1.2.6. bedingte wahrscheinlichkeiten

1.2.6. Bedingte 1.2.6. Bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

1.2.6. Bedingte 1.2.6. Bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Mehr Abiturientinnen als Abiturienten

52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).


Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

2. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann ein Mann?

3. Falls eine Person männlich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Absolvent „Ossi“ und männlich?


Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen beobachtet.

"..."OssiA ..." "A Wessi

...B Frau ...B Mann


Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.

Frau Mann Gesamt

Ossi

Wessi

Gesamt52,4 %

244600100 %



Frau Mann Gesamt

Ossi

Wessi

Gesamt12817052,4 %

244600100 %

52,4 % der insgesamt 244600 Abiturientinnen und Abiturienten sind Frauen.



Frau Mann Gesamt

Ossi

Wessi

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Demzufolge sind es 116430 Männer. Das entspricht 47,6 %.



Frau Mann Gesamt

Ossi59,1 % 244600

-x

Wessi50,8 % x

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Zu lösen ist die Gleichung

Man erhält mit x = 197458 die Anzahl der Abiturienten aus Westdeutschland.

128170508,0244600591,0 xx



Frau Mann Gesamt

Ossi4714219,3 %

Wessi19745880,7 %

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Also kommen 47142 Abiturienten aus Ostdeutschland. Das sind 19,3 %.



Frau Mann Gesamt

Ossi2786111,4 %

192817,9 %

4714219,3 %

Wessi19745880,7 %

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Von den 47142 Absolventen aus Ostdeutschland sind 59,1 % Frauen. Es sind also 27861 Frauen und 19281 Männer. Das sind 11,4 % bzw. 7,9 % des Grundwertes.



Frau Mann Gesamt

Ossi2786111,4 %

192817,9 %

4714219,3 %

Wessi10030941,0 %

9714939,7 %

19745880,7 %

Gesamt12817052,4 %

11643047,6 %

244600100 %

Durch Subtraktion lassen sich die fehlenden absoluten Häufigkeiten ermitteln.


Frau MannGesamt

Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 %

Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 %

Gesamt52,4 % 47,6 % 100 %

Aus der Vierfeldertafel lassen sich z.B. ablesen:•Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt:

•Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt und weiblich ist:

A

B

A

B

P A B P A B

P A B P A B

P A

P A

P B P B

19,3%P A

11,4%P A B


Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich direkt aus der Vierfeldertafel ablesen.

Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Absolvent „Ossi“ und männlich?

079,0BAP


Jetzt werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen geknüpft.

2. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann ein Mann?

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt:

3. Falls eine Person männlich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt:

BPA

BP A


SATZ: Satz von BayesSind A und B Ereignisse mit P(A) ≠ 0, dann gilt

Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes verwenden.

A

P(A B)P (B) =

P(A)

A

P(A B)P (B) =

P(A)

A

P(A B)P (B) =

P(A)

A

P(A B)P (B) =

P(A)


Frau MannGesamt

Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 %

Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 %

Gesamt52,4 % 47,6 % 100 %

Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann ein Mann?(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: )

A

B

A

B

P A B P A B

P A B P A B

P A

P A

P B P B BPA

( )( )

( )

0,079( )

0,193

( ) 0,409

A

A

A

P A BP B

P A

P B

P B


Frau MannGesamt

Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 %

Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 %

Gesamt52,4 % 47,6 % 100 %

Falls eine Person männlich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?(Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt: )

A

B

A

B

P A B P A B

P A B P A B

P A

P A

P B P B BP A

( )( )

( )

0,079( )

0,476

( ) 0,166

B

B

B

P A BP A

P B

P A

P A


m

Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen.

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}


0,524m

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1.


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807.

0,807


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.

0,807

0,397 0,397


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.

0,807

0,397 0,397

0,193

0,114

0,079

0,410

0,114

0,410

0,079

0,218

0,782

0,166

0,834


0,524m0,409

O

W

w

w

m

W

w

m

O

O

W

0,591

0,508

{O;w}

{O;m}

{W;w}

{W;m} {m;W}

{m;O}

{w;W}

{w;O}

0,492

0,476

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen.

0,807

0,397 0,397

0,193

0,114

0,079

0,410

0,114

0,410

0,079

0,218

0,782

0,166

0,834

1.2.6. bedingte wahrscheinlichkeiten

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