170088615 pd pro1 curso probabilidad unad

5/24/2018 170088615 PD PRO1 Curso Probabilidad Unad

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Probabilidad IPrograma desarrollado

Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa 1

rea de Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnolgicas

CuatrimestreTRES

Programa de la asignatura:

Probabilidad I

Clave:050910311

Febrero de 2011


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SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA

Alonso Lujambio Irazbal

SUBSECRETARA DE EDUCACIN SUPERIOR

Rodolfo Tuirn Gutirrez

PROGRAMA DE EDUCACIN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIACOORDINACIN GENERAL

Manuel Quintero Quintero

COORDINACIN ACADMICA

Soila del Carmen Lpez Cuevas

DISEO INSTRUCCIONAL

Karla Contreras Chvez

EVALUACIN Y ACREDITACIN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS

Karina Montao

AGRADECEMOS LA COLABORACIN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A:

Mtra. Hayde Gmez Daz y Mtro. Salvador Bernardo Martnez Jimnez

Secretara de Educacin Pblica, 2011


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Tabla de contenidos

I. Informacin general de la asignatura __________________________________________

a. Ficha de identificacin _____________________________________________________ b. Descripcin ______________________________________________________________ c. Propsito _______________________________________________________________

II. Fundamentacin de la asignatura ____________________________________________

III. Competencia(s) a desarrollar _______________________________________________

IV. Temario _________________________________________________________________

V. Metodologa de trabajo ____________________________________________________ 1

VI. Evaluacin _____________________________________________________________ 1

VII. Materiales de apoyo _____________________________________________________ 1

VIII. Desarrollo de contenidos por unidad _______________________________________ 1

UNIDAD 1. INTRODUCCIN A LA PROBABILIDAD _______________________________ 1Propsito de la unidad ______________________________________________________ 1Competencia especfica _____________________________________________________ 1Presentacin de la unidad ___________________________________________________ 11.1. Fundamentos__________________________________________________________ 1

1.1.1. Importancia de la probabilidad _________________________________________ 1

Actividad 1. Por qu aprender probabilidad? __________________________________ 11.1.2. Experimento aleatorio ________________________________________________ 11.1.3. Eventos simples y compuestos _________________________________________ 11.1.4. Espacio muestral ____________________________________________________ 1

Actividad 2. Construye conceptos a travs de ejemplos ___________________________ 21.1.5. Tcnicas de conteo __________________________________________________ 2

Actividad 3. Construye conceptos a travs de ejemplos ___________________________ 3Actividad 4. Espacio muestral de un experimento ________________________________ 3

1.2. Enfoques para el clculo de probabilidades __________________________________ 31.2.1. Enfoque clsico _____________________________________________________ 31.2.2. Enfoque de frecuencia relativa _________________________________________ 31.2.3. Enfoque subjetivo ___________________________________________________ 3

1.3. Reglas bsicas ________________________________________________________ 31.3.1. Regla general para suma de eventos ____________________________________ 31.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes _________________________________ 3

Actividad 5. Probabilidades de uno o ms eventos _______________________________ 4Evidencia de aprendizaje. Reflexin sobre el respeto a las reglas de trnsito ____________ 4Consideraciones especficas de la unidad _______________________________________ 4Fuentes de consulta ________________________________________________________ 4


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UNIDAD 2. TEORA DE LA PROBABILIDAD _____________________________________ 4Propsito de la unidad ______________________________________________________ 4

Competencia especfica _____________________________________________________ 4Presentacin de la unidad ___________________________________________________ 42.1. Clculo de probabilidades ________________________________________________ 4

2.1.1. Definicin de probabilidad _____________________________________________ 4Actividad 1. Aplicaciones de probabilidad simple y condicional _____________________ 42.1.2. Axiomas de probabilidad ______________________________________________ 42.1.3. Teoremas de probabilidad _____________________________________________ 4

Actividad 2. Axiomas y teoremas en el clculo de probabilidades ___________________ 42.2. Probabilidad condicional _________________________________________________ 5

Actividad 3. Por qu nace la probabilidad condicional? __________________________ 5

2.2.1. Definicin de probabilidad condicional ___________________________________ 5Actividad 4. Reglas para el clculo de probabilidades condicionales _________________ 52.2.2. Eventos independientes ______________________________________________ 5

Actividad 5. Eventos independientes _________________________________________ 62.2.3. Teorema de Bayes __________________________________________________ 6

Actividad 6. Teorema de Bayes _____________________________________________ 6Evidencia de aprendizaje. Aplicacin del teorema de Bayes en las reglas de trnsito _____ 6Consideraciones especficas de la unidad _______________________________________ 7Fuentes de consulta ________________________________________________________ 7

UNIDAD 3. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS ___________________________ 7Propsito de la unidad ______________________________________________________ 7Competencia especfica _____________________________________________________ 7Presentacin de la unidad ___________________________________________________ 73.1. Modelos de probabilidad _________________________________________________ 7

3.1.1. Modelos determinsticos vs. probabilsticos _______________________________ 73.2. Variable aleatoria discreta ________________________________________________ 7

3.2.1. Definicin de variable aleatoria discreta __________________________________ 73.2.2. Distribucin de probabilidad ___________________________________________ 73.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta __________________ 7

3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas _____________________ 83.3.1. Modelo Binominal ___________________________________________________ 8

Actividad 1. En qu reas se aplica el modelo Binomial? _________________________ 8Actividad 2. Aplicacin de la distribucin Binomial _______________________________ 83.3.2. Modelo de Poisson __________________________________________________ 8

Actividad 3. En qu reas se aplica el modelo Poisson? _________________________ 8Actividad 4. Aplicacin del modelo Poisson ____________________________________ 83.3.3. Modelo Hipergeomtrico ______________________________________________ 9

Actividad 5. En qu reas se aplica el modelo Hipergeomtrico? __________________ 9


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Actividad 6. Aplicacin del modelo Hipergeomtrico ______________________________ 9Evidencia de aprendizaje. Quin ganar las elecciones? __________________________ 9

Consideraciones especficas de la unidad _____________________________________ 9Fuentes de consulta ______________________________________________________ 9

UNIDAD 4. MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS ___________________________ 9Propsito de la unidad ______________________________________________________ 9Competencia especfica _____________________________________________________ 9Presentacin de la unidad ___________________________________________________ 94.1. Variables aleatorias continuas ____________________________________________ 10

4.1.1. Definicin de variable aleatoria continua _________________________________ 104.1.2. Funcin de densidad de probabilidad ___________________________________ 10

Actividad 1. Ejemplos de funciones de densidad _______________________________ 104.1.3. Funcin de distribucin de probabilidad _________________________________ 10

4.2. Modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas ____________________ 104.2.1. Distribucin uniforme continua ________________________________________ 104.2.2. Distribucin normal _________________________________________________ 10

Actividad 2. Importancia del modelo normal en la estadstica ______________________ 10Actividad 3. Valores y parmetros para el clculo de probabilidades ________________ 114.2.3. Distribucin normal estndar __________________________________________ 11

Actividad 4. Aplicacin del clculo de probabilidad normal ________________________ 11Evidencia de aprendizaje. Modelando las ganancias de una empresa ________________ 11

Consideraciones especficas de la unidad ______________________________________ 11Fuentes de consulta _______________________________________________________ 11


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I. Informacin general de la asignatura

a. Ficha de identificacinDivisin Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa

Nombre de la licenciatura o ingeniera Licenciatura en matemticas

Nombre del curso o asignatura Probabilidad I

Clave de asignatura 050910311

Seriacin Probabilidad II

Cuatrimestre Tercero

Horas contempladas 72

b. DescripcinLa probabilidad es una rama de la matemtica empleada para modelar diversas situaciones en donde est

presente el azar o la incertidumbre, como ejemplo tenemos diversas situaciones presentes en las ciencias

econmico-administrativas, en las ciencias de la salud, en las ciencias naturales y en s en casi todas las

disciplinas, as como en la vida cotidiana: cuando un inversionista enfrenta riesgos al elegir una accin, un

agricultor al proceder a la siembra, una compaa de seguros al asegurar un auto, una poblacin ante la

amenaza de inundacin y una empresa de transporte en el riesgo de perder la carga.

Por otro lado es preciso mencionar que la probabilidad juega un papel muy importante en la inferencia

estadstica, ya que muchas decisiones se toman usando solo una pequea parte de la informacin de una

poblacin, por ejemplo en la salud de un enfermo se determina a partir de una pequea muestra de su

sangre, o la calidad de un proceso de produccin, seleccionando una muestra de los artculos producidos.

