1era semana

39
1era SEMANA: LIMITE DE UNA FUNCION 1. Demostrar por definición de limites : lim n→3 ( 2 x 2 3 x+1 ) =10 Demostracion: lim n→3 ( 2 x 2 3 x+1 )=10 ∀E >0 ,∃δ >0 , Tal que X ∈Df∧ 0< | x3 | < δ→| (2 x 2 3 x +1 ) | 10¿ δ Buscamos un δ en función de E se tiene por pasos 1.1. Hipotesis: | x3| <δque esta acotado 1.2. Al termino | ( 2 x 2 3 x+1 ) | 10 ¿ simplificamos( factorizando, racionalizando, usando identidades trigonométricas según el caso) paraqué aparezca la hipótesis así | ( 2 x 2 3 x+1 ) | 10 ¿ = | ( 2 x 2 3 x9) | = ¿ ( x3)( 2 x +3)∨¿ E Donde ( x3) es acotado por δ , lo que falta acotar seria 2 x +3 Entonces buscamos un # positivo tal que ¿ 2 x +3¿ M 1.3. Usamos el paso 1.1 | x3| <δ δ=1 |x3 | <1 1< x3<1 2 <x <4 A partir de esta desigualdad se forma el termino ( 2 x +3) Se mulltiplica por 2: 4< 2 x<8 Se suma 3: 7< 2 x+3 <11 | 2 x +3 |<11=E 1.4. Se multiplica el paso 1 y 3 | x3| <δ | 2 x +3 |<11 =| x3|| 2 x +3 | < 11 δ→ 11 δ=E→δ= E 11 ¿ δ={1 , E 11 } 2. Demostrar por definición de limites:

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limite de una funcion

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Page 1: 1era Semana

1era SEMANA: LIMITE DE UNA FUNCION

1. Demostrar por definición de limites :

limn→3

(2x2−3 x+1 )=10❑

Demostracion:

limn→3

(2x2−3 x+1 )=10❑

↔ ∀ E>0 ,∃ δ>0 , Tal que

X∈Df ∧0<|x−3|<δ→|( 2x2−3 x+1 )|−10∨¿δBuscamos un δ en función de E→ se tiene por pasos

1.1. Hipotesis: |x−3|<δque esta acotado

1.2. Al termino |(2 x2−3 x+1 )|−10∨¿ simplificamos( factorizando, racionalizando, usando

identidades trigonométricas según el caso) paraqué aparezca la hipótesis así

|(2 x2−3 x+1 )|−10∨¿ = |(2 x2−3 x−9 )| = ¿(x−3)(2x+3)∨¿ EDonde (x−3)es acotado por δ , lo que falta acotar seria 2 x+3Entonces buscamos un # positivo tal que ¿2 x+3∨¿M

1.3. Usamos el paso 1.1 |x−3|<δ ∧ δ=1→|x−3|<1→−1<x−3<1→2<x<4

A partir de esta desigualdad se forma el termino (2 x+3) Se mulltiplica por 2: 4<2 x<8 Se suma 3: 7<2x+3<11→|2 x+3|<11=E

1.4. Se multiplica el paso 1 y 3 |x−3|<δ

|2 x+3|<11

=|x−3||2x+3|<11δ→11 δ=E→δ= E11

¿δ={1 , E11

}

2. Demostrar por definición de limites:

limn→3

(2x2−5 x+2 )=5¿

¿

2.1. |x−3|<δ2.2. ¿2 x2−5x+2∨¿=5 = ¿2 x2−5x+2−5|¿¿2x2−5 x−3|=¿(x−3)(2x+1)∨¿E

|x−3|<δ ∧ δ=1→|x−3|<1→−1<x−3<1→2<x<4

2.3. 4<2 x<8 → 5<2 x+1<9→|2x+1|<9

Page 2: 1era Semana

|x−3|<δ *|2 x+3|<1 1

= |x−3||2x+1|<9δ→9δ=E→δ= E9

¿δ={1 , E9

}

3. Demostrar por definición de limites:

limn→2

(3 x2−x−2 )=8¿

¿

Demostracion:

