2. Die Welle-Teilchen-Dualität2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge

kp

kp

ωE ωE

Photonen: ...sind e.m.-Wellen |k|cωk,ω

...und masselose Teilchen |p|cEp,E

Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 )Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle,

Katzen, ...) Wellencharakter mit pk 1 pk 1 Eω 1

Eω 1

Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m:

2

2222

λ1

m2h

m2k

m2pE

Em2

h

p

hλ

de-Broglie-Wellenlänge

Beispiel: Elektronenbeugung

me c2 511 keV U ≪ 511 kVBeschleunigungsspannung:

λUeE VU

nm22,1

Uem2h

e λUeE

VU

nm22,1

Uem2h

e

U 100 V 0,12 nm

Gitterkonstanten ( 0,3 0,7 ) nm

Kristallbeugung ist möglich(Experiment: Davisson, Germer

1926, Nobelpreis 1937)

Kantenbeugung am MgO-Einkristall

X-Rays

e

ZählrateBeispiel: Elektronenbeugung am Youngschen Doppelspalt

Detektor / Film

Em2hE

eλω

l

Doppelspalt, l, ≫ Spaltbreiten Interferenz von 2 Punktquellen

s ≫ lintensiver Elektronenstrahl

Exp.: Schwacher Elektronenstrahl Auftreffen von Einzelelektronen

Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst!

Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig?

Zählrate

l

Elektronenstrahl passive Ladungssonde

passive Ladungssonde

Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden.

Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet,sobald die Sonden aktiviert werden.

Durch die (,,passive“) Messung wurde die quantenmechanische ,,Kohärenz” zerstört. Jede Messung ändert

das gemessene System!

Em2hE

eλω

Realisierung des Doppelspaltexperiments (Düber, Möllenstedt):

n

O

l

d ≫ Basislänge s ≫ l

I(y)optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma

N(y)

HV

Kathodenstrahl-Quelle

0 V

0 V

HV

Metallfaden, O(m)

2.2. Die Wellenfunktion (Zusammenfassung, Details Theorie)

Einfachster Fall: Die Bewegung einer Punktmasse m wird durch deren komplexe Wellenfunktion beschrieben. t,rψ

Physikalische Bedeutung:

2t,rψ

Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort zur Zeit t

r

rdt,rψ 32Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen d3r um zur Zeit t

r

Bewegungsgleichung im Potential V:

ψVψΔi m2tψ 2 ψVψΔi m2tψ 2 Schrödingergleichung: ( lineare Dgl.)

(Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)

Lösung für freie Teilchen (V 0): Wellenpaket ( Superposition ebener Wellen)

23

3

π2kdrki3ωtrki et,ψ~kdeC

~t,rψ kk

mit nichtlinearer Dispersionsrelation: kωω 2m2k

kωω 2

m2k

de Broglies Ansatz:

221

m2p

m2k

m2k mvE

ωE,kp222

✔

ψVψΔi m2tψ 2 ψVψΔi m2tψ 2

Ortsraum und k-Raum (bzw. Impulsraum):

23

3

π2kdrkiet,ψ~t,rψ k

Ortsraum:

23

3

π2rdrkiet,rψt,ψ~ k

Impulsraum:

Wahrscheinlichkeitserhaltung:

Wahrscheinlichkeitsdichte:

Wahrscheinlichkeitsflussdichte:

t,rψt,rρ 2

t,rψt,rρ 2

ψargρψψψψt,rj mim2

0jdivρ t

0jdivρ t

Kontinuitätsgleichung:

Klassischer Grenzfall ( ):

klassischer Messwert ≙ ,,Erwartungswert“

0

Ort: r d|ψ|rr 32 r d|ψ|rr 32

Impuls: rdψψkd|ψ~|kkp 3i

32

rdψψkd|ψ~|kkp 3i

32

Impulsoperator

ip

(hermitescher) Messoperator Ô: rdψOψO 3 rdψOψO 3

Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô:

Standardabweichung (vgl. Praktikum) OOO 2

2 OOO 2

2

2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation (Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932)

Wellenbild UnschärferelationenAnalogie zur Optik

Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen

Beispiel: Orts / Impuls-Unschärfe

pΔzΔpΔyΔpΔxΔ 2z2y2x pΔzΔpΔyΔpΔxΔ 2z2y2x

(Gleichheit gilt für gaußförmige Wellenpakete)

Spezialfall: Energie / Zeit-Unschärfe EΔtΔ 2 EΔtΔ 2

Anwendung: Lebensdauer angeregter Zustände, radioaktiver Kerne, ...

eNtN τt0

natürliche Linienbreite: τωΔEΔΓ

τtΔ 2τΓtΔEΔ

Experiment: Elektronenbeugung am Spalt

b x ≪ 1

x

N

e

ebene Welle

0pΔ0p xx

xΔ

x völlig unbestimmt

sin pbh

bλ

x sin pbh

bλ

x

xp

xx sinpp

bxΔ

2sinp2pΔ bh

xx

π4h2pΔxΔ x π4h2pΔxΔ x

dλ2αΔ

Objektiv

Punktabbildg. durchs Okular/Auge

D

d

x

Gedankenexperiment: Auflösungsgrenze des Mikroskops

Rückstoßpx

Teilchen

D

d

x

Objektiv

Punktabbildg. durchs Okular/Auge

Punktabbildg. Photonen im Kegel ununterscheidbar D

dλh

γxDd βpΔpΔ,α2βΔ

dDλ2αΔDxΔ

Beugung Photonen aus Kegel ununterscheidbar

x

π4h2pΔxΔ x π4h2pΔxΔ x kleiner bessere Ortsauflösung

größere Impulsverschmierung

2.4. Potentialkästen ψVψΔi m2tψ 2 ψVψΔi m2tψ 2

Betrachte stationäre Potentiale: (zunächst 1-dimensional)