En estos procesos la probabilidad mide los riesgos inherentes a la incertidumbre debida a la informacin

contenida en la muestra. Este curso de probabilidad proporciona las bases para calcular la probabilidad de

enfrentar estos riesgos.

El enfoque de la asignatura se basa en la probabilidad clsica y la probabilidad relativa, donde los

experimentos aleatorios presentan resultados con la misma probabilidad de que suceda y cuando las

muestras para obtener el resultado posible son de tamao grande, respectivamente. Al finalizar, se podr

utilizar y seleccionar reglas bsicas, clculo de probabilidad y modelos probabilsticos para poder predecir

los resultados posibles, en situaciones donde se presenta un cierto grado de incertidumbre .

La asignatura, que se encuentra dentro del tercer cuatrimestre de la licenciatura de Matemticas, te

permitir conocer diversos enfoques y sentar las bases para aplicar axiomas, teoremas en el clculo de

probabilidades, as como aplicar algunos modelos de probabilidad bsicos que son de gran utilidad en la

mayora de los problemas de inferencia estadstica.


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La probabilidad se encuentra relacionada con otras reas del conocimiento, por lo que ser base para otra

asignaturas como Probabilidad II, Estadstica, Anlisis combinatorio y Procesos estocsticos. Por ejemplo

la estadstica es una medicin cuantitativa de fenmenos y su relacin es que la probabilidad estudia laposibilidad de que ocurra un cierto evento dentro de un estudio estadstico.

En la unidad 1. Introduccin a la probabilidad. Se estudiaran los diferentes enfoques para el clculo de

probabilidades y las reglas bsicas.

En la unidad 2. Teora de la probabilidad. Se abordan los axiomas y teoremas para el clculo de

probabilidades y probabilidades condicionales.

En la unidad 3. Modelos de probabilidad discretos. Se estudian los modelos de probabilidad para variables

aleatorias discretas: Bernoulli, Binomial, Hipergeomtrico y Poisson.

En la unidad 4. Modelos de probabilidad continuos. Se estudian modelos de probabilidad para variablesaleatorias continuas: uniforme continua, normal y normal estndar.

Al finalizar, el egresado ser capaz de interpretar los resultados de los anlisis de la informacin para

establecer concordancias y diferencias en la toma de decisiones.

c. PropsitoEl propsito de la asignatura es formar profesionales competentes en el uso de la probabilidad, con un

conjunto de habilidades que posibiliten el conocimiento, de acuerdo con propsitos concretos y en

contextos especficos que promuevan el aprendizaje y el crecimiento individual, la interaccin y la

convivencia en su vida acadmica y social.

Por lo tanto en el curso:

Identificars los conceptos bsicos de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral,

eventos, probabilidad clsica, relativa y subjetiva que fundamentan el clculo de probabilidades.

Aplicars las tcnicas de conteo, para hallar el nmero de ocurrencias de un evento en los

resultados posibles.

Utilizars axiomas y teoremas para el clculo de probabilidades de eventos simples, compuestos,

independientes y dependientes.

Utilizars los modelos probabilsticos para el clculo de probabilidades de un experimento aleatorio

considerando las propiedades de su funcin de distribucin y sus valores asociados.

Identificars una funcin de densidad a travs de sus caractersticas.

Identificars las propiedades de distribucin uniforme continua y de una funcin de probabilidad

acumulada para una variable continua.

Aplicaras el modelo normal y normal estndar para el clculo de probabilidades, apoyndote en

tablas de normal estndar.


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II. Fundamentacin de la asignatura

El estudio de la probabilidad en el perfil del egresado es fundamental, dada la importancia y la frecuencia

de su aplicacin en la vida cotidiana y en otras reas de la ciencia. Adems, en el diseo curricular de lacarrera, el conocimiento adquirido en esta asignatura, ser base para el aprendizaje significativo de otras

reas, por ejemplo la Estadstica.

Por otro lado, la verdadera utilidad de la probabilidad es cuando se aplica. Utilizarla para tomar decisiones

cundo se tiene fenmenos de mucha incertidumbre, saber si un evento suceder y el grado de prediccin

son importantes en la toma de decisiones, por ejemplo para tener el control de ganancias o de perdidas

sobre fenmenos aleatorios que suceden en la industria, en la ciencia, en la educacin, etc.

Adems, para poder obtener los resultados probabilsticos correctos de diversos experimentos o

fenmenos aleatorios, es importante que se comprenda bien los conceptos, las propiedades, axiomas yteoremas que presenta la teora de la probabilidad, pero como toda rea de la matemtica, su verdadero

entendimiento llega en la aplicacin de lo que se presenta tericamente, a travs de ejercicios y actividade

que debers desarrollar, por lo tanto para lograr los objetivos de la asignatura y sobre todo, lograr un

aprendizaje significativo, el curso de Probabilidad se desarrolla con enfoque prctico con base en casos

reales que ocurren en nuestro alrededor.

III. Competencia(s) a desarrollar

Utilizar modelos probabilsticos para medir los parmetros de incertidumbre de diversos eventos por medio

de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas mediante las tcnicas de probabilidad.

Identificar los principios bsicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento

aleatorio por medio de las tcnicas de conteo y las reglas bsicas.

Utilizar axiomas y teoremas de la probabilidad para resolver eventos independientes mediante

aplicacin de la teora de Bayes y la probabilidad condicional.

Utilizar modelos de probabilidad discretos para el anlisis de eventos a travs del valor esperado

la varianza de las variables aleatorias discretas. Utilizar los modelos de probabilidad continuos para el anlisis de eventos a travs de variable

aleatorias continuas y con el uso de tablas de clculo de probabilidad.

IV. TemarioUnidad 1. Introduccin a la probabilidad

1.1. Fundamentos

1.1.1. Importancia de la probabilidad

1.1.2. Experimento aleatorio


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1.1.3. Eventos simples y compuestos

1.1.4. Espacio muestral

1.1.5. Tcnicas de conteo1.2. Enfoques para el clculo de probabilidades

1.2.1. Enfoque clsico

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa

1.2.3. Enfoque subjetivo

1.3. Reglas bsicas

1.3.1. Regla general para suma de eventos

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes

Unidad 2. Teora de la probabilidad

2.1. Clculo de probabilidades

2.1.1. Definicin de probabilidad

2.1.2. Axiomas de probabilidad

2.1.3. Teorema de probabilidad

2.2. Probabilidad condicional

2.2.1. Definicin de probabilidad condicional

2.2.2. Eventos independientes2.2.3. Teorema de Bayes

Unidad 3. Modelos de probabilidad discretos

3.1. Modelos de probabilidad

3.1.1. Modelos determinsticos vs. probabilsticos

3.2. Variable aleatoria discreta

3.2.1. Definicin de variable aleatoria discreta

3.2.2. Distribucin de probabilidad3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta

3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas

3.3.1. Modelo Binomial

3.3.2. Modelo de Poisson

3.3.3. Modelo Hipergeomtrico

Unidad 4. Modelos de probabilidad continuos


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1.1. Variables aleatorias continuas

1.1.1. Definicin de variable aleatoria continua

1.1.2. Funcin de densidad de probabilidad1.1.3. Funcin de distribucin de probabilidad

1.2. Modelo de probabilidad para variables aleatorias continuas

1.2.1. Distribucin uniforme continua

1.2.2. Distribucin normal

1.2.3. Distribucin normal estndar

V. Metodologa de trabajoLa asignatura Probabilidad I est conformada por cuatro unidades de aprendizaje: fundamentos y prcticas

de la probabilidad. Cada unidad contiene un bloque de ejercicios prcticos sobre aspectos probabilsticos

enfocados en diversos contextos con la intencin de formarte con competencias matemticas.

La metodologa de enseanza es el Aprendizaje Basado en el Estudio de Casos y la verdadera

comprensin del marco terico de la probabilidad, llega con la aplicacin de sus fundamentos tericos, po

lo tanto el marco de trabajo de este curso se basa en el desarrollo de ejercicios y actividades que dirige al

alumno en su proceso de aprendizaje, con el propsito de que al trmino del curso, sean capaces de

analizar y aplicar axiomas, teoremas, modelos probabilsticos, etc., en la solucin de problemas

especficos.

Para poder cumplir con el propsito anterior, se presenta el diseo de contenidos de manera sencilla y

organizada, que permitir dirigir adecuadamente al alumno en su proceso de aprendizaje, adems junto

con ellos, se presentan bloques de ejercicios y actividades que debern resolver, los cuales estn

planteados en base a sucesos reales, para que el alumno alcance las competencias definidas y adquiera

con ello un aprendizaje significativo.

Las actividades estn diseadas para la reflexin, anlisis, participacin o colaboracin grupal, es por ello

que para alcanzar el objetivo de cada actividad se debe cumplir adecuadamente las instrucciones que se

presentan y utilizar las herramientas que se proponen en cada actividad y que provee el aula.

Se presenta un foro por unidad y tiene la finalidad de interactuar entre compaeros, a travs de un

planteamiento y anlisis del tema, donde pondrn proponer sus puntos de vista e incluso debatir con base

en la reflexin y as poder llegar al final a un conceso grupal.

En cada una de las unidades temticas se presentan autoevaluaciones que permitirn identificar fortaleza

o debilidades en relacin al tema visto. Se recomienda que, para la realizacin de los ejercicios se

acompae de un cuaderno y lpiz, ya que muchos de ellos se debern realizar operaciones matemticas

para llegar a la respuesta correcta.


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Tambin se utilizan la Wiki para construir, de forma grupal, conceptos relacionados al tema, con base en

investigaciones previas, a la participacin.

Las actividades y las evidencias de aprendizaje sern revisadas y retroalimentadas por su Facilitador(a) decurso. Dicha revisin se centrar en la evaluacin, como un proceso de revisin de los avances y

dificultades que presentan a la hora de trabajar los contenidos y en la retroalimentacin (tanto en las

actividades como en el foro), de manera que el experimentar caminos de solucin, que no siempre llevan a

una respuesta correcta, sea una oportunidad de aprendizaje.

VI. Evaluacin

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluacin se conceptualiza como un proceso participativo,

sistemtico y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que

se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Probabilidad I, se espera la participacin responsable y activ

del estudiante as como una comunicacin estrecha con su facilitador para que pueda evaluar

objetivamente su desempeo. Para lo cual es necesaria la recoleccin de evidencias que permitan aprecia

el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto, la evaluacin es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentacin

permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisit

indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, as como la

participacin en foros, wikis, blogs y dems actividades programadas en cada una de las unidades, dentro

del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificacin se asignar de acuerdo con la

escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de

realizar la actividad correspondiente.

A continuacin presentamos el esquema general de evaluacin.

Recursos y herramientas Valor

Actividades formativas (envos a taller y tareas) 30%

Interaccin en el aula y trabajo colaborativo (foro, y

base de datos)

10%

E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje y

autorreflexin

50%


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Examen final 10%

Cabe sealar que, para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificacin mnima indicada por laESAD.

VII. Materiales de apoyo

Bibliografa bsica

Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadstica elemental. Mxico: Thomson Paraninfo, S. A.

Triola, Mario F. (2006). Estadstica elemental. Mxico: Addison Wesley Longman.

Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadstica. Mxico: McGraw-Hill Interamericana.

Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadstica para ingenieros. PearsonEducation.

Bibliografa complementaria

Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadstica. Reverte.

Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadstica con prcticas en Excel. Mxico: Just intime Press.

Lincoln L. Chao. (2000). Introduccin a la estadstica. Mxico: Compaa Editorial Continental.

Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadstica, Mxico: McGraw-Hill.

Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. Mxico: Thomson.

H.T. Hayslett, Jr. (1987) Estadstica simplificada. Mxico: Grupo editorial Sayrols.

Fuen tes c iber grfic as

http://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdf

http://www.vitutor.com/estadistica.html

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm

http://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDF

http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm
http://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdfhttp://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdfhttp://www.vitutor.com/estadistica.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica.htmlhttp://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asphttp://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asphttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.htmlhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htmhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htmhttp://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDFhttp://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDFhttp://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htmhttp://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htmhttp://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htmhttp://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htmhttp://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htmhttp://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htmhttp://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDFhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htmhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.htmlhttp://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asphttp://www.vitutor.com/estadistica.htmlhttp://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdf


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http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf

http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdf

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.html
http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdfhttp://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdfhttp://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdfhttp://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdfhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.htmlhttp://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdfhttp://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf


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VIII. Desarrollo de contenidos por unidad

UNIDAD 1. INTRODUCCIN A LA PROBABILIDAD

Propsito de la unidadAl finalizar la unidad:

Identificars los resultados posibles de un experimento aleatorio utilizando la tcnica bsica de

conteo.

Obtendrs la probabilidad de un evento simple y de dos o ms eventos.

Competencia especficaIdentificar los principios bsicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento aleatorio

por medio de las tcnicas de conteo y las reglas bsicas.

Presentacin de la unidad

Uno de los objetivos del estudio de la ciencia es que el estudiante comprenda los fenmenos que ocurren

su alrededor y poder predecir los efectos que de ellos se derivan. De lo anterior, nace la importancia del

estudio de la probabilidad. Para esto, es necesario que el estudiante aprenda hacer anlisis cualitativo y

cuantitativo de situaciones que se le presentan, pero para su interpretacin es necesario emplear

estrategias que surgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad ofrece elementos tericos bsicos sobre

experimentos aleatorios, eventos, tcnicas de conteo, probabilidad de conteo, nociones clsica y

frecuencial de la probabilidad y las reglas bsicas para calcular probabilidades, incluidos en las lecturas

complementarias y en los ejercicios, pero el hilo conductor son las actividades que, como estrategias de

enseanza, permiten el logro de los aprendizajes a travs de la prctica.

1.1. Fundamentos

La matemtica sirve para modelar situaciones que se presentan en la vida cotidiana o en otras reas de la

ciencia, pero al tratar de modelar los fenmenos de la naturaleza o sociales, se han encontrado con que

hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otros que obedecen a un modelo aleatorio, por

ejemplo, es difcil representar el fenmeno de que una persona de bajos recursos y que pertenece a una

nacin con problemas sociales tenga un accidente o no en el prximo ao.


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La probabilidad propone la forma de resolver estos conflictos que se presentan, la cual radica en calcular

una medida numrica que representa la posibilidad de que ocurra un evento de un fenmeno o

experimento aleatorio, el cual a travs de observaciones o a recoleccin de datos puede determinar losresultados donde la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar.

Los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral que no es ms que la

coleccin de todos los resultados posibles de un experimento.

Adems, se hace uso de propiedades y tcnicas donde habra que contar el nmero de veces que pueden

ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello, se utilizar el principio fundamental de conteo

Por lo anterior, en este tema, se expone los conceptos bsicos y que son considerados fundamentos del

estudio de la probabilidad, es decir, son necesarios para la comprensin y la aplicacin del clculo de

probabilidades, las funciones de distribuciones y modelos probabilsticos que se presentarn en lossiguientes captulos.

1.1.1. Importancia de la probabilidadSin duda alguna, todos nos hemos enfrentado a la incertidumbre. Tanto en la naturaleza como en nuestra

moderna sociedad, infinidad de fenmenos presentan diversos resultados y son impredecibles.

Por ejemplo, tenemos los fenmenos ambientales como terremotos, tornados, huracanes, nevadas,

heladas, inundaciones, etc. Estos son parte de nuestra vida cotidiana; aunque, nadie puede determinar co

precisin cundo van a ocurrir, lo que s podemos hacer, tomando en cuenta los datos histricos, es

estimar qu tan posible es que sucedan.

En nuestra sociedad, la probabilidad es usada en la medicina, la biologa, la agricultura, la economa, la

demografa, la meteorologa, la poltica, etc. En sus inicios, la probabilidad jug un papel muy importante e

el estudio de los juegos de azar y apuestas. Tambin la probabilidad tiene un uso importante en la medici

de riesgos, como es el caso de las compaas de seguros de auto, vida y martimos, entre otros. Por

ejemplo, para saber si un automovilista sufrir un accidente, una compaa de seguros determinar y

evaluar la posibilidad de que suceda, determinar la prdida econmica para poder implementar una primde seguro que sea suficiente en caso de que suceda, adems considerar tener un riesgo capital mnimo,

para que sea rentable y se pueda generar un negocio.


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Actividad 1. Por qu aprender probabilidad?

Propsitos Activar la reflexin sobre la importancia de la probabilidad.

Incrementar los conocimientos sobre los conceptos bsicos de probabilidad con los integrantes de

grupo con el fin de llegar a acuerdos comunes y consensos colectivos.

Propiciar una situacin comunicativa a travs del debate y los acuerdos comunes.

Instrucciones

1. Lee el subtema1.1.1. Importancia de la probabilidad y luego analiza la importancia de estudiarla.

Puedes ampliar tu informacin con una bsqueda en Internet.

