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5.6. Mathematik im Hellenismus

5.6.1 Alexandria: Zentrum des Wissens5.6.2 Euklid und die „Elemente“5.6.3 Kegelschnitte bei Appolonios und

Archimedes

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Die „Elemente“ (1)

• Titel bedeutet „Grundbestandteile“ (auf denen alles weitere aufbaut)

• Keine Zusammenfassung allen geometrischen Wissens der Antike, sondern die Grundlagen, mit deren Hilfe alle Teile der Mathematik weiterentwickelt werden können

• Das ältere Werk des Hippokrates sowie die Theorien von Eudoxos und Theaitetos sind inhaltlich einbezogen

• Das Werk richtet sich an Studenten der alexandrinischen Universität; rein wissenschaftlich; alles Praktische wird bewusst vermieden.

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Die „Elemente“ (2)

• 13 Bücher (zwei weitere als unecht erkannt)• Lehrsätze, Hilfssätze, Konstruktionsaufgaben

basieren auf den Bausteinen Definitionen, Postulaten und Axiomen

• Unterscheidung Postulat-Axiom fließend (und historisch mehrfach umgestellt); Postulate eher geometrischer Grundsatz, Axiom eher logischer Grundsatz

• Die Definitionen sind noch an Anschauung gebunden

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Nachwirkung der „Elemente“ (1)

• Trotz der wissenschaftlichen Ausrichtung waren Euklids „Elemente“ über Jahrhunderte das Standard-Geometrie-Lehrbuch des höheren Schulunterrichts, bis in die jüngste Vergangenheit

• Auch galten Euklids Beweise als vorbildlich an logischer Strenge; im Mittelalter sagte man, eine Wissenschaft sei „more geometrico“ (nach geometrischer Art) aufgebaut, wenn sie streng axiomatisch-deduktiv aufgebaut war

• Auch in der Neuzeit haben sich Mathematiker an dieser Strenge orientiert und sie sogar überboten:– David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899 (Verzicht auf an

Anschauung gebundene Definitionen)– Nicolas Bourbaki (Pseudonym einer frz. Mathematikergruppe), Éléments

de Mathematique, seit 1939 (axiomatischer Aufbau der gesamten Mathematik)

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Nachwirkung der „Elemente“ (2)

• Das 5. Postulat (oder Axiom 11) ist auch als „Parallelenaxiom“ bekannt. Es hat offensichtlich nicht die selbe Evidenz wie die Postulate 1.-4.

• Man hat jahrhundertelang versucht, es aus 1.-4. abzuleiten, aber ohne Erfolg• Die Geometrie, die nur aus den Postulaten 1.-4. abgeleitet werden kann, nennt

man „absolute“ Geometrie• Bereits der Satz von der Winkelsumme im Dreieck benötigt jedoch das 5.

Postulat• Im frühen 19. Jahrhundert kamen unabhängig voneinander Gauß, Bolyai und

Lobatschewski auf die Idee, anstatt des 5. Postulats seine Negation anzunehmen („nichteuklidische Geometrie“)

• Da die so erhaltene Geometrie widerspruchsfrei ist, gibt es also mehrere Geometrien (übrigens sogar mehrere nichteuklidische)

• Z.B. in der sphärischen Geometrie (auf der Oberfläche einer Kugel) hängt die Winkelsumme im Dreieck von der Größe des Dreiecks ab

• Die Frage, welche dieser Geometrien denn nun unseren physikalischen Raum korrekt beschreibt, hängt mit Einsteins Relativitätstheorie zusammen; Relativierung des Begriffs „Wahrheit“ in der Mathematik

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Euklid und die Primzahlen

• Euklid beweist: es gibt unendlich viele Primzahlen

• Voraussetzung: alle natürlichen Zahlen lassen sich als Produkt von Primzahlen darstellen („Primfaktorzerlegung“)

• Beweisidee: konstruiere zu jeder endlichen Menge von Primzahlen eine Zahl, die durch keine der Primzahlen in der Menge teilbar ist

• Diese Zahl muß dann einen Primfaktor haben, der noch nicht in der Menge enthalten ist

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„Flächenanlegungen“

• Einfache Flächenanlegung, gr. parabolé: eine gegebene Fläche F an eine gegebene Strecke a anlegen (d.h. ein Rechteck mit Seite a und Fläche F bestimmen).

• Flächenanlegung mit Defekt, gr. elleipsis: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat fehlt.

• Flächenanlegung mit Überschuß, gr. hyperbolé: an eine gegebene Strecke a eine gegebene Fläche F so anlegen, dass ein Quadrat überschießt.

• Diese Aufgaben werden im Buch VI der „Elemente“ behandelt.

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Flächenanlegungen algebraisch

• Einfache Flächenanlegung: löse die GleichungF = ax

• Flächenanlegung mit Defekt: löse die Gleichungen

x + y = a, F = xyalso letztlich die Gleichung x(a - x) = F.• Flächenanlegung mit Überschuß: löse die

Gleichungen x - y = a, F = xy

also letztlich die Gleichung y(y + a) = F.