X∈Df ∧0<|x−2|<δ→|(3 x2−x−2 )|−8∨¿δ

3.1. |x−2|<δ3.2. ¿3 x2−x+2∨¿=5 = ¿3 x2−x+2−8|¿¿3 x2−x−10|=¿(x−2)(3 x+5)∨¿E

|x−2|<δ ∧ δ=1→|x−2|<1→−1<x−2<1→1<x<3

3.3. 3<3 x<9 → 8<3 x+5<11→|3 x+5|<11

|x−2|<δ *|3 x+5|<1 1

= |x−2||3x+5|<11δ→11 δ=E→δ= E11

¿δ={1 , E11

}

4. Calcular:

limn→8 ( x−8

3√ x−2 )❑

Solucion:

Hacemos el cambio de variable asi 3√ x= y→x= y3

Si x→8→ y→2 Reemplazando

limy→2

( y3−8y−2 )

=limy→2

( y3−23

y−2 )❑

=( y−2 )( y3+2 y+4)

( y−2 ) = lim

y→ 2( y3+2 y+4 )❑=12

5. Calcular

limx→1 (

3√ x2−23√ x+1

(x−1)2 )❑

Solucion

Hacemos el cambio de variable asi 3√ x= y→x= y3

Reemplazando =

Page 3: 1era Semana

limx→1 ( y

2−2 y+1( y3−1)2 )

Si x→1→y→1

Se desarrolla ( y3−1)2=( y−1 )2( y2+ y+1)

limx→1 ( y2−2 y+1

( y−1 )2( y2+ y+1))❑

=limx→1 ( 1

( y2+ y+1 )2 )❑

=19

6. Calcular

limn→1 (√ x−1

3√ x−2 )❑

Solucion Lavariable xafecta los radicales diferent3es tanto en el numerador como en el

denominador entonces hallamos en un cambio de variable Si x→1→y→1

x= y6→√x= y2

limn→1 (√ x−1

3√ x−2 )❑

=limy→1 ( y

3−1y2−1 )

= limy→1 ( ( y❑−1 )( y3+ y+1)

( y−1 )( y+1) )❑

= limy→1 (( y

3+ y+1)( y+1) )

=32

PROPIEDADES SOBRE LIMITES7. Calcular

limx→−1

( x2+4 x+3x+1 )

Solucion

limx→−1

( ( x+3 )(x+1)x+1 )

= limx→−1

( x+3 )❑=2

8. Calcular

 

Solucion

9. Calcular limx→1

1

1−x− 3

1−x3

Page 4: 1era Semana

Solucion1−x3→¿)(1+x+x2)→limx→1

1

1−x− 3

1−x3 =

limx→1

1+ x+x2−3

(1−x )(1+x+x2) =

limx→1

x+x2−2

(1−x )(1+x+x2)

= limx→1

( x−1 )(x+2)

(1−x )(1+x+x2) =

limx→1

(x+2)

−(1+x+x2) =

3−3

= -1

10. Calcular

Solucion

Se descompone:

  

Se reemplaza

11. Calcular:

limx→0

1x¿)

Solucion

limx→0

1x¿) = lim

x→0

1x¿) = lim

x→0❑¿ = -

14

12. Calcular

limx→ 4

x−4

x−√x−2Solucion

limx→4

x−4x−√x−2

= limx→ 4

(√x−2 )(√x+2)(√x−2 )(√x+1)

= limx→ 4

(√x+2)(√ x+1)

= 43

13. Calcular

Page 5: 1era Semana

Solucion

Debido a que   se puede expresar como 

por lo que:

14. Calcular:

limn→1

( x2−1x−1 )

Solucion:

I. evaluemos el Limite de la función

limn→1

( x2−1x−1 )

=00

→Esun valor indeterminado

II. Debemos levantar la indeterminación es decir que desaparecer la expresión 00

limn→1

( x2−1x−1 )

=limn→1

( ( x−1 )(x+1)x−1 )

