a geometric interpretation for growing networks

A geometric interpretation for growing networks

孙佩源2016.12.28

Real Networks

• scale free• 节点度分布满足幂律分布

• strong clustering• 与同一节点连接的节点对有较大概率连接

• significant community structure• 通常节点出现集聚现象

Real Networks

Previous Work

• Erdos-Renyi Model [Erdos and Renyi, 1959]

• 假设任意两点之间的连接为独立同分布的伯努利随机变量• Erdos-Renyi 通常只是作为一个基准模型

• Stochastic Block Model [Nowicki and Snijders, 2001]

• 假设任意两点之间的连接依赖于一个表述节点所属类型的隐变量• 只具有集群现象

Previous Work

• Preferential Attachment Model [Barabasi and Albert, 1999]

• 网络中新加入节点与已有节点连接的概率与其度成正比• 最成功的地方在于发现 citation 网络中的幂律指数为 3

• Preferential Linking Model [Dorogovtsev, 2000]

• 在 Barabasi 的基础上加入了节点的初始 attractiveness

• 最成功的地方在于获得了初始 attractiveness 与幂律指数的关系表达式

Geometry Framework• Hyperbolic Geometry Model [Krioukov and Papadopoulos, 2010]

Geometry Framework

• Hyperbolic Geometry Model [Krioukov and Papadopoulos, 2010]

• 网络节点由极坐标描述 : (angular coordinate, radial coordinate)

• 不同于传统的 Euclidean 空间， Hyperbolic Space 中两点距离为：2' ln

2x r r

节点极半径 = K 两节点角度差

Geometry Framework


• 假设我们可以将现实网络中的节点映射到 Hyperbolic Space 中• 两点间产生连接的概率为：

• 则简单推导即可得：( ) ( )p x R x

距离小于 R 的连接概率为 1

12 1,2

( ) ,12,2

p k k r

节点度满足幂律分布

Geometry Framework


• 进一步地，如果假设连接概率为：

• 则更进一步的推导可得： 1/

1( )1Tp x

x

与集群系数成反比T

Geometry Framework


假设网络节点位于 Hidden Hyperbolic Space 和特定连接概率即可得1. 生成网络中节点度服从幂律分布2. 通过调节连接概率参数可以控制集群系数

Geometry Framework 非常简单并且满足现实网络的特性

Geometry Framework

• Popularity versus Similarity Model [Papadopoulos, Krioukov etc, 2012]

• 前述模型只考虑了 popularity ，而忽略了 similarity

e.g ：新的微博用户除了关注大 V ，还关注与自己兴趣相近的用户• 前述模型只考虑了静态网络，没有考虑网络的动态增长

Geometry Framework

• Popularity versus Similarity Model [Papadopoulos, Krioukov etc, 2012]

1. 初始网络为空2. 在时刻： (a) 节点的极坐标为：，角坐标为： (b) 早于的节点更新极坐标为：

3. 新加入节点与已经存在节点连接概率为：

1,2, ,i t 2 lnir i

[0,2 ]U ii

( ) (1 )j j ir i r r

( )2

1( )1 ij i

ijx R

T

p xe

Geometry Framework

• Node coordinate inference [Papadopoulos, Krioukov etc, 2015]

1. 基于链接的推断算法逐节点使用 MLE 求解 :

原理为：2. 基于公共邻居的推断算法求出公共邻居节点的概率分布，然后使用 MLE 求解似然度函数

1

1

( ) [1 ( )]ij ijiL ij ij

j i

L p x p x

( ) ( , )ij ij i ip x r

https://bitbucket.org/dk-lab/2015_code_hypermap

Geometry Framework

• Geometric correlations in multiplex network [Kleineberg, 2016]

主要结论：1. 多层网络重叠节点在不同层的极坐标具有很强的相关性

Geometry Framework


主要结论：2. 多层网络重叠节点在不同层的角坐标具有很强的相关性

Geometry Framework


主要结论：3. 多层网络节点间链接概率具有很强的关联性

some preliminary experiments• 数据集

序号事件总结点数总边数 MCC节点 MCC边节点比例1 郭美美 153744 435515 67680 158551 44.02%

2 李庄 40989 70444 16216 30249 39.56%

3 钱云会 64596 165066 24882 53027 38.52%

4 夏俊峰 56405 79163 21567 29712 38.24%

5 药家鑫 215316 372219 79852 129829 37.09%

6 房价 525083 1292306 192383 432974 36.64%

7 9级地震 173700 286229 49076 75433 28.25%

8 钱明奇 44390 65206 10281 13550 23.16%

9 王功权 173619 165362 27701 32593 15.96%

10 中石化 86504 98116 11442 12832 13.23%

11 李刚 110523 128589 14291 15913 12.93%

12 宜黄 12886 8775 1534 1533 11.90%

13 邓玉娇 18739 16507 2155 2431 11.50%

14 个税起征点 51267 40115 3211 3269 6.26%

15 胶州路大火 107825 113908 5605 5790 5.20%

some preliminary experiments• 各层重叠节点分布

some preliminary experiments•验证转发网络是否满足 Hyperbolic 结构（ 1）是否满足幂律分布（原图）

some preliminary experiments•验证转发网络是否满足 Hyperbolic 结构（ 1）是否满足幂律分布（最大连通子图）

some preliminary experiments•验证转发网络是否满足 Hyperbolic 结构（ 2）集群系数是否满足（极大连通子图）

some preliminary experiments•验证转发网络是否满足 Hyperbolic 结构（ 2）集群系数是否满足（极大连通子图， 10bin）

some preliminary experiments•验证转发网络是否满足 Hyperbolic 结构（ 3） Hyperbolicity 是否满足（极大连通子图） [Tree-like structure in large social and information networks, 2013, ICDM]

指出：可以使用树分解衡量图的 hyperbolicity ，树分解得到的 tree width越低， hyperbolicity越强

some preliminary experiments•验证转发网络是否满足 Hyperbolic 结构（ 3）双曲性是否满足（极大连通子图）

some preliminary experiments•几个事件的 Polar图

Reference1. Krzysztof Nowicki and Tom A B Snijders. Estimation and prediction for

stochastic blockstructures. Journal of the American Statistical Association, 96(455):1077–1087, 2001.

2. A.L. Barabási and R. Albert, Science 286, 509 (1999).3. S.N.Dorogovtsev, J.F.F.Mendes and A.N. Samukhin, PRL, 2000.4. Krioukov D, Papadopoulos F, Kitsak M, et al. Hyperbolic geometry of

complex networks[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics, 2010, 82(3 Pt 2):98-118.

5. Papadopoulos F, Aldecoa R, Krioukov D. Network Geometry Inference using Common Neighbors[J]. Computer Science, 2015, 92(2).

6. Kleineberg K K, Boguñá M, Serrano M Á, et al. Hidden geometric correlations in real multiplex networks[J]. Nature Physics, 2016.

谢谢大家！