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 ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  

FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2014  (1S)  

TALLER  2  –  FRANJA  1  GUAYAQUIL,  ABRIL  28  DE  2014  

 

 S      O      L      U      C      I      Ó      N                    y                  R      Ú      B      R      I      C      A  

 

TEMA   1   (20   puntos)   Considere   el   conjunto   A = @,$, ?,!{ }{ } ,   determine   el   valor   de   verdad   de   la   siguiente  

proposición:    

?,!{ }{ }⊆ P(A) ↔ ϕ, @{ }{ }⊆ P(A)#$ %&∨ N P P A( )( )( ) = 256 ∧ @{ }{ }{ }∉ P P P A( )( )( )#$

%&  

 Solución:    

Como   A = @,$, ?,!{ }{ } ,  se  tiene  que:    

N A( ) = 3  N P A( )( ) = 2N (A) = 8  N P P A( )( )( ) = 22N (A ) = 28 = 256  P A( ) = ∅, @{ }, ${ }, ?,!{ }{ }, @,${ }, @, ?,!{ }{ }, $, ?,!{ }{ },A{ }    Los  valores  de  verdad  de  las  proposiciones  simples  son:  

?,!{ }{ }⊆ P A( ) ≡ 0  ϕ, @{ }{ }⊆ P A( ) ≡1  

N P P A( )( )( ) = 256( ) ≡1  @{ }{ }{ }∉ P P P A( )( )( ) ≡ 0  

 Se  reemplazan  estos  valores  de  verdad  en  la  proposición  dada  y  se  tiene:  

?,!{ }{ }⊆ P A( )0

! "## $##↔ ϕ, @{ }{ }⊆ P A( )

1! "## $##

#

$

%%

&

'

((∨ N P P A( )( )( ) = 256

1! "### $###

∧ @{ }{ }{ }∉ P P P A( )( )( )0

! "#### $####

#

$

%%

&

'

((  

0↔1[ ] !∨! 1∧0[ ]  0∨!0    ∴    La  proposición  es  FALSA.    Rúbrica:    Determina  los  valores  de  verdad  de  las  proposiciones  simples.  Determina  el  valor  de  verdad  de  la  proposición  compuesta.  Concluye  que  la  proposición  es  falsa.  

9  puntos  9  puntos  2  puntos  

 

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 TEMA   2   (20   puntos)   Utilizando   ÁLGEBRA   PROPOSICIONAL,   demuestre   las   siguientes   propiedades   de   operaciones  entre  conjuntos:  

a) ( ) BABA CC −=∪  

b) ( ) ( )[ ] ( )[ ]CBACABA ∩⊆⇔⊆∧⊆    Solución:    

a) x ∈ (Ac∪B)c ≡  

≡ x ∈ Re( )∧¬!x ∈ Ac∪B( ) !!   Definición  de  Complementación  de  Conjuntos.  

≡ x ∈ Re( )∧ !¬ x ∈ Ac( )∨ x ∈ B( )%&

'(  

Definición  de  Unión  entre  Conjuntos.  

≡ x ∈ Re( )∧¬ x ∈ Re !∧¬!x ∈ A( )∨ x ∈ B%& '(   Definición  de  Complementación  de  Conjuntos.  

≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∧¬ x ∈ A( )( )∧¬ x ∈ B( )$% &'  Por  la  Ley  de  De  Morgan  de  la  Disyunción.  

≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∨¬ ¬ x ∈ A( )( )( )∧¬ x ∈ B( )%&

'(  

Por  la  Ley  de  De  Morgan  de  la  Conjunción.  

≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∨ x ∈ A( )( )∧¬ x ∈ B( )%& '(    

Por  la  Ley  de  la  Doble  Negación.  

≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∨ x ∈ A( )( )%& '(∧¬ x ∈ B( )   Por  la  Ley  Asociativa  de  la  Conjunción.  

≡ x ∈ Re( )∧¬ x ∈ Re( )( )∨ x ∈ Re( )∧ x ∈ A( )( )%& '(∧¬ x ∈ B( )    

Por  la  Ley  Distributiva.  

≡ 0∨ 1∧ x ∈ A( )%& '(∧¬ x ∈ B( )    

Por  la  Ley  de  la  Contradicción.  

≡ 0∨ x ∈ A( )$% &'∧¬ x ∈ B( )   Por  la  Ley  de  Identidad  de  la  Conjunción.  

≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )   Por  la  Ley  de  Identidad  de  la  Disyunción.  

≡ x ∈ A−B( ) !   Definición  de  Diferencia  entre  Conjuntos.  

 

∴     ( ) BABA CC −=∪    

b) A ⊆ B( )∧ A ⊆C( )#$ %&≡  

 

≡ ∀x ! x ∈ A→ x ∈ B( ) !∧ !∀x !(x ∈ A→ x ∈C)    

Definición  de  Subconjunto.  

≡ ∀x ! x ∈ A→ x ∈ B( )∧ ! x ∈ A→ x ∈C( )&' ()    

Por  la  Ley  Distributiva  del  Cuantificador  Universal.  

≡ ∀x !! ¬x ∈ A∨ x ∈ B( )∧ ¬x ∈ A∨ x ∈C( )&' ()    

Por  la  Ley  de  la  Implicación.  

