1s ²−²=− ℎ . a. que représentent respectivement et 1s 4ma_au_carre_moins_m · méthode...

Download 1S ²−²=− ℎ . a. Que représentent respectivement et 1S 4MA_au_carre_moins_M · Méthode II…

Post on 14-Sep-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • [1-4]

    = .

    Problme

    Dans un repre orthonorm = (0; , ), on considre

    les points : (1; 3) et (7; 6).

    On note ( ) lensemble des points du plan tels que :

    4 = 15

    On se propose de dterminer la nature de ( ) par deux

    mthodes diffrentes.

    Mthode I Gomtrie analytique

    1. Soit ( ; ) un point quelconque.

    Exprimer et en fonction de et , sans

    chercher dvelopper les expressions obtenues.

    2. On considre le programme :

    For(X,-10,10,1)

    For(Y,-10,10,1)

    (X-1)+(Y-3)R

    (X-7)+(Y-6)S

    4*R-ST

    If T=15

    Then

    Disp X= ,X

    Disp Y= ,Y

    Pause

    End

    End

    End

    a. Que reprsentent respectivement , et dans ce

    programme ?

    Que reprsentent les valeurs de X et Y

    affiches par ce programme ?

    b. Entrer le programme sur la calculatrice et le faire

    tourner. En dduire quelques points appartenant

    ( ), et les reporter sur la figure ci-dessous :

    Emettre une conjecture sur la nature de ( ).

    3. Montrer quavec les notations de lexercice,

    on a :

    ( ; ) ( ) + + 2 4 = 20

    4. a. Donner la forme canonique de + 2 .

    b. Donner la forme canonique de 4 .

    c. Dduire des questions prcdentes quune

    quation de ( ) est :

    ( + 1) + ( 2) = 5

    5. Dduire de 4. c. la nature et les lments

    caractristiques de ( ).

    Mthode II Gomtrie vectorielle

    1. Dmontrer que pour tout point du plan :

    4 = 2 + . (2 )

    2. Soit le point du plan tel que : =

    .

    a. Montrer que : 2 + = 0

    b. En dduire que pour tout point du plan :

    2 + = 3

    3. Soit le symtrique de par rapport .

    a. Montrer que : 2 = 0

    b. En dduire que pour tout point du plan :

    2 =

    4. Montrer que, avec les notations de lexercice :

    ( ) . = 5

    5. Soit le milieu de [ ].

    a. Placer , , sur la figure.

    b. Calculer les coordonnes de , et .

    c. Vrifier que : = 20.

    d. Montrer quavec les notations de lexercice :

    . = 5 = 5

    6. Prciser la nature et les lments caractristiques

    de ( ).

    1S

    Fin

    MathsEnClair.com - Tous droits rservs

  • [2-4]

    Corrig

    (1; 3) et (7; 6) ; ( ) : 4 = 15

    Mthode I Gomtrie analytique

    1. Soit ( ; ) un point quelconque.

    Exprimer et en fonction de et .

    Le repre est orthonorm, donc :

    = ( ) + ( )

    Comme ( ; ) et (1; 3), on obtient :

    = ( 1) + ( 3)

    De mme :

    = ( ) + ( )

    puis :

    = ( 7) + ( 6)

    2.

    For(X,-10,10,1)

    For(Y,-10,10,1)

    (X-1)+(Y-3)R

    (X-7)+(Y-6)S

    4*R-ST

    If T=15

    Then

    Disp X= ,X

    Disp Y= ,Y

    Pause

    End

    End

    End

    a. En convenant que X et Y reprsentent les

    coordonnes dun point dans le repre , on

    reconnait que R reprsente , S reprsente

    et T reprsente 4 .

    Les nombres affichs par le programme sont les

    abscisses et ordonnes des points de ( ) dont les

    coordonnes sont des nombres entiers compris, au

    sens large, entre 10 et 10.

    b. En faisant tourner le programme, on obtient :

    X 6 5 5 4 4 1Y 2 1 5 2 6 3

    X 1 2 2 3 3 4Y 7 2 6 1 5 2

    On peut raisonnablement penser que lensemble

    ( ) est un cercle, de centre (1; 2) et de rayon 5.

    3. Montrer quavec les notations de lexercice,

    on a :

    ( ; ) ( ) + + =

    On a, avec les notations de lexercice :

    ( ; ) ( )

    4 = 15

    4[( 1) + ( 3) ] [( 7) + ( 6) ]

    = 15

    4[ 2 + 1 + 6 + 9]

    [ 14 + 49 + 12

    + 36] = 15

    4( + 2 6 + 10)

    ( + 14 12 + 85)

    = 15

    4 + 4 8 24 + 40 + 14

    + 12 85 = 15

    3 + 3 + 6 12 45 = 15

    3( + + 2 4 15) = 3 5

    + + 2 4 15 = 5

    + + 2 4 = 20

    4. a. Donner la forme canonique de + .

    On a : + 2 = ( + 1) 1.

    b. Donner la forme canonique de .

    On a : 4 = ( 2) 4.

    c. Dduire des questions prcdentes quune

    quation de ( ) est :

    ( + ) + ( ) =

    Daprs la question 3. , une quation de ( )

    est : + + 2 4 = 20

    + 2 + 4 = 20

    ( + 1) 1 + ( 2) 4 = 20

    ( + 1) + ( 2) = 25

    ( + 1) + ( 2) = 5

    5. Dduire de 4. c. la nature et les lments

    caractristiques de ( ).

    Lquation ( + 1) + ( 2) = 5 est de la

    forme ( ) + ( )

    = , avec = 1,

    = 2 et = 5, donc ( ) est le cercle de centre

    (1; 2) et de rayon = 5.

    MathsEnClair.com - Tous droits rservs

  • [3-4]

    Mthode II Gomtrie vectorielle

    1. Dmontrer que pour tout point du plan :

    = + . ( )

    On a :

    4

    = (2 )

    = (2 + )(2 )

    2. Soit le point du plan tel que : =

    .

    a. Montrer que : + =

    =1

    3

    3 =

    3 = + ( )

    3 = 0

    2 + = 0

    b. En dduire que pour tout point du plan :

    + =

    Pour tout point du plan :

    2 +

    = 2 AG + GM + BG + GM

    = 2AG + 2GM + BG + GM

    = 2AG + BG + 3GM

    Or, on a montr la question prcdente que :

    2 + = 0

    Donc :

    2 + + 3 = 3GM

    Finalement, pour tout point du plan :

    2 + = 3

    3. Soit le symtrique de par rapport .

    a. Montrer que : =

    est le symtrique de par rapport

    est le milieu de [ ]

    + = 0

    + + = 0 ( )

    2 = 0

    b. En dduire que pour tout point du plan :

    =

    Pour tout point du plan, on a :

    2

    = 2 + +

    = 2 + 2

    = 2 + 2

    Or, on a montr la question prcdente,

    que : 2 = 0

    Donc :

    2 +

    = 0 +

    =

    On a donc bien, pour tout point du plan :

    2 =

    4. Montrer que, avec les notations de lnonc :

    ( ) . = 5

    ( )

    2 + 2 = 15

    3 . = 15

    . =15

    3

    . = 5

    5. Soit le milieu de [ ].

    a. Placer , , sur la figure

    b. Calculer les coordonnes de , et .

    Coordonnes de

    On a, par dfinition de : =

    Donc :

    =

    =

    =

    ( )

    =

    ( )

    Comme = 1, = 3, = 7 et = 6,

    on obtient : 1 =

    (7 1)

    3 =

    (6 3)

    =

    + 1

    =

    + 3

    = 3 = 4

    Le point est le symtrique de pr rapport

    Il est bien entendu recommand de vrifier

    sur la figure les coordonnes du point et

    des suivants ..

    MathsEnClair.com - Tous droits rservs

  • [4-4]

    Coordonnes de

    Par dfinition, est le symtrique de par

    rapport , donc est le milieu de [ ].

    On en dduit :

    =

    + 2

    = +

    2

    2 = 2 =

    Comme = 1, = 3, = 7 et = 6, on

    obtient :

    = 2(1) 7

    = 2(3) 6

    = 5 = 0

    Coordonnes de

    Par dfinition, est le milieu de [ ]

    =

    =

    Or, on a montr que :

    = 5, = 0, = 3 et = 4,

    donc on obtient :

    =

    =

    = 1 = 2

    c. Vrifier que : =

    Le repre est orthonorm, donc on a :

    = ( ) + ( )

    puis, avec les coordonnes de et obtenues

    la question prcdente :

    = (5 + 1) + (0 2)

    = (4) + (2)

    = 16 + 4

    = 20

    d. Montrer quavec les notations de lexercice :

    . = =

    Avec les notations de lexercice, on a :

    . = 5

    + . + = 5

    . + . + . + . = 5

    + . + + = 5

    20 + . + = 5

    20 + = 5

    = 25

    = 25

    = 5

    Prciser la nature et les lments caractristiques de

    ( ).

    ( ) est lensemble des points du plan tels que :

    = 5, cest donc le cercle de centre et de rayon 5.

    figure rcapitulative

    MathsEnClair.com - Tous droits rservs