������� �( ����� �� ������

%% $) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4��

Page 7: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

� � %� � � � � � � � �� � � � � �� ��� ��� ��������� (��������� �( ����� ���� � �������� �����<����� �� ������ ��� �.����� �� ���� �� �������� �� � ����� �������� ������� �.����� �����<����� �� ��� ��������� �� �.����� �������� �( �� �� ����������� '����� ����������� �������� �����<����� �� ����� �������� ������� ���� ��� ���� �� ��� ����-�� �� ���������

6�� � ��� �� � ���������� �� � ���������� ���������� ������ �( ��� ���*?$+ ����������� ���� �.����� ������� �������� �� ���� ������� ������� �� ������� ���� )@,� 6�� ������� ����/��� ��� � � � ����� �� ��� ��� �( ��� ��� ����������� ��������� ������� �( ��� ���*?$+�

1� ������� �� '� ��������� ����

����&�� � �&��

������� � ���/��� ����� � ����������� � ���� � �����

� ���/��� ��� � ��������� � �������������� �

� ���� � ����� � �������� ���� � ��

� � ������ &�� � � �� � � � � ��

'���� ��� ��������� ���/� �������� ��� ����������� ��������� ������� ������� �� )8, �� ������ '���� ����� ������� �� � ������ ��� �( ����������� ��������� ������ �( ��� �� � �����

���*?$+ �������� �� ���� ��������� �� ��� ���������� ����

��� �������� �� ���� � � �������� ��'���� ��� ������� �� � �������� �� ���������

$���� ��� ��� ������ ��� -���� ��� ��� �( ����������� �( ��� ��� ���������� ��������� ������� ��

�� ������� �� ��� ���������/���� �( ��� ����� �(��� ���� �������� � � &� �� � � � � �� ����

�� � ���/��

��&��������

��������

A��� ���� �� ���� ���� �( ��� ��������� �'� �� �������������� ��������� ������� ��� ��������� ���.����� ��������� ���� �� �4����� �������� �����'��� ��� ���� 3��� '���� ���'� ���� �4�������3������ (������� )������, ������ ��� �� �������'���� ������� ��� ���� 3��� �� � ������� ��� ���4����� ������ �� ������ ���� �� ������� ����������� �� $������ :�

� �������

�� ��' ������� � ������ �/����� �( ��� ������������ �������� ������� '��� ����� ��������� � D� �� ����� 3���;���3���� �� � D�� ����� � ��� %� D�� ��� -/� �� �� �� ���� �� � � D�� ��� ���� ���.������ ��� � � �� %� D� �( ���� 3����� ���� ��

�� � �� �% � %� �D � ��

��� -��� ��������� �-��� ��� ��������� ���� �(���� 3�� �( �� �� �� �� � ������� �� ���� ������ ������� �� ��� ���3��� ��������� ������� �������� ��� �� ����������� (�� �/������ �� ��� �������� �( ��� ����������� ���3����� ��� ����� �'��������� ���� ��� ��/���=� ���� ��������� ���������� �� ��� ��� ��������� ����� �� ������3���� �( ���� ��� ������� �� ���� ��

��� ��3������ ������� ����� � � �� %� D� ������ ������ 3�� ��� �-�� ��

���� �%

:&� �%

D&� %�

��

�� %��� �

:#&� %�%

:&� �

��

��

D��� �%� � �:&

%&� %�

��

��

��� �������� �*?$+ ��� ��� (����'�� (���F

���/� � ��� � ������ �%���� �D��������� ����� D�

��@�

��� �������� ����������� ���'��� ������ (�� �����/����� ������� ��� ���������� �� ��� ���� �� ������'��� ���� �� !� � �� ��� ��3������ ���������� � �� ���� %� ���� D� ���� �( ���� ���������� ��

!� � �� ��� �������� �( ���� ���'��� ��������� ��� ������ �( ���

*+�(���������� (�� ��� �/����� ������� )�@,�

$) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4�� %D

Page 8: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

��� ����������� 3�� � ��� �����-� (�� ���� ����� ����� �� ��� ������ �� ��

������� ��� ��������� �<������� ������� ����� �������� ������� '� ������ ��� (����'�� ���� �(���������� ��������� ������� ��������� � &� �� %� DF

