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Cours 2 - Robotique et automatisation 26

Robotique et automatisation

Analyse des syst emes echantillonn es

Robotique et automatisationG. Iuliana BARA


1 – Analyse en boucle ouverte des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . 28

2 – Stabilite des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 – Analyse en boucle fermee des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . 43

4 – Resumee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62



1 – Analyse en boucle ouverte des syst emes echantillonn es

Poles des systemes echantillonnes :

Poles en s du systeme = poles de la fonction de transfert G(s)

Poles en z = poles de la transmittance echantillonnee G(z)

Correspondance entre les deux plans : pole en s = pi −→ pole en z = epiTe

Im(s)

j πTe

Re(z)

Im(z)

Re(s)



Exemple :

Systeme d’ordre 1 :

Soit G(s) =K

1 + τsalors

G(z) = ZG(s) =K

τ

z

z − cavec c = e−

Te

τ

Systeme d’ordre 1 precede par un BOZ :

Soit G(s) =K

1 + τsprecede par un BOZ alors

G(z) = (1 − z−1)ZG(s)

s

=

K(1 − c)


Te

τ



Zeros des systemes echantillonnes :

pas de relation simple entre les zeros de G(s) et ceux de G(z)

G(s) est a dephasage non minimal ; G(z) est a dephasage non minimal

Un systeme continu sans zeros dans le demi-plan de droite peut donner un systeme

echantillonne avec des zeros en dehors du cercle unite



Reponse frequentielle des systemes echantillonnes :

Soit le systeme echantillonne G(z) = ZG(s)

si u(kTe) = U0 sin(ωTek) U(k) −→

en regime stationnaire

y(k) = U0 G(ω) sin(ωTek + φ(ω))

Reponse frequentielle en module et en phase (diagramme de Bode) :

| G(z) |z = ejωTe

en faisant z parcourir le cercle unite

arg(G(z))z = ejωTe

c’est a dire pour ω ∈ [−π

Te

;π

Te

]



Exemple :

Soit G(s) =1

s + 5precede par un BOZ alors

G(z) = (1 − z−1)Z

G(s)

s

=1 − c

5(z − c)=

0, 07869

z − 0, 6065

avec c = e−5Te et la periode d’echantillonnage Te = 0, 1



10−1

100

101

102

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10A

mpl

itude

(dB

)

π

Te

ω(rad/s)

distorsionde gain

| G(s) |s=jω

| G(z) |z=ejωTe



10−1

100

101

102

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Pha

se(d

egre

s)

π

Teω(rad/s)

perte de phasedue au BOZ

| G(s) |s=jω

| G(z) |z=ejωTe



2 – Stabilit e des syst emes echantillonn es

Definition de la stabilite BIBO :

Un systeme definit par ses entrees-sorties est BIBO stable si pour toute entree bornee

‖ u(k) ‖∞= supk∈N

| u(k) |< ∞

la sortie est bornee

‖ y(k) ‖∞= supk∈N

| y(k) |< ∞

Theoreme sur la stabilite :

Un systeme lineaire invariant a temps discret/echantillonne est stable si et seulement si tous

ses poles sont de module strictement inferieur a un.



Critere de Jury :

Soit le systeme a temps discret de fonction de transfert :

G(z) =N(z)

D(z)avec D(z) = a0 + a1z + · · · + anzn et an > 0

Notations :

a0,i = ai, ∀i = 0, 1, . . . , n

aj+1,i =aj,0 aj,n−j−i

aj,n−j aj,i

∀j = 0, 1, . . . , n − 1 et 0 6 i 6 n − j − 1



Le polynome D(z), a coefficients reels, a ses racines de module inferieur a l’unite si et

seulement si les inegalites suivantes sont verifiees :

1. |a0| − an < 0

2. D(1) > 0

3. (−1)n D(−1) > 0

4. |aj,0| − |aj,n−j | > 0,∀j = 1, 2, . . . , n − 2




D(z) = a0 + a1z et les conditions du critere sont

1. |a0| < a1

2. a0 + a1 > 0

3. −a0 + a1 > 0


D(z) = a0 + a1z + a2z2 et les conditions du critere s’ecrivent

1. |a0| < a2

2. a0 + a1 + a2 > 0

3. a0 − a1 + a2 > 0




D(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z

3 et les conditions du critere devient

1. |a0| < a3

2. a0 + a1 + a2 + a3 > 0

3. −a0 + a1 − a2 + a3 > 0

4. |a20 − a2

3| > |a0a2 − a3a1| ⇐⇒ a23 − a2

0 > |a0a2 − a3a1|

a0 a1 a2 a3

a3 a2 a1 a0

a1,0 =a0 a3

a3 a0

a1,1 =a0 a2

a3 a1

a1,2 =a0 a1

a3 a2



Transformee en w et critere de Routh :

Transformee en w :

w =z − 1

z + 1⇐⇒ z =

1 + w

1 − w

Si z = ejωTe alors :

w =eiωTe − 1

eiωTe + 1= j tan(

ωTe

2)

donc, pour ωTe ∈ [−π, π] on obtient w ∈ j[−∞, ∞]



De plus,

|z| =

√

(1 + Re(w))2 + Im(w)2√

(1 − Re(w))2 + Im(w)2=⇒ |z| < 1 ⇐⇒ Re(w) < 0

1−1 Re(w)

Im(w)

Re(z)

Im(z)

Plan en z

Plan en w

z =1 + w

1 − w



Transformee en w et critere de Routh :

Le polynome denominateur D(z) de la fonction de transfert est stable si le polynome en

w :

D(z)|z=1+w

1−w

a des racines a partie relle negative

cad si D′(w) = (1 − w)nD

(1 + w

1 − w

)

verifie le critere de Routh

(n= degre du polynome denominateur D(z))



3 – Analyse en boucle ferm ee des syst emes echantillonn es

Etude de la stabilite du systeme asservi :

FBF (z) =C(z)G(z)

1 + C(z)G(z)H(z)=

NBF (z)

DBF (z)

=⇒ etudier les racines du polynome caracteristique DBF (z) = 0 ou de l’equation

caracteristique

1 + FBO(z) = 0 ou FBO(z) = C(z)G(z)H(z)

methodes algebriques : critere de Jury, transformee en w et critere de Routh

methodes geometriques (ou harmoniques) : critere de Nyquist, lieu d’Evans



Critere de Nyquist :

Contour de Nyquist = le cercle unite parcouru dans le sens trigonometrique :

C = z | z = ejΩ, Ω ∈ [−π, π],Ω = ωTe

Im(z)

Re(z)Polesstables

Polesinstables

1−1

C



Lieu de Nyquist de FBO(z) est definit comme la courbe decrite par l’ensemble de

points :

(Re(FBO(z)), Im(FBO(z)) | z = ejΩ, Ω = ωTe ∈ [−π; π])

Critere de Nyquist

Le systeme echantillonne en boucle fermee, d’equation caracteristique

1 + FBO(z) = 0, est stable si et seulement si le lieu de Nyquist de FBO(z) parcouru

de ω = −π

Te

a ω =π

Te

avec z = ejωTe , entoure le point −1 dans le sens

trigonometrique un nombre de fois egal au nombre de poles instables de FBO(z)



Exemple :

Soit le systeme en BF avec G(s) =1

1 + τs. Etudier la stabilite du systeme en BF.

Te

r(k)

−

+

u(k) u(t) y(t)

K BOZ G(s)

G(z) =1 − c


Te

τ =⇒ FBO(z) =K(1 − c)

z − c



z = ejωTe =⇒ FBO(ejωTe) =K(1 − c)(cos ωTe − c)

1 − 2c cos ωTe + c2

︸︷︷︸

partie reelle

−jK(1 − c) sin ωTe

1 − 2c cos ωTe + c2

︸︷︷︸

partie imaginaire

Alors

ω FBO(ejωTe)

0 Kπ

Te

−K1 − c

1 + c

−π

Te

−K1 − c

1 + c

De plus,

(

<e(FBO(ejωTe)) −Kc

1 + c

)2

+(=m(FBO(ejωTe))

)2=

( K

1 + c

)2



Partie réelle

Par

tie Im

agin

aire

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

K

−K1 − c

1 + c ω = 0

ω =π

Te

Kc

1 + cω = −

π

Te

Partie reelle de FBO(z)

Par

tieim

agin

aire

deF

BO

(z)

Condition de stabilite en BF : −1 < −K1 − c

1 + c=⇒ K <

1 + c

1 − c



Contour de Nyquist lorsque FBO(z) a des poles sur le cercle unite :

Im(z)

Re(z)Polesstables

−1

Poles

instablesC

1

=⇒ le lieu de Nyquist presente des branches a l’infini qui se referment par des demi-cercles

de rayon infini

=⇒ P comptabilise uniquement les poles stables du systeme en boucle ouverte



Exemple :

Soit FBO(z) =K(z + 0, 4)

(z − 1)(z − 0, 25). Etudier la stabilite du systeme en BF.

