11 regime sinusoidale
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Circuiti in regime sinusoidale
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 23-2-2008)
2
Funzioni sinusoidali
fT
π==ω 2π2
ωπ
=2
TT
f1
=
AM = ampiezzaα = fase iniziale (radianti, rad)
ω = pulsazione (rad/s)
f = frequenza (hertz, Hz)
T = periodo (secondi, s)
)cos()a( α+ω= tAt M
3
Regimi sinusoidali
● Si considera un circuito lineare contenente generatori indipendenti sinusoidali aventi tutti la stessa pulsazione ω
● Le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari nel quale i termini noti sono funzioni sinusoidali con pulsazione ω
● Le equazioni generalmente ammettono una soluzione sinusoidale con pulsazione ω
● Se le soluzioni dell’equazione caratteristica hanno tutte parte reale negativa, questa soluzione particolare rappresenta la condizione di funzionamento a cui tende il circuito
● Si può dimostrare che questa situazione si verifica sempre se ilcircuito è formato da generatori indipendenti e componenti passivi
4
Regimi sinusoidali
● Regime sinusoidale: condizione di funzionamento di un circuito nella quale tutte le tensioni e le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo aventi la stessa pulsazione ω
● Fissata la pulsazione, una funzione sinusoidale è definita da due parametri
Ampiezza
Fase
● Il problema della determinazione della soluzione particolare sinusoidale delle equazioni del circuito (cioè della determinazione delle ampiezze e delle fasi di tutte le tensioni e correnti) puòessere ricondotto ad un problema di tipo algebrico mediante la trasformata di Steinmetz
● Il metodo di analisi basato sulla trasformata di Steinmetz è detto anche metodo simbolico
5
Trasformata di Steinmetz
● Trasformata di Steinmetz
Ad ogni funzione sinusoidale di pulsazione ωa(t) = AMcos(ωt+α)si associa un numero complesso A avente
modulo AM (= ampiezza della funzione sinusoidale)
argomento α (= fase della funzione sinusoidale)
A = fasore o numero complesso rappresentativo di a(t)
● Antitrasformata
{ } )sen(cos)a( α+α=== α jAeAt Mj
MSA
{ } [ ] [ ] )cos(ReRe)a( )(1 α+ω==== α+ωω− tAeAet Mtj
MtjAAS
6
Interpretazione geometrica
[ ] )cos(eRe)a( α+ω== ω tAt MtjA
)(ee)( α+ωω == tjM
tj At As
7
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Unicità● La trasformata di Steinmetz stabilisce una corrispondenza
biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione ω e i numeri complessi
BA =⇔∀= ttt )b()a(
)cos()b(
)cos()a(
β+ω=α+ω=
tBt
tAt
M
M { }{ } β
α
==
==j
M
jM
Bt
At
e)b(
e)a(
S
S
B
A
8
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Linearità● La trasformata di Steinmetz è un’operazione lineare
{ } { } { } BA 212121
21
)b()a()b()a(
:,
kktktktktk
kk
+=+=+∈∀
SSS
�
)cos()b(
)cos()a(
β+ω=α+ω=
tBt
tAt
M
M { }{ } β
α
==
==j
M
jM
Bt
At
e)b(
e)a(
S
S
B
A
9
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Regola di derivazione● La trasformata della derivata di una funzione sinusoidale si ottiene
moltiplicando per jω la trasformata della funzione
● Dimostrazione:
{ } Aω=ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
jtjdt
d)a(
aSS
)cos()a( α+ω= tAt M { } α== jMAt e)a(SA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+α+ωω=α+ωω−=2
cos)sen(a
tAtAdt
dMM
{ })a(eeeea 22 tjjAjAA
dt
d jM
jjM
j
M SS ω=ω=ω=ω=ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ α
πα
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+αA
10
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Regola di derivazione● Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono
ottenere le trasformate delle derivate di ordine superiore
A
AA
AA
nn
n
n
n
jdt
dj
dt
d
jjdt
dj
dt
d
jdt
dj
dt
d
)(aa
)(aa
)(aa
1
1
332
2
3
3
222
2
ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ω−=ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ω−=ω=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅ω=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−
SS
SS
SS
M
11
Antitrasformata – determinazione della fase
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
=π
<π+
=ϑ
+=ρ
01
00
01
)sgn(
0arctg
0)sgn(2
0)sgn(arctg
22
x
x
x
x
aa
b
ab
aba
b
ba
per
per
per
per
per
per
ϑρ=+= jejbaz
12
Bipoli in regime sinusoidale
● Condizioni di regime sinusoidale
● Tensione e corrente orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore:
● Sfasamento fra tensione e corrente: ϕ = ϕV − ϕI
)cos()i(
)cos()v(
IM
VM
tIt
tVt
ϕ+ω=ϕ+ω= { }
{ } I
V
jM
jM
eIt
eVtϕ
ϕ
==
==
)i(
)v(
S
S
I
V
13
Resistore in regime sinusoidale
)v()i(
)i()v(
tGt
tRt
==
VI
IV
G
R
==
0=ϕϕ=ϕ=
IV
MM RIV
la tensione e la corrente sono in fase
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Induttore in regime sinusoidale
dt
dLt
i)v( =
VVI
IIV
L
L
jBL
j
jXLj
=ω
−=
=ω=1
LX L ω=Reattanza:
Suscettanza:L
L XLB
11−=
ω−=
22
π=ϕ
π+ϕ=ϕ
ω=
IV
MM LIV
la tensione è in quadratura in anticiporispetto alla corrente
15
Condensatore in regime sinusoidale
dt
dCt
v)i( =
IIV
VVI
C
C
jXC
j
jBCj
=ω
−=
=ω=1
CBC ω=Suscettanza:
Reattanza:C
C BCX
11−=
ω−=
22
π−=ϕ
π−ϕ=ϕ
ω=
IV
MM CVI
la tensione è in quadratura in ritardorispetto alla corrente
16
Impedenza e ammettenza
● Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente per ilresistore, l’induttore e il condensatore sono casi particolari delle equazioni
YVIZIV ==
Resistore
Induttore
Condensatore
Componente
Cj
ω−
1L
jω
−1Ljω
Cjω
R G
Z Y
17
Impedenza e ammettenza
● Più in generale, per un bipolo lineare non contenente generatori indipendenti, la tensione e la corrente sono legate tra loro da relazioni differenziali lineari omogenee
Per la proprietà di linearità e la regola di derivazione della trasformata di Steinmetz, le corrispondenti relazioni tra i fasori della tensione e della corrente sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del tipo
● Nel caso generale Z e Y sono funzioni complesse della pulsazione
YVIZIV ==
)()()( ω+ω=ω jXRZ
)()()( ω+ω=ω jBGY
18
Impedenza
● Per un bipolo lineare non contenente generatori si definisce impedenzail rapporto
● Il modulo dell’impedenza è uguale al rapporto tra le ampiezze della tensione e della corrente
● L’argomento dell’impedenza è uguale allo sfasamento tra la tensione e la corrente
ϕ== j
M
M
I
Ve
I
VΖ
M
M
I
V=Z
IV ϕ−ϕ=ϕ=)arg(Z
jXR +=Z R = resistenzaX = reattanza
(unità di misura ohm)
19
Ammettenza
● Il reciproco dell’impedenza è detto ammettenza
● Valgono le relazioni
ϕ−=== j
M
M
V
Ie
1
V
I
ZY
jBG +=Y
22))((
1
XR
jXR
jXRjXR
jXR
jXR +−
=−+
−=
+=Y
222222ZZ
X
XR
XB
R
XR
RG −=
+−==
+=
222222YY
B
BG
BX
G
BG
GR −=
+−==
+=
22
1
BG
jBG
jBG +−
=+
=Z
G = conduttanzaB = suscettanza
(unità di misura siemens)
20
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
● Equazioni dei collegamenti
Le relazioni tra le grandezze funzioni del tempo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del tipo
Per le proprietà di unicità e di linearità della trasformata di Steinmetz
∑∑
=±
=±
k k
k k
t
t
0)(v
0)(i
∑∑
=±
=±
k k
k k
0
0
V
I { } { })(v)(i tt kkkk SS == VI
21
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
● Equazioni dei componenti:
Generatori indipendenti
Bipoli lineari non contenenti generatori indipendenti
Generatori dipendenti
G
G
II
VV
==
YVI
ZIV
==
1212
1212
VVIV
VIII
μ===α=
r
g
22
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
● Le equazioni di un circuito lineare in regime sinusoidale, scritte in termini di fasori, hanno la stessa forma delle equazioni di un circuito lineare resistivo in regime stazionario
● Le proprietà e metodi di analisi dedotti a partire delle equazioni generali dei circuiti resistivi possono essere estesi ai circuiti in regime sinusoida-le con le sostituzioni:
Resistenza ImpedenzaConduttanza AmmettenzaTensione Fasore della tensioneCorrente Fasore della corrente
● In particolare si possono estendere ai circuiti in regime sinusoidalele relazioni di equivalenza riguardanti collegamenti tra resistori o generatori (serie, parallelo, stella-triangolo, formule di Millman ecc.)i metodi di analisi generali (metodo delle maglie, metodo dei nodi)il teorema di sovrapposizionei teoremi di Thévenin e Norton
23
Teorema di sovrapposizione
● Ipotesi:
circuito lineare contenente
NV generatori indipendenti di tensione vG1(t), ..., vGNV(t)
NI generatori indipendenti di corrente iG1(t), ..., iGNI(t)
tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa pulsazione ω condizioni di regime sinusoidale
I fasori della tensione e della corrente del generico lato i sono combinazioni lineari dei fasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti
∑∑
∑∑
==
==
+=
+=
IV
IV
N
kGkik
N
kGkiki
N
kGkik
N
kGkiki
11
11
IβVyI
IzVαV
24
Funzioni di rete
● I coefficienti delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione ω e sono detti funzioni di di rete
● Le funzioni di rete che mettono in relazione i fasori della tensione e della corrente dello stesso lato sono dette funzioni di immettenza
● Le funzioni di rete che mettono in relazione fasori di tensioni e correnti di lati diversi sono dette funzioni di trasferimento
h
khGk
iik
Gh
Gh
∀=≠∀=
=
0
0
I
VV
Iy
kh
hGk
iik
Gh
Gh
≠∀=∀=
=
0
0
I
VI
Iβ
(adimensionale) (ha le dimensioni di un’impedenza)
(ha le dimensioni di un’ammettenza) (adimensionale)
h
khGk
iik
Gh
Gh
∀=≠∀=
=
0
0
I
VV
Vα
kh
hGk
iik
Gh
Gh
≠∀=∀=
=
0
0
I
VI
Vz
25
Funzioni di immettenza
● Impedenza di ingresso
● Ammettenza di ingresso
kh
hGk
kk
Gh
Gh
≠∀=∀=
=ω
0
0IN )(
I
VI
VZ
h
khGk
kk
Gh
Gh
∀=≠∀=
ΙΝ =ω
0
0)(
I
VV
IY
26
Funzioni di trasferimento
● Rapporto di trasferimento di tensione
● Rapporto di trasferimento di corrente
h
khGk
iik
Gh
Gh
∀=≠∀=
=ω
0
0)(
I
VV
Vα
kh
hGk
iik
Gh
Gh
≠∀=∀=
=ω
0
0)(
I
VI
Iβ
27
Funzioni di trasferimento
● Impedenza di trasferimento
● Ammettenza di trasferimento
kh
hGk
iik
Gh
Gh
≠∀=∀=
=ω
0
0)(
I
VI
Vz
h
khGk
iik
Gh
Gh
∀=≠∀=
=ω
0
0)(
I
VV
Iy
28
Teorema di Thévenin
● Ipotesi:condizioni di regime sinusoidaleil bipolo A-B è formato da componenti lineari e contiene generatori indipendentiil bipolo A-B è comandato in corrente
Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di tensione V0 in serie con un’impedenza ZeqV0 è la tensione a vuoto del bipolo A-BZeq è l’impedenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati
AB0AB IZVV eq+=
29
Teorema di Norton
● Ipotesi:condizioni di regime sinusoidaleil bipolo A-B è formato da componenti lineari e contiene generatori indipendentiil bipolo A-B è comandato in tensione
Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di corrente Icc in parallelo con un’ammettenza YeqIcc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-BYeq è l’ammettenza equivalente del bipolo A-B con i generatori indipendenti azzerati
ABAB VYII eqcc +−=
30
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● Potenza assorbita dal bipolo
[ ]
ϕ+ϕ+ϕ+ω=
=ϕ−ϕ+ϕ+ϕ+ω=
=ϕ+ω⋅ϕ+ω==
cos2
1)2cos(
2
1
)cos()2cos(2
1
)cos()cos()i()v()p(
MMIVMM
IVIVMM
IMVM
IVtIV
tIV
tItVttt
IV
IM
VM
tIt
tVt
ϕ−ϕ=ϕϕ+ω=ϕ+ω=
)cos()i(
)cos()v(
31
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● La potenza è data dalla somma di un termine sinusoidale con pulsazione 2ω e di un termine costante
● L’ampiezza del termine oscillante è
● Il termine costante coincide con il valore medio sul periodo della potenza istantanea
● cosϕ è detto fattore di potenza(A parità di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo aumenta al crescere del fattore di potenza)
● Se cosϕ < 1, la potenza istantanea può assumere valori negativi
● Il prodotto pmT rappresenta l’energia assorbita dal bipolo in un periodo
Per un bipolo passivo deve essere cosϕ ≥ 0
∫ ϕ==T
MMm IVdttT
p0
cos2
1)p(
1
MM IV21
32
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
33
Potenza assorbita da un resistore
( )[ ]VMM tIVt ϕ+ω+= 22cos12
1)p(
22
2
1
2
1
2
1MMMMm GVRIIVp ===0=ϕ
34
Potenza assorbita da un induttore
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ϕ+ωω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ϕ+ω=2
22cos2
1
222cos
2
1)p( 2
VMVMM tLItIVt
0cos2
1=ϕ= MMm IVp
2
π=ϕ
35
Potenza assorbita da un condensatore
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ϕ+ωω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ϕ+ω=2
22cos2
1
222cos
2
1)p( 2
VMVMM tCVtIVt
0cos2
1=ϕ= MMm IVp
2
π−=ϕ
36
Componenti attiva e reattiva della corrente
● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nellasomma di due termini:
uno in fase con la tensione (come nei resistori)
componente attiva: iA(t)uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei condensatori)
componente reattiva: iR(t)
44444 344444 21444 3444 21
43421
)(i
)2/cos(sen
)(i
)cos(cos
)sen(sen)cos(cos
])()cos[(
)cos()i(
t
tI
t
tI
tItI
tI
tIt
R
VM
A
VM
VMVM
IVVM
IM
π−ϕ+ωϕ+ϕ+ωϕ==ϕ+ωϕ+ϕ+ωϕ=
=
ϕ
ϕ−ϕ−ϕ+ω==ϕ+ω=
37
Componenti attiva e reattiva della corrente
Rappresentazione nel piano complesso
VV
V
jM
j
MR
jMA
IjI
I
ϕ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ϕ
ϕ
ϕ−=ϕ=
ϕ=
esenesen
ecos
2I
I
38
Potenza istantanea attiva e reattiva
● Scomposizione della potenza istantanea
● Potenza istantanea attiva
● Potenza istantanea reattiva
[ ] )(p)(p)(i)v()(i)v()(i)(i)v()p( tttttttttt RARARA +=+=+=
[ ]
[ ])22cos(1cos2
1
)cos(cos
)cos(cos)cos()(p2
VMM
VMM
VMVMA
tIV
tIV
tItVt
ϕ+ω+ϕ=
=ϕ+ωϕ=
=ϕ+ωϕ⋅ϕ+ω=
)22(sensen2
1
)(sensen)cos()(p
VMM
VMVMR
tIV
tItVt
ϕ+ωϕ=
=ϕ+ωϕ⋅ϕ+ω=
39
Potenza istantanea attiva e reattiva
40
Potenza istantanea attiva e reattiva
● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno (se cosϕ > 0 è sempre ≥ 0)
flusso unidirezionale di energia (dall’esterno verso il bipolo se cosϕ > 0)
● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del tempo con pulsazione 2ω
l’energia ad essa associata fluisce alternativamente dall’esterno verso il bipolo e viceversa
in un intervallo di durata pari a un semiperiodo di v e i, l’energia complessivamente scambiata tra il circuito e il bipolo è nulla
41
Potenza attiva, reattiva e apparente
● Potenza attiva:valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva = valore medio sul periodo della potenza istantanea
(unità di misura watt, W)
ϕ=== ∫∫ cos2
1)p(
1)(p
1
00
MM
TT
A IVdttT
dttT
P
42
Potenza attiva, reattiva e apparente
● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea reattiva col segno di ϕ (unità di misura volt-ampere reattivo, VAR)
Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva
Convenzionalmente si attribuisce
segno + alla potenza reattiva assorbita dagli induttorisegno – alla potenza reattiva assorbita dai condensatori
● Potenza apparente: è definita dalla relazione
La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine oscillante della potenza istantanea
[ ] ϕ=ϕ= sen2
1)sgn()(pmax MMR IVtQ
MM IVS2
1= (unità di misura volt-ampere, VA)
43
Triangolo delle potenze
● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva reattiva e apparente
ϕ=ϕ=ϕ=
+=
tg
sen
cos
22
PQ
SQ
SP
QPS
44
Potenza complessa
● Si definisce potenza complessa la quantità
● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene
Quindi si ha
*
2
1VIN =
jQPIVjIV
IVIV
MMMM
jMM
jM
jM
IV
+=ϕ+ϕ=
==⋅= ϕϕ−ϕ
sen2
1cos
2
1
e2
1ee
2
1N
[ ]
[ ] QIV
PIV
MM
MM
=ϕ=
=ϕ=
sen2
1Im
cos2
1Re
N
N
ϕ=
==
)arg(2
1
N
N SIV MM
45
Conservazione delle potenze complesse
● Ipotesi:Circuito con l latiVersi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione dell’utilizzatoreCondizioni di regime sinusoidaleVk, Ik (k = 1, ..., l) = fasori delle tensioni e delle correnti
La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito è nullaLe somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai componenti sono nulle
● Dimostrazione:I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfanoLa proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen
02
1
1
*
1∑∑
==
==l
kkk
l
kk IVN 00
11
== ∑∑==
l
kk
l
kk QP
46
Potenza complessa in funzione di Z e Y
22*22
22*22
2**2**
2
1
2
1Im
2
1
2
1Im
2
1
2
1Re
2
1
2
1Re
2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1
VVYIIZ
VVYIIZ
VYYVVIZZIIVIN
BXQ
GRP
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
=====
VYVI
IZIV
)(
)(
jBG
jZR
+==+==
0,00
0,00
<>⇔>>>⇔>
BXQ
GRP
47
Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y
● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi
● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti contenuti nel bipolo si ricavano le seguenti condizioni:
Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]P Q
> 0 = 0 > 0 = 0 > 0 = 0
= 0 > 0 = 0 > 0 = 0 < 0
= 0 < 0 = 0 < 0 = 0 > 0
> 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0
> 0 < 0 > 0 < 0 > 0 > 0
= 0 = 0 = 0
Componenti
R
L
C
R-L
R-C
L-C
> 0 > 0 > 0R-L-C
48
Valori efficaci
● Si definisce valore efficace di una funzione a(t) periodica di periodo T la quantità
● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta
∫=T
eff dttT
A0
2 )(a1
2)]22cos(1[
22
)(cos2
2
0
2
2
0
22
MM
Meff
Adtt
A
dttAA
=ϕ+ω+π
ω=
=ϕ+ωπ
ω=
∫
∫
ωπ
ωπ
49
Valori efficaci
● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci
● Potenza assorbita da un resistore
Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale
ϕ=ϕ=
ϕ=ϕ=ϕ=
sensen2
1
coscos22
cos2
1
effeffMM
effeffMM
MM
IVIVQ
IVIV
IVP
22effeff GVRIP ==
50
Valori efficaci
● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi
● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della trasformata basata sui valori massimi
● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci
● L’espressione della potenza complessa diviene
{ } )sen(cos22
)a( α+α=== α jA
eA
t MjMee SA
{ } )cos(Re2Re)a( ][][ )(1 α+ω==== α+ωω− tAeAet Mtj
Mtj
eee AAS
*eeIVN =
51
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale VG in serie con un impedenza Z caricato da un’impedenza ZC
Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima quando vale la condizione ZC = Z* (adattamento coniugato)
In queste condizioni la potenza attiva vale
jXR +=Z
CCC jXR +=Z
RP G
d 8
2V
= Potenza disponibile
52
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (1)
● Corrente e tensione nel carico
● Potenza attiva ceduta al carico
● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se
● In queste condizioni
C
G
ZZ
VI
+=
C
CG
ZZ
ZVV
+=
( ) ( )[ ]
])()[(22
Re
2
1Re
22
2
2
2
*
*
CC
CG
C
CG
C
G
C
CGC XXRR
RP
+++=
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
++=
V
ZZ
ZV
ZZ
V
ZZ
ZV
XX C −=
2
2
)(2 C
CGC RR
RP
+=V
53
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (2)
● Al variare di PC il massimo si ottiene per
cioè RC = R infatti:
PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R → 0 e R → ∞la derivata di PC si annulla solo per RC = Rquesto punto deve corrispondere a un massimo
Quindi deve essere RC = R, XC = −X ZC = Z*
● In queste condizioni si ha
0)(
)(2)(
2 4
22
=+
+−+=
∂∂
C
CCCG
C
C
RR
RRRRR
R
P V
RRR
RPP GG
dC 8)(2
2
2
2
max
VV=
+==
54
Rendimento
● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal generatore vale
Il rendimento η definito come rapporto tra la potenza attiva erogata dal generatore e la potenza attiva ceduta al carico è
La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati
RRP GG
GG 42Re
2
12* VV
V =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5.04
8 2
2
===ηG
G
G
C R
RP
P
V
V
55
Rifasamento
● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)
● Impedenza equivalente della linea:
● Condizioni di funzionamento ottimali:
Ampiezza della tensione sul carico indipendente dalla corrente (sono tollerati scostamenti di pochi percento da un valore nominale prefissato)
Minima dissipazione di potenza nella linea
LLL jXR +=Z
Linea di distribuzione
Generatore Utilizzatore
56
Rifasamento
● L’ampiezza della tensione sul carico è
● VM è praticamente coincidente con VGM se
● Le perdite lungo la linea dipendono dall’ampiezza della corrente
● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva assorbita dal carico, l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al fattore di potenza
Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico
CU
UGMM VV
ZZ
Z
+=
LULUU ZZZZZ >>⇒+≅
ϕ=
cos
2
MM V
PI
2
2
1MLL IRP =
57
Rifasamento
● Per aumentare il fattore di potenzasi ricorre al rifasamento del carico
● Si collega in parallelo al carico unareattanza tale da ridurre l’angolo disfasamento tra tensione e corrente
● Il segno della reattanza dipende dal segno di ϕ● Se il carico è di tipo ohmico-induttivo ϕ > 0 (caso più comune)
la reattanza Br deve essere negativa ( condensatore)
● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di energia elettrica
Le norme attuali prevedono:
pagamento di una penale (commisurata al rapporto tra l’integrale della potenza reattiva e quello della potenza attiva nel periodo di fatturazione) per valori di cosϕ compresi tra 0.7 e 0.9
obbligo da parte dell’utente del rifasamento per cosϕ < 0.7
58
Rifasamento
