1 proraČun ploČe pos 101 - imksus.grf.rsimksus.grf.rs/nastava/beton/mti hve pza/betonske...

Ploča direktno oslonjena na stubove bez kapitela P5/1

Betonske konstrukcije 2 PRIMERI ZA VEŽBE

1 PRORAČUN PLOČE POS 101 - varijanta: ploča direktno oslonjena na stubove, bez kapitela -

Dimenzionisati ploču na skici, direktno oslo-njenu na 16 stubova visine 4.0 m. Ploča je, pored sopstvene težine, opterećena i dodat-nim stalnim opterećenjem ∆g = 2 kN/m2 i po-vremenim opterećenjem p = 5 kN/m2, koja deluju po čitavoj površini ploče. Kvalitet mate-rijala: MB 30, RA 400/500.

1.1 USVAJANJE DEBLJINE PLOČE Obično je kriterijum za usvajanje debljine ploče vertikalno pomeranje (ugib). Proračun ugiba ploče se uglavnom sprovodi nekim računarskim programom (npr. Tower i slično). Kako ne postoji jednostavno tablično rešenje, u odsustvu odgovarajućeg softvera se smat-ra da je ugib u dopuštenim granicama ukoliko su zadovoljene odredbe člana 222 Pravilnika BAB 87:

cm117cm15

cm11735

60035

Ldp ..max

min, =

==≥

Zbog nešto većeg povremenog opterećenja, pretpostavlja se dp = 20 cm.

1.2 ANALIZA OPTEREĆENJA

a. stalno opterećenje - sopstvena težina ploče dp×γb = 0.20×25 = 5.0 kN/m2 - dodatno stalno opterećenje ∆g = 2.0 kN/m2

ukupno, stalno opterećenje g = 7.0 kN/m2

b. povremeno opterećenje p = 5.0 kN/m2

1.3 PRORAČUN STATIČKIH UTICAJA

1.3.1 Podužni pravac Kako je odnos ortogonalnih raspona ploče:

331210506

LL750

y

x ..... <==<

a ploča opterećena jednako podeljenim opte-rećenjem, proračun se može sprovesti približ-nim postupkom, metodom zamenjujućih konti-nualnih grednih nosača - traka (član 219. PBAB 87). Za širinu trake se uzima osovinsko rastojanje stubova upravnog pravca, a za vi-sinu trake debljina ploče. Proračun se spro-

432

D

1

C

B

ALx = 6.0 m

L y =

5.0

mL y

= 5

.0 m

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 mLx = 6.0 m

L 2=2.5

mL y

=5.0

m

432

D

1

C

B

ALx = 6.0 m

L y =

5.0

mL y

= 5

.0 m

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 mLx = 6.0 m



vodi za dva ortogonalna pravca, uzimajući u oba slučaja ukupno opterećenje.

Kontinualni nosači u dužem pravcu su raspona 3×6.0 m i širine Ly = 5.0 m u osama B i C, a širine Ly /2 = 2.5 m u osama A i D. Ukupno opterećenje na jedan srednji nosač je:

gx* = g×Ly = 7.0×5.0 = 35 kN/m px* = p×Ly = 5.0×5.0 = 25 kN/m

Dijagrami momenata savijanja, transverzalnih sila i vrednosti reakcija oslonaca za kontinu-alni nosač preko tri jednaka raspona, opterećen jednako raspodeljenim opterećenjem u svim poljima, prikazani su na narednoj skici:

gx*=g×Ly ; px*=p×Ly

0.4 0.5 0.6

0.6 0.5 0.4

0.4×L

L0 = 0.8×L

0.276×L

L0 = 0.447×L

0.2×L0.476×L

0.276×L 0.2×L0.476×L

0.5×L 0.6×L

0.1 0.1

0.08

0.025

L0 = 0.8×L

0.4×L 0.4×L

L L

M

T

(× qL)

(× qL2)

(× qL)

0.4×L0.4×L 0.08

A = 25 B = 1110 A = 25B = 11

10L = Lx

Ukupne vrednosti momenata savijanja za nosač širine Ly = 5.0 m usled stalnog, povreme-nog i graničnog (1.6×g+1.8×p) opterećenja su prikazani tabelarno.

Reakcije oslonaca, odnosno sile u stubovima su:

G1 = G4 = 0.4×35×6.0 = 84 kN G2 = G3 = 1.1×35×6.0 = 231 kN

P1 = P4 = 0.4×25×6.0 = 60 kN P2 = P3 = 1.1×25×6.0 = 165 kN

Maksimalna sila u stubu je G+P = 231 + 165 = 396 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).

Kako su ivične trake (ose A i D) dvostruko manje širine, opterećenje i sile u stubovima su dvostruko manje.

Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Ly = 5.0 m se raspodeljuju na:

k G P U k×gx*×Lx

2 k×px*×Lx2 1.6×G+1.8×P

– kNm kNm kNm krajnja polja M0-1 0.08 100.8 72 290.9

oslonac -M1 0.1 126 90 363.6 srednje polje M1-2 0.025 31.5 22.5 90.9



- traku u polju (P), širine 0.60×Ly = 0.6×5.0 = 3.0 m i

- traku preko stubova (S), širine 0.40×Ly = 0.4×5.0 = 2.0 m

Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Ly = 1.0 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na osu stubova, prema skici:

Lx=6.0

B

432

Lx=6.0

1.5

L y=5

.0

1.0

1.5

0.5

0.5

P 2S

2 2S 1

P 2S

2 2

L y /

2L y

/ 2

1

Lx=6.0

Ukupno sračunati momenti savijanja za nosač širine Ly se raspoređuju na sledeći način:

B

P2

S22 S1

P2

S22

1.5 0.5 1.0 0.5 1.5

Ly = 5.0

B

P2

S22 S1

P2

S22

1.5 0.5 1.0 0.5 1.5

Ly = 5.0

raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama

Mx,

osl

1.25

×Mx,

p

Mx,

p

2.1×

Mx,

osl

1.4×

Mx,

osl

0.5×

Mx,

osl

1.25

×Mx,

p

0.84

×Mx,

p

raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama

gde su upotrebljene oznake:

y

oslxoslx

LM

M ,, = ; odnosno

y

pxpx

LM

M ,, =

za prosečne momente u gornjoj, odnosno donjoj zoni na širini Ly.

1.3.2 Poprečni pravac Kontinualni nosači u kraćem pravcu su ras-pona 3×5.0 m i širine Lx = 6.0 m u osama 2 i 3, a širine Lx /2 = 3.0 m u osama 1 i 4. Ukup-no opterećenje na srednje nosače je:

gy* = g×Lx = 7.0×6.0 = 42 kN/m py* = p×Lx = 5.0×6.0 = 30 kN/m

dok su vrednosti opterećenja za ivične nosa-če dvostruko manje.

Ukupne vrednosti momenata savijanja za no-sač širine Lx = 6.0 m usled stalnog, povreme-nog i graničnog (1.6×g+1.8×p) opterećenja su prikazani tabelarno.

432

D

1

C

B

ALx = 6.0 m

L y =

5.0

mL y

= 5

.0 m

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 mLx = 6.0 m

L2=3.0 mLx=6.0 m



gy*=g×Lx ; py*=p×Lx

0.40.5

0.6

0.60.5

0.4

0.4×L

L0 = 0.8×L

0.276×L

L0 = 0.447×L

0.2×L0.476×L

0.276×L 0.2×L0.476×L

0.5×L 0.6×L

0.1 0.1

0.08

0.025

L0 = 0.8×L

0.4×L 0.4×L

L L

M

T

(× qL)

(× qL2)

(× qL)

0.4×L0.4×L0.08

A = 25 B = 1110 A = 25B = 11

10

L = Ly

Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Lx = 6.0 m se raspodeljuju na:

- traku u polju (P), širine 0.60×Lx = 0.6×6.0 = 3.6 m i

- traku preko stubova (S), širine 0.40×Lx = 0.4×6.0 = 2.4 m

Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Lx = 1.2 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na ose stubova, prema skici:

Ly=5.0

2

DCBA

Ly=5.0 Ly=5.0

1.8

L x=6

.0

1.2

1.8

0.6

0.6

P 2S

2 2S 1

P 2S

2 2

L x /

2L x

/ 2

Raspodela ukupnih momenata savijanja na trake u polju i preko stubova je analogna raspodeli u podužnom pravcu, s tim da su širine traka date u odnosu na raspon Lx.

k G P U k×gy*×Ly

2 k×py*×Ly2 1.6×G+1.8×P

– kNm kNm kNm krajnja polja M0-1 0.08 84 60 242.4

oslonac -M1 0.1 105 75 303 srednje polje M1-2 0.025 26.3 18.8 75.8



2

P2

S22 S1

P2

S22

1.8 0.6 1.2 0.6 1.8

Lx = 6.0

My,

osl

2

P2

S22 S1

P2

S22

1.8 0.6 1.2 0.6 1.8

1.25

×My,

p

Lx = 6.0

My,

p

2.1×

My,

osl

1.4×

My,

osl

0.5×

My,

osl

1.25

×My,

p

0.84

×My,

p

raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama

raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama

gde su u ovom slučaju upotrebljene oznake:

x

oslyosly

LM

M ,, = ; odnosno

x

pypy

LM

M ,, =

za prosečne momente u gornjoj, odnosno donjoj zoni na širini Lx.

Reakcije oslonaca, odnosno sile u stubovima su:

G1 = G4 = 0.4×42×5.0 = 84 kN G2 = G3 = 1.1×42×5.0 = 231 kN

P1 = P4 = 0.4×30×5.0 = 60 kN P2 = P3 = 1.1×30×5.0 = 165 kN

Maksimalna sila u stubu je G+P = 231 + 165 = 396 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).

Kako su ivične trake (ose 1 i 4) dvostruko manje širine, opterećenje i sile u stubovima su dvostruko manje.