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Partie relle de FBO(z)

Par

tieim

agin

aire

deF

BO

(z)

Ω = −π

Ω = 0−

Ω = 0+

−0, 533K

Ω = π

−0, 25K−2, 0889K

Condition de stabilite en BF : −1 < −0, 533K =⇒ K < 1, 8762



Lieu d’Evans :

Les courbes decrites par les poles du systeme asservi lorsque C(z) = Kc varie qui

correspondent aux courbes decrites par les racines de l’equation caracteristique (de

l’asservissement) lorsque Kc varie

=⇒ etudier les racines du polynome caracteristique DBF (z) = 0 ou de l’equation

caracteristique

1 + FBO(z) = 0 ou FBO(z) = C(z)G(z)H(z) avec C(z) = Kc



Regles de construction du lieu d’Evans :

=⇒ construction basee uniquement sur la fonction de transfert FBO(z)

FBO(z) = KcG(z)H(z) = KcKg︸︷︷︸

K

m∏

i=1

(z − zi)

n∏

j=1

(z − pj)

=⇒ equation caracteristique du lieu d’Evans

m∏

i=1

(z − zi)

n∏

j=1

(z − pj)

= −1

Klorsque K varie de 0 a ∞



Un point M d’affixe zM appartient au lieu des racines ssi :

1. condition du module

m∏

i=1

|zM − zi|

n∏

j=1

|zM − pj |

=1

K

2. condition de l’angle

m∑

i=1

arg(zM − zi) −n∑

j=1

arg(zM − pj) = π(1 + 2λ) avec λ ∈ N quelconque



Regle 1 :

Nombre de branches du lieu : n branches ; Le nombre de branches est identique au

nombre de poles de la boucle ouverte

Points de depart : les n branches partent, pour K = 0, des n poles pj de

FBO(z)

Points d’arrivee : les n branches aboutissent, pour K → ∞, aux m zeros zi et

aux n − m zeros a l’infini de FBO(z).

Donc, le lieu comporte n − m branches qui vont a l’infini



Regle 2 : Le lieux des racines est symetrique par rapport a l’axe reel

Regle 3 : Branches du lieu appartenant a l’axe reel

Un point M de l’axe reel appartient au lieu si le nombre de poles et zeros reels de la

boucle ouverte, comptes avec leur ordre de multiplicite, et situes a la droite du point M, est

impair

Regle 4 : Asymptotes des branches a l’infini

Les n − m asymptotes des branches partant a l’infini font avec l’axe reel des angles :

αλ =(2λ + 1)π

n − m, λ = 0, 1, . . . , (n − m − 1)



Ces n − m asymptotes s’intersectent avec l’axe reel en un seul point d’abscisse :

σa =

n∑

j=1

pj −m∑

i=1

zi

n − m

Regle 5 :

Points de separation :

Correspondent a l’intersection du lieu avec l’axe reel et traduit l’existence d’une racine

reelle multiple qui a la propriete d’annuler la derivee de FBO(z) :

d FBO(z)

d z= 0

=⇒ condition necessaire mais pas suffisante



Angle des branches au point de separation :

Si N branches du lieu d’Evans se coupent en un point de separation alors l’angle entre

deux demi-branches voisines est egal aπ

N

Regle 6 :

Angle de depart d’une branche :

Soit pk un pole de multiplicite nk, alors les nk branches partant de pk font des angles

βk par rapport a l’horizontale et

βk =1

nk

(m∑

i=1

arg(pk − zi) −n∑

j=1,j 6=k

arg(pk − pj) − π(1 + 2λ)),

λ = 0, 1, . . . , (nk − 1)



Angle d’arrivee d’une branche :

Soit zk un zero de multiplicite mk, alors les mk branches arrivant en zk font des

angles γk par rapport a l’horizontale et

γk =1

mk

(−

m∑

i=1,i 6=k

arg(zk − zi) +

n∑

j=1

arg(zk − pj) − π(1 + 2λ)),

λ = 0, 1, . . . , (mk − 1)

Regle 7 : Graduation du lieu en valeur de K

La valeur de K en tout point M, d’affixe zM , du lieu d’Evans se calcule en utilisant

l’equation caracteristique ou la condition du module



Exemple : Soit FBO(z) = Kz + 0, 5

(z − 1)(z − 0, 5)

Regle 1 :

Nombre des branches : n = 2 branches

Points de depart : les poles de la boucle ouverte 1; 0, 5

Points d’arrivee : le zero de la boucle ouverte −0, 5 et le zeros a l’infini

=⇒ 1 branche a l’infini

Regle 3 : Branches du lieu appartenant a l’axe reel : tout point M d’abscisse zM avec

zM ∈ [0, 5 1] ∪ (−∞ − 0, 5]



Regle 4 : Asymptote de la branches a l’infini : α0 = π

Regle 5 : Points de separation :

d FBO(z)

d z= 0 =⇒ z1 = 0, 72 et z2 = −1, 72

Angles des branches aux points de separations = ±π

2



−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Axe

imag

inai

re

Axe réel



4 – Resum ee

Correspondance entre les plans s et z donnee par z = esTe

Un systeme lineaire discret/echantillonne est stable si et seulement si tous ses poles sont a

l’inferieur du cercle unite

Critere de Nyquist similaire au cas des systemes a temps continu a l’exception de la

construction du contour de Nyquist qui devient le cercle unite

Construction du lieu d’Evans basee sur les memes regles que dans le cas des systemes a

temps continu −→ interpretation et etude de la stabilite du systeme asservi selon la region

de stabilite des systemes discrets (l’interieur du cercle unite)


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