12 elemente de algebra cls. a xii a

6
55 Elemente de algebrã Clasa a XII-a Relaþii de echivalenþã. Partiþii Fie M ≠∅ . Numim relaþie binarã pe M orice submulþime nevidã ρ a produsului cartezian M D M. Dacã (x; y) i ρ, notãm x ρ y. Fie ρ o relaþie binarã pe mulþimea M. Spunem cã ρ este: reflexivã, dacã µ x i M, xρx ; simetricã, dacã µ x, y i M, xρy ± yρx ; tranzitivã, dacã µ x, y, z i M, xρy ºi yρz ± xρz. O relaþie binarã reflexivã, simetricã ºi tranzitivã se numeºte relaþie de echivalenþã. De multe ori, o relaþie de echivalenþã pe o mulþime M se va nota ~ ; scriem x ~ y (citim x echivalent cu y), sau scriem x y / : (citim x nu este echivalent cu y). Fie n i q* ºi x, y i m. Spunem cã x este congruent cu y modulo n ºi scriem x y (mod n) dacã n divide x y. Fie M o mulþime nevidã înzestratã cu relaþia de echivalenþã ~ . Pentru a i M, clasa de echivalenþã a lui a este mulþimea def { | ~ } a x M x a = . Mulþimea claselor de echivalenþã se noteazã M (sau ( / ) M : ) ºi se numeºte mulþimea factor a lui M prin relaþia ~ . def { | } M a a M = . Fie ~ o relaþie de echivalenþã pe M. Clasele de echivalenþã definite de pe M, sunt disjuncte douã câte douã. Fie M o mulþime nevidã. O familie {C i } iiI de pãrþi nevide ale lui M se numeºte partiþie a mulþimii M dacã: 1) µ i, j i I, i @ j C i O C j = l ; 2) µ x i M, j i i I astfel încât x i C i . Fie {C i } iiI partiþie a mulþimii M. i i I M C = N . Pentru o relaþie de echivalenþã pe M, clasele de echivalenþã definite de aceastã relaþie formeazã o partiþie a mulþimii M. Legi de compoziþie Fie M o mulþime nevidã. O aplicaþie ϕ : M D M M, (x, y) a ϕ(x, y), se numeºte lege de compoziþie (internã) sau operaþie (algebricã, binarã) pe mulþimea M. Elementul ϕ(x; y) i M se numeºte compusul lui x cu y prin ϕ (în aceastã ordine). De obicei, în loc de ϕ(x; y) notãm x C y sau x y o sau x y T sau x y etc.

Upload: mihail

Post on 27-Jun-2015

114 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 12 Elemente de Algebra Cls. a XII A

��

����������������5��

��������� �

(����� ��� �� �!������������

*��� ' ≠ ∅ �� �������������������'���������%���#������!� �ρ�������������������'���'��6� ����������ρ����� ����ρ���*���ρ������#���%��� �������#����'���������� �ρ������

R��2�������� �������'���ρ���R���������� ����������'���ρ��"��ρ���R����������� �������������'���ρ������ρ��"��ρ��

M����#���%��� ��������! ���������� �����������! �����������������������(��������6������������������#�������<�!���# ���������#����'����!�����O������������O�������������(������������������������ � �/� ��������������������(�������������

*��������9� ��� ��� ������� ������� � � ������� � ������� ��� ��� ��� � �� ��� ��������≡��� �������� ����!�����"���

*���'������#������!� ��������� �������#������<�!���# �:�O�E�������������'�

��������� ��(��������� ������ ��������#������[ ? . O @� � ' � �= ∈ �

G��#���� �������� �� ��<�!���# � ��� ����� � �' � ���� � N �' � �� ��� ��� �������

��������2��� ������'���������#��:�O�E��� ���[? . @' � � '= ∈ �

*���O������#�������<�!���# ����'��D����������<�!���# �����������∼����'��������B�������� ��H����� �

*���'������#������!� ��M��������?*@

�)���� �#����!����������'�����������������

����#�����'�� �)������.���)�����.�⇒�*���*.�&����(��������'�������)����������H������*

��

*���?*@�)�����#�������#�����'���� )' *

∈= � �

������������#�������<�!���# ����'�������������<�!���# ��������������� ����#�������� �������#�������#�����'�

/�������� �� ����

*���'������#������!� ��M�����#��ϕ���'���'�→�'���������� �ϕ�������

�������������������� �� ��������������� ���������������������������������'�C���������ϕ���������'������������� ��������������������ϕ��������� ��������6���%���������������ϕ���������� ����&������ � �� ���� � �T ������∆ ������

Dobre
Text Box
Dobre
Text Box
Dobre
Text Box
www.mateinfo.ro
Page 2: 12 Elemente de Algebra Cls. a XII A

�0

1������

"���������9��&�����������������#������!� �9�����������������������#���:∗E����9����������������� ���������������#���&������������! ���������������������������������������'��������������%���6� ����������������&�������������! ��������9����������������� �����������������

"���������'��&����������������#������!� �'��������������������#���:&E����'������������� � ��� ������&������������! ������������������������

4��������*�������� ������������� �� ����ϕ�����������'����������%������������������������������� �������������������#�����'��%#����������:�����������#���������������������.����� ���������������

�����

.����������#��ϕ�

M������H���������� ���'��&����%��#�������� �&���������������������#��������� �������#������!� �'�

) (

)

(

��� ���

� � �

. �

.

� � � �

��

� � �

ϕ

ϕ

��

� �

*���'������#������!� ����:&E�����������������#������'��M���%���#������!� �B�����'��������������������������������������������������#���:&E�� �

����������B�⇒����&�����B�

M���������� �� ����:�&�E�������������� ������� �� � � �� � �� � � � � � � � � '∗ ∗ = ∗ ∗ ∀ ∈ �

M� �������� � �� ����'���'�→�'�� � � �� � � �∗� � ��� �������� � �������� � � �� � � � � � '∗ = ∗ ∀ ∈ �

"��������������'�����������������������������������������������#���:&E��� � ' � � � � �∀ ∈ ∗ = ∗ = �*���'������#������!� ��������� ��������������������#���:&E���������������������

�������� ����������������'�����������������������������������������#���:&E�� ������ ��′���'����������H�� � � � � �′ ′∗ = ∗ = ��C����������′�������� �����������������������������������7����������������������������#�����������������������������������������������

����������������#������!������������������������������� �������������������������������������6� ���������������#������������������1����������������������������������������� ����#���� ����� ������������������ ����� ��� ������ ��������� ���������������,��������������������������������������������������������#��������������������������������#���

*��������������(�� �� ��������#����������������<�!���# ����������������#

���������,!��� � �{ }$� )� (� ���� )� �= −� �� �������������������#����������������������

1�������������� ���������� ��� ���������� � �[ [[ [�α + β = α + β αβ = αβ �� [[ � �∀ α β∈� �

Dobre
Text Box
Page 3: 12 Elemente de Algebra Cls. a XII A

�2

5��������������2����1��+��������*��� � � �9 ∗ ����������������������� � �� � � 9∈!���� � � � � � �= ⇒ =& & ���� � � � � � �∗ = ∗ ⇒ =

1������� ���������

( (� � ? � � . �� $@93 � �= ∈ ≠ � � ������������ �����#���������� �������������������� ������� ���� ��� ���� ;�

��%���#������ ( (� � ? � � . )@-3 � 93 �= ∈ = �� ')(�(� ? � � . @�� � 93 � �= ∈ = �

�(� ? �(� . �� )@-� � � �= ∈ = ��������������������#�������������������� ������������������ ������� ��������!������� ������� ���������(��������������� � � ����� ��� (� ��������� � � ���� ��������� ��� (�������������9��������������������������-3

������-3

�������-3

����������������������+

����������������������������������!����6���������������������������������������� ��� -������ ������� ��������!������� � � ���� �� ����� ��� ������ � � ���������� �� �����

� ���������� �������

*������������� � � �9 � ���� � � �9′ ∗ ��*���#��2���9�→�9′������������� 2����������� �� � � � � � � � �2 � � 2 � 2 � � � 9= ∗ ∀ ∈� �

*��� � � �9 � ���� � � �9′ ∗ �� ����������M�����#�� 2���9�→�9′������������� � 2����������� ����)� � � � � � � � �2 � � 2 � 2 � � � 9= ∗ ∀ ∈� ���������(��2������%�B����! ��������� ��������9� ����� � � 2� ����������9′� ��� ������� 9 9′� �� � ������ ���

�����������2���9�→�9′��7��������������������� ��������9���������� � 2�����������9′����������9 9′� �

6� �9������������������������������������������2���9�→�9��������������� � 2�����������!���� � 2���������������9�

1�������������������

*����������#��������� ���������������������9�M�����#���%�B����! �σ�����→�������������������������#��������L����������-�����#������������������ ���������#��������������σ��π� ���-���� ��������������� �σ����π����������#�� � � �σ π →� ����

� �� � � � ��� �σ π = σ π� ���������*���#��σ π� ���������������%�B����! ������ �-σ π∈� �� � ��- � ������������9������������ ����#�����?)��(��������@��������� � � � ��- � �

$�)�������

*��� � � �9 ∗ ������������B����������%�� ������9�� � � �B ∗ �������������������������9� � � � �B ∗ �����������

*����9�� ������������������������������������9���������� ������������������ ��2��������������9�� ������ ���+�$����������H�����&���6� �������������������������������������������������� ����+�$��������������

���&�������������� ����������������� ���� ���&���

Dobre
Text Box
Page 4: 12 Elemente de Algebra Cls. a XII A

�3

1������� ��� ����� ������ �� �������

M�����#���4�����→������������������2 ������ ������������������L���������� 4������� ������ �4�������! �����#��������������������4�����4�����&���������������������

�� �� ��� K����������#���� �������� ������������� �����������6� �4)� ���4

(� ����

�������������������� ) (4 4� ������������������� �K���� �� ��� ��������������������������� ���� �����������

*���8���2�����������8 ⊂ � ����4�����→������������������� �����4�8��&�?4�#��.�#���8@��������� �4������������%������8�� �4�8��&�8�

�� ����� -��8�����#���� �������� ������������� ���� ��!��� � ���8��-��8��� � �� ����� ��� ��%����� �� ��������� � � �� �)� � �� �� ������������ ��� �����

������8�

*�������������� /� ���#�� ��� �������� ������� ����� ������ ��� ���������\������ ���������� �� ����#�� ��� ����� ����&�-���#��� ��� ��� �������������� ������

�����

7�� ����� ��� ����� �� ��� ������ � ����� ��� ������ �������"�����������5��-�� �������5�����������#������!� ����:�-�E����: E�������� �������

�������#������5�������������������1������������������������� ��\���5��-������������%�����G���5��4�������������6�������#��������������%���! ��# ��������

'�����������5��������-����&����-����������-�����&����-����7���������5������������������������������������#���:�4�E���������������������������

�������� �������5���������� �������� ��� �����$������$�⇒������$����������������������� �5���������������� �������� �"������5������������� �������� �������������������G

/�����&�����'��������5�

"��������������!�����������#����� �������������� � ��!����������������������������� ����� ��� ��������� ���� ����� ���������

� ���������� �����

*������������5��-��4������5′��⊕ ��� ���M�����#�� 2���5����→ 5′������������� 2����������� �����������5��)��2����-����&�2����⊕ 2�������(��2��� ���&�2����� 2������/��2��)��&�)′������)����������������������5����)′������������5′�"������������ ������%�B����!������������ � � 2����L���������� � �������5�����

������������������5′������������5�(�5′��� ������ �������#�����������������2���5�� ��→ 5′�

Dobre
Text Box
Page 5: 12 Elemente de Algebra Cls. a XII A

�5

1������������� ���$�)�����

C������������!���%�����������������5������������������������5�� �� �����C�5����#�������� #��������������5�

*���5� ��� ������C�5�� ����� ����� ��� ������ ��� ����#�� ���� � �� �����#���� ����5������������� ������ � ���������5�

*����5��-��4�����������������������������������)����-�⊂�5���-������������������������5�� ��-��-��4���������������)���-�

�������� ��� �����

�������������������$��������������������������1����������9����������������(�-�/��')�-�(��1�&�1�-�$���&�$�-�)�4���������������������\������ �� ���=>�&�?��-���.���������@��������1����� ����9��������=>��-��4�����������������������

*���)������#������!� ����5���������� �� ��5)�&�?�2� .� 2���)�→�5@����#���������������#������2���)�→�5���������2������5)��������)���2���������������������������������������5�������������������

����#�������2�-�����)�→�5�� � �� � � � � �2 � � 2 � � �+ = + ������)���2����)�→�5��� � �� � � � � �2� � 2 � � �= ⋅ ����������������������!�� ������2������2����2��������

*���5� ����� �������!�� �� ��5=6>����#���������������� ��� ���������#��� ���5��5=6>��-�� 4������������

*��� 2� ���5=6>��*���#�� � 2�9��5�→�5������� ������ � 2�9����&� 2�������5��������5����������� � 2������ � �� ����� ����� � ������������ 2��L������� ����#�� � 2� � ���� ��� 2� �]�������������#���������������2�����������������������5�����������������2��,���

�������������5�����������������5���������������2���5=6>�� �2���&�$�

' �������� ����������� �����

"�������G������������� ��� �$���)���������������������������G��������������%�������������������#�����6� ������#����������������! ��G������������� ��� �������

M�����#���2���G�→�G′�������������G�����������G′������������� 2����� � 2�� �� �������� � � ������������� ��������������� ��G� ��G′� ���������� �� ������

"�� ��������������������� 2� ��5�→�5��� �� ������� �5��-�� 4�� ������ ��� ���������������� � 2������������!���� � 2���������������5��,�������������������������������������������������

K�����������-��4������������� ���������� ����������� �������

����������� ��� ��� ������ ���������&���#���� ���� �����!

4� ����1�������������*���G����������������!����2������G=6>������$��C���� ��������������������������/�����G=6>����������H����2�&��/�-�������������8������ ����$�

Dobre
Text Box
Page 6: 12 Elemente de Algebra Cls. a XII A

0$

�����������/������������������ �#�������2�&��/�$��������������<�������������!������ ��� �#����� ������������ 2� ����� ������������

*���G�������������!����2������G=6>���������� �2� ����������������������� ���� .2� ���� 2 �� ��� ������ �(���G=6>���� 2�&�� (�

*���G�������������!����2������G=6>���������� �2�������� ����1�������������������������� 2 �� ��� ��2�.��������.�2�

4� ������������A������ ��� �#����������������� 2���G=6>������6�'�α� ���G=6>� �������� ��� !����� ���α� � ������������ 2�

4� ���� ����E� �������������� 2� ���G=6>� ����!������������������6� '�α� ���G=6>� ���������� � 2� �α��&�$�

*���G�������������!���2���G=6>������G���������������(���������� ������������������������� ������ �6�'�����.�2����� )� � .�6 � 2+− / �

*���G� ������������!���� )) ) $���� �

� �2 � 6 � 6 � 6 �−−= + + + + �����G=6>�����������

) () )� )� ���� �

� �2 �� 6 � � 6 �− −−′ = + − + + � ��� ��������������� 2 ����� ��� ����� )� �

� �� �����2��������2 �������� �����))���� �� ������2����������!������� ����������K�

������������2�′������������� �2�′′��������2 �������� �����&���� �� ������2����������!������� ����������K�

������������ � )�&2 − �

*���G����������������!����2���G=6>�����������������2�%���+�$���������� �� �� ���2��������������������G�� ������ ���������������(���G=6>������������������������������2�&��(��7��������������������� �2��������������������G�

M�������������� 2� ����G=6>����� 2���)�������������������������� ��������������������������%����������G�

$���� !��� ����

*��������G����#������!����M�����#���ψ���G�����→����������������������� �� ���������������������������� ���� �����G�

*�����������������!��G��-�� ������������������������ ���������G���������%���������-�����������������������������#��������� �������������G�������� ������!������ �����������

)����α��β���G������������α�-�β���&�α��-�β�����������������1���������� � ���

������2��������������������� ���(����α���G������������� α���-����&�α��-�α����������������1���������� � ���������2������������������� � ���/����α��β���G���������� α�β���&� �αβ��� ��� ���������� � 1������ ������� �7���� � �

Dobre
Text Box