1.3.3 Sile u stubovima – konačno

432

D

1

C

B

ALx = 6.0 m

L y =

5.0

mL y

= 5

.0 m

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 mLx = 6.0 m

G=84

G=42

G=231

G=115.5 G=42P=30 P=82.5 P=30

G=84P=60P=60 P=165

G=42 G=115.5 G=42P=30 P=82.5 P=30

G=231

G=115.5P=82.5

P=165

G=115.5P=82.5

432

D

1

C

B

ALx = 6.0 m

L y =

5.0

mL y

= 5

.0 m

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 mLx = 6.0 m

G=1

15.5

P=82

.5G

=42

P=3

0G

=42

P=3

0G

=115

.5P=

82.5

G=2

31P

=165

G=8

4P

=60

G=8

4P

=60

G=2

31P

=165

G=1

15.5

P=82

.5G

=42

P=3

0G

=42

P=3

0G

=115

.5P=

82.5

G=84 G=231 G=84P=60P=60 P=165

G=231P=165

G=2

31P

=165

G=8

4P

=60

G=8

4P

=60

G=2

31P

=165

PODUŽNI PRAVAC POPRECNI PRAVAC

Može se uočiti da se u pojedinim stubovima dobijaju različite sile pri proračunu podužnih i poprečnih traka (vrednosti sila ispisane vodoravno, odnosno uspravno na skici). Ovo je posledica primene približnog postupka, koji polazi od pretpostavke da su SVI zamenjujući kontinualni nosači iste širine, što naprosto ne odgovara stvarnom stanju. Stvarne reakcije prvih unutrašnjih oslonaca su oko 10% veće od vrednosti dobijenih približnim postupkom, što se može uočiti na primerima urađenom nekim računarskim programom. Bez daljeg elaboriranja, u slučaju dobijanja različitih sila u stubovima proračunom podužnog, odnosno poprečnog kontinualnog nosača ili rama, po pravilu se usvajaju veće dobijene vrednosti.



Konačno usvojeno za sve stubove: - srednje: G = 231 kN ; P = 165 kN (stubovi B2,B3, C2,C3) - ivične: G = 115.5 kN ; P = 82.5 kN (stubovi A2,A3, D2,D3, B1,C1, B4,C4) - ugaone: G = 42 kN ; P = 30 kN (stubovi A1,A4, D1,D4)

1.3.4 Određivanje dimenzija stubova U opštem slučaju, pri izboru oblika i dimenzija stubova mora se voditi računa o:

- arhitektonskim, saobraćajnim i sličnim zahtevima, koji ne spadaju u konstruk-terske, ali ih je neophodno ispuniti. Zasad se mogu podvesti pod »projektujte stubove što manjih dimenzija«, bez daljeg elaboriranja;

- prihvatanju horizontalnih dejstava (vetar, seizmika). S obzirom da se razmatra jednospratna konstrukcija oslonjena samo na stubove, u cilju obezbeđivanja jednake krutosti u dva ortogonalna pravca biraju se stubovi kvadratnog ili kruž-nog poprečnog preseka. Bez detaljnijeg obrazlaganja, s obzirom da izlazi iz ok-vira ovog kursa, usvaja se da su svi stubovi istog poprečnog preseka, a vero-vatni kriterijum za određivanje njihove dimenzije (veličina horizontalnog pomera-nja) se ne uzima u obzir;

- prihvatanju uticaja usled vertikalnog opterećenja. Pošto je usvojeno da su svi stubovi istog poprečnog preseka, potrebno ih je dimenzionisati za maksimalne sile G=231 kN i P=165 kN, vodeći pritom i računa o izvijanju.

Za maksimalne sile u stubovima, zanemarujući uticaj izvijanja i usvajajući minimalni proce-nat armiranja, potrebna površina betonskog preseka se može odrediti kao:

( )2

2B

upotrb cm343

0524010601052

16512231911fNA =

××+×

×+×=

µ+×=

−

...

..

min.,

U ovom slučaju (pomerljiv sistem bez zidova za ukrućenje, ploča bez greda), stubovi su konzolni, pa je dužina izvijanja jednaka 2H = 2×4.0 = 8.0 m. Ukoliko želimo da vitkost og-raničimo na λ ≤ 75 (umerena vitkost) sledi:

20Lcm37

75124002d75

d12H2

db12

dbH2

iL i

3i ≈=

××≥⇒≤

×=

×

×==λ

min

Iz navedenog sledi da je minimalna potrebna dimenzija stuba kvadratnog poprečnog pre-seka d=40 cm.

Pored toga, u slučaju ploča direktno oslonjenih na stubove, minimalne dimenzije stubova su definisane članom 222. PBAB 87, kao:

cm30

cm30

cm72615400

15H

cm2520

50020L

d =

==

==

= .max

min

min

pri čemu je Lmin manji razmak stubova, a H spratna visina. Usvojeni su stubovi 40×40 cm.



1.4 KONTROLA U ODNOSU NA PROBIJANJE Postupak kontrole propisan je članovima 220 i 221 Pravilnika BAB 87. Zasniva se na nemačkim propisima DIN 1045 – provera se sprovodi za eksploataciona opterećenja i maksimalni smičući napon se upoređuje sa dopuštenim vrednostima.

Maksimalni smičući napon usled probijanja treba računati za presek 1-1 označen na skici, iz izraza:

( ) sssskp hhdPG

hOT

×+×π+

≈×

=τ max

pri čemu je:

Tmax - najveća transverzalna sila pri eks-ploatacionom opterećenju za kritični presek 1-1, može se umanjiti za vrednost rezultante opterećenja koje deluje na krug prečnika dkp;

ds - prečnik kružnog stuba (oslonca). Ukoliko je stub pravougaonog poprečnog pre-seka, veličinu ds treba sračunati iz izraza:

db4ds ××=π

kao prečnik ekvivalentnog kružnog stuba. U proračun zamenjujućeg prečnika ds može se uzeti maksimalno d=1.5×b (b<d), bez obzira na stvarni odnos strana pravougaonog stuba;

hs - srednja statička visina ploče za dva usvojena pravca armature

U izrazu za maksimalni smičući napon, vrednost Okp treba zameniti sa 0.6×Okp kod ivičnih, odnosno sa 0.3×Okp kod ugaonih stubova.

Dopušteni naponi smicanja određeni su kao:

b22 τ×γ=τ - vrednost napona koja mora biti zadovoljena

a11 32

τ×γ×=τ - vrednost napona koja zahteva osiguranje armaturom

U ovim izrazima figurišu dopušteni naponi τa i τb, zavisni od marke betona (član 122 PBAB 87) i bezdimenzioni koeficijenti γ1 i γ2, određeni kao:

µ×α×=γ a1 31. ; µ×α×=γ a2 450.

Koeficijent αa zavisi od vrste upotrebljene armature i uzima sledeće vrednosti: αa = 1.0 za GA 240/360 αa = 1.3 za RA 400/500 αa = 1.4 za MA 500/560

dok µ predstavlja srednju vrednost procenta armiranja preseka ploče gornjom (oslonač-kom) armaturom iz dva upravna pravca na širini oslonačke trake 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly i unosi se u procentima. Pri tome mora biti zadovoljeno:

%.%. 51f2550v

bk ≤σ

≤µ≤

bez obzira što stvarna vrednost procenta µ može biti i izvan navedenih granica.

Na osnovu napred iznetog, kontrola u odnosu na probijanje se sprovodi u nekoliko koraka:

ds

dkp

d ph yh x h s

hs/2 hs/2

hs/2 hs/2

45°

1

1

1

1



- određivanje sila u stubu usled stalnog i povremenog opterećenja - određivanje oslonačke armature u zoni stuba (Aax, Aay) - određivanje dopuštenih napona u betonu (funkcija armature Aax, Aay)

Međutim, ovi koraci su međusobno povezani, što proračun čini iterativnim. Da bi se izbegli preobimni proračuni, potrebno je proceniti veličinu i uticaj svakog od parametara.

Pretpostavljena debljina ploče je, van svake sumnje, najvažniji parametar, jer od njega za-vise i opterećenje (a time i statički uticaji), količina armature i dimenzije kritičnog preseka kod kontrole probijanja. Smisleno je debljinu ploče usvojiti iz kriterijuma deformacije (mo-guće kod proračuna na računaru) ili iz nekog iskustvenog kriterijuma. U ovom slučaju us-vojena je debljina ploče prema članu 222 PBAB, kao Lmax/35, što posredno »obećava« zadovoljenje uslova po deformacijama.

Sa tako usvojenom debljinom ploče sračunate su sile u stubovima, potrebne za određiva-nje maksimalnog smičućeg napona usled probijanja. U izrazu za ovaj napon figurišu i di-menzija stuba ds i srednja statička visina hs.

Dimenzionisanje prema momentima savijanja još uvek nije sprovedeno, jer debljina ploče nije definitivno usvojena (nije sprovedena kontrola probijanja). Kako su drugi i treći korak ove kontrole povezani, u situaciji kada debljina ploče nije zadata, potrebno je ili:

- proceniti procenat armiranja, sračunati dopuštene napone i na osnovu toga usvoji-ti debljinu ploče iz uslova probijanja, proveriti pretpostavljenu vrednost µ (dimenzi-onisanje prema momentima) i dalje dimenzionisati sve karakteristične preseke;

- dimenzionisati sa pretpostavljenom debljinom ploče minimalan broj preseka (samo one preseke od kojih zavise vrednosti dopuštenih napona – oslonačke preseke na širini 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly). Sa dobijenim µ izvršiti kontrolu probijanja, a arma-turu u ostalim presecima odrediti nakon usvajanja debljine ploče.

Pretpostavljajući potpuni nedostatak iskustva u dimenzionisanju ovakvih ploča, biće spro-veden drugi postupak.

1.4.1 Dimenzionisanje prema M - gornja zona, podužni pravac S obzirom da je statički sistem ploče u oba pravca isti (kontinualni nosač preko tri jednaka raspona), veći momenti savijanja se javljaju u dužem pravcu.

Na osnovu izloženog u tački 1.3.1, granični računski momenti savijanja u gornjoj zoni, u polutrakama S1 i S2 iznose:

10Lq12

LLLq10

12L

Lq1012M12M2xu

y

2xyu

y

2xxu

oslx1Sux

××=

××××=

×××=×= .

.....

*

,,

mkNm7.152

100.62.201.2M

mkN2.200.58.10.76.1q

21Su,x2u =

××=⇒=×+×=

pretp. a1x = 3 cm ⇒ hx = 20 – 3 = 17 cm

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa

9701

0527152

17k .

..

== ⇒ εb/εa = 3.5/5.765‰ ; µ = 30.582%



m

cm6426400521758230A

2

a ... =××= ⇒ usv. RØ19/10 (28.4 cm2/m)

10Lq41

LLLq10

41L

Lq1041M41M2xu

y

2xyu

y

2xxu

oslx2Sux

××=

××××=

×××=×= .

.....

*

,,

mkNm8.101

100.62.204.1M

22Su,x =

××=

4192

0528101

17k .

..

== ⇒ εb/εa = 3.159/10‰ ; µ = 18.942%

m

cm5516400521794218A

2

a ... =××= ⇒ usv. RØ19/15 (18.9 cm2/m)

1.4.2 Dimenzionisanje prema M - gornja zona, poprečni pravac Na osnovu izloženog u tački 1.3.2, granični računski momenti savijanja u gornjoj zoni, u polutrakama S1 i S2 iznose:

10Lq

1.2L

LLq1.01.2

LLq1.0

1.2M1.2M2yu

x

2yxu

x

2y

*yu

osl,y1Su,y

××=

××××=

×××=×=

mkNm1.106

100.52.201.2M

21Su,y =

××=

pretp. a1y = 2+1.9+1.6/2 = 4.7 cm ⇒ hy = 20 – 4.7 = 15.3 cm

1272

0521106

315k .

..

.== ⇒ εb/εa = 3.5/7.646‰ ; µ = 25.419%

m

cm93194005231541925A

2

a .... =××= ⇒ usv. RØ16/10 (20.1 cm2/m)

mkNm770

100522041M

22Suy ...., =

××=

6052

052770

315k .

..

.== ⇒ εb/εa = 2.713/10‰ ; µ = 16.097%

m

cm62124005231509716A

2

a .... =××= ⇒ usv. RØ16/15 (13.4 cm2/m)

1.4.3 Određivanje dopuštenih smičućih napona za unutrašnji stub

%..

.... , 3910517

12

918428h

Acm0517

291220h

x

sraxxx =×

+==µ⇒=−−=

%..

.., 101315

12

413120h

A

y

srayy =×

+==µ ⇒ %... 241

2101391

=+

=µ



=××=γ=××=γ

⇒=α⇒65024131450

881241313131500400RA2

1a ....

...../

Dopušteni naponi smicanja τa i τb, propisani članom 122 PBAB, za MB 30 iznose:

MPa22MPa80 ba .;. =τ=τ

pa slede vrednosti dopuštenih napona:

2a11 cmkN1000080881

32

32 ... =××=τ×γ×=τ

2b22 cmkN1430220650 ... =×=τ×γ=τ

1.4.4 Kontrola maksimalnog napona smicanja za unutrašnji stub

cm2162

3150517hs ...=

+=

cm145404d4d 22s .=×

π=×

π=

( ) 22cmkN1270

216216145165231

τ<=×+×π

+=τ .

...1

Kako nije prekoračen dopušteni napon τ2, nije potrebno menjati debljinu ploče, dimenziju stuba ili marku betona. S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:

2

vva cm3713

40165231351T351

81

T750A .)(..

.

. maxmax =+×

=σ×

=σ×

=

usvojeno: 4×4URØ8 (4×4×2×0.503 = 16.08 cm2)

Ovu armaturu treba rasporediti na način prikazan na narednoj skici (osnova i presek), u skladu sa odred-bama člana 220. Pravilnika BAB 87.

Isprekidanim linijama u osnovi su prikazane šipke ar-mature u gornjoj zoni, sračunate za prihvatanje momenata savijanja (vertikalne šipke na crtežu RØ19/10 u dužem, odnosno horizontalne šipke RØ16/10 u kraćem pravcu). Najpre je određena zona

1 Napominje se da je pri određivanju sile probijanja Tmax, moguće silu u stubu (odnosno razliku sila u stubu iznad i ispod razmatrane tavanice u slučaju višespratnih objekata) umanjiti za deo raspodeljenog opterećenja koji deluje unutar kruga prečnika dkp: q = g + p = 7.0 + 5.0 = 12.0 kN/m2

cm3612161452h

2dd sskp ... =+=+= ⇒ kN536130

412d

4qT 22

kp .. =×π

×=×π

×=∆

kN539253396TTT red ...max =−=∆−= ⇒

2cmkN1260

2163615392 .

...

=××π

=τ

U slučaju međuspratnih konstrukcija, s obzirom na malu debljinu ploče i malo opterećenje, ova redukcija je praktično beznačajna, ali je svakako treba sprovesti pri proračunu temelja.

40a=

148

14b=

8

d s =

45.

10.

7×h s

1.2×

h s



u kojoj šipke za osiguranje treba da budu raspoređene (od 0.7×hs do 1.2×hs mereno od ivice zamenjujućeg kružnog stuba):

cm14216702

40145h702

dda ss ≈×+

−=×+

−= ....

( ) cm818h7021b s ≈=×−= ...

Armatura za osiguranje je zatim homogeno raspoređena unutar ove zone (tačkice na prethodnoj skici), vodeći računa o raspoloživom prostoru, i usvojena u formi uzengija. S obzirom na malu raspoloživu visinu, sve uzengije su postavljene u pravcu dužeg raspona tako da su konačno formirane šipke označene pozicijama 1 i 2 na donjoj skici. U uglovima uzengija se nalazi armatura iz II i III reda (usvojena armatura u pravcu kraćeg raspona u obe zone), odnosno dodatna armatura (šipke ±RØ12 označene pozicijom 3) tamo gde je bilo potrebno.

34R

Ø12

1612

8 13 42 13 8

1 4RUØ8/ 14

1 4RUØ8/ 14

2 2RUØ8/ 8

2 2RUØ8/ 8

3 ±4RØ12

2 2RUØ8/ 8

1512

151 RUØ8/14

1 RUØ8/14

2 2RUØ8/ 8 2 2RUØ8/ 8

2 2RUØ8/ 8

8 14 40 814

34R

Ø12

814

4014

8

2 2UØ8/ 8 L=80 (8)

15

16 15 16

9

1 4UØ8/ 14 L=74 (8)

8

16816

8

99

34R

Ø12

34R

Ø12

40

2 RUØ8/8

2 RUØ8/8

1.4.5 Kontrola maksimalnog napona smicanja za ivični stub Maksimalne sile u ivičnim stubovima su određene u tački 1.3.3. Maksimalni smičući napon se proračunava kao:

( ) 2skp cm

kN106021621614560

5825115hO60

T .....

...

max =×+×π×

+=

××=τ

Vrednosti dopuštenih napona τ1 i τ2 potrebno je odrediti iz odgovarajućih procenata armiranja, slično kao u slučaju unutrašnjeg stuba. Na narednoj skici je šematski prikazana usvojena armatura u gornjoj zoni u polutrakama S1 i S2, sračunata u tačkama 1.4.1 i 1.4.2. Ista armatura je usvojena i u trakama u osi A (podužni pravac), odnosno 1 (poprečni pra-vac), s obzirom na veličinu momenata savijanja. Međutim, u ovim trakama u upravnom pravcu nije potrebna računska, već samo podeona armatura:



m

cm335642620A2

Xpa ..., =×= (tačka 1.4.1) ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)

m

cm993931920A2

Ypa ..., =×= (tačka 1.4.2) ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)

Kako su sile u stubovima A2 i B1 sile jednake (tačka 1.3.3), merodavan za kontrolu probijanja će biti onaj kod koga je ploča armirana manjom armaturom, odnosno sa manjim dopuštenim naponima (stub B1):

21

B

A

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 m

RØ19/15

RØ19/15RØ19/10

RØ19/15RØ19/10 0.

50.5

3.0

0.5

1.0

0.5

P 2S

2 2S 1

P 2S

2 2P 2

S2 2

S1 2

21

B

A

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 m

RØ

16/1

5

RØ

16/1

5R

Ø16

/10

RØ

16/1

5R

Ø16

/10

P2

S22 S1

P2

S22

P2

S22

S12

0.6 0.6 3.6 0.6 1.2 0.6 1.8

%... 3300517655

hA

x

axx ===µ

%..

.., 101315

12

413120h

A

y

srayy =×

+==µ ⇒ %... 710

2101330

=+

=µ

22b22 cmkN1060

cmkN109022071031450 ...... max =τ>=×××=τ×γ=τ

221 cmkN1060

cmkN07600807103131

32 ...... max =τ<=××××=τ

S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:

2a cm68.6

4019835.1A =

×= ⇒ usvojeno: (2×4+4)URØ8 (12×2×0.503 = 12.06 cm2)

235

8 14 40

1 4RUØ8/ 14

1 2RUØ8/ 8

2 2RUØ8/ 8

1 2RUØ8/ 8

1215

1 RUØ8/14

2 2RUØ8/ 8 2 2RUØ8/ 8

2 2RUØ8/ 8

8 14 40 814

34R

Ø12

2 2UØ8/ 8 L=80 (4)

15

16 15 16

9

1 4UØ8/ 14 L=74 (8)

8

16816

8

99

3 ±3RØ12

8143 2RØ12

814

34R

Ø12

2 RUØ8/8

1 RUØ8/143 2RØ12



1.4.6 Kontrola maksimalnog napona smicanja za ugaoni stub Maksimalne sile u ugaonim stubovima su određene u tački 1.3.3. Maksimalni smičući napon se proračunava kao:

( ) 2skp cm

kN077021621614530

3042hO30

T ......

max =×+×π×

+=

××=τ

Kako u gornjoj zoni nije potrebna nikakva računska armatura, dopušteni naponi τ1 i τ2 se sračunavaju sa minimalnim propisanim koeficijentom armiranja µ=0.5%:

222 cmkN0770

cmkN09102205031450 ...... max =τ>=×××=τ

max..... τ<=××××=τ 21 cmkN0640080503131

32

S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:

2a cm432

4072351A ..

=×

= ⇒ usvojeno: (3+2+2)URØ8 (7×2×0.503 = 7.04 cm2)

Kod usvajanja detalja osiguranja kod ivičnih i ugaonih stubova iskorišćen je detalj usvojen za osiguranje u zoni unutrašnjeg stuba, uz minimalne potrebne korekcije (uklanjanje arma-ture koja se našla van zone ploče).

1 3RUØ8/ 143 ±3RØ12

1 RUØ8/14

2 2RUØ8/ 8

2 2RUØ8/ 8 34R

Ø12

814

2 2UØ8/ 8 L=80 (2)

15

16 15 16

9

1 3UØ8/ 14 L=74 (5)

8

16816

8

99

40 814

1 2RUØ8/ 8 3 2RØ12

1711

1215

34R

Ø12

2 RUØ8/8

1 RUØ8/143 2RØ12

1.5 DIMENZIONISANJE PLOČE – PODUŽNI PRAVAC Nakon provere probijanja sva tri karakteristična tipa stubova, konačno su usvojeni oblik i dimenzije stubova i debljina ploče, pa se proračun može završiti dimenzionisanjem ploče prema momentima savijanja. Ukupni momenti za traku širine Ly = 5.0 m su sračunati u tač-ki 1.3.1. Granični računski momenti savijanja po trakama su:

a. negativni (oslonački) momenti savijanja - polutraka S1: M1

S1 = 2.1×M1/Ly = 2.1×363.6/5.0 = 152.7 kNm/m - polutraka S2: M1

S2 = 1.4×M1/Ly = 1.4×363.6/5.0 = 101.8 kNm/m - traka u polju: M1

P = 0.5×M1/Ly = 0.5×363.6/5.0 = 36.4 kNm/m b. pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:

- polutrake S1, S2: M0-1S = 1.25×M0-1/Ly = 1.25×290.9/5.0 = 72.7 kNm/m

- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Ly = 0.84×290.9/5.0 = 48.5 kNm/m



srednje polje: - polutrake S1, S2: M1-2

S = 1.25×M1-2/Ly = 1.25×90.9/5.0 = 22.7 kNm/m - traka u polju: M1-2

P = 0.84×M1-2/Ly = 0.84×90.9/5.0 = 15.2 kNm/m

1.5.1 Dimenzionisanje - gornja zona Dimenzionisanje oslonačkih preseka u polu-trakama S1 i S2 je već sprovedeno u tački 1.4.1. Potrebno je dimenzionisati samo oslonački deo trake P:

hx = 20 – 2 – 1.9/2 = 17.05 cm

0484

052436

0517k .

..

.==

εb/εa = 1.371/10‰ ; µ = 6.377%

m

cm5754005205173776A

2

a .... =××=

usvojeno: RØ12/20 (5.65 cm2/m)

1.5.2 Dimenzionisanje - donja zona

1.5.2.1 krajnja polja, traka S

9212

052772

417k .

..

.== ⇒ εb/εa = 2.202/10‰ ; µ = 12.583%

m

cm22114005241758312A

2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ12/10 (11.31 cm2/m)

1.5.2.2 krajnja polja, traka P

5783

052548

417k .

..

.== ⇒ εb/εa = 1.618/10‰ ; µ = 8.228%

m

cm347400524172288A

2Pa .... =××= ⇒ usv. RØ12/15 (7.53 cm2/m)

1.5.2.3 srednje polje, traka S

2265

052722

417k .

..

.== ⇒ εb/εa = 0.999/10‰ ; µ = 3.782%

m

cm373400524177823A

2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ10/20 (3.93 cm2/m)

1.5.2.4 srednje polje, traka P

4016

052215

417k .

..

.== ⇒ εb/εa = 0.789/10‰ ; µ = 2.504%

m

cm232400524175042A

2Pa .... =××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)

4.8

72.7

152.7

72.7

152.7

1.2 1.658 2.683 1.658 1.2

4.8

4.8

1.2 1.658 2.683 1.658 1.2

4.8

4.8

1.2 1.658 2.683 1.658 1.2

4.8

"S1"

"S2"

"P"



Proračun nosača u osama A i D se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti mo-menata savijanja iste kao i za ose B i C, pa je usvojena armatura ista. Usvojena armatura je šematski prikazana na donjoj skici (prikazana je četvrtina ploče u osnovi). Nedostajuća podeona armatura u gornjoj zoni usvojena je kod crtanja plana armature, kao minimalno 20% statički potrebne glavne armature.

21

B

A

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 m

RØ19/15

GORNJA ZONA

RØ19/15RØ19/10

RØ19/15RØ19/10 0.

50.5

3.0

0.5

1.0

0.5

P 2S

2 2S 1

P 2S

2 2P 2

S2 2S

1 2

RØ12/20

RØ12/20

21

B

A

Lx = 6.0 m

RØ12/15

DONJA ZONA

RØ12/10

P 2P 2

S 2S 2

P 2S 2

RØ12/15

RØ12/10

RØ10/20

RØ10/20

RØ8/20

RØ8/20

1.6 DIMENZIONISANJE PLOČE – POPREČNI PRAVAC Ukupni momenti za traku širine Lx = 6.0 m su sračunati u tački 1.3.2. Granični računski momenti savijanja po trakama su:

a. negativni (oslonački) momenti savijanja - polutraka S1: M1

S1 = 2.1×M1/Lx = 2.1×303/6.0 = 106.1 kNm/m - polutraka S2: M1

S2 = 1.4×M1/Lx = 1.4×303/6.0 = 70.7 kNm/m - traka u polju: M1

P = 0.5×M1/Lx = 0.5×303/6.0 = 25.3 kNm/m b. pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:

- polutrake S1, S2: M0-1S = 1.25×M0-1/Lx = 1.25×242.4/6.0 = 50.5 kNm/m

- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Lx = 0.84×242.4/6.0 = 33.7 kNm/m

srednje polje: - polutrake S1, S2: M1-2

S = 1.25×M1-2/Lx = 1.25×75.8/6.0 = 15.8 kNm/m - traka u polju: M1-2

P = 0.84×M1-2/Lx = 0.84×75.8/6.0 = 10.5 kNm/m

1.6.1 Dimenzionisanje - gornja zona Dimenzionisanje oslonačkih preseka u polutra-kama S1 i S2 je već sprovedeno u tački 1.4.2. Potrebno je dimenzionisati samo oslonački deo trake P:

hy = 20 – 2 – 1.9 – 1.6/2 = 15.3 cm

3604

052325

315k .

..

.==

εb/εa = 1.247/10‰ ; µ = 5.477%

m

cm294400523154775A

2

a .... =××=

usvojeno: RØ12/20 (5.65 cm2/m)

"S1"

"S2"

"P"

4

50.5

106.1

50.5

106.1

1.382 2.236 1.3821 1

4

4

1.382 2.236 1.3821 1

4

4

1.382 2.236 1.3821 1

4

50.5 50.5



1.6.2 Dimenzionisanje - donja zona hy = 20 – 2 – 1.2 – 1.2/2 = 16.2 cm

1.6.2.1 krajnja polja, traka S

2643

052550

216k .

..

.== ⇒ εb/εa = 1.846/10‰ ; µ = 9.962%

m

cm278400522169629A

2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ12/20+RØ10/20 (9.58 cm2/m)

1.6.2.2 krajnja polja, traka P

9983

052733

216k .

..

.== ⇒ εb/εa = 1.394/10‰ ; µ = 6.545%

m

cm435400522165456A

2Pa .... =××= ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)

1.6.2.3 srednje polje, traka S

8395

052815

216k .

..

.== ⇒ εb/εa = 0.877/10‰ ; µ = 3.018%

m

cm512400522160183A

2Sa .... =××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)

1.6.2.4 srednje polje, traka P

1517

052510

216k .

..

.== ⇒ εb/εa = 0.696/10‰ ; µ = 2.000%

m

cm02Am

cm661400522160002A

2

a

2Pa ..... min, =<=××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)

Proračun nosača u osama 1 i 4 se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti mome-nata savijanja iste kao i za ose 2 i 3, pa je usvojena armatura ista. Usvojena armatura je šematski prikazana na donjoj skici (četvrtina ploče u osnovi).

21

B

A

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 m DONJA ZONA

21

B

A

Lx = 6.0 m

RØ

16/1

5

RØ

16/1

5R

Ø16

/10

GORNJA ZONA

RØ

16/1

5R

Ø16

/10

S22 S1

P2

S22

S22

S12

0.6 0.6 3.6 0.6 1.2 0.6 1.8

P2P

S2

S2

S2

RØ

12/2

0R

Ø8/

20

RØ

12/2

0+R

Ø10

/20

RØ

8/20

RØ

12/2

0+R

Ø10

/20

RØ

8/20

RØ

12/2

0R

Ø8/

20

P

RØ

12/2

0

RØ

12/2

0

1 proraČun ploČe pos 101 - imksus.grf.rsimksus.grf.rs/nastava/beton/mti hve pza/betonske...

Documents