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213.03 : Les Suites - Evolution Cours 1/7

Algèbre

Leçon N°3 :

Les Suites - Evolution

Introduction Au cours de cette leçon, nous allons présenter les suites arithmétiques. Ainsi nous aborderons tout d’abord leur définition et les calculs des premiers termes au moyen de l’exemple bien connu du château de carte. Puis nous étudierons les formules permettant à la fois de calculer le nième terme mais aussi la raison d’une suite arithmétique. Nous résoudrons enfin quelques problèmes simples. Les pré-requis de cette leçon sont basés sur les acquis divers des élèves… Les objectifs sont les suivants :

- connaître la définition d’une suite arithmétique et géométrique, - connaître le vocabulaire relatif aux suites arithmétiques et géométriques, - organiser et effectuer des calculs permettant de déterminer le nième terme d’une suite arithmétique et d’une suite

géométrique, - savoir calculer la raison d’une suite arithmétique et géométrique, - Savoir utiliser la formule de la somme pour une suite arithmétique et une suite géoémtrique.

1- Les suites arithmétiques Document N°1 : Approche

On construit un château de carte comme le montre la photo suivante : 1. Déterminer le nombre de carte constituant le niveau le plus haut, le niveau se situant juste au dessous puis le troisième niveau. (on obtient alors une suite de trois nombres) 2. Quelle opération permet de calculer :

- le deuxième nombre à partir du premier ? - le troisième nombre à partir du second ?

3. Si on désire construire un château de carte de 5 niveaux, combien de cartes seront nécessaires pour construire le niveau de base ?

Réponses : 1. 1ier niveau : 2 cartes, niveau 2 : 5 cartes, niveau 3 : 8

cartes 2. pour le deuxième à partir du premier et les autres il faut ajouter 3. 3. niveau 4 : niveau 3 + 3 = 8 + 3 = 11 niveau 4 : 11 + 3 = 14

Sur notre exemple : Si on appelle Un le terme de la suite de niveau n alors on a : U1 U2 U3 U4 U5 2 5 8 11 14 donc on a U2 = U1 + 3 U3 = U2 + 3 U4 = U3 + 3 Plus généralement, on a Un = Un-1 + 3



Définition : On appelle SUITE ARITHMETIQUE de raison r toute suite de nombre de la forme :

Un = Un-1 + r avec r la raison

Document N°2 : Exemples de suites

La suite de nombre la plus connue 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Suite de raison : …. Une autre suite : 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, … Suite de raison : ….

Sur notre exemple :

U1 U2 U3 U4 U5 2 5 8 11 14 donc on a U2 = U1 + 3 U3 = U2 + 3 = U1 + 3 + 3 = U1 +2 × 3 U4 = U1 + 3 × 3 Plus généralement, on a Un = U1 + (n-1) × 3

Propriété : Calcul du nième

terme Le n

ième terme d’une suite arithmétique de raison r est donné par la formule :

Un = U1 + (n-1) × r avec r la raison

Sur notre exemple : U1 U2 U3 U4 U5 2 5 8 11 14 Il faut maintenant calculer le pour le 10ième niveau le nombre de carte : Si on applique directement la formule on en arrive à : U10 = U1 + (10 – 1) × r = 2 + 9 × 3 = 29 On le vérifie alors par la méthode directe…

Document N°3 : Applications

Exercices 1: Soit une suite arithmétique Un définie par U1 = 3 et r = 4

1. Ecrire les 6 premiers termes 2. Calculer le 27ième terme

Réponses

1. les 6 premiers termes sont : U1 = 3, U2 = 7, U3 = 11, U4 = 15, U5 = 19, U6 = 23

2. le 27ième terme : U27 = U1 + (27-1) × r = 3 + 26 × 4 =107

Exercices 2: Les nombres suivants sont-ils les termes consécutifs d’une suite arithmétique ? Justifiez votre réponse. a. 3,1 ; 1,6 ; 0,1 ; –1,4 ; –2,9 b. 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 15 c. 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 Réponses a. oui r = –1,5 b. non c. oui r = 2



Exercices 3: Soit une suite arithmétique de premier terme u1 = 1 et de raison r = 7. 1. Ecrire les quatre premiers termes de la suite. 2. Calculez le terme de rang 100. Réponses

a. u1 = 1 ; u2 = 8 ; u3 = 15 ; u4 = 22. b. u100 = u1 + (100 – 1). r = 694

Exercices 4: Application de la relation un = u1 + (n–1) r 1. Calculer la raison d’une suite arithmétique de premier terme –2 et dont le quinzième terme est égal à 33. 2. Une suite arithmétique a pour premier terme 40 et pour septième terme –20. Déterminer sa raison.

