11 regime sinusoidale

35
Circuiti in regime sinusoidale www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm (versione del 23-2-2008) 2 Funzioni sinusoidali f T π = = ω 2 π 2 ω π = 2 T T f 1 = A M = ampiezza α= fase iniziale (radianti, rad) ω= pulsazione (rad/s) f = frequenza (hertz, Hz) T = periodo (secondi, s) ) cos( ) a( α + ω = t A t M

Upload: mike

Post on 03-Dec-2015

33 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

dispensa elettrotecnica

TRANSCRIPT

Page 1: 11 Regime Sinusoidale

Circuiti in regime sinusoidale

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 23-2-2008)

2

Funzioni sinusoidali

fT

π==ω 2π2

ωπ

=2

TT

f1

=

AM = ampiezzaα = fase iniziale (radianti, rad)

ω = pulsazione (rad/s)

f = frequenza (hertz, Hz)

T = periodo (secondi, s)

)cos()a( α+ω= tAt M

Page 2: 11 Regime Sinusoidale

3

Regimi sinusoidali

● Si considera un circuito lineare contenente generatori indipendenti sinusoidali aventi tutti la stessa pulsazione ω

● Le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari nel quale i termini noti sono funzioni sinusoidali con pulsazione ω

● Le equazioni generalmente ammettono una soluzione sinusoidale con pulsazione ω

● Se le soluzioni dell’equazione caratteristica hanno tutte parte reale negativa, questa soluzione particolare rappresenta la condizione di funzionamento a cui tende il circuito

● Si può dimostrare che questa situazione si verifica sempre se ilcircuito è formato da generatori indipendenti e componenti passivi

4

Regimi sinusoidali

● Regime sinusoidale: condizione di funzionamento di un circuito nella quale tutte le tensioni e le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo aventi la stessa pulsazione ω

● Fissata la pulsazione, una funzione sinusoidale è definita da due parametri

Ampiezza

Fase

● Il problema della determinazione della soluzione particolare sinusoidale delle equazioni del circuito (cioè della determinazione delle ampiezze e delle fasi di tutte le tensioni e correnti) puòessere ricondotto ad un problema di tipo algebrico mediante la trasformata di Steinmetz

● Il metodo di analisi basato sulla trasformata di Steinmetz è detto anche metodo simbolico

Page 3: 11 Regime Sinusoidale

5

Trasformata di Steinmetz

● Trasformata di Steinmetz

Ad ogni funzione sinusoidale di pulsazione ωa(t) = AMcos(ωt+α)si associa un numero complesso A avente

modulo AM (= ampiezza della funzione sinusoidale)

argomento α (= fase della funzione sinusoidale)

A = fasore o numero complesso rappresentativo di a(t)

● Antitrasformata

{ } )sen(cos)a( α+α=== α jAeAt Mj

MSA

{ } [ ] [ ] )cos(ReRe)a( )(1 α+ω==== α+ωω− tAeAet Mtj

MtjAAS

6

Interpretazione geometrica

[ ] )cos(eRe)a( α+ω== ω tAt MtjA

)(ee)( α+ωω == tjM

tj At As

Page 4: 11 Regime Sinusoidale

7

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Unicità● La trasformata di Steinmetz stabilisce una corrispondenza

biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione ω e i numeri complessi

BA =⇔∀= ttt )b()a(

)cos()b(

)cos()a(

β+ω=α+ω=

tBt

tAt

M

M { }{ } β

α

==

==j

M

jM

Bt

At

e)b(

e)a(

S

S

B

A

8

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Linearità● La trasformata di Steinmetz è un’operazione lineare

{ } { } { } BA 212121

21

)b()a()b()a(

:,

kktktktktk

kk

+=+=+∈∀

SSS

)cos()b(

)cos()a(

β+ω=α+ω=

tBt

tAt

M

M { }{ } β

α

==

==j

M

jM

Bt

At

e)b(

e)a(

S

S

B

A

Page 5: 11 Regime Sinusoidale

9

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Regola di derivazione● La trasformata della derivata di una funzione sinusoidale si ottiene

moltiplicando per jω la trasformata della funzione

● Dimostrazione:

{ } Aω=ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

jtjdt

d)a(

aSS

)cos()a( α+ω= tAt M { } α== jMAt e)a(SA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+α+ωω=α+ωω−=2

cos)sen(a

tAtAdt

dMM

{ })a(eeeea 22 tjjAjAA

dt

d jM

jjM

j

M SS ω=ω=ω=ω=ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ α

πα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+αA

10

Proprietà della trasformata di Steinmetz

Regola di derivazione● Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono

ottenere le trasformate delle derivate di ordine superiore

A

AA

AA

nn

n

n

n

jdt

dj

dt

d

jjdt

dj

dt

d

jdt

dj

dt

d

)(aa

)(aa

)(aa

1

1

332

2

3

3

222

2

ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−=ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ω−=ω=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅ω=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

SS

SS

SS

M

Page 6: 11 Regime Sinusoidale

11

Antitrasformata – determinazione della fase

⎪⎩

⎪⎨

>=<−

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

>

<π+

+=ρ

01

00

01

)sgn(

0arctg

0)sgn(2

0)sgn(arctg

22

x

x

x

x

aa

b

ab

aba

b

ba

per

per

per

per

per

per

ϑρ=+= jejbaz

12

Bipoli in regime sinusoidale

● Condizioni di regime sinusoidale

● Tensione e corrente orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore:

● Sfasamento fra tensione e corrente: ϕ = ϕV − ϕI

)cos()i(

)cos()v(

IM

VM

tIt

tVt

ϕ+ω=ϕ+ω= { }

{ } I

V

jM

jM

eIt

eVtϕ

ϕ

==

==

)i(

)v(

S

S

I

V

Page 7: 11 Regime Sinusoidale

13

Resistore in regime sinusoidale

)v()i(

)i()v(

tGt

tRt

==

VI

IV

G

R

==

0=ϕϕ=ϕ=

IV

MM RIV

la tensione e la corrente sono in fase

14

Induttore in regime sinusoidale

dt

dLt

i)v( =

VVI

IIV

L

L

jBL

j

jXLj

−=

=ω=1

LX L ω=Reattanza:

Suscettanza:L

L XLB

11−=

ω−=

22

π=ϕ

π+ϕ=ϕ

ω=

IV

MM LIV

la tensione è in quadratura in anticiporispetto alla corrente

Page 8: 11 Regime Sinusoidale

15

Condensatore in regime sinusoidale

dt

dCt

v)i( =

IIV

VVI

C

C

jXC

j

jBCj

−=

=ω=1

CBC ω=Suscettanza:

Reattanza:C

C BCX

11−=

ω−=

22

π−=ϕ

π−ϕ=ϕ

ω=

IV

MM CVI

la tensione è in quadratura in ritardorispetto alla corrente

16

Impedenza e ammettenza

● Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente per ilresistore, l’induttore e il condensatore sono casi particolari delle equazioni

YVIZIV ==

Resistore

Induttore

Condensatore

Componente

Cj

ω−

1L

−1Ljω

Cjω

R G

Z Y

Page 9: 11 Regime Sinusoidale

17

Impedenza e ammettenza

● Più in generale, per un bipolo lineare non contenente generatori indipendenti, la tensione e la corrente sono legate tra loro da relazioni differenziali lineari omogenee

Per la proprietà di linearità e la regola di derivazione della trasformata di Steinmetz, le corrispondenti relazioni tra i fasori della tensione e della corrente sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del tipo

● Nel caso generale Z e Y sono funzioni complesse della pulsazione

YVIZIV ==

)()()( ω+ω=ω jXRZ

)()()( ω+ω=ω jBGY

18

Impedenza

● Per un bipolo lineare non contenente generatori si definisce impedenzail rapporto

● Il modulo dell’impedenza è uguale al rapporto tra le ampiezze della tensione e della corrente

● L’argomento dell’impedenza è uguale allo sfasamento tra la tensione e la corrente

ϕ== j

M

M

I

Ve

I

M

M

I

V=Z

IV ϕ−ϕ=ϕ=)arg(Z

jXR +=Z R = resistenzaX = reattanza

(unità di misura ohm)

Page 10: 11 Regime Sinusoidale

19

Ammettenza

● Il reciproco dell’impedenza è detto ammettenza

● Valgono le relazioni

ϕ−=== j

M

M

V

Ie

1

V

I

ZY

jBG +=Y

22))((

1

XR

jXR

jXRjXR

jXR

jXR +−

=−+

−=

+=Y

222222ZZ

X

XR

XB

R

XR

RG −=

+−==

+=

222222YY

B

BG

BX

G

BG

GR −=

+−==

+=

22

1

BG

jBG

jBG +−

=+

=Z

G = conduttanzaB = suscettanza

(unità di misura siemens)

