THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 1/1

9

© JM

DUCRET

PT 12/13

EXERCICES : T

HERMODYNAMIQUE PHYSIQUE

Etude du corps pur s

ous deux phases

TH105: V

aporis

atio

n, condensatio

n, cycle monotherm

e

Un p

iston horizo

ntal,

de

surface

S = 1

00 cm

3, peu

t se d

éplacer

sans fro

ttement d

ans u

n

cylindre m

ainten

u à la tem

pératu

re constan

te t0 = 0

°C. O

n su

pposera

que le vid

e règne à

l'extérie

ur d

u cylin

dre.

In

itialem

ent, le

pisto

n est à h

= 5

0 cm

du fo

nd d

u cylin

dre, u

ne su

rcharge co

nven

able le

maintie

nt en

équilib

re. D

ans le cy

lindre se tro

uve d

e la vapeu

r tout ju

ste saturan

te (v

apeu

r en

présen

ce d'une g

outte

de liq

uide) d

e S

O2 d

ont la p

ression e

st alors P

s = 1

,42. 1

05 P

a. Une

surch

arg

e infin

imen

t petite

posée

sur le pisto

n en

provo

que

la descen

te jusq

u'au

fond, le

liquide d

e conden

sation étan

t alors lo

gé d

ans u

n ré

cipient à

robinet; o

n ferm

e le ro

binet, p

uis

on rem

onte le p

iston d

ans sa p

ositio

n in

itiale et o

n le fixe. O

n ouvre le ro

binet et o

n la

isse le

liq

uide se vap

oriser.

Quelle

est la q

uantité d

e ch

aleur fo

urn

ie par le m

ilieu extérie

ur a

u co

urs d

e ce

tte série de

transfo

rmatio

ns ? Le sig

ne d

u résu

ltat est-il conform

e à l'énoncé d

e Kelvin

du seco

nd prin

cipe?

TH106: M

esure de la chaleur la

tente de vaporis

atio

n de l'e

au

On place su

r le plate

au d'une b

alance u

n récip

ient ca

lorifu

gé co

ntenant d

e l'eau

mainten

ue en

éb

ullitio

n par u

ne résista

nce é

lectriq

ue p

arcourue par u

n co

uran

t constan

t. La vap

eur fo

rmée s'éch

appe p

ar un o

rifice d

ans l'atm

osp

hère exté

rieure d

ont la p

ression est

norm

ale. Après

avoir

taré, on rep

ère une positio

n de l'a

iguille

à un instan

t ch

oisi

comme

orig

ine. O

n ajoute u

ne m

asse m

arquée m

0 = 2

g d

ans le

plateau

conten

ant le

récip

ient. A

vec une in

tensité I

1 = 2

,5 A

corresp

ondan

t à une ten

sion aux born

es de la

résistan

ce V1 =

5 V

, le

retour d

e l'aiguille

à sa positio

n in

itiale est o

bten

u au bout d

'un tem

ps t1 =

400 s.

1- C

alcu

ler la ch

aleur la

tente m

olaire

de va

porisatio

n L

v de l'eau

à 100 °C

, en néglig

eant les

pertes d

e chale

ur a

insi q

ue la

variatio

n de v

olume du liq

uide.

2- O

n tien

t compte d

es p

ertes en

admetta

nt q

ue la p

uissa

nce

therm

ique P

f corresp

ondan

t à la

fuite

de ch

aleu

r est consta

nte. D

ans u

ne deuxième exp

érience, l'ad

ditio

n d'une m

asse d

e 2

g co

rrespond cette fo

is aux v

aleurs I

2 = 3

A, V

2 = 6

V, t

2 = 2

69 s. C

alcu

ler la nouve

lle

valeur d

e Lv .

TH108: D

étente irré

versible, varia

tion d'entro

pie.

Une m

asse m

, d'eau

liquide, in

itialem

ent à

la tem

pérature T

1 , peu

t communiquer ave

c un

récipient in

itialem

ent vid

e, de v

olume V

0 . L'ensem

ble est th

ermiquem

ent iso

lé.

On su

ppose

qu'à la fin

de la d

étente, l'é

tat d'éq

uilib

re co

rresp

ond à un équilib

re liquide-v

apeu

r. L'eau

liquide est su

pposé

e inco

mpressib

le, et sa ch

aleu

r massiq

ue le

long d

e la

courbe d

e

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 2/1

9

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DUCRET

vaporisatio

n est su

pposée co

nstan

te et ég

ale à c, ca

pacité th

ermique m

assique d

e l'eau à

vo

lume co

nstan

t.

1- N

ous su

pposo

ns q

ue L

v , et P

s , sont d

es fonctio

ns co

nnues d

e la température T

(par ex

emple

Lv =

A - B

T, P

s = 10-3.(T

- 273)4 ). E

n assim

ilant la

vap

eur à u

n gaz p

arfa

it, et en néglig

eant le

volume

massiq

ue

du liq

uide

dev

ant

celui de la vap

eur,

montre

r que la

températu

re T à

l'équilib

re est d

éfinie p

ar l'é

quatio

n :

m. c(T

– T

0 ) + P

s V0 [(M

Lv /R

T) - 1

] = 0

où M

est la masse m

olaire

de l'ea

u. D

onner a

lors la

relatio

n p

erm

etta

nt d

e calcu

ler la

masse m

de la

vapeur.

2- M

ontrer q

ue la v

ariatio

n d’entro

pie d

u systèm

e est positive ; in

terpréte

r.

N.B. O

n s’aid

era utilem

ent d

u tracé d

es isotherm

es dans le d

iagramme de C

lapey

ron.

TH110: L'eau au voisinage du point trip

le.

On se p

ropose d

'étudier les éq

uilib

res entre

les différen

tes phases so

lide, liq

uide et g

azeuse

de l'e

au, au

voisin

age d

u point trip

le qui co

rrespond à une te

mpératu

re t

3 = 0,0074 °C

. On a

dmet q

ue, d

ans le d

omaine d

es températu

res et d

es pressio

ns co

nsid

érées, l'eau liq

uide

et la g

lace so

nt inco

mpressib

les, e

t que

leur d

ilatation est

néglig

eable. A

utrem

ent d

it, les

volumes m

assiques u

l et us co

rrespondan

t respectiv

ement à l'ea

u liq

uide e

t à la g

lace, so

nt

consid

érés co

mme co

nsta

nts.

On donne :

ul =

1,00.10-3

m3 kg

-1 et us =

1,09. 1

0-3 m

3 kg-1 .

1- Faire u

n grap

hique in

diquan

t clairem

ent l'a

llure, a

u voisin

age d

u point trip

le, d

es courb

es de

fusio

n, d

e vaporisatio

n et d

e sublim

atio

n, en

coordonnée

s t, P (tem

pératu

res t en ab

scisse,

pressio

ns P

en ord

onnée

). 2- T

racer e

n co

ord

onnées d

e Clap

eyron (v

, P) l'iso

therm

e relativ

e à un kilo

gramme d'ea

u pour

la températu

re t0 =

0 °C

en ad

mettan

t que la v

apeu

r d'eau

peu

t être a

ssimilée à

un g

az parfa

it. On donne la

pressio

n d'équilib

re des p

hase

s solid

e et g

azeuse d

e l'eau

à 0 °C

: P'0 =

4,579 m

m H

g.

Remarque : O

n ne se préoccupera pas de tra

cer la

courbe à l'é

chelle. O

n se bornera à in

diquer

nette

ment s

on allure générale, e

t on calculera exactement le

s coordonnées de to

us le

s points

remarquables. O

n notera u

g le volume pour le

quel a

pparaît (à

t0 =

0 °C) la

première tra

ce de

phase solide en équilib

re avec la phase gazeuse.

3- O

n ad

met q

ue la co

urb

e de su

blim

atio

n et la co

urbe d

e fusio

n p

euve

nt être a

ssimilée

s à des d

roites en

tre 0 °C

et la températu

re du point trip

le. S

achant q

ue la

chaleu

r latente d

e su

blim

atio

n d

e la glace à

0 °C

est Ls =

2,827. 1

06 J. k

g- 1 ,ca

lculer la p

ression d

u p

oint

triple.

4- C

alculer la ch

aleu

r laten

te de fu

sion L

f de la g

lace à t0 =

0 °C

. 5- T

racer l'iso

therm

e corre

spondan

t à t3 températu

re du p

oint trip

le (même re

marq

ue q

u'au

2-).

6- E

n co

nfondan

t la co

urbe d

e vaporisatio

n au

voisin

age d

u p

oint trip

le avec sa tangente e

n

ce point, ca

lculer la p

ressio

n d

e vap

eur satu

rante d

e l'eau liq

uide à la

température t

1 =

1°C

.

On rap

pelle q

ue la

températu

re t dans l'éch

elle C

elsiu

s est liée à la te

mpératu

re abso

lue T d

e

l'échelle

Kelvin par : T

= t +

273,15. O

n prendra 1

atm =

760 m

m H

g =

1,013. 1

05 P

a. TH111: titre

s massiques en vapeur e

t échauffe

ment is

ochore

Un cy

lindre in

dila

table, b

on co

nducteu

r therm

ique, d

e capacité th

ermique n

églig

eab

le a une

longueur

totale

de

L =1 m et

une

section s

de 1 m

2. Une

paro

i mobile

, repérée

par

sa co

ordonnée

y (telle q

ue

Ly

0≤

≤) le

divise

en d

eux com

partim

ents A

et B (tels q

ue L

A =y et

LB =

L-y).

THERMODYNAMIQ

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pag

e 3/1

9

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A e

t B é

tant in

itialem

ent v

ides, o

n in

troduit m

A = 1

80 g

d'eau

(Me =

18 g

.mol -1) d

ans A

et mB

=1800g d'ea

u dans B

. On ap

pelle

x=m

v /m le

titre de va

peu

r.

