2.7 Rekursio ja iteraatio

Algoritminen ongelmanratkaisu ei oleläheskään aina triviaalien moduuleiden kirjoittamista.Ongelman ratkaisun ydin perustuu useinsopivan toisto-osan löytymiseen. Toistonohjelmointiin on kaksi näennäisesti erilaista ratkaisutapaa:

rekursio jaiteraatio

2.7 Rekursio ja iteraatio …

Rekursiivinen moduuli sisältää moduulinitsensä kutsun ja iteratiivinen moduulisisältää toistorakenteen.

Rekursio ja iteraatio ovat keinoja etsiäongelmanratkaisuja algoritmien

suunnittelu-menetelmien (esim. top-down) ’sisällä’.

2.7 Rekursio ja iteraatio …

MODULE maalaa (aita) ITERAATIOWHILE aitaa maalamatta DO

suorita laudan maalaussiirry seuraavaan lautaan

ENDWHILEENDMODULE

MODULE maalaa (aita) REKURSIOIF aitaa maalamatta THEN

suorita laudan maalausmaalaa (loput aidasta)

ENDIFENDMODULE

2.7.1 Rekursio

MODULE maalaa (aita) ITERAATIO

WHILE aitaa maalamatta DOsuorita laudan maalaus

siirry seuraavaan lautaanENDWHILE

ENDMODULE

MODULE maalaa (aita) REKURSIOIF aitaa maalamatta THEN

suorita laudan maalausmaalaa (loput aidasta)

ENDIFENDMODULE

2.7.1 Rekursio…

Rekursio on modulaarisuusperiaatteen suora seuraus, eikä suinkaan mikään erillinen ominaisuus tai sallittu temppu.Rekursio on yleisen ongelmanratkaisu-periaatteen, reduktioperiaatteen erikoistapaus.Reduktiota sanotaan rekursioksi, jos ainakin yksi osaongelma on alkuperäisen ongelman kaltainen.

2.7.1 Rekursio …

Jotta menettely suppenisi eli johtaisi todella ratkaisuun tulee rekursiivisen aliongelman luonnollisestikin olla ongelman alkuperäistä tapausta

yksinkertaisempi.

2.7.1 Rekursio …

Rekursiivisten moduulien konstruoimisessa

on huomattava kaksi seikkaa:1. Moduulissa pitää kuvata ainakin yksi

ongelman triviaali tapaus, joka ratkeaa suoraan, siis ei-rekursiivisesti, ja

2. Jokaisen rekursiivisen kutsun tulee lähestyä jotakin tällaista triviaalia tapausta

2.7.1 Rekursio …

Kaikissa ohjelmointikielissä rekursiota eiole mahdollista toteuttaa (mm.

konekielet,eräät vanhat tehtävän läheiset kielet

kutenBasic, Fortran, Cobol)

2.7.1 Rekursio …

Jos moduuli kutsuu itseään, on kyseessäsuora rekursio. Tämä on tyypillisin

tapausrekursiosta. Esim. aidan maalaus.

Epäsuora rekursio: jokin osaongelmasisältää rekursiivisen kutsun.

2.7.1 Rekursio …

Epäsuoran rekursion esimerkki:

MODULE M1 MODULE M2… …M2 …… M1

ENDMODULE …ENDMODULE

Epäsuora rekursio tekee algoritmeista vaikeastiymmärrettäviä ei suositella.

2.7.1 Rekursio …

Rekursioesimerkkejä monisteessa.

2.7.2 Iteraatio

Iteraatioperiaate tarkoittaa sitä, että jotakin toimenpidettä toistamalla päästään yhä lähemmäksi ratkaisua tai asetettua tavoitetta.Tarkoitus on siis tuottaa yhä parempia ja parempia ratkaisuja, ns. välitiloja tai likiarvoja ongelman ratkaisulle. Prosessi päättyy, kun saadaan joko tarkka ratkaisu tai riittävän tarkka likiarvo.

2.7.2 Iteraatio

Iteraation soveltamiselle asetaan kolmevaatimusta:

väliarvojen olemassaolokeino edetä kohti ratkaisuakyky tunnistaa ratkaisu (ts. pitää tietää milloin toisto lopetetaan).

2.7.2 Iteraatio …

Esimerkiksi järjestä-moduulissa:vaadittavat välitilat ovat lukujonon eri järjestyksetkullakin ulomman silmukan toistokerralla päästään yhä lähemmäksi ratkaisua: jono on oikeassa järjestyksessä alusta lukien i:nteen alkioon saakka, i = 1, 2, … n-1.tarkka ratkaisu on saavutettu, kuni = n-1.

