1 neuer abschnitt: modellierung des raumes bisher: modellierung von objekten
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Neuer Abschnitt:Modellierung des
Raumes
Bisher: Modellierung von
Objekten
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Räume (I)
• Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung
• anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren
• die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus
• eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante• ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche
Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten• Geschwindigkeit Invariante gegenüber
• Tachometer• Radarmessung der Polizei
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Räume (II)• Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere
Räume• abhängig von der Fragestellung• 4 große Bereiche
• Betrachungen auf der Erdoberfläche• Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen)
• Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte)• Netzentwürfe, Kartographie
• Abbildungen im Raum und in der Ebene• euklidische Geometrie, lineare Algebra
• Projektion auf das Bild• Verzerrende Abbildungen, Topologie
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Projektivität
Affinität
Ähnlichkeit
Translation Rotation
Bewegung
Invarianten
Geradentreue
Parallelentreue
Winkeltreue
Abstandstreue
Koordinaten-differenzen
Richtungswinkel-differenzen
Operationen
Rotation r (um 0)Verschiebung t
Zoom + r + t
r + t
... + Parallelenkonvergenz
... + Scherung
Abbildungen
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Topologische Räume
• In der Praxis sinnvolle Transformationen, die • alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können• trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten
• Paradigma: elastische Verformung• Metapher: Gummihauttransformation• anderes Beispiel: Tätowierung
• (kartographisches) Beispiel:• Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner)• Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes
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Übersichtskarte Hamburg und Umgebung
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Schnellbahnen Hamburg undUmgebung
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ElastischeVerformung
Ausgangs-punkt
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Topologische Invarianten (Beispiele)• Ein Knoten ist Endpunkt einer
Kante• Zwei Kanten kreuzen sich /
sind kreuzungsfrei• Ein Punkt liegt im Inneren einer
Fläche• Ein Punkt liegt auf dem Rand
einer Fläche• Eine Fläche hat ein Loch• Eine Fläche ist
zusammenängend / nicht zusammenhängend
• Zwei Flächen sind benachbart
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Nicht-topologische Eigenschaften
• Abstand• Fläche• Winkel• Umfang• Durchmesser
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Mathematik
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Punktmengentopologie
• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )
• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S.T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes
x S enthält eine Nachbarschaft von x.
Nachbarschaft Punkt
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Beispiele
• Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene• Menge aller Punkte, die durch
einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen
• punktierte Linie: offen• durchgezogene Linie: geschlossen
• Beachte: T2 ist erfüllt• Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften
eines x S enthält eine Nachbarschaft von x.
OffeneKreisscheibe
Punkt
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Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele
• Die diskrete Topologie von S:• S und die Menge aller Teilmengen von S• die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}
(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)• Die indiskrete Topologie
• S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S
• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)
• die offenen Kugeln in S = R3
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Die „Fahrtzeittopologie“
• Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets.
• Sei (x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y.
• Annahme Für alle x, y S gilt: (x,y) = (y,x) • Symmetrie, keine Einbahnstraßen
• t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist.
• S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.
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Die 1-Stunden-Zone um Liége
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Jetzt kommen einige auf den ersten Blick
recht abstrakte Definitionen
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Zielbegriff:Der Rand oder die Grenze
Teilziel:Offene und
geschlossene Flächen
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Nähe, Offen + Geschlossen
Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x Sx ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist.X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.
C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1.
nahe
Nicht nahe
offen
geschlossen
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Der Rand oder die Grenze
Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯Komplement: X‘Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X°
Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.Notation: X
Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)
Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)
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Beispiele
Die Menge S Das Innere von S
Abschluß von S Rand von S
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Zusammenhang
Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt.
nicht zusammenängend
zusammenhängend
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Diskret und indiskret
Übung 1: Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen.
Übung 2:Zeigen Sie:In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen.
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Topologische Eigenschaften
Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab.
Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft.
Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.
Euklidische Topologie äquivalent
nicht äquivalent