=limn→1

( x+1 )❑=2

15. Calcularlimn→8

¿¿¿

Solucion:

limn→8

¿¿¿= limn→8

¿¿¿=2 x−16

(x¿¿2−64 )¿¿¿

2(x−8)(x−8)(x+8)¿¿

= limn→8

2

(x+8)¿¿ =

216.8

= 1

64

Page 6: 1era Semana

16. Calcular

limn→1 ( x2−4

x2−3 x+2 )❑

Solucion:

limn→1 ( x2−4

x2−3 x+2 )❑

= 00

limn→1 ( x2−4

x2−3 x+2 )❑

= limn→1 ( (x−2)(x+2)

(x−2)(x−1))❑

= limn→1

(x+2)

(x−1) =4

17. Calcular

limn→−2 ( x

3−2x2−4 x+83 x2−3 x−6 )

solución:

limn→−2 ( x

3−2x2−4 x+83 x2−3 x−6 )

= limn→−2 ( (x−2)(x2+2)

(3 x−6)(x−1))❑

= limn→−2 ((x−2)(x−2)(x+2)

3( x−2)(x−1) )❑

limn→−2 ((x−2)(x+2)

3( x−1) )❑

=169

SEGUNDA SEMANA: L.L, L.T., L. ∝, Asindotas

1. Calcular:

limx→1

f (x ), si f ( x )=¿{x2+1; x ≥1∧ x2−1x−1

; x<1

Solucion

Por limites laterales limx→1+¿ f (x)¿

¿ = limx→1

x2+1 = 2 ; x≥1

limx→1−¿f (x)¿

¿= limx→1

x2−1

x−1 =lim

x→1¿ ( x−1 )(x+1)

x−1=2 ; x<1

Page 7: 1era Semana

* limx→1+¿ f ( x )= lim

x →1−¿ f (x)=2→∃ lim

x→ 1f (x)=2¿¿

¿

2. Calcular:

Si existe limx→1

f ( x ); si f ( x )=¿{x2+3 ;x ≥1∧ x+1 ; x>1

Solucion

Por limites laterales ∃ limx→1

f (x)=1 → limx→1−¿ f ( x )= lim

x →1+¿f ( x )=1¿¿¿

¿

Calculamos limites laterales por la izquierda

limx→ 1−¿f ( x )= lim

x→1−¿ x2+3=4

¿¿¿

¿ ¿¿

a) Calculamos limites laterales por la derecha

limx→1+¿ f ( x )= lim

x →1+¿x+1=2¿

¿¿

¿¿¿

¿ limx→ 1+¿ f ( x )≠ lim

x →1−¿f ( x)→∄ lim

x→1f ( x)¿¿

¿

3. Calcular si existelimx→2

f ( x )=f ( x )=¿¿6x-x2; x¿2∧ 2 x2−x−3 ; x>2∧6 ;x=2

Solucion

Por limites laterales limx→2+¿ f (x)¿

¿ = limx→2

6 x−x2 = 8 ; x¿2

limx→2−¿f (x)¿

¿= limx→ 2−¿2x2−x−3¿

¿ =3 ; x>2

¿ limx→ 2+¿ f ( x )≠ lim

x→2−¿f ( x)→∄ lim

x→2f ( x)¿¿

¿

4. Calcular si existe

limx→2

f ( x )=f ( x )=¿x2 ¿; x≤2∧ 8−2x ; x>2

Solucion

Page 8: 1era Semana

Por limites laterales limx→2+¿ f (x)¿

¿ = limx→2

8−2 x = 4 ; x¿2

limx→2−¿f (x)¿

¿= limx→2−¿x2¿

¿ =4

¨*∃ limx→2

f (x)=4

5. Calcular limx→0

sin 3 x

xSolucionlimx→0

sin 3 x

x =

limx→0

sin 3 x .3

3 x = 1x3 = 3

6. Calcular

limx→0

sin x2

x

Solucion

limx→0

sin x2

x =

limx→0

sin x

x. sin x=

limx→0

sin x

x. limx→0

sin x=1x 0=0

7. Calcular

limx→0

sin 5 x

sin3 xSolucion

limx→0

sin 5 x

sin3 x =

limx→0

5 xsen5x5 x

3 x sin 3 x3 x

= limx→0

5

3

sen5 x5x

sin 3 x3x

= 5x 13x 1

= 53

8. Calcular

limx→0

1−cosx

x

Solucion

Page 9: 1era Semana

limx→0

1−cosx

x =

limx→0

(1−cosx)(1∓osx )