2. Posteriormente, reflexiona sobre tus hallazgos y participa en el foro respondiendo la pregunta Po

qu debemos aprender probabilidad?

3. Define tu postura y replica al menos a uno de tus compaeros. (Todas las posturas son vlidas,

siempre y cuando estn argumentadas).

4. Espera la retroalimentacin por este mismo medio.

1.1.2. Experimento aleatorioDefinicin: Experimento o fenmeno aleatorioes un experimento que puede dar lugar a varios

resultados sin que pueda ser previsible, antes de realizar el experimento, determinar con certeza cul de

estos resultados va a ser observado.

Definicin: Experimento no aleatorio (Determinista)es un experimento en el que se obtiene siempre el

mismo resultado. Ejemplo: Si lanzamos un objeto desde la misma altura y bajo las mismas condiciones

ambientales, cul ser su velocidad? Correcto, siempre ser la misma, y adems la podemos calcular co

la siguiente expresin.

Ejemplo 1.Un oficial de trnsito encargado de un crucero debe de entregar a sus superiores un reporte

diario del nmero de infracciones levantadas. El experimento consiste en observar en un turno de ocho

horas cuntas boletas de infraccin entreg el oficial de trnsito.


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a. Es un experimento aleatorio?

b. Hay distintos resultados posibles?

c. Es posible prever el nmero de infracciones por turno?

Tus respuestas deben de ser a) s b) s y c) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio.

Ejemplo 2.Un mayorista en artculos elctricos, para tomar la decisin de adquirir un lote de 100 lmpara

selecciona del lote, al azar, 10 de ellas y las prueba. Acepta el lote si hay al menos 9 en buen estado. (Es

decir si hay 9 o 10 en buen estado)



c. Cuntos resultados puede haber?

d. Es posible prever el nmero de lmparas en buen estado?

Tus respuestas deben de ser a) s, b) s, c) 11 y d) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio.

Ejemplo 3.El prximo domingo juegan la final de un torneo los dos mejores equipos. Nos interesa el

resultado de esta final.



c. Cuntos resultados puede haber?

Tus respuestas deben de ser a) s, b) s, y c) 2. Por supuesto que es un experimento aleatorio y uno tiene

que ganar y el otro perder; solo hay dos resultados posibles.


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Ejercicio 1. De las siguientes situaciones, determina si es un experimentoaleatorio o determinista.

Experimento Respuesta

1. El movimiento de un coche cuandoest en espera, al prender la luzverde del semforo.

2. Lanzar un producto al mercado.

3. El resultado de un juego debasquetbol.

4. Las consecuencias del tiempo conrelacin al frente fro.

5. Volumen de un litro de agua a 0 C.

6. Lanzar una pelota al aire.

7. Aprobar un examen.

8. Los nacimientos de bebs en dasnublados.

9. Introducir la mano en un vaso deagua.

10. El libro preferido de los alumnos deun grupo de probabilidad.

1.1.3. Eventos simples y compuestosDefinicin: Se llama evento simpleo suceso aleatorio a la observacin de un resultado enun experiment

aleatorio. Se llama evento compuestoa la observacin simultnea de dos o ms resultados en un

experimento aleatorio. Los eventos los denotaremos con letras maysculas como A, B, C, D, E, que

denotan conjuntos. Si estos eventos o conjuntos contienen un solo elemento, se llaman eventos simples; s

contienen ms de un elemento, se llaman eventos compuestos.

Ejemplo 1.Un saln de fiestas ofrece a sus clientes tres tipos de men: Bsico (1), Gala (2) y Ejecutivo (3

de los cuales pueden elegir entre el 4T (Ensalada, Sopa, Plato Fuerte y Postre) o el 3T (Ensalada, Sop

y Plato Fuerte).

Representemos el evento aleatorio Los clientes prefieren el men bsico.


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A = {(1, 4T), (1,3T)} As que tenemos un evento simple o compuesto?

Si tu respuesta fue compuesto ests en lo correcto.

Ahora representemos algunos eventos simples.

a) El cliente prefiere el Bsico de 3T B ={ ( , ) }

b) El cliente prefiere el Ejecutivo de 4T C ={ ( , ) }

Si tus respuestas fueron:

a) B = {(1, 3T)} y b) C = {(3, 4T)} es correcto.

Ejercicio 2. Completa los siguientes enunciados con laspalabras que estn en la parte

superior.

Evento-s imple Evento-compu esto Experimento -aleatorio Experimento-

determinista Suceso

Un______________ puede dar lugar a varios resultados, sin que puedan ser previsibles.

Se llama _____________ a la observacin de un resultado en un experimento aleatorio.

El ________________es el resultado de la observacin de un experimento.

Un _________________ es aquel donde se obtiene el mismo resultado.

Se llama _____________ a la observacin simultnea de dos o ms resultados en un experimento

aleatorio

1.1.4. Espacio muestralDefinicin: Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles en un experimen

aleatorio. Al espacio muestral lo denotaremos con la letra S (de space, en ingls), cabe mencionar qu

tambin se puede representar por la letra E o por la letra griega yque la eleccin del smbolo a utiliz

depende del autor. En este contexto, utilizaremos el smbolo S para representar el espacio muestral.


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Ejemplo 1.En el ejemplo del saln de fiestas, nuestro espacio muestral tendr seis resultados posibles:

Representamos el espacio muestral

S= {(1, 3T), (1,4T), (2, 3T), (2,4T) {(3, 3T), (3,4T)}

Podemos tambin usar un diagrama de rbol para representar S:

Men Tipo #

1 Bsico

3T 1

4T 2

2 Gala

3T 3

4T 4

3 Ejecutivo

3T 5

4T 6


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Ejercicio 3. De los siguientes 3 casos, identifica el espacio muestral de cada una de las

situaciones presentadas. Si es necesario, dibuja el diagrama del rbol para representar S. Acontinuacin relaciona las siguientes columnas.

Situacin 1. Sea dos nios (A, B) y cuatro dulces (1, 2, 3, 4). Se reparte solo un dulce a cada nio.

Situacin 2. Sea tres jvenes (A, B, C) y tres seoritas (1, 2, 3), en una pista de baile.

Situacin 3. Sea dos bebes (A,B), tres chupones ( 1,2,3) y cuatro diferentes listones para el chupn

(L1,L2,L3,L4).

a) {(A,B),(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(A,3)(B,3)(A,

4),(B,4)}

b) {(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(C,1)(C,2)(A,3),(B,

3),(C,3)}

c) 12

d) 9

e) 8

f) {(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(A,3)(B,3),(A,4),(B,

4)}

g) 24

( ) Nmero de resultados del espacio muestral de

la situacin 3.

( ) Representacin del espacio muestral S de la

situacin 1

( ) Representacin del espacio muestral de la

situacin 2

( ) Nmero de elementos del espacio muestral de la

situacin 2

( ) Nmero del espacio muestral de la situacin 1.


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Actividad 2. Construye conceptos a travs de ejemplos

PropsitosAl finalizar la actividad, el alumno podr:

Ejemplificar los conceptos bsicos de la probabilidad.

Colaborar y sociabilizar y llegar a un consenso en su investigacin.

Desarrollo

Los estudiantes construirn un Wiki de conceptos bsicos de la probabilidad a travs de ejemplos que

observen a su alrededor. Sern capaces de ejemplificar conceptos como experimento, suceso, evento,

etc., de manera colaborativa con los dems integrantes del equipo.

Instrucciones

1. El maestro organizar equipos de 4 integrantes y les asignar a cada equipo algunos de los

conceptos siguientes: Experimento aleatorio, suceso, experimento determinista, evento simple,

evento compuesto y espacio muestral.

2. Observa a tu alrededor e identifica algn caso real que pueda ejemplificar los conceptos asignados

3. Ponte de acuerdo con tu equipo y selecciona el o los ejemplos a exponer en el Wiki.

4. De acuerdo al equipo asignado y los conceptos solicitados por el maestro, podrs agregar o

modificar solo la parte que le toc construir a tu equipo.

5. Por ltimo, revisa cada una de las aportaciones de los dems equipos y, si deseas, podrs agrega

o modificar el contenido de los dems equipos.

1.1.5. Tcnicas de conteoLas tcnicas de conteo pertenecen a una rama de las matemticas llamada anlisis combinatorio y son

expresiones matemticas que facilitan el enumerar los resultados de un experimento aleatorio, sobre todo

cuando es difcil contar o representar con diagramas de rbol.

Para conocer la probabilidad de que suceda un evento, en donde se presenta en gran nmero de

resultados posibles y difciles de contar, se convierte en casi imposible sin estas tcnicas de conteo, ya qu

con la utilizacin adecuada de estas tcnicas, obtendremos el nmero total de posibles resultados,

suficiente para que podamos encontrar la probabilidad de que suceda un evento.

Por lo tanto, en este tema estudiaremos las permutaciones y las combinaciones, que se consideran base

en el clculo de probabilidades.


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Permutaciones

Definicin:Una permutacin es un arreglo ordenado (es decir, el orden es importante)

de m elementos distintos seleccionados de un conjunto = {x1,x2,...,xn},el cual tiene n

elementos, en donde m n.

Ejemplo 1. En el Senado de la Repblica se desea elegir una comisin de dos senadores para la

Educacin Superior. Para tal fin se registraron tres senadores: Beltrones (B), Garca (G) y Zoreda (Z). La

comisin est integrada por un Presidente y un Secretario. De cuntas formas puede integrarse la

comisin?

La respuesta es de seis formas, a saber: BG, BZ, GB, GZ, ZB y ZG Observa que BG no es igual a GB ya

que en el primero Beltrones preside y en el segundo es secretario.

Ejemplo 2.Considera el conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. Cuntas palabras distintas pueden

formarse con las cuatro letras? Dado que el orden es importante la m ocupa el primer lugar, la o el

segundo, la r el tercero y la a el cuarto. Si cambiamos las letras de lugar, cambiar el sentido de la palabra

por ejemplo roma, ramo, rmao, armo, amor. Cuntas palabras puedo formar? Ntese que rmao no tiene

significado, pero lo consideraremos como una palabra.

Si tu respuesta fue 24, es correcta. Vamos a representar las 24 permutaciones (Tabla 1):

Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el

segundo lugar, para el tercero dos posibilidades y una sola para el cuarto lugar.

Lugar 1 2 3 4

m

or a

a r

ro a

a o

ar o

o r

m r a


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o

a r

r

a m

m a

ar m

m r

r

mo a

a o

o

m a

a m

am o

o m

a

mr o

o r

o

r m

m r

rm o

o m

Tabla 1. Permutaciones de 4 letras.

Ejemplo 3.Considera el mismo conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. Cuntas palabras distintas

pueden formarse ahora con dos letras?

Usando el mismo razonamiento para el ejercicio anterior tendramos 4 x 3 = 12

Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el

segundo lugar. Puedes observar en la tabla anterior los 12 resultados, en la primera y segunda columna.

Expresin para el clculo de permutaciones.Representamos por nPmel nmero de arreglos

ordenados de melementos distintos seleccionados de un conjunto el cual tiene nelementos.


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nPm= n x (n1) x (n-2) xx (n-m+1)

En el ejemplo 3, se observan cuatro elementos distintos en M, es decir, n= 4 y deseamos formar palabrade 4 elementos, por lo que m = 4 entonces el nmero de permutaciones se calcular de la siguiente forma

4P4= 4 x (41) x (4-2) xx (4-4+1)

4P4= 4 x (3) x (2) x (1) = 24

Nota en el diagrama de rbol del ejemplo que para el primer lugar podemos asignar las cuatro letras, pero

para el segundo lugar solo podemos asignar tres letras debido a que ya hay una en el primer lugar y no se

permite repetir; de igual forma para el tercer lugar solo podemos asignar dos y para el cuarto una.

Notacin factorial. Se define elfactorial por la expresinn! yrepresenta el siguiente producto:

n! = n x (n-1) x (n-2) xx 1

Podemos representar la expresin para el clculo de permutaciones usando notacin factorial:

nPn = n!

, Para n>m

Ejemplo 4. Consideremos que se tiene cuatro placas informativas diferentes para cuatro maceta

disponibles De cuntas formas diferentes se puede colocar las placas en las macetas?

Si tu respuesta fue 24, es correcta. Para este ejemplo, se tiene que n=4 placas y m=4 maceta

sustituyendo se tiene

= , donde el factorial de (0)!=1

Por lo tanto

= = =4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24


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De lo anterior observa que, cuando n=m,podemos aplicar directamente la frmula nPn = n!, y utilizando

la notacin factorial tenemos el resultado inmediato.

4P4= 4!=4 X 3 X 2 X 1 = 24

Ejemplo 5.Considera el mismo conjunto con las letras del ejemplo 3, M = {m, o, r, a}. Cuntas palabra

distintas pueden formarse ahora con dos letras?

Utilizando nuevamente la frmula y dado que n=4 y m=2 tenemos que

= = = = 12

Ejemplo 6.Supn que hay diez candidatos para los puestos de presidente, vicepresidente, secretario

director de relaciones pblicas. De cuntas formas pueden llenarse estos cuatro puestos?

En este problema, n=10 y r=4. Obviamente hay 10 formas de ocupar el primer puesto. Una vez que esto s

ha hecho, quedan nueve candidatos; por lo tanto, hay nueve formas de ocupar el segundo puesto. D

manera semejante, hay ocho formas de ocupar el tercer puesto y siete formas de ocupar el ltimo puesto

Entonces, el nmero total de formas o permutaciones para ocupar las cuatro posiciones teniendo die

candidatos es

10 X 9 X 8 X 7 = 5040

lo cual es el producto de cuatro factores.

La misma respuesta se obtiene si se utiliza la ecuacin alterna.

10P4 = 10 ! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6! = 10 X 9 x 8 x 7 = 5040

(10-4)! 6!


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Combinaciones

Definicin:Una combinacin es un subconjunto de melementos distintos seleccionados de un conjuntocon nelementos.El nmero de distintas combinaciones o subconjuntos de melementos que podemos

formar de un conjunto con nelementos lo denotaremos por Cm, n.

Dado un conjunto con nelementos distintos. = {x1,x2,...xn} del cual nos interesa seleccionar m

elementos distintos (es decir, no los repetimos) en donde m n. Nota que no es importante el orden.

Ejemplo 1.En un proceso de produccin se requiere seleccionar dos artculos de cuatro, en los que se

supone que hay dos defectuosos. De cuntas formas podemos seleccionar dos artculos?

Denotemos los dos artculos buenos con las letras B1,B2 ylos dos artculos defectuosos, con las letras D1,

D2. As que el ConjuntoX est representado por cuatro elementos X = {D1, D2., B1,B2}; los posibles

subconjuntos estn dados por:

{D1, D2.} { D1,B1} {D1, B2.} {D2,B1} {D2, B2.} { B1,B2}

Observa que no importa el orden, es decir, el conjunto {D1, D2.} es el mismo que {D2, D1.}.

Ejemplo 2. Supn que diez personas son candidatas para la mesa directiva de cierto distrito escolar. Debe

de elegirse tres componentes para la mesa directiva. De cuntas formas pueden seleccionarse tres

personas entre 10 candidatos?

Supn que las personas estn denotadas por {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}. Para este ejemplo el orden en e

cual se selecciona a estas tres personas para la mesa directiva no se considera, por lo que se tiene las

siguientes combinaciones:

{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E.} {A, B, F} {A, B, G.} {A, B, H} {A,B, I }

{A, B, J.} {A, C, D} {A, C, E.} {G, H, I} {G, H, J.} {H, I, J}

El resultado final ser 120 formas de combinar los elementos de los 10 candidatos.

Relacin entre permutaciones y combinaciones. En el ejemplo 1 el nmero de subconjuntos de do

elementos seleccionados de un conjunto concuatro elementos fue:

{D1, D2.} {D1,B1} {D1, B2.} {D2,B1} {D2, B2.} {B1,B2}


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Sin embargo, si el orden fuera importante tendramos:

{D1, D2.} {D1,B1} {D1, B2.} {D2,B1} {D2, B2.} {B1,B2}

{D2, D1.} {B1,D1} {B2, D1.} {B1,D2} {B2, D2.} {B2,B1}

Para calcular el nmero de permutaciones sustituimos en la frmula n=4 y m=4

Obtenemos el valor de 4P2 = 12 permutaciones como observamos anteriormente.

Si deseamos calcular el nmero de combinaciones tendremos que quitar las que se repiten dividiendo es

resultado entre dos. (En el caso general entre !)

Observa:

Por lo que el valor de 4C2 = 6 combinaciones como se mostr antes.

Ejemplo 3.Nuevamente considera el conjunto del ejemplo 2, utiliza la ecuacin anterior para encontrar

cuntos subconjuntos podemos formar.

Sea n=5 y m=2, por lo que:

Ejemplo 4.Considera el mismo ejercicio del ejemplo 3. De cuntas formas pueden seleccionarse tres

personas para la mesa directiva de entre 10 candidatos?