����&�� � �&��

������� ��

:&

%&

��

���

%

:&

D&

��

��

� � �

� � ��

����%�� �D

8

:#

��

���

:

8>

@>

��

���

:

#&

:&

��

���

8

#&

:>

��

��

� � �

� � ��

����D�� �@

��&

8%

��

���

@

��#

@

��

���

>

�&&

8#

��

���

>

��%

>#

��

���

� � �

�&

��

>%

��

���

�D

��>

>#

��

���

�D

�%&

@%

��

��� � ��

��� ��� �( �.����� ��������� �� �� ��� ��� �(���������� ��������� ������� �� �( ���� �/������������ ��� ���� �� ��������� ��

�� � ���� �D�� ���� �D� ��� ��� ��� �%�� �D� �� ����D� %�� ��� �� ��� ��� %�� �D� �� D����� �� D�� �%� D���

�� �&

&

&

��

��

� � � �

:&

%&

��

���

%

:&

D&

��

���

D

8

:#

��

���

:

8>

@>

��

���

:

#&

:&

��

���

@

��&

8%

��

���

@

��#

@

��

���

>

�&&

8#

��

���

>

��%

>#

��

���

�&

��

>%

��

���

�D

��>

>#

��

���

�D

�%&

@%

��

��� � ��

A��� ���� �� ���� �/����� �4����� ��������� ���������� ������� �� �������� ��� ���� 3��� �� � ��������� ��<����� �� �4����� ������ !�� �/������ ���

�������� ��<������ �D� %� �� �%� D� '��� ��� ���������� ������� @� ��#� @ � �� �D� �%&� @%� ������� �.������ $��������� ��� �������� ��<�������D� �� �� �� ��� �� D� '��� ��� ��������� �������@� ��&� 8%� �� �D� ��>� >#� ��� ���� �.������

!���������� '� ������� ���� ������� ���������� ����� ��� ������� '��� ���� ��� �� �'� 3������ ���(���� '���� ��� ��� �� �( �� � �������� ����� ��������

K� ���� �� ���� � -��� ������� '��� 3�������� �� �������� ��� ������� '��� ���� �������(� �������� ���(�������� !�� �/������ �( ������(������ '�� �� ���(��� ����� )��� ������������4�����, 3��� ������ ���� ���� �'�� (��� ��<�������D� �� ��� ��� �� ��� �D� �� D� �� ��� �� D� '��� ����� �������� (�� ��� -��� ������� ��������� ���������� ����� '��� ���� �� ������ ���'������ ��������� ������� @� ��&� 8%�� >� �&&� 8#���&� �� � >%� �� �D� ��>� >#�� ��� ������� ���'���� ���(����� ���� 3�� � ����� ��� ��������������� ��� ��� �� ���� ��� ��� ��������� ������� ��� ����� ��������� ���� <���� ������ C� �������� ���� ��� ����� 3�� D �� ���(����� ��� �������� ��� 3��� ��� �������� '���� ��� ������ ��������� ��� ��� ��������� ���� ������������

!����������

�� �������� ��� �*?$+ �� ������� ���������� �� ������� ��� ��� �.����� ���������� ���������������� �( ��� ���� �� ������ �� �����3������ (�������� '���� ��� �������� ���������� �������� �� �� -/�� ��� (������� ��������� ����-�� �� �� �������� �( 3��� ������������� ������� (��� � ��� �( 3��� �� �4����� ������ ��� �.������ ��������� ��� (��� �� ��� ������� *+�������� ���� ��� ������������ �( ��� ��3������(��������� ��� ���� ����'� �� ��� <���� �������������� �������� ���������=� �� ��� 3���;����3���� ���� ������� '���� ��� ����� ��������� �������� �� �������� '���� �������� ������ L�'���� �� �������� ��� ��������� ����

�� �� ����� �������� �������� ��� ���� ��� ���������� ��(��� ��� ������� ����� ����� ������������ �( ��� �.����� �� ���������� ��� �(��� �*?$+� ��� ������������� ����� ������������ ���� ���� �� ��-���� �� �� �<���� ���

%: $) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4��

Page 9: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

������� ����� '��� �������� ��(�������� �������� ������������� ���� ��� 3��� �( ��� �.������ �������� ����� ���� �� ��� ������� '���������� �� ����� �� ��� ������ ��3������ (�������������� ���� ��(�������� ������� ��� ������������ '��� ����� ���� �� ���� ��� ���� �� �������� �� � ������� ���� '���� ������� � ���(����������� ���������

��� ���� �� ��� �������� �������� ��� �����( ��*0�$� �� ����������� ������� ���� �������� �� �������� �� ��� 7�D9� ��*0�$ �� ������ ��6�1 @�D�& 7%%9� � ��(�'��� ����� � (��������� ������������ ��� �������� �� ����������� ���� �������� ���������� ��������� �������(�� ������� ����� �( �������� �������� ������� ��� ���� �������� �� (�� ��� �*?$+� ��� ���� ���������� �( ��� ?�+� ��� ���� �������� ������ ����� ����'� � 3�� �� �� ������� �� � �������'���� ��*0�$ ������� �'� ��������� (�� ����*?$+F �������� '��� �� '������ 3���N ������������� ��� ���� �� ���� ��������� ����� �� ������������ ������������� ������� �� � (����� �(?�+������� ����� '��� �� ��������� �� ��� ����(������

��� ������� ���� ���� �� ���� ���-� ������������ �������� (�������� !�� �/������������� ��/��� ������ ������ ������=����� ����'��� ������=�� -��� '��� ������� �� ��� -������������ �( ��� ��������� ������� ��� ������������������ ����� �������� ���� ���� �� �������

!������ �������� ����� (���� �� �������� ���� ������/ ������������ ����� (������� �������� ����������� �� �������� ���� �������

"���������

7�9 1� ������� A��� ������ $������� '��� ���� �������

��������� �����F �����' �� �/��������� B������ �( ���

C���������� �������� $������ @& )� , 8��E8%&�

7%9 � �=�=� ��� $��� �������� � ��������� 1���������

�������� F �����=�� L�'���� �� ��/���� ���������

�� � ��� �� �������� ��F B� ?������ )0�,� ��F ������������

��������� $���� ��� 1������ � 8� ��� %8 E%##�

7D9 �� 1������� � �������� ��3������ �������� �� �������

�� ���� � ��������� �� 1������� �������� )� 8 , %@E

:>�

7:9 ��?�0� ?��� � O� *�� � ��� ������/��� �( ��������

������� ���� ������� ����� '��� ������� ������ K�(�����

���� +�������� 6������ >@ )� #, 8@E8 �

7@9 ��?�0� ?��� � O� *�� � ��� ���� ������� �������

�������� ������� �� ����� �� A+���������� ?��������

�� C�������� �������� %> )� , 8: E8@:�

7>9 ��$� 5��-����� 5�6� A��������� K��� �� +�� ������ �

������ A�' P���� � 8%�

789 �� 5������ ��?� 6�������� � ������ ��� ������

�������� �� ��� ������� ����������� ��� ���������� �����

���� �������� C��������� �������� D> )� ##, @&E@>�

7#9 $� 5�'��3��'��=� � ����( ������ �( ���������� ����� �(

�������� � !�������� �( ?�������� �� *������� $���

���� %� )� >, #�E�&&�

7 9 B�A�*� 5����� B�?� M�� B����� ��� �� 2���� $�� ��

������� ������������ �������� '��� �������� ����� ��

�������� 3�� �������� ������ �( C��������� �������� 8&

)� 8, �%8E�:D�

7�&9 B��� M�� ������ �����=�� ��/���� ���������� ��

��/���� �������� �� � ��� �� �������� ���������� �(

C��������� �������� � )� >, �&&E��:�

7��9 B��� M�� ������ $�6� ��� � 2���� �����=�� �����

���������� ���� �� ��/���� ���� �������������� ��

�������� �� ���������� ����� C��������� �������� 6������ @

)� @, %&@E%&#�

7�%9 �� K������� 0���������� ���������� �� �������������

������=������ +��� KK� ������ �( C��������� �������� ��

)� #8, D:DE>&%�

7�D9 �� ��������� �� ������� ��6� M������� ��*0�$�

�4������ �������������*0������$� � ������� �������

���� (�� �������� �������� ������� �� ���� � ���������

������� *��������� �( ����������� $������� ?������

I���������� ?������� $?� � �

7�:9 ��B� ����'� �� B�*� +����������� ��� ������ ��

���������� �������� �������� C��������� �������� :>

)� #, �8ED@�

7�@9 $��� �������� 0� 0���� � ��������� $������� �( ����

��������� ���� 3��� �� � ��� �� �������� ��F 5� !����� ��

5�� )0��,� ��F ������� ?������� *������� ���� � $���� �

��� 1������ � 8� ��� >@:E>>&�

7�>9 �� ������ $������� �������� '��� ������ ���������

��������� ������ ��F I� Q���������� I� *��� �� �� 5����

��M� ������ �� ���+� $������� )0��,� C��������� ���

������ +������� � � >� $���� ��� 1������ � 8� ��� %&#E

%�%�

7�89 �� ��������� �� C ���=��� *��� ������� ����������

�������� ������ �� ������������ ����� �� ?�������� ��

���������� '��� ������������ D8 )� , �D@E�@&�

7�#9 �� ��������� �� ������� ���� �������� ��

�������� ��3������ ������ ��� ������ � B������ �(

����������� �������� �� ������������ �8D )� D, %# E

D&8�

7� 9 �� �'��� P� $��� M� 6��� ?�!� 6��� ?������ �� ����

'��� �������� �������� �� �������� ������� �������

�����' �( O����������� !������ �� ��������� 8 )� >,

8E��%�

7%&9 $� �������� *� +���� ��� +� ����� A�' ����� �� �/���

�� ������� (�� ��� &�� �������� �������� ��F B� 1�������

)0�,� +������� � �( 0I�C;KA!C�$� 8� 1���������

� 8� ��� �@�E�>&�

$) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4�� %@

Page 10: A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem

7%�9 $� �������� +� ����� �������� +�������F �� ������� ��

?������� K��������������� ������ A�' P���� � &�

7%%9 ��6�1 E ��� 6�� �� � �( ��������� ?������� � ����

��� ��� ��� ������ K���� � �

7%D9 $��� �?������� !��� �� ������� (�� ���������� �������

�� ���� (��� �/�������� �� ���������� ��/���� L�'�

C��������� �������� :8 )� , 8::E8@>�

7%:9 B�+� $����� 6� ������� � ��������/� (���������� �(

������������� ��� �� ������� �������� ��������� ����

�������� +�� ������ @: )� %, D@DED>8�

7%@9 B��P� ��� � 5��M� �=�� � � �������3������ ��� ������

�������� (�� �������� ������������� ��������������

���������� ������������� �������������� �������� 1 D&

)� >, % �ED&8�

7%>9 B�� ��� �� ������ 6+����� �������� ������ (�� ��� ��

������� �������� ��������� +��*� *������������ �������

���� I����������� 0�������� 0�������� � :�

7%89 B�� ��� �� ������ ?�+�� ��� M������ ���+�

$�������� �� � ��������� �������� �� ��� ����������

�������� ��������� ����������� +�� ������ #@

)� , @:�E@8%�

7%#9 �� 2��������� ���� ���(������� �� ������� �� ���� E ��

����������� �( ����������� �������3������ ������=������

����� �( C��������� �������� @& )� #@, >: E>>&�

7% 9 1� 2���������� �M� ���'��� ������������ ���� �� ����

������ F � )�����, ������ ��� ������ ���������

��������� ����������� +�� ������ %� )� #�, %&:E%%D�

%> $) $������� �)�) * ���+ , (-����� .-���� /����� ��� 0������� 1�" 2� 13 1!4��