Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ

Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø

http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch

ÏÎÌÈ ÐÀÍ

30 ñåíòÿáðÿ 2010 ã.

1 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).

I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.

I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó∑

t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),

ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.

I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó∑

t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),

ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó

∑t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .

I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),

ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó

∑t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .

I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),

ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó

∑t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .

I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).

I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),

ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó

∑t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .

I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÏðåäñòàâëåíèå ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ

I ïîáèòíîå êîäèðîâàíèå ÷èñåë ôîðìóëàìè;I íåðàâåíñòâà âèäà

∑t ctyt ≥ c ,

ãäå ct , c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt èëè yt = ¬xt).I ct · yt � ýòî (Y0, . . . ,Yk),

ãäå Yi = yt , åñëè (ct)i = 1; èíà÷å Yi = False.I íàäî âû÷èñëèòü ñóììó

∑t ctyt äëÿ yt ∈ {0, 1} è ñðàâíèòü ñ c .

I Add((F0, . . . ,Fk), (G0, . . . ,Gk))i =

Fi ⊕ Gi ⊕∨0≤j<i

(Fj ∧ Gj ∧∧

j<k<i

(Fk ⊕ Gk)).

I SAdd(~F , ~G , ~H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .I CAdd(~F , ~G , ~H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).I SUM(c1y1, . . . , cnyn): ñêëàäûâàåì SAdd, CAdd, ïîñëåäíèå � Add.

I ~F > ~G ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê∨i

(Fi ∧ ¬Gi ∧∧j>i

(Fj ≡ Gj)).

2 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :

I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.

I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).

I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .

I îêðóãëåíèå ∑(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

� ðàçáîð ñëó÷àåâ (ò.å. äîê-âî îò ïðîòèâíîãî):

SUM(. . . , ctyt , . . .) ≥ c + 1 ∨ ¬(SUM(. . . , ctyt , . . .) ≥ c + 1),

èç âòîðîãî ñëåäóåò ≤ c , óìíîæèì îáðàòíî íà a. . . .

I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Ìîäåëèðîâàíèå ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé â ñèñòåìàõ ÔðåãåÌîäåëèðîâàíèå ïðàâèë

I ïðîñóììèðóåì∑

ctyt ≥ c è∑

dtyt ≥ d :I äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òîAdd(SUM(. . . , ctyt , . . .), SUM(. . . , dtyt , . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt , . . .),

I ðàâåíñòâî Add(ctyt , dtyt)i ≡ (ct + dt)iyt � ðàçáîð ñëó÷àåâ.I yt + ¬yt � àíàëîãè÷íî.

I äîêàæåì ~F ≥ ~G ∧ ~F ′ ≥ ~G ′ ⊃ Add(~F , ~F ′) ≥ Add(~G , ~G ′).I óìíîæåíèå (äåëåíèå) íà êîíñòàíòó. . .I îêðóãëåíèå ∑

(act)yt ≥ ac + r∑ctyt ≥ c + 1

(r < a)

� ðàçáîð ñëó÷àåâ (ò.å. äîê-âî îò ïðîòèâíîãî):

SUM(. . . , ctyt , . . .) ≥ c + 1 ∨ ¬(SUM(. . . , ctyt , . . .) ≥ c + 1),

èç âòîðîãî ñëåäóåò ≤ c , óìíîæèì îáðàòíî íà a. . . .I ñâîéñòâà íóëÿ: Add(~F , 0)i ≡ Fi è 0 < 1.I SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, î÷åâèäíî, ëîæíî.

3 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû

Îïðåäåëåíèå

A � îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒äëÿ âñÿêîãî A′ èìååòñÿ ïîëèíîì p, ò.÷. ∀x ∈ L

timeA(x) ≤ p(timeA′(x) + |x |).

4 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû

Îïðåäåëåíèå

A � îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒äëÿ âñÿêîãî A′ èìååòñÿ ïîëèíîì p, ò.÷. ∀x ∈ L

timeA(x) ≤ p(timeA′(x) + |x |).

Ëåâèíñêèé îïòèìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà SAT:

çàïóñòèòü �ïàðàëëåëüíî� âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû, ïðîâåðèòü

âûäàííûé �âûïîëíÿþùèé� íàáîð, åñëè âåðåí � âûäàòü.

4 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû

Îïðåäåëåíèå

A � îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒äëÿ âñÿêîãî A′ èìååòñÿ ïîëèíîì p, ò.÷. ∀x ∈ L

timeA(x) ≤ p(timeA′(x) + |x |).

Ëåâèíñêèé îïòèìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà SAT:

çàïóñòèòü �ïàðàëëåëüíî� âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû, ïðîâåðèòü

âûäàííûé �âûïîëíÿþùèé� íàáîð, åñëè âåðåí � âûäàòü.

Çàìå÷àíèå

Ëåâèíñêèé àëãîðèòì íå äëÿ ÿçûêà TAUT.

4 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû

Îïðåäåëåíèå

A � îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ L ⇐⇒äëÿ âñÿêîãî A′ èìååòñÿ ïîëèíîì p, ò.÷. ∀x ∈ L

timeA(x) ≤ p(timeA′(x) + |x |).

Ëåâèíñêèé îïòèìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà SAT:

çàïóñòèòü �ïàðàëëåëüíî� âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû, ïðîâåðèòü

âûäàííûé �âûïîëíÿþùèé� íàáîð, åñëè âåðåí � âûäàòü.

Çàìå÷àíèå

Ëåâèíñêèé àëãîðèòì íå äëÿ ÿçûêà TAUT.

