VIII. Bilangan Kompleks, Phasor,Impedans,admitans

Bab VIII 1

Bab VIII 2

BILANGAN KOMPLEKSDefinisi:

Satuan bilangan khayal (imajiner) adalah bilangan 1

yang umumnya dinyatakan dengan simbol 1j atau1i

Penyelesaian persamaan 0565 2 xx adalah 8,06,0 j

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks

79)36()43( jjj jjj 3)36()43(

12

j

Bab VIII 3

BILANGAN KOMPLEKS

Perkalian bilangan kompleksjjjjj 336)1224918()36()43( jjjjj 1530)1224918()36()43(

25)1612129()43()43( jjjj

Pembagian bilangan kompleks

22 361530

)36()36()36()43(

3643

j

jjjj

jj

)36( j )36( jadalah Konjugat dari

)36( jZ )36( jZ

Konjugatnya adalah

Bab VIII 4

BILANGAN KOMPLEKS

Bentuk kutub bilangan kompleks

a

b

x

y

jjba )sin(cos jr

r

abarctan 22 bar

Bentuk-bentuk kompleksjyxz

Polar atau steinmetz: zzExponensial: jrezTrigonometri: )sin(cos jrz

Rectangular

Bab VIII 5

BILANGAN KOMPLEKSPerkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar

)sin(cos 1111 jrjbaz

)sin(cos 2222 jrjdcz)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz

)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz

)(... 2121221121 rrrrzz

Andaikan:

Bab VIII 6

BILANGAN KOMPLEKSPerkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar

)sin(cos 1111 jrjbaz)sin(cos 2222 jrjdcz

)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz

)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz

)(... 2121221121 rrrrzz

Andaikan:

Pembagian bilangan komplek

)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos

21212

1

222

111

2

1

jrr

jrjr

zz

Sumber gelombang sinusoidal

Bab VIII 7

Gelombang Sinusoidal

Bab VIII 8

Sumber tegangan dan arus sinusoidal;satuan sudut(Derajat dan radian)

r

r

57.296o

1 radian

Bab VIII 9

(a) Sumber tegangan ac sinusoidal

(b) Sumber arus sinusoidal

2 rad = 360o

1 rad = 57,3o

dl=rd

Perioda,frekuensi,kecepatan sudut

f 2

(rad/s) 2

)(det

1 T 1

T

sikTHzf

fdan

Tf

Bab VIII 10

Satuan frekuensi : Hertz (Hz)1 Hz = 1 cycle per second (c/s)

t

)(det) (kecepatan

dant

ikwakturadianatauderajatjaraksudut

Bentuk Umum Sinyal Sinusoidal

Bab VIII 11

Sinyal sinusoidal bisa dinyatakan dalam bentuk matematis :Am sin

AtauAm sin t

Pergeseran Gelombang

t

Bab VIII 12

• Jika sinyal sinusoidal digeser ke kanan atau kiri dari titik 0, bentuknya menjadi :

Am sin (t + )dengan adalah sudut geser dalam derajat atau radian

• Jika gelombang melalui sumbu horisontal dan slope ke arah negatif (naik seiring waktu) terjadi sebelum 0o (gambar a), maka bentuk matematis gelombangnya :

Am sin (t + )• Jika gelombang melalui sumbu

horisontal dan slope ke arah positif terjadi setelah sumbu 0o (gambar b), maka bentuk matematis gelombangnya :

Am sin (t - )

(a)

(b) di mana

Pergeseran Gelombang

Bab VIII 13

Jika gelombang melewati sumbu horizontal dengan slope ke arah kiri artinya lebih cepat 90o (/2) seperti pada gambar di bawah,maka disebut gelombang cosinus

90 t2

atau

sin t-90 t2

sin( ) sin cos

cos( ) cos

o

o

t t

t

Bab VIII 14

Bagaimana respons paksa ( arus yang diakibatkan mengalir dalam rangkaian ) jika masukan fungsi sinusoidal diberikan pada rangkaian RL seri ?

tVRidtdiL m cos

tBtAi f sincos

tVtBtARtBtAL m cossincoscossin

mVLBRA 0 RBLA

222 LRRV

A m

222 LRLV

B m

R

L

itmV cos

Dengan tabel trial solution akan diperoleh:

Bab VIII 15

tLR

LVtLR

RVi mmf

sincos 222222

RLt

LRVi m

f

1

222tancos

tIi mf cos

222 LRVI m

m

RL 1tan

tLR

n eAi

1

dimana

L

R

Bab VIII 16

RLt

LR

Vi m

1

222tancos

Solusi nya dalam keadaan mantap

tZVi m cos

Bab VIII 17

Contoh berikut adalah rangkaian R//C dicatu oleh sumber arus sinusoidal atau forcing functionnya sinusoidal