x (1∓ osx ) =

limx→0

(1−cosx)(1∓osx )

x (1∓ osx ) =

limx→0

(1−cosx)

x (1∓osx )=

limx→0

sen2 x

x(1∓osx )9. Calcular

10. Calcular

11. Calcular

limx→0

tan2 x1−cos x

Soluciontan201−cos0

=0(1−1 )

=00

limx→0

tan2 x1−cos x

=limx→0

( senxcos x )2

1−cos x=limx→ 0

sen2 x(1−cos x ) cos2 x

=limx→ 0

1−cos2 x(1−cos x )cos2 x

=limx→0

(1−cos x ) (1+cos x )(1−cos x )cos2 x

Page 10: 1era Semana

limx→0

(1+cos x )cos2 x

=(1+cos 0 )cos2 0

=1+1

12=2

12. Calcular

13. Calcular:

limx→∞

2x2−x+64 x3−2

Solucion

limx→∞

2x2−x+64 x3−2

=

limx→∞

2 x2

x3 − xx3 +

6x3

4 x3

x3− 2

x3

=

limx→∞

2 x2

x3 − xx3 +

6x3

4 x3

x3− 2

x3

=limx→∞

2x− 1x2 +

6x3

4❑

❑ − 2x3

= 0−0+0

4−0 =

04

= 0

14. Calcular

limx→−∞

√ x2+2x+x

Solucion

Page 11: 1era Semana

limx→−∞

(√ x2+2 x+x )(√ x2+2x−x )

(√x2+2 x−x) = lim

x→−∞

(x2+2 x−x2)

(√x2+2x−x )= limx→−∞

2x

(√x2+2x−x )

=limx→−∞

2 x

¿ x∨(√1+ 2x−x )

, lxl =-x como x ¿0→ lim

x→−∞

2

−(√1+ 2x−1)

= -1

15. Calcular

limx→5+¿ x

2−5x+10x2−25

¿

¿

Solucion

limx→5+¿ x

2−5x+10x2−25

¿

¿ =

limx→5+¿

52−5 (5 )+10

52−25¿

¿ =

100

= +∞

16. Calcularlim

x→2+¿ √x2−4x❑−2

¿

¿

Solucion

limx→2+¿ x

2−4x−2

¿

¿ =

limx→2+¿ √x2−4

x❑−2√x2−4

√x2−4¿

¿ =

limx→2+¿ x2−4

(x−2)√x2−4= lim

x→2+¿(x−2) (x+2)(x−2)√ x2−4

¿

¿ ¿

¿=

40=¿ +∞

17. Calcular

limx→−2

x2+2 xx2−4

Solucion

limx→−2

x2+2 xx2−4

=00

⇒ limx→−2

x ( x+2 )( x+2 ) (x−2 )

= limx→−2

xx−2

=−2−4

=12

Asíntotas Horizontales

a) limx→+∞

f ( x )=k

b) limx→−∞

f (x )=k

c) limx→∞

f (x )=k

Page 12: 1era Semana

Asindotas Verticales

a) limx→a

f ( x )=±∞

b) limx→a+¿ f ( x )=±∞¿

¿

c) limx→a−¿f ( x )=±∞¿

¿

Asindotas Oblicuas

a) Son rectas de la forma: y=m x+n

donde:

m= Límx→±∞

f ( x )x

; n= Límx→±∞

[ f ( x )−m x ]

Si Límx→±∞

[ f ( x )−m x−n ]=0+

la curva va por encima de la asíntota .

Si Límx→±∞

[ f ( x )−m x−n ]=0−

la curva va por debajo de la asíntota .