1)

Le cylin

dre est d

ans le

therm

ostat à t=

100°C

. a)

y est fixée à 0

,5 m

. Déterm

iner d

ans ch

aque co

mpartim

ent l'éta

t physiq

ue d

e l'e

au.

Calcu

ler avec p

récision x

B . En déd

uire la

force F s'ex

erçant su

r le pisto

n.

Données: P

S(1

00°C

) = 1 bar; la v

apeu

r d'ea

u est a

ssimila

ble à

un G

P; R

=8,31 J.K

-1.mol -1;

masse vo

lumique de l'e

au liq

uide ρ

l =103kg

.m-3 p

eu dépendante d

e T.

b)

Si y varie d

e 0 à 1

m, tracer la co

urb

e F(y).

On pourra

montre

r que :

- dans le co

mpartim

ent B

on a pour to

ut y

, un m

élange liq

uide-vapeur ;

- dans le compartim

ent A, on a un mélange liquide vapeur pour y

1y

≤ avec y1 à

déterm

iner.

2)

On fix

e défin

itivemen

t y=0,5 m,

et on porte

brusq

uem

ent

le cy

lindre

dans

un au

tre

therm

ostat à t'=

150°C

, puis o

n atte

nd l'éq

uilib

re. O

n donne P

S(1

50°C

) = 5 bar.

a) Déterm

iner le

nouvea

u titre x'B . O

n n

ote u

le vo

lume m

assique; rep

résen

ter d

ans u

n

diag

ramme (P

,u) la tra

nsfo

rmatio

n effectu

ée dan

s le compartim

ent B

. b)

Calcu

ler la ch

aleu

r totale reçu

e par le systèm

e dan

s la tra

nsfo

rmatio

n.

Données : c

haleur la

tente m

assiq

ue de vaporisatio

n de l'e

au :

Lv(150°C) =2090 kJ/k

g ;

Lv(100°C) =2240 kJ/k

g ;

capacité

therm

ique isochore de la

vapeur d

'eau : c

Vgaz =1,46 kJ.k

g-1.K

-1 ; capacité

therm

ique du liq

uide saturant c

ℓ =4,18 kJ.k

g-1.K

-1.

c) Calcu

ler la va

riation d'en

tropie d

u systèm

e ainsi q

ue celle d

e la so

urce

. Conclu

re. TH113: p

assage glace-eau

On p

rend u

n récip

ient iso

lé th

erm

iquemen

t, sous u

ne p

ressio

n d

e 1 atm

osphère, o

n y m

et m

l =10 g

de g

lace à tl =

-8°C

et m2 =

l00 g

d'eau

liquide à

t2 =15°C

. A 0

°C et so

us 1

atm, la

ch

aleu

r laten

te de fu

sion de la g

lace vaut L=

340 J/g

, la chaleur m

assique d

e l'eau liq

uide est

cl =4,2 J.g

-1.K-l et la

chaleur m

assique d

e la g

lace est cs =

2,1 J.g

-1.K-l.

a) Calcu

ler la tem

pératu

re finale d

ans le

récipient.

b) C

alculer la

variatio

n d'en

tropie d

e la glace

, de l'eau

et d

e l'ensem

ble.

TH116:ré

frigérateur

Soit u

n ré

frigérate

ur fo

nctio

nnant e

ntre

deu

x sources d

e températu

res Tl =

273 K

et T

2 =298 K

. Calcu

ler le trava

il néce

ssaire p

our co

ngeler u

n litre d

'eau à 0°C

. On donne L

f =333 J/g

. TH 125 : C

ompression isotherme d'une vapeur d'eau

On co

nsid

ère

un cy

lindre

, co

nte

nant

une mole de vapeur

d'eau (m

asse

molaire

M =

18g/m

ol), fe

rmé p

ar u

n p

iston m

obile

, placé

dans u

n th

erm

osta

t à T

0 = 300K. Le

s paro

is du cy

lindre

sont co

nductrice

s de la

chaleur. L'e

au vapeur se

ra assim

ilée à u

n g

az p

arfa

it. Le

volume initia

l dans

le cy

lindre

est V

0 = 3m

3. On donne P

s (300K) = 1

300 P

a et

le

volume m

assiq

ue de l'e

au liq

uide à 3

00K v

l = 1

cm3/g

1)

On co

mprim

e ré

versib

lement ju

squ'à o

bte

nir u

n v

olume V

1 = 0

,75m

3 à P

1 =

1300 Pa.

Justifie

r le fa

it que l'e

au se

trouve à la

fois à

l'état liq

uide et g

aze

ux. T

race

r l'évolutio

n

de la

pre

ssion en fo

nctio

n d

u volume P(V) lo

rs de la

transfo

rmatio

n.

2)

Calcu

ler le

travail fo

urn

i, et le

titre en vapeur d

ans l'é

tat fin

al.

3) A volume co

nsta

nt, o

n fa

it varie

r la te

mpéra

ture

à l'in

térie

ur d

e T

0 à T

. On admet q

ue

la ch

aleur la

tente

molaire

de v

aporisa

tion d

e l'e

au é

volue se

lon la

loi e

mpiriq

ue L =

aT + b a

vec a = -4

8,66 SI e

t b = 56,58.1

03 SI . D

éfin

ir la ch

aleur la

tente

molaire

. Donner le

s unité

s de a et b

. En n

églig

eant le

volume m

assiq

ue d

e l'e

au liq

uide d

evant

le v

olume m

assiq

ue d

e l'e

au v

apeur é

tablir la

relatio

n d

e D

upré

de la

form

e ln

Ps =

A

– B/T

+ C

ln(T

).

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 4/1

9

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DUCRET

TH 126 : V

aporisatio

n d'un liq

uide dans le

vide

On p

lace

une ampoule co

nte

nant m

= 0,1 kg d'eau liq

uide d

ans u

ne ence

inte

indéform

able

de volume V mainte

nue au co

nta

ct d'un th

erm

osta

t à la te

mpéra

ture

T0

= 373K.

Initia

lement, l'e

nce

inte

est v

ide et l'e

au d

ans l'a

mpoule est à

la te

mpéra

ture

T0 e

st sous

une pre

ssion initia

le P0

égale à la pre

ssion de vapeur

satu

rante

ps (T

0 ) = l bar.

On

assim

ile la v

apeur d

'eau à

un g

az p

arfa

it de m

asse

molaire

M = 1

8g/m

ol. O

n donne

l'enth

alpie d

e v

aporisa

tion d

e l'e

au L

v = 2, 3

.103kJ/k

g à la

tempéra

ture

T0 . O

n n

églig

e le

volume m

assiq

ue d

e l'e

au liq

uide d

evant le

volume m

assiq

ue d

e la

vapeur d

'eau. O

n

donne R = 8, 3

J.K-l.m

ol-1.

1)

Montre

r qu'il e

xiste

une v

aleur V

c du v

olume p

our la

quelle

dans l'é

tat fin

al l'e

au so

it à la

tempéra

ture

T0 e

t à la

pre

ssion d

e v

apeur sa

tura

nte

ps (T

0 ), avec u

n titre

en

vapeur

xv1 =

1. Calcu

ler

pour

l'évolutio

n co

rresp

ondante

, le tra

nsfe

rt therm

ique Q

algébriq

uement re

çu p

ar l'e

au, la

varia

tion d

'entro

pie d

e l'e

au, la

varia

tion d

'entro

pie

du th

erm

osta

t et ce

lle d

e l'u

nivers. C

ommente

r. 2)

On su

ppose

que le volume V est

inférie

ur

à la valeur V, déte

rminée plus

haut.

Déte

rminer l'é

tat fin

al e

n fo

nctio

n d

u ra

pport V

/Vc .

3)

On su

ppose

que le

volume V

est su

périe

ur à

la valeur V

c . Déte

rminer l'é

tat fin

al.

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 5/1

9

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DUCRET

Therm

odynamique industrie

lle

TH204 :P

uissance électriq

ue cédée par u

n barra

ge

Une m

achine h

ydrau

lique p

lacée so

us u

n b

arrage d

étend l'ea

u p

rélevée au

fond d

u lac à la

pressio

n P

e avec un déb

it massiq

ue D

m pour la la

isser sortir à la m

ême altitu

de

et à la m

ême tem

pérature à la

pressio

n atm

osp

hériq

ue P

S = P

0 . On ne se p

réoccu

pe

pas

du détail

de so

n fonctio

nnemen

t, mais

on su

ppose

qu'elle

est

idéa

le, rév

ersible

et calo

rifugée.

Calcu

ler la puissan

ce électriq

ue P

elec céd

ée au résea

u par u

n altern

ateu

r extérieur d

e ren

demen

t r = 0

,9 co

uplé à ce

tte m

ach

ine. A

pplicatio

n n

umériq

ue : D

m =

1000 kg

/s , Pe =

10

bar.

TH205 :E

coulement d

e l’e

au d’un to

rrent

Un to

rrent d

évale la m

ontagne su

r un dén

ivelé de 1

000 m

, et d

u fa

it des fro

ttemen

ts intern

es

(viscosité

et frottem

ent co

ntre

les roch

ers), sa vitesse reste pratiq

uement co

nsta

nte.

