TRIGONOMETRÍA¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos de los triángulos. Se ocupa, por tanto, de las funciones asociadas a los ángulos, denominadas funciones trigonométricas (también pueden denominarse funciones circulares): seno, coseno, tangente, secante,…Etimológicamente, trigonometría significa medida de los triángulos, ya que proviene de las palabras griegas trigono (triángulo) y metría (medida).La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia: de una u otra manera en todos los campos de las matemáticas; en la física, por ejemplo en fenómenos ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo para medir distancias entre planetas; en la geodesia, etc.

Razones trigonométricas de α

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres costados a, b y c.Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo (b) y la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo (b).

Razones trigonométricas de ángulos característicosLa razones trigonométricas de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Relación entre razones trigonométricasCualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.Razones trigonométricas del ángulo complementario

Seno del ángulo complementario:

Coseno del ángulo complementario:

Tangente del ángulo complementario:

Razones trigonométricas del ángulo suplementario Seno del ángulo suplementario:

Coseno del ángulo suplementario:

Tangente del ángulo suplementario:

Razones trigonométricas del ángulo conjugado Seno del ángulo conjugado:

Coseno del ángulo conjugado:

Tangente del ángulo conjugado:

Razones trigonométricas del ángulo opuesto Seno del ángulo opuesto:

Coseno del ángulo opuesto:

Tangente del ángulo opuesto:

Razones trigonométricas del ángulo que difiere 90º Seno del ángulo que difiere 90º:

Coseno del ángulo que difiere 90º:

Tangente del ángulo que difiere 90º:

Razones trigonométricas del ángulo que difiere 180º Seno del ángulo que difiere 180º:

Coseno del ángulo que difiere 180º:

Tangente del ángulo que difiere 180º:

Razones trigonométricas del ángulo suma Seno del ángulo suma:

Coseno del ángulo suma:

Tangente del ángulo suma:

Razones trigonométricas del ángulo resta Seno del ángulo resta:

Coseno del ángulo resta:

Tangente del ángulo resta:

Razones trigonométricas del ángulo doble Seno del ángulo doble:

Coseno del ángulo doble:

Tangente del ángulo doble:

Razones trigonométricas del ángulo mitad Seno del ángulo mitad:

Coseno del ángulo mitad:

Tangente del ángulo mitad:

Razones trigonométricas del ángulo triple Seno del ángulo triple:

Coseno del ángulo triple:

Tangente del ángulo triple:

Razones trigonométricas inversas de αA partir de las razones del seno, coseno y tangente se pueden definir las razones trigonométricas inversas.

Cosecante de α:

Secante de α:

Cotangente de α:

Funciones trigonométricasLas funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en eltriángulo sobre una circunferencia de radio r=1.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASLas razones trigonométricas inversas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

Cosecante (csc): es la razón inversa del seno. Es decir, csc α · sen α=1.

Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1

Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1

Definición de las razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):

Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo (b):

Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo (b) y el cateto opuesto (a):

Razones trigonométricas inversas de ángulos característicosLa razones trigonométricas inversas de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Relación entre razones trigonométricasCualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.Razones trigonométricas inversas del ángulo complementario

Cosecante del ángulo complementario:

Secante del ángulo complementario: Cotangente del ángulo complementario:

Razones trigonométricas inversas del ángulo suplementario

Cosecante del ángulo suplementario:

Secante del ángulo suplementario:

Cotangente del ángulo suplementario:

Razones trigonométricas inversas del ángulo conjugado Cosecante del ángulo conjugado:

Secante del ángulo conjugado:

Cotangente del ángulo conjugado:

Razones trigonométricas inversas del ángulo opuesto Cosecante del ángulo opuesto:

Secante del ángulo opuesto:

Cotangente del ángulo opuesto:

Razones trigonométricas inversas del ángulo que difiere 90º Cosecante del ángulo que difiere 90º:

Secante del ángulo que difiere 90º:

Cotangente del ángulo que difiere 90º:

Razones trigonométricas inversas del ángulo que difiere 180º Cosecante del ángulo que difiere 180º:

Secante del ángulo que difiere 180º:

Cotangente del ángulo que difiere 180º:

Razones trigonométricas de αPartimos de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que llamaremos α.

Seno de α:

Coseno de α:

Tangente de α:

Funciones trigonométricasLas funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASLas funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno ytangente).Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.ArcosenoEl arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:

Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arcsen o sen-1.

Dominio (x):

Codominio (α):

Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función seno no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función seno sea biyectiva.

