3- equilibrio del c.r. - coplanares

Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido

3- Equilibrio del Cuerpo Rígido (Sistemas Coplanares) JOSÉ BENJUMEA ROYERO Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil


3. Equilibrio de cuerpos rígidos 3.1 Diagrama de cuerpo libre. 3.2 Equilibrio en el plano. Reacciones en apoyos y conexiones de una estructura bidimensional. 3.3 Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales en cuerpos rígidos. 3.4 Equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas. Equilibrio de un cuerpo sometido a tres fuerzas. . . .

Contenido


Equilibrio de Cuerpo Rígidos

http://www.modelmotor.es/tienda-a/13-801066/ficha/Grua-Torre-Wolff-7532-cross-187-Ros-Agritec.html

W1

P

Q

W3

W2

T1

T2

W4

Reduciendo las fuerzas externas a un sistema fuerza-par en O

O


º

W1

P

Q

W3

W2

T1

T2

W4

Separando el C.R. del suelo

O


SISTEMA R* Y MR* EQUIVALENTE EN O


º O


El sistema estará en equilibrio sí: R*=0 y MR*=0

ΣFx=0, ΣFy=0, ΣFz=0

ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0


¿Qué aprenderemos en esta parte del curso? - Diagrama del cuerpo libre - Tipos de restricciones - ¿La estructura está apoyada apropiadamente? - ¿La estructura puede ser calculada mediante la estática? - Establecer las condiciones para que un estructura esté en equilibrio

Equilibrio Coplanar

Equilibrio NO Coplanar


3.1 Diagrama de Cuerpo Libre (1) Identifique el C.R. separarlo del suelo, de las uniones, apoyos y de otros cuerpos (2) Identifique y dibuje todas las fuerzas externas

Fuerzas aplicadas y reacciones Incluya el peso Si el C.R. está formado por varias partes no incluya las fuerzas que esas partes ejercen entre

sí. Lo anterior, siempre que estudie el equilibrio del cuerpo rígido completo

cable

(3) Determine la magnitud y dirección de las acciones conocidas (Fuerzas y Momentos) (4) Identificar las fuerzas desconocidas (generalmente son las restricciones) (5) Verificar que el D.C.L tenga las dimensiones necesarias !Dibuje el sistema de referencia!


3.2 Equilibrio Coplanar 3.2.1 Tipologías de Reacciones (Restricciones)

Tomado de [Meriam & Kraige, 2002] Engineering Mechanics STATICS, fifht Edition, Jhon Wiley & Sons.



+ torsion Spring


Simplified seismic analysis procedures for elevated tanks considering fluid–structure–soil Interaction (R. Livaoğlua, , , A. Doğangünb, ) http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0889974606000041#gr1

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0889974606000041







Estática- Equilibrio del Cuerpo Rígido 12


Apoyo en puente San Francisco – Oakland Bay


Apoyo en puente peatonal Metrolínea – Estación Hormigueros


Apoyo cubierta – Aeropuerto El Dorado


Roller Support Fuente: http://ceephotos.karcor.com/2011/09/23/roller-support/


Roller Support


Roller Support Fuente: http://minnesota.publicradio.org/display/web/2009/03/25/bridgecollapse_update/


Elastomeric Support Puente de vía ferroviaria AHK11

Fuente: http://www.zt-ron.at/es/proyectos/puente-ahk11.html


Base Plates (Platinas Bases) Fuente: http://www.amtecdesigns.com/Struct.html


Otros ejemplos de soportes [Hibbeler] [Beer}


Ejercicio 1 Dibuje el D.C.L de las estructuras señaladas.


Ejercicio 2 Dibuje el D.C.L de la estructura mostrada en la figura. Asuma pasadores sin fricción.

A B C

D

P

Q

M1

W


A B C

D

P

Q

M1

W

IDENTIFICAR EL CUERPO RÍGIDO


A B C

D

P

Q

M1

W

SEPARAR LA ESTRUCTURA DE SUS APOYOS


A B C

P

Q

M1

W

DIBUJAR LAS FUERZAS REACTIVAS (Por ahora, el sentido de algunas* reacciones

no les debe preocupar)


Ejercicio 3 Dibuje el D.C.L de la viga ABC. Asuma pasadores sin fricción.

A B C

P


¿Puedo resolver la estructura con lo aprendido en el curso de estática? ¿La estructura es estable para cualquier valor de P, Q, R, S y W ?

