4.2 funções densidades con2nuas -...

4.2FunçõesDensidadesCon2nuas

DensidadeExponencialAdensidadeexponencialéu:lizadacomumenteparaestabelecer

estruturasdeprobabilidadesemexperimentoscujoseventosestãosituadosnaretareal[0,∞].Umaaplicaçãogeralecomumcorrespondeàrepresentaçãooumodelagemdeexperimentosassociadosàvidaú:ldeobjetosouduraçãodeocorrências

DadensidadeGama,fazendoα=1,reparametrizandoβ=θ,obtém-searepresentaçãodadensidade

exponencial:parâmetro:θ>0

( )( ) ββ

βββ /x/x e

.ex,;xf

−−−

=Γ

==1

11

11

( ) ( ) ( )xIe;xf ,

/x

∞

−

= 0θθ

θ

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeExponencialMédiaeVariância:Resolvendoporpartes,Assim:Prova:exercícioparacasa.

( ) ( ) dxexdx;xfxXE /x θ

θθ −

∞∞

∫∫ ==1

00

( )∫ ∫−= vduuvudv

θθ θθθ

/x/x evdxedv

dxduxu

−− −=⇒=

=⇒=1

( )0

00 0

∞−=+

∞−= −−

∞−

∫θθθ θ

θθ /x/x/x edxexeXE

( ) θ=XE

( ) 2θ=XVar


Ex.:4.8(M.c.4)Tempomédiodevidaú:ldeumequipamento=500horasQualaprobabilidadedoequipamentofuncionarporaomenos1000horas?U:lizandoumdensidadeexponencialcomedefinindoavariávelaleatóriaX:tempodeduraçãodoequipamento,busca-seconhecer:( ) 500==θXE

P X ≥1000( ) = 1θe−x/θ

1000

∞

∫ dx =0

∞

∫ 1500

e−x/500dx = − 500500

e−x/500 ∞1000

=

( ) 13530110002

,e

XP =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=≥


DensidadeQui-QuadradoADensidadeQui-Quadradoéumadasfamíliasdedensidadetambém

derivadadaDensidadeGamacujapar:cularidademaisproeminenteestánasuaassociaçãocomaDensidadeNormale,assim,napossibilidadedesuau:lizaçãofrequenteemaplicaçõesdetestesdehipótesesees:maçãodeintervalosdeconfiança.

Formalmente,daDesnsidadeGama,,redefinindoosparâmetrosdeformaque:,épossívelobter:

( )( ) α

βα

βαβα

.ex,;xf

/x

Γ==

−−1

22 == βα e/v

( )( )

( )( )

( )

( ) 2

212

2

212

222222

/v

/x/v

/v

/x/v

./vexv;xf

./vex,/v;xf

Γ==⇒

Γ==

−−−−

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasOuseja,Densidade:Parâmetro:,inteiro.Oparâmetrovéreferidocomo“grausdeliberdade”dadistribuição,o

que,comoveremos,estáassociadoaonúmerodedensidadesNormal(padronizadas)cujasomapodeserrepresentadaporumaDensidadeQui-Quadrado.

MédiaeVariância:Resolvendoporpartes:

( )( )

( ) 2

212

22 /v

/x/v

./vexv;xf

Γ==

−−

0>v

( )( )

( ) ( )( ) dxex

/vdx

./vexxXE /x/v

/v/v

/x/v22

022

212

0 221

22−

∞−−∞

∫∫Γ

=Γ

=

( )∫ ∫−= vduuvudv( )

22

122

22

/x/x

/v/v

evdxedv

dxxvduxu

−−

−

−=⇒=

=⇒=


Como,jáquedaDensidadeGama,então:Exercícioparacasa:mostrarque

( )( )

( )

( )

( )222

20

2

221

2

122

0

22

22

02 /v

.dxxvexedxex

/vXE

/v

/v/x/v/x

/x/v/v Γ

+∞

−

=Γ

=

−−∞

−

−∞ ∫∫

( )( )

( )22 2

122

0

/v

.dxxevXE /v

/v/x

Γ=

−−∞

∫

( ) ( )22 2122

0/vdxxe /v/v/x Γ=−−

∞

∫

( )

( )1

22 2

122

0 =Γ

−−∞

∫

/v

.dxxe

/v

/v/x

( ) vXE =

( ) ( )( )

( )vdx

./vexvxXVar

/v

/x/v

222 2

212

0

2 =Γ

−=−−∞

∫


DensidadeQui-QuadradoDenotação:HáduasimportantespropriedadesdadensidadeQui-Quadradoquedevem

serdestacadas:i)Sesãokvariáveisaleatóriasindependentescomdensidades

Qui-Quadradocom,respec:vamente,grausdeliberdade(parâmetros)dadospor,então:

onde.Prova:exercícioparacasa(usarpropriedadedaDensidadeGama).

( )2v~X χ

kX,......,X1

kv,......,v1

( )2

1v

k

ii ~XY χ∑

=

= ∑=

=k

iivv

1


DensidadeQui-Quadradoii)Assumaquesãoduasvariáveisaleatóriasindependentes,

ondeetemdensidadeQui-Quadradacomgrausdeliberdade.EntãotemdistribuiçãoQui-Quadradocomgrausdeliberdade.Prova:exercícioparacasa(usarpropriedadedaDensidadeGama).Observação:Emaplicaçõesdetestesdehipóteses,emgeral,háinteresseemse

conheceroslimitessuperioreinferior,respec:vamente,hel,taisquee,onde.

21 XeX( )2

1 1v~X χ 21 XXY += 1vv >

2X

1vv−

( ) α=≥ hxP ( ) α=≤ lxP ( )10,∈α


Emgeral,.Aprobabilidadedestes

eventos,comoassociadopodeserencontradaemtabelasconstruídasparaadensidade.

Note-sequeoslimiteshelpodemencontradossolucionando-seasequações:

1000500250010 ,,,,,,, ==== ααααα

( )2vχ

( )

( )

( )

( )αα =

Γ=

Γ

−−−−∞

∫∫ dx./vexedx

./vex

/v

/x/vl

/v

/x/v

h2

212

02

212

2222

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasEx.4.9:Assumaque.Obtenhaentãoosvaloresdeheltaisque.NatabeladaQui-Quadradocomv=25eα=0,05épossívelnotarque:,assim:

( )225χ~X

( ) ( ) 050,lxPhxP =≤=≥

( ) 652537050652537 ,h,,xP =⇒=≥

( ) ( ) 0501 ,lxPlxP =≥−=≤

( ) 6114149500501 ,l,,lxP =⇒=−=≥

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeNormalPassíveldeseru:lizadaparamodelarumagrandevariedadedeestruturasde

probabilidadevariáveisaleatórias,aDensidadeNormaléadensidademaisu:lizadaemtrabalhosaplicados.

Trêsrazõessão,emgeral,u:lizadaparajus:ficarseuusofrequente:suatratabilidadeanalí:ca,seuformatosimétricoemtornodamédiaefácilcaracterizaçãoemtermosdedamédiaevariânciaeofatode,sobdeterminadascondições(TeoremadoLimiteCentral),poderseru:lizadacomoaproximaçãoparadiferentesdistribuiçõesemgrandesamostras.

Formalmente,taldensidadeédadapelafunção:Parâmetros:e.Notação:

( )2

21

21 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

= bax

eb.

b,a;xfπ

( )∞∞−∈ ,a 0>b

( )2b,aN~X


DensidadeNormalUmresultadobastanteú:larespeitodaDensidadeNormaléoseguinte:Se,então.Paramostraresteimportanteresultado,note-seque:Usandoofatodeque,Subs:tuindo,agora,:

( )2b,aN~X ( ) ( )10,N~baXZ −

=

( ) ( ) ( )azbXPzbaXPzZP +≤=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛≤

−=≤

( )2b,aN~X

( ) ( ) dxeb.

azbXPzZPazb

bax

∫+

∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

=+≤=≤

2

21

21π

( ) ( )( )dxb/dtb/axt 1=⇒−=

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeNormalOqueindicaadensidadeparaZouque,ouaindaqueZtemumaDensidadeNormalPadronizada(DensidadeNormalcoma=0eb=1).

( )( )

===≤ ∫∫

−+

∞−

−+

∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− b

aazb

tazbbax

bdteb.

dxeb.

zZP2

2

21

21

21

21

ππ

( )∫∞−

−=

z tdte

221

21π

( )( )221

2110

te,;zg−

=π

( ) ( )10,N~baXZ −

=


DensidadeNormalMédiaeVariância:Como,.Assim:Como,então:.Logo:

( ) aZbXbaXZ +=⇒

−= ( ) ( ) aZbEXE +=

( )( )

∫∞

∞−

−= dze.zZE

z 221

21π

( )

( )2

2

21

21

z

z

zedz

ed−

−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) ( )( )

( ) 000211

21 2

21

=−−=∞−

∞−=

−

ππ

zeZE

( ) µ==+= aabXE 0

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasDensidadeNormalParaobteravariânciadeX,perceba-sequecom,.ParaobteravariânciadeZ,note-seque:..Resolvendoporpartes:,jáqueéDensidadeNormaldeZ.