La función es continua y creciente en todo el dominio.

Derivada de la función

arcoseno: ArcocosenoEl arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:

Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arccos o cos-1.

Dominio (x):

Codominio (α): Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función cosenono es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [0,π] para que la función coseno sea biyectiva.

La función es continua y decreciente en todo el dominio.

Derivada de la función

arcocoseno: ArcotangenteLa arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:

Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arctan o tan-1.

Dominio (x):

Codominio (α): Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función tangenteno es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función tangente sea biyectiva.

La función es continua y creciente en todo el dominio.

Derivada de la función

arcotangente:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASLas identidades trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.Razones trigonométricas

Seno de α:

Coseno de α:

Tangente de α:

Razones trigonométricas inversas

Cosecante de α:

Secante de α:

Cotangente de α:

Relación entre razones trigonométricas

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.Relaciones trigonométricas básicas

Identidad fundamental de la trigonometría

Relación entre el seno, coseno y tangente

Relación trigonométrica entre la tangente y la secante

Relación trigonométrica entre la cosecante y la cotangente

Ángulos complementarios Seno del ángulo complementario:

Coseno del ángulo complementario:

Tangente del ángulo complementario:

Cosecante del ángulo complementario:

Secante del ángulo complementario:

Cotangente del ángulo complementario:

Ángulos suplementarios Seno del ángulo suplementario:

Coseno del ángulo suplementario:

Tangente del ángulo suplementario:

Cosecante del ángulo suplementario:

Secante del ángulo suplementario:

Cotangente del ángulo suplementario:

Ángulos conjugados Seno del ángulo conjugado:

Coseno del ángulo conjugado:

Tangente del ángulo conjugado:

Cosecante del ángulo conjugado:

Secante del ángulo conjugado:

Cotangente del ángulo conjugado:

Ángulos opuestos Seno del ángulo opuesto:

Coseno del ángulo opuesto:

Tangente del ángulo opuesto:

Cosecante del ángulo opuesto:

Secante del ángulo opuesto:

Cotangente del ángulo opuesto:

Ángulos que difieren 90º Seno del ángulo que difiere 90º:

Coseno del ángulo que difiere 90º:

Tangente del ángulo que difiere 90º:

Cosecante del ángulo que difiere 90º:

Secante del ángulo que difiere 90º:

Cotangente del ángulo que difiere 90º:

Ángulos que difieren 180º

Seno del ángulo que difiere 180º:

Coseno del ángulo que difiere 180º:

Tangente del ángulo que difiere 180º:

Cosecante del ángulo que difiere 180º:

Secante del ángulo que difiere 180º:

Cotangente del ángulo que difiere 180º:

Transformaciones de razones trigonométricas Suma en producto

Producto en suma

Razones trigonométricas del ángulo suma Seno del ángulo suma:

Coseno del ángulo suma:

Tangente del ángulo suma:

Razones trigonométricas del ángulo resta Seno del ángulo resta:

Coseno del ángulo resta:

Tangente del ángulo resta:

Razones trigonométricas del ángulo doble Seno del ángulo doble:

Coseno del ángulo doble:

Tangente del ángulo doble:

Razones trigonométricas del ángulo mitad Seno del ángulo mitad:

Coseno del ángulo mitad:

Tangente del ángulo mitad:

Razones trigonométricas del ángulo triple Seno del ángulo triple:

Coseno del ángulo triple:

Tangente del ángulo triple:

Teorema del senoEl teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:Cada costado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto(A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Teorema del cosenoEl teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.Teorema de la tangenteEl teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

TEOREMAS TRIGONOMÉTRICOSTeorema del senoEl teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:Cada costado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto(A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Teorema del cosenoEl teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.Teorema de la tangenteEl teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASLas razones trigonométricas del ángulo suma (α+β), resta (α-β), doble (2α), mitad (α/2) y triple (3α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.Razones trigonométricas del ángulo suma

Seno del ángulo suma:

Coseno del ángulo suma:

Tangente del ángulo suma:

Razones trigonométricas del ángulo resta Seno del ángulo resta:

Coseno del ángulo resta:

Tangente del ángulo resta:

Razones trigonométricas del ángulo doble Seno del ángulo doble:

Coseno del ángulo doble:

Tangente del ángulo doble:

Razones trigonométricas del ángulo mitad Seno del ángulo mitad:

Coseno del ángulo mitad:

Tangente del ángulo mitad:

Razones trigonométricas del ángulo triple Seno del ángulo triple:

Coseno del ángulo triple:

Tangente del ángulo triple: