3ra practica de calculo 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE ELECTRICA Y ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE ING. ELECTRONICA

TEMA : PRACTICA N03.

PROFESOR : RAUL CASTRO VIDAL.

CURSO : CALCULO III

NTEGRANTES

ALUMNO CODIGO

1 ALVAREZ CHAUCA HAROLD STEEP 1313220418

2 CUARESMA URBANO JOHNN 1313220641

3 JAIMES PLASENCIA FELIPENE PEDRO 1313210019

4 LLIUYACC LEON EDWARD 1313220623

5 PARRAGA SANDOVAL LUIS 1313220445

6 QUISPE CANCHARI CHRISTIAN 1223220428

7 QUISPE PACHECO FRANK CHRISTOPHER 1223220099

BELLAVISTA CALLAO

2014


2

PREGUNTA 1

Sean 1 2 3, , , ...., nc c c c curvas de Jordan regulares a trozos, satisfaciendo:

(i) Dos curvas cualesquiera no se cortan.

(ii) Todas las curvas 1 2 3, , , ...., nc c c c estn en el interior de 1c .

(iii) Cada ic est en el exterior de jc (i j; i; j = 2, 3,4,, n).

Si R es la unin de 1c que no est dentro de ninguna jc ( j = 2, 3,4,, n) y son de clase

(1)c en un

abierto S que contiene a R , demuestre que

12

j

n

jR c c

Q PdA Pdx Qdy Pdx Qdy

x y

Donde 1c y jc (j = 2, 3,4,, n) sentidos contrarios al movimiento de las manecillas de un reloj.

SOLUCION

Del teorema de Green sabemos:

+ = (

) = (

)

. . ()

Para todo los campos = (, ) de clase C1 sobre S que contiene a R, de esto sale le

equivalente de las dos expresiones:

= . (1)

= (2)

para probar la expresin (1); la limitaremos por las grficas de dos funciones y = f(x),

y=g(x), con f g. Es decir, supondremos en primer lugar que donde f y g son funciones

reales de clase C1.ahora encadenaremos cuatro caminos de la siguiente forma:

C = C1 + C2 C3 C4

donde, C1 est parametrizado por 1(t) = (t,f(t)), a t b; C2 lo esta por 2(t) = (b,t),

con f(b) t g(b); C3 es 3(t) = (t,g(t)), a t b; y C4 viene dado por 4(t) = (a,t), f(a)

t g(a). Ntese que, a lo largo de C2 y de C4, x = x(t) es constante, luego dx = 0 sobre


3

estos caminos, mientras que sobre los caminos restantes es dx=1. Entonces se tiene

que

= 1

+ 2

=43

1

=3

(, ()) (, ())

Luego por fubini y el teorema fundamental del calculo.

= [

] =

()

()

[(, ()) (, ())]

= (, ()) (, ())

= . (1)

Probemos la expresin (2), limitada por dos funciones, x = (y), x = (y), con . que donde

f y g son funciones reales de clase C1.ahora encadenaremos cuatro caminos de la siguiente

forma:

C = C1 + C2 + C3 C4

donde C1 est parametrizado por 1(t) = ((t),t), c t d; C2 es 2(t) = (t,c), con (c) t (c);

C3 es 3(t) = ((t),t), c t d; y C4 es 4(t) = (t,d), con (d) t (d). A lo largo de C2 y de C4, y =

y(t) es constante, luego dy = 0 sobre estos caminos, mientras que sobre los caminos

restantes es dy=1. Entonces se tiene que:

= 1

+ 2

+ =43

1

+ =3

((), ) ((), )

Anlogamente al anterior:

= [

] =

()

()

[((), ) ((), )]

= ((), ) ((), )


4

=

El siguiente paso consiste en establecer la validez para toda regin C que pueda

descomponerse como la unin de C1; C2; C3;..; Cn

=

=1

Aplicaremos la formula () en cada regin Ci y sumar todas las igualdades correspondientes

para obtener lo siguiente:

(

)

= (

)

=1

= +

=1

Como R es la unin de C1 que no est dentro de ninguna Cj (j=2, 3, 4,.., n) nos queda la

expresin por demostrar.

(

)

= +

1

( +

)

=2

PROBLEMA 2


5

Solucin: sea la integral .

=

Y sea = (, , ) + (, , ) + (, , )........ =

+

+

(, , ) = cos

=

(, , ) = 2

2 . . . .

=

(, , ) = . .

= 1

=

+

+

= + + 1 = 1()

(). . . .

=

= 1

El cilindro de radio r=1 est limitado por los planos = 0, = 1 +

. = 0, = 1 + . . . ()

() . .

= 1

= ( )=1+

=0

1

0

2

0

.

= (1 + )1

0

2

0

= (2

2+

3

3)10

2

0

.

= (1

2+

3)

2

0

= (

2

3)20

= (2

2

2

3) (

0

3)

.

=

PROBLEMA 3

Defina una superficie orientable y de un ejemplo de superficie no orientable, muestre

grficamente.


6

SUPERFICIES ORIENTADAS

La definicin de las integrales de superficie de campos vectoriales involucra el concepto

de superficies orientadas o superficies orientables, que son superficies en las que se

pueden identificar dos caras o lados, en aquellas superficies en las que se identifica un

solo lado se denominan como superficies no orientables.

