• Con frecuencia los investigadores estudianfenómenos que se expresan como porcentajes

• Por ejemplo:

– En mercadotecnia a menudo se estudia quéproporción de entrevistados “prefieren la marca A”

– En comparación con los que “prefieren la marca B”

– O los que son leales a la marca”, en comparacióncon quienes no lo son

3.5 Hipótesis sobre proporciones

• Cierto banco importante llevó a cabo una encuestaentre 500 clientes

• Detectó que una proporción ligeramente mayor del74% tenía ingresos familiares superiores a los 50 000dólares al año

• La compañía desea desarrollar un paquete especialde servicios para este grupo si los datos son reales

• La gerencia quiere determinar si el porcentajeverdadero es mayor del 60% antes de desarrollar eintroducir el paquete de servicios

Prueba de una proporción con una muestra (EJEMPLO)

• Los resultados de la encuesta indican que el 74.29 % de los clientes encuestados reportaron que sus ingresos familiares eran de 50 000 dólares o más al año

• A continuación se describe el procedimiento para la prueba hipotética de proporciones:

• Hipótesis nula H0: P >= 60

• Hipótesis alterna Ha: P> 60, donde (P =proporción de clientes con ingresos familiaresde 50 000 dólares o más al año)

Se especifican la hipótesis nula y la hipótesis alterna:

• Para a = .05, el valor tabulado de Z (valorcrítico) = 1.64

• Consulte la tabla paragl = ∞ significado de .05, una cola

• Se emplea la tabla de la t porque t = Zpara muestras mayores de 30

Se establece el nivel de error de muestreo (valor a) permitido

Se calcula el error estándar estimado empleando el valor P especificado en la hipótesis nula:

P = proporción específica en la hipótesis nula

n = Tamaño de muestra

Se calcula la prueba estadística como sigue:

• Se rechaza la hipótesis nula porque el valorcalculado para Z es mayor que el valor crítico de Z

• El banco puede concluir con una confianza del 95%(1 - a = 0.95) que mas del 60% de sus clientestienen ingresos familiares de 50,000 dólares o más

• Por lo tanto, la gerencia decide introducir unpaquete de servicios dirigido a este grupo

CONCLUSIÓN:

• En muchos casos la gerencia se interesa en ladiferencia entre las proporciones de personas de dosgrupos distintos que participan en determinadaactividad o tienen ciertas características

• Por ejemplo, según un estudio de investigación, lagerencia de una cadena de tiendas de convenienciasupone que el porcentaje de hombres que las visitannueve o más veces al mes (usuarios fuertes) es másalto que el porcentaje de mujeres que hacen lomismo

Prueba de diferencias entre dos proporciones con muestras independientes

• Se enuncian la hipótesis nula y la hipótesisalterna de manera formal como sigue:

– Hipótesis nula H0: Pm - Pf ≤ 0, la proporción dehombres (Pm) que reporta nueve o más visitas al meses la misma o menor que la proporción de mujeres(Pf) que reporta nueve o más visitas al mes

– Hipótesis alterna Ha: Pm - Pf > 0, la proporción dehombres (Pm) que reporta nueve o más visitas al meses mayor que la proporción de mujeres (Pf) quereporta nueve o más visitas al mes

Especificaciones necesarias y procedimiento para probar hipótesis

Las proporciones para la muestra y la diferencia se toman de esta tabla:

Visita de mujeres a la tienda de conveniencia Visita de mujeres a la tienda de conveniencia

Número

Xm

Frecuencia

fm %

%

Acumulativo

Número

Xf

Frecuencia

ff %

%

Acumulativo

2 2 4.4 4.4 2 5 7.0 7.0

3 5 11.1 15.6 3 4 5.6 12.7

5 7 15.6 31.1 4 7 9.9 22.5

6 2 4.4 35.6 5 10 14.1 36.6

7 1 2.2 37.8 6 6 8.5 45.1

8 2 4.4 42.2 7 3 4.2 49.3

9 1 2.2 44.4 8 6 8.5 57.7

10 7 15.6 60.0 9 2 2.8 60.6

12 3 6.7 66.7 10 13 18.3 78.9

15 5 11.1 77.8 12 4 5.6 84.5

20 6 13.3 91.1 15 3 4.2 88.7

23 1 2.2 93.3 16 2 2.8 91.5

25 1 2.2 95.6 20 4 5.6 97.2

30 1 2.2 97.8 21 1 1.4 98.6

40 1 2.2 100.0 25 1 1.4 100.0

Total nm = 45 nf = 71

Se establece el nivel de error de muestreo

• Para a = .10

• El valor tabulador de Z (valor crítico) 1.28(Consulte la tabla 3 del Apéndice para gl = ∞,significado del .10, dos colas (por decisión dela gerencia)

• Se usa la tabla de la t porque t = Z paramuestras mayores de 30)

Se fija el nivel de error de muestreo a en .10 (por decisión de la gerencia)

El error estándar estimado para las diferencias entre las dos proporciones se calcula como

sigue:

Se calcula el valor estadístico de prueba

• Se rechaza la hipótesis nula porque el valorcalculado para Z (1.60) es mayor que el valorcrítico de Z (1.28 para a = .10)

• La gerencia puede concluir cori confianza del90 por ciento (1 - a = .90) que la proporciónde hombres que visitan las tiendas deconveniencia nueve o más veces al mes esmayor que laproporción de mujeres que lo hacen

CONCLUSIONES:

• Conviene observar que si el nivel de error demuestreo se hubiese fijado en a = .05, elvalor crítico de Z sería igual a 1.64

• En este caso, no se rechazaría la hipótesis nulaporque el valor Z (calculado) sería máspequeño que el valor Z (crítico).