● La potenza reattiva assorbita dal parallelo del carico e del bipolo di rifasamento è
● Per portare il fattore di potenza da cosϕ ad un valore accettabile cosϕ’la potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere
● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha
● Quindi la capacità deve essere
22
)tg(tg)tg(tg2
effMR V
P
V
PC
ωϕ′−ϕ
=ω
ϕ′−ϕ=
2
2
1MRR VCQ ω−=
RQQQ +='
)'()'( ϕ−ϕ=−= tgtgPQQQR
59
Risonanza serie
● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione ω
● Pulsazione di risonanza:
● Per ω = ω0
Im[Z] = 0
|Z| è minimo
arg(Z) = 0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
ω+ω+=
CLjR
CjLjR
11Z
22 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
CLRZ
RC
Lω
−ω=
1
arctg)arg(Z
LC
10 =ω
60
Risonanza serie
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
CLjR
1Z
22 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
CLRZ
● ω < ω0 prevale la reattanza capacitiva
● ω > ω0 prevale la reattanza induttiva
● ω = ω0 la reattanza si annulla
61
Risonanza serie
● ω < ω0 la corrente è in anticipo sulla tensione
● ω > ω0 la tensione è in anticipo sulla corrente
● ω = ω0 la tensione e la corrente sono in fase
RC
Lω
−ω=
1
arctg)arg(Z
62
Risonanza serie
63
Risonanza serie
● Potenza complessa assorbita:
● Potenza attiva:
● Potenza reattiva:
ω < ω0 Q < 0
ω > ω0 Q > 0
ω = ω0 Q = 0
22)
1(
2
1
2
1MI
CLjR ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
ω−ω+== IZN
2
2
1MRIP =
22
2
1
2
1MM I
CLIQ
ω−ω=
64
Risonanza serie
● Corrente nell’induttore:
Energia nell’induttore:
● Tensione del condensatore:
Energia nel condensatore:
● In condizioni di risonanza:
In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante
)cos()i()(i IML tItt ϕ+ω==
)(cos)(i)(w 22212
21
IML tLItLt ϕ+ω==
)sen(1)(v1IMCC tI
Ct
Cj ϕ+ω
ω=
ω−= IV
)(sen2
1)(v)(w 22
22
21
IMCC tIC
tCt ϕ+ωω
==
)(sen)(sen2
1)(w 22
2122
20
IMIMC tLItIC
t ϕ+ω=ϕ+ωω
=
221)(w)(w MCL LItt =+
65
Risonanza parallelo
● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione ω
● Pulsazione di risonanza:
● Per ω = ω0
Im[Y] = 0
|Y| è minimo
arg(Y) = 0
LC
10 =ω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
ω+ω+=
LCjG
LjCjG
11Y
22 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
LCGY
GL
Cω
−ω=
1
arctg)arg(Y
66
Risonanza parallelo
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
LCjGY
1
22 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ω−ω+=
LCGY
● ω < ω0 prevale la suscettanza induttiva
● ω > ω0 prevale la suscettanza capacitiva
● ω = ω0 la suscettanza si annulla
67
Risonanza parallelo
● ω < ω0 la tensione è in anticipo sulla corrente
● ω > ω0 la corrente è in anticipo sulla tensione
● ω = ω0 la tensione e la corrente sono in fase
GL
Cω
−ω=
1
arctg)arg(Y
68
Risonanza parallelo
69
Risonanza parallelo
● Potenza complessa assorbita:
● Potenza attiva:
● Potenza reattiva:
ω < ω0 Q > 0
ω > ω0 Q < 0
ω = ω0 Q = 0
22* )1
(2
1
2
1MV
LCjG ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
ω−ω−== VYN
2
2
1MGVP =
22
2
1
2
1MM CVV
LQ ω−
ω=
70
Risonanza parallelo
● Tensione del condensatore:
Energia nel condensatore:
● Corrente nell’induttore:
Energia nell’induttore:
● In condizioni di risonanza:
In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante
)cos()v()(v VMC tVtt ϕ+ω==
)(cos)(v)(w 22212
21
VMC tCVtCt ϕ+ω==
)sen(1)(i1VMLL tV
Lt
Lj ϕ+ω
ω=
ω−= VI
)(sen2
1)(i)(w 22
22
21
VMLL tVL
tLt ϕ+ωω
==
)(sen)(sen2
1)(w 22
2122
20
IMVML tCVtVL
t ϕ+ω=ϕ+ωω
=
221)(w)(w MCL CVtt =+