P

Q R S

W


3.2.2 Ecuaciones de equilibrio

Significado Físico de las ecuaciones de Equilibrio

vs Sistemas Linealmente Independendientes

A

B

C A B

C D

Tratar de buscar ecuaciones que tengan una sola incógnita:

-Momento respecto a ejes - Momento respecto a puntos que están dentro de la línea de acción de la incógnita -Momento respecto a puntos de convergencia


A

1. ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMa=0

2. ΣFx’=0, ΣFy’=0, ΣMa=0 (x’ y y’ no son paralelos entre sí)

Conjunto de ecuaciones INDEPENDIENTES (disponibles)…

x

y

R MR

x

y

x

y

Para que se cumpla MR=0 y R debe

pasar por A

ΣMa=0

R

Para que se cumpla R debe ser a y’ └

└

R

ΣFy’=0 ΣFx’=0

Para que se cumpla R debe ser a x’ └

└


A

3. ΣMa=0, ΣMb=0, ΣFy’=0

x

y

x

y

ΣMa=0 ΣMb=0

R

B

R

ΣFy’=0

A x

y

x

y

C

B

4. ΣMa=0, ΣMb=0, ΣMc=0

A

B

C

a, b y c NO COLINEALES Si a, b y c son COLINEALES

R ¿R puede ser

diferente de cero (0)?

¿condición del eje AB y del eje y’?


Para el caso de Fuerzas Concurrentes en O

x

y

x

y

5. ΣFx’=0, ΣFy’=0

7. ΣFx’=0, ΣMa=0

6. ΣMa=0, ΣMb=0

R

R

A

B O O

x

y A

O


Para el caso de Fuerzas Paralelas (aplicadas en dirección del Eje y)

8. ΣMa=0, ΣFy’=0,

9. ΣMa=0, ΣMb=0

A

x

y A

x

y

MR

MR=0 ΣMa=0

B

Línea AB no paralela al eje x

y’ no paralela al eje x


3.2.3 Reacciones Estáticamente Indeterminadas y Restricciones Inadecuadas

Analizar cada una de las siguientes estructuras

W

P P

Q Q

Q W

P P

Q Q

Q

Estructura Estáticamente Determinada Estructura Completamente Restringida

Estructura Estáticamente Indeterminada (estructura hiperestática)

Estructura Completamente Restringida


Q Q

Q



P Q

P



Q


𝑀𝑎


Q


𝑀𝑎

M


Q


M

Q

P

Q Q


W

P

Q Q

Q

Estructura Estáticamente Inestable Estructura Restringida

Parcialmente

Estructura Estáticamente Indeterminada Estructura Impropiamente

Restringida*

W

Estructura Estáticamente Indeterminada Estructura Impropiamente

Restringida*

* También llamada Inestabilidad Geométrica

W

Q Q

Q


W

“Un C.R. está impropiamente restringido siempre que los apoyos, aunque proporcionen un numero

suficiente de reacciones, estén ubicados de tal forma que las reacciones son concurrentes o paralelas”

W

Q Q

Q


Ejercicio 4 Conexiones: rodillos, pasadores sin fricción, bielas lisas ¿impropia, completa o parcialmente restringida? ¿estáticamente determinada o indeterminada? ¿se mantiene el equilibrio de la estructura? AB= 3m, BC= 2m, CD=2 m


Ejercicio 5


Ejercicio 6 Todas la estructuras presentadas son hiperestáticas. Describir al menos una modificación de los apoyos para cada caso que convierta en isostática (y estable) la estructura correspondiente.


Ejercicio 7

State whether each of the L shaped bars shown is properly or improperly supported. If a bar is properly supported, determine the reactions at its supports.

5.75 y 5.76 Bedford

(4)


3.2.4 Cuerpos de 2 y 3 Fuerzas

P

Q

Mo

- Cuerpos de 2 Fuerzas

“Un C.R. sometido a fuerzas que actúan únicamente en dos puntos, es un cuerpo de dos fuerzas”

Mo P

Q Fx

Fy

Jx

Jy

Mx

My

Mx

My


Jx

Jy

Mx

My J

M

R1

𝑹𝟏 = 𝑱𝒙+𝑱𝒚

𝑹𝟐 = 𝑴𝒙+𝑴𝒚

R2


ΣMj=0

R2 pasa por J

ΣMm=0

J

ΣFejeJM=0

𝑹𝟏 = 𝑹𝟐 R1 sentido opuesto a R2 M

J

R2

R1

R1

R2

R2

R1 pasa por M R1


A

B

C

O F

P

Q

ΣMo=0 Excepción: cuando las fuerzas no se intersecan y son paralelas

- Cuerpos de 3 Fuerzas

“Un C.R. sometido a fuerzas que actúan únicamente en tres puntos, estará en equilibrio si las fuerzas convergen en un solo punto ó si son paralelas”


A

B

C

O F

P ΣMo=0

P

d

d

¿ΣFx=0?