Tentukan v dan i di kapasitor C dalam keadaan mantap

Bab VIII 18

RCV

dtdV

CtI cCm

cos

tBtAVCf sincos

)sincos(1cossincos tBtARC

tBtAC

tIm

tBRC

AtARC

BC

tIm sin1cos1cos

CRAB

RCACRA

RCCRAA

RCB

CIm

22 )(111

Dari Trial Solution

RVitI c

cm cos

01

RCA

Bab VIII 19

CR

1

t

CR

CRtCRCR

RIV mCf

sin1

cos1

1

1 222

sinsincoscos

1 2tt

CR

RIV mCf

t

CR

RIV mCf cos

1 2

21 CRRIA m

22

2 11 CRCRIR

CRRICRB mm

ACRRIm2)(1

Bab VIII 20

Solusi nya adalah :

t

CR

RIV mC cos

1 2

dtdvCi c

c

t

CR

CRIi mc sin

1 2

90cos

1 2

tCR

CRIi mc

Cara penyelesaian dengan menggunakan trial solution ,adalah cara kuno dan tidak menarik buat calon sarjana Teknik Elektro .Cara lain lebih elegan adalah dengan menggunakan Phasor

Bab VI 21

PHASOR

)cos( tVv m

maka )( )( tjmeVev

Jika kecepatan sudut dari fungsi tersebut diketahui, dan fungsi tsb dapat ditentukan oleh nilai mV dan

maka ditulis mm VV

90sin0cos

)cos(phasordomain time

mmm

mmm

mmm

VVtVVVtVVVtV

Jika terdapat suatu fungsi

Pemahaman Phasor dalam dimensi ranah waktu dan bidang komplek

Phasor dalam arah maju ( leading )dan mundur ( lagging)

Bab VIII 24

Hitunglah amplituda dan phasa dari fungsi sinus berikut (Beca 10.1.2)

)602cos()433()302cos()334()

2sin42cos3)00

ttb

tta 00 9.36;5)1.53;5) ba

Tentukan frekuensi fungsi sinus berikut ( Beca 10.1.3)

tbta

377sin4))106cos(3) 0 Hzba 60);3)

Jawab 10.1.2

Bab VIII 25

Pada R

PHASOR Contoh penggunaan:

i R

tVm cosiRtVm cos

RIVm 00

RV

I m

VVm 0

IIm 0

Diagram phasor

Bab VIII 26

Pada L

PHASOR Contoh penggunaan:

fi

LtVm cos

tVdtdiLv mL cos

LjV

jjjx

LV

LV

LVI mmmm

00

0

90900

maka ILjLIVL 090

induktans Reaktansi LXLjX LL

V

I

tL

VttdVL

i mm

sincos1

)90cos( tL

Vi m

Bab VIII 27

Pada C

PHASOR Contoh penggunaan:

fi

CtVm cos

))90cos((sincos tVCtCV

dttdVC

dtdVCi mm

m

mmm CVjCVCVI 000 90900

09011

CCjXC

kapasitif reaktansi1

CX C

I

V

Bab VIII 28

PHASOR

Dari sini diperoleh:

RRZ R 00LL XLLjZ 090

CC XCCj

Z

09011

Animasi phasor

Animasi Phasor 2

1 10 50cos( )v t 2 12 10sin( )v t dan

Hitunglah sudut antara V1 dan V2

Bab VIII 31

IMPEDANSI

Z

I

V

Jika:

VV II

IV

IV

IVZ

danmaka

Jika111111

jXRZZ ZZ

1X

1Z

1R

Z

Bab VIII 32

IMPEDANSI

Jika2220

2jXRZZ 2X

2Z

2R

ADMITANSI Y

RjX

jBGjXRZ

Y

11

G = konduktansi, B= suseptansi

2222 ;XR

XBXR

RG

Bab VIII 33

R jX

jXRZ111

IMPEDANSI SERI

jGY G

B Y

nT ZZZZ ....21

V

1Z 2ZI

nZ

Bab VIII 34

IMPEDANSI PARALEL

V 1Z 2Z nZ

1I 2InI

nT ZV

ZV

ZV

ZV

...21

nT ZZZZ1...111

21

nT YYYY ...21

Y = admitansi

Bab VIII 35

Tentukan impedans dari rangkaian jika diketahui dalam domain waktu yang direpresentasikan oleh phasor IdanV Adalah: (Beca 10.15)

Ampti

voltttva

)202cos(7.1

2sin162cos30)0

mAeji

voltjevbtj

tj

)302(

2

0

)1(

)

09.17120

k0152

1

Jawab 10.15

Bab VIII 36

Dari gambar tentukan v1 dan gunakan untuk mencari v1 bila tegangan masuk 34cos4t ( Beca 10.9)

Jawab 10.9

volttvAmpev tj )1.284cos(1010 0)1.284(1

0

Bab VI 38

21 2

1 2 3

xs s

x

Z ZV V V VZ Z Z

22 3 1

1 2 3

xx

x

Z Z Z Z Z ZZ Z Z

32

1x

ZZ ZZ

1

2x s

RC CR

Bab VI 41

2

1x s

RL LR