8_diagrammi degli spostamenti

7/25/2019 8_diagrammi Degli Spostamenti

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 8Titolo: Diagrammi degli spostamenti

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 8 Diagrammi degli spostamenti.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

3 8Identificazione delle configurazioni spostate per sistemi conun grado di libert, identificazione dei centri di rotazione,diagrammi degli spostamenti.

In questa lezione si affronta il problema dellidentificazione di unaconfigurazione spostata C1di un sistema labile costituito da elementirigidi a partire da una configurazione iniziale C0. Vengono introdotti idiagrammi degli spostamenti come strumento di rappresentazione

delle configurazioni spostate di un sistema costituito da elementi rigidi.La trattazione si limita al caso dei piccoli spostamenti.

Diagrammi degli spostamenti

Relativamente a sistemi costituiti da elementi rigidi siconsiderano in questo contesto configurazioni spostate caratterizzateda piccoli spostamenti. Si limita cio la trattazione alle configurazionispostate C1 che un sistema pu raggiungere a partire da unaconfigurazione iniziale C0attraverso piccoli spostamenti dei suoi punti,nel senso precisato nella lezione precedente. Per semplicit di

notazione in questo contesto le componenti orizzontali (nella direzionedellasse x) degli spostamenti vengono semplicemente indicate con ilsimbolo u e le componenti verticali degli spostamenti vengonosemplicemente indicate con il simbolo v. Si utilizzano poi i pedici o leparentesi per specificare il punto cui le componenti di spostamento siriferiscono. Il simbolo vP indica quindi, ad esempio, la componenteverticale dello spostamento del punto P; il simbolo v(x,y) indica lacomponente verticale del punto del sistema di coordinate (x,y). Vienequindi omesso il simbolo che indica il fatto che trattasi di piccolispostamenti, essendo questa circostanza sempre sottintesa.

Gli spostamenti dei punti di un sistema di elementi rigidi nelpassaggio da una configurazione iniziale a una configurazionespostata possono essere efficacemente rappresentati in diagrammi incui le ascisse rappresentano la posizione del punto generico e leordinate una componente di spostamento del punto stesso. Siconsideri ad esempio il sistema di Figura 8.1 di cui C il centro dirotazione assoluto. La componente orizzontale dello spostamento diun punto del sistema sar talvolta semplicemente chiamataspostamento verticale del punto. Una analoga dicitura sar talvolta

utilizzata per la componente verticale.Volendo tracciare il diagramma della componente v secondo lasse y

degli spostamenti dei punti del sistema (brevemente il diagrammadegli spostamenti verticali) si pu procedere come segue (Figura 8.1).
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1. Si traccia una retta di riferimento ortogonale alla direzione della

componente di spostamento da diagrammare (orizzontale, cioparallela a x, nel caso di spostamenti verticali); questa rettacostituisce lascissa del diagramma.

Figura 8.1.

2. Si proietta sulla retta di riferimento il centro di rotazione C e siindica con xC la corrispondente ascissa; il punto C, pensatosolidale allelemento rigido, ha spostamento nullo, pertanto ildiagramma degli spostamenti verticali ha ordinata nulla incorrispondenza di C.

3. Detta v(x,y) la componente verticale dello spostamento delgenerico punto di coordinate (x, y), la seconda delle (7.9) affermache

( ) ( )Cxxy,xv = (8.1)

pertanto lo spostamento verticale del generico punto del sistemadipende in effetti solo dalla sua ascissa e non dalla sua ordinata e

pertanto viene indicato pi semplicemente con v(x). La(8.1) rendechiaro che il diagramma degli spostamenti verticali v(x,y) = v(x) una retta avente inclinazione pari alla rotazione del sistema; ildiagramma si annulla per x = xC. Si traccia quindi una rettainclinata di passante per la proiezione di C. Questa retta nelpiano (v,x) ha lequazione (8.1) e pertanto rappresenta glispostamenti verticali dei punti del sistema (Figura 8.1): lospostamento verticale vP di un qualunque punto P di coordinate

(xP, yP) si ottiene dal diagramma proiettando il punto sullasse delleascisse del diagramma e leggendo la corrispondente ordinata.