Se tiene que n= 10 y m= 3, por lo que:


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Observa que utilizando la ecuacin anterior, ser ms fcil obtener el nmero de combinaciones.

Ejercicio 4. De los siguientes enunciados, calcula el nmero de veces en que un evento suceda.

Utiliza las tcnicas de conteo de Permutaciones.


1. Supngase que se tiene un equipo de 6 alumnos en la materia deprobabilidad, de cuntas formas diferentes podemos seleccionar a dosalumnos de tal forma que cada uno tenga el rol de jefe y el otro de

lder?

a) 12

b) 30

c) 18d) 720

2. De cuntas maneras se puede sentar a 2 nias y 4 nios en una fila deseis asientos.

a) 720

b) 8

c) 20

d) 180

3. Se ha contratado a 5 empleados para la empresa Cineaqui, de cuntasformas diferentes podemos repartir a los empleados en 5 diferentes

puestos?

a) 60

b) 25

c) 24

d) 120

4. Un estudiante tiene que seleccionar una de las 4 materias optativas; unaactividad extraescolar entre danza, teatro, msica, y guitarra, y entre unode los siguientes idiomas, ingls, francs e italiano De cuntas formasdistintas puede escoger?

a) 10

b) 35

c) 48

d) 78

5. De cuntas maneras diferentes se puede colocar ocho libros distintosen un librero?

a) 640

b) 40320

c) 20160

d) 5040


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Ejercicio 5. De los siguientes enunciados, calcula el nmero de veces en que un evento suceda.Utiliza las tcnicas de conteo de Combinaciones.

Experimento Respuesta Respuesta correcta

1. En una familia de 4 hijos se tieneuna nia y tres nios De cuantasformas podemos seleccionar dosnios de los cuatro?

a) 12

b) 6

c) 20

d) 24

2. Gonzlez tiene 15 libros. Solamentepuede llevarse cuatro de ellos en sumochila. Cuntos gruposdiferentes de libros puede

seleccionar de los 15 libros?

a) 1365

b) 32760

c) 1250

d) 2720

3. En la clase de Probabilidad hay 20estudiantes. De cuntas formaspuede seleccionarse de entre estaclase a un comit de tresestudiantes?

a) 720

b) 970

c) 1140

d) 1320

4. Si se cuenta con 14 alumnos quedesean colaborar en una campaapro limpieza de la Universidad,cuntos grupos de limpieza podrn

formarse si se desea que cada unode ellos conste de 6 alumnos?

a) 1287

b) 2162160

c) 13755

d) 3003

5. Halla el nmero de palabras de 4letras diferentes que puedenformarse con las letras de la palabrafactor.

a) 320

b) 16

c) 24

d) 15


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Actividad 3. Construye conceptos a travs de ejemplos

PropsitosAl finalizar la actividad, el alumno podr:

Reconocer dnde se puede aplicar la probabilidad.

Colaborar y sociabilizar para la obtencin de ejemplos.

Desarrollo

Los estudiantes agregarn en el Wiki de la Etapa1 ejemplos de casos reales donde se pueda aplicar la

probabilidad.

Instrucciones

1. Entra al Wiki y revisa los ejemplos de aplicaciones propuestas por tus compaeros, en caso de que

las haya.

2. De forma individual, investiga en alguna fuente de informacin dos casos reales (en las reas de

economa y finanzas, ingeniera y las ciencias naturales) diferentes a los presentados por tus

compaeros en los que se pueda y se deba aplicar la probabilidad para prevenir un evento.

3. Agrega tus ejemplos al final del contenido actual del Wiki.

Actividad 4. Espacio muestral de un experimentoPropsitos

Al finalizar la actividad, el alumno podr:

Identificar el espacio muestral de un experimento.

Desarrollar habilidades para la obtencin de espacio muestral.

Desarrollo

El estudiante analizar el experimento para obtener el espacio muestral.

Instrucciones

1) Encuentra y representa en forma grfica el espacio muestral de los dos siguientes experimentos.

Experimento 1. Un fabricante de cmaras produce tres modelos diferentes (MOD1, MOD2, MOD3) y cuatro

accesorio distintos (ACCE1, ACCE2, ACCE3, ACC4). Cada accesorio puede utilizarse junto con cualquier

de los tres modelos de cmara. Cada combinacin accesorio constituye un punto muestral.


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Experimento 2: Un investigador de mercado entrevista a una familia de cuatro personas, dos hijos

adolescentes y sus padres, para determinar si les agrada (A) o desagrada (D) un nuevo producto. Frma

una secuencia con la respuesta del padre, la madre, el hijo mayor y el segundo hijo. Encuentra yrepresenta en forma grfica el espacio muestral de este experimento.

2) Al terminar, crea un archivo Word con la respuesta de los dos experimentos y envalo a la Seccin de

tareas.

3) Espera los comentarios del Facilitador(a).

1.2. Enfoques para el clculo de probabilidades

Hay tres enfoques para el clculo o estimacin de la probabilidad de que un evento suceda. Seleccionar

uno de los tres enfoques depender de la naturaleza del problema. A continuacin te presentamos sus

planteamientos generales para que puedas identificar el enfoque que debes aplicar en un determinado

evento.

1.2.1. Enfoque clsico

El enfoque clsico o "a priori" fue estudiado por Laplace, matemtico y astrnomo francs a quien a los 24aos se le llam "el Newton de Francia" por algunos de sus descubrimientos. Motivado por estimar

probabilidades en los juegos de azar, desarroll para la teora de probabilidades el enfoque clsico que se

emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables. Este enfoqu

supone condiciones ideales en un experimento aleatorio y por lo tanto su uso es limitado, aunque nos

brinda bases slidas para el clculo de probabilidades. Este enfoque es un enfoque terico y no requiere d

llevar a cabo el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Sin necesidad de realizar el experimento aleatorio se obtiene por razonamiento lgico el nmero de

resultados posibles de ese experimento y anlogamente el nmero de resultados en que es posible se

obtenga el evento A.

A es un evento de un espacio muestral S

P(A)


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P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento

Ejemplo 1.Supongamos que se tiene una caja cerrada con 16 lpices, 3 rojos, 3 verdes, 4 amarillos yrosas. Cul es la probabilidad de sacar un lpiz de color amarillo?

Sea el suceso A: Sacar un lpiz de color amarillo

Los casos favorables al evento A: 4

Casos posibles: 16

%2525.016

4

6433

4

AP

Por lo tanto la probabilidad de sacar un lpiz de color amarillo es del 25 %.

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa

El enfoque de la frecuencia relativa se basa en la experimentacin, se le conoce tamb in como enfoque a

posteriori. ste supera las limitaciones del enfoque clsico, que se limita a situaciones en las que hay un

nmero finito de resultados igualmente probables. Este enfoque es emprico y no terico. Requiere realiza

el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Se realiza n veces un experimento aleatorio y se observa la frecuencia de ocurrencia del evento A, se

define la probabilidad de A por:

P(A)

A es un evento de un espacio muestral S

P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento A

Ejemplo 1.Se lanza 1000 veces una moneda y da como resultado 529 caras, entonces la frecuencia

relativa de que salga una cara es

529.01000

529)(

n

AnAP


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Si en otros 1000 lanzamientos resultan 493 caras, tenemos que la frecuencia relativa de los 2000

lanzamientos totales es de

511.02000

493529)(

n

AnAP

De acuerdo con la definicin, si se continuara de esa manera, se acercara cada vez ms a un nmero qu

representa la posibilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de la moneda, es decir, a solo 0.5.

1.2.3. Enfoque subjetivo

En el enfoque subjetivo o intuitivo, en algunas situaciones, se presentan situaciones en las cuales no esposible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. A diferencia

de los dos enfoques anteriores que son objetivos y se sustentan en la teora o en la experimentacin, la

probabilidad subjetiva tiene que ver con el criterio personal para medir la posibilidad de ocurrencia de un

evento aleatorio, que se hace con base en ciertos criterios o experiencias sobre casos semejantes.

Como se mencion anteriormente, esta probabilidad no se basa ni en aspectos tericos ni tampoco en la

experimentacin. De hecho no es objeto de estudio de la teora de probabilidad; sin embargo, es muy til

en experimentos que no es posible repetir y en los que los posibles resultados no son equiprobables.

Ejemplo 1.Probabilidad de que hoy llueva.

Ejemplo 2.Probabilidad de que una persona se case este ao.

Ejercicio 6. De los siguientes enunciados, selecciona cul de las tres formas utilizaras paracalcular la probabilidad de que el evento suceda.