2.7.2 Iteraatio …

Iteraatio on luonteva lähestymistapatehtävissä, jossa ei välttämättä saadatarkkaa ratkaisua, vaan on tyydyttävälikarvoon.

Monet numeerisen analyysin menetelmät

ovat tällaisia.

2.7.2 Iteraatio …

Esimerkki: neliöjuuri, √a = ?Newtonin menetelmä: oletetaan, että

luvunneliöjuuri = 1 (merk. x1). Lasketaan sitten

ns. Newtonin kaavalla aina uusia ja uusiax-arvoja: x2, x3,…. Seuraava x-arvo on

edeltäjäänsä lähempänä √a :n arvoa.Kaava:xn = ½(xn-1 + a/xn-1), n > 1.

2.7.2 Iteraatio …

Esimerkki: neliöjuuri jatkuuMODULE neliöjuuri (a, eps) RETURNS √a

n:=1x1:=1

REPEATxn+1 = ½(xn + a/xn)

n:=n+1UNTIL xn-1 – xn < eps

RETURN xn

2.7.2 Iteraatio …

Esimerkki: neliöjuuri jatkuu, parempi versio:

MODULE neliöjuuri (a, eps) RETURNS √a nykyinen:=1REPEAT

edellinen:=nykyinennykyinen:= ½(edellinen + a/edellinen)

UNTIL edellinen-nykyinen < epsRETURN nykyinen

ENDMODULE

2.7.2 Iteraatio …

Menetelmä on tehokas ja yksinkertainen.

Esimerkiksi, jos a = 10 000, kahdeksannumeron tarkkuus saavutetaan jo

yhdeksälläkierroksella.

2.7.2 Iteraatio …

Integrointiesimerkki

Käyrän ja x-akselinvälisen rajoittamanalueen pinta-ala

voidaanlaskea approksimatiivi-sesti laskemalla yhteenpylväiden pinta-alat(kuvio).

VAR00001

20,8

19,8

18,8

17,8

16,8

15,9

14,9

13,9

12,9

12,0

11,0

10,0

9,0

8,0

7,1

6,1

5,1

4,1

3,2

2,2

1,2

,2

-,8

Cases weighted by VAR00002

40

30

20

10

0

2.7.2 Iteraatio …

MODULE integroi (f, a, b) RETURNS lukuI:=0n:=99999999 (* n:n arvoksi suuri luku *)dx:=(b-a)/nFOR x:=0, 1, 2,…, n-1 DO I:=I+f(a+x*dx) ENDFORRETURN I*dx

ENDMODULE

2.7.2 Iteraatio …

Eratostheneen (276-195 eKr.) seula etsii alkulukuja:MODULE seula (n) RETURNS alkulukujen joukko

S:= {2, 3, 4, 5, 6, …, n}A:= Ø (* tyhjä joukko *)REPEAT

Etsi joukon S pienin luku bA:=A U {b} (* alkio b lisätään joukkoon A *)m:=bREPEAT

S:=S- {m} (* poistetaan m joukosta S*)m:=m+b

UNTIL m > nUNTIL b > √nRETURN A U S

ENDMODULE

2.7.3 Rekursio vai iteraatio ?

Rekursio ja iteraatio ovat vaihtoehtoisia strategioita. Jokainen rekursiivinen algoritmi voidaan muuntaa iteratiiviseksi ja päinvastoin.Imperatiivisessa ajattelussa iteraatio on varsin tavallinen ajattelutapa, koska kyseinen työskentelytapa on lähellä tietokoneen toiminta-mallia.Rekursio puolestaan perustuu modulaarisuuteen ja reduktiiviseen ajatteluun, joka taas on luonteenomaista esim. funktionaalisessa ohjelmoinnissa.

Rekursio vai iteraatio ? ….

Jotkin tehtävät ovat sellaisia, että niille on kohtuullisen helposti löydettävissä joko rekursiivinen tai iteratiivinen ratkaisu mutta ei molempia.On myös tehtäviä, joille ei ole olemassa luonnollista ei-rekursiivista ratkaisua, kyseessä ovat ns. ei-rekursiiviset tehtävät.

Rekursio vai iteraatio ? …

Seuraavat kaksi esimerkkiä ratkeavat varsin

helposti rekursion kautta. Iteratiivinenratkaisukin on olemassa, mutta se on

hankalakeksiä:

symbolinen derivointiHanoin tornit