Exercices 5: Soit une suite arithmétique Un définie par U6 = 32 et U9 = 50 Quelle est la raison d’une telle suite et quelle est la valeur de son premier terme ?

Réponses Avec les données de l’énoncé on peut écrire

32 = x + 5× y (1) 50 = x + 8× y (2)

Soit aussi 32 = x + 31 × y (1) 18 = 3 × y (2-1) On trouve alors x = 2 y = 6 Le premier terme de la suite est U1 = 2 et la raison de cette suite est r = 6.

Exercices 6: Pierre souhaite acheter un caméscope d’une valeur de 1 200 euros. Fin janvier, il ne dispose que de 870 euros, mais en faisant des économies, cette somme évolue régulièrement à la fin de chaque mois selon le tableau ci-dessous. On note u1 la somme disponible fin janvier. 1. Reportez la valeur de u1 dans le tableau ci-dessous.

Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin

Somme disponible (euros) 870 940 1 010 1 080 1150 1220

un u1 u2 u3 u4 u5 u6

n (rang) 1 2 3 4 5 6

2. Calculez : u2 – u1 , u3 – u2 et u4 – u3. Que remarquez-vous ? 3. Quelle est la nature de cette suite ? Précisez son premier terme et sa raison. 4. Calculez la valeur de u5 et complétez l’avant-dernière colonne du tableau. 5. Compléter la dernière colonne du tableau en détaillant votre calcul de u6.

Cette somme est-elle suffisante pour acheter le caméscope ? 6. A partir de sa prise de décision (fin janvier), combien de mois Pierre devra-t-il attendre pour pouvoir réaliser son achat ?



Propriété : Calcul de la somme des n premiers termes. La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par la formule :

S = 2

)( 1 kUUk avec r la raison

Document N°4 : Applications

Calculer la somme des 10 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 7. Réponses : Pour appliquer directement la formule avec k = 10 et U1 = 5, il faut calculer U10 soit ici : U10 = U1 + 9r = 68 Puis on applique directement la formule précédente :

S =

S = 365

Document N°5 : Exercices

Exercices 7: Calculer la somme des nombres impairs supérieurs à 20 et inférieurs à 80.

Exercices 8: Une entreprise produisait 60 000 unités par an. La production baisse de 3 000 unités par an. Lorsque la production sera nulle, combien aura-t-elle produit d’unités en tout ?

2- Les suites géométriques

Document N°6 : La population d’un canton situé en zone rurale était de 3600 habitants au premier janvier 1996. En 1996 et 1997, la population a diminué de 8 % par an. En 1998, la diminution n’a plus été que de 6 %.

Répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer la population de ce canton au 31-12-1997 au 31-12-1998. 2. Calculer sur les trois années (1996 à 1998) le pourcentage moyen de diminution de la population. Réponses :

1- Fin 1997, la population en nombre d’habitant était de

(3 600 0,92) 0,92 = 3 312 0,92 soit environ 3 047 habitants. Fin 1998, la population en nombre d’habitant était de

(3312 0,94) = 2 864 soit environ 2 864 habitants.

2- Calcul du pourcentage moyen de diminution 1 864 3 600 = 0,796 Soit une diminution en pourcentage de 20,4 % sur 3 ans, soit en moyenne 6,8 % par an.



Document N°7 : On constitue un tas de rondins de bois, en disposant ces rondins de la façon suivante : Sur la première ligne 1 rondin, puis sur la 2ième 2 rondin, sur la 3ième 4 rondins, sur la 4ième 8 rondins….

Question :

Déterminer le nombre de rondins constituant le 10ième rang.

Réponses : Le nombre de rondin double à chaque rang ainsi on a : 5ième rang : 16 rondins, 6ième rang : 32 rondins, 7ième rang : 64 rondins, 8ième rang : 128 rondins, 9ième rang : 256 rondins, 10ième rang : 512 rondins. Dans ce cas, on définit une suite géométrique de raison 2

Sur notre exemple :

Si on appelle Un le terme de la suite de niveau n alors on a : U1 U2 U3 U4 U5 1 2 4 8 16

donc on a U2 = U1 2

U3 = U2 2

U4 = U3 2

Plus généralement, on a Un = Un-1 2 Dans une suite géométrique chaque terme saut le premier se déduit du précédent par une multiplication par un même nombre appelé raison.

Définition : On appelle SUITE GEOMETRIQUE de raison q toute suite de nombre de la forme :

Un = Un-1 q avec q la raison

Dans une suite arithmétique, chaque terme, sauf le premier se déduit du précédent par addition d’un même nombre appelé raison.