18. Calcular

y= x2+1x−3

Asíntotas verticales:

Si

Límx→ x0

−f ( x )=±∞

y/o

Límx→ x0

+f ( x )=±∞

la recta x=x0

es una asíntota vertical.Una función racional tiende a más o menos infinito cuando el denominador es igual a cero y el numerador es distinto de cero. Por tanto, para hallar las asíntotas verticales de una función racional lo primero que hay que hacer es hallar los valores de x que anulan el denominador, es decir, los polos de la función.

x−3=0 ⇒ x=3

Después, se estudia el límite de la función para esos valores de x que anulan el denominador.

Límx→ 3

x2+1x−3

=

Límx→ 3−

x2+1x−3

=100− =− ∞

y

Límx→ 3+

x2+1x−3

=100+ =+ ∞

Por tanto, la recta x=3

es una asíntota vertical.

Page 13: 1era Semana

Nota: Una función racional puede tener como máximo tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador. Y, la curva no puede cortar a una asíntota vertical.

SEXTA SEMANA : Derivada de función trigonométrica

Problema 1: Calcular la derivada de y = Cos2x

Sol

u = 2x => y’ = - Sen2x(2x)’ => y’ = - 2Sen2x

Problema 2: Calcular la derivada de y = Sen(x2 + θ)

Sol

u = (x2 + θ) => y’ = Cos(x2 + θ)(x2 + θ)’ => y’ = 2xCos(x2 + θ)

Problema 3: Calcular la derivada de y = Cosx + Secx

Sol

y’ = - Senx + Secx.Tgx = - Senx + Senx.Sec2x = Senx (Sec2x - 1) ∴ y’ = Senx.Tg2x

Problema 4: Calcular la derivada de y = √1 - Sen3x

Sol

y = (1 – Sen3x)12 => y’ = 1

2(1 - Sen3x )

- 12 . (1 – Sen3x)1 =

- 3Cos3x

2(1-Sen3x)- 1

2

∴y '= - 3Cos3x

2√1 - Sen3x

Problema 5: Calcular la derivada de y = Secx.Ctgx

Sol

Page 14: 1era Semana

y’ = (Secx)1.Ctgx + (Ctgx)1.Secx = Secx.Tgx.Ctgx – Cosec2x.Secx

Pero: Tgx.Ctgx = SenxCosx

.CosxSenx

= 1 => y’ = Secx – Secx.Cosec2x

y’ = Sec(1 – Cosec2x) = Secx(- Cotg2x) = - 1Cosx

.Cos2 xSen2 x

=> y’ = -Cosx

Sen2 x

y’ = -CosxSenx.Senx

= -1Senx

.CosxSenx

∴y’ = - Cosecx.Ctgx

Problema 6: Calcular la derivada de y = Sec(2x2 + 1)5

Sol

y’ = Sec(2x2 + 1)3.Tg(2x2 + 1).[(2x2 + 1)3]1 (u3)1 = 3(u)2(u)1

y’ = Sec(2x2 + 1)3.Tg(2x2 + 1).[3(2x2 + 1)2(4x)] = 3(2x2 + 1)2 (4x) = 12x(2x2 + 1)2

∴y’ = 12x(2x2 + 1)2. Sec(2x2 + 1)3.Tg(2x2 + 1)3

Problema 7: Calcula la derivada de y = 2x.Senx – (x2 - 2)Cosx

Sol

y’ = (2x)1Senx + 2x(Senx)1 – [(x2 + 2)1Cosx + (x2 + 1)(Cosx)1]

= 2Senx + 2xCosx – (2xCosx – (x2 - 2)Senx) = 2Senx + 2xCosx – 2xCosx + (x2 - 2)Senx

∴y’ = 2Senx + (x2 - 2)Senx + (x2 - 2)Senx = Senx(2 + (x2 - 2)) ∴y’ = x2Senx

Problema 8: Calcula la derivada de y = Cotg ( x2 + 2)Sec ( x2 + 2)

Sol

y’ = - 2xC osec2 ( x2+2 ) . Sec ( x2 + 2 ) - Cotg (x2 + 2 ) . Sec ( x2 + 2 ) . Tg ( x2 + 2 ) (2x)