Ejercicio 8

Tomado de MIT OpenCourseWare , Civil and Environmental Engineering 1.050 Solid Mechanics, Fall 2004

http://ocw.mit.edu/courses/civil-and-environmental-engineering/1-050-solid-mechanics-fall-2004/





Ejercicio 9 Idealización de un puente levadizo …

http://www.skyscraperlife.com/infraestructura-de-transporte/7954-nuevo-puente-pumarejo-sobre-el-rio-magdalena-barranquilla-colombia.html

http://www.galiciaenfotos.com/leca-y-matosinhos-i/

Prop. Puente Laureano Gómez (Barranquilla, COL)

Puente Levadizo en Galicia, ESP


O de etapas constructivas (Construcción Estación Terminal Trenes, Berlín)

Fuente http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Estaci%C3%B3n_Central_de_trenes_de_Berl%C3%ADn


Determine las reacciones en los apoyos de la armadura (que representa un estado constructivo). El apoyo en C, es de segundo orden (pasador sin fricción).

Ejercicio 10


Determine las reacciones en c y la tensión en el cable. AD ES UN CABLE.

Ejercicio 11


Ejercicio 12 Determine las reacciones en los apoyos de la barra rígida ABC. El elemento CD es un eslabón corto.


Ejercicio 13


Ejercicio 14


Ejercicio 15 La barra AB se somete a una fuerza P en el punto B. En el extremo A se encuentra un apoyo de segundo orden. En B se une a un resorte de constante K que pasa a través de una polea sin rozamiento. Cuando θ=0 (AB horizontal), el resorte no se encuentra esforzado. Hallar una expresión para θ, sabiendo que la barra AB se encuentra en equilibrio.

P

L

K

A

B

Ө


Ejercicio 16


Ejercicio 17 La barra rígida ACB esta apoyada en C mediante 1 apoyo de segundo orden. En los extremos A y B, se suspende de un cable que pasa por una polea sin rozamiento en D. Calcular la reacción en C y la tensión en el cable debido a la fuerza P=150 N.

m

m

m m

P


Ejercicio 18 Una barra uniforme AB, de longitud igual a 2R, y peso W, se apoya en el interior de un recipiente semi-esférico de radio R. Determine el ángulo teta correspondiente a la posición de equilibrio de la barra. Asuma que la superficie no tiene fricción.

𝜃

𝐴

𝐵

Hint: Teorema de Tales de Mileto


Segundo Teorema de Tales de Mileto

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C.

Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.


Ejercicio 19 En la figura, del punto O cuelgan una esfera de radio r y peso G, por medio de un hilo de longitud b, y una barra uniforme de longitud 2a y peso W que se apoya contra la esfera. Determine el ángulo α de equilibrio que el hilo forma con la vertical.

x

y


Ejercicio 20 La barra AB soporta una fuerza de 200 N, se encuentra suspendida de un cable en el vértice B y apoyada en A. Calcular la tensión del cable y la reacción en A


Ejercicio 21 La viga horizontal está soportada por resortes en sus extremos. Si la rigidez del resorte situado

en A es KA= 5kN/m, determine la rigidez requerida en el resorte ubicado en B de manera que si la viga es cargada con la fuerza de 800 N, permanezca en posición horizontal antes y después de la carga.


Ejercicio 22 Determine the angle α and the magnitudes of the reactions at A and B. Assume that 0 ≤ 𝛼 ≤ 90° DO NOT USE EQUATIONS OF STATIC EQUILIBRIUM!


Ejercicio 23 La longitud no estirada del resorte CD es

350 mm. Si la superficie en A es lisa, y si la fuerza normal en ese punto es de 120 N, determine el valor de la constante elástica del resorte y las reacciones en B.

DO NOT USE EQUATIONS OF STATIC EQUILIBRIUM!