( ) aZbXbaXZ +=⇒

−=

( ) ( )ZVarbXVar 2=

( ) ( ) ( ) ( )222 ZEEZZEZVar =−=

( ) ( )∫∞

∞−

−= dze.zZE

z 221

22

21π

22 22 /z/z evdzzedv

dzduzu−− −=⇒=

=⇒=

( ) ( ) ( ) ( )=+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∞−

∞−= ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−−dzedzezeZE

zzz 22221

21

21

2

210

21

ππ

( ) 1102 =+=ZE ( )221

21 ze−

π


Assim,.Oquepermiteperceberque:Adenotaçãogeneralizadaé.Oprocessodetransformaçãodeumavariávelaleatóriaem

umaoutravariávelaleatóriaNormalPadrãoéimportantenasaplicaçõesumavezquepermiteassociareventosparaXaeventosemZ.

Maisespecificamente,seAéumeventoassociadoaX,entãoa

probabilidadedeocorrênciadeA,P(A),ob:daapar:rdadensidadeéequivalenteàprobabilidadedeocorrênciadeB,P(B),ob:da

apar:rdadensidade,onde.

( ) ( ) 12 == ZEZVar

( ) ( ) 222 σ=== bZVarbXVar

( ) ( )102 ,N~Ze,N~X σµ

( )2σµ,N~X( )10,N~Z

( )2σµ,;xf( )10,;zg ( )

σµ−

=xz


DensidadeNormalEx.4.10:(M.c.4)Consumodegasolinaeeficiênciadeumcarro.X:milhasoukmporgalão,comassumidaDistribuiçãoNormalcom.Ouseja,.Qualaprobabilidadedeumcarrofazerentre16e19milhasporgalão?EmtermosdeumavariávelcomDensidadeNormalPadrão,aindagaçãoé:OndeF(z)éafunçãodedistribuiçãoacumuladadeZ.DatabeladaDistribuiçãoNormalPadronizada:

5017 ,e == σµ ( )25017 ,,N~X

( ) ou,,

x,

PxP ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤

−≤

−=≤≤

501718

5017

5017161816

( ) ( ) ( ) ( )22221816 −−=≤≤−=≤≤ FFzPxP

( )( )

97720212

221 2

,dteFt

== ∫∞−

−

π


DensidadeNormalPelasimetria:Oquepermiteobter:Teorema4.1Se,entãotemdensidade,ouseja,.Prova:exercícioparacasa.AprovafazusodaassociaçãoentreaFunçãoGeradoradeMomentos

(FGM)eafunçãodensidade.Especificamente,paradensidadeGama,aFGMéob:dafazendo:

( ) ( ) 02280977201212 ,,FF =−=−=−

( ) ( ) 954400228097720221816 ,,,zPxP =−=≤≤−=≤≤

( )10,N~X 2XY = ( )21χ ( )

21

2 χ~XY =

( ) ( )( ) ( )

=Γ

=Γ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−∞

−−∞

∫∫ dxex..

dxex.e.

eEtMxt

/xtxtxX

βαα

βαα βαβα

11

0

1

0

11

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNotando,agora,queparaaebconstantesposi:vas,éumdensidadeGama(a,b),tem-seque:.Assim,épossívelfazer:Que,subs:tuindomaFGMdaDensidadeGamaacima,gera:

( ) ( )( ) ( )

=Γ

=Γ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−∞

−−∞

∫∫ dxex..

dxex.e.

eEtMxt

/xtxtxX

βαα

βαα βαβα

11

0

1

0

11

( )( )

dxex..

tM t/x

X⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−∞

∫Γ

= ββ

ααβα

11

0

1

( )( )

b/xaa exb.a

b,a;xf −−

Γ= 11

( )oudxex

b.ab/xa

a∫∞

−− =Γ0

1 11 ( )∫∞

−− Γ=0

1 ab/xa b.adxex

( )α

ββ

α

ββ

α ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−Γ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−∞

∫ t.dxex. t

/x

111

0


ePermitemobter:Ouseja,paraumaDensidadeGama(a,b):Para,éinfinitaenãoexiste.NocasodaDensidadeQui-Quadrado,e.Assim:

( )( )

dxex..

tM t/x

X⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−∞

∫Γ

= ββ

ααβα

11

0

1( )

αββ

α

ββ

α ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−Γ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−∞

∫ t.dxex. t

/x

111

0

( ) ( )( )

βββ

β

βα

ααα

α/tpara

tt..tM X 1

11

1<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−Γ

Γ=

( ) ββ

α

/tparat

tM X 111

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

β/t 1≥ ∫∞ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⇒<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

11011 dxex

xtβα

β( )tM X

2/v=α 2=β


,epara:.Come,aFunçãoGeradoradeMomentosdeYédadapor:Masnote-seque.Oquepermitefazer:

( )2

211 /v

X ttM ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= ( )21χ ( ) 21

211 21

/t,t

tM/

X <⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

( )10,N~X 2XY =

( ) ( ) ( ) dxe.eeEeEtM /xtxtxtyY

2222

21 −

∞

∞−∫===

π( )

( )( )

( )=

−−==

−−∞

∞−−

−−−∞

∞−∫∫ dxe.

t.tdxe.

tx

//tx

212

212121

2

22

221121

21

ππ

( )( )

( ) dxe.t

.t/t

x

//

2

212121

2121

221121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−∞

∞−−

− −

∫−

−=π

( )( ) ( )( ) 1210

2211 1212

1

21

2

21=−=

−∫∫∞

∞−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−∞

∞−−

−

dxt,Ndxe.t

/t

x

/ π

( ) ( ) 2121121

2121 /t,

tttM

//

Y <⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−= −

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasQuecorrespondeaFunçãoGeradoradeMomentosdeuma.Logo,.Teorema4.2:Sejamvariáveisaleatóriasindependentescomdensidades

NormalPadrão().Então,ousejatemdistribuiçãoQui-Quadradocom“n”grausdeliberdade.Prova:aprovafazusodoseguinteresultadoparavariáveisaleatórias

independentes:

( ) 21211 21

/t,t

tM/

Y <⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

( )21χ

( )21

2 χ~XY =

nX,......,X1( )10,N~X i ( )

2

1

2n

n

ii ~XY χ∑

=

=

∑=

=n

iiXY

1

2

( ) ( )tMtMXYn

iXY

n

ii i∏∑

==

=⇒=11

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNocasodoTeorema4.2,.MascomofoivistonoTeorema4.1,,com.Logo,com,Oqueindicaque.ComoocorrecomaDensidadeQui-Quadrado,aDensidadeNormalé

bastanteú:lnarealizaçãodetestesdehipótesesarespeitodevaloresdeparâmetros.

∑=

=n

iiXY

1

2

( )21

2 χ~X i ( )21

211

2

/

X ttM

i⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

∑=

=n

iiXY

1

2

( ) ( ) ( ) ( ) 2121211

221

12 /t,tttMtM

n

i

/n/n

iXYi

<−=−== ∏∏=

−−

=

( )2n~Y χ

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNestesen:do,ésempreú:lconhecerosvaloreslimitessuperior,h,e

inferior,l,paradadoα:e

( ) ( )hFdxehxP

xh

−==−=≥

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

∞−∫ 1

21

2

21

ασπ

σµ

( ) ( )lFdxelxP

xl

===≤

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

∞−∫ α

σπ

σµ

2

2

21

4.2FunçõesDensidadesCon2nuasNaprá:ca,aobtençãodesteslimiteseaprobabilidadedesteseventos

associadoséfeitau:lizandoastabelasparaocasodaDensidadeNormalPadronizada,oqueexigeapadronizaçãodeX:

TabeladaNormalPadrão

( ) ( )σµ

σµ

σµ −

=≤=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤

−=≤

llondelzPlxPlxP **

( ) ( )σµ

σµ

σµ −

=≥=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≥

−=≥

hhondehzPhxPhxP **

0,00 0,01 . 0,05 .

0,0

0,1

.

1,9 0,9744

.


Ondeasentradasfornecemaseguinteprobabilidade:Ex.4.11(M.c.4)Com,obter.

( ) 9744022

22

29512,dtezzPdte

t,

'

tz ,

=⇒≤=

−

∞−

−

∞−∫∫

ππ

( )42,N~X ( )295,XP ≥

( ) ( )645122295

22295 ,zP,xP,xP ≥=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≥

−=≥

( ) 05095050164511 ,,,zP =−=≤−=

4.2 funções densidades con2nuas -...

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