A

A

B

B

P

P

C

x

xC

v(x)

vP= (xP- xC)

xP- xC

C

PPy= vP

Px= uP

v(x) = (x - xC)

x

y

Oz

xP


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Naturalmente il diagramma ha interesse solo tra le ascisse in

corrispondenza delle quali sono presenti punti del sistema, cio solonellintervallo campito inFigura 8.2.Si osserva come tutti i punti chehanno la stessa ascissa abbiano la stessa componente verticale dispostamento; in particolare nel caso diFigura 8.2 tutti i punti dellastaBC hanno lo stesso spostamento verticale (indicato con vC = vB in

Figura 8.2), avendo la stessa ascissa. Si osserva inoltre come leordinate del diagramma vengano valutate considerando il fatto che larotazione piccola e quindi confondendo la sua misura con la suatangente.

Figura 8.2.

In modo analogo pu tracciarsi il diagramma della componenteu secondo lasse x degli spostamenti dei punti del sistema(brevemente il diagramma degli spostamenti orizzontali) sulla base

della prima delle (7.9) che con la simbologia qui adottata :( ) ( )cyyy,xu = (8.2)

Per il sistema in esame questo diagramma mostrato inFigura 8.3Ovviamente la componente orizzontale dello spostamento del punto dicoordinate (x,y) dipende solo dalla sua ordinata e quindi viene indicatacon u(x,y) = u(y), in analogia con quanto visto per la componenteorizzontale.

Naturalmente procedendo in modo analogo possibiletracciare il diagramma della componente degli spostamenti dei punti

del sistema secondo un asse generico.Lestrema semplicit del procedimento descritto deriva dalla

preventiva conoscenza della posizione del centro di rotazione

A

A

B

B

P

P

C

x

xC

v(x)

C

PPy= vP

Px= uP

v(x) = (x - xC)

vC= vB

vA

x

y

Oz

xP

vP

xC= xB


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dellelemento considerato al quale corrisponde lo zero dei diagrammi

degli spostamenti. Per tracciare i diagrammi degli spostamenti di unsistema labile (e quindi suscettibile di configurazioni spostate)costituito da pi elementi rigidi tra loro in qualche modo collegati opportuna la preventiva localizzazione dei centri di rotazione deisingoli elementi rigidi, in modo da procedere come appena descritto.

Figura 8.3.

Si mostrano nel seguito alcuni esempi relativi a sistemi costituiti daelementi rigidi dotati di un solo grado di libert, per i quali unaconfigurazione spostata quindi identificata da un solo parametro dispostamento (componente di spostamento o rotazione). Per sistemicon pi gradi di libert i procedimenti sono gli stessi con lunicadifferenza che per definire lo spostamento di ogni punto necessario

assegnare un numero di parametri di spostamento indipendenti pari alnumero dei gradi di libert.

Si rimarca che le ordinate dei diagrammi visti non sonoquantitativamente gli spostamenti (che tra laltro sono piccolissimi) marappresentano questi in una scala opportuna. Allo stesso modo leinclinazioni dei diagrammi non sono quantitativamente le rotazioni(piccolissime anchesse) degli elementi rigidi ma le rappresentano inmodo coerente con la scala scelta per gli spostamenti.

Esempio 8.1

Si traccino i diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticalidel sistema di figura 8.4. Il sistema costituito dai tre elementi rigidi 1,2 e 3, disegnati con colore diverso per una pi facile associazione con

A

A

B

B

P

P

C

C

PPy= vP

Px= uP

v(x) = (x - xC)

x

xC

v(x)

vC= vB

y

u(y)

u(y)=(y-yC)

yC

uA= uC

uB

x

y

Oz

xP xC= xB

vPvA

xA

yA= yC

yB


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i relativi diagrammi degli spostamenti, che sono tracciati dello stesso

colore degli elementi cui si riferiscono.Si osserva innanzitutto che il sistema una volta labile (3 elementirigidi, 9 gradi di libert in assenza di vincoli, 2 vincoli esterni conmolteplicit 2, 2 vincoli interni con molteplicit 2, lb = 9 - 8 = 1).Pertanto una sua configurazione spostata identificata da un unico

parametro di spostamento, in funzione del quale sono determinabili glispostamenti di tutti i punti del sistema. Si considera come parametrodi spostamento indipendente la rotazione 1dellelemento 1; in altreparole si fa compiere allelemento 1 la rotazione 1, arbitraria purchpiccola, e si determinano le conseguenti componenti orizzontali everticali degli spostamenti di tutti i punti del sistema, rappresentati daidiagrammi degli spostamenti.

Figura 8.4.

Lelemento 1 vincolato con una cerniera esterna nel punto A,pertanto (ricordando losservazione 8 della lezione 7) A il centro di

rotazione assoluto C1di tale elemento. Lelemento 3 vincolato conuna cerniera nel punto H, pertanto H il centro di rotazione assolutoC3di tale elemento. Le posizioni delle cerniere interne C ed F sonoinvece i centri di rotazione relativi C12tra lelemento 1 e lelemento 2 eC23 tra lelemento 2 e lelemento 3. Ricordando che i centri dirotazione assoluti di due elementi rigidi ed il loro centro di rotazionerelativo giacciono sulla stessa retta (osservazione 5 della lezione 7), si

pu affermare che il centro di rotazione assoluto dellelemento 2 devegiacere sulla retta r contenente C1 e C12. Daltra parte il centro dirotazione assoluto dellelemento 2 deve giacere sulla retta s

contenente C23e C3. Si conclude che il centro di rotazione assoluto C2

dellelemento 2 non pu che essere il punto intersezione tra r ed s(Figura 8.5).

A B

C D

E

F G

H

1

2 3

L L 2L

L/2

3L/2

L


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I diagrammi degli spostamenti dellelemento 1 possono ora

essere tracciati in modo del tutto analogo a quanto gi visto,assegnando la rotazione 1 a tale elemento (Figura 8.6). Questidiagrammi identificano le componenti di spostamento di tutti i puntidellelemento 1 ed in particolare le componenti di spostamento delpunto C che lelemento 1 ha in comune con lelemento 2.

Figura 8.5.

Figura 8.6.

A C1 B

C C12D

E

F C23 G

H C3

1

2 3

C2

r

s

x

v(x)

xC1vB= vC

1

u(y)yC1

1

y

uC

L L 2L

L/2

3L/2

L

A C1 B

C C12D

E

F C23 G

H C3

1

2 3

C2

r

s

L L 2L

L/2

3L/2

L


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Per tracciare i diagrammi degli spostamenti dellelemento 2 sideve tenere presente che la cerniera in C impone gli stessispostamenti al punto C dellasta CB (elemento 1) ed al punto Cdellasta CD (elemento 2), pertanto i diagrammi degli spostamentidellelemento 2 devono passare per i punti che identificano gli

spostamenti di C gi determinati per lelemento 1; inoltre questidiagrammi devono essere rettilinei nel rispetto della(8.1) e della(8.2)ed intersecare gli assi di riferimento in corrispondenza delle proiezionidi C2in quanto il punto C2, pensato solidale allelemento 2, non devespostarsi (Figura 8.7).

Figura 8.7.

Si traccia quindi la proiezione di C2sugli assi x ed y per identificarelascissa xC2 e lordinata yC2 del punto di nullo dei diagrammi deglispostamenti dellelemento 2 e si tracciano i diagrammi unendo consegmenti le ordinate che identificano gli spostamenti di C ed i punti di

nullo.

Analogamente, per la presenza della cerniera in F i diagrammidegli spostamenti dellelemento 3 devono passare per i punti che

identificano gli spostamenti del punto F gi determinati relativamenteallelemento 2 e per le proiezioni sugli assi di riferimento del centro dirotazione C3(Figura 8.8).

A C1 B

C C12D

E

F C23 G

H C3

1

2 3

C2

rs

x

v(x)

xC1 vB= vC

1

u(y)yC1

1

y

uC=

uD=

uF

xC2

vD= vE

uE

2

2

yC2

L L 2L

L/2

3L/2

L

vF


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I diagrammi degli spostamenti diFigura 8.8 corrispondono alla

configurazione spostata diFigura 8.9.

Figura 8.8.

Si osserva che per esigenze di rappresentazione grafica laconfigurazione spostata diFigura 8.9 disegnata per spostamenti nonpiccoli, sicch si evidenzia qualche piccola incongruenza tra lecomponenti di spostamento che si leggono sui diagrammi e glispostamenti dei punti nella configurazione spostata. Ad esempio lo

spostamento verticale del punto G letto sul relativo diagramma nullo,

mentre osservando nella configurazione spostata la posizione di Gdopo lo spostamento si nota una componente verticale dispostamento non nulla (in particolare, G si spostato verso il basso).Questo perch la configurazione spostata tracciata facendopercorrere ai punti le effettive traiettorie obbligate dai vincoli, mentre idiagrammi sono tracciati nellipotesi di piccoli spostamenti e quindiconsiderando gli spostamenti sulle tangenti alle effettive traiettorie. Inparticolare nel caso di G la configurazione spostata tracciatafacendo muovere G su una circonferenza di centro H e raggio GHmentre i diagrammi sono tracciati considerando che il punto G si

sposta sulla retta per G ortogonale a GH.

A C1 B

C C12D

E

F C23 G

H C3

1

2 3

C2

r

s

x

v(x)

xC1

vB= vC

1

u(y)yC1

1

y

uC=uD=

uF

xC2

vD= vE

uE

2

2

yC2

3

xC3

yC3

3

12

23

12

23

L L 2L

L/2

3L/2

L

vF


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Figura 8.9.

Si osserva infine che i diagrammi degli spostamenti sono statitracciati partendo dalla rotazione 1 scelta arbitrariamente e gli

spostamenti di tutti i punti del sistema sono stati identificati in funzionedella sola rotazione 1(sistema ad un grado di libert). In particolareanche le rotazioni 2e 3degli elementi 2 e 3 e le rotazioni relative tragli elementi, 12 e 23 (Figura 8.8 e Figura 8.9), restano definite infunzione di 1 (talvolta si dice che restano definite a meno di 1). Adesempio, la rotazione 2 resta definita dal fatto che lo spostamentoverticale vC del punto C C12 lo stesso se letto sul diagrammarelativo allelemento 1 e sul diagramma relativo allelemento 2,

pertanto i moduli delle rotazioni 1 e 2 devono soddisfare (Figura8.9):

aL21

= (e.1.1)

in cui a la distanza indicata in figura 8.9, essendo il primo membro lospostamento di C letto sul diagramma dellelemento 1 ed il secondomembro lo spostamento di C letto sul diagramma dellelemento 2 edavendo confuso le misure di 1e 2con le loro tangenti (1e 2sonopiccoli). Quindi

a

L

l2

= (e.1.2)

A C1B

CC

12

D

E

F C23

G

H C3

1

2

3

C2

r

s

xC1 vB= vC

1

yC1

1

y

uC=uD=uF

xC2 vF

vD= vE

uE

2

2

yC2

3xC3

yC3

3

12

23

12

23

1

2 3

L L 2L

L/2

3L/2

L

a


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La distanza a pu determinarsi con le considerazioni geometriche di

Figura 8.10.

Figura 8.10.

Infatti la distanza C2K pu determinarsi sia considerando il triangolorettangolo CC2K che considerando il triangolo rettangolo FC2K.

Eguagliando le espressioni che si ottengono relativamente ai duetriangoli si ha:

( ) = tanaL2tana (e.1.3)

essendo e gli angoli noti indicati inFigura 8.10:

2L

L2tan ==

2

3

L

L2

3

tan == (e.1.4)

Dalla (e.1.3) si ottiene:

+

=

tantan

tanL2a (e.1.5)

e quindi, tenendo conto delle (e.1.4):

L7

6

tantan

tanL2a =

+

= (e.1.6)

Introducendo questo risultato nella (e.1.2) si ha:

1267 = (e.1.7)

A

C

1

B

C C12 D

E

F C23 G

H C3

1

2

3

C2

r

s

L L L

L/2

3L/2

L

a

L

2L-aK


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LEZIONE 8 Sessione di studio 1

Diagrammi degli spostamenti - esempi

Si riportano nel seguito due ulteriori esempi di tracciamento deidiagrammi degli spostamenti. Si consiglia di risolverli autonomamente

e controllare successivamente la soluzione ottenuta.

Esempio 8.2

Si traccino i diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticalidel sistema diFigura 8.11 e si determinino le componenti orizzontali everticali dello spostamento del punto E in funzione della rotazione

dellelemento 1.

Figura 8.11

Il sistema una volta labile (2 elementi rigidi, 6 gradi di libertin assenza di vincoli, un vincolo esterno con molteplicit 1, un vincoloesterno con molteplicit 2, un vincolo interno con molteplicit 2, lb= 6 -

5 = 1). Si considera come parametro di spostamento indipendente larotazione 1dellelemento 1.

Lelemento 1 vincolato con un carrello esterno che consentesolo spostamenti orizzontali del punto A, pertanto (ricordandolosservazione 8 della lezione 7) il suo centro di rotazione assoluto C1 sulla retta r, verticale per A. Lelemento 2 vincolato con unacerniera esterna nel punto G, pertanto G il centro di rotazioneassoluto C2di tale elemento. Il centro di rotazione relativo C12tra i dueelementi nella posizione C della cerniera interna. Ricordando che icentri di rotazione assoluti di due elementi rigidi ed il loro centro di

rotazione relativo giacciono sulla stessa retta (osservazione 5 dellalezione 7), si pu affermare che il centro di rotazione assolutodellelemento 1 deve giacere sulla retta r (per la presenza del carrello)

A B

C D

E

F

G

1

2

L L 2L

L/2

3L/2

L


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e sulla retta s contenente C12 e C2. Si conclude che il centro di

rotazione assoluto C1 dellelemento 1 non pu che essere il puntointersezione tra r ed s (Figura 8.12).

Figura 8.12.

I diagrammi degli spostamenti dellelemento 1 possono ora essere

tracciati come per lesempio precedente, assegnando la rotazione 1

a tale elemento (Figura 8.13). Questi identificano anche le ordinateche rappresentano le componenti di spostamento di C.

Figura 8.13.

A B

C C12 D

E

F

G C2

1

2

L L 2L

L/2

3L/2

L

r

s

C1

v(x)

xC1vB= vC

1

u(y)

yC1

uC=

uD=

uF

x

uA

1

y

A B

C C12 D

E

F

G C2

1

2

L L 2L

L/2

3L/2

L

r

s

C1


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Anche i diagrammi degli spostamenti dellelemento 2 si

tracciano come nel caso precedente tenendo conto che questi devonopassare per i punti che identificano gli spostamenti di C relativamenteallelemento 1 e devono annullarsi in corrispondenza delle proiezionidel centro di rotazione C2sugli assi di riferimento (Figura 8.14).

I diagrammi degli spostamenti diFigura 8.14 corrispondono allaconfigurazione spostata diFigura 8.15 nella quale anche indicato lospostamento del punto E del quale si cercano le componentiorizzontale e verticale.

Figura 8.14.

Sul diagramma degli spostamenti verticali dellelemento 1 lo

spostamento vCpu valutarsi come:

Lv1c

= (e.2.1)

sul diagramma degli spostamenti verticali dellelemento 2 lospostamento vCpu valutarsi come:

L3v2c

= (e.2.2)

eguagliando i secondi membri delle (e.2.1) ed (e.2.2) si ottiene:

12

3

1= (e.2.3)

La componente orizzontale dello spostamento di E pu quindivalutarsi sul relativo diagramma come:

A B

C C12 D

E

F

G C2

1

2

L L 2L

L/2

3L/2

L

r

s

C1

v(x)

xC1 vB= vC

1 x

vD= vE

2

u(y)

yC1

uC=

uD=

uF

uA

1

2

u

E

yC2

xC2

y


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L6

5

L2

5

u 12E == (e.2.4)

essendo 5L/2 la distanza tra la proiezione di E e la proiezione di C2sullasse y (Figura 8.15). Analogamente la componente verticale dellospostamento di E si valuta sul relativo diagramma come:

L3

2L2v 12E == (e.2.4)

essendo 2L la distanza tra la proiezione di E e la proiezione di C2sullasse x (Figura 8.15)ed avendo tenuto conto della (e.2.3).

Figura 8.15.

Esempio 8.3

Si traccino i diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticalidel sistema diFigura 8.16 e si determini lo spostamento relativo tra gliestremi B degli elementi 1 e 2.

Il sistema una volta labile (3 elementi rigidi, 9 gradi di libert

in assenza di vincoli, due vincoli esterni con molteplicit 2, due vincoliinterni con molteplicit 2, lb= 9 - 8 = 1). Si considera come parametrodi spostamento indipendente la rotazione 1dellelemento 1.

Lelemento 1 vincolato con una cerniera esterna nel punto Ache pertanto il centro di rotazione assoluto C1di tale elemento.

A

B

C C12 D

E

F

G C2

1

2

L L 2L

L/2

3L/2

L

r

s

C1

v(x)

xC1 vB= vC

1 x

vD= vE

2

u(y)

yC1

uC=

uD=

uF

uA

1

2

uE

yC2

1

2

5L/2

E

E

vEuE

xC2

y


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Figura 8.16.

Lelemento 3 vincolato con una cerniera esterna nel punto D chepertanto il centro di rotazione assoluto C3di tale elemento. Il centrodi rotazione relativo C12tra gli elementi 1 e 2 a distanza infinita suuna retta orizzontale (ortogonale allo spostamento relativo consentitodal doppio pendolo). Il centro di rotazione relativo C23tra gli elementi 2e 3 nella posizione C della cerniera interna. Ricordando la proprietdi allineamento dei centri di rotazione assoluti e relativi si puaffermare che il centro di rotazione C2dellelemento 2 giace sulla rettas contenente il segmento CD e sulla retta r, orizzontale per il punto A;il centro di rotazione relativo C12 a distanza infinita sulla retta r.

(Figura 8.17).

Figura 8.17.

Per convincersi di questo si pu pensare che se, per assurdo, C12giacesse a distanza infinita su una retta r orizzontale non passanteper A, il centro C2sarebbe allintersezione di questa con la retta s (perlallineamento di C2, C23, C3); in questo modo C1, C12 e C2 nonpotrebbero essere allineati (Figura 8.18).

A C1

B

C C23

L/2

L

13

2

L L2L

L/2

D C3

rs

C2C12

A

B

C

D

L/2

L

13

2

L L2L

L/2


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Figura 8.18.

I diagrammi degli spostamenti dellelemento 1 possono ora

essere tracciati come per gli esempi precedenti, assegnando unarotazione arbitraria 1a detto elemento (Figura 8.19).

Figura 8.19.

Per tracciare il diagramma degli spostamenti verticalidellelemento 2 bisogna tenere presente che il doppio pendolo internoin B consente gli spostamenti relativi in direzione verticale tra i puntiB1 (punto B pensato appartenente allelemento 1) e B2 (punto Bpensato appartenente allelemento 2), pertanto detto diagramma sardiscontinuo in corrispondenza del punto B. Il doppio pendolo imponeinvece la stessa rotazione agli elementi 1 e 2 tra i quali posto, quindila rotazione 2dellelemento 2 uguale alla rotazione 1dellelemento1. Pertanto il diagramma deve passare per la proiezione del centro di

rotazione assoluto C2ed avere la stessa inclinazione del diagrammadegli spostamenti verticali dellelemento 1 (Figura 8.20).

A C1

B

C C23

L/2

L

13

2

L L2L

L/2

D C3

r

s

C2

v(x)

xC1

vB11

u(y)

x

B1 B2y

yC1

1

uB1

A C1

B

C C23

L/2

L1

3

2

L L2L

L/2

D C3

r

s

C2 C12


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Figura 8.20.