20

Analisi di circuiti in regime sinusoidale

● Equazioni dei collegamenti

Le relazioni tra le grandezze funzioni del tempo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del tipo

Per le proprietà di unicità e di linearità della trasformata di Steinmetz

∑∑

k k

k k

t

t

0)(v

0)(i

∑∑

k k

k k

0

0

V

I { } { })(v)(i tt kkkk SS == VI

Page 11: 11 Regime Sinusoidale

21

Analisi di circuiti in regime sinusoidale

● Equazioni dei componenti:

Generatori indipendenti

Bipoli lineari non contenenti generatori indipendenti

Generatori dipendenti

G

G

II

VV

==

YVI

ZIV

==

1212

1212

VVIV

VIII

μ===α=

r

g

22

Analisi di circuiti in regime sinusoidale

● Le equazioni di un circuito lineare in regime sinusoidale, scritte in termini di fasori, hanno la stessa forma delle equazioni di un circuito lineare resistivo in regime stazionario

● Le proprietà e metodi di analisi dedotti a partire delle equazioni generali dei circuiti resistivi possono essere estesi ai circuiti in regime sinusoida-le con le sostituzioni:

Resistenza ImpedenzaConduttanza AmmettenzaTensione Fasore della tensioneCorrente Fasore della corrente

● In particolare si possono estendere ai circuiti in regime sinusoidalele relazioni di equivalenza riguardanti collegamenti tra resistori o generatori (serie, parallelo, stella-triangolo, formule di Millman ecc.)i metodi di analisi generali (metodo delle maglie, metodo dei nodi)il teorema di sovrapposizionei teoremi di Thévenin e Norton

Page 12: 11 Regime Sinusoidale

23

Teorema di sovrapposizione

● Ipotesi:

circuito lineare contenente

NV generatori indipendenti di tensione vG1(t), ..., vGNV(t)

NI generatori indipendenti di corrente iG1(t), ..., iGNI(t)

tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa pulsazione ω condizioni di regime sinusoidale

I fasori della tensione e della corrente del generico lato i sono combinazioni lineari dei fasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti

∑∑

∑∑

==

==

+=

+=

IV

IV

N

kGkik

N

kGkiki

N

kGkik

N

kGkiki

11

11

IβVyI

IzVαV

24

Funzioni di rete

● I coefficienti delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione ω e sono detti funzioni di di rete

● Le funzioni di rete che mettono in relazione i fasori della tensione e della corrente dello stesso lato sono dette funzioni di immettenza

● Le funzioni di rete che mettono in relazione fasori di tensioni e correnti di lati diversi sono dette funzioni di trasferimento

h

khGk

iik

Gh

Gh

∀=≠∀=

=

0

0

I

VV

Iy

kh

hGk

iik

Gh

Gh

≠∀=∀=

=

0

0

I

VI

(adimensionale) (ha le dimensioni di un’impedenza)

(ha le dimensioni di un’ammettenza) (adimensionale)

h

khGk

iik

Gh

Gh

∀=≠∀=

=

0

0

I

VV

kh

hGk

iik

Gh

Gh

≠∀=∀=

=

0

0

I

VI

Vz

Page 13: 11 Regime Sinusoidale

25

Funzioni di immettenza

● Impedenza di ingresso

● Ammettenza di ingresso

kh

hGk

kk

Gh

Gh

≠∀=∀=

0

0IN )(

I

VI

VZ

h

khGk

kk

Gh

Gh

∀=≠∀=

ΙΝ =ω

0

0)(

I

VV

IY

26

Funzioni di trasferimento

● Rapporto di trasferimento di tensione

● Rapporto di trasferimento di corrente

h

khGk

iik

Gh

Gh

∀=≠∀=

0

0)(

I

VV

kh

hGk

iik

Gh

Gh

≠∀=∀=

0

0)(

I

VI

Page 14: 11 Regime Sinusoidale

27

Funzioni di trasferimento

● Impedenza di trasferimento

● Ammettenza di trasferimento

kh

hGk

iik

Gh

Gh

≠∀=∀=

0

0)(

I

VI

Vz

h

khGk

iik

Gh

Gh

∀=≠∀=

0

0)(

I

VV

Iy

28

Teorema di Thévenin

● Ipotesi:condizioni di regime sinusoidaleil bipolo A-B è formato da componenti lineari e contiene generatori indipendentiil bipolo A-B è comandato in corrente

Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di tensione V0 in serie con un’impedenza ZeqV0 è la tensione a vuoto del bipolo A-BZeq è l’impedenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati

AB0AB IZVV eq+=

Page 15: 11 Regime Sinusoidale

29

Teorema di Norton

● Ipotesi:condizioni di regime sinusoidaleil bipolo A-B è formato da componenti lineari e contiene generatori indipendentiil bipolo A-B è comandato in tensione

Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di corrente Icc in parallelo con un’ammettenza YeqIcc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-BYeq è l’ammettenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati

ABAB VYII eqcc +−=

30

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● Potenza assorbita dal bipolo

[ ]

ϕ+ϕ+ϕ+ω=

=ϕ−ϕ+ϕ+ϕ+ω=

=ϕ+ω⋅ϕ+ω==

cos2

1)2cos(

2

1

)cos()2cos(2

1

)cos()cos()i()v()p(

MMIVMM

IVIVMM

IMVM

IVtIV

tIV

tItVttt

IV

IM

VM

tIt

tVt

ϕ−ϕ=ϕϕ+ω=ϕ+ω=

)cos()i(

)cos()v(

Page 16: 11 Regime Sinusoidale

31

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● La potenza è data dalla somma di un termine sinusoidale con pulsazione 2ω e di un termine costante

● L’ampiezza del termine oscillante è

● Il termine costante coincide con il valore medio sul periodo della potenza istantanea

● cosϕ è detto fattore di potenza(A parità di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo aumenta al crescere del fattore di potenza)

● Se cosϕ < 1, la potenza istantanea può assumere valori negativi

● Il prodotto pmT rappresenta l’energia assorbita dal bipolo in un periodo

Per un bipolo passivo deve essere cosϕ ≥ 0

∫ ϕ==T

MMm IVdttT

p0

cos2

1)p(

1

MM IV21

32

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

Page 17: 11 Regime Sinusoidale

33

Potenza assorbita da un resistore

( )[ ]VMM tIVt ϕ+ω+= 22cos12

1)p(

22

2

1

2

1

2

1MMMMm GVRIIVp ===0=ϕ

34

Potenza assorbita da un induttore

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ϕ+ωω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ϕ+ω=2

22cos2

1

222cos

2

1)p( 2

VMVMM tLItIVt

0cos2

1=ϕ= MMm IVp

2

π=ϕ

Page 18: 11 Regime Sinusoidale

35

Potenza assorbita da un condensatore

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ+ωω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ϕ+ω=2

22cos2

1

222cos

2

1)p( 2

VMVMM tCVtIVt

0cos2

1=ϕ= MMm IVp

2

π−=ϕ

36

Componenti attiva e reattiva della corrente

● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nellasomma di due termini:

uno in fase con la tensione (come nei resistori)

componente attiva: iA(t)uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei condensatori)

componente reattiva: iR(t)

44444 344444 21444 3444 21

43421

)(i

)2/cos(sen

)(i

)cos(cos

)sen(sen)cos(cos

])()cos[(

)cos()i(

t

tI

t

tI

tItI

tI

tIt

R

VM

A

VM

VMVM

IVVM

IM

π−ϕ+ωϕ+ϕ+ωϕ==ϕ+ωϕ+ϕ+ωϕ=

=

ϕ

ϕ−ϕ−ϕ+ω==ϕ+ω=

Page 19: 11 Regime Sinusoidale

37

Componenti attiva e reattiva della corrente

Rappresentazione nel piano complesso

VV

V

jM

j

MR

jMA

IjI

I

ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ϕ

ϕ

ϕ−=ϕ=

ϕ=

esenesen

ecos

2I

I

38

Potenza istantanea attiva e reattiva

● Scomposizione della potenza istantanea

● Potenza istantanea attiva

● Potenza istantanea reattiva

[ ] )(p)(p)(i)v()(i)v()(i)(i)v()p( tttttttttt RARARA +=+=+=

[ ]

[ ])22cos(1cos2

1

)cos(cos

)cos(cos)cos()(p2

VMM

VMM

VMVMA

tIV

tIV

tItVt

ϕ+ω+ϕ=

=ϕ+ωϕ=

=ϕ+ωϕ⋅ϕ+ω=

)22(sensen2

1

)(sensen)cos()(p

VMM

VMVMR

tIV

tItVt

ϕ+ωϕ=

=ϕ+ωϕ⋅ϕ+ω=

Page 20: 11 Regime Sinusoidale

39

Potenza istantanea attiva e reattiva

40

Potenza istantanea attiva e reattiva

● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno (se cosϕ > 0 è sempre ≥ 0)

flusso unidirezionale di energia (dall’esterno verso il bipolo se cosϕ > 0)

● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del tempo con pulsazione 2ω

l’energia ad essa associata fluisce alternativamente dall’esterno verso il bipolo e viceversa

in un intervallo di durata pari a un semiperiodo di v e i, l’energia complessivamente scambiata tra il circuito e il bipolo è nulla

Page 21: 11 Regime Sinusoidale

41

Potenza attiva, reattiva e apparente

● Potenza attiva:valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva = valore medio sul periodo della potenza istantanea

(unità di misura watt, W)

ϕ=== ∫∫ cos2

1)p(

1)(p

1

00

MM

TT

A IVdttT

dttT

P

42

Potenza attiva, reattiva e apparente

● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea reattiva col segno di ϕ (unità di misura volt-ampere reattivo, VAR)

Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva

Convenzionalmente si attribuisce

segno + alla potenza reattiva assorbita dagli induttorisegno – alla potenza reattiva assorbita dai condensatori

● Potenza apparente: è definita dalla relazione

La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine oscillante della potenza istantanea

[ ] ϕ=ϕ= sen2

1)sgn()(pmax MMR IVtQ

MM IVS2

1= (unità di misura volt-ampere, VA)

Page 22: 11 Regime Sinusoidale

43

Triangolo delle potenze

● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva reattiva e apparente

ϕ=ϕ=ϕ=

+=

tg

sen

cos

22

PQ

SQ

SP

QPS

44

Potenza complessa

● Si definisce potenza complessa la quantità

● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene

Quindi si ha

*

2

1VIN =

jQPIVjIV

IVIV

MMMM

jMM

jM

jM

IV

+=ϕ+ϕ=

==⋅= ϕϕ−ϕ

sen2

1cos

2

1

e2

1ee

2

1N

[ ]

[ ] QIV

PIV

MM

MM

=ϕ=

=ϕ=

sen2

1Im

cos2

1Re

N

N

ϕ=

==

)arg(2

1

N

N SIV MM

Page 23: 11 Regime Sinusoidale

45

Conservazione delle potenze complesse

● Ipotesi:Circuito con l latiVersi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione dell’utilizzatoreCondizioni di regime sinusoidaleVk, Ik (k = 1, ..., l) = fasori delle tensioni e delle correnti

La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito è nullaLe somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai componenti sono nulle

● Dimostrazione:I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfanoLa proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen

02

1

1

*

1∑∑

==

==l

kkk

l

kk IVN 00

11

== ∑∑==

l

kk

l

kk QP

46

Potenza complessa in funzione di Z e Y

22*22

22*22

2**2**

2

1

2

1Im

2

1

2

1Im

2

1

2

1Re

2

1

2

1Re

2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1

VVYIIZ

VVYIIZ

VYYVVIZZIIVIN

BXQ

GRP

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

=====

VYVI

IZIV

)(

)(

jBG

jZR

+==+==

0,00

0,00

<>⇔>>>⇔>

BXQ

GRP

Page 24: 11 Regime Sinusoidale

47

Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y

● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi

● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti contenuti nel bipolo si ricavano le seguenti condizioni:

Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]P Q

> 0 = 0 > 0 = 0 > 0 = 0

= 0 > 0 = 0 > 0 = 0 < 0

= 0 < 0 = 0 < 0 = 0 > 0

> 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0

> 0 < 0 > 0 < 0 > 0 > 0

= 0 = 0 = 0

Componenti

R

L

C

R-L

R-C

L-C

> 0 > 0 > 0R-L-C

48

Valori efficaci

● Si definisce valore efficace di una funzione a(t) periodica di periodo T la quantità

● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta

∫=T

eff dttT

A0

2 )(a1

2)]22cos(1[

22

)(cos2

2

0

2

2

0

22

MM

Meff

Adtt

A

dttAA

=ϕ+ω+π

ω=

=ϕ+ωπ

ω=

ωπ

ωπ

Page 25: 11 Regime Sinusoidale

49

Valori efficaci

● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci

● Potenza assorbita da un resistore

Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale

ϕ=ϕ=

ϕ=ϕ=ϕ=

sensen2

1

coscos22

cos2

1

effeffMM

effeffMM

MM

IVIVQ

IVIV

IVP

22effeff GVRIP ==

50

Valori efficaci

● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi

● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della trasformata basata sui valori massimi

● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci

● L’espressione della potenza complessa diviene

{ } )sen(cos22

)a( α+α=== α jA

eA

t MjMee SA

{ } )cos(Re2Re)a( ][][ )(1 α+ω==== α+ωω− tAeAet Mtj

Mtj

eee AAS

*eeIVN =

Page 26: 11 Regime Sinusoidale

51

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale VG in serie con un impedenza Z caricato da un’impedenza ZC

Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima quando vale la condizione ZC = Z* (adattamento coniugato)

In queste condizioni la potenza attiva vale

jXR +=Z

CCC jXR +=Z

RP G

d 8

2V

= Potenza disponibile

52

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (1)

● Corrente e tensione nel carico

● Potenza attiva ceduta al carico

● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se

● In queste condizioni

C

G

ZZ

VI

+=

C

CG

ZZ

ZVV

+=

( ) ( )[ ]

])()[(22

Re

2

1Re

22

2

2

2

*

*

CC

CG

C

CG

C

G

C

CGC XXRR

RP

+++=

+=⎥

⎤⎢⎣

++=

V

ZZ

ZV

ZZ

V

ZZ

ZV

XX C −=

2

2

)(2 C

CGC RR

RP

+=V

Page 27: 11 Regime Sinusoidale

53

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (2)

● Al variare di PC il massimo si ottiene per

cioè RC = R infatti:

PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R → 0 e R → ∞la derivata di PC si annulla solo per RC = Rquesto punto deve corrispondere a un massimo

Quindi deve essere RC = R, XC = −X ZC = Z*

● In queste condizioni si ha

0)(

)(2)(

2 4

22

=+

+−+=

∂∂

C

CCCG

C

C

RR

RRRRR

R

P V

RRR

RPP GG

dC 8)(2

2

2

2

max

VV=

+==

54

Rendimento

● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal generatore vale

Il rendimento η definito come rapporto tra la potenza attiva erogata dal generatore e la potenza attiva ceduta al carico è

La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati

RRP GG

GG 42Re

2

12* VV

V =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5.04

8 2

2

===ηG

G

G

C R

RP

P

V

V

Page 28: 11 Regime Sinusoidale

55

Rifasamento

● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)

● Impedenza equivalente della linea:

● Condizioni di funzionamento ottimali:

Ampiezza della tensione sul carico indipendente dalla corrente (sono tollerati scostamenti di pochi percento da un valore nominale prefissato)

Minima dissipazione di potenza nella linea

LLL jXR +=Z

Linea di distribuzione

Generatore Utilizzatore

56

Rifasamento

● L’ampiezza della tensione sul carico è

● VM è praticamente coincidente con VGM se

● Le perdite lungo la linea dipendono dall’ampiezza della corrente

● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva assorbita dal carico, l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al fattore di potenza

Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico

CU

UGMM VV

ZZ

Z

+=

LULUU ZZZZZ >>⇒+≅

ϕ=

cos

2

MM V

PI

2

2

1MLL IRP =

Page 29: 11 Regime Sinusoidale

57

Rifasamento

● Per aumentare il fattore di potenzasi ricorre al rifasamento del carico

● Si collega in parallelo al carico unareattanza tale da ridurre l’angolo disfasamento tra tensione e corrente

● Il segno della reattanza dipende dal segno di ϕ● Se il carico è di tipo ohmico-induttivo ϕ > 0 (caso più comune)

la reattanza Br deve essere negativa ( condensatore)

● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di energia elettrica

Le norme attuali prevedono:

pagamento di una penale (commisurata al rapporto tra l’integrale della potenza reattiva e quello della potenza attiva nel periodo di fatturazione) per valori di cosϕ compresi tra 0.7 e 0.9

obbligo da parte dell’utente del rifasamento per cosϕ < 0.7

58

Rifasamento

● La potenza reattiva assorbita dal parallelo del carico e del bipolo di rifasamento è

● Per portare il fattore di potenza da cosϕ ad un valore accettabile cosϕ’la potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere

● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha

● Quindi la capacità deve essere

22

)tg(tg)tg(tg2

effMR V

P

V

PC

ωϕ′−ϕ

ϕ′−ϕ=

2

2

1MRR VCQ ω−=

RQQQ +='

