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2. Theorie des Haushalts

2.5 Die Dualität der Konsumtheorie

VWL I/WS 2007/08 183


Alternative Betrachtungsweisen des Optimierungsverhalten des Haushalts: � Nutzenmaximierung unter gegebenen Ausgaben/Einkommen oder � Minimierung der Ausgaben p1x1 + p2x2 unter der Erzielung eines vorgegebenen Nutzens.



VWL I/WS 2007/08 184

x1

x2

A

x1A

x2A

U = U0

I1/p2

I2/p2

I3/p2

Abbildung 2.53: Das Haushaltsoptimum – Ausgabenminimierung



VWL I/WS 2007/08 185

Gegeben: Zielfunktion: minx1,x2 p1x1 + p2x2 Nebenbedingung: U(x1,x2) = U0

1. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu:

U(x1,x2) – U0 = 0

2. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion:

Z(x1,x2,λ) = p1x1 + p2x2 - λ(U(x1,x2) – U0)



VWL I/WS 2007/08 186

3. Schritt: Minimierung von Z über x1,x2.

Notwendige Bedingungen 1. Ordnung:

0MUpx

Z11

1

=λ−=∂

∂ (1)

0MUpx

Z22

2

=λ−=∂

∂ (2)

0U)x,x(UZ 0

21 =+−=λ∂

∂ (3)

Umformung von (1) und (2) zu: 11 MUp λ= (1’), 22 MUp λ= (2’)



VWL I/WS 2007/08 187

Division von (1’) durch (2’):

GRSMU

MU

p

p

2

1

2

1 == (4)



VWL I/WS 2007/08 188

Rechenbeispiel für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: Zielfunktion: minx1,x2 p1x1 + p2x2 Nebenbedingung: U(x1,x2) = x1

αx21-α

= U0 1. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu:

x1αx2

1-α - U

0 = 0

2. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion:

Z(x1,x2,λ) = p1x1 + p2x2 - λ(x1αx2

1-α - U0)



VWL I/WS 2007/08 189

3. Schritt: Minimierung von Z über x1,x2.

Notwendige Bedingungen 1. Ordnung:

0xxpx

Z 12

111

1

=λα−=∂

∂ α−−α (1)

( ) 0xx1px

Z212

2

=α−λ−=∂

∂ α−α (2)

0UxxZ 01

21=+−=

λ∂

∂ α−α (3)

Umformung von (1) und (2) zu:

α−−αλα= 12

111 xxp (1’)

α−αα−λ=

212 xx)1(p (2’)



VWL I/WS 2007/08 190

Division von (1) durch (2):

( ) ( )

1

2

21

12

11

2

1

x1

x

xx1

xx

p

p

α−

α=

α−

α=

α−α

α−−α

⇔ ( )

2

1

1

2

p

p1

x

x

α

α−= (4)



VWL I/WS 2007/08 191

Nachfragefunktionen:

1

0

1x

Up λα= ⇔ 0

11 Uxp λα= (1’’)

2

0

2x

U)1(p α−λ= ⇔ 0

22 U)1(xp α−λ= (2’’)

Addition beider Gleichungen:

02211 Uxpxp λ=+

� I = λU0 ⇔ U0 = I/λ



VWL I/WS 2007/08 192

Einsetzen in (1’’) und (2’’) ergibt:

11

1x

I

x

I/p α=

λλα= ⇔

11

p

I*x α=

22

2x

I)1(

x

I/)1(p α−=

λα−λ= ⇔

22

p

I)1(*x α−=



VWL I/WS 2007/08 193

Was geschieht bei der Kombination von (4) mit (3) 4. Schritt: Auflösen nach x1 oder x2 und Einsetzen in die Nebenbedingung

( )1

2

12

xp

p1x

α

α−= (4)

⇒ ( ) 0

1

12

11

Uxp

p1x =

α

α−α−

α

⇔ ( ) 0

1

2

11

Up

p1x =

α

α−α−

⇔ ( )

01

1

21

Up1

px

α−

α−

α= (Nachfragefunktion nach x1)



VWL I/WS 2007/08 194

Einsetzen in (4):

( )

( )0

1

1

2

2

12

Up1

p

p

p1x

α−

α−

α

α

α−=

⇔ ( )

( ) 0

2

10

1

22 U

p

p1U

p1

px

αα−

α

α−=

α−

α= (Nachfragefunktion nach x2)

� Hick’schen Nachfragefunktionen (John Hicks 1904-1989) oder auch „kompensierte“ Nachfragefunktionen: x1 = x1

H(p1, p2, U0)

x2 = x2H(p1, p2, U

0)



VWL I/WS 2007/08

x1

x2

A

U2

U1

x1A

x2A

C x2C

x1C

B

p1

x1

C

B

A

)I,p,p(xx 2111 =

)U,p,p(xx 12111 =

p1A

p1B

x1B

x1A

x1C

x1B

x2B

Abbildung 2.54: Marshall’sche und Hicks’sche

Nachfragefunktionen (normales Gut)

195



VWL I/WS 2007/08

x1

x2

A

B

U2

U1

x1B

x2A

C x2C

x1C

x1A

p1

x1

C

B

A

)I,p,p(xx 2111 =

)U,p,p(xx 12111 =

p1A

p1B

x1B x1

C x1

A

Abbildung 2.55: Marshall’sche und kompensierte

Nachfragekurve bei einem inferioren Gut

196



VWL I/WS 2007/08

x1

x2

A

U2

U1

x1A

x2A

C x2C

x1C

B

p1

x1

C

B

A

)I,p,p(xx 2111 =

)U,p,p(xx 12111 =

p1A

p1B

x1B

x1A

x1C

x1B

)U,p,p(xx 22111 =

x2B

Abbildung 2.56: Zusammenhang von Marshall’schen

und Hicks’schen Nachfragefunktionen

197



VWL I/WS 2007/08 198

Rechenbeispiel: Berechnung der kompensierten Nachfragefunktion für die Nutzenfunktion U(x1,x2) = x1 · x2

Bedingung für Haushaltsoptimum:

2

1

2

1

p

p

MU

MUGRS ==

⇒ 2

1

1

2

p

p

x

x= ⇔ 1

2

12 x

p

px =



VWL I/WS 2007/08 199

Einsetzen in die Nebenbedingung für die Ausgabenminimierung: U0 = x1 · x2,

⇒ 0

1

21

21

2

11

2

11

0 Up

pxx

p

px

p

pxU =⇔=⋅= ,

und für x2:

0

2

10

1

2

2

12 U

p

pU

p

p

p

px ==

kompensierte (Hicks’sche) Nachfragefunktionen:

Up

px

1

2H1 = , U

p

px

2

1H2 =



VWL I/WS 2007/08 200

Ausgabenfunktion p1x1

H(p1,p2,U) + p2x2H(p1,p2,U) = E(p1,p2,U).



VWL I/WS 2007/08

Nutzenmaximierung

max U(x1,x2) u.d. NB:

p1x1 + p2x2 = I

Ausgabenminimierung

min p1x1 + p2x2 u.d. NB:

U(x1,x2) = U0

Dualität

Marshall’sche

Nachfragefunktionen

x1(p1,p2,I)

x2(p1,p2,I)

Hicks’sche

Nachfragefunktionen

x1H(p1,p2,U

0)

x2H(p1,p2, U

0)

xjH(p1,p2,U

0) =

xj(p1,p2,E(p1,p2,U0))

xj(p1,p2,I) =

xjH(p1,p2,V(p1,p2,I))

Lösen Lösen

Indirekte Nutzenfunktion

V(p1,p2,I) =

U(x1(p1,p2,I),x2(p1,p2,I))

Ausgabenfunktion

E(p1,p2,U0) =

p1x1H(p1,p2, U

0)+p2x2

H(p1,p2, U

0)

U0 = V(p1,p2,I)

I = E(p1,p2,U0)

Einsetzen Shephard’s

Lemma Roy’s

Identität Einsetzen

Abbildung 2.57: Übersicht über Dualität (Breyer (2007), S. 138)

201



VWL I/WS 2007/08 202

Literatur:

Breyer (2007), 131-43.

Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 159-168, 205-11. Varian (2007), Kap. 6.


2.6 Einkommens- und Substitutionseffekte

VWL I/WS 2007/08 203


Zerlegung der Nachfrageänderung nach einem Gut infolge einer Änderung seines Preises: � Änderung des relativen Preises, d.h. des Preisverhältnisses zwischen beiden Gütern (Substitutionseffekt). � Die Preisänderung beeinflußt die reale Kaufkraft des Haushalts. Die daraus entstehende Änderung der Nachfrage nach dem Gut ist der Einkommenseffekt.



VWL I/WS 2007/08 204

x1

x2

A

U2

U1

x1A

x2A

C x2C

x1C

Abbildung 2.58: Ein Preisrückgang bei Gut 1



VWL I/WS 2007/08 205

x1

x2

A

B U2

U1

x1A

x1B

x2A

C x2C

x1C

Abbildung 2.59: Einkommens- und Substitutionseffekt bei einem normalen Gut



VWL I/WS 2007/08 206

x1

x2

A

B

U2

U1

x1A x1

B

x2A

C x2C

x1C

Abbildung 2.60: Einkommens- und Substitutionseffekt bei einem inferioren Gut



VWL I/WS 2007/08 207

x1

x2

A

B

U1

x1A x1

B

x2A

x2B

Abbildung 2.61: Warum der Substitutionseffekt einer Preissenkung immer positiv

sein muß.



VWL I/WS 2007/08 208

Tabelle: Wirkung einer Preisänderung für Gut 1 auf die Nachfrage nach Gut 1

Substitutionseffekt Einkommenseffekt Gesamteffekt (normal) (inferior) (normal) (inferior) p1 sinkt + + - + ? p1 steigt - - + - ?



VWL I/WS 2007/08 209

x1

x2

A

B

U2

U1

x1A

x1B

x2A

C x2C

x1C

Abbildung 2.62: Einkommens- und Substitutionseffekt bei einem Giffen-Gut



VWL I/WS 2007/08 210

Anwendung: Hartz IV Anpassung nach Preiserhöhung für Milchprodukte

Milchprodukte (M)

andere

Güter

(x)

C

B

U2

U1

MC

xC

A xA

MA

KV/pM Abbildung B2.4: Einkommens- und Substitutionseffekte einer Preiserhöhung für

Milchprodukte



VWL I/WS 2007/08 211

Milchprodukte (M)

andere

Güter

(x)

C

B

U2

U1

MC

xC

A xA

MA

Einkommensanpassung

nach EVS/pM

Abbildung B2.5: Nutzenwirkungen einer Transferanpassung bei einer

Preiserhöhung für ein Gut



VWL I/WS 2007/08 212

Literatur:

Breyer (2007), 143-49.

Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 169-175, 211-213. Varian (2007), Kap. 8.

2. theorie des haushalts - staff.uni-giessen.deg21101/mikro 4.pdf · 2. theorie des haushalts 2.5...

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