Pour sim

plifie

r, la descen

te de l'ea

u éta

nt rap

ide, o

n su

ppose so

n évo

lutio

n adiab

atique ; il n

'y a d

onc d

ans ce m

odèle

aucu

ne ch

aleur é

changée avec le so

l ou ave

c l'air ex

térieu

r. a) A

ppliq

uer à

ce cas le p

remier p

rincip

e des systèm

es ouverts e

n ré

gim

e perm

anen

t, et en

déd

uire

l'augmen

tatio

n de tem

pérature d

e l'eau

au co

urs d

e la descen

te. Applicatio

n numériq

ue a

vec une cap

acité calorifiq

ue de l'e

au : c

p = 4 kJ.kg

-1.K-1.

b) C

omparer ce résu

ltat av

ec la différen

ce de tem

pérature d

e l'air e

ntre le

haut e

t le bas d

e la

montagne (le g

radien

t de tem

pérature h

abitu

el est d

e l'ordre de 6

.10-3 K

/m) et co

nclu

re. TH206 :E

changeur d

e chaleur

On co

nsid

ère un éch

angeu

r de ch

aleur iso

lé de

l'extérieur à

deu

x entré

es et

deux so

rties

fonctio

nnant ave

c deux liq

uides id

entiq

ues d

e cap

acité calorifiq

ue co

nstan

te c

p . Le p

remier

fluide entre en

e et so

rt en s. Il a u

n déb

it massiq

ue D

m . Le seco

nd flu

ide en

tre en e' et so

rt en

s' , avec un déb

it D'm .

a) En ap

pliq

uant le p

remier p

rincip

e d

es systèm

es ouverts à u

n systèm

e q

ui sera

précisé

, donner

une re

lation en

tre les

débits m

assiq

ues,

les températu

res d'en

trée T

e et T’e et

les

températu

res de so

rtie T

s et T’s . b) C

ommen

t serait m

odifiée

cette relation s'il exista

it des p

ertes de ch

aleur d

es fluides ve

rs l'ex

térieur co

rrespondan

t à une puissan

ce therm

ique P

perte ?

c) Ici, Pperte =

0 . L'éch

ange th

ermique est su

pposé

parfait en

tre les deu

x liquides (la

surface

et le te

mps d

e contact so

nt trè

s longs). Q

uelle re

latio

n su

pplémen

taire p

eut-o

n en

déd

uire ?

Applicatio

n n

umériq

ue d

ans ce cas : T

e = 8

0 °C

, T’e =

20 °C

, Dm =

2 k

g/s, D

’m =

8 kg

/s, calcu

ler T

s et T’s .

TH210 : D

étente d’une vapeur d

’eau dans une tu

rbine adiabatiq

ue

Une tu

rbine ad

iabatiq

ue, co

nçu

e pour tra

vaille

r sans liq

uide, d

étend u

ne v

apeu

r d'eau

sèche

issue d

'un su

rchauffe

ur à

la températu

re Te =

380 °C

et à

la pressio

n P

e =10 b

ar jusq

u'à la

pressio

n P

s = 1 bar .

On donne u

n ex

trait d

u diag

ramme (T

,s) de l'e

au pure. Les iso

bares son

t représen

tées en

trait

plein, les isen

thalpes son

t représe

ntée

s en la

rges p

ointillé

, et les iso

titres du m

élange diphasé

sont rep

résentée

s en pointillé

altern

é.

a) Que re

prése

nte la

courbe en

gras ?

b)

Rep

résen

ter le point e

représen

tant la va

peu

r à

l'entrée

. La

vap

eur

est-elle

sèch

e ou

saturan

te ?

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 6/1

9

© JM

DUCRET

c) La déten

te est ré

versib

le.

α) T

racer su

r le diagramme la

courb

e d'évo

lutio

n du flu

ide et le p

oint b

corre

spondan

t à l'état

de so

rtie.

β) La vapeu

r en so

rtie est-elle sèch

e ? Quelle

est sa températu

re d

e so

rtie T

s ? Quel est le

trav

ail in

diqué d

e déte

nte w

i ? Jusq

u'à q

uelle p

ressio

n pourra

it-on déte

ndre isen

tropiquemen

t la va

peur sa

ns fa

ire apparaître

de liq

uide ?

γ) Tracer le

point d

'intersectio

n a de l'ise

nthalpe h =

he et d

e l'isobare P =

Ps .

Donner l'exp

ression de la variatio

n h

b — h

e en la

calcu

lant su

r le ch

emin iso

bare (a

b).

En d

éduire

une rep

résentatio

n g

raphique so

us fo

rme d

'une a

ire A

du trav

ail in

diqué w

i . En

évalu

ant cette aire

par lin

éarisa

tion, retro

uve

r la vale

ur n

umériq

ue de w

i . d) La d

étente est m

ainten

ant irré

versible.

Les pressio

ns d

'entrée et d

e sortie so

nt id

entiq

ues à celle

s de la

partie

précéd

ente, m

ais la tem

pératu

re de so

rtie réelle e

st mesu

rée à : T

S ' =

150 °C

. α) T

racer su

r le diag

ramme la

courbe d'év

olutio

n du flu

ide e

t le point b

' corresp

ondan

t à l'éta

t de so

rtie. M

esu

rer l'en

tropie créé

e massiq

ue.

β) La vapeur e

n so

rtie est-elle sè

che ? Q

uel est le tra

vail in

diqué d

e déten

te wi ' ?

Commenter le résu

ltat, défin

ir et calculer le ren

dem

ent isen

tropique de la tu

rbine.

γ) En procéd

ant d

e la mêm

e man

ière que d

ans la q

uestio

n c), in

terpréte

r wi ' p

ar une aire A

' (à préciser) et d

onner u

ne in

terprétatio

n du ren

dem

ent isen

tropique.

TH212 : R

éacteur d

'avion sans tu

rbo

Un réa

cteur d

'avion est u

ne m

achine o

ù en

tre un d

ébit m

assique d

'air D

A =18,3 k

g/s à la

vitesse c

A = 2

10 m

/s à une te

mpératu

re T

1 = 0

°C , q

ui b

rûle e

ntière

men

t (oxy

gèn

e de l'a

ir dan

s les

proportio

ns

stoech

iométriq

ues),

à

pressio

n

atmosp

hériq

ue

constan

te,

adiabatiq

uem

ent et san

s éch

ange d

e travail, u

n d

ébit m

assiq

ue D

C =1,07 kg

/s de ca

rburan

t initia

lemen

t à la m

ême te

mpératu

re que l'a

ir et sans vitesse

. Les gaz b

rûlés resso

rtent d

'une

tuyè

re à la v

itesse c

s et à une te

mpératu

re Ts =

550°C

. On donne le

pouvo

ir ca

lorifiq

ue du ké

rosè

ne :

p = 42 kJ/g

(su

pposé

indép

endant

de

la

températu

re), la capacité

calorifiq

ue m

assique d

e l'azote c

p (N2 ) =

720 J.k

g-1.K

-1 et la capacité

calo

rifique m

assiq

ue m

oye

nne d

es résidus d

e combustio

n d

u ké

rosèn

e (eau va

peur et g

az carb

onique) c

p (R) =

950 J.k

g-1.K

-1 . On rap

pelle q

ue l'a

ir est constitu

é de 1

/5 d'oxyg

ène et 4

/5 d'azo

te en

nombre d

e moles, d

onc

de 2

2%

d'oxy

gène e

t 78%

d'azo

te en m

asse (2

x 16g de 0

2 pour 4

x 2 x 14g de N

2 ). a) Fa

ire un sch

éma. Q

uel est le d

ébit m

assique so

rtant D

S des g

az brû

lés en

régim

e perm

anent

? Quelle e

st la compositio

n des g

az brû

lés q

ui s'éch

appen

t du réacte

ur ?

b) É

crire pour u

n systèm

e à préciser le p

remier p

rincip

e des systèm

es o

uverts. O

n n

églig

era les

énerg

ies

poten

tielle

s de

pesan

teur,

mais

pas

les én

ergies

cinétiq

ues,

sauf

celle du

carburant à l'e

ntrée.

On donnera

le résu

ltat en fonctio

n des

débits,

des

vitesse

s, et des

enthalpies m

assiques h

A de l'a

ir en entrée, h

C du carb

urant en

entrée

, et hS d

es gaz b

rûlés en

so

rtie. c) O

n co

nsid

ère 1 kg

de g

az b

rûlés e

n so

rtie (d'en

thalpie h

S ). Avan

t d'en

trer d

ans le ré

acteur,

cette m

atiè

re était à l'é

tat de carb

urant et d

'air. Calcu

ler la variatio

n d

'enthalpie ∆

h d

e ce

tte matiè

re en

tre l'e

ntré

e et la sortie d

u réa

cteur, e

n fo

nctio

n d

es déb

its, des tem

pératu

res, des

capacités calo

rifiques m

assiques et d

u pouvoir ca

lorifiq

ue p

. d) C

alcu

ler litté

ralem

ent, p

uis n

umériq

uem

ent, la

vite

sse cS d

es gaz en

sortie p

ar rap

port a

u

réacteur. (C

ette vitesse déterm

ine d

irectement la

poussée d

u réacteu

r). TH214 : R

endement p

olytro

pique d'un compresseur d

e gaz

De fa

çon gén

érale, le

rendemen

t d'une m

ach

ine réce

ptrice (pompe, co

mpresseu

r,...) est défin

i co

mme le ra

pport :

i t

w wréel

casfourn

iw

idéal

casfourn

iw

==

τ. C

ommen

ter.

Enco

re fau

t-il défin

ir ce qu'est le cas id

éal : a

insi, il p

eut y a

voir p

lusie

urs ren

dem

ents, le

plus

courant étan

t le rendem

ent isen

tropique, d

éfini p

ar rapport à u

ne situ

ation id

éale ise

ntro

pique.

On e

nvisag

e ici,

dan

s le cas

de la

compressio

n d'un gaz p

arfa

it en régim

e perm

anen

t, le

rendemen

t défin

i par u

ne a

utre

transfo

rmatio

n id

éale réve

rsible, n

i adiab

atique, n

i isotherm

e, mais p

olytro

pique. O

n défin

it cette transfo

rmatio

n im

aginée

comme la

transfo

rmatio

n du flu

ide

qui p

asserait ex

actemen

t par les m

êmes é

tats que ceu

x de la

transfo

rmatio

n ré

elle d

ans le

compresseu

r, mais q

ui se

rait id

éalemen

t réversib

le (p

as d

e création d'en

tropie).