)'()'( ϕ−ϕ=−= tgtgPQQQR

Page 30: 11 Regime Sinusoidale

59

Risonanza serie

● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale

● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione ω

● Pulsazione di risonanza:

● Per ω = ω0

Im[Z] = 0

|Z| è minimo

arg(Z) = 0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

ω+ω+=

CLjR

CjLjR

11Z

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

CLRZ

RC

−ω=

1

arctg)arg(Z

LC

10 =ω

60

Risonanza serie

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

CLjR

1Z

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

CLRZ

● ω < ω0 prevale la reattanza capacitiva

● ω > ω0 prevale la reattanza induttiva

● ω = ω0 la reattanza si annulla

Page 31: 11 Regime Sinusoidale

61

Risonanza serie

● ω < ω0 la corrente è in anticipo sulla tensione

● ω > ω0 la tensione è in anticipo sulla corrente

● ω = ω0 la tensione e la corrente sono in fase

RC

−ω=

1

arctg)arg(Z

62

Risonanza serie

Page 32: 11 Regime Sinusoidale

63

Risonanza serie

● Potenza complessa assorbita:

● Potenza attiva:

● Potenza reattiva:

ω < ω0 Q < 0

ω > ω0 Q > 0

ω = ω0 Q = 0

22)

1(

2

1

2

1MI

CLjR ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

ω−ω+== IZN

2

2

1MRIP =

22

2

1

2

1MM I

CLIQ

ω−ω=

64

Risonanza serie

● Corrente nell’induttore:

Energia nell’induttore:

● Tensione del condensatore:

Energia nel condensatore:

● In condizioni di risonanza:

In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante

)cos()i()(i IML tItt ϕ+ω==

)(cos)(i)(w 22212

21

IML tLItLt ϕ+ω==

)sen(1)(v1IMCC tI

Ct

Cj ϕ+ω

ω=

ω−= IV

)(sen2

1)(v)(w 22

22

21

IMCC tIC

tCt ϕ+ωω

==

)(sen)(sen2

1)(w 22

2122

20

IMIMC tLItIC

t ϕ+ω=ϕ+ωω

=

221)(w)(w MCL LItt =+

Page 33: 11 Regime Sinusoidale

65

Risonanza parallelo

● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale

● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione ω

● Pulsazione di risonanza:

● Per ω = ω0

Im[Y] = 0

|Y| è minimo

arg(Y) = 0

LC

10 =ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

ω+ω+=

LCjG

LjCjG

11Y

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

LCGY

GL

−ω=

1

arctg)arg(Y

66

Risonanza parallelo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

LCjGY

1

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

LCGY

● ω < ω0 prevale la suscettanza induttiva

● ω > ω0 prevale la suscettanza capacitiva

● ω = ω0 la suscettanza si annulla

Page 34: 11 Regime Sinusoidale

67

Risonanza parallelo

● ω < ω0 la tensione è in anticipo sulla corrente

● ω > ω0 la corrente è in anticipo sulla tensione

● ω = ω0 la tensione e la corrente sono in fase

GL

−ω=

1

arctg)arg(Y

68

Risonanza parallelo

Page 35: 11 Regime Sinusoidale

69

Risonanza parallelo

● Potenza complessa assorbita:

● Potenza attiva:

● Potenza reattiva:

ω < ω0 Q > 0

ω > ω0 Q < 0

ω = ω0 Q = 0

22* )1

(2

1

2

1MV

LCjG ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

ω−ω−== VYN

2

2

1MGVP =

22

2

1

2

1MM CVV

LQ ω−

ω=

70

Risonanza parallelo

● Tensione del condensatore:

Energia nel condensatore:

● Corrente nell’induttore:

Energia nell’induttore:

● In condizioni di risonanza:

In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante

)cos()v()(v VMC tVtt ϕ+ω==

)(cos)(v)(w 22212

21

VMC tCVtCt ϕ+ω==

)sen(1)(i1VMLL tV

Lt

Lj ϕ+ω

ω=

ω−= VI

)(sen2

1)(i)(w 22

22

21

VMLL tVL

tLt ϕ+ωω

==

)(sen)(sen2

1)(w 22

2122

20

IMVML tCVtVL

t ϕ+ω=ϕ+ωω

=

221)(w)(w MCL CVtt =+