Sec2 ( x2 +2)

Derivadas trigonométricas inversas

Page 15: 1era Semana

Problema 9: Calcular la derivada de y = tan−1 x+ tan−1 x

Solucion

dydx

= 1

1+x2− 1

1+x2 = 0 → y´=0

SETIMA SEMAMA Funcion exponencial, base a F. logarítmica natural y exponencial, y derivada de estas

1. Calcular la derivada de y = Ln(x2+1¿

Solucion

Y´= (x¿¿2+1)´x2+1

¿ = 2x

x2+1

2. Calcular la derivada de y = e3x2

Solucion

Y´ = e3x2

. (3 x2¿´ → Y´ = e3x2

. 6x

= Y´ =6x. e3x2

3. Calcular la derivada de y = xsenx

Solucion

Y = senx . lnx → y´=cosx . Lnx+ senxx

4. Calcular la derivada de y = Lnsenx

Solucion

Y´= senx ´senx

= cosxsenx

= ctgx

Page 16: 1era Semana

5. Calcular la derivada de y = senx

cos2 x + ln

1+senxcosx

Solucion

y = senx

cos2 x + ln

1+senxcosx

= senx

cos2 x + Ln (1+senx¿- Lncosx

y´ = cpsx . cps2 x−2cosx (−senx ) senx

cos 4 x +

cosx1+senx -

−senxcosx

y´ = cosx(cos 2x+2 sen2 x)

cos4 x+

cosx1+senx -

−senxcosx

y´ = (cos 2x+2 sen2 x)

cos3 x+

cosx(1−senx)1+senx(1−senx)

- −senxcosx

=

(cos 2x+2 sen2 x)cos3 x

+ cosx(1−senx)

cos 2x -

−senxcosx

=(cos 2x+2 sen2 x)

cos3 x+

(1−senx)cosx

- −senxcosx

= y´ = 2 sec3x

6. Calcular la derivada de y = log a2 x3+3x2−2 x+1

Solucion

Y´ = log ae →2 x3+3x2−2 x+1´2 x3+3x2−2 x+1

= 6x2+6 x−2

2x3+3 x2−2x+1.log ae

7. Calcular la derivada de y = ln √2 x+35

Page 17: 1era Semana

Solucion

y = ln √2 x+35 =52

ln 2 x+3 → y´=52

2x+3 ´2x+3

= 5

2x+3

OCTAVA SEMANA : Valores max y min de una función, Teorema de Rolle y

Valor medio Funcion creciente y decreciente

NOVENA SEMANA: Criterio de la segunda derivada determinar máximos y

minimos

1. Hallar los intervalos donde la gráfica de F(x)=4 x

x2+4; es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Solución: Calculo de la segunda derivada

F ' ( x )=4(x2+4 ) (1 )−x (2x )

(x¿¿2+4)2=4 (4−x2)

( x¿¿2+4)2¿¿

F ' ' (x )=4(x2+4 )2 (−2x )−( 4−x2 )2( x2+4)(2 x)

(x2+4 )4 =8x (x2−12)(x2+4 )3

Como F’’(x) está definida en toda recta real, hacemos F’’(x)=0 y obtenemos:

x ( x2−12 )=0⇔x=0 , x=±2√3 Ahora probamos el signo de F’’(x) en los intervalos <-∞, -2√3>, <-2√3, 0>, <0,

2√3>¿ y <2√3, +∞>

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Intervalo <-∞, -2√3> <-2√3, 0> <0, 2√3>¿ <2√3, +∞>Valor prueba X=-4 X=-1 X=1 X=4Signo de F’’(x) - + - +Conclusión Cóncava hacia

abajoCóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

2. Hallar los intervalos de concavidad de la gráfica de :

F ( x )= x

x2−1Solución:

Calculo de la segunda derivada:

F ' ( x )=(x2−1 )−x (2 x)

(x¿¿2−1)2= −x2+1(x¿¿2−1)2¿

¿

F ' ' (x )=−(x2−1 )2 (2 x )−(x2+1 ) 2(x2−1)(2x )