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 7/1

9

© JM

DUCRET

On ad

met q

u'une telle

transfo

rmatio

n obéit p

our u

n gaz p

arfait à u

ne lo

i d'év

olutio

n du typ

e : Pva =

Cte =

C.

a dép

end de la tra

nsfo

rmatio

n effectiv

ement su

bie par le flu

ide.

On d

onne l'éta

t d'en

trée d

u g

az parfait (d

e rapport d

es chale

urs m

assiq

ues γ =

1,40) d

ans le

co

mpresseu

r Pe =

1,0 bar, T

e = 20 °C

et sa pressio

n de so

rtie Ps =

7,2 bar.

a) Quelle

serait la va

leur d

e la tem

pératu

re de so

rtie Ts si la co

mpressio

n éta

it adiab

atique et

réversib

le?

En fa

it, on m

esure T

s = 298 °C

. En déd

uire la va

leur d

e a dan

s le modèle p

olytro

pique.

b) O

n n

ote

δqpol la

chaleur q

ui sera

it reçue p

ar le

fluide d

ans la

transfo

rmatio

n p

olytro

pique

imag

inée co

rresp

ondan

t, dan

s une p

etite portio

n du co

mpresseu

r, à l'évolutio

n de l'é

tat (P,v,T

) à (P

+dP,v+

dv,T

+dT).

Appliq

uer le

s deu

x prin

cipes d

e la therm

odynamique, m

ontre

r que δq

pol >

0, e

t calcu

ler δq

pol e

n

fonctio

n de a

, γ, P, C

, et dP. E

nn déd

uire u

ne in

égalité sim

ple en

tre a et γ . c)

Calcu

ler

en fonctio

n de

a et

de

γ le rendem

ent

polytro

pique

τ du co

mpresseu

r ,

et

commenter le ré

sulta

t. Que re

trouve-t-o

n pour a =

γ ? Pourq

uoi ?

Faire

l'applica

tion numériq

ue p

our le re

ndemen

t polytro

pique τ .

TH217 : R

écupératio

n de puissance mécanique et d

e chaleur : c

ogénératio

n

De

la va

peur d'eau

surch

auffée

sort

d'une

chaudière d

e cen

trale th

erm

ique av

ec un d

ébit

massiq

ue D

m =

85 kg

/s à P1 =

50 b

ar et T1 =

360 °C

. On so

uhaite e

n extra

ire le maxim

um

d'én

ergie so

us fo

rme d

e travail, et avec m

oins d

'intérêt, so

us fo

rme de ch

aleur.

On donne

le diag

ramme (T

,s) de

l'eau pure.

Les vale

urs

numériq

ues

entre

deu

x co

urbes

donnée

s seront ex

trapolées lin

éaire

ment si n

écessaire.

a) Représen

ter sur le d

iagramme le

point co

rrespondan

t à la v

apeu

r au point (1

). b) O

n déte

nd la va

peu

r dan

s une tu

rbine ad

iabatiq

ue id

éale ju

squ'à la

pressio

n atm

osp

hériq

ue

P2

= P0 .

Représe

nter

le point

(2)

corresp

ondan

t à

la so

rtie de

la turb

ine et

trouve

r la

températu

re de

sortie

T2 ,

la fractio

n massiq

ue

de

vapeu

r en ce

point,

et

la puissa

nce

mécan

ique P

méca fo

urn

ie par la tu

rbine.

Exp

liquer co

mmen

t il serait p

ossib

le d'ex

traire en

core p

lus d

e puissan

ce méca

nique.

On n'en

visag

e pas ce

cas dan

s la suite.

Quelles so

nt les ca

uses p

ratiq

ues q

ui in

terdise

nt d

'obtenir l'in

tégralité d

e ce

tte puissan

ce? c) O

n m

esure e

n ré

alité u

ne fractio

n m

assiq

ue d

e vapeu

r en so

rtie de x'2 =

0,95. E

n d

éduire

l'entro

pie m

assique cré

ée dan

s la vap

eur et la p

uissa

nce m

écan

ique ex

traite. On p

orte

ra le point (2

') corresp

ondan

t sur le d

iagramme.

d) V

oyez-vo

us d

es pistes q

ui p

ermettra

ient d

'amélio

rer cette in

stallatio

n en

pratiq

ue ?

e) Commen

t pourra

it-on sim

plem

ent ré

cupérer d

e la chaleur p

our u

ne in

stallatio

n de ch

auffag

e à 9

0 °C

à partir d

e la va

peur d

ans ce

t état (2

') ? En ad

metta

nt q

ue l'é

chan

ge de ch

aleur a

vec ce circu

it est p

ossible asse

z rapidem

ent ta

nt q

ue la tem

pératu

re ne ch

ute p

as en d

essous d

e 100 °C

, porter l'é

tat (3) d

e sortie d

u flu

ide su

r le diagram

me, p

réciser son éta

t physiq

ue, e

t calcu

ler la

puissan

ce therm

ique P

therm

ique a

insi récu

pérée. Q

uel est le d

ébit vo

lumique de so

rtie de flu

ide ?

f) Donner fin

alem

ent la

puissa

nce to

tale Ptot (m

écanique e

t therm

ique) récu

pérée d

ans cette

insta

llatio

n de co

gén

ératio

n et le co

efficient d

e cogénératio

n : P

méca /P

tot

TH222 : C

entra

le de géotherm

ie

Le schém

a d

e la

figure ci-d

esso

us p

résen

te une in

stallatio

n in

dustrie

lle d

e g

éotherm

ie dans

laquelle o

n p

roduit d

e l'é

nerg

ie à p

artir d'une v

apeu

r d'eau

saturée, issu

e d

'un fo

rage (p

oint

1).

Le séparateur e

st un réservo

ir calorifu

gé d

'où so

rtent, p

ar deux vo

ies distin

ctes, le liquide

saturan

t à la

partie

inférie

ure la

vap

eur satu

rante sèch

e à la partie

supérieu

re (la pressio

n qui

y règne est co

nstan

te). Le détendeur est u

n org

ane statiq

ue (p

as de p

artie

mobile) p

ermetta

nt d

'adap

ter la pressio

n à

une va

leur im

posée. O

n su

pposera q

ue l'év

olutio

n du flu

ide y est ad

iabatiq

ue. L

e surchauffe

ur

est un éch

angeu

r perm

etta

nt u

n tra

nsfert th

erm

ique d

e la

vap

eur satu

rante sèch

e p

roven

ant

du sé

parate

ur S

1 vers la vap

eur satu

rante sè

che p

roven

ant d

u sé

parate

ur S

2 . On su

pposera

que les é

volutio

ns d

u flu

ide y so

nt iso

bares.

• Prése

ntatio

n de l'in

stallation :

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 8/1

9

© JM

DUCRET

La vap

eur humide

proven

ant du forag

e (titre

de

vapeur

égal à

0,25)

est ad

mise

dan

s le

séparateu

r S1 o

ù règ

ne u

ne p

ression p

1 égale à

7 b

ars (1

bar =

105 P

a). D

e ce

séparate

ur, il

sort d

'une p

art la vap

eur sa

turante sè

che q

ui e

st dirig

ée ve

rs le surch

auffeu

r ou la

turb

ine T

1 et d

'autre

part le liq

uide sa

turant. C

e liq

uide satu

rant, ap

rès p

assage d

ans le d

éten

deu

r, est en

voyé d

ans le

séparateu

r S2 o

ù rè

gne u

ne pressio

n p

5 égale à 1 bar. D

e ce

séparateu

r, il sort

d'une p

art la va

peur sa

turante sèch

e, d

irigée

vers le su

rchauffe

ur p

uis v

ers la turb

ine T

2 , et

d'au

tre part le

liquide satu

rant rejeté

vers l'e

xtérie

ur. La vap

eur satu

rante sèch

e sorta

nt d

u

séparateu

r S2 est

surch

auffée

jusq

u'à

la tem

péra

ture d

e 140 °C

(T7 =

413 K

) grâce

à la

condensatio

n to

tale de la vap

eur satu

rante sèch

e dériv

ée entre S

1 et T1 . Le

liquide satu

rant

sortan

t du su

rchauffeu

r est ré

intro

duit d

ans le

séparateu

r S2 ap

rès p

assag

e dan

s le déte

ndeu

r. Après trave

rsée des tu

rbines T

1 et T

2 , la vap

eur h

umide p

arvient a

u co

nden

seur o

ù la p

ression

est main

tenue à

la va

leur d

e 0,1 b

ar. Le liquide sa

turan

t issu d

u co

ndenseu

r est rejeté vers

l'extérie

ur. La p

uissa

nce

méca

nique u

tile, n

otée P

u , est disp

onible su

r l'arbre co

mmun a

ux

deu

x turb

ines.

• Hyp

othèses

– Les d

étentes d

ans le

s turb

ines T

1 et T

2 sont su

pposée

s adiabatiq

ues ré

versibles.

– O

n néglig

era les pertes m

écaniques d

ans le

s turb

ines.

–

Les varia

tions d

'énerg

ies cin

étique et p

otentie

lle du flu

ide sero

nt n

églig

ées. –

• D

onnées th

ermodyn

amiques

On extra

it des tab

les de va

peu

r les in

dicatio

ns su

ivantes :

Vap

eur sa

turée so

us 7

bar : t =

165 °C

et h

L = 6

97 kJ.kg

-1 , hV =

2 6

75 kJ.kg

-1, sL =

1,99

kJ.kg-1.K

-1 et sL =

6,71 kJ.kg

-1.K-1

Vap

eur sa

turée so

us 1

bar : t =

99.6 °C

et et hL =

418 kJ.kg

-1 , hV =

2 675 kJ.kg

-1, sL =

1,30

kJ.kg-1.K

-1 et sL =

7,36 kJ.kg

-1.K-1

Vap

eur sa

turée so

us 0

,1 bar : t =

45,8 °C

et et hL =

192 kJ.kg

-1 , hV =

2 585 kJ.k

g-1, s

L = 0,65

kJ.kg-1.K

-1 et sL =

8,15 kJ.kg

-1.K-1

Pour la vap

eur sèch

e au point 7

sous 1

bar et 1

40 °C

: h7 =

2 756 kJ.kg

-1 , s7 =

7,56 kJ kg

-1.K-

1 .

