2. I QUADRILATERI

A cura di Mimmo CORRADO

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DEFINIZIONE

Un quadrilatero è un poligono convesso avente 4 lati.

A

B

C

D

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DEFINIZIONE

Il Trapezio è un quadrilatero convesso avente due lati opposti paralleli.

A B

CD

Base maggiore

Base minorealtezza

4

DEFINIZIONE

Un trapezio si dice scaleno se ha i lati obliqui non congruenti.

A B

CD

5

DEFINIZIONE

Un trapezio si dice rettangolo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi.

A B

CD

6

DEFINIZIONE

Un trapezio si dice isoscele se ha i lati obliqui congruenti.

A B

CD

7

PROPRIETA’

In un trapezio gli angoli A e D sono supplementari.

In un trapezio gli angoli B e C sono supplementari.

Dimostrazione

Gli angoli A e D sono coniugati interni, pertanto sono supplementari.

Gli angoli B e C sono coniugati interni, pertanto sono supplementari.

A B

CD

8

DEFINIZIONE

Il trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base maggiore congruenti.

A B

CD

Dimostrazione

I triangoli rettangoli ADH e BCK hanno l’ipotenusa e un cateto rispettivamente congruenti.Pertanto per il IV criterio di congruenza sono congruenti .

Si deduce quindi che l’angolo A è congruente all’angolo B.

KH

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DEFINIZIONE

Il trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti alla base minore congruenti.

A B

CD

Dimostrazione

Gli angoli A e D sono coniugati interni. Pertanto A e D sono Supplementari.

Gli angoli B e C sono coniugati interni. Pertanto B e C sono Supplementari.

Si deduce che gli angoli D e C sono congruenti (perché supplementari di angoli congruenti).

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DEFINIZIONE

Il trapezio isoscele ha le diagonali congruenti.

A B

CD

Dimostrazione

I triangoli ABC e ABD hanno:

- Il lato AB in comune

- I lati AD e BC congruenti

- Gli angoli A e B congruenti

Pertanto per il I criterio di congruenza sono congruenti.

Si deduce quindi che le diagonali AC e BD sono congruenti.

11

DEFINIZIONE

Il Parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.

A B

CD

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TEOREMA

In un Parallelogramma ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti.

A B

CD

Dimostrazione

I triangoli ABD e BCD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno:

- l‘angolo ABD congruente all’angolo BDC perché alterni interni

- l‘angolo ADB congruente all’angolo CBD perché alterni interni

- Il lato BD in comune

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TEOREMA

A B

CD

Dimostrazione

I triangoli ABD e BCD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno:

- l‘angolo ABD congruente all’angolo BDC perché alterni interni

- l‘angolo ADB congruente all’angolo CBD perché alterni interni

- Il lato BD in comune

In un Parallelogramma i lati opposti sono congruenti.

Si deduce quindi che: AB ≅ DC e AD ≅ BC

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TEOREMA

A B

CD

Dimostrazione

I triangoli ABD e BCD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno:

- l‘angolo ABD congruente all’angolo BDC perché alterni interni

- l‘angolo ADB congruente all’angolo CBD perché alterni interni

- Il lato BD in comune

In un Parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti.

Si deduce quindi che gli angoli A e C sono congruenti.

Essendo inoltre gli angoli B e D somma di angoli congruenti sono anch’essi congruenti.

15

TEOREMA

A B

CD

Dimostrazione

I triangoli AOB e COD sono congruenti per il II criterio. Infatti hanno:

- i lati AB e CD congruenti per quanto dimostrato nel precedente teorema

- l‘angolo BAO congruente all’angolo OCD perché alterni interni

In un Parallelogramma le diagonali si dimezzano scambievolmente.

Si deduce quindi che AO ≅ OC e BO ≅ OD, cioè che le diagonali si dimezzano scambievolmente.

O

- l‘angolo ABO congruente all’angolo ODC perché alterni interni .

16

DEFINIZIONE

Il Rombo è un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti.

A

B

C

D

17

Le diagonali di un rombo sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

A

B

C

D

Dimostrazione

Il triangolo ACD è isoscele (perché AD ≅ CD) .

Ricordando che in un triangolo isoscele la mediana coincide con l’altezza, si ha che DO è perpendicolare ad AC.

O

In un parallelogramma le diagonali si dimezzano scambievolmente. Pertanto AO ≅ OC .

I triangoli AOD e DCO sono congruenti per il III criterio di congruenza.

Ciò implica che DO è la bisettrice dell’angolo D.

TEOREMA

18

DEFINIZIONE

Il Rettangolo è un parallelogramma che ha gli angoli congruenti.

A B

CD

19

Le diagonali del rettangolo, oltre a tagliarsi per metà, sono congruenti.

A B

CD

M

TEOREMA

20

DEFINIZIONE

Il Quadrato è un parallelogramma che ha tutti gli angoli e tutti i lati congruenti.

A B

CD

21

Le diagonali del quadrato, oltre a tagliarsi per metà, oltre a essere congruenti, sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli..

A B

CD

TEOREMA

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Diagramma di Eulero-Venn dei quadrilateri.

DIAGRAMMA

Quadrilateri

Trapezi

Parallelogrammi

Rettangoli Rombi

Quadrati