≡ ∀x !! ¬x ∈ A∨ x ∈ B∧ !x ∈C( )&' ()    

Por  la  Ley  Distributiva  

≡ ∀x !! x ∈ A→ x ∈ B∧ !x ∈C( )&' ()    

Por  la  Ley  de  la  Implicación.  

≡ ∀x !! x ∈ A→ x ∈ B∩C( )&' ()    

Definición  de  Intersección  entre  Conjuntos.  

≡ A ⊆ (B∩C)   Definición  de  Subconjunto.  

 

∴     ( ) ( )[ ] ( )[ ]CBACABA ∩⊆⇔⊆∧⊆  

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 Rúbrica:    Realiza   un   procedimiento   ordenado   con   la   respectiva   argumentación   en   cada   paso   y  concluye  que  se  trata  de  una  propiedad.  

10  puntos  c/u  

 TEMA  3  (20  puntos)  Determine  los  elementos  de  los  conjuntos  A,  B  y  C  si  se  conoce  que:    

{ } { } { } ( ) { }( ) { } ( ) { }9,8,7;10

5,4;6,3,2;6,1;10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re

=∪−=∪∪

=−−=−=∩=

BACCBA

ACBCABAC

 

 Solución:    Se  realiza  una  representación  gráfica  de  las  condiciones.  

       

     

       

                             

       

                         

A−C = 2,3, 6{ }A∩B = 1,6{ }

B−C( )− A = 4,5{ } A∪B∪C( )c = 10{ }

C − A∪B( ) = 7,8, 9{ }

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Con  lo  cual  se  puede  concluir  que:          

  { }6,3,2,1=A  

  { }6,5,4,1=B  

  { }9,8,7,1=C    

   Rúbrica:    Identifica  las  regiones  especificadas  en  cada  condición  del  problema  y  ubica  los  valores  en  un  diagrama  de  Venn  o  en  los  respectivos  conjuntos.  Tabula  cada  conjunto.  

14  puntos    

6  puntos    

TEMA  4  (20  puntos)  Durante  una  encuesta  realizada  a  200  estudiantes  de  un  colegio  se  obtuvo  lo  siguiente:  68   se   comportan   bien,   138   son   inteligentes,   160   son   habladores,   120   son   habladores   e   inteligentes,   20   se  comportan  bien  y  no  son  inteligentes,  13  se  comportan  bien  y  no  son  habladores,  15  se  comportan  bien  y  son  habladores   pero   no   son   inteligentes.   Determine   la   cantidad   de   personas   que   tienen   al   menos   dos   de   las  características  mencionadas.    Solución:    • N(Re)  =  200  • N(C)  =  68  • N(I)  =  138  • N(H)  =  160  • N(H∩I)  =  120  • N(C  –  I)  =  20  • N(C  –  H)  =  13  • N[(C∩H)  –  I]  =  15    El  diagrama  de  Venn  correspondiente  es:                      Los  que  tienen  al  menos  2  características  son  aquellos  que  tienen  2  características  o  3  características,  es  decir:    

8  +  15  +  80  +  40  =  143  

∴    La  cantidad  de  personas  que  tienen  al  menos  2  de  las  características  es  143.    Rúbrica:    Identifica  las  cardinalidades  asociadas  a  cada  condición  del  problema  y  ubica  los  valores  en  un  diagrama  de  Venn  o  en  los  respectivos  conjuntos.  

14  puntos    

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Describe   cómo   debe   obtenerse   la   cantidad   de   personas   que   cumplen   al   menos   2  características  y  concluye  sobre  su  valor.  

6  puntos  

 TEMA   5   (20   puntos)   Dados   los   conjuntos   referenciales   { }3,2,1,0,1Re −=x ,   { }9,4,3,2,1,0Re =y   y   el  

predicado   ( ) 2:, xyyxp = ,  entonces:  

a) Determine  el  conjunto  de  verdad   ( )yxAp ,  

b) Determine  el  conjunto  de  verdad   ( )1,xAp  

c) Determine  el  valor  de  verdad  de  la  proposición  ∀x∃y p x, y( )→∃x∀y p x, y( )    Solución:    

a) Ap x, y( ) = −1,1( ), 0, 0( ), 1,1( ), 2, 4( ), 3, 9( ){ }  b) Ap x,1( ) = −1,1( ), 1,1( ){ }  c) Para  este  literal  se  puede  hacer  una  representación  gráfica:  

                  ( )yxAp ,  

Rex         Rey  

     

     

  De  aquí  se  deduce  que:    

  ∀x !∃y!p x, y( ) ≡1  

  ∃x !∀y!p x, y( ) ≡ 0  

 

 

∀x∃y p x, y( )1

! "## $##→∃x∀y p x, y( )

0! "## $##

1→ 00

 

 ∴    ∀x∃y p x, y( )→∃x∀y p x, y( )  es  una  proposición  FALSA.  

 Rúbrica:    Tabula  los  elementos  del  conjunto  de  verdad  especificado  en  el  literal  a).  Tabula  los  elementos  del  conjunto  de  verdad  especificado  en  el  literal  b).  Determina  los  valores  de  verdad  de  las  proposiciones  simples  del  literal  c).  Determina  el  valor  de  verdad  de  la  proposición  compuesta  y  concluye  que  es  falsa.  

7  puntos  7  puntos  4  puntos  2  puntos  

 

   

-­‐1  

0  

1  

2  

3  

0  1  2  3  4  9