Il diagramma degli spostamenti orizzontali dellelemento 2 passainvece per il punto che identifica lo spostamento orizzontale di B1 inquanto il doppio pendolo in B impone lo stesso spostamento

orizzontale ai punti B1e B2e per la proiezione del centro di rotazioneC2 (Figura 8.20). I diagrammi degli spostamenti orizzontali deglielementi 1 e 2 risultano sovrapposti, il che significa che gli

spostamenti dei punti di questi elementi hanno la stessa componenteorizzontale. Questi diagrammi sono rappresentati con un tratteggio pifitto.

I diagrammi degli spostamenti dellelemento 3 si tracciano inmodo analogo a quanto visto negli esempi precedenti, tenendopresente che la cerniera in C impone gli stessi spostamenti al punto C

pensato dellelemento 2 ed al punto C pensato dellelemento 3 (Figura

8.20).I diagrammi degli spostamenti diFigura 8.20 corrispondono alla


Il modulo dello spostamento vB1si valuta sul diagramma deglispostamenti verticali dellelemento 1 come:

Lv 11B = (e.3.1)

mentre modulo dello spostamento vB2 si valuta sul diagramma deglispostamenti verticali dellelemento 2 come:

)L3a()L3a(v 122B +=+= (e.3.2)essendo 2= 1ed essendo a la misura indicata inFigura 8.21.

A C1

B

C C23

L/2

L

13

2

L L2L

L/2

D C3

r

s

C2

x

B1 B2

v(x)

xC1

vB11 x

xC22= 1

vB2

vC

u(y)

y

yc1yC2

1= 2

uB2

=

uB1

uC

xC33

yC3

3


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Figura 8.21.

Da semplici considerazioni geometriche risulta:

La = (e.3.3)

quindi

L4v 12B = (e.3.2)

pertanto il modulo dello spostamento relativo cercato

L5LL4vvv111B2BB

=== (e.3.5)

avendo tenuto conto che gli spostamenti dei punti B1e B2hanno versodiscorde.

A C1

B

C C23

L/2

L

13

2

L L2L

L/2

D C3

r

s

C2

v(x)

xC1

vB11

u(y)

x

xC22= 1

B1

B2

xC3

vB2

3

vC

y

yc1yC2

1= 2yC3

3

vB

=vB2

-vB1

uB2

=

uB1

uC

vB

a


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Diagrammi degli spostamenti - esempi

Si riporta nel seguito un ulteriore esempio di tracciamento deidiagrammi degli spostamenti. Si consiglia di risolverlo autonomamente

e controllare successivamente la soluzione ottenuta.

Esempio 8.4

Si traccino i diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticalidel sistema diFigura 8.22 e si determinino gli spostamenti dei punti A,C ed E in funzione della rotazione dellelemento 1.

Figura 8.22.

Il sistema una volta labile (3 elementi rigidi, 9 gradi di libertin assenza di vincoli, due vincoli esterni con molteplicit 1, un vincoloesterno con molteplicit 2, due vincoli interni con molteplicit 2, lb= 9 -8 = 1). Si considera come parametro di spostamento indipendente larotazione 1dellelemento 1.Con riferimento alla Figura 8.23, lelemento 1 vincolato con uncarrello esterno che consente solo spostamenti orizzontali del puntoC, pertanto il centro di rotazione assoluto C1 di questo elemento sulla retta r verticale passante per C. Lelemento 3 vincolato con uncarrello esterno che consente solo spostamenti orizzontali del puntoE, pertanto il centro di rotazione assoluto C3 di questo elemento

sulla retta t verticale passante per E. Lelemento 2 vincolato con unincastro scorrevole esterno che consente solo spostamenti sulla rettah, pertanto il centro di rotazione assoluto C3di questo elemento a

distanza infinita su una retta ortogonale ad h. Il centro di rotazione

relativo C12 tra gli elementi 1 e 2 situato in B, ove presente unacerniera interna. Il centro di rotazione relativo C23tra gli elementi 2 e 3 situato in D, ove presente una cerniera interna. Per la propriet di

L L L/2

13

2

A

B

C

E

L

L/2

L

D

/4


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allineamento dei centri di rotazione assoluti e relativi, il centro di

rotazione assoluto C1 dellelemento 1 il punto intersezione tra laretta r e la retta s, ortogonale ad h per B; il centro di rotazioneassoluto C3 dellelemento 3 il punto intersezione tra la retta t e laretta w, ortogonale ad h per D (Figura 8.23).