(x2−1)4 =2 x (x2+3)(x2−1)3

Dado que F’’(x) = 0 cuando x=0 y la función es discontinua en x=+-1, tomamos como intervalos prueba <-∞, -1>, <-1, 0>, <0, 1>, <1, +∞>

Intervalo <-∞, -1> <-1, 0> <0, 1> <1, +∞>Valor prueba X=-2 X=-1/2 X=1/2 X=2Signo de F’’(x) - + - +Conclusión Cóncava hacia

abajoCóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

Page 19: 1era Semana

3. Examinar la concavidad de la función F(x)=x1/3

Solución:

Hallemos la primera y segunda derivada de F:

F ' ( x )= 1

3x2 /3⇒F ' ' ( x )= −2

9 x5/3

Nótese que tanto F’(x) como F’’(x) no están definidas en x=0, sin embargo el signo de F’’(x) cambia en x=0, pues si tomamos como intervalos de prueba <-∞, 0> y <0, +∞> veremos que si

x<0⇒F ' ' ( x )>0¿

x>0⇒F ' ' ( x )<0¿

La concavidad cambia de sentido en x=0, luego este es un numero de inflexión y (0,0) es el punto de inflexión.

La gráfica:

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4. Hallar los extremos locales de la función F ( x )=3 x5−20 x3

Solución: Localización de los números críticos:

F ' ( x )=15 x4−60x2=15 x2(x+2)(x−2)Si F ' ( x )=0⇒ x2 (x+2 ) ( x−2 )=0⇔x=0 , x=−2 , x=2

Como el Dom(F)=R y F’ también existe en R, esos son los números críticos, en donde la función tiene por valores:

F (−2 )=3(−2)5−20 (−2 )3=64⇒ A(−2,64)F (0 )=3(0)5−20 (0 )3=0⇒O(0 ,0)

F (2 )=3(2)5−20 (2 )3=−64⇒B (2 ,−64) Aplicación de la segunda derivada:

F ' ' (x )=60 x3−120x=60x (x+√2)(x−√2)

Numero critico Signo de F’’(x) Conclusión

X=-2 - Máximo local=A(-2, 64)

X=0 0 El criterio no decide

X=2 + Mínimo local=B(2, -64)

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Al ser F’’(0)=0, el criterio de la segunda derivada no decide nada sobre el numero critico x=0. En este caso se debe recurrir al criterio de la primera derivada y examinar el signo de F’(x)=x2(x+2)(x−2) para x próximo a cero. Así, si

x∈←2 ,0>⇒F ' ( x )<0

x∈<0 ,2>⇒F ' ( x )<0En consecuencia, F es decreciente ∀ x∈←2 ,2>¿, de modo que el punto (0, 0) no es un extremo local.

Gráfica:

5. Hallar los puntos de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica de la función F(x)=6 x

x2+3Solución:

Siendo la función continua ∀ x∊ R, hallamos F’(x) y F’’(x)

F ' ( x )=6(x2+3 ) (1 )−x (2x )

(x2+3)2 =6 (3− x2)(x2+3)2

F ' ' (x )=6(x2+3 )2 (−2 x )−(3−x2 ) 2(x2+3)(2x )

(x2+3)4 =12 x (x+3)( x−3)

( x2+3)3

Para F’’(x)=0, los candidatos a números de inflexión son x= -3, x= 0 y x= 3 Probamos en los siguientes intervalos:

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Intervalo <-∞, -3> <-3, 0> <0, 3> <3, +∞>

Valor prueba X=-4 X=-2 X=1 X=4

Signo de F’’(x) - + - +

concavidad Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba

Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba

TEOREMA DE VALOR MEDIO

6. Verificar que la hipótesis del teorema del valor medio se satisface para la función ,

y = x3−6 x2−10 x, en el intervalo (1,4) luego hallar el valor de c que satisface la conclusión del teorema

solución

y´ = x3−6 x2−10 x

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y = f (4)−f (1)

4−1 =

8−53

= 1

y = 3c2−12c+10 = 1 →3c2−12c+9=0→ (3c-9)(c-1)=0 c=1∧ c=3

El único que satisface es c=3

7. Sea y = x23 en el (-8,27) demuestre que no se cumple la conclusión del teorema

del valor medio y explique por que :