. . . è íå äëÿ ÿçûêà SAT.

4 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

⇐=:

I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ

íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.I Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå

âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n, îçíà÷àþùóþ �Π êîððåêòíà

äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n�.I Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n}n∈N.

I Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:I Íîìåð ñèñòåìû Π;

I Ïðîòîêîë ðàáîòû O íà ConΠ,n;

I Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

⇐=:I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ

íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.

I Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå

âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n, îçíà÷àþùóþ �Π êîððåêòíà

äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n�.I Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n}n∈N.I Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:

I Íîìåð ñèñòåìû Π;

I Ïðîòîêîë ðàáîòû O íà ConΠ,n;

I Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

⇐=:I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ

íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.I Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå

âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n, îçíà÷àþùóþ �Π êîððåêòíà

äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n�.

I Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n}n∈N.I Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:

I Íîìåð ñèñòåìû Π;

I Ïðîòîêîë ðàáîòû O íà ConΠ,n;

I Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

⇐=:I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ

íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.I Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå

âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n, îçíà÷àþùóþ �Π êîððåêòíà

äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n�.I Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n}n∈N.

I Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:I Íîìåð ñèñòåìû Π;

I Ïðîòîêîë ðàáîòû O íà ConΠ,n;

I Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

⇐=:I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì O ðàáîòàåò ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ

íà ëþáîì ïîäìíîæåñòâå òàâòîëîãèé èç P.I Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ Π, ëåãêî (çà ïîëèíîìèàëüíîå

âðåìÿ) çàïèñàòü òàâòîëîãèþ ConΠ,n, îçíà÷àþùóþ �Π êîððåêòíà

äëÿ ôîðìóë ðàçìåðà n�.I Çíà÷èò, O ïîëèíîìèàëåí íà CΠ = {ConΠ,n}n∈N.I Îïòèìàëüíîå äîê-âî ôîðìóëû F ðàçìåðà n:

I Íîìåð ñèñòåìû Π;I Ïðîòîêîë ðàáîòû O íà ConΠ,n;I Π-äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû F .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

=⇒:I Ïóñòü Π � p-îïòèìàëüíàÿ.

I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì: �ïàðàëëåëüíûé� çàïóñê âñåõ Oi ,

ïðåòåíäóþùèõ íà âûäà÷ó Π-äîêàçàòåëüñòâ.I Âûäàííîå Oi �äîê-âî� ïðîâåðÿåòñÿ Π;

åñëè ïðàâèëüíîå � âåðíóòü �1�.

I Ïî p-îïòèìàëüíîñòè Π äëÿ ëþáîãî àëãîðèòìà A åãî ïðîòîêîë

ìîæåò áûòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðåîáðàçîâàí â Π-äîê-âî

íåêîòîðûì f . Êîìïîçèöèÿ A è f èìååòñÿ â {Oi}i .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

=⇒:I Ïóñòü Π � p-îïòèìàëüíàÿ.I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì: �ïàðàëëåëüíûé� çàïóñê âñåõ Oi ,

ïðåòåíäóþùèõ íà âûäà÷ó Π-äîêàçàòåëüñòâ.I Âûäàííîå Oi �äîê-âî� ïðîâåðÿåòñÿ Π;

åñëè ïðàâèëüíîå � âåðíóòü �1�.

I Ïî p-îïòèìàëüíîñòè Π äëÿ ëþáîãî àëãîðèòìà A åãî ïðîòîêîë

ìîæåò áûòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðåîáðàçîâàí â Π-äîê-âî

íåêîòîðûì f . Êîìïîçèöèÿ A è f èìååòñÿ â {Oi}i .

5 / 6

Îïòèìàëüíûå ïîëóàëãîðèòìû vs ñèñòåìû äîêàçàòåëüñòâ

Òåîðåìà (Kraj���cek, Pudl�ak, 1989)

∃ p-îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â ⇐⇒∃ îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì äëÿ TAUT.

=⇒:I Ïóñòü Π � p-îïòèìàëüíàÿ.I Îïòèìàëüíûé ïîëóàëãîðèòì: �ïàðàëëåëüíûé� çàïóñê âñåõ Oi ,

ïðåòåíäóþùèõ íà âûäà÷ó Π-äîêàçàòåëüñòâ.I Âûäàííîå Oi �äîê-âî� ïðîâåðÿåòñÿ Π;

åñëè ïðàâèëüíîå � âåðíóòü �1�.

I Ïî p-îïòèìàëüíîñòè Π äëÿ ëþáîãî àëãîðèòìà A åãî ïðîòîêîë

ìîæåò áûòü çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðåîáðàçîâàí â Π-äîê-âî

íåêîòîðûì f . Êîìïîçèöèÿ A è f èìååòñÿ â {Oi}i .

5 / 6

p-Optimal proof system from optimal acceptorfor any paddable language [Messner, 99]

De�nition

L is paddable if there is an injective non-length-decreasing polynomial-time

padding function padL : {0, 1}∗ × {0, 1}∗ → {0, 1}∗ that is polynomial-time

invertible on its image and such that ∀x ,w (x ∈ L ⇐⇒ padL(x ,w) ∈ L).

Optimal proof:

I description of proof system Π;I Π-proof π of F ;I 1t (for how long can we work?).

Veri�cation:

I run optimal acceptor on padL(x , π);I for a correct proof, it accepts in a polynomial time because for a

correct system Π, the set {padL(x , π) | x ∈ L, Π(x , π) = 1} ⊆ L can

be accepted in a polynomial time.6 / 6