Enfoque clsico o apriori

Enfoque de la

frecuencia relativa

Enfoquesubjetivo o

intuitivo

1. Probabilidad de que hoy

llueva.2. Probabilidad de que salga

un nmero par al lanzarun dado.

3. Probabilidad de que caigasol al lanzar 1000 vecesuna moneda.

4. Probabilidad de que tuamiga se case este ao.

5. La probabilidad de que, allanzar una tachuela cuya


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forma es irregular, staquede sobre su cabeza oacostada.

1.3. Reglas bsicasContar es suficiente en muchos de los casos en donde se desea conocer la probabilidad de que suceda un

evento, pero, conforme el problema es ms complejo, resultan necesarias varias reglas para auxiliar en la

determinacin de probabilidades.

Por ejemplo, en ocasiones tendremos que analizar situaciones donde suceden simultneamente eventos,

por lo que se necesita expresar y encontrar la probabilidad de que suceda un evento a raz de la presencia

de varios eventos simultneos; por lo tanto, en este tema se analizan algunas reglas bsicas acerca de launin de dos o ms eventos y la interseccin de eventos que tambin sern base para el clculo de

probabilidades.

1.3.1. Regla general para suma de eventosSuponiendo que P(A) y P (B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces la

probabilidad P(A U B) de que ocurran A o B, se obtiene por:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A B es el evento de que sucedan simultneamente los eventos A y B, es decir, son eventos que no son

mutuamente excluyentes.

Ejemplo 1.Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen terico como el

prctico. Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe la parte terica es 0,68, la de que aprueb

la parte prctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno

al azar, cul es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia?

Sea A: aprobar la parte terica, (P(A)=0,68)

Sea B: aprobar la parte prctica, (P (B)=0,72)

Sea A B: aprobar la parte terica y la parte prctica, (P (A B) = (?)

Sea AUB: aprobar la parte terica o la parte prctica P(AUB)=0.82, es decir, en esta ltima basta con que

haya probado alguna de las dos partes.


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Usando P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A B), se despeja P(A B), ya que es el dato que se desea conocer, por

tanto tenemos

P(A B)=P(A)+P(B)-P(AUB)

Sustituyendo tenemos que

P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58= 58%

Por lo tanto, la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar pase el examen para obtener su licenc

es de 58%.

Ejemplo 2.En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estreo, 175 dijeron tener una TV y

100 dijeron tener ambos. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente.

a) Cul es la probabilidad de que tenga solo un estreo?

b) Cul es la probabilidad de que tenga solo una TV?

c) Cul es la probabilidad de que tenga alguno de los dos?

Se considera los siguientes conjuntos

Sea S: tener estreo

Sea T: tener TV

Sea S : tener estreo y TV

Para cada inciso se tiene:

a) P(S) = 320 /500 = .64. entonces 0.64 es la probabilidad de tener un estreo.

b) P(T) = 175 /500 = .35. entonces 0.35 es la probabilidad de tener una TV.

c) Sea P(S ) = 100 /500 = .20. entonces 0.20 es la probabilidad de que tengan estreo y TV.

Utilizando la frmula se tiene:

P(S U T) = P(S) + P(T) - P(S ) = 0.64 + 0.35 - 0.20 = 0.79

Entonces, la probabilidad de que tengan TV o estreo o ambos es de 0.79.


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Ejemplo 3.Un estudio de 500 alumnos que toma uno o ms cursos de lgebra, fsica y estadsticas,

durante un semestre revel el siguiente nmero de alumnos en las materias indicadas:

lgebra 329 lgebra y Fsica 83

Fsica 186 lgebra y Estadstica 217

Estadstica 295 Fsica y Estadstica 63

Cuntos estudiantes cursan las tres materias?

Sea A: tomar clase de lgebra, ((A)=329)

Sea B: tomar clase de Fsica, ((B)=186)

Sea C: tomar clase de Estadstica, ((C) = 295)

Sea AB: tomar clases de lgebra y Fsica ((AB)=83)

Sea AC:tomar clases de lgebra y Estadstica, ((AC)=217)

Sea B c: tomar clases de Fsica y Estadstica, ((BC)=63)

Sea ABC: toma los tres cursos, ((ABC) =?)

Sea AUBUC: toma uno o ms cursos ((AUBUC)= 500)

Para obtener el resultado se utilizar la siguiente frmula:

P(A U B U C) = P(A) + P(B) +P (C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)- P(A B C)

Despejando P(A B C) se obtendr el nmero de estudiantes que cursan las tres materias

P(A B C)= P(A) + P (B) +P (C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)+ P(A U B U C)

Sustituyendo

P(A B C)= 329 + 186 + 295 -83 -63 -217 - 500

Por lo que

P(A B C) =53 que es el nmero de alumnos que cursa lgebra, fsica y estadstica.


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Ntese que la probabilidad (emprica) de que un estudiante curse las tres materias es

53

500

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentesDefinicin:Dos eventos o ms son mutuamente excluyentes si no pueden suceder al mismo tiempo, com

los eventos los representamos con conjuntos, entonces:

A, B son excluyentes si y solo si A B = .

En la frmula 1.3.3.- 1 si A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no puede

ocurrir en forma simultnea, la probabilidad de P(A B) = 0, entonces la probabilidad P(A U B) de qu

ocurran A o B se obtiene por:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo 1.Sea S el evento de que asistas a una universidad estatal y P el evento de que asistas a un

universidad privada. Considera que no asistirs a ambas simultneamente. Si la probabilidad de qu

asistas a una universidad estatal es de 0.4 y a una universidad privada es de 0.25. Cul es

probabilidad de que asistas ya sea a una universidad estatal o a una privada?

Tenemos que los eventos son excluyentes, es decir, solo asistirs al estatal o al privado, pero no a amba

apliquemos la siguiente frmula

P(S U P) = P(S) + P(P)= 0.4 + 0.25 = 0.65

La probabilidad de que asistas a la estatal o privada es 0.65.

Ejemplo 2.Supn que se tiene una urna con 50 papeles de colores, los cuales son 15 rojos, 5 morados, 9

verdes, 11 naranjas y 10 azules. Cul es la probabilidad de que salga un papel rojo o un papel azul?

Sea los siguientes eventos.

A: sale un papel rojo

B: sale un papel azul

AUB: sale un papel rojo o azul


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Entonces se tiene que

P(A)= 15 = 0.3

50

P (B) = 10 = 0.2

50

Utilizando la frmula correspondiente tenemos que

P(A + B ) = P(A) + P(B) =0.3 + 0.2 = 0.5

Por lo que la probabilidad de sacar un papel rojo o azul es de 0.5

Ejemplo 3.Sea el evento A de sacar diez de calificacin en la materia de probabilidad, B el evento de

sacar nueve y C el evento de sacar ocho. Cul es la probabilidad de sacar un diez o un nueve o un ocho

en la materia?

Nota que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir que solo puede suceder uno de ellos, por lo

que tenemos

P(A)= 1 / 10, P(B) = 1 / 10 y P(C) = 1/10, y utilizando la frmula se tiene

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/10 + 1/ 10 + 1/10 = 0.3

Por lo tanto la probabilidad de sacar un 10 o un 8 o un 7 es de 0.3.

Ejercicio 7. De los siguientes enunciados, calcula la probabilidad de que suceda el evento. Utiliza lareglas bsicas de clculo de probabilidades.


1) Considera los siguientes eventosA= {extraer un as de una baraja}

B= {Extraer una espada}

Cul es la probabilidad de extraer un as o una espada o ambas?

a) 20/52

b) 12/52

c) 16/52

d) 2/52

2) En Cinepolito presentan las pelculas Amanecer, Barbie, Cmplices, Duende,Esperanza y Familia en espera, llegan 2 amigos y deciden escoger una deellas. Escribe la probabilidad de al menos algunos de ellos escoja lapelcula Familia en espera?

a) 20/36

b) 11/36

c) 2/6

d) 7/12


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3) Supn que la probabilidad de que asistas a la universidad es de 50%, de quetrabajes tiempo completo es de 60%, y la probabilidad de que asistas a launiversidad y trabajes tiempo completo es del 30%. Cul es la probabilidad

de que asistas a la universidad o trabajes tiempo completo?

a) 0.8

b) 0.35

c) 0.5

d) 0.7

4) La probabilidad de que un hombre est vivo dentro de 25 aos es de 3/5 y laprobabilidad de que su esposa lo est es de 2/3. Calcula la probabilidad deque al trmino de ese plazo al menos uno est vivo.

a) 2/5

b) 1/5

c) 4/15

d) 13/15

5) Supn que tienes que elegir entre tres talleres extracurriculares: guitarra,manualidades y danza, y la probabilidad de que vayas a uno de estos es

de 0.35, 0.30 y 0.20, respectivamente. Supn que solo puedes asistir a unode estos. Cul es la probabilidad de que asistas a algunos de estostalleres?

a) 0.60

b) 0.55

c) 0.25

d) 0.85

Actividad 5. Probabilidades de uno o ms eventos

Propsitos


Analizar las reglas bsicas del clculo de probabilidades.