Una superficie S es una superficie orientada si existen, para un mismo punto ( x, y, z)

perteneciente a la superficie S, dos vectores normales n1 y n2 , uno por cada una de las

caras de la superficie S, que son colineales y opuestos entre s, es decir, n1 = n2 . En

donde n1 es una funcin continua para cada todos los puntos ( x, y, z) ubicados sobre la

superficie, es decir, que el vector n1 est variando continuamente sobre toda la superficie

S, excepto, quizs, en un nmero finito de puntos en su frontera, puntos que se

denominan como puntos singulares de la superficie; por tanto se definen dos

orientaciones para cualquier superficie orientable, una al tomar un vector unitario n1

sobre un punto ( x, y, z )perteneciente a la superficie S, y otra cuando se toma al vector

unitario n2 , como se muestra en la Figura 1. La eleccin de la orientacin de una

superficie, es para permitir la distincin entre una direccin y la otra, ya que una de ellas

se va a identificar como la orientacin positiva de la superficie.


7

Cuando la superficie S est definida de manera explcita por la expresin z= f(xy) el vector

normal unitario determina una orientacin de la superficie S que viene dada por la

expresin

Al observar este vector, se puede decir que la superficie S tiene una orientacin hacia

arriba, al observar que la componente en la direccin del eje z es positiva.

Si S es una superficie suave orientable, dada en forma paramtrica por una funcin

vectorial:

Entonces en este caso una orientacin para esta curva vendra dada por en vector normal

unitario


8

y n definira la orientacin opuesta. El concepto de superficies orientables es aplicable

tanto a superficies cerradas como a superficies no cerradas. Por convencin cuando S una

superficie cerrada, es decir, que la superficie S es la frontera de una regin slida B, con 3

B , se ha establecido que la orientacin positiva es el lado de la superficie en la que

los vectores normales sealan hacia fuera de la regin slida B, mientras que la superficie

cuyas normales apunten hacia el interior de la regin B, indican la orientacin negativa de

la superficie S.

Como contraejemplo de superficies orientables, por ejemplo, observamos en la Figura 2,

la cinta de Mbius, en la cual se observa que la misma tiene un solo lado, es decir, no es

una superficie orientable. Es posible construir esta cinta tomando una tira rectangular

larga y delgada de papel, darle media vuelta y unir sus extremos. Al hacerlo, si se traza una

lnea de color a lo largo de la cinta terminaremos en el punto en el que se inicio la lnea.


9

La superficie S: 3x+2y+z=6

Aplicando teorema de Stokes:

=

+ 2 +

= (2,0,1)

N=

=

(3,2,1)

32+22+12=

(3,2,1)

14

= 32 + 22 + 12

- () = (2,0,1)(3,2,1)14

14

- (6 + 0 + 1) FIGURA 3

- 7

- 73

3

20

2

0

-


10

PROBLEMA 5

FIGURA 4

Por el teorema de gauss sabemos

= ( )

= 2 + 2 + 0

Pero por dato tenemos que

2 + 2 = 1 = 1


11

Por coordenadas cilndricas

11

1

1

0

2

0

21

0

2

0

12 02 = 22

0

PROBLEMA 6

1. . ( + ) = . + . Sea: = (,, ) = (, , )

. ( + )=(

,

,

) . (,, ) + (

,

,

) . (, , )

. ( + )=(

+

+

) + (

+

+

)

. ( + )=(

( + ) +

( + ) +

( + ))

. ( + )=(

,

,

) . ( + , + , + )

. ( + )=(

,

,

) . ((,, ) + (, , ))

. ( + )= . ( + )

2. . () = (. ) + (). Sea: :

. () = (

+

+

) + (

,

,

) . (,, )

. () = (

+

+

) + (

+

+

)

. () = (

+

) + (

+

) + (

+

)

. () = (()

+

()

+

()

)

. () = (

,

,

) . (,, )

. () = (

,

,

) . ((,, ))

. () = . ()


12

3. () = ( ) + ()

( ) + () = ((,, ))

( ) + () = (,, )

( ) + () = ||

||

= (()

()

,()

()

,()

()

)

= (

+

,

+

,

+

)

= (

,

,

) + (

,

,

)

= (|

|) + |

|

= ((

,

,

) (,, )) + (

,

,

) (,, )

( ) + () = ( ) + ()

4) .( ) = ( ). + ( ).

Demostracin:

= (,, ) siendo M,N,P,A,B,C funciones escalares

= (, , )


13

= | M N PA B C

|= ( ) ( )j + ( )

Donde:

.( ) = (

,

,

) . ( , + , )

=

+

+

Por la propiedad de la derivada de un producto de funciones escalares:

=

+

+

+

+

+

Ordenando convenientemente:

= (

+

+

) + (

+

+

)

=(, , ). [(

) (

) + (

) ] (,, ). [(

) (

) +

(

) ]

= . ( ) ( ).

5) ( ) =

Demostracin:

= (

,

,

) , = (

,

,

)

( ) = ||

|| =

=[(

)

(

)

] [

(

)

(

)

] + [

(

)

(

)

]

=0 + 0 + 0 = 0


14

6) . ( ) =

Demostracin:

4 :

= . ( ) ( ).

:

=

=

. ( )=(). ( ).

. ( )=( ).

=

:

. ( ) = 0

3ra practica de calculo 3

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