59335684 calcul integral

Download 59335684 Calcul Integral

Post on 01-Jan-2016

161 views

Category:

Documents

14 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • I. DUDA STELIAN GRDINARU

    CALCUL INTEGRAL CU APLICAII VOLUMUL 1

  • Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei DUDA, I.

    Calcul integral cu aplicaii. / I. Duda, Stelian Grdinaru Bucureti: Editura Fundaiei Romnia de Mine, 2007 Bibliogr. 2 vol. ISBN 978-973-725-823-6 general Vol. 1. 2007 ISBN 978-973-725-824-3 I. Grdinaru, G 517.3(075.8)

    Editura Fundaiei Romnia de Mine, 2007

    Redactor: Mihaela TEFAN Tehnoredactor: Stelian GRDINARU

    Coperta: Cornelia PRODAN Bun de tipar: 25.04.2007; Coli tipar: 36,5

    Format: 16/70100 Editura i Tipografia Fundaiei Romnia de Mine

    Splaiul Independenei nr.313, Bucureti, Sector 6, O.P. 16 Tel./Fax: 444.20.91; www.spiruharet.ro

    e-mail: contact@edituraromaniademaine.ro

  • UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MATEMATIC I INFORMATIC

    I. DUDA STELIAN GRDINARU

    CALCUL INTEGRAL CU APLICAII VOLUMUL 1

    EDITURA FUNDAIEI ROMNIA DE MINE BUCURETI, 2007

  • 5

    CUPRINS Prefa 7 Capitolul 1. Integrala nedefinit

    1.1. Generaliti.. 9 1.2. Schimbarea de variabil la integrala nedefinit.. 11 13. Integrarea prin pri ..... 26 1.4. Integrale recurente .. 35 1.5. Integrarea funciilor raionale . 69 1.5.1. Integrarea funciilor raionale elementare .. 70 1.5.2. Integrarea funciilor raionale prin descompunerea n

    fracii simple

    76 1.6. Integrarea funciilor exponeniale....... 97

    1.7. Integrarea funciilor hiperbolice . 110 1.7.1. Relaii fundamentale. Integrale generale de funcii hiperbolice ...

    110

    1.7.2. Integrale recurente care conin funcii hiperbolice .. 116 1.7.3. Integrarea funciilor raionale n ch , sh , thx x x . 122 1.7.4. Integrarea funciilor raionale n , ch , shxe x x 125 1.8. Integrarea funciilor iraionale 132 1.8.1. Integrarea funciilor iraionale pe cazuri particulare .... 132 1.8.2. Integrarea funciilor quasiraionale. 144 1.8.3. Substituiile lui Euler .. 149 1.8.4. Alte metode de integrare a funciilor iraionale.. 153 1.9. Integrarea funciilor trigonometrice 167 1.9.1. Integralele de forma ( )sin , cosR x x dx . 167 1.9.2. Integrale de funcii trigonometrice particulare ... 172 1.9.3. Integrale trigonometrice diverse ... 174 1.9.4. Integrarea funciilor iraionale cu ajutorul substituiilor de funcii trigonometrice.

    193

    1.10. Integrale binome .. 197 1.11. Integrale abeliene.. 213 1.12. Integrale diverse ... 230 Capitolul 2. Integrala definit 2.1. Sume Riemann. Noiunea de integral definit . 246 2.2. Formula lui Leibniz Newton ... 251

  • 6

    2.3. Proprietile integralei definite ... 258 2.4. Formula de integrare prin pri pentru integrala definit ... 272 2.5. Alte proprieti ale integrale definite...... 280 2.6. Formule de medie pentru integrala definit.... 300 2.7. Inegaliti integrale .... 310 2.8. Formule de recuren la integrala definit..... 323 2.9. Existena primitivelor unei funcii continue .. 341 2.10. Calculul aproximativ al integralelor definite ... 365 Capitolul 3. Aplicaii ale integralei definite n geometrie 3.1. Calculul ariilor suprafeelor plane definite n coordonate carteziene

    385

    3.2. Calculul ariilor n coordonate parametrice .. 394 3.3. Calculul ariilor n coordonate polare ... 409 3.4. Lungimea unui arc de curb plan reprezentat n coordonate carteziene

    427

    3.5. Lungimea unui arc de curb plan reprezentat n coordonate parametrice .

    446

    3.6. Lungimea unui arc de curb plan reprezentat n coordonate polare ..

    460

    3.7. Calculul volumelor solidelor . . 465 Capitolul 4. Aplicaii ale integralei definite n mecanic 4.1. Aplicaii generale ale integralei definite n mecanic ... 503 4.2. Calculul momentelor statice i al momentelor de inerie. Centre de greutate. Teoremele lui Pappus - Guldin .....

    519

    4.3. Probleme diverse ... 580 Bibliografie ..... 585

  • 7

    Prefa

    Culegerea de probleme se adreseaz cu precdere studenilor din anul I i II de la Facultatea de Matematic - Informatic, putnd fi folosit ns i de studenii facultilor cu profil economic sau tehnic i, de ce nu, de elevii din ultimul an de liceu, care se pregtesc pentru examenul de bacalaureat sau pentru admiterea n nvmntul superior.

    Autorii i-au propus s descrie pe scurt cele mai importante metode de calcul integral, dezvoltnd i generaliznd integrale ce apar n cursurile de matematici superioare din anii II i III.

    Culegerea are un scop didactic, acela de a oferi cititorului un numr ct mai mare de exerciii rezolvate, oferind mai multe soluii de rezolvare a acestora.

    Fiecare capitol este nsoit de o scurt prezentare teoretic i completat cu exerciii rezolvate i propuse. Calculele sunt fcute amnunit iar problemele propuse sunt nsoite de indicaii corespunztoare.

    Autorii

  • 8

  • 9

    1. INTEGRALA NEDEFINIT 1. 1. Generaliti. 1. Fie J R un interval i :f J R . Se spune c f admite primitiv pe J dac exist o funcie : ,F J R astfel nct: ( )i F derivabil pe J ( )ii 'F f pe J 2. Funcia F se numete primitiva lui ,f iar mulimea tuturor primitivelor lui ,f notat ( ) ,f x dx se numete integrala nedefinit a funciei ,f vom nota: ( ) ( )F x f x dx C= + unde C este o constant real aditiv. 3. Dac F i G sunt primitivele a dou funcii i f g definite ca mai sus, iar i dou numere reale, atunci: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx F x G x + = + sau pe scurt:

    ( )f g F G + = + 4. Operaia de determinare a unei primitive se numete integrare. Integrarea funciilor se face cu ajutorul tabloului primitivelor funciilor elementare. 5. Metoda schimbrii variabilei i metoda integrrii prin pri permit reducerea integralelor nedefinite la cele din tablou. n continuare, vom presupune c funciile care apar sub integrale admit primitive pe domeniile indicate, dac intervalul de integrare nu este dat, se va considera domeniul maxim de definiie; prezena constantei C se va omite; n va desemna un numr natural, iar , ,..., , , 0a b sunt constante, presupuse date.

  • 10

    A. Tabloul primitivelor funciilor elementare

    1. 1

    1

    xx dxx

    += + , ,x R 1

    a. *11 ln , dx x xx

    = = \

    b. 1 2 , 02

    dx x xx

    = = >

    c. 21 12 , 0dx xx x

    = =

    d. ( ) 11 1 , 0, 2

    1n nn dx x n

    x n x = =

    2. , 0, 1ln

    xx aa dx x a a

    a= > \

    a. , , x xa e e dx e x= = \ 3. sin cos , x dx x x= \ 4. cos sin , x dx x x= \

    5. { }21 ctg , \ /sin dx x x k kx = \ ]

    6. ( )21 tg , \ 2 1 /cos 2dx x x k kx = + \ ]

    7. a. 2 2

    arcsin , dx x x aaa x

    =

  • 11

    8. 2 22 2

    ln , dx x x a x ax a

    = + >

    9. ( )2 22 ln , dx x x a xx a = + + + \

    10. 2 21 ln ,

    2dx x a x a

    x a a x a= +

    11. a . 2 21 arctg , , 0dx x x a

    x a a a= + \

    b. 2 21 arcctg , , 0dx x x a

    x a a a= + \

    1.2. Schimbarea de variabil la integrala nedefinit Fie , I J \ intervale, iar f i funcii definite prin compunerea

    fI J \ , astfel nct: ( )i derivabil pe I ( )ii f admite primitiv pe I Atunci funcia ( )f D admite primitive i vom avea: ( )( ) ( ) ( )( ) , f x x dx F x C C = + \ sau pe scurt : ( ) , f F C C = + D D \ . Observaie n aplicaii este util s inem seama de:

  • 12

    B. Tabloul general al primitivelor funciilor compuse

    1. ( ) ( ) ( )1 , 11x

    x x dx

    +

    = +

    a. ( )( ) ( ) ( )1 ln , 0x

    dx x xx

    = =

    b. ( )( ) ( ) ( )1 2 , 02

    xdx x x

    x

    = = >

    c. ( )( ) ( ) ( )212 , 0

    xdx x

    x x = =

    d. ( )( ) ( ) ( ) ( )11 , 0

    1n nx

    n dx xx n x

    = =

    2. ( ) ( ) ( ) , 0, 1ln

    xx aa x dx a a

    a

    = >

    2 . ( ) ( ) ( ), x xa e e x dx e = = 3. ( ) ( ) ( )sin cosx x dx x = 4. ( ) ( ) ( )cos sinx x dx x = 5. ( )( ) ( ) { }2 ctg , \ /sin

    xdx x x k k

    x = \ ]

    6. ( )( ) ( ) ( )2 tg , \ 2 1 /cos 2x

    dx x x k kx

    = + \ ]

    7. a. ( ) ( )( ) ( )

    2 2arc sin , arcsin

    x dx xx a

    aa x

    =

  • 13

    b. ( ) ( )( ) ( )

    2 2arc cos ,

    x dx xx a

    aa x

    =

    9. ( )( ) ( ) ( )( )2 22 2 ln , 0x dx x x a ax a = + + +

    10. ( )( )( )( )2 2

    1 ln2

    x dx x ax a a x a

    = +

    11. a. ( )( )( )

    2 2

    1 arctg , 0x dx x

    ax a a a

    = +

    11. b. ( )( )( )

    2 2

    1 arcctg , 0x dx x

    ax a a a

    = + Dac inem seama c ( ) ,x dx d = atunci legtura ntre tablourile A i B este dat de: ( )( ) ( ) ( ) ( )f x x dx f d F = =

Recommended

View more >