Desarrollar habilidades para la obtencin de la probabilidad a travs de suma de eventos.

Desarrollo

Los estudiantes encontrarn las probabilidades de que suceda un evento o ms de un experimento

aleatorio.

Instrucciones

1) Encuentra las probabilidades del siguiente caso. Resulvelo en tu libreta.


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CASO: En la ciudad de Perote, en un mes, se realiz el siguiente estudio de las propiedades que lo

novios pueden tener antes del matrimonio, las cuales se reportaron en la siguiente tabla:

Coche Casa

Novio 17 5

Novia 10 2

Encuentra las probabilidades de que, cuando se casen dos personas:

a) El novio tenga coche.

b) El novio tenga coche y casa.

c) La novia tenga casa y coche.

d) El novio tenga coche o casa.

e) El novio tenga casa y la novia coche.

2) Al terminar, copia el resultado de cada inciso en un archivo de Word y envalo a la Seccin de tareas.


Evidencia de aprendizaje. Reflexin sobre el respeto a las reglas de trnsito

Propsitos


Identificar las probabilidades de que suceda un evento a fin de tomar una postura crtica ante los

principios probabilsticos a travs de la utilizacin de las reglas bsicas de la probabilidad.

Desarrollo:Dado el caso de estudio sobre las reglas de trnsito, reflexiona cmo afecta en los resultados la falta de

cumplimiento de dichas reglas.

Procedimiento:

1) A continuacin lee con cuidado lo siguiente:

Cuando circulas en automvil o microbs por las calles de la ciudad, te has preguntado:


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Qu pasara si en un crucero conglomerado no funcionaran los semforos?

Cuando un peatn atraviesa la calle y un automovilista le silva. Por qu lo hace?

Cuntas personas se ponen el cinturn de seguridad?Cuntos accidentes automovilsticos suceden en la ciudad?

Cuntas muertes o heridos hay en los accidentes?

Analiza lo aprendido en esta unidad y reflexiona si podras contestar cada una de estas preguntas a travs

de los principios y conceptos bsicos de la probabilidad. Si tu respuesta fue afirmativa, podras ayudar al

sistema de trnsito de tu localidad a disminuir estos problemas?

2) Con base en las anotaciones del punto anterior, elabora un reporte en Wordcon tu Reflexin de no

ms de una cuartilla sobre el estudio de este caso que incluya:

Breve introduccin al caso. Incluye de manera narrativa las respuestas dadas a las preguntas anteriores.

3) Concluye al final de tu reporte sobre la importancia de aplicar la probabilidad en estos eventos.

4) Enva el archivo a la Seccin de tareas.


Consideraciones especficas de la unidad

La asignatura de Probabilidad I desarrolla el pensamiento analtico mediante la solucin de problemas

reales basados en el enfoque clsico y el enfoque de la frecuencia relativa. Para cumplir con los propsito

de la Unidad 1. Introduccin a la probabilidad se ha diseado diversas actividades y ejercicios destinados

al desarrollo de destrezas o habilidades para la solucin de problemas donde se desea conocer los

resultados de un experimento aleatorio.

De acuerdo con este planteamiento, la unidad ofrece, a travs de las temticas y las lecturas, elemento

bsicos sobre la probabilidad, pero tambin actividades para ejercitarse en su prctica.

Para lograr los propsitos y desarrollar las competencias, es indispensable que el estudiante realice todas

cada una de las actividades previstas en la unidad, vinculando as la teora con la prctica.


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Para guiar las acciones que tendr que realizar el estudiante y facilitar su identificacin, a continuacin s

presentan los conos que corresponden a las actividades y ejercicios de la Unidad:

Ejercicios. Son actividades formativas que tienen como funcin la activacinde conocimientos relacionados con las temticas de la propia unidad. Estosno cuentan con valor numrico pero s son indispensables para avanzar enlos procesos de aprendizaje.

Actividades de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje adems de tenerun valor formativo cuentan con un valor sumativo. A travs de su realizacinse ejercitan habilidades, destrezas y actitudes que permiten la aplicacin demtodos y tcnicas en situaciones de aprendizaje y que ms tarde sernaplicadas en contextos acadmicos y sociales.

Foro de debate. El foro es un espacio de debate acadmico que contribuyeal desarrollo del pensamiento crtico. En este esquema, el estudiante tendrque defender sus puntos de vista a travs de argumentos slidos y compartirsus opiniones y aportaciones con otros compaeros para llegar a acuerdoscomunes sobre conceptos, teoras y perspectivas tericas. En este espaciotambin se desarrollan actitudes de tolerancia y respeto hacia los dems.

Fuentes de consulta

Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. (2008). Estadstica para administracin y economa. Cengage

Learning Latin America.

Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias. Mxico: Thomson.

Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadstica. Reverte.

Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadstica con prcticas en Excel. Mxico: Just in

time Press.

Hayslett, H. T. Jr. (1987) Estadstica simplificada. Mxico: Grupo editorial Sayrols.

Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadstica elemental. Mxico: Thomson Paraninfo.

Lincoln L. Chao. (2000). Introduccin a la estadstica. Mxico: Compaa Editorial Continental.

Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadstica. Mxico: McGraw-Hill Interamericana.

Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadstica.Mxico: McGraw-Hill.


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Tripla, Mario F. (2006). Estadstica elemental. Mxico: Addison Wesley Longman.

Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadstica para ingenieros. Pearson

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UNIDAD 2. TEORA DE LA PROBABILIDAD

Propsito de la unidadAl finalizar la unidad el estudiante:

Reconocer la importancia de la utilizacin del clculo de probabilidades.

Analizar algunos axiomas y teoremas como base para el clculo de probabilidades.

Identificar la independencia de eventos.

Analizar diferentes situaciones donde podr aplicar la regla de probabilidad condicional. Obtendr la probabilidad de un experimento utilizando el teorema de Bayes.

Competencia especficaUtilizar axiomas y teoremas de la probabilidad para resolver eventos independientes mediante la aplicaci

de la teora de Bayes y la probabilidad condicional.

Presentacin de la unidad

Utilizando los conceptos bsicos de la unidad 1 y en especial las reglas de conteo, es posible calcular laprobabilidad de cualquier evento en un experimento particular simple, pero, cuando un problema es

complejo, resultan necesarias varias reglas, para auxiliar en la determinacin de las probabilidades.

La presente unidad ofrece elementos tericos sobre el clculo de probabilidades, que nos permitir

encontrar probabilidades en situaciones difciles, a travs del estudio y anlisis de axiomas y teoremas, los

cuales son base de las reglas probabilsticas y, por consiguiente, son fundamentos en el clculo de

probabilidades.

Todo lo anterior est incluido en las lecturas y ejercicios, que permitirn el logro del aprendizaje a travs de

la prctica.

2.1. Clculo de probabilidadesRecordemos que la prediccin y el azar representan herramientas tiles para el diseo e interpretacin de

encuestas o interpretacin de informacin general y conforme se aumenta el grado de dificultad para

interpretar los resultados de un fenmeno aleatorio, se necesita de nuevas herramientas para poder

interpretar eficientemente la informacin.


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Por lo anterior, a lo largo de de esta unidad, se conocer los conceptos bsicos de la teora de la

probabilidad, a travs del anlisis de sus propiedades, axiomas y teoremas, que sern fundamentos para e

clculo de probabilidades. Adems, se presenta la probabilidad condicional y eventos independientes,donde se realiza un anlisis de cmo obtener la probabilidad de un evento cuando intervienen dos o ms

eventos. Para poder entender y emplear mejor estos conceptos, se propone una serie de ejemplos y

ejercicios contenidos en cada subtema de esta unidad.

2.1.1. Definicin de probabilidadDefinicin de probabilidad.Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral S con nresultados

posibles que corresponden a neventos mutuamente excluyentes E1, E2,, En la probabilidad es una

funcin P que toma valores en el espacio muestral S y le asigna un valor

170088615 pd pro1 curso probabilidad unad

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