Sur notre exemple : U1 U2 U3 U4 U5 1 2 4 8 16

donc on a U2 = U1 2

U3 = U2 2 = U1 2 2 = U1 22 U4 = U1 × 23 Plus généralement, on a Un = U1 × 2 n-1

Propriété : Le nième terme d’une suite arithmétique de raison q est donné par la formule :

Un = U1 q n-1 avec q la raison

Sur notre exemple : U1 U2 U3 U4 U5 2 5 8 11 14 Il faut maintenant calculer le pour le 10ième niveau le nombre de carte : Si on applique directement la formule on en arrive à : U10 = U1 × q10-1

= 1 × 2 9 = 512




Exercices 9: Soit une suite géométrique Un définie par U1 = 0,35 et q = 2

a. Ecrire les 6 premiers termes. b. Calculer le 27ième terme.

Réponses a. les 6 premiers termes sont :

U1 = 0,35, U2 = 0,7, U3 = 1,4, U4 = 2,8 , U5 = 5.6, U6 = 11,2 b. le 27ième terme :

U27 = U1 × q27 - 1 = 2,34 107

Exercices 10: Soit une suite géométrique Un définie par U1 = 0,12 et q = 6

a. Ecrire les 6 premiers termes. b. Calculer le 12ième terme.

Réponses a. les 6 premiers termes sont :

U1 = 0,12, U2 = 0,72, U3 = 4,32, U4 = 25,92, U5 = 155,52, U6 = 1933,12 b. le 12ième terme :

U12 = U1 × q 12- 1 = 4,35 107

Exercices 11: Soit une suite géométrique Un définie par U1 = 4,2 et U3 = 105 Calculer la raison de cette suite géométrique. Réponses

U3 = U1 q2

105 = 4,2 q2 q2 = 25 soit aussi q = 5. Le premier terme de la suite est U1 = 4,2 et la raison de cette suite est q = 5.

Exercices 12: Soit une suite géométrique Un définie par U3 = 0,75 et U6 = 0,09375 Calculer la raison et le premier terme de cette suite géométrique. Réponses

U3 = U1 q2 (1)

U6 = U1 q4 (2)

(2) (1) : q6-3 = q3 = 0,09375 0,75 Soit enfin q = 0,5

U3 = U1 q2 (1)

U1 = U3 q2 = 0,75 0,52 Soit enfin U1 = 3

Exercices 13: On suppose que chaque année la production d’une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l’année 2000, la production a été de 25000 unités. 1) On note P0 = 25000 et Pn la production prévue au cours de l’année (2000+n). Montrer que (Pn) est une suite géométrique dont on donnera la raison. 2) Calculer la production de l’usine en 2005. Réponses

1) On calcule les différentes valeurs avec l’ « ancienne méthode » ou la nouvelle (les coefficients) PO = 25 000, P1 = 24 000, P2 = 23040, P4 = 22 118 (arrondi), P5 = 21 234 (arrondi) puis P6 = 20 384 (correspondant à l’année 2005) 2) On divise les uns par les autres… on trouve 0,96 c’est donc une suite géométrique de raison 0,96

Exercices 14:

(Seulement pour les BAC PRO TERTIAIRE) On place un capital U0 = 1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts simples. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature de la suite (Un) et exprimer Un en fonction de n. b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans. c) Au bout de combien d’années le capital initial aura t’il doublé ?



Exercices 15:

(Seulement pour les BAC PRO TERTIAIRE) On place un capital U0 = 3500 euros à 3 % par an avec intérêts composés. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature de la suite (Un) et exprimer Un en fonction de n. b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans.

Propriété : Calcul de la somme des n premiers termes. La somme des n premiers termes d’une suite géométrique est donnée par la formule :

S = 1

11

q

qU

k

avec q la raison

Document N°9 : Application directe Calculer la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 0,12 et de raison q = 0,3 Réponse : On applique directement la formule :

On en arrive alors à S = 0,17004


Exercices 16: Chaque année, la production d’une usine subit une baisse évaluée à 4 % de la production de l’année précédente. Au cours de l’année 1979, la production a été de 25 000 unités.

1. Calculer la production au cours de l’année 1980, puis au cours de l’année 1981. Soit n le nombre d’années à partir du premier janvier 1980 et soit Pn la production au cours de la nième année.

2. Vérifier que Pn s’exprime en fonction de n pas : Pn = 25 000 (1 – 0,04)n.

La fabrication du produit n’est plus rentable dès que la production devient inférieure à 20 000 unités. 3. Déterminer le nombre d’années durant lesquelles la production sera maintenue. 4. Déterminer alors la production totale durant le temps de fonctionnement à partir du 01 janvier 1979.

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