rVV

rVV

Ansatz: mit ωˆierψt,rψ t

tωi

ωE ωE

ψEψVψΔ m2

2 Stationäre Schrödingergleichung

Gesamtenergiepotentielle

EnergieOperator der

kinetischen Energie

Lösung ( Theorie) Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie

Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte

Hier: Anschauliche Darstellung und Computersimulationen

E2

E1

E0

2.4.1. Rechteckpotentiale

Randbedingung: a Déjà vu: wie schwingende Saite

sinusförmige Eigenmoden, quantisierte Frequenzen

,1,0n,1n1nan

n

p2h

2λ

a2h

n 1np

2am8

hm2

pn 1nE 2

22n

x0 a

E

E 0

Teilchen in unendlich hohem Rechteck-Potentialtopf

0xV 0xV

• Es gibt eine Nullpunktsenergie: E 2

2

am8h

0 E 2

2

am8h

0

• En wächst quadratisch mit der Quantenzahl n. Anders als Photonen!• E↗ Knoten von ↗ Krümmung von . ↗• a↘ E wächst quadratisch.

Computer-Exp.: Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf

• Teilchen dringt in energetisch verbotenen Bereich V E ein; dort fällt die Wellenfunktion exponentiell ab.

• Es gibt nur noch endlich viele diskrete Energiezustände mit En V0 .

• Oberhalb der Ionisationsenergie V0 entsteht ein Energiekontinuum freier Zustände.

E2

E1

E0

x0 a

E

0xV 0xV

E 0

V0

2.4.2. Harmonischer Oszillator

E2

E1

E0

x0

E

E 0

Teilchen im harmonischen Potential

xDxV 221 xDxV 221

E3Qualitativ: Unendliche Folge von Kastenpot. wachsender Höhen

• Unendl. Folge diskreter Niveaus• Exp. Dämpfung in verbotenen

Bereichen• Es gibt eine Nullpunktsenergie• Energiequantenzahl n Knoten

Theorie

mD

21

n

ω

ωnE

mD

21

n

ω

ωnE

Im harmonischen Oszillator-Potential unterscheiden sich benachbarte Energie-Niveaus um das Energiequantum . Dabei ist die klassische Eigenfrequenz des Oszillators. Plancksche Quantenhypothese: Übergänge durch Absorption oder

Emission von Energiequanten (z. B. Photonen oder Phononen)

ω

2.5. Der Tunneleffekt2.5.1. Potentialstufen

x

E

0

V0

x

E

0

V0• Rechteckstufe enthält die wesentliche Physik

• Form der Stufe Details

Untersuche die monoenergetischen

harmonischen Teilwellen des Wellenpakets

exψtx,ψ tωi exψtx,ψ tωi

x

E

0

V0

a) : 0

22

Vm2

kE

Em2k 1

Em2k 1

klassisch

R, T Reflexions-, Transmissionskoeffizienten für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

0T1R 0T1R

x

quantenmechanisch

x

Überlagerung: einlaufend reflektiert

verbotene Zone: exponentielle Dämpfung

0T1R 0T1R

x

E

0

V0

b) : 0

22

Vm2

kE

Em2k 1

Em2k 1

klassisch

1T0R 1T0R

kk

kk4T

kk

kkR 2

2

kk

kk4T

kk

kkR 2

2

VEm2k 01 VEm2k 01

EEkin 0kin VEE

x

quantenmechanisch

x

einlaufend reflektiert

auslaufend

Bemerkung: • Gilt auch bei negativen Potentialstufen.• Wellenpaket Überlagerung aller harmonischen Teilwellen.

2.5.2. Potentialbarrieren

x

E

0

V0• Rechteckbarriere enthält die wesentliche Physik

• Barrierenform Höhe und Breite

Untersuche die monoenergetischen

harmonischen Teilwellen des Wellenpakets

exψtx,ψ tωi exψtx,ψ tωix

E

0

V0

a

x

E

0

V0

a) : 0

22

Vm2

kE

Em2k 1

Em2k 1

klassisch

0T1R 0T1R x

quantenmechanisch

x

exponentielle Dämpfung

getunnelte Welle

0T1R 0T1R

x

E

0

V0

b) : 0

22

Vm2

kE

Em2k 1

Em2k 1

klassisch

1T0R 1T0R

VEm2k 01 VEm2k 01

x

quantenmechanisch

x

Tunneleffekt

0VE0

1

0 1 2 3

R

T

Interferenz der reflektierten Teilwellen

E0

E1

E2

Vextern Eexternz

Exp. Test des Tunneleffekts (1): Feldemission des Wasserstoffs

z0

E

VCoulomb

Vtot

e e

Tunneleffekt

Coulombfeld

Proton

Elektron

z

externE

Emission

VCoulomb

Experimenteller Test des Tunneleffekts (2): -Zerfall von Kernen

r0

E

-Teilchen Helium-Kern (2 Protonen 2 Neutronen), Ladung 2e

VKern Vtot

Tunneleffekt Atomkern Ladung Ze

starke Kernkraft

r

V

zV

0

Exp. Test des Tunneleffekts (3): Tunnelschwingung des NH3-Moleküls

H

N

H

H

zBindungsenergie des N-Atoms in H3-Ebene:

Stabile Bindungsposition

Symmetrische Bindungsposition

Tunneleffekt