1.6 unda de broglie

BAZELE EXPERIMENTALE SI ISTORICE ALE TEORIEI CUANTICE 71

1.7. UNDA ASOCIATA UNEI PARTICULE (LOUIS DE BROGLIE) In anul 1924 Louis Victor Pierre Raymond de Broglie şi-a susţinut teza de

doctorat, intitulată "Cercetări asupra teoriei cuantelor". Principala - şi remarcabila - idee prezentată în această lucrare a constat în afirmaţia că oricăror microparticule care au masă de repaus nenulă (electroni, pozitroni, particule α, etc.) li se poate asocia o undă32.

Teoria lui de Broglie a plecat de la postulatele neconvenţionale ale lui Planck asupra radiaţiei termice (ipoteza cuantelor) şi - totodată - de la aplicarea şi interpretarea pe care Einstein a găsit-o în explicarea efectului fotoelectric (în sensul că fotonul are un caracter dual, fiind în acelaşi timp şi undă şi corpuscul)33 .

Conform teoriei lui Planck, energia unei cuante (foton) avea expresia :

λ=ν=ε

hch

Aplicând fotonului expresia relativistă (Einstein) a energiei :

ph

mch hcmc mc 22 ==λ⇒

λ=⇒=ε (1.37)

unde λ este lungimea de undă a radiaţiei electromagnetice şi p = mc este impulsul unui foton, rezultă că oricărui foton în mişcare, care are impulsul p = mc, i se poate ataşa o undă, a cărei expresie este dată de formula (1.37).

Prin extrapolare Louis de Broglie a emis ipoteza34 că şi oricare alte

microparticule au proprietăţi ondulatorii asemănătoare fotonului. Astfel, oricărei particule în mişcare care are impulsul p = mv i se asociază o undă - a cărei natură fizică nu este precizată - având lungimea de undă λ, conform unei relaţii similare relaţiei (1.37) :

mvh

ph==λ (1.38)

numită (şi rămasă în istoria fizicii) sub numele de relaţia lui de Broglie35. Totodată relaţia cunoscută :

hE ν= conduce la hE =ν (1.39)

32 Louis de Broglie a obţinut premiul Nobel în fizică în anul 1929 pentru ideile expuse

în teza sa de doctorat. 33 Reamintim că fotonul este particulă cu masă de repaus nulă. 34 "In optică, timp de un secol, metoda corpusculară a fost neglijată prea mult faţă de

cea ondulatorie. Oare în teoria materiei nu s-a făcut greşeala inversă ? Oare nu ne-am gândit prea mult la reprezentarea sub formă de "particule" şi am neglijat peste măsură reprezentarea ondulatorie ?" (L. de Broglie)

35 Se consideră că teza de doctorat a lui Louis de Broglie a pus bazele teoretice ale mecanicii ondulatorii. In anii următori teoria lui a căpătat susţinerea lui Schrödinger, care a propus un nou formalism matematic şi a lui Max Born, care a formulat o interpretare probabilistică a funcţiei de undă Ψ(x,y,z,t) - folosită de Schrödinger în noua mecanică ondulatorie elaborată ulterior.

UNDA ASOCIATA UNEI PARTICULE (LOUIS DE BROGLIE) 72

de această dată fiind vorba despre energia unei microparticule şi frecvenţa undei asociate acesteia, fără restricţii în ceea ce priveşte natura particulei respective.

Problema 1. Să se calculeze lungimea de undă de Broglie asociată : a) unei bile cu masa m = 2 g ce se mişca cu v = 500 m/s ; b) unui foton cu energia ε = 1MeV ; c) unui electron cu energia cinetică Ec = 1 MeV , având masa de repaus

m0 = 9 10-31 kg. Rezolvare

m 1062,6mvh

ph )a 34

B−⋅===λ

m 1024,1hc hc

=p b) 12B

−⋅=ε

=λ⇒λ

=ε

m 109)cm2E(E

hcph

)cm2E(E

c1=p

cmE2Ecmcmcp

cmcpEdar

EcmE c)

132

0ccB

20cc

20c

2c

420

420

22

420

22totala

c2

0totala

−⋅≅+⋅

==λ⇒

+⋅⋅⇒

++=+

+=

+=

Observaţie : Este interesant a se reţine şi a se comenta ordinele de mărime ale lungimilor de undă asociate obţinute în cele trei cazuri date mai sus (se observă că lungimea de undă asociată unor obiecte "clasice" este atât de mică, încât este posibil să nu poată fi pusă în evidenţă niciodată).

1.7.1. Proprietăţile undelor de Broglie (unde asociate microparticulelor)

Expresia undei plane (cunoscută de la optică), aplicată pentru a descrie mişcarea "particulelor cuantice" are, dacă se ţine cont de relaţiile (1.38) şi (1.39), următoarea formă :

( ) ( )tErp h

2jthEr1

hp 2jt2r12 j

trkj eAeAeAeA)t,r(pk ⋅−⋅

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πν−⋅λπ

ω−⋅ ⋅=⋅=⋅=⋅=Ψrrrrrr

rrr Reamintim că k1

r este versorul vectorului de undă k

r şi indică direcţia de

propagare a undei. Prin urmare : pk 11rr

= şi :

( )( )tEzpypxp

h2j zyxeAt,r

⋅−++π

⋅=Ψr

Proprietatea I. Viteza de fază a undei asociate este :

vc

mvmc

pE

hE

ph

22

k'v

22

===⋅=ν⋅λ=

λππν

=ω

=

Se observă că, deoarece c > v (care este vparticulă ) rezultă v' > c.


Deoarece viteza de fază este o mărime de calcul fără semnificaţie consistentă (nu poate fi determinată experimental !), rezultatul anterior nu ridică probleme legate de faptul că c este viteza limită de deplasare a unei particule.

Viteza de grup este , prin definiţie : ( ) ( )

dpdE

hd

hd2d

2ddkdvg =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

ν=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λππν

=ω

=

In cazul unor particule care se deplasează cu viteze nerelativiste :

vmp

m2p

dpd v

m2pE

2

g

2

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒= (= vparticulă)

Pentru particule relativiste :

[ ] [ ] vmpcmcppc2

21cmcp

dpdv

cmcmcpE

21

mc

420

22221

420

22g

42420

222

2

==+⋅⋅=+=

=+=

−

4434421

Viteza de grup este viteza de deplasare a suprafeţei de egală elongaţie. Intrucât energia este proporţională cu amplitudinea, ar trebui ca viteza de grup să aibă o valoare inferioară vitezei luminii. După cum se observă mai sus, viteza de grup respectă condiţia vg < c (de fapt vg = vparticulă).

Viteza de deplasare a particulei este egală cu viteza de grup a undei asociate acesteia.

Proprietatea II. Admitând că electronul se mişcă în jurul nucleului atomic

pe o orbită circulară de rază r, atunci, conform regulii de cuantificare a lui Bohr ar rezulta că :

λ=⋅=π⇒π

=⋅ nmvhnr2

2nhmvr , unde n = 1, 2, 3, ...

Se observă că în "lungimea" (perimetrul) orbitei intră un număr întreg de lungimi de undă asociate (de Broglie), ceea ce echivalează cu ideea că orbitele posibile sunt selectate prin regula ca pe ele să se stabilească o aşa - numită "undă electronică staţionară". Prin urmare orbitele staţionare din atomul lui Bohr sunt de fapt acele orbite pe care se formează unde electronice staţionare.

Fără demonstraţie se poate reţine şi ideea că alegerea orbitelor eliptice din teoria lui Bohr respectă aceeaşi observaţie (perimetrul oricărei orbite trebuie să cuprindă un număr întreg de lungimi de undă de Broglie).

1.7.2. Evidenţa experimentală De Broglie a postulat existenţa undelor asociate particulelor. Ca orice

afirmaţie din fizica clasică, această idee - pentru a fi considerată corectă - trebuia pusă în evidenţă experimental.

Reamintim, din optică, principalele efecte ale undelor electromagnetice :


- interferenţa (mai greu de utilizat pentru unde asociate, întrucât ar fi pretins existenţa simultană a două unde coerente) ;

- difracţia (mai uşor de pus în evidenţă, pentru că impune existenţa unui singur fascicul).

(Difracţia constă în întreruperea suprafeţei de undă la întâlnirea cu obstacole având dimensiuni comparabile cu lungimea de undă. Drept consecinţă se pune în evidenţă apariţia unei figuri de difracţie, justificată de o redistribuire a energiei.)

Prin urmare difracţia părea a fi cel mai uşor de utilizat experimental. Intâmplarea a făcut ca un experiment de acest tip (iniţial destinat altui

scop), să demonstreze valabilitatea teoriei de Broglie. 1.7.2.1. Experienţa Davisson şi Germer Cercetările care l-au dus pe Davisson la descoperirea, în 1927, a difracţiei

undelor asociate electronilor, a început în 1919, mai întâi în colaborare cu C.H. Kunsman şi apoi, în 1924, împreună cu L. H. Germer.

Iniţial Davisson era interesat de "emisia electronică secundară", fenomen care apare atunci când electronii acceleraţi într-un tub vidat ciocnesc suprafaţa unui corp solid (metal). Experienţele necesitau o suprafaţă de emisie foarte curată şi un tub cu vid înalt.

Folosind ca ţintă o placă de nichel, Davisson a constatat apariţia unor maxime ale intensităţii fasciculului de electroni reflectat în câteva direcţii bine precizate36.

După încălzirea şi apoi răcirea suprafeţei de nichel s-a constatat apariţia unor maxime mult mai accentuate ale intensităţii fasciculului reflectat, fapt explicat ulterior ca fiind rezultatul transformării microcristalelor de nichel în cristale mai mari, datorită procesului de recristalizare petrecut în timpul răcirii.

Ulterior, perfecţionându-se tehnica utilizată37, s-a utilizat ca ţintă un monocristal de nichel, reuşind să se obţină (în 1927) rezultate convingătoare, în concordanţă perfectă cu teoria lui L. de Broglie (conform căreia electronului i se

asociază o undă cu lungimea de undă mvh

ph==λ ).

36 "In cursul unei experienţe, povesteşte Davisson, "a explodat o butelie cu aer lichid, în

momentul când ţinta se afla la o temperatură înaltă ; tubul de legătură s-a rupt, iar ţinta a fost puternic oxidată de aerul care a pătruns în interior. Pentru recondiţionarea probei, un strat din ţintă a fost înlăturat prin vaporizare, prin încălzirea la temperaturi mari în hidrogen şi în vid. La reluarea experimentelor, distribuţia unghiulară a electronilor împrăştiaţi de ţintă era cu totul alta"." (Nicolae Chiorcea, "Legendele ştiinţei", Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2005)

37 Dacă blocul de nichel este încălzit la temperatura de aproape 1000 C , micile cristale se aranjează într-un singur cristal, blocul de nichel prezentând - în acest caz - o singură reţea cristalină.


Pentru electronii lenţi (U < 150 V) energia cinetică a electronului se poate calcula după formula clasică :

2mvE

2

c =

Figura 1.28

Fasciculincident

Fasciculreflectat

θ

ω

Monocristalde nichel

Captator

dar cum :

eU2

mv eULE2

c =⇒==

rezultă :

U1

2emh unde de

m2eUv ⋅=λ=

Deci "lungimea de undă asociată" a electronului depinde de tensiunea de

accelerare. Pentru o tensiune având valoarea U = 100 V ar rezulta o lungime de undă Å, lungime de undă comparabilă cu cea a radiaţiilor X. 22,1=λ

Deoarece lungimea de undă a radiaţiilor X s-a putut determina pe baza difracţiei acestora în cristale, Elsasser (1925) a propus utilizarea aceleiaşi metode pentru a se verifica dacă electronii posedă proprietăţi ondulatorii şi pentru a se determina lungimea de undă corespunzătoare lor, idee (întâmplător) pusă în practică de Davisson şi Germer, prin celebrul lor experiment.

S-a folosit un fascicul de electroni (incident) trimis perpendicular pe o faţetă a monocristalului de nichel ; fasciculul reflectat (după o direcţie care face unchiul θ cu direcţia fasciculului incident) a fost captat cu un colector (cilindru Faraday) conectat la un galvanometru care măsoară intensitatea curentului electric determinat de electronii difuzaţi în direcţia respectivă.

Figura 1.29

Experimental s-a constatat că principalul maxim al fasciculului reflectat a fost înregistrat pentru θ = 500 şi U = 54 V. Cunoscând constanta reţelei formate din atomii de nichel (Figura 1.29), d = 2,15 Å , relaţia lui Bragg :

Fascicul incidentFasc

icul re

flecta

tθ

δ

dθ

Fascicul incidentFasc

icul re

flecta

tθ

δ

dθ

δ = d⋅sinθ = nλ şi punând condiţia n = 1, s-a determinat lungimea de undă corespunzătoare electronilor reflectaţi :

λ = 1,65 Å Acest rezultat a fost în concordanţă cu lungimea de undă calculată conform

teoriei lui de Broglie :

λ = 1,67 Å , pentru U = 54 V


Schimbând unghiul de incidenţă al fasciculului de electroni în raport cu planul monocristalului, s-a observat că se schimbă şi distribuţia electronilor împrăştiaţi. Prin urmare împrăştierea acestora nu a fost rezultatul unei interacţii individuale de tip "electron - atom din reţea", ci o interacţie cu planul reţelei.

Ulterior s-au pus în evidenţă fenomene asemănătoare de difracţie şi pentru alte tipuri de particule.

1.7.2.2. Experienţa Bibermann şi Fabrikant In urma experienţei Davisson şi Germer s-a ridicat următoarea întrebare :

"unda asociată are un caracter statistic sau este o proprietate individuală a fiecărei particule ?"

Experimentul efectuat de Bibermann şi Fabrikant, asemănător ca tehnică utilizată cu cel descris mai sus, a constat în bombardarea monocristalului de nichel cu electroni trimişi unul câte unul, într-un interval foarte mare de timp (interacţiune individuală).

S-a constatat că figura de difracţie rezultată a fost identică cu cea obţinută anterior (unde asupra cristalului s-a trimis - într-un interval de timp scurt - un număr extrem de mare de electroni).

Concluziile formulate au fost : a) unda de Broglie este asociată fiecărei particule în parte ; b) unda asociată nu are un caracter statistic (nu caracterizează tot

colectivul de particule) ; răspunzându-se astfel întrebării formulate iniţial.

1.7.2.3. Concluzii experimentale (la momentul respectiv) A. La interacţiunea electronilor cu substanţe în stare monocristalină apar

fenomene de difracţie, care pun în evidenţă caracterul ondulatoriu al comportării electronilor.

B. Caracterul ondulatoriu este propriu mişcării individuale a fiecărui

electron. C. Experienţe ulterioare efectuate cu alte microparticule (protoni, neutroni,

atomi de He, etc.) au pus în evidenţă comportarea ondulatorie a acestora. Prin urmare, această proprietate este o proprietate a tuturor microparticulelor.

Intrebare : Se poate reduce particula la undă ? Răspuns evident : NU ! Unda este extinsă în tot spaţiul. Particula dă interacţiuni localizate. Atunci care e semnificaţia fizică a undei asociate ? D. Intrucât nu se ştie precis care este contribuţia fiecărui electron la figura

de difracţie, trebuie să vorbim despre probabilităţi de localizare ale particulei.


1.7.2.4. Alte experimente Alte tipuri de experimente, vizând difracţia electronilor prin foiţe metalice

subţiri (aur, cupru) sau prin filme cu structură mono şi policristalină au fost făcute de cercetători cum ar fi G.P. Thomson (cu electroni rapizi, având energia în domeniul 17.500 ÷ 56.500 eV) şi P.S. Tartakowsky (cu electroni relativ lenţi, cu

energia până la 1700 eV).

Figura 1.30

Diafragma

Filmsubtire

Ecranfluorescent

Tun electronic

Schema dispozitivului

experimental utilizat este cea din figura 1.30, unde :

- se foloseşte un fascicul de electroni monoenergetici, direcţionaţi asupra probei cu ajutorul diafragmei ;

- la interacţia cu filmul subţire are loc un fenomen de difracţie ; - imaginea rezultată poate fi observată pe ecranul fluorescent. Dacă materialul din care este făcut filmul subţire este monocristalin,

imaginea de difracţie corespunzătoare este de tip von Laue, maximele obţinându-se după anumite direcţii privilegiate (figura 1.31.a).

Dacă materialul este policristalin imaginea de difracţie are aspectul din

figura 1.31.b (pată centrală + succesiune de inele concentrice). Si în acest caz se constată că lungimea de undă asociată coincide cu

lungimea de undă a unui eventual fascicul de raze X, pentru care s-ar fi identificat o figură de difracţie identică. Figura 1.31.a Figura 1.31.b


1.7.3. Semnificaţia fizică a undei asociate38 In 1926 Max Born a afirmat (afirmaţie admisă şi astăzi) că unda asociată

exprimă probabilitatea de localizare a particulei (a fiecărei particule în parte !)39.

Fie unda asociată :

tjarmonica unda

pentru

stationar regimin

e)t(f unde

f(t)z)y,(x,)t,z,y,x( )t,z,y,x(

ω−=⎯⎯⎯⎯ →⎯

⋅ϕ=Ψ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯Ψ

Se consideră un volum elementar dV. In acest volum elementar există o anumită probabilitate nenulă dp de a găsi un electron : dVdp ∝ .

Born a postulat că factorul de proporţionalitate este intensitatea undei

asociate : dVdp dV dp aadic I *stationarregimin

** ⋅ϕ⋅ϕ=⎯⎯⎯ →⎯⋅Ψ⋅Ψ=Ψ⋅Ψ= (

38 Un titlu alternativ ar fi putut fi "aici începe discuţia / sau scandalul / sau argumentele

în contradictoriu..." Veţi vedea, în notele de subsol, câteva aspecte legate atât de istoria cât şi de implicaţiile pe care un punct de vedere sau altul le-au impus în structurarea unei anumite teorii.

Totul a început în 1926, cu afirmaţia lui Max Born referitoare la semnificaţia empirică a funcţiei de undă, drept consecinţă a experienţelor de difracţie trecute în revistă în paragrafele precedente. Born a ajuns la concluzia că electronul difractat se poate găsi în spaţiu în orice loc în care funcţia de undă asociată lui este diferită de zero ; totodată asupra locului precis al acestuia nu se pot face decât afirmaţii probabilistice. In replică, pe 4 decembrie 1926, într-o scrisoare trimisă lui Born de către Albert Einstein, acesta din urmă face afirmaţia (celebră) :

"Mecanica cuantică este foarte impresionantă. Dar o voce interioară îmi spune că ea nu este încă lucrul adevărat. Teoria oferă foarte multe, dar nu ne prea apropie de secretul Bătrânului. Sunt ferm convins că El nu joacă zaruri..."

Se conturează două tabere : pe de o parte Einstein, Planck, de Broglie şi Schrödinger (adepţi în primă fază ai unei teorii ondulatorii reale, fizice, "vizibile" asupra fenomenelor cuantice) şi pe de altă parte Bohr, Born, Heisenberg şi ulterior Dirac (adepţi ai unui formalism, nu numai matematic, abstract cât şi filozofic diferit faţă de viziunea clasică a fizicii).

".. ceea ce natura cere de la noi este nu o teorie cuantică sau o teorie ondulatorie ; mai curând ea ne cere o sinteză a celor două, ceea ce până acum a depăşit puterile mentale ale fizicienilor." continuă Einstein discuţia într-o conferinţă ţinută la Berlin în 1927 (publicată în acelaşi an în Revista de Chimie Aplicată).

Un alt amănunt istoric interesant. Intre anii 1920 şi 1924, Einstein şi Bohr, după o primă întâlnire la Berlin, deveniseră prieteni, în sensul în care îşi cunoşteau şi îşi admirau reciproc ideile. In 1924 Satyendranath Bose introduce în fizică o nouă metodă statistică valabilă pentru fotoni. Einstein aplică metoda lui Bose şi ajunge la concluzia că materia ar trebui să manifeste proprietăţi ondulatorii. Tot în 1924 Bohr, într-un articol redactat împreună cu A. Kramers şi J.C. Slater, afirmă că - în cazul unui proces fizic individual cuantic - nu se poate vorbi despre evidenţă experimentală asupra conservării energiei, impulsului şi cauzalităţii. Un asemenea punct de vedere, evident în contradicţie cu viziunea clasică a fizicii, generează - pentru prima dată - un conflict deschis între cei doi cunoscuţi savanţi.

39 Louis de Broglie s-a declarat în dezacord cu aşa - numitele "unde de probabilitate" şi a susţinut natura fizică reală a undei asociate. El a propus, în jurul anului 1955, o teorie numită "a dublei soluţii", care încerca să aducă mecanica cuantică în cadrul "ondulatoriu clasic", idee neacceptată de către ceilalţi fizicieni.


In consecinţă, a rezultat că : • Probabilitatea de localizare a unei particule în volumul V este :

∫∫ ϕ⋅ϕ==V

*

VdV dpP

• Probabilitatea de a găsi particula undeva, în tot spaţiul, conduce la condiţia de normare :

1dV P * =ϕ⋅ϕ= ∫∞

∞

• Funcţia de undă (ca obiect matematic) trebuie să satisfacă unele condiţii legate de considerente fizice :

- să fie finită în tot spaţiul ; - să fie univocă ; - să fie continuă, atât ea cât şi derivatele parţiale de ordinul I.

Revenind la întrebarea pusă iniţial, Born a afirmat că microparticula are :

a) proprietăţi corpusculare : deoarece dă interacţiuni localizate

b) proprietăţi ondulatorii : în sensul că probabilitatea lor de localizare este calculabilă cu ecuaţia undelor.

ASPECTE INSEPARABILE

= DUBLU CARACTER ONDULATORIU SI

CORPUSCULAR

PARTICULA SE COMPORTA INTOTODEAUNA CA UN CORPUSCUL, DAR MISCAREA SA ESTE DESCRISA DE O UNDA !

PENTRU STUDIUL MISCARII SI - IN GENERAL AL PROPRIETATILOR GENERALE - SPECIFICE MICROPARTICULELOR A FOST NEVOIE DE ELABORAREA UNUI NOU FORMALISM.

In tabelul următor se face o comparaţie sugestivă între proprietăţile corpurilor macroscopice ("clasice") şi cele care fac obiectul acestui paragraf ("microparticule").

Interacţiuni

localizate Mod de

localizare Calcul localizare Domeniu

Corp macro-scopic

DA CERTITUDI-NE

Ecuaţiile mecanicii Fizica clasică

Corp micro-scopic

DA

PROBABILI-TATE

Localizarea microparticulei se face prin probabilitate : dV dp * ϕ⋅ϕ=Noţiunea de traiectorie este lipsită de sens (ceea ce semnalează o altă deficienţă a modelului atomic Bohr).

Fizica cuantică

Proprietăţi corpusculare

Proprietăţi ondulatorii


1.7.4. Observaţii finale Până acum am văzut că dualismul undă - corpuscul, formulat în anul 1924

de către Louis de Broglie, precum şi afirmaţiile lui Max Born din 1926, au reliefat pe de o parte aspecte ondulatorii şi pe de altă parte proprietăţi corpusculare în ceea ce priveşte comportarea microparticulelor. Interpretarea fizică dar totodată şi filozofică a acestor observaţii îi aparţine lui Niels Bohr. Alegerea făcută de el - cea care l-a condus la formularea principiului complementarităţii - a fost remarcabilă. El a afirmat că natura, aşa cum se manifestă ea, nu are o singură formă de prezentare ci mai multe, fiecare dintre ele spunând câte ceva, fiecare dintre ele fiind complementară cu celelalte aspecte. Aşa cum întregul unui om nu poate fi perceput fără a ţine cont de toate componentele anatomice (cap, mâini, picioare, trunchi, etc) la fel şi tabloul naturii nu poate fi înţeles decât acceptând că toate formele ei particulare de prezentare fac parte - simultan - dintr-un întreg.

Importanţa filozofică40 a acestui mod de a accepta şi înţelege natura a făcut ca aceste afirmaţii să fie recunoscute în fizică sub numele de "principiul complementarităţii". Celebra formulare succintă a acestui principiu (dată de către Bohr) a fost "Contraria non contradictoria sed complementa sunt" (laturile contrarii nu sunt contradictorii ci sunt complementare !)

Principiul complementarităţii a fost formulat ca atare în anul 1927, cu ocazia Congresului Solvay 541 (care s-a desfăşurat în Italia, la Como / localitate din apropierea lacului cu acelaşi nume).

---------------- Sistematizând relaţiile şi observaţiile făcute mai sus, putem reţine

următoarea schemă logică :

40 "Bohr a arătat că, în acord cu principiul complementarităţii, natura are două feţe

complementare şi că aceste feţe nu sunt vizibile în acelaşi timp, simultan : după modul în care o interogăm, ea ne arată una dintre feţele sale... Mai departe, el a arătat că proprietăţile corpusculare şi ondulatorii nu trebuie tratate în mod unitar, pentru că aceste proprietăţi nu pot exista decât separat şi, chiar mai mult, sunt aspecte care se exclud reciproc. Insă, spune Bohr, trebuie imediat să adăugăm că, în acelaşi timp, aceste proprietăti sunt complementare şi, de aceea, numai totalitatea lor cuprinde tot ce am putea cunoaşte despre obiectul respectiv.

Principiul complementarităţii a fost aplicat de către Bohr şi discipolii lui şi în alte domenii decât fizica : de exemplu în biologie, antropologie, psihologie, logică, etc. Ei au analizat într-un mod deosebit de spiritual, perechi de noţiuni complementare cum sunt : cunoaştere şi creier, raţiune şi instinct, etc." (citat din "Principii şi legi fundamentale în fizică", autor Gh. Huţanu, Editura Albatros, Bucureşti, 1983)

41 La Conferinţa Solvay din 1927 au participat aproape toţi marii fondatori ai mecanicii

cuantice : Planck, Einstein, Bohr, de Broglie, Heisenberg, Dirac, Schrödinger. Einstein a ascultat şi a tăcut. In schimb Bohr a afirmat :

" Insăşi natura teoriei cuantice... ne obligă să privim sistemul de coordonate spaţio-temporale şi cerinţa cauzalităţii, al căror ansamblu caracterizează teoriile clasice drept trăsături complementare dar exclusive ale descrierii, simbolizând idealizarea observării şi respectiv a definiţiei."


mvh

ph ;

hmc

hE

),( )E,p(

ASOCIATA UNDA

h = p ; ch = h =

re)corpuscula propr. iondulatori .propr(

)E,p( cunoscute ) ,( : FOTON

B

2

B

alexperiment eevidentiationdulatori .propr

.rel

Broglie de

cunoscuterecorpuscula .caract

Einstein rel.

==λ==ν

νλ→

λλνε

→

→νλ321321

Se reaminteşte că m este masa de mişcare a particulei. • In cazul fotonilor / undelor electromagnetice, am putut face următoarea

observaţie calitativă42 : pentru o anumită valoare a energiei "totale" , dacă : - λ mare ⇒ energii mici pentru fotoni, aspect ondulatoriu predominant,

datorat prezenţei simultane a unui număr foarte mare de fotoni ; - λ mic ⇒ predomină caracterul corpuscular, cel ondulatoriu fiind

mascat din cauza numărului mic de fotoni ale căror energii individuale sunt foarte mari.

• In cazul microparticulelor, discuţia trebuie să aibă în vedere câteva

observaţii : - cu cât o particulă este mai masivă (vezi şi problema 1), cu atât caracterul

ei corpuscular este mai evident iar cel ondulatoriu este mai greu de observat (o bilă 42

Denumire λ ν Comportare predominantă

Mărime caracteristică

Unde hertziene

lungi medii scurte ultrascurte

⎧

⎨⎪

⎩⎪

>103 m

102 m <λ< 103 m 102 m <λ< 10 m 1 m <λ< 10 m

ν < 0,3 MHz 0,3 MHz <ν<3 MHz 3 MHz <ν<30 MHz

30 MHz <ν<300 MHz

Microunde 10-3 m <λ< 1 m 300 MHz<ν<300 GHzInfraroşii

780 nm<λ< 0,3 mm

1 THz<ν<385 THz Radiaţii vizibile

400 nm<λ< 780 nm

385 THz<ν<750 THz

λ m

are,

ν m

ică

ondulatorie

Frecvenţa undei

Radiaţii ultraviolete

10 nm <λ< 400 nm 750 THz<ν<3⋅104 THz

Fotoni X

(Röentgen)

1 pm <λ< 10 nm

3⋅1016 Hz<ν<3⋅1020 Hz

Fotoni γ λ < 1 pm (10-12 m) ν > 3⋅1020 Hz λ m

ică,

ν m

are

corpusculară

Energia fotonului

O asemenea clasificare (cum e cea din tabelul mai sus) are totuşi un caracter orientativ. Ca exemplu radiaţiile Röentgen se comportă corpuscular în cazul efectelor Compton şi fotoelectric, dar se pot comporta şi predominant ondulatoriu, când sunt implicate în fenomene de difracţie pe cristale.


de biliard are o lungime de undă atât de scurtă încât este practic imposibil să poată fi pusă în evidenţă experimental) ;

- pe de altă parte un electron are o masă atât de mică încât aspectul său ondulatoriu poate fi observat cu uşurinţă, în urma unui experiment corespunzător, ceea ce s-a şi făcut.

Caracterul ondulatoriu al particulelor cuantice şi-a găsit nenumărate aplicaţii practice, printre care microscopul electronic, dispozitiv care se bazează pe difracţia electronilor.

1.7.5. Probleme rezolvate Problema 2. Un electron ce se deplasează cu viteza v0 = 6·106 m/s

pătrunde într-un câmp electric omogen, cu intensitatea E = 5 V/cm şi este accelerat. Ce distanţă trebuie să parcurgă electronul pentru ca lungimea de undă asociată lui să fie λ = 10-10 m ?

Rezolvare

mv

hph

fB ==λ

unde : eE/m= a eEmaiar aS2vmavv 2

00f ⇒=+=+= Prin urmare avem ecuaţia :

SmeE2v

mh 2

02B

2

2

+=λ

de unde se obţine :

cm 6,9meE2

vm)/h(m/eE2

vm

h

S20

22B

20

2

B =−λ

=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

=

Problema 3. Să se obţină relaţia care leagă lungimea de undă de Broglie a unor particule relativiste de tensiunea acceleratoare U a câmpului electrostatic în care se mişcă acestea.

Rezolvare

eUcmE eUeEdEE

EcmE 20totala

mpacc

c2

0totala +=⎪⎭

⎪⎬⎫

===+=

dar :

cmchcmcpE 4202

B

2242

022

totala +λ

=+=

aşa că, după efectuarea tuturor calculelor (prin ridicare la pătrat şi identificare), rezultă :


200

20

22Bcm2/eU1

1eUm2

hceUm2Ue

hc+

⋅=+

=λ

Nerelativist :

eUm2

h 1cm2

eU

0B2

0

=λ⇒<<

Problema 4. Un fascicul de particule încărcate electric, cu masa de repaus m0, relativiste, trec nedeviate printr-o regiune a spaţiului în care există un câmp

electrostatic perpendicular pe direcţia fasciculului şi un câmp magnetic a cărui inducţie

r

Figura 1.32

EqFel

rr=

vr

BvqFL

rrr×=

Br

EBr⊥ dar şi pe direcţia

fasciculului. Să se deducă expresia lungimii de undă asociate acestor particule.

Rezolvare Pentru ca particulele încărcate electric să treacă

nedeviate, rezultanta forţelor care acţionează asupra fiecăreia în parte trebuie să fie nulă :

BE vunde de BvqEq FF , 0FF LelLel =⋅⋅=⋅⇒==+

rrrrrrr

Prin urmare :

( )

21

2

02

0B 1

EcB

cmh

BE

cBE1

mh

mvh

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⋅−

==λ

Problema 5. Să se calculeze, în cazul atomului de hidrogen, variaţia lungimii de undă de Broglie a electronului, când acesta trece de pe cea de-a doua orbită staţionară pe prima.

Rezolvare

20

2

20n

n

20

n2

20

2

me2nh

nhe2m

hmv

h unde de ne v

nmvrre

rmv

π=

π==λ=

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=h

h

Prin urmare :

( ) 32,3me2hnn 2

0

2

1212B =π

⋅−=λ−λ=λΔ Å

Problema 6. Să se calculeze unghiul sub care Davisson şi Germer au observat reflexia Bragg a electronilor monoenergetici de 54 eV, pe un cristal de nichel având constanta reţelei d = 2,15 Å. Se va considera ordinul de difracţie n = 1. Cât devine θ atunci când electronii (consideraţi a fi iniţial în repaus) sunt acceleraţi la tensiunea de 40 kV ?


Rezolvare Legea lui Bragg (valabilă şi pentru undele asociate particulelor în mişcare)

este :

Figura 1.33

d θθθ

θ

θ

θ

d· sinθ

λ=θ⋅ nsind2 unde :

λ este lungimea de undă asociată ;

d este constanta reţelei ; n este ordinul de difracţie ; θ este unghiul făcut de cele

două fascicule (incident şi difractat) cu familia de plane reticulare (vezi figura 1.33).

Deoarece : ph

B =λ iar m2

p2

mvE22

== ⇒ mE2p =

Observaţie importantă. S-a utilizat expresia nerelativistă a energiei, deoarece valoarea de 54 eV (dată de problemă) este neglijabilă faţă de energia de repaus a electronilor :

m0c2 = 0,511 MeV

1,67 m 1067,1106,1541092

1062,6mE2h

ph 10

1931

34

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅===λ −

−−

−

Å

Observaţie. In relaţia de mai sus s-au înlocuit următoarele valori :

sJ 106,62 h ; kg 109mm

J 101,654V 1C101,654eV 5434-31

electron 0

-19-19

⋅⋅=⋅=≅

⋅⋅=⋅⋅⋅=−

Din relaţia Bragg rezultă : 0

10

10B 23 3884,0

1015,221067,1

d2nsin ≅θ⇒=

⋅⋅⋅

=λ

=θ −

−

In cel de-al doilea caz energia cinetică T = eUaccelerare = 40 KeV nu mai este neglijabilă faţă de energia de repaus (= 511 KeV) ; prin urmare tratarea problemei trebuie să se facă din punct de vedere relativist :

( )

20

aa0

20a

2a

420

420

22

accelerare2

0totala

420

22totala

cm2eU1eU2m p

cmeU2eUcmcmcp

eUcmE

cmcpHE+⋅=⇒

++=+

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+==

Prin urmare :

m 106962,01040106,11092

1062,6cm2/eU1

1eUm2

h 1231931

34

20aa0

B−

−−

−

⋅≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=

+⋅=λ

deci λB = 0,06 Å (de comparat cu cea din cazul precedent).

BAZELE EXPERIMENTALE SI ISTORICE ALE TEORIEI CUANTICE

85

Atunci :

50' unde de 014,0102,152

106sin sind2 10-

-12

B ≅θ≅⋅⋅

⋅=θ⇒λ=θ⋅

Problema 7. Un fascicul îngust de electroni monoenergetici cade sub un unghi θ = 300 pe suprafaţa unui monocristal de Al. Distanţa între două plane atomice ale acestui cristal este d = 2 Å. Pentru o anumită tensiune de accelerare Ua se observă un maxim. Determinaţi valoarea lui Ua ştiind că maximul următor se produce atunci când tensiunea de accelerare se măreşte de η = 2,25 ori.

Se dau : m0 = 9,8⋅10-31 kg , e = 1,6⋅10-19 C, h = 6,62⋅10-34 J⋅s. Rezolvare Din relaţia Bragg : nsind2 Bλ=θ⋅ , unde :

a0

neglijabil

20

aa0B eUm2

cm2eU1eU2mpcu

ph

≅+⋅==λ321

rezultă egalitatea :

nsind2

eUm2h

a0B

θ⋅==λ

Pentru n = n1 avem U1 = Ua . Prin urmare :

a022

22

eUm2sind4nh

=θ

Pentru n' = n2 = n1 + 1 = n + 1 , iar U2 = 2,25⋅Ua :

( )a022

22

U25,2em2sind4

1nh⋅=

θ⋅+

rezultă :

( )( ) 2 n aadic 0,5 1/n 5,125,2

n1n sau

25,21

1nn 2

2

2

2

==⇒==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

(

( ) V 140106,1108,92

41104

1062,6em2

130sind4

h4U193120

234

0022

2

a ≅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

−−−

−

Observaţie. Verificăm termenul neglijat, folosind valoarea rezultată a tensiunii de accelerare :

1 1026,1109108,92

140106,1 61831

19

<<⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ −−

−

ceea ce arată că ignorarea acestui termen nu a afectat semnificativ acurateţea rezultatului.

1.6 unda de broglie

Documents