Ejercicio 24


Ejercicio 25 Los centros de gravedad del carro elevador (masa 50 kg) y de la caja (masa 120 kg) están en G1 y G2, respectivamente. El camión debe poder subir el escalón de 5 mm cuando la fuerza P de empuje es de 600 N. Encuentre el mínimo radio permisible para la rueda en A. ¿Se volteará el carro para las cargas asumidas? (Medidas en mm)

C B A

G1

G2

P 375

700 500

1200

5


Ejercicio 26 Un ingeniero de seguridad desea realizar pruebas para conocer la carga máxima (WL) que puede levantarse mediante la máquina elevadora sin que ocurra vuelco. Con el fin de evitar accidentes que puedan afectar la integridad del ingeniero, la empresa lo contrató a usted para determinar dicha carga sin necesidad de que alguien se monte en la máquina. El peso del operador y de la máquina (WF) es de 600 kN.


Ejercicio 27 Una empresa fabricará ventiladores de piso. Los diseñadores industriales han propuesto dos opciones: un ventilador de 3 patas y otro de 4 patas. Ya que el futuro de la empresa depende del éxito de los ventiladores, el gerente lo ha contratado a usted para verificar la seguridad ante el volcamiento de ambas propuestas. Para su análisis tenga en cuenta los siguientes datos: El peso combinado (motor, aspas, patas y paral)

es: W3patas=87 N ; W4patas=90 N. Longitud de las patas, b=30 cm. Todas las patas tienen pequeños cauchos en sus

extremos que evitan el deslizamiento (traslación) sobre la superficie.

Cuando el ventilador está funcionando, las aspas ejercen una fuerza de empuje (T), la cual incrementa con la velocidad de las aspas.

Desde el punto de vista de la seguridad al volcamiento, ¿cuál de los dos ventiladores tendrá un mayor éxito en el mercado?

h=82 cm.

Para cada caso, las patas están espaciadas igualmente


Ejercicio 28 La barra ABCD está doblada en forma de un arco circular de 4 pulgadas de rado y descansa sobre superficies sin fricción en A y D. Si el collarín colocado en B se puede mover libremente por la barra, determine a) el valor de 𝜃 para el cual la tensión en la cuerda OB es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión, c) las reacciones en A y D


Ejercicio 29 El bloque C de peso 50 kN descansa sobre la barra uniforme AB de peso 20 kN. El cable que conecta C con B pasa sobre una polea en D. Determine la magnitud de la fuerza que actúa entre el bloque y la barra.


Ejercicio 30

Una barra esbelta de longitud L y peso W, se une por uno de sus extremos a un collar en A y por el otro a una pequeña rueda en B, la cual gira libremente a lo largo de la superficie cilíndrica de radio R. Despreciando la fricción de la superficie, determine una expresión para el ángulo teta (𝜃) que se cumpla cuando la barra esté en equilibrio


Ejercicio 31 Una barra uniforme AB de longitud l y peso W, se sostiene por dos cuerdas AC y BC de igual longitud. Demuestre que, para la posición de equilibrio, se cumple la siguiente expresión

senθ = 2Mocot β1

𝑊𝑙


Ejercicio 32 La barra AB, de masa m y longitud L, se une a dos bloques en sus extremos, los cuales giran libremente por ranuras circulares. Si 𝛼 = 45°, determine: a) El valor máximo de L para que el que la barra se encuentra en equilibrio. b) Las reacciones en A y B.

𝜶 A

B


Ejercicio 33 Una barra delgada uniforme de longitud L y peso W, está balanceada sobre un vaso de diámetro interno D, de superficie lisa. Determine el ángulo 𝜃 correspondiente a la posición de equilibrio.

Vista en Planta


Ejercicio 34 Dos esferas pesadas, unidas entre sí por una cuerda de peso y espesor despreciable, son colgadas de una polea sin fricción y de diámetro despreciable. La polea está sostenida por un eje en el extremo volado de una barra. Para la posición mostrada en la figura (con la esfera más grande por encima de la pequeña), el sistema se encuentra en equilibrio estático. Determine la tensión en la cuerda y la fuerza de contacto entre las esferas. Asuma que todas las superficies son lisas.

𝑟1 = 8 𝑐𝑚, 𝑟2 = 6 𝑐𝑚 𝑤1 = 161 𝑘𝑔𝑓, 𝑤2 = 91 𝑘𝑔𝑓

𝐿𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠) = 34 𝑐𝑚

1

2

polea

Nota: las esferas fueron perforadas diametralmente para que su centro de masa coincida con el centro geométrico.

3- equilibrio del c.r. - coplanares

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