Figura 8.23.

I diagrammi degli spostamenti dellelemento 1 possono ora esseretracciati come per gli esempi precedenti, assegnando la rotazionearbitraria 1a detto elemento (Figura 8.24).

Figura 8.24.

Per tracciare i diagrammi degli spostamenti dellelemento 2bisogna tenere presente che lincastro scorrevole in A non consente la

L L L/2

13

2

A

C

E

L

L/2

L r

C1

s

t

D C23

B C12C3

v(x)

xC1vB

1 u(y)x

uC

y

1

yC1

uB

w

L L L/2

13

2

A

C

E

L

L/2

Lr

C2

C1

s

t

D C23

B C12C3

C2

w

/4 h


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rotazione dellelemento, pertanto questi diagrammi sono paralleli agli

assi di riferimento (2= 0, spostamenti costanti) e che la cerniera in Cimpone lo stesso spostamento al punto C pensato appartenenteallelemento 2 ed al punto C pensato appartenente allelemento 1(Figura 8.25).

Figura 8.25.

Infine i digrammi degli spostamenti dellelemento 3 si tracciano

unendo con segmenti i punti che rappresentano gi spostamenti delpunto D con le proiezioni sugli assi di riferimento del centro dirotazione C3, essendo presente in D una cerniera (Figura 8.26).

Figura 8.26.

L L L/2

13

2

A

C

E

L

L/2

L r

C1

s

t

D C23

B C12C3

v(x)

xC1vB

1 u(y)x

uC

vD

vA

xC3

3

y

1

yC1

uB

uD

uA

uE

3w

L L L/2

13

2

A

C

E

L

L/2

L r

C1

s

t

D C23

B C12C3

v(x)

xC1vB

1 u(y)x

uC

vD

vA

y

1

yC1

uB

uD

uA

w


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I diagrammi degli spostamenti diFigura 8.26 corrispondono alla


Dai diagrammi degli spostamenti immediato dedurre che imoduli delle componenti orizzontale verticale dello spostamento di Asono:

2

Lu

1

A

=

2

Lv

1

A

= (e.4.1)

Figura 8.27.

queste due componenti di spostamento sono uguali, come prescrittodal vincolo nel punto A che impone spostamenti solo sulla rettainclinata di /4.Dal diagramma degli spostamenti orizzontali immediato dedurre cheil modulo delle componenti orizzontali degli spostamenti di C ed Esono:

2

Lu

1

C

= L

4

3L

2

3u

13E == (e.4.2)

essendo le componenti verticali nulle, come prescritto dai vincoli, ed

essendo

2

1

2

= (e.4.3)

L L L/2

13

2

A

C

E

L

L/2

L

C1

D C23

B C12

C3

v(x)

xC1vB

1 u(y)x

uC

vD

vA

xC33

y

1

yC1

uB

uD

uA

uE

3


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Diagrammi degli spostamenti - esercizi

Sono proposti alcuni esercizi la cui soluzione lasciata al lettore. Si

consiglia di risolversi e di utilizzare un programma di CAD perdisegnare le configurazioni spostate.

Esercizio 8.1

Si traccino i diagrammi degli spostamenti del sistema diFigura

8.28.Si determini lo spostamento verticale dellestremo E in funzionedella rotazione dellelemento 1.

Figura 8.28.

Esercizio 8.2

Si traccino i diagrammi degli spostamenti del sistema diFigura8.29.Si determinino le componenti di spostamento dei punti C ed D infunzione della rotazione dellelemento 1.

Figura 8.29.

Esercizio 8.3

Si traccino i diagrammi degli spostamenti del sistema diFigura8.30. Si determini lo spostamento relativo tra i punti collegati dal

pendolo interno in funzione della rotazione dellelemento 1.

Figura 8.30.

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/21

2

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

A

B

D

12

C

L L L/2L

1 2A B C D E

8_diagrammi degli spostamenti

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