1- C

alcu

ler le trav

ail in

diqué m

assique p

our la

turb

ine T

1 et préciser l'état d

u flu

ide au

point 3

. 2- M

ontrer q

ue l'év

olutio

n dans le d

étendeur e

st isenthalpique.

3- a

) Déterm

iner l'éta

t du flu

ide au

point 4

, puis e

n 5.

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 9/1

9

© JM

DUCRET

b) P

réciser l'état du flu

ide en

8 et le tra

vail massiq

ue d

e la tu

rbine T

2 .

Bila

n d

e l'insta

llation. O

n n

otera les d

ébits M

i ou R

i comme in

diqués su

r la figure. O

n d

onne :

M1 =

250 kg

.s-1 .

4- C

alcu

ler les d

ébits m

assiques M

2 et M3 , p

uis M

4 et M5 et en

fin R

1 et R2 .

5- C

alcu

ler Pu .

6- C

omparer la

puissa

nce m

écanique u

tile obten

ue p

récéd

emmen

t avec celle, d

isponible su

r l'a

rbre de

la turb

ine. lors

de

l’étude de l'in

stallatio

n sim

plifiée

(comporta

nt uniquem

ent le

séparateu

r S1 a

limentan

t en va

peur sa

turée la

turb

ine T

1 ). TH224

: Moteur à

turbine

Un en

semb

le moteu

r destin

é à un

véh

icule au

tom

ob

ile est représen

té schém

atiquem

ent F

igure 1

. On

adm

et que le flu

ide q

ui circu

le dan

s l'installatio

n est d

e l'air assimilab

le à un g

az parfait d

ont les

caractéristiques th

ermiq

ues so

nt les su

ivan

tes:

-

Cap

acité therm

iqu

e massiq

ue à p

ression

constan

te: cp =

1 k

J.kg

-1.K-1

-

Rap

port d

es capacités th

ermiq

ues à p

ression co

nstan

te et à volu

me co

nstan

t: γ = 1

,4.

L

e déb

it masse q

m d

e l'air est égal à 0

,9 k

g.s

-1.

L'in

stallation co

mp

orte les élém

ents d

écrits ci-desso

us.

a) Un

turb

oco

mp

resseur T

C d

e caractéristiques su

ivan

tes:

-

Ren

dem

ent m

écaniq

ue: η

m =

0,9

5

-

Tem

pératu

re d'asp

iration

de l'air : t1 =

10

°C

-

Pressio

n d

'aspiratio

n d

e l'air: p1 =

1 b

ar

-

Rap

port d

e com

pressio

n : ( p

2 / p1 ) =

4

-

Com

pressio

n d

e p1 à p

2 : ad

iabatiq

ue

-

Ren

dem

ent in

diq

ué d

e la com

pressio

n p

ar rapp

ort à l'isen

trop

ique: η

sc = 0

,9

ηS

Cii

WW=

1212 '

Wi1

2 : trav

ail indiq

ué d

e la com

pressio

n réelle.

Wi1

2' : trav

ail indiq

ué d

'une co

mp

ression isen

trop

ique fictiv

e entre l'état 1

et la pressio

n P

2 .

L'in

dice 2

' désig

ne l'état fin

al atteint.

b) U

ne tu

rbin

e TU

de caractéristiq

ues su

ivan

tes:

-

Ren

dem

ent m

écaniq

ue: η

m =

0,9

5

-

Tem

pératu

re d'ad

missio

n d

e l'air: t4 =927

°C

-

Déten

te de p

4 à p5 : ad

iabatiq

ue

-

Ren

dem

ent in

diq

ué d

e la déten

te par rap

port à l'isen

trop

iqu

e: ηS

T =

0,8

1

ηS

Tii

WW=

45

45'

Wi4

5 : tra

vail in

diq

ué d

e la d

éten

te ré

elle.

Wi4

5' : tra

vail in

diq

ué d

'une d

éten

te isentro

piq

ue fictiv

e entre l'é

tat 4

et la pressio

n p

5 .

L'in

dic

e 5' d

ésigne l'é

tat final a

ttein

t.

L

a tu

rbin

e entraîn

e le turb

oco

mp

resseur et la

transm

ission d

u v

éhic

ule.

c) U

n éc

hangeu

r adiab

atiq

ue E

d'efficac

ité ε é

gale à

0,7

4.

L

'efficac

ité est d

éfinic

par le rap

port:

ε=

−−

tt

tt

32

52

d) U

ne c

ham

bre d

e co

mb

ustio

n C

H d

e cara

ctéristiques su

ivantes:

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 10/1

9

© JM

DUCRET

-

Paro

is : ad

iabatiq

ues

-

Com

bustio

n : iso

bare

-

Ren

dem

ent d

e co

mb

ustio

n: η

C =

0,9

7

ηC =

(Quan

tité d

e chaleu

r reçue p

ar le fluid

e) / (Q

uan

tité d

e chaleu

r fourn

ie p

ar le com

bustib

le)

On n

églig

e:

-

les p

ertes de c

harg

e, d o

ù p

2 = p

3 = p

4 et p5 =

p6 =

pl

-

les v

aria

tions d

'énerg

ie cin

étiq

ue et d

'énerg

ie poten

tielle,

-

les v

aria

tions d

e tem

pératu

re dans les c

analisatio

ns relia

nt les d

ivers é

lém

ents,

-

les v

aria

tions d

e déb

it dues a

u c

om

bu

stible in

jecté.

1-

Calc

uler la tem

péra

ture t2 d

u g

az à la

sortie

du tu

rbocom

presseu

r ain

si que la p

uissa

nce P

C

fou

rnie à

l'arb

re d

u co

mp

resseu

r.

2-

Calc

uler la tem

péra

ture t5 d

u g

az à la

sortie

de la

turb

ine et la

puissa

nce

PT d

ispon

ible su

r

l'arbre d

e la tu

rbin

e. En

déduire la

puissa

nce u

tile Pu reç

ue p

ar la transm

ission d

u v

éh

icu

le.

3-

Calc

uler la tem

péra

ture t3 d

u g

az à l'en

trée d

e la ch

am

bre d

e c

om

bustio

n, le ren

dem

ent g

lob

al

ηt d

e l'installa

tion

et le déb

it masse h

oraire q

h du c

om

bu

stible d

ont le p

ouvo

ir calo

rifiqu

e est égal à

4.1

04 k

J.kg

-1.

4-

Calc

uler la tem

péra

ture t6 à

la so

rtie de l'éc

hangeu

r E.

5-

Calc

uler les en

trop

ies massiq

ues s en

kJ.k

g-1.K

-1 pour les é

tats 1

- 2 - 3

-4 - 5

et 6 d

u flu

ide en

pren

ant s =

0 p

ou

r l'éta

t 1. R

eprése

nter le c

ycle d

'évolu

tion

du flu

ide d

ans le d

iagram

me en

trop

ique,

en c

hoisissan

t des éc

helles c

onven

ab

les sur les d

eux a

xes.

TH226 : C

ompresseur a

diabatiq

ue

Un co

mpresseu

r, supposé

adiab

atiq

ue, co

mprim

e d

e l’air atm

osp

hériq

ue (T

1 =

300K, P

1 = 1

bar) à

un é

tat caractérisé p

ar (T2 =

? , P2 =

6 b

ar). L’air atm

osp

hériq

ue est assim

ilé à u

n g

az

parfa

it de cap

acité therm

ique c

p = 1

,0 kJ.kg

-1.K-1. La

puissan

ce P d

u m

oteur d

u co

mpresseu

r est d

e 1,5 kW et le d

ébit m

assiq

ue est d

e 6,5 g/s.

Calcu

ler la te

mpératu

re T2 et l’e

ntro

pie cré

e par u

nité d

e temps.

Quel sera

it le déb

it si l’évo

lutio

n était ise

ntro

pique ?

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 11/1

9

© JM

DUCRET

TH227 : R

éfrig

érant

De l’a

ir chaud (assim

ilé à un g

az parfait d

e capacité

therm

ique c

p = 1

,0 k

J.kg-1.K

-1) à la tem

pératu

re de 500 K et

à la pressio

n de

6 bar

est refro

idi de

façon iso

bare

jusq

u’à la

températu

re T0 =

300 K

dan

s un éch

angeur p

arfaite

men

t calorifu

gé. Le flu

ide réfrig

érant est d

e l’ea

u, d

e ch

aleur m

assique c =

4,18 kJ kg

-1 K-1, en

trant à la te

mpérature d

e

θe =

12°C

et so

rtant à la tem

pératu

re θs . Le d

ébit d

e l’eau est d

=100g/s et celu

i de l’a

ir est d

e 6,5 g

/s. Calcu

ler θs .

TH229 : C

ompresseur à deux étages

On étu

die le

compresseu

r schém

atisé sur la fig

ure su

ivan

te : On néglig

e le

s varia

tions d

'énerg

ie cin

étiq

ue de l'a

ir. L'air e

st assim

ilé à u

n gaz p

arfa

it : γ =

1,4 ; c

p = 1

,00 kJ. K

-1. kg-1.

L'air e

st admis d

ans l'é

tat 1

(P1 =

1 bar, T

1 = 300 K

). Il e

st comprim

é dans l'é

tage B

.P., ju

squ'à la

pre

ssion P

2 = 4

bar.

Cet é

tage e

st supposé

adiabatiq

ue, e

t son re

ndement p

ar ra

pport à

l'isentro

pique e

st η =

0,9

.

Par

défin

ition,

η =

i i

W'

W si

Wi est

le tra

vail

indiqué et

W’i

le tra

vail

indiqué d'une

isentro

pique fictiv

e entre

l'état 1

et la

pre

ssion P

2 . Il p

asse

dans u

n é

changeur th

erm

ique o

ù il su

bit u

n re

froidisse

ment iso

bare

, jusq

u'à la

te

mpéra

ture

T3 =

320 K

. Il

est

à nouveau co

mprim

é dans

l'étage H.P.,

adiabatiq

ue, de re

ndement

η = 0,9

par

rapport à

l'isentro

pique, ju

squ'à la

pre

ssion P

4 = 8

bar.

Il passe

enfin

dans u

n éch

angeur, o

ù il e

st refro

idi d

e fa

çon iso

bare

jusq

u'à la

tempéra

ture

T5 =

350 K

. Le

débit m

assiq

ue D

m est d

e 1

kg. s-

1

1)

Tra

cer

l'allu

re du gra

phe re

pré

senta

nt

l'évolutio

n du flu

ide su

r un diagra

mme de

Clapeyro

n(P, v

). Expliq

uer l'in

térê

t d'une co

mpre

ssion en deux éta

pes.

2)

Calcu

ler la

puissa

nce

fourn

ie par le

mote

ur.

3)

Les é

changeurs so

nt a

diabatiq

ues, e

t le ré

frigéra

nt e

st de l'e

au (c =

4,1

8 k

J.kg

-1.K

-1 ) q

ui e

ntre

à θ

1 = 1

0 °C

et re

ssort à

θ2 =

30 °C

. Calcu

ler le

débit D

' d'eau du circu

it de re

froidisse

ment.

4) C

alcu

ler la

puissa

nce

du m

ote

ur e

t le d

ébit d

e ré

frigéra

nt si o

n tie

nt co

mpte d

'une

perte

de ch

arg

es d

e 0

,2 b

ar d

ans le

s éch

angeurs, le

s pre

ssions P

3 et P

5 resta

nt é

gales à

4

bar e

t 8 bar.

TH230 : M

odélisatio

n du cycle de fo

nctio

nnement d

e la machine frig

orifiq

ue

On modélise

un co

ngélate

ur

par

une mach

ine frig

orifiq

ue co

ntenant un flu

ide frig

orig

ène

tetrafluoroéthane R

134a d

ont le

diag

ramme P

ression-E

nthalpie m

assique (P

- h) est jo

int. Le

mélan

ge liq

uide-va

peur est situ

é d

ans la zo

ne ce

ntra

le so

us la co

urb

e de satu

ration. S

ur ce

diag

ramme ap

para

issent le

s courb

es isotherm

es et isentro

piques.

Cette m

achine d

itherm

e qui fo

nctio

nne en rég

ime p

erman

ent éch

ange d

e la ch

aleur ave

c une

source ch

aude à

20°C

(atmosp

hère e

xtérieure) e

t une so

urce fro

ide à

-18°C

(intérie

ur d

u

congélate

ur). O

n note T

la te

mpératu

re abso

lue et θ la te

mpératu

re Celsiu

s.

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 12/1

9

© JM

DUCRET

Le schém

a gén

éral de fo

nctio

nnemen

t avec se

ns d

e circulatio

n du flu

ide est d

éfini ci-a

près :

Echangeur

condenseur

32

Compresseu

r à moteur

électrique

Echangeur

évaporateu

r

Vanne

de

détente

Source froide

Source ch

aude

14

Sens

de

circulation

Le

cycle décrit

par

le flu

ide prése

nte

les caractéristiq

ues

suivan

tes (4

tran

sform

ations

successives) :

- la co

mpressio

n de 1

à 2 est ad

iabatiq

ue et réversib

le, - le

passag

e dans les d

eux éch

angeu

rs (conden

seur e

t évaporateu

r) est isobare (d

e 2 à

3 et d

e 4 à 1

), -

la va

nne

est

consid

érée

comme

un tuyau

indéform

able

et ne perm

ettant pas

les éch

anges d

e chaleu

r. Dan

s tout le

problèm

e, o

n su

pposera q

ue l'état d

u flu

ide n

'est p

as modifié d

ans les tu

yau

teries

de lia

ison entre

2 élém

ents co

nsé

cutifs et o

n néglig

era les variations d

'énerg

ie cinétiq

ue.

1) P

our l'u

ne d

es transfo

rmatio

ns d

u cycle

et pour u

ne m

asse

unité d

e flu

ide, o

n pose :

w : tra

vail massiq

ue to

tal é

changé avec l'extérieu

r, q : ch

aleur m

assique é

changée avec l'ex

térieu

r, h : en

thalpie m

assique.

Montrer q

ue le p

remier p

rincip

e de la th

ermodyn

amique p

eut s'écrire : ∆

h =

w' +

q

Donner l'exp

ression de w

' en fo

nctio

n de w

et des va

riables p

ression P et vo

lume m

assique u

. 2) La

masse u

nité, ch

oisie co

mme systèm

e therm

odynamique, su

bit l'u

ne d

es transfo

rmatio

ns

du cycle d

e P

1 , u1 à

P2 , e

t u2 , les in

dices 1

et 2 se ra

pporta

nt au

x conditio

ns d

'entrée et d

e so

rtie de l'é

tape. E

xprim

er la d

ifférence

w'1

2 –

w

12 e

n fo

nctio

n d

es pressio

ns e

t volumes

massiq

ues.

En fa

isant u

n b

ilan d

'énerg

ie in

terne, e

n rég

ime p

ermanent, e

n su

pposa

nt l'é

coulem

ent len

t, donner la sig

nificatio

n physiq

ue d

e w'1

→2 ?

Retro

uve

r la caractéristiq

ue d

'une d

étente de Jou

le K

elvin.

3) Lo

rsque la m

asse u

nité d

e flu

ide d

écrit u

n cycle, q

uelle

est la re

lation en

tre w'cycle e

t wcycle ?

4) M

ontrer q

ue la d

étente est isen

thalpique d

ans la va

nne de 3

à 4.

5)

Quelle

propriété

remarq

uable

lie les

isotherm

es et

les

isobares

dan

s la zo

ne

mélange

liquide-v

apeu

r ? 6) O

n donne les in

dicatio

ns su

ivan

tes : - La tem

pérature d

u flu

ide lo

rs de l'é

vaporatio

n dan

s l'évap

orateu

r est - 30°C

. - La p

ression de fin

de co

mpressio

n en

2 est 8

bars.

- Le point 3

est du liq

uide sa

turé.

- L

a q

uantité

d

e chaleu

r éc

han

gée

dans

l'évap

orateu

r av

ec l'ex

térieur p

ermet

une évap

oratio

n

com

plè

te du flu

ide v

enan

t de 4

et c

ond

uit la

vap

eur d

e faç

on

isob

are jusq

u'à 1

, état satu

ré.

Placer

les 4

points d

u cycle 1

, 2, 3

, 4 su

r le d

iagramme jo

int, y re

présen

ter le cycle et

déte

rminer, p

ar lectu

re et in

terpolatio

n lin

éaire su

r ce mêm

e diagramme, les v

aleurs d

e P

, θ, h, s e

n ces d

ifférents p

oints. R

egrouper le

s résultats d

ans u

n tab

leau.

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 13/1

9

© JM

DUCRET

7)

Si

le co

mpresse

ur

était

adiab

atique mais

non réversib

le, co

mment

se situ

erait

sa tem

pératu

re de so

rtie sous la m

ême p

ression P

2 par rap

port à la

températu

re θ2 ?

8) C

ommen

t peu

t-on tro

uve

r, de d

eux fa

çons d

ifférentes, su

r le diagramme la va

leur d

e la ch

aleu

r latente m

assique de va

porisa

tion du flu

ide à u

ne tem

pératu

re T donnée ?

Applicatio

n numériq

ue :

Pour u

ne p

ression de 3 bars, q

uelle

s sont les vale

urs d

e , et d

e θ ? 9) P

eut-o

n tro

uve

r la valeur d

e au

point critiq

ue re

présen

té sur le

diag

ramme ? Q

uelle

est la

natu

re de la tran

sition de phase au

point critiq

ue ?

10) S

i au lie

u d

'évap

orer to

ute la

masse d

e flu

ide o

n n

e fa

it changer d

'état q

u'une fractio

n

massiq

ue x

donnée, com

ment p

eut-o

n tro

uver g

éométriq

uemen

t le point co

rrespondant au

mélan

ge

liquide

vapeu

r ainsi

obtenu et

récip

roquem

ent ?

x s'a

ppelle

le titre

massiq

ue

en

vapeur.

11) C

alculer le titre x en

vapeur a

ux points 3

, 4 et 1

. Peu

t-on défin

ir un titre y

en liq

uide ?

12) E

n u

tilisant le tab

leau

de résu

ltats, ca

lculer les q

uantités d

e chaleu

r massiq

ue q

c et qf

échan

gée

s par le flu

ide avec l'e

xtérieu

r (qc est éch

angée

de 2

à 3 et q

f de 4

à 1).

13) C

alculer d

e mêm

e le travail ab

sorb

é lors d

e la co

mpressio

n de 1

à 2 : w

'1→2

14)

Pourquoi défin

it-on l'e

fficacité de

la mach

ine frig

orifiq

ue

étudiée

par

21 '→

=w

qf

η ?

La

calculer n

umériq

uemen

t.

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 14/1

9

© JM

DUCRET

Transfert d

’énergie th

erm

ique par c

onductio

n

TH303 : c

alcul d'une te

mpérature interm

édiaire

Le b

ut d

e cet exercice est de m

odéliser u

n double vitrag

e. On co

nsid

ère deu

x tiges caractérisées p

ar leur résistan

ce th

ermique R

1 et R2 m

ises b

out à

bout.

a) Déterm

iner la te

mpératu

re Ti d

u point d

e sé

paratio

n en

tre les deux m

ilieux.

b) E

nvisag

er e

t commen

ter les cas R

1 >>R

2 et R

1 =R

2 . c) Q

uel pourra

it être

le modèle therm

ique d'un double vitra

ge ?

Que vau

t la résistan

ce éq

uiva

lente de l'en

semble ? O

n donne λ

air =

0,03 W

.m-1.K

-1 et λve

rre = 0,8 W

.m-1.K

-1. TH307 : C

onductio

n th

erm

ique entre

deux sphères concentriq

ues

Consid

érons

un matéria

u homogèn

e co

mpris

entre

deu

x sp

hères

concen

triques d

e cen

tre O, d

e rayons a

et b (a <

b) , d

e conductiv

ité

therm

ique

λ, de ca

pacité

therm

ique massiq

ue c

et de

masse

volumique

ρ. Les paro

is sphériq

ues d

e ce matéria

u so

nt m

ainten

ues

aux tem

pératu

res T

1 (r = a) et T

2 (r = b) et o

n su

ppose T

1 > T

2 . 1) É

crire l'équatio

n au

x d

érivées p

artielle

s que v

érifie la te

mpératu

re

T en

un point M

, à l'in

stant t.

2) D

éterminer, e

n ré

gim

e perm

anen

t : a) la tem

pérature T(r) en

tout p

oint M

du m

atéria

u ;

b) la

puissa

nce

transfé

rée en

tre les deux sp

hères d

e rayo

ns a

et b ;

c) la résistance th

ermique R

th de ce

conducteu

r. TH308 : te

mpérature dans un conducteur

Un co

nducte

ur,

parco

uru par

un co

urant

d'in

tensité

I, est

entouré d

'une g

aine iso

lante cylin

driq

ue. La te

mpératu

re de la

su

rface extérieure d

e la gaine e

st T0 ; le

conducte

ur a u

ne

conductiv

ité é

lectriq

ue σ

et une co

nductiv

ité therm

ique λ ; la

gaine, elle, a u

ne co

nductiv

ité

therm

ique k. Le

régim

e est

perm

anen

t ; on n

églig

e les effets de b

ord

aux extré

mités e

t on su

ppose

le co

ntact th

ermique p

arfait en

tre le conducte

ur e

t la gaine iso

lante.

a) Déterm

iner le

s lois T

(r) dan

s la gaine e

t le conducteu

r. b)

Quelle est la

températu

re maxim

ale a

tteinte ?

TH313 :. b

arre

au en ré

gime statio

nnaire

On co

nsid

ère un barre

au de lo

ngueu

r L suivan

t Ox, d

e section

S et

de

conductiv

ité therm

ique

λ. On se

place

en rég

ime

statio

nnaire

. a)

La paroi latéra

le du barreau

est calo

rifugée

. Sach

ant q

ue T(0

)=T1 e

t T(L)=

T2 , d

onner T

(x).

b)

La paro

i latéra

le n’est p

lus ca

lorifu

gée

et la puissa

nce th

ermique éch

angée a

vec l’extérieur

par u

nité d

e lo

ngueur p

ar cette

surface

est P=

α(T

-T0 ) av

ec T tem

pératu

re lo

cale de la b

arre, T0 tem

pérature ex

térieu

re et α

une co

nsta

nte. D

éterm

iner T

(x).

TH318 :D

iffusion th

ermique et effe

t Joule

Un barreau

cylindriq

ue ca

lorifu

gé de lo

ngueur L

= 2

5 cm

est p

arco

uru

par u

n co

ura

nt d

e

densité

j= 5

.105 A

.m-2 ; sa

conductiv

ité é

lectriq

ue e

st σ =

7,7

.10

5 Ω

-1.m-1. L

'énerg

ie

therm

ique dégagée par

effe

t Jo

ule s'évacu

e par

conductio

n dans

le co

nducte

ur

de

conductiv

ité th

erm

ique λ

=50 W

. m-1°C

-1 a) E

tablir l'é

quatio

n d

'évolutio

n d

e la

tempéra

ture

T(x

,t). b) E

n déduire, e

n rég

ime perm

anent, le

profil d

e te

mpératu

re T(x

) lorsq

u'aux ex

trémité

s T(0

) et T

(L) so

nt im

posées ; le flu

x th

ermique e

st-il indép

endan

t de x ?

c) T

rouver, e

n ré

gim

e q

uasi sta

tionnaire

, l'endro

it où d

émarre

la fu

sion sa

chant q

ue le

barre

au e

st mainte

nu a u

ne d

iffére

nce

de te

mpéra

ture

T(L

)- T(0

) = 5

0°C

.

co

ndu

cte

r1

gain

e

I

a

T0

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 15/1

9

© JM

DUCRET

TH325 : G

éotherm

ie

La terre

est assim

ilée à une

sphère

homogène de

rayon R = 6400 km de

conductiv

ité

therm

ique λ in

dép

endante d

e la tem

pérature. O

n su

ppose

que l’o

rigine d

e l’énerg

ie libérée à

l’in

térieur d

u g

lobe terre

stre est une d

ésintég

ratio

n rad

ioactiv

e de certa

ines ro

ches q

ui lib

ère

une p

uissa

nce

volumique p

répartie

unifo

rmémen

t à l’intérie

ur d

u g

lobe. O

n o

bserve q

ue, au

vo

isinag

e de la su

rface terrestre, la te

mpératu

re s’accro

ît de 1

degré quand on s’en

fonce d

e 32

m. O

n pose

ra a =

-(dr/d

θ) =32m.K

-1 a)

En pren

ant co

mme o

rigine la tem

pérature d

e su

rface, calcu

ler la

températu

re à la

dista

nce

r d

u cen

tre de la te

rre.

b)

Quel sera

it dan

s ce m

odèle (très sim

pliste) la tem

pérature au

centre d

e la Terre ?

TH326 : E

changeur th

erm

ique

On s’in

téresse au tra

nsfert th

ermique en

tre un flu

ide ch

aud F

1 et un flu

ide fro

id F

2 , les fluides

se dép

laçan

t dans le

même sen

s (échan

geu

r co-co

uran

t).

Ce

transfert

s’effectuant

à trav

ers une

plaque co

nductrice

d’épaisseu

r e,

de larg

eur

L (p

erpendicu

lairem

ent au

plan d

e la figure), d

’aire

de co

ntact S

sur ch

aque face

. On p

ourra

poser L

1 la longueu

r de la

plaque.

Le maté

riau co

nstitu

ant la p

laque a u

ne co

nductiv

ité th

ermique λ q

u’on

supposera co

nstan

te. F1 et F

2 sont u

n m

ême flu

ide, d

e l’eau, d

e chaleur m

assique c e

t ont u

n m

ême d

ébit m

assique

Dm. Les co

efficients co

nducto

-conductifs su

r chacu

ne d

es parois d

e la plaq

ue o

nt u

ne m

ême

valeur h

0 . On note T

ce , Tfe , re

spectiv

ement les tem

péra

tures d

’entrée d

e F

1 (fluide ch

aud) et d

e

F2 (flu

ide fro

id) et d

e mêm

e T

cs , Tfs leu

r températu

re de so

rtie.

a) Montrer q

u’en

régim

e stationnaire le

flux th

ermique in

finité

simale tra

versa

nt la sectio

n

de lo

ngueu

r dx s’écrit :

dΦ =

K.L.[T

c (x) – T

f (x)].dx

où Tc (x

)et Tf (x)

sont resp

ectivemen

t les

températu

res des

fluides

chaud et

froid à

l’abscisse

x et K un co

efficient q

ue l’o

n exp

rimera

en fo

nctio

n de e, λ et h

0 .

b)

En d

éduire les éq

uatio

ns d

ifférentie

lles au

xquelles o

béissen

t les températu

res T

c (x) et Tf (x

).

c) Déterm

iner T

c (x) et Tf (x).

d)

Calcu

ler le flu

x therm

ique éch

angé

entre

les

fluides

sur

la longueur

totale de

l’échangeu

r.

e) On donne :T

ce = 473 K

, Tfe =

323K, T

cs = 423K. C

alcu

ler Tfs ,- a

insi q

ue le

rapport

cD h

Sm

TH

33

1 : A

ilette

d’u

n r

ad

iate

ur

Un m

oteu

r (o

u un

e ca

rte m

ère

d’o

rdin

ateu

r) dég

age

une

puissa

nce

therm

ique Φ

qu

i d

oit

être

évac

uée p

our q

ue la

tem

péra

ture d

e fon

ctionnem

ent n

e dép

asse p

as un m

axim

um

Tm

ax ; dans c

e but

on

utilise u

n ra

diateu

r, mod

élisé p

ar un

e ailette u

niq

ue, c’est-à

-dire u

ne p

laque p

arallé

lépip

édiq

ue

collé

e par sa

face x

= 0

au m

oteu

r de te

mp

ératu

re T0 <

Tm

ax . Cette p

laque d

e co

ndu

ctivité

therm

iqu

e

λ est en

con

tact p

ar ses a

utres fac

es avec l’a

tmo

sphère d

e tem

pératu

re Ta . O

n é

tudie le ré

gim

e

statio

nnaire. O

n su

pp

ose, en

gu

ise de p

rem

ière a

pp

roche, q

ue la

tem

péra

ture n

e dép

end

qu

e de x

et

que T

(0) =

T0 .

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 16/1

9

© JM

DUCRET

A la su

rface d

u m

etal se fo

rme u

ne m

ince c

ouche lim

ite d’a

ir où

la temp

ératu

re varie rap

idem

ent d

e

T(x

) à la

tem

péra

ture

amb

iante

T

a ;

pour

allé

ger

l’étu

de,

on

m

od

élise

le p

héno

mèn

e p

ar un

e

disco

ntin

uité

de

temp

ératu

re et

l’on

adm

et q

u’u

ne

surfa

ce

élé

men

taire d

’aire d

S

à

l’interface

méta

l/air transfère u

n flu

x th

ermiq

ue h

dS

(T(x

) - Ta ) o

ù h

est un c

oeffic

ient c

onsta

nt. V

oir la

figure

ci-d

essous q

ui p

récise les d

imen

sion

s de l’a

ilette :

1) F

aire u

n b

ilan é

nerg

étiq

ue p

our u

ne tra

nch

e de p

laque en

tre les abscisses x

et x +

dx e

t en d

éd

uire

un

e éq

uatio

n d

ifférentielle v

érifiée p

ar T(x

)

2)O

n su

pp

ose a g

rand

dev

ant

de so

rte qu’o

n p

uisse c

onsid

érer l’ailette com

me in

finie et im

poser

T(∞

) = T

a . Eta

blir l’ex

pressio

n d

e T(x

). En p

ratiqu

e co

mm

ent u

n in

dustriel ch

oisit-il a

?

3) C

alcu

ler le flux

therm

iqu

e tota

l Φ ev

acu

é par l’a

ilette en fo

nctio

n d

es co

nsta

nte

s du p

rob

lèm

e.

En l’ab

sence d

’ailette ju

stifer que le flu

x se

rait ϕ

= h

b c

(T0 - T

a ). Exp

rimer l’effic

acité

de l’a

ilette

défin

ie par η

= Φ

/ϕ. C

onclu

re sur la

form

e à d

onn

er à l’ailette.

TH

33

3 : C

onductio

n th

ermique, créatio

n d’entro

pie

Une barre

en fe

r, cylin

driq

ue, d

e se

ction circu

laire

A u

nifo

rme (d

iamètre D

= 1

,5 cm

), de

longueur L

= 1,3

m, a

une e

xtrémité à l’in

térieur d

’un fo

ur, à la

température T

f = 4

94 K

mainte

nue co

nsta

nte

. L’a

utre

extrém

ité est

en co

nta

ct avec

le milie

u ambiant

qui se

co

mporte

co

mme un th

erm

osta

t à la

températu

re Ta =

300 K. La

su

rface

latéra

le est

calorifu

gée

de te

lle so

rte que l’o

n peut

nég

liger les

déperd

itions

latérales.

On étu

die

la

diffu

sion th

erm

ique le

long d

e la

barre

. On d

ésig

ne p

ar λ

la co

nductiv

ité therm

ique d

u fe

r : λ

= 1

6 W

·m-1 K

-1. La diffu

sion th

erm

ique est sta

tionnaire

. 1.

Quelle

différen

ce y a

-t-il, en th

erm

odynamique, e

ntre

un état sta

tionnaire

de la

barre

et u

n état d

’équilib

re ?

2.

Calcu

ler,

en s’a

idant

de l’ex

pressio

n de la résista

nce

électriq

ue

d’un co

nducte

ur

ohmique d

e m

ême g

éométrie

, la résista

nce th

erm

ique R

u de la

barre

; préciser so

n unité S

I.

3.

´Ecrire le

bila

n e

ntro

pique p

our u

n é

lémen

t de b

arre

, de lo

ngueur élém

entaire d

x,

pendant la

durée é

lémen

taire d

t.

4.

Tro

uver l’exp

ression d

e l’en

tropie re

çue (a

lgébriq

uemen

t) par ce

t élém

ent. e

n fo

nctio

n

de d

t, A, dx,

λ,

T(x

) (températu

re a

u p

oint d

’abscisse

x) et d

e sa

dérivée

dT/dx.

L’axe Ox est

orien

té d

e l’ex

trémité O

dans

le fo

ur v

ers

l’extrémité e

n co

nta

ct avec

le

milie

u ambiant.

5.

En déd

uire l’ex

pressio

n du ta

ux d

e p

roductio

n d’en

tropie σ

S dans la

barre

, par u

nité

de

temps e

t par u

nité d

e volume. Q

uelle

sera

it la p

roductio

n d

’entrop

ie pour u

n te

l système à

l’équilib

re ?

Sach

ant

que le gra

dient

de tem

pératu

re le long de la barre

est

unifo

rme,

calcu

ler la

pro

ductio

n d’en

tropie a

ux extrém

ités. Applica

tion numériq

ue.

T

H 3

34

: Estim

atio

n de l’â

ge de la

Terre par Lord Kelvin

On n

églig

e la sp

héricité e

t les so

urce

s radioactiv

es d

e la

planète, m

ais o

n n

e se

place

pas

en rég

ime p

erm

anent. O

n a

dmet q

ue la

températu

re dép

end d

e t et d

e la

pro

fondeur z

comptée p

ositiv

ement. E

lle vérifie l’éq

uatio

n de diffu

sion :

2

2

..

.z T

t Tc

p∂ ∂

=∂ ∂

λρ

où

ρ e

st la m

asse

volumique, c

p la cap

acité therm

ique m

assiq

ue à p

ressio

n co

nsta

nte et λ

la con

ductiv

ité therm

ique.

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 17/1

9

© JM

DUCRET

1. D

émon

trer l’équatio

n différen

tielle vérifiée p

ar q

(puissa

nce

surfa

cique) :

2

2

.z q

Dt q

∂ ∂=

∂ ∂

dans la

quelle

on n

ote

ra D

la diffu

sivité therm

ique. D

éduire

l’expre

ssion de D

.

Au m

ilieu d

u X

IX

ème

siècle, Sir W

illiam Tho

mson

(Lord

Kelvin) a

imag

iné q

ue la

Terre

avait

été formée à u

ne tem

pératu

re élevée T1 u

nifo

rme à la

date

t = 0

. Il a p

roposé d

’autre p

art

qu’à ce

tte m

ême d

ate

, sa su

rface

avait été so

umise

instan

taném

ent à u

ne tem

pératu

re TS .

Depuis ce

temps-là, la

planète se

refro

idira

it. Lord

Kelvin a m

odélisé le

refro

idisse

ment p

our

en déd

uire l’âg

e de la

Terre

. La den

sité de flu

x th

erm

ique e

st donc u

ne fo

nctio

n d

e la

pro

fondeur e

t du te

mps q

(z,t).

2.

Dans

l’hyp

othèse

de Lo

rd Kelvin,

quelle

doit

être la valeur

de la densité

de flu

x

therm

ique en z =

0 lo

rsque t te

nd vers zéro

et lorsq

u’il te

nd vers l’in

fini ? Q

uelle

doit être la

valeur d

e la

den

sité de flu

x th

erm

ique à u

ne p

rofondeur z

non n

ulle

lorsq

ue t te

nd v

ers

zéro et lo

rsqu’il te

nd vers l’in

fini ?

3.

Vérifie

r que la

solutio

n prop

osée par Lo

rd K

elvin :

−

−=

Dt

z

Dt

At

zq

4ex

p.

),

(2

où t

est

le te

mps

écoulé d

epuis

la form

atio

n de la Terre

est

bien la bonne. Dessin

er

schém

atiquem

ent

la valeur

abso

lue de la den

sité de flu

x th

erm

ique en fonctio

n de la

pro

fondeur p

our d

eux ép

oques d

ifférentes.

4. Le

s param

ètres du pro

blème so

nt T

1 -TS ,

λ,

ρ et c

p . O

n su

ppose

que A s’exp

rime p

ar :

δγ

βα

ρλ

πp

Sc

TT

A.

..

).(

11

−=

Déterm

iner p

ar a

nalyse

dim

ensio

nnelle

, les v

aleurs d

es e

xposa

nts d

e ce

tte lo

i.

5.

Exp

rimer la valeu

r du g

radient th

ermique e

n su

rface de la Te

rre dT/d

z. Lord

Kelvin a

admis q

ue T

1 -TS était d

e l’ordre d

e 1000 à 2

000K et q

ue D

est proch

e de 1

0-6 m

2 s-1. S

achant

que l’au

gmen

tation de tem

pératu

re mesu

rée dans le

s mines in

diquait u

n gradient p

roch

e de 3

0

K km

-1, quel âg

e de la T

erre Lord K

elvin a-t-il d

éduit d

e son m

odèle ?

6.

Que p

ense

z-vous d

e l’estim

atio

n p

récé

dente

? Quel est le o

u les in

gré

dients q

ue Lo

rd

Kelv

in n’aura

it pas d

û n

églig

er ?

TH 336 : M

odélisatio

n d'une ta

sse de café

On con

sidère u

ne tasse cylin

driq

ue d

e rayon a et d

'épaisseu

r e conten

ant d

u café à

T = 80°C;

on don

ne la con

ductivité λ le coefficient co

nducto-convectif avec l'air h et on nég

lige les effets de bord

. Quelle doit être l'ép

aisseur d

e la tasse si l'on n

e veut pas se b

rûler, c'est à

dire po

ur q

ue la tem

pératu

re de sa face extérie

ure n

'excède p

as θmax =

40°C?

On donne : a

=0,1 m

; Text =

T0 =

20°C; h

= 20 W

.m-2.K

-1; λ = 1 W

.m-1.K

-1

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 18/1

9

© JM

DUCRET

TH230 : M

odélisatio

n du cycle de fo

nctio

nnement d

e la m

achine frig

orifiq

ue

ANNEXES

THERMODYNAMIQ

UE

pag

e 19/1

9

© JM

DUCRET

TH210 : D

étente d’une vapeur d

’eau dans une tu

rbine adiabatiq

ue

TH217 : R

écupératio

n de puiss

ance m

écanique et d

e chaleur : co

génératio

n