Solucion

Y´= 23x

−13

y = f (27)−f (−8)

27−−8 =

9−438

= 17

c=102 →cno pertenece al(-8,27) por lo que f(x) no es derivable en todo el intervalo (-8,27)

Teorema de Rolle

8. Verificar que la hipótesis del teorema de rolle satisface para la función ,

y = x2−4 x+3, en el intervalo (1,3) luego hallar el valor de c que satisface la conclusión del teorema

solución

f(1) = 1-4+3 = o

f(3) = 9-12+3 =0 →Lafuncionsatisface la condicion

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f(1)= f(3) =0 →∃c∈ (1,3 )⋰ f ´ c=0

Derivando la function : f´x =2x-4 →f ´ c=2c−4

Si f ´ c=c →2c−4=0→2c=4→c=2

c∈ (1,3 )

9. Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]

Solucion

- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.

Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3] .

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10. Verificar que la hipótesis del teorema de rolle satisface para la función ,

y = x3−4 x+3, en el intervalo (0,b) luego hallar el valor de c que satisface la conclusión del teorema

Solucion

Page 26: 1era Semana

11.

Solucion

12. Hallar el valor de c que cumple el teorema de cauchy para las funciones f(x)= x2+2x+5 y g ( x )=x2+2 x−6 , enel intervalo(−1,2)

Solucion

Las funciones f y g son continuas (−1,2) y derivable en (−1,2)

F´(c) = 2c-2 = 2(c-1) →f (−1 )=1+2+5=8 , f (2 )=4−4+5=5

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G´(c)= 2c−2=2 (c−1 )→g (−1 )=1−2−6=7 , g (2 )=4+4−6=2

Por el Teorema de Cauchy 2(c−1)2(c+1)

= f (2 )−f (−1)g (29−g8−1)

→c−1c+1

= 5−82+7

= −13

3c-3 =-c-1 →4 c=2

C= 12

∈ (−1,2 )

DECIMA SEMANA : concavidad, punto de inflexión

1. Determinar la concavidad, convexidad y punto de inflexión de la función

Y = 3 x4−10 x3−12 x2+12 x−7

Solución

Y´ = 12 x3−30x2−24 x+12→ y´ ´=36 x2−60 x−24=0

=3 x2−5 x−2=0→9 x2−15 x−6=0→ (3 x−6 ) (3 x+1 )=0

→3 (x−2 ) (3 x+1 )=0→ ( x−2 ) (3x+1 )=0

Los posibles puntos de inflexión son : x=2, x= −13

Para x=2→ y=3.8−12.4+12.2−7=−63→ (2 ,−63 )

x= −13→ y=3.

−13

−12−13

+12−13

−7=−13,11.925

Los puntos de inflexión: (2,-63) y (-0.33,-12)

Page 28: 1era Semana

Grafico:

2. Determinar los intervalos en donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo

Y = x4−6 x3−24 x2+3x+1

Solucion

Y´= 4 x3−18 x2−48 x+3→ y ´ ´=12 x2−36 x−48=0

→x2−3x−4=0∴ x=4 y x=−1

Calculamoslos puntos de inflexion

Para x=4 → y=216−6.48−24.16+3.2+1= -505 (4,-505)

X=-1 → y=−14−6.−13−24= -19 (-1,-19)

X¿1 ,→ x=−2→ y´ ´=−.−¿+concavo haciaarriba

-1¿ x<4→x=3→ y´ ´=−.+¿−concava haciaabajo

3. Estudiar la concavidad de la función F ( x )=2−|x5−1| y localizar sus puntos de

inflexiónSolución:

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4. Estudiar la concavidad y convexidad de la función

F ( x )= 1

1+x2

Solución:

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5. Dibujar la gráfica de la función F ( x )=x23 (8−x)

Solución:

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11 SEMANA: TEOREMA DE CAUCHY, REGLAS DE HOSPITAL , FORMAS INDETERMINADAS

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